DESIGN OF ELASTICALLY ISOTROPIC PLA LATTICE STRUCRURE IN FUSED FILAMENT FABRICATION CONSIDERING MATERIAL ANISOTROPY
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摘要: 增材制造技术的兴起激发了国内外学者对结构创新设计的热情. 然而, 增材制造材料的各向异性为结构力学性能的预测与设计带来了一定的困难. 为了准确预测熔丝制造聚乳酸(PLA)材料和点阵结构的弹性性能, 并实现点阵结构的弹性各向同性设计, 首先, 本文采用正交各向异性弹性模型来描述PLA材料的弹性行为, 通过实验和计算得到了正交各向异性模型需要的9个独立的弹性常数. 然后, 设计了一种力学性能可调的二维组合桁架点阵结构, 基于代表体元法, 在不考虑材料各向异性的情况下推导出了其平面内等效弹性性能的解析表达式及弹性各向同性条件. 最后, 根据PLA材料的各向异性调整点阵结构内部杆件的弹性模量和厚度, 并基于代表体元法重新推导出了点阵结构平面内等效弹性性能的解析表达式及其弹性各向同性条件. 研究结果表明, 正交各向异性弹性模型适用于描述熔丝制造PLA材料的弹性行为, 基于该模型能够准确预测PLA材料在任意方向上的弹性模量. 在预测与设计熔丝制造点阵结构的力学性能时需要充分考虑材料的各向异性. 在考虑材料的各向异性之后, 基于代表体元法调整点阵结构的几何尺寸, 能够实现部分点阵结构的弹性各向同性设计.Abstract: The rise of additive manufacturing technology stimulates researchers' enthusiasm for structural innovative design. However, the anisotropy of additive manufactured materials poses certain difficulties for the prediction and design of structural mechanical properties. To accurately predict the elastic properties of polylactic acid (PLA) materials and lattice structures made in fused filament fabrication and realize the elastically isotropic design of lattice structures, firstly, this paper adopts an orthogonal anisotropic elastic model to describe the elastic behavior of the PLA materials, and obtains the nine independent elastic constants needed for the orthogonal anisotropic model through experiments and calculations. Then, a 2D compound truss lattice structure with tunable mechanical properties is designed, and its analytical expressions for the in-plane effective elastic properties and elastic isotropy condition are derived based on the representative volume element (RVE) method without considering the material anisotropy. Finally, the elastic modulus and thickness of the struts in the lattice structure are adjusted according to the anisotropy of the PLA material, and the analytical expressions of the in-plane elastic properties and elastic isotropy condition of the lattice structur are derived based on the RVE method. The results show that the orthogonal anisotropic elastic model is suitable for describing the elastic behavior of fused filament fabricated PLA materials, and the elastic modulus of PLA materials in arbitrary direction can be accurately predicted based on this model. The anisotropy of the material needs to be fully considered when predicting and designing the mechanical properties of the fused filament fabricated lattice structures. After considering the material anisotropy, the elastic isotropy design of part of lattice structures can be realized by adjusting their geometric sizes based on the RVE method.
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引 言
诸多国家重大工业装备及其极端服役环境均对高性能、轻量化的结构提出了迫切需求. 材料-结构一体化设计是获得高性能、轻量化结构最有效的途径之一. 以增材制造技术为代表的先进制造技术的快速发展, 极大地拓展了装备结构的选材和创新设计空间[1-4], 为实现材料-结构一体化设计提供了最有力的保障. 轻质点阵结构因具有极大的可设计空间和多功能特性已广泛应用于航空航天、船舶汽车等工程领域[5-7]. 然而, 目前多数点阵结构的力学性能呈现明显的各向异性, 它们仅在部分方向上具有较高的承载能力[8]. 结构的各向异性在许多应用中被视为一种有害的特性, 特别是当各向异性结构被用作结构构件或者能量吸收材料时, 由于工程中的载荷往往存在不确定性, 在这种情况下自然不希望结构部件在部分方向上的力学性能明显较弱[9-10]. 此外, 由于增材制造技术大多遵循“点-线-面-体”的“增材”制造过程, 材料在制备成形过程中往往会发生多种相变, 使得最终材料内部存在许多孔洞和裂纹等缺陷, 力学性能上也呈现不同程度的各向异性[4, 11-17], 从而增加了增材制造材料与结构力学性能预测与设计的难度.
熔丝制造技术, 也称为熔融沉积成型技术, 以成本低、操作方便以及原材料种类多而广泛使用. 国内外学者围绕熔丝制造材料力学性能各向异性开展了广泛研究工作. Zou等[18]采用各向同性和横观各向同性模型来预测不同打印角度下ABS材料的力学性能, 发现横观各向同性模型预测得到的结果更为准确. Xia等[19]和徐可[20]基于横观各向同性假设建立了ABS材料的弹塑性本构模型并通过实验测试和数值仿真验证了模型的准确性. 另有研究表明, 对于熔丝制造材料, 采用正交各向异性模型比横观各向同性模型更为合适[21-23]. Casavola等[21]强调了熔丝制造PLA材料和ABS材料的正交各向异性力学行为, 并采用经典层合板理论预测他们的力学行为. Dai等[22]将熔丝制造PLA材料视为正交各向异性复合材料, 并推导出了任意方向上材料弹性模量和屈服强度的理论预测公式. Biswas等[23]基于熔丝制造PLA材料的微观CT模型, 结合数值均匀化方法得到了材料正交各向异性弹性本构矩阵, 并指出材料的孔隙率越大, 其各向异性程度越明显. 此外, 由于熔丝制造的工艺参数对其打印材料的性能有较大的影响[16], 通过调整工艺参数能够有效调整成形材料的各向异性[24].
目前, 已有大量工作围绕点阵结构的各向同性设计或各向异性控制展开[8-10, 25-32]. 在工程中使用各向同性点阵结构, 不仅可以不用考虑载荷可能出现的方向, 还可以避免装配偏差带来的影响. 目前, 获得各向同性点阵结构或者调整点阵结构各向异性程度的方法大致可分为两类. 一类是基于算法通过形状或者拓扑优化来获得弹性各向同性点阵结构[25-27]. 另一类主要是基于研究者的经验, 在固定的单胞结构构型下, 通过使用均匀化方法[9, 33-35]调整点阵结构的几何参数和材料的性能参数来实现结构弹性性能的各向同性设计或者是各向异性控制. 主要设计方法包括将两个或者多个各向异性互补的单胞结构进行组合[8-10, 28], 采用变直径杆[29]或者空心杆[30]代替桁架结构中的直杆, 或者在单胞结构的不同部位使用不同性能的材料[31-32]等. 然而, 上述研究中大多假设点阵结构的母体材料是理想各向同性的, 很少考虑到实际成形材料的各向异性, 从而导致理论预测与设计结果与实验结果之间存在较大的差距. 因此, 在实际工程中使用增材制造材料或点阵结构时, 需要充分考虑材料的各向异性带来的一系列影响.
本文基于正交各向异性弹性假设, 结合实验建立了熔丝制造PLA材料的弹性模型, 推导出了成形后PLA材料任意方向上弹性模量的理论预测公式. 设计了一种力学性能可调的二维组合桁架点阵结构, 考虑材料的各向异性, 基于代表体元法, 推导出了点阵结构的弹性性能的解析表达式和弹性各向同性条件, 结合实验验证了预测结果的准确性和设计的有效性, 以期为熔丝制造材料和点阵结构力学性能的预测与设计提供参考.
1. 材料与实验
1.1 3D打印机器、材料与微观结构
本文使用Raise3D Pro2 桌面级3D打印机来制备所有实验所需的试件, Raise3D Pro2 配备电动双喷嘴挤出系统, 可以同时打印两种不同的材料, 为了使打印出的点阵结构效果更好, 选取 0.2 mm 直径的喷嘴, 并且在打印过程中使用单一喷嘴模式.
选取上海Ploymaker公司生产的Polylite PLA 材料(直径1.75 mm)作为打印材料. 在打印过程中, PLA细丝在喷嘴中熔融, 随着喷嘴在设置好的路线上以熔丝的形式挤出并凝固成型, 由点到线、由线到面, 逐层累加形成实体. 打印试件的模型在SolidWorks 2014® 中创建, 并以stl格式输出到切片软件中设置打印参数, 由于工艺参数对打印材料力学性能影响较大, 整个打印过程中需要保持工艺参数恒定, 具体的工艺参数设置列于表1.
图1是熔丝制造成形后PLA材料的扫描电镜(SEM) 结果, 可以清楚观测到成形后PLA材料的微观结构. 如图1所示, 成形熔丝呈现椭圆状, 这是重力作用和下一层打印时喷嘴的挤压导致. 熔丝之间存在明显的气隙, 气隙的分布在不同方向上差距明显. 因此, 成形后PLA材料的三维微观结构模型可以简化为图2, 并在图1和图2中定义了三个材料方向, 包括熔丝方向、层内方向和重力方向, 图1中的熔丝方向垂直于图片. 由图1和图2可以看出, 这三个方向相互垂直, 且PLA材料的微观结构在这三个方向上具有明显的差异, 因此材料在这三个方向上的力学性能可能会有一定的差异.
表 1 熔丝制造工艺参数Table 1. Process parameters of fused filament fabricationProcess parameters Value nozzle temperature/℃ 210 bed temperature/℃ 60 printing speed/(mm·s−1) 60 fill rate/% 99 layer thickness/mm 0.1 fill angle/(°) 0 ![]()
图 1 熔丝制造PLA材料微观结构Figure 1. Microstructure of PLA material in fused filament fabrication![]()
图 2 熔丝制造PLA材料微观结构简化模型Figure 2. Simplified model of microstructure of PLA material in fused filament fabrication1.2 拉伸试件尺寸与方向
为了通过实验获得成形后PLA材料的力学性能, 参考ISO 527-2-2012 (国际标准, 塑料拉伸性能的测定, 第二部分: 模塑和挤塑塑料的试验条件), 设计了单轴拉伸试件, 试件的几何尺寸如图3所示. 根据PLA材料的微观结构, 可以采用正交各向异性弹性模型来描述材料的弹性行为, 因此需要通过实验测得材料九个独立的弹性常数, 它们分别是
${E_1}$ ,${E_2}$ ,${E_3}$ ,$ {v_{12}} $ ,$ {v_{13}} $ ,$ {v_{23}} $ ,$ {G_{12}} $ ,$ {G_{13}} $ 和$ {G_{23}} $ . 为了通过单轴拉伸实验测得这九个独立的弹性常数, 设计了如图4所示的九个不同方向上的试件, 它们分别位于A, B和C三个平面内. 同时, 在图4中定义了两个三维直角坐标系, 它们是全局坐标系($ 1 - 2 - 3 $ )和局部坐标系($ x - y - z $ ).![]()
图 3 基于ISO 527-2-2012的拉伸试件的尺寸Figure 3. Dimensions of tensile specimen based on ISO 527-2-2012![]()
图 4 不同方向上打印的拉伸试件、全局坐标系和局部坐标系示意图Figure 4. Schematic diagram of tensile specimens printed in different directions, global, and local coordinate systems1.3 弹性常数
PLA材料的弹性模量和泊松比可以直接通过单轴拉伸实验测得, 单轴拉伸实验在岛津电子万能试验机(AGS-X)上进行, 拉伸的速度设为1 mm/min. 在本文中, 针对不同的弹性常数, 采用两种方式来获取应变. 一是采用引伸计记录单轴拉伸过程中标定段的位移, 如图5(a) 所示, 这种方式可以获得试件在拉伸方向上的弹性模量. 二是采用应变片 (35 BHI120-3 BB-E-L30) 记录单轴拉伸过程中试件在拉伸方向及其垂直方向上的应变, 如图5(b) 所示, 这种方式可以获得试件的泊松比. 对于图4中不同方向的试件, 通过单轴拉伸实验可以获得对应的弹性常数, 对应关系列于表2中. 此外, 若假设成形后PLA材料是正交各向异性的, 其弹性模量与泊松比需要满足以下约束条件
表 2 试件与弹性常数对应关系Table 2. Correspondence between specimen and elastic constantsElastic modulus Specimens Poisson's ratio Specimens ${E_1}$ A-3, C-1 $ {v_{12}} $/$ {v_{21}} $ A-3 / A-1 ${E_2}$ A-1, B-3 $ {v_{13}} $/$ {v_{31}} $ C-3 / C-1 ${E_3}$ B-1, C-3 $ {v_{23}} $/$ {v_{32}} $ B-3 / B-1 $$ \frac{{{v_{ji}}}}{{{E_i}}} = \frac{{{v_{ij}}}}{{{E_j}}}\;\;\;\;\left( {i,j = 1,2,3;\;\;i \ne j} \right) $$ (1) $$ \left| {{v_{ij}}} \right| < {\left( {\frac{{{E_j}}}{{{E_i}}}} \right)^{1/2}}\;\;\;\left( {i,j = 1,2,3;\;\;i \ne j} \right) $$ (2) 式中,
$ v $ 为泊松比,$E$ 为弹性模量.材料的剪切模量难以通过拉伸标准试件直接获得, 对于正交各向异性材料, 弹性常数间的关系较为复杂, 公式
${G_{ij}} = {E_i}/\left[2(1 + {v_{ij}})\right]\left( {i,j = 1,2,3;\;\;i \ne j} \right)$ 已不再适用. 由试件的尺寸可知, 在单轴拉伸下, 试件处于平面应力状态. 因此, 正交各向异性材料的剪切模量可以由以下公式[24]得到$$ {G_{ij}} = {\left( {\frac{4}{{E_{xy,yz,xz}^{45}}} - \frac{1}{{{E_i}}} - \frac{1}{{{E_j}}} + \frac{{2{v_{ji}}}}{{{E_i}}}} \right)^{ - 1}} $$ (3) 式中,
$ E_{xy,yz,xz}^{45} $ 分别代表试件A-2, B-2, 和C-2的弹性模量, 它们可以通过单轴拉伸实验测得.除了如图4所示的九个不同方向上的试件之外, 还额外设计了其他三组不同打印方向的试件并进行制备和单轴拉伸测试, 以验证理论模型的准确性, 为了保证实验结果的可靠性, 每组试件制备了五个, 如图3所示的拉伸试件一共制备了60个.
2. 弹性力学模型与理论预测公式
2.1 正交各向异性弹性模型
由上节的分析可知, 成形后PLA材料在熔丝方向, 层内方向和重力方向上的力学性能有一定的差异, 且这三个方向互相垂直. 因此, 本节建立了熔丝制造PLA材料的正交各向异性弹性模型.
对于正交各向异性材料, 其弹性性能的本构关系如下
$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _1}} \\ {{\varepsilon _2}} \\ {{\varepsilon _3}} \\ {{\gamma _{23}}} \\ {{\gamma _{13}}} \\ {{\gamma _{12}}} \end{array}} \right] = {\boldsymbol{S}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _1}} \\ {{\sigma _2}} \\ {{\sigma _3}} \\ {{\tau _{23}}} \\ {{\tau _{13}}} \\ {{\tau _{12}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_{11}}}&{{S_{12}}}&{{S_{13}}}&{}&{}&{} \\ {{S_{21}}}&{{S_{22}}}&{{S_{23}}}&{}&{}&{} \\ {{S_{31}}}&{{S_{32}}}&{{S_{33}}}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{{S_{44}}}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{{S_{55}}}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&{{S_{66}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _1}} \\ {{\sigma _2}} \\ {{\sigma _3}} \\ {{\tau _{23}}} \\ {{\tau _{13}}} \\ {{\tau _{12}}} \end{array}} \right] $$ (4) 式中,
$ {\boldsymbol{S}} $ 是柔度矩阵,$ {S_{11}}{{ = }}\dfrac{1}{{{E_1}}} $ ,$ {S_{22}}{{ = }}\dfrac{1}{{{E_2}}} $ ,$ {S_{33}}{{ = }}\dfrac{1}{{{E_3}}} $ ,${S_{12}}{{ = }}{S_{21}}{{ = }} - \dfrac{{{v_{12}}}}{{{E_2}}} = - \dfrac{{{v_{21}}}}{{{E_1}}}$ ,${S_{13}}{{ = }}{S_{31}}{{ = }} - \dfrac{{{v_{13}}}}{{{E_3}}} = - \dfrac{{{v_{31}}}}{{{E_1}}}$ ,$ {S_{23}}{{ = }} $ $ {S_{32}}{{ = }} - \dfrac{{{v_{23}}}}{{{E_3}}} = - \dfrac{{{v_{32}}}}{{{E_2}}} $ ,$ {S_{44}}{{ = }}\dfrac{1}{{{G_{23}}}} $ ,$ {S_{55}}{{ = }}\dfrac{1}{{{G_{13}}}} $ ,$ {S_{66}}{{ = }}\dfrac{1}{{{G_{12}}}} $ .由于3D打印技术的灵活性, 设计好的模型输出到切片软件后可以旋转到任意的位置进行打印, 并能够对试件进行平移、缩放、旋转等操作, 因此, 通过全局坐标系下测得的材料的本构模型去计算任意局部坐标系下材料的力学性能具有重要意义. 本节采用Bond变换矩阵[36], 首先, 将全局坐标系 (
$ 1 - 2 - 3 $ ) 下测得的材料的柔度矩阵转换到局部坐标系 ($ x - y - z $ ), 然后将柔度矩阵求逆得到局部坐标系下材料的刚度矩阵, 最后基于局部坐标系下材料的刚度矩阵, 得到材料在任意方向上弹性模量的预测公式.图6展示了由全局坐标系 (
$ 1 - 2 - 3 $ ) 转换到局部坐标系 ($ x - y - z $ ) 的过程, 首先, 全局坐标系 ($ 1 - 2 - $ $ 3 $ ) 绕着3轴旋转角度$ \varphi $ , 变为$ {x'} - {y'} - {z'} $ 坐标系. 然后,$ {x'} - {y'} - {z'} $ 坐标系再绕着$ {y'} $ 轴旋转角度$ \theta $ , 变为局部坐标系$ x - y - z $ . 由全局坐标系转换到局部坐标系的方式有很多, 本节介绍的只是其中一种. 全局坐标系 ($ 1 - 2 - 3 $ ) 与局部坐标系 ($ x - y - z $ ) 之间的转换关系可由坐标之间的方向余弦来表示, 按照如图6所示的转换顺序得到的方向余弦矩阵为![]()
图 6 全局坐标系转换到局部坐标系示意图Figure 6. Diagram of transformation from global to local coordinate system$$ \begin{split} {{{a}}_{ij}} =& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi }&{\sin \varphi }&{} \\ {{{ - }}\sin \varphi }&{\cos \varphi }&{} \\ {}&{}&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{}&{ - \sin \theta } \\ {}&1&{} \\ {\sin \theta }&{}&{\cos \theta } \end{array}} \right] \hfill \\ {\text{ = }}&\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi \cos \theta }&{\sin \varphi }&{ - \cos \varphi \sin \theta } \\ {{{ - }}\sin \varphi \cos \theta }&{\cos \varphi }&{\sin \varphi \sin \theta } \\ {\sin \theta }&0&{\cos \theta } \end{array}} \right] \end{split} $$ (5) 式中,
${{{a}}_{ij}}\left( {i,j = 1,2,3} \right)$ 是方向余弦.材料在局部坐标系下的柔度矩阵
$ {\boldsymbol{\bar S}} $ 与全局坐标系下的柔度矩阵$ {\boldsymbol{S}} $ 有以下关系[37-38]$$ {\boldsymbol{\bar S}}{\text{ = }}{{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}{\boldsymbol{S}}{\left( {{{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}} \right)^{\text{T}}} $$ (6) 式中矩阵
$ {\boldsymbol{M}} $ 是Bond应力变换矩阵[36],$ {{\boldsymbol{M}}^{ - 1}} $ 是矩阵$ {\boldsymbol{M}} $ 的逆,$ {\left( {{{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}} \right)^{\text{T}}} $ 表示矩阵$ {{\boldsymbol{M}}^{ - 1}} $ 的转置, 矩阵$ {\boldsymbol{M}} $ 可以用方向余弦表示为$$ {\boldsymbol{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}^2}&{{a_{12}}^2}&{{a_{13}}^2}&{2{a_{12}}{a_{13}}}&{2{a_{11}}{a_{13}}}&{2{a_{11}}{a_{12}}} \\ {{a_{21}}^2}&{{a_{22}}^2}&{{a_{23}}^2}&{2{a_{22}}{a_{23}}}&{2{a_{21}}{a_{23}}}&{2{a_{21}}{a_{22}}} \\ {{a_{31}}^2}&{{a_{32}}^2}&{{a_{33}}^2}&{2{a_{32}}{a_{33}}}&{2{a_{31}}{a_{33}}}&{2{a_{31}}{a_{32}}} \\ {{a_{21}}{a_{31}}}&{{a_{22}}{a_{32}}}&{{a_{13}}{a_{23}}}&{{a_{22}}{a_{33}} + {a_{23}}{a_{32}}}&{{a_{21}}{a_{33}} + {a_{23}}{a_{31}}}&{{a_{21}}{a_{32}} + {a_{22}}{a_{31}}} \\ {{a_{11}}{a_{31}}}&{{a_{12}}{a_{32}}}&{{a_{33}}{a_{23}}}&{{a_{12}}{a_{33}} + {a_{13}}{a_{32}}}&{{a_{11}}{a_{33}} + {a_{13}}{a_{31}}}&{{a_{11}}{a_{32}} + {a_{12}}{a_{31}}} \\ {{a_{11}}{a_{21}}}&{{a_{12}}{a_{22}}}&{{a_{13}}{a_{33}}}&{{a_{12}}{a_{23}} + {a_{13}}{a_{22}}}&{{a_{11}}{a_{23}} + {a_{13}}{a_{21}}}&{{a_{11}}{a_{23}} + {a_{12}}{a_{21}}} \end{array}} \right] $$ (7) 通过式(5)~式(7) 可以获得材料在任意局部坐标系下的柔度矩阵
$ {\boldsymbol{\bar S}} $ , 结合式(4) 可以求得材料在任意方向上的弹性性能.2.2 实验结果与弹性模量预测公式
通过单轴拉伸实验测得的材料弹性常数和基于式(3) 计算得到的剪切模量的平均值如表3所示, 可以看出, 成形后PLA材料在熔丝方向、层内方向以及重力方向上的弹性模量均有一定的差异, 熔丝方向上PLA材料的弹性模量最大, 重力方向上次之, 层内方向最小. 这是由于在熔丝方向上, 材料的变形主要取决于喷嘴挤出的PLA熔丝的变形, 而材料层内方向和重力方向上的变形能力不仅依赖于PLA熔丝的变形, 还更多地依赖于PLA熔丝之间的粘结. 成形后PLA材料层内方向的弹性模量小于重力方向上的弹性模量的主要原因有两种, 一是在打印过程中喷嘴是沿着重力方向逐层向上打印的, 每一层成形后都会在下一层打印时受到喷嘴的挤压, 这样会使得层间或者是重力方向上PLA熔丝之间的接触面积增大, 结合更加紧密, 粘合增强; 二是由于重力作用, 导致层间或者是重力方向上PLA熔丝之间的接触面积增大, 粘合增强, 这也可以从图1所示的PLA材料微观结构扫描电镜图看出.
表 3 弹性常数测试结果(弹性模量, 泊松比)与计算结果(剪切模量)的平均值Table 3. Average values of measureed (elastic modulus, Poisson’s ratio) and calculated (shear modulus) results of elastic constantsElastic modulus/MPa Shear modulus/MPa average values STD average values STD ${E_1}$ = 2787.43 99.45 $ {G_{12}} $ = 771.93 29.62 ${E_2}$ = 1644.33 57.93 $ {G_{13}} $ = 977.77 28.89 ${E_3}$ = 2442.12 69.33 $ {G_{23}} $ = 793.84 32.65 Poisson's ratio average values STD average values STD $ {v_{12}} $ = 0.22 0.025 $ {v_{21}} $ = 0.39 0.042 $ {v_{13}} $ = 0.29 0.032 $ {v_{31}} $ = 0.33 0.015 $ {v_{23}} $ = 0.36 0.022 $ {v_{32}} $ = 0.34 0.023 经过计算验证发现, 表3中的弹性常数的值满足式(1)和式(2), 具有一定的可靠性. 将弹性常数代入到式(4) 中, 可以获得材料在全局坐标系下的柔度矩阵, 并将其与式(5)~式(8)结合, 可以得到PLA材料在任意局部坐标系下的柔度矩阵. 同时, 也能够得到PLA材料在任意方向上的弹性常数值, 例如以熔丝方向为初始方向, PLA材料任意方向上弹性模量的预测公式可以表示如下
$$ \begin{split} E\left( {\theta {\rm{, }}\;\phi } \right){\rm{ = }}&\dfrac{{\rm{1}}}{{{{{{\bar S}}}_{{\rm{11}}}}}}{\rm{ = }}\\ & [A{\rm{cos}}\left( {{\rm{4}}\theta {\rm{ + 4}}\phi } \right){{ + A\cos}}\left( {{\rm{4}}\theta - {\rm{4}}\phi } \right){{ + B\cos}}\left( {{\rm{4}}\theta {\rm{ + 2}}\phi } \right){\rm{ + }}\\ & {{B\cos}}\left( {{\rm{4}}\theta - {\rm{2}}\phi } \right){{ + C\cos}}\left( {{\rm{4}}\theta } \right){{ + D\cos}}\left( {{\rm{2}}\theta {\rm{ + 4}}\phi } \right){\rm{ + }}\\ & {{D\cos}}\left( {{\rm{2}}\theta - {\rm{4}}\phi } \right) + E{\rm{cos}}\left( {{\rm{2}}\theta {\rm{ + 2}}\phi } \right){{ + E\cos}}\left( {{\rm{2}}\theta - {\rm{2}}\phi } \right){\rm{ + }}\\ & {{F\cos}}\left( {{\rm{2}}\theta } \right){{ + G\cos}}\left( {{\rm{2}}\phi } \right){{ + H\cos}}\left( {{\rm{4}}\phi } \right){{ + I}}]^{-1} \end{split}$$ (8) 式中, 参数A, B, C, D, E, F, G, H和I是常数, 其数值列在表4中.
表 4 公式 (8) 和 (9) 中的参数值Table 4. Values of the constants in Eqs. (9) and (10)Constants Values/MPa−1 Constants Values/MPa−1 $ A $ 4.1216 × 10−7 $ J $ −7.6205 × 10−6 $ B $ −1.6486 × 10−6 $ K $ −1.2470 × 10−4 $ C $ 2.4730 × 10−6 $ L $ 4.9107 × 10−4 $ D $ −1.3738 × 10−6 $ L $ −2.1254 × 10−6 $ E $ 2.4833 × 10−5 $ N $ −2.5363 × 10−4 $ F $ 5.2415 × 10−5 $ O $ 3.8624 × 10−4 $ G $ −7.1734 × 10−5 $ P $ 6.5946 × 10−4 $ H $ −5.6973 × 10−6 $ Q $ 9.9335 × 10−5 $ I $ 4.3618 × 10−4 $ R $ 5.0222 × 10−4 根据式(8) 也可以得到材料任意平面内弹性模量的预测公式, 例如, 在A, B和C三个平面内材料弹性模量的预测公式分别为
$$ \left.\begin{array}{l} E\left(0\text{, }\phi \right)\text=\dfrac{1}{J\mathrm{cos}(4\phi) + K\mathrm{cos}(2\phi) + L} \\ E\left(\dfrac{{\text{π}} }{2}\text{, }\phi \right)\text=\dfrac{1}{M\mathrm{cos}(4\phi) + N\mathrm{cos}(2\phi) + O} \\ E\left(\theta \text{, }\text{ }\dfrac{{\text{π}} }{2}\right)\text=\dfrac{1}{P\mathrm{cos}(4\theta) + Q\mathrm{cos}(2\theta) + R} \end{array}\right\}$$ (9) 式中, 参数J, K, L, M, N, O, P, Q和R是常数, 其数值列在表4中.
根据式(8)和式(9)可以分别绘制出熔丝制造PLA材料弹性模量在空间内的曲面图以及A, B和C平面内的曲线图, 如图7所示, 可以清晰地看出PLA材料弹性模量的各向异性程度及其在不同方向上的大小, 当实际应用中的载荷方向已知时, 能够为最大化的利用材料的性能提供一定的参考.
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7 (a) PLA材料弹性模量在空间内的曲面图; (b)-(d) PLA材料弹性模量分别在A, B和C平面内的曲线图7. (a) Surface diagram of elastic modulus of PLA material in space. (b)-(d) Curves of elastic modulus of PLA material in A, B and C planes, respectively为了验证PLA材料正交各向异性弹性模型以及弹性模量预测公式的准确性, 在制备和拉伸如图4所示九个不同方向的标准试件的同时, 也制备和测试了三组其他不同方向的试件, 它们的测试方向以及测试结果平均值与实验结果的对比在表5中列出. 经过对比, 可以发现实验测得的结果与理论预测的结果吻合良好, 误差均小于8%, 从一定程度上验证了模型的准确性.
表 5 不同方向上PLA材料弹性模量测试结果平均值与预测结果对比Table 5. Comparison of average measured and predicted results of elastic modulus of PLA material in different directionsSpecimens $ \varphi $ $ \theta $ Measured results/MPa Predicted results/
MPaErrors/% average values STD 1 $ \dfrac{{\text{π}} }{6} $ $ \dfrac{{\text{π}} }{4} $ 2418.56 62.24 2482.90 2.66 2 $ \dfrac{{\text{π}} }{3} $ $ \dfrac{{\text{π}} }{4} $ 2230.82 48.35 2122.28 −4.87 3 $ \dfrac{{\text{π}} }{3} $ $ \dfrac{{\text{π}} }{6} $ 1809.61 39.66 1951.77 7.86 3. 弹性各向同性组合桁架点阵结构设计
3.1 组合桁架点阵结构设计
众所周知, 正方形结构具有明显的各向异性, 在其边长方向上具有很高的刚度和强度, 而在其他方向尤其是对角线方向上的刚度和强度很弱. 如图8所示, 将正方形点阵结构先缩放为原来的
$ \sqrt 2 /2 $ , 然后旋转45°, 获得的新的正方形点阵结构在原结构的对角方向上具有较高的刚度和强度, 最后再将新旧两个正方形点阵结构组合, 得到的新的组合点阵结构继承了原来两个正方形点阵结构的优点, 在水平方向、竖直方向以及对角方向均具有较高的刚度和强度. 组合点阵结构单胞的尺寸也如图8所示, 结构的面外厚度为$ b $ . 由之前的研究可知, 通过调整该组合点阵结构的相对厚度($ t_1/t_2 $ ), 能够有效地调整结构力学性能的各向异性[10], 实现该点阵结构的弹性各向同性设计.3.2 等效弹性性能分析与弹性各向同性设计
针对如图8所示的正方形组合桁架点阵结构, 可以采用代表体元法计算其等效弹性性能. 代表体元法是一种常用于计算点阵结构等效弹性性能的均匀化方法, 其计算过程如下: 首先需要从点阵结构中选取一个或者多个单胞作为代表体元, 然后在代表体积元的边界上施加均匀应变或者均匀应力边界条件, 最后基于应变能等效获得点阵结构的等效弹性性能[34]. 根据作者最近的研究, 对于桁架类点阵结构, 可以用代表体元法推导出其弹性性能的解析表达式[35]. 例如, 均匀应变边界条件需要在代表体元的边界上均匀位移, 可以表示为
$$ u\left( x \right){|_\varGamma } = {\varepsilon _0}x{|_\varGamma } $$ (10) 式中
$ \varGamma $ 表示代表体元的边界,$ {\varepsilon _0} $ 表示指定的应变,$ u $ 表示节点位移.根据应变能等效, 点阵结构在1方向上的刚度可以表示为
$$ {D_{11}} = {\boldsymbol{u}}_{11}^{\text{T}}{\boldsymbol{Ku}}_{11}^{}/V $$ (11) 式中,
$ {\boldsymbol{u}}_{11}^{} $ 表示代表体元在1方向上的对应于均匀应变$ {\varepsilon _{11}} $ 的节点位移向量,$ {\boldsymbol{K}} $ 表示代表体元的总体刚度矩阵,$ V $ 表示代表体元的体积.对于如图8所示的单胞结构, 由于其边界上的节点数为2, 因此只需要一个单胞作为代表体元便能得到准确的计算结果[34-35], 其节点编号如图9(a) 所示, 在1方向上施加均匀应变(
$ \varepsilon $ )边界条件, 其对应的节点位移向量为$$ {\boldsymbol{u}}_{11}^{}{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{{\varepsilon _{11}}L}&0&{\dfrac{{{\varepsilon _{11}}L}}{2}}&0&0&0&{{\varepsilon _{11}}L}&0 \end{array}} \right] $$ (12) 由于组合点阵结构的变形模式属于拉伸主导型, 结构在变形过程中由杆件的弯曲以及节点的旋转带来的影响可以忽略不计[39], 在代表体元总体刚度矩阵的组装过程中可以使用桁架单元. 假设使用的材料是各向同性材料, 弹性模量为
$ E $ , 将得到的总体刚度矩阵, 节点位移向量以及代表体元的体积代入式(11) 中, 可以得到在1方向上的等效刚度$$ {D_{11}} = \frac{E}{{2L}}\left( {4{t_1} + \sqrt 2 {t_2}} \right) $$ (13) 同理可以得到代表体元刚度矩阵中其他的参数
$$ {D_{22}} = \frac{E}{{2L}}\left( {4{t_1} + \sqrt 2 {t_2}} \right) \text{, } \;\;{D_{12}} = {D_{21}} = \frac{{\sqrt 2 E{t_2}}}{{2L}} $$ $$ {D_{66}} = \frac{{\sqrt 2 E{t_2}}}{{2L}} $$ (14) 因此, 代表体元也就是单胞结构的弹性模量、剪切模量以及泊松比可以用下列方法求解得到
$$\left.\begin{array}{l} {E_{11}} = \dfrac{{{D_{11}}{D_{22}} - {D_{12}}^2}}{{{D_{22}}}} = \dfrac{{4E{t_1}\left( {\sqrt 2 {t_1} + {t_2}} \right)}}{{L\left( {2\sqrt 2 {t_1} + {t_2}} \right)}}\\ {E_{22}} = \dfrac{{{D_{11}}{D_{22}} - {D_{12}}^2}}{{{D_{22}}}} = \dfrac{{4E{t_1}\left( {\sqrt 2 {t_1} + {t_2}} \right)}}{{L\left( {2\sqrt 2 {t_1} + {t_2}} \right)}} \\ {v_{12}} = \dfrac{{{D_{12}}}}{{{D_{22}}}} = \dfrac{{{t_2}}}{{2\sqrt 2 {t_1} + {t_2}}}\\ {v_{21}} = \dfrac{{{D_{12}}}}{{{D_{11}}}} = \dfrac{{{t_2}}}{{2\sqrt 2 {t_1} + {t_2}}}\\ {G_{12}} = {D_{66}} = \dfrac{{\sqrt 2 E{t_2}}}{{2L}} \end{array}\right\} $$ (15) 根据式(15) 可以求得, 当弹性各向异性参数[40]
$ \omega {\text{ = 2}}{G_{12}}\left( {1{\text{ + }}{v_{12}}} \right)/{E_{11}} = 1 $ 时, 结构的弹性各向同性条件为$ {t_2}{\text{ = }}\sqrt 2 {t_1} $ .对于二维点阵结构, 当其二维平面与A平面保持平行, 且面外方向与重力方向保持一致时, 打印的效果最好. 因此在实际制备过程中按照如图8所示的方向来制备点阵结构, 1方向对应于熔丝方向, 2方向对应于层内方向, A平面内材料的弹性模量对应于式(9) 中的
$ E\left(0, \phi \right) $ . 由图7(b) 可以清晰地看出, 此时材料在熔丝方向上的弹性模量要大于其在层内方向上的弹性模量, 图9(a) 所示的单胞结构在考虑材料的各向异性之后, 其在1方向上的弹性模量必然要大于其在2方向上的弹性模量, 因此可以将单胞结构中水平杆(沿2方向)的厚度增大以弥补差距, 调整之后的单胞结构如图9(b) 所示. 根据上述计算弹性常数的过程可以得到图9(b) 所示单胞结构弹性性能的表达式, 在计算过程中只需要调整结构的总体刚度矩阵, 即调整不同方向上杆件的弹性模量和厚度, 节点位移向量和体积保持不变, 计算结果如下所示$$\tag{16a} {E_{11}} = \frac{{2\sqrt 2 {E_{t2}}{t_2}\left( {{E_{t1}}{t_1} + {E_{t3}}{t_3}} \right) + 8{E_{t1}}{t_1}{E_{t3}}{t_3}}}{{L\left( {\sqrt 2 {E_{t2}}{t_2} + 4{E_{t3}}{t_3}} \right)}} $$ $$ \tag{16b}{E_{22}} = \frac{{2\sqrt 2 {E_{t2}}{t_2}\left( {{E_{t1}}{t_1} + {E_{t3}}{t_3}} \right) + 8{E_{t1}}{t_1}{E_{t3}}{t_3}}}{{L\left( {\sqrt 2 {E_{t2}}{t_2} + 4{E_{t1}}{t_1}} \right)}} $$ $$ \tag{16c}{v_{12}} = \frac{{\sqrt 2 {E_{t2}}{t_2}}}{{\sqrt 2 {E_{t2}}{t_2} + 4{E_{t3}}{t_3}}} $$ $$ \tag{16d} {v_{21}} = \frac{{\sqrt 2 {E_{t2}}{t_2}}}{{\sqrt 2 {E_{t2}}{t_2} + 4{E_{t1}}{t_1}}} $$ $$\tag{16e} {G_{12}} = \frac{{\sqrt 2 {E_{t2}}{t_2}}}{{2L}} $$ (16) 式中,
$ {E_{t1}} $ ,$ {E_{t2}} $ 和$ {E_{t3}} $ 分别表示图9 (b)中厚度为$ {t_1} $ ,$ {t_2} $ 和$ {t_3} $ 的杆件的弹性模量. 根据这三类杆件的方向和式(9), 可以求得$ {E_{t1}}{\text{ = }}2787.43{\text{ MPa}} $ ,$ {E_{t2}}{\text{ = }} 2005.25{\text{ MPa}} $ 以及$ {E_{t3}}{\text{ = }}1644.33\;{\rm{ MPa}}. $ 当如图9(b) 所示的单胞结构的弹性模量在1方向和2方向上相等, 即满足
$ {E_{11}} = {E_{22}} $ , 且其弹性各向异性参数满足$ \omega {\text{ = 2}}{G_{12}}\left( {1{\text{ + }}{v_{12}}} \right)/{E_{11}} = 1 $ 时, 根据式(16), 可以求得考虑了PLA材料弹性各向异性之后点阵结构的弹性各向同性条件, 为$ {t_1}{\text{ = }}\dfrac{{\sqrt 2 {E_{{\text{t3}}}}{t_3}}}{{{E_{t1}}}} = $ $ 0.59{t_3} $ ,$ {t_2}{\text{ = }}\dfrac{{\sqrt 2 {E_{{\text{t3}}}}{t_3}}}{{{E_{t2}}}} = 1.16{t_3} $ .3.3 实验验证与讨论
平面应力状态下, 正交各向异性材料任意方向上的弹性模量可以用以下公式[37]计算求得
$$ \begin{split} E\left( \varphi \right) =& \left[ \frac{1}{{{E_{11}}}}{{\cos }^4}\varphi {\text{ + }}\frac{1}{{{E_{22}}}}{{\sin }^4}\varphi {\text{ + }}\right.\\ & \left. \left( {\frac{1}{{{G_{12}}}} - \frac{{2{v_{21}}}}{{{E_1}}}} \right){{\cos }^2}\varphi {{\sin }^2}\varphi \right]^{ - 1} \end{split} $$ (17) 假设如图9 (a) 所示的单胞结构的几何尺寸为
$ {t_1}{\text{ = }}1 $ mm,$ {t_2}{\text{ = }}1.41 $ mm,$ L{\text{ = 20}} $ mm, 当不考虑材料的各向异性时, 材料弹性模量取为2787.43 MPa, 将结构的尺寸参数代入到式(15), 并结合式(17), 可以得到单胞结构在面内任意方向上弹性模量的极坐标图, 如图10(a) 所示, 是各向同性的. 当考虑材料的各向异性时, 将结构的尺寸参数代入到式(16), 令$ {t_3}{\text{ = }}{t_1} $ , 再结合式(17), 得到单胞结构在面内任意方向上弹性模量的极坐标图, 如图10(a) 所示, 此时结构不再是弹性各向同性的, 而是与PLA材料在A平面内的弹性模量类似(图7(b)), 是正交各向异性的, 其在1方向上的弹性模量大于在2方向上的弹性模量. 假设图9(b) 所示的单胞结构的几何尺寸为$ {t_1}{\text{ = }}0.59 $ mm,$ {t_2}{\text{ = }}1.16 $ mm,$ {t_3}{\text{ = }}1 $ mm,$ L{\text{ = 20}} $ mm, 将这些参数代入到式(16), 并结合式(17), 可以绘制图9(b) 所示的单胞结构在任意方向上等效弹性模量极坐标图, 如图10(b) 所示, 是各向同性的.![]()
图 10 (a) 如图9(a) 所示单胞结构在考虑材料各向异性和不考虑材料各向异性情况下平面内任意方向上弹性模量的预测结果以及实验结果; (b) 如图9(b) 所示单胞结构在考虑材料各向异性时平面内任意方向上弹性模量的预测结果与实验结果Figure 10. (a) Predicted results of elastic modulus in in-plane arbitrary directions with and without considering material anisotropy and experimental results for the unit cell shown in Fig. 9(a). (b) Predicted and experimental results of elastic modulus in in-plane arbitrary directions with considering material anisotropy for the unit cell shown in Fig. 9(b)为了验证上述点阵结构弹性模量的计算结果的准确性与各向同性条件的有效性, 按照上述假设的单胞结构的尺寸建立并制备了四种点阵结构, 点阵结构的测试方向与几何尺寸如图11和表6所示, 其中, 试样1的单胞结构如图9(a) 所示, 试样2~4其实是同一种点阵结构的不同选取形式, 它们的单胞结构如图9(b) 所示. 试件1和试件2可以测试0°和90°两个方向, 试件3可以测试45°方向, 试件4可以测试37°和127°两个方向, 每个测试方向的点阵结构制备五个以保证实验结果的可靠性, 制备时采用的工艺参数与表1中的参数保持一致, 以减小工艺参数对材料力学性能的影响. 采用单轴压缩实验来获取点阵结构在不同方向上的弹性模量, 实验同样在岛津电子万能试验机(AGS-X)上进行, 单轴压缩的速度设为1
${\text{mm}}/\min $ , 取点阵结构压缩应力应变曲线线弹性阶段的斜率为弹性模量.![]()
图 11 四种点阵结构试件及其测试方向Figure 11. Four types of lattice structures and their testing directions表 6 点阵结构的几何尺寸Table 6. Geometric parameters of the lattice structuresSpecinens $ {L_1} $/mm $ {L_2} $/mm $ b $/mm Numbers 1 60 60 10 10 2 60 60 10 10 3 84.85 84.85 10 5 4 10 10 10 10 表 7 点阵结构弹性模量实验结果平均值与预测结果对比Table 7. Comparison of average measured and predicted results of elastic modulus of the lattice structuresSpecinens $ \varphi $/(°) Measured results/MPa Predicted
results /MPaErrors/% average values STD 1 0 219.10 12.16 238.01 8.63 1 90 317.91 9.25 340.91 7.23 2 0 222.46 9.94 219.26 −1.44 2 90 206.51 8.96 219.28 6.18 3 45 215.47 6.09 219.30 1.78 4 37 199.17 8.60 219.30 9.18 4 127 198.50 5.96 219.30 9.48 通过单轴压缩实验, 得到四种点阵结构的弹性模量如图10所示, 弹性模量测试结果的平均值与预测结果的对比如表7所示. 由图10 (a) 可以清晰地看出, 材料的弹性各向异性对点阵结构的弹性性能有较大的影响, 在不考虑材料各向异性性能时推导得到的结构的各向同性条件实际上可能不再适用. 由图10(b) 可以看出, 在考虑材料的弹性各向异性之后, 重新对点阵结构进行设计, 也能够理论上获得使其近似弹性各向同性的条件, 从实验结果来看, 总体上结构在五个方向上弹性模量差距不大, 且均在理论预测结果附近, 弹性模量在90°方向上较45°方向略大, 在45°方向上较0°方向略大, 在0°方向上较37°和127°方向略大, 最大误差小于12%, 主要是由于试件4相对不规则, 边界效应对测试结果的影响较大, 导致测试结果偏小. 结合表7中的误差对比, 不难发现材料的正交各向异性弹性模型适用于预测结构的力学性能, 实验结果的平均值与预测结果误差均小于10%, 产生误差的原因可能来源于设计模型与理论模型之间的偏差、打印模型与设计模型之间的偏差, 以及PLA材料拉伸性能与压缩性能存在一定的差异等等.
4. 结论
相对于传统制造技术, 成形材料力学性能具有各向异性是增材制造技术的独有特点, 在结构设计时充分考虑材料的各向异性能够有效地提高设计结果的准确性. 本文针对熔丝制造技术, 采用正交各向异性弹性模型描述成形后PLA材料的弹性行为, 同时推导出了其任意方向上弹性模量的预测公式, 设计了一种力学性能可调的二维组合桁架点阵结构, 基于代表体元法, 推导出了该点阵结构的弹性性能在考虑材料各向异性和不考虑材料各向异性情况下的解析表达式以及其弹性各向同性条件.
研究结果表明, 熔丝制造PLA材料具有较强的各向异性, 正交各向异性弹性模型能够较准确地描述其弹性行为. 通过测试材料在其他方向上的弹性模量, 验证了材料的弹性模量预测公式的准确性. 通过对比理论预测结果和实验测试结果发现, 基于材料各向同性假设得到的理论结果和各向同性条件不再准确, 在预测与设计熔丝制造点阵结构的力学性能时不能忽略材料的各向异性. 通过本文提供的设计方法, 对于部分点阵结构, 即使材料是各向异性的, 也能够实现它们的弹性各向同性设计. 本文的研究对增材制造聚合物材料各向异性本构模型的建立, 以及增材制造点阵结构的各向同性设计或各向异性控制有一定的参考价值.
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图 1 熔丝制造PLA材料微观结构
Figure 1. Microstructure of PLA material in fused filament fabrication
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图 2 熔丝制造PLA材料微观结构简化模型
Figure 2. Simplified model of microstructure of PLA material in fused filament fabrication
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图 3 基于ISO 527-2-2012的拉伸试件的尺寸
Figure 3. Dimensions of tensile specimen based on ISO 527-2-2012
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图 4 不同方向上打印的拉伸试件、全局坐标系和局部坐标系示意图
Figure 4. Schematic diagram of tensile specimens printed in different directions, global, and local coordinate systems
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图 6 全局坐标系转换到局部坐标系示意图
Figure 6. Diagram of transformation from global to local coordinate system
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7 (a) PLA材料弹性模量在空间内的曲面图; (b)-(d) PLA材料弹性模量分别在A, B和C平面内的曲线图
7. (a) Surface diagram of elastic modulus of PLA material in space. (b)-(d) Curves of elastic modulus of PLA material in A, B and C planes, respectively
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图 10 (a) 如图9(a) 所示单胞结构在考虑材料各向异性和不考虑材料各向异性情况下平面内任意方向上弹性模量的预测结果以及实验结果; (b) 如图9(b) 所示单胞结构在考虑材料各向异性时平面内任意方向上弹性模量的预测结果与实验结果
Figure 10. (a) Predicted results of elastic modulus in in-plane arbitrary directions with and without considering material anisotropy and experimental results for the unit cell shown in Fig. 9(a). (b) Predicted and experimental results of elastic modulus in in-plane arbitrary directions with considering material anisotropy for the unit cell shown in Fig. 9(b)
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图 11 四种点阵结构试件及其测试方向
Figure 11. Four types of lattice structures and their testing directions
表 1 熔丝制造工艺参数
Table 1 Process parameters of fused filament fabrication
Process parameters Value nozzle temperature/℃ 210 bed temperature/℃ 60 printing speed/(mm·s−1) 60 fill rate/% 99 layer thickness/mm 0.1 fill angle/(°) 0 
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表 2 试件与弹性常数对应关系
Table 2 Correspondence between specimen and elastic constants
Elastic modulus Specimens Poisson's ratio Specimens ${E_1}$ A-3, C-1 $ {v_{12}} $/$ {v_{21}} $ A-3 / A-1 ${E_2}$ A-1, B-3 $ {v_{13}} $/$ {v_{31}} $ C-3 / C-1 ${E_3}$ B-1, C-3 $ {v_{23}} $/$ {v_{32}} $ B-3 / B-1
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表 3 弹性常数测试结果(弹性模量, 泊松比)与计算结果(剪切模量)的平均值
Table 3 Average values of measureed (elastic modulus, Poisson’s ratio) and calculated (shear modulus) results of elastic constants
Elastic modulus/MPa Shear modulus/MPa average values STD average values STD ${E_1}$ = 2787.43 99.45 $ {G_{12}} $ = 771.93 29.62 ${E_2}$ = 1644.33 57.93 $ {G_{13}} $ = 977.77 28.89 ${E_3}$ = 2442.12 69.33 $ {G_{23}} $ = 793.84 32.65 Poisson's ratio average values STD average values STD $ {v_{12}} $ = 0.22 0.025 $ {v_{21}} $ = 0.39 0.042 $ {v_{13}} $ = 0.29 0.032 $ {v_{31}} $ = 0.33 0.015 $ {v_{23}} $ = 0.36 0.022 $ {v_{32}} $ = 0.34 0.023
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表 4 公式 (8) 和 (9) 中的参数值
Table 4 Values of the constants in Eqs. (9) and (10)
Constants Values/MPa−1 Constants Values/MPa−1 $ A $ 4.1216 × 10−7 $ J $ −7.6205 × 10−6 $ B $ −1.6486 × 10−6 $ K $ −1.2470 × 10−4 $ C $ 2.4730 × 10−6 $ L $ 4.9107 × 10−4 $ D $ −1.3738 × 10−6 $ L $ −2.1254 × 10−6 $ E $ 2.4833 × 10−5 $ N $ −2.5363 × 10−4 $ F $ 5.2415 × 10−5 $ O $ 3.8624 × 10−4 $ G $ −7.1734 × 10−5 $ P $ 6.5946 × 10−4 $ H $ −5.6973 × 10−6 $ Q $ 9.9335 × 10−5 $ I $ 4.3618 × 10−4 $ R $ 5.0222 × 10−4
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表 5 不同方向上PLA材料弹性模量测试结果平均值与预测结果对比
Table 5 Comparison of average measured and predicted results of elastic modulus of PLA material in different directions
Specimens $ \varphi $ $ \theta $ Measured results/MPa Predicted results/
MPaErrors/% average values STD 1 $ \dfrac{{\text{π}} }{6} $ $ \dfrac{{\text{π}} }{4} $ 2418.56 62.24 2482.90 2.66 2 $ \dfrac{{\text{π}} }{3} $ $ \dfrac{{\text{π}} }{4} $ 2230.82 48.35 2122.28 −4.87 3 $ \dfrac{{\text{π}} }{3} $ $ \dfrac{{\text{π}} }{6} $ 1809.61 39.66 1951.77 7.86
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表 6 点阵结构的几何尺寸
Table 6 Geometric parameters of the lattice structures
Specinens $ {L_1} $/mm $ {L_2} $/mm $ b $/mm Numbers 1 60 60 10 10 2 60 60 10 10 3 84.85 84.85 10 5 4 10 10 10 10
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表 7 点阵结构弹性模量实验结果平均值与预测结果对比
Table 7 Comparison of average measured and predicted results of elastic modulus of the lattice structures
Specinens $ \varphi $/(°) Measured results/MPa Predicted
results /MPaErrors/% average values STD 1 0 219.10 12.16 238.01 8.63 1 90 317.91 9.25 340.91 7.23 2 0 222.46 9.94 219.26 −1.44 2 90 206.51 8.96 219.28 6.18 3 45 215.47 6.09 219.30 1.78 4 37 199.17 8.60 219.30 9.18 4 127 198.50 5.96 219.30 9.48
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