力学学报, 2020, 52(1): 162-170 DOI: 10.6052/0459-1879-19-216

动力学与控制

摩擦与滚阻对被动行走器步态影响的研究 1)

郑鹏,2), 王琪, 吕敬, 郑旭东

北京航空航天大学航空科学与工程学院,北京 100083

STUDY ON THE INFLUENCE OF FRICTION AND ROLLING RESISTANCE ON THE GAIT OF PASSIVE DYNAMIC WALKER 1)

Zheng Peng,2), Wang Qi, Lü Jing, Zheng Xudong

School of Aeronautical Science and Engineering, Beihang University,Beijing 100083,China

通讯作者: 2) 郑鹏,研究生,主要研究方向:多体系统动力学. E-mail:mason_zhengp@163.com

收稿日期: 2019-08-9   接受日期: 2019-08-9   网络出版日期: 2020-01-18

基金资助: 1) 国家自然科学基金资助项目.  11772021

Received: 2019-08-9   Accepted: 2019-08-9   Online: 2020-01-18

作者简介 About authors

摘要

本文研究了圆弧足被动行走器支撑足与地面间的摩擦系数和滚阻系数对被动行走器步态的影响. 首先分别利用扩展的 赫兹接触力模型和LuGre摩擦模型描述了支撑足与地面接触点处的法向支撑力和切向摩擦力,并考虑了行走过程中支撑足 所受的滚动摩阻;其次利用第二类Lagrange方程推导出了该系统的动力学方程,并通过与已有成果的对比确定 了合适的LuGre摩擦模型参数;最后仿真分析了摩擦系数和滚阻系数对被动行走器步态的影响. 研究发现:摩擦系数的改变 虽然对被动行走器行走的平均速度、步幅,以及支撑足接触点处的最大法向接触力的影响较小,但摩擦系数的减小 会改变其行走步态类型,如发生倍周期分岔甚至混沌现象;然而,滚阻系数的改变会对行走器行走的 平均速度、步幅,以及支撑足接触点处的最大法向接触力的影响较大,尚未发现滚阻系数的改变会引起其行走步态的变化.

关键词: 被动行走器 ; LuGre摩擦模型 ; 滚动摩阻 ; 行走步态 ; 倍周期分岔

Abstract

In this paper, the influences of friction coefficient and rolling resistance coefficient on the gait of a passive dynamic walker with round feet are studied. Firstly, the normal forces and frictional forces acting on the feet of the passive dynamic walker are described based on a modified Hertz contact model and LuGre friction model, and the rolling friction resistance of the supporting foot during walking was also considered. Secondly, the dynamic equations of the passive dynamic walker are obtained by using Lagrange's equations of the second kind, and the appropriate parameters of LuGre friction model are selected by comparing with the previous studies. Finally, the influence of friction coefficient and rolling resistance coefficient on the gait of passive dynamic walker are simulated and analyzed. It is found that although the change of friction coefficient has little effect on the average speed, stride and the maximum normal contact force at the contact point of the supporting foot, the reduction of friction coefficient will change the gait types, such as periodic doubling motion or chaotic motion. However, the change of the rolling resistance coefficient will lead to a great difference on the average speed, stride and the maximum normal contact force at the contact point of the supporting foot, but it has not been found that the change of rolling resistance coefficient will cause the change of the walker's gait types.

Keywords: passive dynamic walker ; LuGre friction model ; rolling resistance ; walking gait ; period doubling bifurcation

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本文引用格式

郑鹏, 王琪, 吕敬, 郑旭东. 摩擦与滚阻对被动行走器步态影响的研究 1). 力学学报[J], 2020, 52(1): 162-170 DOI:10.6052/0459-1879-19-216

Zheng Peng, Wang Qi, Lü Jing, Zheng Xudong. STUDY ON THE INFLUENCE OF FRICTION AND ROLLING RESISTANCE ON THE GAIT OF PASSIVE DYNAMIC WALKER 1). Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics[J], 2020, 52(1): 162-170 DOI:10.6052/0459-1879-19-216

引言

1990年,学者McGeer首次提出了"被动行走" (passive dynamic walking)的概念,描述了一类可以仅依靠自身重力以及结构特性在斜坡上实现稳定行走的机构[1].相比于具有复杂驱动与控制的双足机器人,被动行走器具有能量利用率高,行走步态自然的优点,因此在实验研究和理论研究层面都得到了广泛的关注.目前在实验研究层面已经取得了较多研究成果[2-9].例如,2005年由美国康奈尔大学、荷兰代尔夫特理工大学、美国麻省理工大学开展的 (准)被动行走器的研究工作发表在Science杂志上,简要介绍了被动行走器的实验研究进展,和基于被动行走机制改善双足机器人能效性的实验尝试[2].国内高校,诸如清华大学[3-4]、浙江大学[9-10]等高校的学者也开展了 (准)被动行走器的实验样机研究工作.上述研究中的部分 (准)被动行走器样机如图1所示[6-8].

图1

图1   被动 (或准被动)双足行走器

Fig. 1   Passive (or quasi-passive) bipedal walkers


在理论研究层面,最初学者们将接触状态时足与地面间的约束视为铰链,研究了直腿点状足、直腿圆弧足、含膝关节点状足、含膝关节圆弧足等几种不同平面构型的被动行走器. 其中Garcia,Asano等[11-15] 以直腿点状足模型被动行走器为对象,研究了被动行走器的不同斜面坡度下的行走效率和稳定性.Gritli等[16-20] 研究了直腿点状足被动行走器在斜面坡度变化下丰富的非线性行为.

近年来,部分学者通过引入法向接触力模型与摩擦力模型描述圆弧足被动行走器足与地面间的接触力,通过数值仿真研究了平面圆弧足直腿被动行走器的步态,得到了支撑足与地面间有滑动或有弹起的步态[21-24]. 如段文杰等[24]利用牛顿碰撞恢复系数与库伦干摩擦模型描述支撑足与地面间的接触,采用时间步进法[25]分析了摩擦系数与碰撞恢复系数引起的圆弧足被动行走器行走步态的变化.祁峰等[23] 利用扩展的赫兹接触模型与修正的库伦摩擦模型描述支撑足与地面间的法向接触力与切向摩擦力,研究了圆弧足直腿被动行走器在不同接触参数条件下的步态变化. 郑旭东等[22]利用扩展的赫兹接触模型与库伦干摩擦模型描述支撑足与地面间的法向接触力与切向摩擦力,基于线性互补[26- 28]研究了圆弧足被动行走器的多种步态,弥补了原有模型中不能描述静摩擦力的不足.上述研究中尚未考虑圆弧足与地面间的滚动摩阻,滚动摩阻对被动行走器的动力学行为有何种影响是一个值得研究的问题.

综上所述,基于不同假设的研究都取得了一些有意义的研究进展,但也存在一定的局限性.例如,基于足与地面铰接模型的研究方法无法揭示被动行走器足的弹起或滑动过程;基于修正的库伦摩擦模型的研究方法难以仿真被动行走器静止站立的工况;基于库伦干摩擦模型的研究方法须用到试算法,或线性互补算法,这两种算法计算成本较高且繁琐;另外,忽略足与地面间的滚动摩阻是否合理尚需做进一步的探讨.为了弥补上述方法中的不足,本文在现有研究成果的基础上,首先采用扩展的赫兹接触模型和LuGre摩擦模型描述足地间的接触力,并考虑圆弧足的滚动摩阻;然后应用第二类Lagrange方程建立被动行走器的动力学方程;最后,将通过数值仿真方法分析支撑足与地面间的摩擦和滚动摩阻等非光滑因素对行走器动力学特性的影响.

1 力学建模

1.1 圆弧足被动行走器模型

本文研究的圆弧足被动行走器模型如图2所示.

图2

图2   圆弧足被动行走器

Fig. 2   Passive dynamic walker with round feet


设两腿在髋关节$H$处用光滑柱铰链连接,且分别记为腿1和腿2,$C_1 ,C_2$分别为两腿质心的位置,该模型的其余参数符号含义为:$m_1$,$m_2$分别为腿1、腿2的质量, $J_1$,$J_2$分别为腿1、腿2相对质心的转动惯量, $l_1$,$l_2 $分别为腿1、腿2的长度, $c_1$,$c_2$分别为腿1、腿2的质心与髋关节$H$的距离, $r_1$,$r_2 $分别为腿1、腿2的圆弧足半径,$\gamma $为斜面与水平面间的夹角, $g$为重力加速度.

在斜面上建立平面直角坐标系,其中$y$轴垂直于斜面向上,$x$轴沿斜面向下,设髋关节$H$的坐标为$\left({x_H ,y_H } \right)$, 两腿与$y$轴的夹角为$\theta _1 ,\theta_2 $ (逆时针为正),该系统的广义坐标可表示为

$ {\pmb q} = \left( {x_H ,y_H ,\theta _1 ,\theta _2 } \right)^{\rm T}$

1.2 圆弧足与地面间的接触力建模

圆弧足被动行走器的支撑足$i \in \left\{ {1,2}\right\}$与地面接触时,会受到法向接触力$F_{Ni}$,切向摩擦力$F_{si} $以及滚阻力偶矩$M_{si}$的作用,如图3所示.

图3

图3   圆弧足受力图

Fig. 3   Force diagram of round feet


(1) 圆弧足$i$与地面间的法向接触力

圆弧足$i$与地面间的法向接触力$F_{Ni} $ ($i=1,2$)采用扩展的赫兹接触力模型描述,其表达式为[29]

$ F_{Ni} = K\delta _i ^{3 / 2} + \chi \delta _i ^{3 / 2}\dot {\delta }_i$

式中,$K,\chi $分别表示圆弧足与地面间的接触刚度系数与接触阻尼系数,$\delta _i $表示圆弧足与地面的相对压痕深度,$\dot {\delta }_i $表示圆弧足与地面的相对压痕深度的变化速率. 当圆弧足与地面接触时,根据几何关系,$\delta _i$,$\dot {\delta }_i (i= 1,2)$可表示为

$ \left.\begin{array}{l} \delta _i = \left[ {\left( {l_i-r_i } \right)\cos \theta _i + r_i } \right]-y_H \\ \dot {\delta }_i =-\dot {\theta }_i \left( {l_i-r_i } \right)\sin \theta _i-\dot {y}_H \end{array} \!\! \right \}$

(2) 圆弧足$i$与地面间的摩擦力

库伦摩擦模型描述的摩擦力是相对速度的分段连续函数,在相对速度为零时为多值函数,给数值计算带来诸多困难[26].本文采用LuGre摩擦模型描述支撑足与地面间的摩擦力$F_{si}(i= 1,2)$. 表达式为[30]

$ \left.\begin{array}{l} F_{si} = \left( {\sigma _0 z_i + \sigma _1 \dot {z}_i + \sigma _2 v_{ri} } \right)F_{Ni} \\ \dot {z}_i = v_{ri}-\sigma _0 \dfrac{\vert v_{ri} \vert }{g(v_{\tau i} )}z_i \\ g(v_{ri} ) = \mu + (\mu _0-\mu ){\rm e}^{-\left( {v_{ri} / v_{\rm s} } \right)^2} \end{array} \right \}$

其中,$z_i ,\dot {z}_i$分别表示圆弧足$i$与地面的接触点处的平均鬃毛形变及形变速率;$\sigma _0 ,\sigma _1 ,\sigma _2 ,v_{\rm s}$分别表示鬃毛刚度系数、鬃毛阻尼系数、黏性摩擦系数、Stribeck速度;$\mu,\mu _0$分别表示动、静摩擦系数(通常情况下动摩擦系数大约是静摩擦系数的0.7~0.8倍).圆弧足被动行走器支撑足与地面的潜在接触点 (离斜面最近的点)的速度沿斜面$x$轴的投影可用系统的广义坐标及广义速度表示为

$ v_{ri} = \dot {x}_H + [r_i + \left( {l_i-r_i } \right)\cos \theta _i ]\dot {\theta }_i , \ \ i = 1,2$

当$\delta _i \geqslant 0$时,则上式为实际接触点的相对切向速度.

(3) 圆弧足$i$与地面间的滚阻力偶矩

圆弧足被动行走器的支撑足$i$与地面间的滚阻力偶矩采用下列表达式描述[26]

$ M_{si}=-\zeta_s F_{Ni} {\rm sgn} \dot\theta_i$

其中,$\zeta _s $为滚动摩阻系数,$\dot {\theta }_i$为圆弧足$i$相对地面转动的角速度.

1.3 圆弧足被动行走器的动力学方程

利用第二类Lagrange方程推导可得被动行走器的动力学方程

$ {\pmb M}\ddot{\pmb q} + {\pmb H} = {\pmb Q}_g + {\pmb Q}_{F_N } + {\pmb Q}_{F_s } + {\pmb Q}_{M_s }$

其中,${\pmb Q}_g , {\pmb Q}_{F_N } , {\pmb Q}_{F_s } , {\pmb Q}_{M_s }$分别表示重力、法向接触力、摩擦力以及滚阻力偶的广义力.上式中各项的具体表达式如下所示

${\pmb M} = \left( \!\!\begin{array}{cccc} {m_1 + m_2 } & 0 & {m_1 c_1 \cos \theta _1 } & {m_2 c_2 \cos \theta _2 } \\ 0 & {m_1 + m_2 } & {m_1 c_1 \sin \theta _1 } & {m_2 c_2 \sin \theta _2 } \\ {m_1 c_1 \cos \theta _1 } & {m_1 c_1 \sin \theta _1 } & {J_1 + m_1 c_1^2 } & 0 \\ {m_2 c_2 \cos \theta _2 } & {m_2 c_2 \sin \theta _2 } & 0 & {J_2 + m_2 c_2^2 } \end{array} \!\! \right) $

${\pmb H} = \left(\!\!\begin{array}{c} {-m_1 c_1 \dot {\theta }_1 ^2\sin \theta _1-m_2 c_2 \dot {\theta }_2 ^2\sin \theta _2 } \\ {m_1 c_1 \dot {\theta }_1 ^2\cos \theta _1 + m_2 c_2 \dot {\theta }_2 ^2\cos \theta _2 } \\ 0 \\ 0 \end{array}\!\! \right)$

${\pmb Q}_g = \left(\!\!\begin{array}{c} {\left( {m_1 + m_2 } \right)g\sin \gamma } \\ {-\left( {m_1 + m_2 } \right)g\cos \gamma } \\ {-m_1 gc_1 \sin \left( {\theta _1-\gamma } \right)} \\ {-m_2 gc_2 \sin \left( {\theta _2-\gamma } \right)} \end{array}\!\! \right)$

${\pmb Q}_{F_N } = \left(\!\!\begin{array}{cccc} 0 & 1 & {\left( {l_1-r_1 } \right)\sin \theta _1 } & 0 \\ 0 & 1 & 0 & {\left( {l_2-r_2 } \right)\sin \theta _2 } \end{array} \!\! \right)^{\rm T} \left(\!\!\begin{array}{l} F_{N1} \\ F_{N2} \end{array}\!\! \right)$

${\pmb Q}_{F_s } = \left(\!\! \begin{array}{cccc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ {\left( {l_1-r_1 } \right)\cos \theta _1 + r_1 } & 0 \\ 0 & {\left( {l_2-r_2 } \right)\cos \theta _2 + r_2 } \ \end{array} \!\! \right)\left(\!\! \begin{array}{l} F_{s1} \\ F_{s2} \end{array} \!\! \right)$

${\pmb Q}_{M_s } = \left(\!\! \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \!\! \right)^{\rm T}\left(\!\! \begin{array}{l} M_{s1} \\ M_{s2} \end{array} \!\! \right)$

该方程为非线性常微分方程组,可通过数值仿真分析该系统的动力学特性.

2 数值仿真

2.1 算例1 LuGre摩擦模型参数的选取

LuGre摩擦模型能够描述诸多的摩擦特性,且具有较好的连续性,目前对于不同材质的物体,该模型中的一些参数不易查找,如$\sigma _0 $和$\sigma _1 $. 本文通过数值仿真结果的对比来确定相关参数. 为了便于对比,本算例圆弧足被动行走器的参数和运动的初始条件与文献[22]中的相同.

被动行走器参数[22]:$m_1 = m_2 = 1.0$ kg,$J_1 = J_2 = 9.6\times 10^{-3}$ kg$\cdot$m$^2$,$l_1 = l_2 = 0.4$ m,$c_1 = c_2 = 0.1$ m,$r_1 = r_2 = 0.08$ m,$\gamma = 0.02$ rad,$g = 9.8$ m/s$^{2}$.

接触力参数[22]:$K = 1.0\times 10^6$ N/m$^{1.5}$,$\chi = 5.0\times 10^7$ N$\cdot$s/m$^{2.5}$,$\mu = 0.40$,$\mu _{0} = 0.50$,$v_{\rm s} = 1.0\times 10^{-4}$ m/s,$\sigma _2 = 0$ s/m,$\zeta _s = 0$ m.

初始条件[22]:$x_H = 0.0$ m,$y_H = 0.395 0$ m,$\theta _1 =0.165 5$ rad,$\theta _2=-0.247 9$ rad,$\dot {x}_H = 0.4971$ m/s,$\dot {y}_H =0.048 6$ m/s,$\dot {\theta }_1=-1.256 5$ rad/s,$\dot {\theta }_2 =0.005 2$ rad/s,$z_1 = 0$ m,$z_2 = 0$ m.

取不同的$\sigma _0$, $\sigma _1 $值进行仿真,将数值结果与文献[22]中采用库伦干摩擦时的数值结果比较.数值结果表明:当$\sigma _0 = 1.0\times 10^6$ m$^{-1}$,$\sigma _1 = 2\sqrt {\sigma _0 }$ s/m时,两者的数值结果吻合得很好,如图4所示.

图4(a)为圆弧足被动行走器的腿1与$y$轴夹角$\theta _1$的相图,图4(b)为图4(a)中局部区域D1的放大图.虚 (红)线为LuGre摩擦模型的数值结果,实 (蓝)线为库伦干摩 擦模型的数值结果,二者的差异很小.说明在该参数条件下LuGre摩擦模型用于描述被动行走器支撑足与地面间的摩擦是可行的.

图4

图4   $\theta _1 $的相图

Fig. 4   Phase diagram of $\theta _1 $


图4

图4   $\theta _1 $的相图 (续)

Fig. 4   Phase diagram of $\theta _1 $ (continued)


2.2 算例2 被动行走器的黏滞与滑移现象

在适当参数条件下,被动行走器在行走过程中会发生黏滞与滑移现象.本文中算例的仿真参数及初始条件如下,未列出的参数和算例1相同.

系统参数:$\mu = 0.15$,$\mu _{0} = 0.20$.

初始条件为: $x_H = 0.0$ m,$y_H = 0.399 1$ m, $\theta _1 = 0.032 9$ rad,$\theta _2 =0.017 0$ rad, $\dot {x}_H = 0.236 2$ m/s,$\dot {y}_H = 0.006 0$ m/s, $\dot {\theta }_1 = -0.590 9$ rad/s, $\dot {\theta }_2 = 2.386 2$ rad/s, $z_1 = 0$ m ,$z_2 = 0$ m.

通过数值仿真,图5(a)给出了圆弧足被动行走器的腿1、腿2与$y$轴夹角$\theta _1$,$\theta _2$的相图;图5(b)为$v_r$,$F_N$,$F_s $的时间历程图,图5(c)为图5(b)中局部区域D的放大图.在图5(c)中标注为slip的区间,支撑足与地面接触时发生打滑;在图5(c)中标注为stick的区间,支撑足与地面间无滑动,为黏滞状态;在图5(c)中标注为no contact的区间,表示腿部处于非接触摆动状态.

图5

图5   被动行走器的黏滞与滑移现象

Fig. 5   Stick-slip phenomenon of passive walker


可以看出,LuGre摩擦模型可以很好地描述被动行走器的支撑足与地面间的滑动摩擦力和静摩擦力.

2.3 算例3动摩擦系数对被动行走器步态的影响

文献[16,17,18,19,20]中指出:斜面倾角的变化会导致2-连杆被动行走器的产生倍周期分岔或混沌运动.文献[23]中在研究圆弧足被动行走器时也发现了这些现象,同时他们还研究了摆动腿质心位置、圆弧足半径、圆弧足与地面间的接触刚度和接触阻尼等参数等对被动行走器动力学特性的影响,如髋关节$H$点沿斜面的平均速度$V$、行走一步所用的时间$T$、步幅$A$ (两腿间的最大夹角),以及作用于支撑足上的最大法向接触力$F_{\max} $等.

在下面的算例中,将通过数值仿真分析圆弧足与地面间的摩擦系数和滚阻系数对被动行走器动力学特性(如:$V$,$T$,$A$和$F_{\max } $)的影响.

本算例分析圆弧足与地面间的摩擦系数对被动行走器动力学特性的影响.仿真所用的参数及初始条件如下,未列出参数和算例1相同.

系统参数:$J_1 = J_2 = 6\times 10^{-3}$ kg$\cdot$m$^2$,$\gamma = 0.11$ rad,$\zeta _s = 0$ m.

初始条件:$x_H = 0.0$ m,$y_H = 0.373 7$ m,$\theta _1 = 0.389 3$ rad,$\theta _2 = -0.410 9$ rad,$\dot {x}_H = 0.236 2$ m/s,$\dot {y}_H = 0.316 2$ m/s,$\dot {\theta }_1 = -2.114 1$ rad/s,$\dot {\theta }_2 = -0.647 1$ rad/s,$z_1 = 0$ m,$z_2 = 0$ m.

通过数值仿真发现,当$\mu <0.352$时,被动行走器会打滑摔倒,难以持续行走;当摩擦系数较大时,被动行走器的行走特征几乎不变.在此,通过数值仿真详细分析动摩擦系数$\mu \in[0.35,0.40]$对被动行走器动力学特性$V,T,A,F_{\max } $的影响.仿真时间历程为200 s,取后50 s (稳态解)的数据进行分析,数值结果如图6所示.

图6

图6   $V,T,A,F_{\max } $与$\mu $的关系

Fig. 6   Relationship between $V,T,A,F_{\max } $ and $\mu $


图6(a)~图6(d)分别给出了被动行走器动力学特性$V,T,A,F_{\max}$受动摩擦系数的影响.从图中可以看出,动摩擦系数的变化对这4个量的影响很小,速度在0.75 m/s附近,周期约0.85 s,腿部摆动幅度约1.125 rad.

摩擦系数对行走器步态的$V,T,A,F_{\max } $的影响很小.但进一步的仿真结果表明:当摩擦系数逐步变小时,被动行走器的动力学特性会发生一项更显著的变化 (分岔现象).

取圆弧足与地面接触瞬时作为映射截面,图7(a)和图7(b)分别给出了被动行走器双腿与$y$轴的夹角$\theta_1^\ast ,\theta _2^\ast $ 及其角速度$\dot {\theta }_1^\ast ,\dot{\theta }_2^\ast $ 随动摩擦系数变化的分岔图.其中在PD-1、PD-2所标注的参数下,被动行走器的运动发生倍周期分岔.在PD-1点处其运动从周期-1步态变为周期-2步态,在PD-2点处其运动从周期-2步态变为周期-4步态.

图7

图7   动摩擦系数$\mu $导致的倍周期分岔现象

Fig. 7   Period-doubling bifurcation caused by the dynamic friction coefficient $\mu $


通过数值仿真,图8给出了动摩擦系数$\mu $分别为0.38,0.36和0.354时被动行走器髋关节纵坐标$y_H$的相图. 可以看出:当$\mu = 0.38$时,被动行走器具有无滑动的周期-1步态,如图8(a)所示;当$\mu= 0.36$时,该被动行走器具有单腿有滑动的周期-2步态,如图8(b)所示;当$\mu =0.354$时,该被动行走器具有单腿有滑动的周期-4步态,如图8(c)所示.其中图8(b)与图8(c)中红色线框区域为发生打滑区域.这是由于当摩擦系数减小,圆弧足与斜面间的接触点无法提供足够的摩擦力,发生打滑,导致了腿1、腿2的运动不一致,存在"大小步"现象.

图8

图8   髋关节$H$点纵坐标$y_H $的相图

Fig. 8   Phase diagram of $y_H $


2.4 算例4滚阻系数对被动行走器步态的影响

本算例分析圆弧足与地面间的滚阻系数对被动行走器动力学特性的影响,部分仿真参数如下,未列出的参数同算例1中对应参数.

系统参数:$J_1 = J_2 = 9.6\times 10^{-3}$ kg$\cdot$m$^2$,$\gamma = 0.02$ rad,$\mu = 0.40$,$\mu _0= 0.50$.

初始条件:$x_H = 0.0$ m,$y_H = 0.395 0$ m,$\theta _1 = 0.165 5$ rad,$\theta _2 = -0.247 9$ rad,$\dot {x}_H = 0.497 1$ m/s,$\dot {y}_H = 0.048 6$ m/s,$\dot {\theta }_1 = -1.256 5$ rad/s,$\dot {\theta }_2 = 0.005 2$ rad/s,$z_1 = 0$ m,$z_2 = 0$ m.

在本算例中,圆弧足与地面间的滚阻系数的取值范围为$\zeta \in [0.0 mm, 5.0 mm]$.设定仿真时间200 s,取后50 s (稳态解)的数据进行分析. 分析结果如图9所示.

图9(a)给出了髋关节$H$点沿斜面的平均速度$V$随滚阻系数的变化曲线,$V$随滚阻系数的增大而减小;图9(b)给出了每行走一步所用的时间$T$随滚阻系数的变化曲线,$T$随滚阻系数的增大而增大;图9(c)给出了步幅$A$随滚阻系数的变化曲线,$A$随滚阻系数的增大而减小;图9(d)给出了足地间的最大法向接触力$F_{\max} $随滚阻系数的变化曲线,$F_{\max } $随滚阻系数的增大而减小.

图9

图9   不同滚阻系数下的步态特征: $V, T, A, F_{\max}$

Fig. 9   Gait characteristics under different rolling resistance coefficients: $V, T, A, F_{\max}$


不同于摩擦系数,滚阻系数对行走器的步态特征 ($V,T,A,F_{\max } $)的影响很大. 下面比较不同滚阻系数下被动行走器的运动状态.

图10(a)和图10 (b)分别给出了滚阻系数 $\zeta $为0.0 mm, 3.0 mm,5.0 mm时被动行走器髋关节纵坐标$y_H$的相图以及双腿摆动角度$\theta _1 ,\theta _2 $的相图.从图中可以看出,虽然滚阻系数改变了,被动行走器仍以周期-1的步态行走.只是随着滚阻系数的增大,双腿摆动 角的幅值和角速度幅值都逐渐减小.

图10

图10   不同滚阻系数下的$(y_H, \dot y_H)$与$(\theta,\dot\theta)$相图

Fig.10   Phase diagram $(y_H, \dot y_H)$ and $(\theta,\dot\theta)$ under different rolling resistance coefficients


3 结论

本文首先采用扩展的赫兹接触模型、LuGre摩擦模型以及滚阻模型描述圆弧足与地面的接触力,然后通过第二类Lagrange方程得到

了被动行走器的动力学方程,最后通过数值仿真分析了摩擦系数和滚阻系数对被动行走器的运动特性的影响.

本文研究结果表明:

(1)与库伦干摩擦模型相比,采用LuGre摩擦模型描述足地间的摩擦,可降低判断stick-slip运动状态的计算成本,易于编程计算,但该模型的某些参数不易获取.

(2)当足地间的摩擦系数较大时,足地接触时无相对滑动,被动行走器的动力学特性不会随摩擦系数的改变而改变,但当摩擦系数较小时,足地间存在stick-slip切换,摩擦系数的变化对髋关节$H$点沿斜面的平均速度$V$、每行进一步所需的时间$T$、行进步幅$A$,以及足地间的最大法向接触力$F_{\max }$的影响很小;但会改变其步态类型,随着摩擦系数的不断减小,其行走步态会由周期-1步态变化为周期-2步态、由周期-2步态变化为周期-4步态,当摩擦系数减小到一定程度时,会产生混沌运动或摔倒.

(3) 滚阻系数对被动行走器某些动力学特性 ($V$,$T$,$A$,$F_{\max }$)的影响较大,但在足地间无滑动的情况下,不会改变其行走步态,无倍周期分岔现象.

后续有必要对含膝关节的被动行走器 (或欠驱动行走器) 进行研究.研究膝关节、髋关节处的非光滑因素对双足行走过程的影响,为双足机器人的设计和精度提高等提供有价值的指导意见.

参考文献

McGeer.

Passive dynamic walking

Int J of Robotics Research, 1990,9(9):62-82

[本文引用: 1]

Collins S, Ruina A, Tedrake R , et al.

Efficient bipedal robots based on passive-dynamic walkers

Science, 2005,307(5712):1082-1085

[本文引用: 2]

Qi F, Bi L, Wang T , et al.

The experimental study on the contact process of passive walking

Acta Mechanica Sinica, 2012,28(4):1163-1168

[本文引用: 1]

Liu N, Li J, Wang T .

Passive walker that can walk down steps: simulations and experiments

Acta Mechanica Sinica, 2008,24(5):569-573

[本文引用: 1]

Collins SH, Wisse M, Ruina A .

A three-dimensional passive-dynamic walking robot with two legs and knees

The International Journal of Robotics Research, 2001,20(7):607-615

Chevallereau C, Abba G, Aoustin Y , et al.

RABBIT: A testbed for advanced control theory

IEEE Control Systems Magazine, 2003,23(5):57-79

[本文引用: 1]

Wisse M, Keliksdal G, Frankenhyyzen JV , et al.

Passive-Based walking robot

Robotics & Automation Magazine IEEE, 2007,14(2):52-62

Ames AD .

First steps toward underactuated human-inspired bipedal robotic walking

IEEE, 2012,2(31):1011-1017

[本文引用: 1]

宋夙冕 .

双足机器人高效行走的自适应控制研究. [博士论文]

杭州:浙江大学, 2018

[本文引用: 2]

( Song Sumian .

Adaptive walking control for under-actuated biped robots. [PhD Thesis]

Hangzhou: Zhejiang University, 2018 (in Chinese))

[本文引用: 2]

葛一敏, 袁海辉, 甘春标 .

基于步态切换的欠驱动双足机器人控制方法

力学学报, 2018,50(4):871-879

[本文引用: 1]

( Ge Yimin, Yuan Haihui, Gan Chunbiao .

Control method of an under-actuated biped robot based on gait transition

Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2018,50(4):871-879 (in Chinese))

[本文引用: 1]

Goswami A, Thuilot B, Espiau B .

A study of the passive gait of a compass-like biped robot

The International Journal of Robotics Research, 2016,17(12):1282-1301

[本文引用: 1]

Garcia M, Chatterjee A, Ruina A .

Efficiency, speed, and scaling of two-dimensional passive-dynamic walking

Dynamics & Stability of Systems, 2000,15(2):75-99

Asano F .

Fully analytical solution to discrete behavior of hybrid zero dynamics in limit cycle walking with constraint on impact posture

Multibody System Dynamics, 2015,35(2):191-213

Asano F .

Stability analysis of underactuated compass gait based on linearization of motion

Multibody System Dynamics, 2015,33(1):93-111

Garcia M, Chatterjee A, Ruina A , et al.

The simplest walking model: stability, complexity, and scaling

Journal of Biomechanical Engineering, 1998,120(2):281

[本文引用: 1]

Gritli H, Belghith S .

Bifurcations and chaos in the semi-passive bipedal dynamic walking model under a modified OGY-based control approach

Nonlinear Dynamics, 2016,83(4):1955-1973

[本文引用: 2]

Montazeri Moghadam S, Sadeghi Talarposhti M, Niaty A , et al.

The simple chaotic model of passive dynamic walking

Nonlinear Dynamics, 2018,93(3):1183-1199

[本文引用: 1]

Gritli H, Belghith S .

Walking dynamics of the passive compass-gait model under OGY-based control: Emergence of bifurcations and chaos

Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2017,47(11):308-327

[本文引用: 1]

Gritli H, Belghith S .

Walking dynamics of the passive compass-gait model under OGY-based state-feedback control: Analysis of local bifurcations via the hybrid Poincaré map.

Chaos, Solitons & Fractals, 2017,98(3):72-87

[本文引用: 1]

Gritli H, Belghith S .

Walking dynamics of the passive compass-gait model under OGY-based state-feedback control: Rise of the Neimark-Sacker bifurcation.

Chaos, Solitons & Fractals, 2018,110(3):158-168

[本文引用: 2]

Gamus B, Or Y .

Dynamic bipedal walking under stick-slip transitions

SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 2015,14(2):609-642

[本文引用: 1]

Zheng X, Wang Q .

LCP method for a planar passive dynamic walker based on an event-driven scheme

Acta Mechanica Sinica, 2018,34(3):578-588

[本文引用: 6]

Qi F, Wang T, Li J .

The elastic contact influences on passive walking gaits

Robotica, 2011,29(5):787-796

[本文引用: 2]

段文杰, 王琪, 王天舒 .

圆弧足被动行走器非光滑动力学仿真研究

力学学报, 2011,43(4):765-774

[本文引用: 2]

( Duan Wenjie, Wang Qi, Wang Tianshu .

Simulation research of a passive dynamic walker with round feet based on non-smooth method

Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2011,43(4):765-774 (in Chinese))

[本文引用: 2]

富立, 胡鸿奎, 富腾 .

多体系统接触碰撞问题的牛顿-欧拉线性互补方法

力学学报, 2017,49(5):1115-1125

[本文引用: 1]

( Fu Li, Hu Hongkui, Fu Teng .

Contact-impact analysis in multi-body systems based on newton euler LCP approach

Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2017,49(5):1115-1125 (in Chinese))

[本文引用: 1]

Fan X, Walker PD, Wang Q .

Modeling and simulation of longitudinal dynamics coupled with clutch engagement dynamics for ground vehicles

Multibody System Dynamics, 2018,43(2):153-174

[本文引用: 3]

张润森, 王琪 .

浮放物体平面多刚体动力学建模与算法研究

力学学报, 2017,49(6):1370-1379

( Zhang Runsen, Wang Qi .

Research on modeling and numerical method of free standing body on planar rigid multibody dynamics

Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2017,49(6):1370-1379 (in Chinese))

王晓军, 王琪 .

含摩擦与碰撞平面多刚体系统动力学线性互补算法

力学学报, 2015,47(5):814-821

[本文引用: 1]

( Wang Xiaojun, Wang Qi .

A LCP method for the dynamics of planar multibody systems with impact and friction

Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2015,47(5):814-821 (in Chinese))

[本文引用: 1]

Skrinjar L, Slavič J, Boltežar M .

A review of continuous contact-force models in multibody dynamics

International Journal of Mechanical Sciences, 2018,145(9):171-187

[本文引用: 1]

Johanastrom K, Canudas-De-Wit C .

Revisiting the LuGre friction model

IEEE Control Systems Magazine, 2008,28(6):101-114

[本文引用: 1]

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