THE INEQUALITY OF VIRTUAL WORK FOR DISSIPATIVE SYSTEMS AND ITS APPLICATIONS
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摘要: 对于保守系统, 能量变分原理为推导力学系统控制方程提供了简洁的途径. 对于耗散系统, 控制方程的建立往往需要引入经验的或理性的假定, 增大了建模的难度. 针对耗散系统, 引入系统局部稳定的概念, 并在此基础上, 提出一类虚功变分不等式. 这一不等式事实上揭示了耗散系统的一类虚功不等原理. 该原理的物理含义为: 使系统状态稳定的必要条件是, 在该状态附近所有可能的虚拟路径上系统释放的势能不大于系统耗散的能量. 研究表明: 仅需结合虚功不等原理和能量守恒原理, 即可导出准静态系统力学状态量的全部控制方程. 作为应用, 文章重新讨论了塑性力学, 结合虚功不等原理与能量守恒原理, 导出经典塑性力学的全部控制方程, 并证明了经典的最大塑性耗散原理可以作为虚功不等原理的推论导出; 同时, 以Mohr-Coulomb强度准则为例, 讨论了虚功不等原理在强度理论中的应用, 说明基于应力的强度准则可以是基于能量的稳定性准则的推论. 上述例子说明了虚功不等原理的广泛适用性和在建立耗散系统控制方程中的有效性.
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关键词:
- 变分原理 /
- 变分不等式 /
- 虚功 /
- 塑性力学 /
- Mohr-Coulomb强度准则
Abstract: For conservative systems, energy variational principles provide a concise way to derive the governing equations for mechanical systems. For a dissipative system, the establishment of governing equations often requires the introduction of empirical or rational assumptions, which increases the difficulty of modeling. For dissipative systems, this paper introduces the concept of local stability of mechanical systems. Based on this stability concept, we propose a variational inequality of virtual work. This inequality in fact reveals a virtual work principle for dissipative systems. The physical meaning of this principle is that the necessary condition for the system state to be stable is that the potential energy released by the system on all possible virtual paths near the state is not greater than the energy that may be dissipated in the system. This study shows that it is sufficient to only use the principle of inequality of virtual work together with the sound principle of conservation of energy to derive all the governing equations for the mechanical state variables of a quasi-static system. As an application, this paper revisits plastic mechanics and derives all the governing equations of classical plastic mechanics by combining the principle of inequality of virtual work and the principle of conservation of energy. We prove that the classical principle of maximum plastic dissipation can be derived as a corollary of the principle of inequality of virtual work. Meanwhile, this paper revisits the Mohr-Coulomb strength criterion as an example to show the application of the principle of inequality of virtual work in the strength theory. It is shown that the stress-based strength criterion can be a corollary of the energy-based criterion for system stability. The above examples illustrate the wide applicability of the principle of inequality of virtual work and verify its effectiveness in establishing the governing equations of dissipative systems. -
引 言
能量变分原理在固体力学和计算力学中具有重要地位[1-4]. 最小势能原理为表述弹性力学全部控制方程提供了紧凑的途径, 也为认识力学系统提供了物理上的洞见: 应力平衡状态应使系统总势能取极小值. 这一观点的物理依据是统计物理中的Boltzmann分布[5-6]. 在计算力学中, 基于变分原理的“弱形式”方程是有限单元法理论的核心基础之一. 将微分方程(强形式)转化为积分型的虚功方程(弱形式), 是建立对应问题有限单元法的首要步骤[7].
在固体力学中的一些新兴领域, 最小势能原理也发挥着重要的理论作用. 例如, 在断裂相场理论中, 裂纹的扩展被描述为拟保守系统的最小势能问题, 总势能为应变能与裂纹表面能之和[8-9]. 在该理论中, 系统的控制方程, 包括应力平衡方程与裂纹相场演化方程, 都可以紧凑地通过变分法从最小势能问题中导出[10-11].
虽然最小势能原理在保守系统中取得了巨大的成功, 但当系统中存在摩擦力、塑性变形、损伤演化等能量耗散机制时, 经典的最小势能原理不再能完整地导出系统的控制方程[12-16]. 为了回答与耗散过程相关的变量如何演化的问题, 人们往往不得不引入额外的假设. 例如, 在塑性力学中, 为了确定塑性变形的流动方向, 提出正交流动法则、最大塑性耗散原理等假定[17-19]; 在断裂力学中, 为了回答裂纹扩展方向的问题, 人们引入最大环向拉应力准则[20]、局部对称性准则[21]、最大机械能释放率准则[22]等假定.
事实上, 在塑性力学中, 人们一直尝试将最小势能原理拓展到不可逆塑性系统中. 例如, 引入广义耗散势能的概念[23]. 在这一框架中, 塑性流动的方向仍然要通过额外的假定给出[24].
在弹塑性损伤力学中, 作为其热力学基础的Clausius-Duhem不等式也无法导出塑性变形的流动方向[25-26].
本文从系统稳定性的观点出发, 针对耗散系统建立了一类变分原理, 称为虚功不等原理. 该原理是系统状态局部稳定的必要条件. 研究表明: 虚功不等原理结合能量守恒原理, 可导出准静态加载耗散系统的全部力学状态量控制方程. 利用虚功不等原理, 本文重新讨论了塑性力学和Mohr-Coulomb强度准则, 说明了虚功不等原理在推导系统控制方程和强度准则方面的有效性.
1. 耗散系统稳定性与虚功不等原理
1.1 耗散系统
设固体任意
$ t $ 时刻的状态可以完备地由一组变量$ {\boldsymbol{X}} = \{ {X_1},{X_2}, \cdots ,{X_n}\} $ 刻画. 一般而言,$ {\boldsymbol{X}} $ 会受到边界条件的约束. 此外,$ {\boldsymbol{X}} $ 还可能受到其他条件的约束, 如不可逆条件等. 用$ {S_{\boldsymbol{X}}}\left( t \right) $ 表示$ t $ 时刻考虑了各种约束条件后$ {\boldsymbol{X}} $ 的可行集合. 换言之,$ {\boldsymbol{X}}\left( t \right) \in {S_{\boldsymbol{X}}}\left( t \right) $ .当采用“外力”加载时, 固体总势能
$\varPi$ 是$ {\boldsymbol{X}} $ 和系统“外力载荷”$ {{\boldsymbol{f}}_{{\text{ext}}}} $ 的函数, 即$$ \varPi \left( {{\boldsymbol{X}},{{\boldsymbol{f}}_{{\text{ext}}}}} \right) = {\varPi _{{{\rm{int}}} }}\left( {\boldsymbol{X}} \right) - {{\boldsymbol{f}}_{{\text{ext}}}} \cdot {\boldsymbol{X}} $$ (1) 其中
${\varPi _{{{\rm{int}}} }}\left( {\boldsymbol{X}} \right)$ 为系统内能. 当采用“位移”加载时, 不需要考虑外力势能$ - {{\boldsymbol{f}}_{{\text{ext}}}} \cdot {\boldsymbol{X}} $ , 此时${\varPi _{}}{\text{ = }}{\varPi _{{{\rm{int}}} }}$ .对于非弹性固体, 伴随微小增量
$ {\text{d}}{\boldsymbol{X}} $ , 系统会产生一定能量耗散$ {\text{d}}\mathcal{D} $ . 考虑如下简单形式$$ {\text{d}}\mathcal{D} = {{\boldsymbol{f}}_{{\text{diss}}}}\left( {{\boldsymbol{X}},{\boldsymbol{\hat X}}} \right) \cdot {\text{d}}{\boldsymbol{X}} \geqslant 0 $$ (2) 其中
$ {{\boldsymbol{f}}_{{\text{diss}}}} $ 为耗散力.$ {{\boldsymbol{f}}_{{\text{diss}}}} $ 的大小与$ {\boldsymbol{X}} $ 有关, 甚至可能与某些历史变量有关;$ {{\boldsymbol{f}}_{{\text{diss}}}} $ 的方向与$ {\text{d}}{\boldsymbol{X}} $ 的方向$ {\boldsymbol{\hat X}} $ 有关. A·B表示A和B的某种线性内积, 结果为标量. 这一内积可以在Hibert空间中定义.一般而言, 系统耗散的能量与的路径有关, 仅能写成积分的形式
$\displaystyle\int {\text{d}}\mathcal{D}$ , 不能写成状态量的函数.1.2 方向稳定、局部稳定与准静态加载
考虑一条特殊的轨迹
$ {\boldsymbol{X}}\left( s \right) = {{\boldsymbol{X}}_0} + s{\boldsymbol{\hat X}} $ ,$ s \in [0,h] $ , 其中$ s $ 和$ h $ 均为无量纲标量,$ {\boldsymbol{\hat X}} $ 为固定的运动方向. 该轨迹对应的能量耗散为$$ {{\Delta }}\mathcal{D}\left( {{{\boldsymbol{X}}_0},h{\boldsymbol{\hat X}}} \right) = \int_{s = 0}^{s = h} {{{\boldsymbol{f}}_{{\text{diss}}}}} \left( {{\boldsymbol{X}}\left( s \right),{\boldsymbol{\hat X}}} \right) \cdot {\boldsymbol{\hat X}}{\text{d}}s $$ (3) 由于固定了方向
$ {\boldsymbol{\hat X}} $ , 此时能量耗散可以写成状态量$ \left( {{{\boldsymbol{X}}_0},h{\boldsymbol{\hat X}}} \right) $ 的函数.定义1: 考察
$ t $ 时刻的可行状态$ {{\boldsymbol{X}}_0} \in {S_{\boldsymbol{X}}} $ . 若存在无量纲标量$ h > 0 $ , 使得$ {{\boldsymbol{X}}_0} + h{\boldsymbol{\hat X}} \in {S_{\boldsymbol{X}}} $ , 则称$ {\boldsymbol{\hat X}} $ 是$ {{\boldsymbol{X}}_0} $ 处的一个可行方向.定义2: 设
$ {{\boldsymbol{X}}_0} $ 是$ t $ 时刻的一个可行状态,$ {\boldsymbol{\hat X}} $ 是$ {{\boldsymbol{X}}_0} $ 处的一个可行方向. 若存在$ {h_c} > 0 $ , 使得对于任意$ h \in (0,{h_c}] $ , 都有$$ {{\Delta }}\varPi \left( {{{\boldsymbol{X}}_0},h{\boldsymbol{\hat X}}} \right) + {{\Delta }}\mathcal{D}\left( {{{\boldsymbol{X}}_0},h{\boldsymbol{\hat X}}} \right) > 0 $$ (4) 则称系统在状态
$ {{\boldsymbol{X}}_0} $ 处、沿方向$ {\boldsymbol{\hat X}} $ 稳定. 式(4)中,${{\Delta }}\varPi = \varPi \left( {{{\boldsymbol{X}}_0} + h{\boldsymbol{\hat X}}} \right) - \varPi \left( {{{\boldsymbol{X}}_0}} \right)$ . 这里为了简洁, 隐去了势能$\varPi$ 中的外力$ {{\boldsymbol{f}}_{{\text{ext}}}} $ .定义3: 在可行状态
$ {{\boldsymbol{X}}_0} $ 处, 若系统沿任意可行方向都稳定, 则称系统在状态$ {{\boldsymbol{X}}_0} $ 处局部稳定.图1给出了局部稳定概念的示意图. 观察图1(a), 若系统没有耗散力, 则势能最低的点是唯一的稳定点; 而当存在耗散力时, 可能存在如图
$ \left( {{{\boldsymbol{X}}_1},{{\boldsymbol{X}}_2}} \right) $ 这样的区域, 使得$ {\boldsymbol{X}} \in \left( {{{\boldsymbol{X}}_1},{{\boldsymbol{X}}_2}} \right) $ 的任意状态都是稳定的(局部稳定).![]()
图 1 一维系统稳定性示意图Figure 1. Schematic diagram of the stability of a one-dimensional system考察
$ {{\boldsymbol{X}}_0} \in \left( {{{\boldsymbol{X}}_1},{{\boldsymbol{X}}_2}} \right) $ , 并考察两个相反的方向$ \pm \hat {\boldsymbol{X}} $ . 图1(b)给出了系统处于局部稳定状态时,${{\Delta }}\varPi + {{\Delta }}\mathcal{D}$ 与$h\hat {\boldsymbol{X}}$ 的一种典型关系. 在稳定点$ h = 0 $ 处,${{\Delta }}\varPi + {{\Delta }}\mathcal{D}$ 的一阶导数不连续, 左右导数极限差值的绝对值刻画了耗散力的大小.利用局部稳定的概念, 可以仿照保守系统静态加载的定义, 给出耗散系统准静态加载的定义.
定义4: 若系统外部作用力施加速度足够慢, 以至于固体内部(惯性力、黏性力等)所有与时间导数有关的量可以忽略不计, 且在每一个时刻系统状态都满足局部稳定条件, 则称该加载过程为准静态加载, 或称系统在每个时刻处于准静态平衡状态.
若系统没有能量耗散, 定义4就退化到了保守系统静态加载的定义.
1.3 虚功变分不等式
定理1: 使系统在状态
$ {{\boldsymbol{X}}_0} $ 处于局部稳定的必要条件是: 对任意满足$ \;\left( {{{\boldsymbol{X}}_0} + \delta {\boldsymbol{X}}} \right) \in {S_{\boldsymbol{X}}} $ 的$ \delta {\boldsymbol{X}} $ , 均有$$ \delta \varPi \; + \delta \mathcal{D} \geqslant 0 $$ (5) 其中
$\delta \varPi = \left( {\partial \varPi /\partial {\boldsymbol{X}}} \right) \cdot \delta {\boldsymbol{X}}$ ,$ \delta \mathcal{D} = {\text{d}}\mathcal{D}\left( {{{\boldsymbol{X}}_0},\delta {\boldsymbol{X}}} \right) $ .式(5)亦可显式表述为
$$ {\left( {{{\boldsymbol{f}}_{{{\rm{int}}} }} \cdot \delta {\boldsymbol{X}} - {{\boldsymbol{f}}_{{\text{ext}}}} \cdot \delta {\boldsymbol{X}}\; + {{\boldsymbol{f}}_{{\text{diss}}}} \cdot \delta {\boldsymbol{X}}} \right)_{{\boldsymbol{X}} = {{\boldsymbol{X}}_0}}} \geqslant 0 $$ (6) 其中,
${{\boldsymbol{f}}_{{{\rm{int}}} }} = \partial {\varPi _{{{\rm{int}}} }}/\partial {\boldsymbol{X}}$ ,$ \delta {\boldsymbol{X}} $ 表示在状态$ {\boldsymbol{X}} $ 附近的虚拟广义位移,$ {{\boldsymbol{f}}_{{\text{diss}}}} $ 为耗散力.式(6)左侧3项的物理含义分别为伴随虚位移
$ \delta {\boldsymbol{X}} $ 产生的内力虚功、外力虚功与虚拟能量耗散.称式(5)与式(6)为虚功变分不等式. 证明如下:
使用反证法. 假设存在满足
$ \;\left( {{{\boldsymbol{X}}_0} + \delta {\boldsymbol{X}}} \right) \in {S_{\boldsymbol{X}}} $ 的$ \delta {\boldsymbol{X}} $ , 使得$$ \frac{{\partial \varPi }}{{\partial {\boldsymbol{X}}}} \cdot \delta {\boldsymbol{X}}\; + {{\boldsymbol{f}}_{{\text{diss}}}} \cdot \delta {\boldsymbol{X}} < 0 $$ (7) 使用中值定理, 将式(4)左边展开, 得到
$$ F \mathop = \limits^\Delta {{\Delta }}\varPi \left( {{{\boldsymbol{X}}_0},h{\boldsymbol{\hat X}}} \right) + {{\Delta }}\mathcal{D}\left( {{{\boldsymbol{X}}_0},h{\boldsymbol{\hat X}}} \right)\mathop = \limits^\Delta Ah + \frac{1}{2}B{h^2} $$ (8) 其中
$$ A = {\left. {\frac{\partial }{{\partial h}}} \right|_{h = 0}}\left( {{{\Delta }}\varPi + {{\Delta }}\mathcal{D}} \right) = {\left( {\frac{{\partial \varPi }}{{\partial {\boldsymbol{X}}}} \cdot {\boldsymbol{\hat X}} + {{\boldsymbol{f}}_{{\text{diss}}}} \cdot {\boldsymbol{\hat X}}} \right)_{{\boldsymbol{X}} = {{\boldsymbol{X}}_0}}} $$ (9) $$ \begin{split} & B\left( h \right) = {\left. {\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {h^2}}}} \right|_{h = \theta }}\left( {{{\Delta }}\varPi + {{\Delta }}\mathcal{D}} \right) = \\ &\qquad{\left( {\frac{{{\partial ^2}\varPi }}{{\partial {{\boldsymbol{X}}^2}}} \cdot {{{\boldsymbol{\hat X}}}^2} + \frac{{\partial {{\boldsymbol{f}}_{{\text{diss}}}}}}{{\partial {{\boldsymbol{X}}^2}}} \cdot {{{\boldsymbol{\hat X}}}^2}} \right)_{{\boldsymbol{X}} = {{\boldsymbol{X}}_0} + \theta {\boldsymbol{\hat X}}}}\end{split} $$ (10) 其中
$ \theta \in [0,h] $ 是某中值. 注意, 当固定$ {{\boldsymbol{X}}_0} $ 时,$ A $ 是常数, 但$ B $ 的取值一般依赖于$ h $ .要使我们的讨论具有物理意义,
$ B $ 至少是有界的, 即存在$ M > 0 $ , 使$$ \left| {B\left( h \right)} \right| < M,\quad \forall h > 0 $$ (11) 令
$ \delta {\boldsymbol{X}}{\text{ = }}h{\boldsymbol{\hat X}} $ ,$ h > 0 $ , 则从式(7)可知: 存在可行方向$ {\boldsymbol{\hat X}} $ 使得式(9)中的$ A < 0 $ .现在考察式(8)
$F$ 的正负号. 若$ B \leqslant 0 $ , 考虑到$ \;h > 0 $ , 则从$ A < 0 $ 可知$ F < 0 $ . 说明$ B \leqslant 0 $ 时系统在$ {\boldsymbol{\hat X}} $ 方向不稳定; 若$ B > 0 $ , 则只要$ h < - 2 A/M $ , 则$ F < 0 $ . 说明不存在$ {h_c} $ 使得对任意$ h \in (0,{h_c}] $ 式(4)能成立. 因此,$ B > 0 $ 时系统在$ {\boldsymbol{\hat X}} $ 方向也不稳定. 总之, 只要存在可行的$ \delta {\boldsymbol{X}} $ 使得式(7)成立, 则系统必在$ \delta {\boldsymbol{X}} $ 对应的方向上不稳定. 根据定义3可知, 此时系统不满足局部稳定的条件. 因此, 要使系统局部稳定, 必须使对于任意可行的$ \delta {\boldsymbol{X}} $ , 式(7)的反面成立, 即$$ \frac{{\partial \varPi }}{{\partial {\boldsymbol{X}}}} \cdot \delta {\boldsymbol{X}}\; + {{\boldsymbol{f}}_{{\text{diss}}}} \cdot \delta {\boldsymbol{X}} \geqslant 0 $$ (12) 这正是定理1的内容. □
虚功变分不等式(5)或式(6)事实上揭示了耗散系统的一类能量原理. 不妨称之为耗散系统的虚功不等原理. 这一原理的物理含义为系统局部稳定的必要条件是: 在任意物理可行的微小扰动下, 系统释放的势能不大于耗散的能量.
下面对虚功不等原理与虚功原理以及最小势能原理之间的区别进行简单讨论.
经典虚功原理的表述为: 虚功方程(外力虚功等于内力虚功)对任意变分
$ \delta {\boldsymbol{X}} $ 成立, 是当前应力状态满足平衡方程的等价条件. 与此比较, 由于式(6)中的耗散力$ {{\boldsymbol{f}}_{{\text{diss}}}} $ 一般与虚拟位移的方向有关, 因此不能从式(6)导出${{\boldsymbol{f}}_{{{\rm{int}}} }} - {{\boldsymbol{f}}_{{\text{ext}}}}\; + {{\boldsymbol{f}}_{{\text{diss}}}} = 0$ 这样的结论. 这是虚功不等原理与传统虚功原理的重要区别.经典保守系统最小势能原理的表述为: 平衡方程是势能取最小值的必要(非充分)条件. 而本文虚功不等原理的叙述为: 虚功不等式(5)是系统局部稳定的必要(非充分)条件. 从局部稳定的必要条件式(4)容易看出, 虚功不等原理是最小势能原理从保守系统到耗散系统的拓展.
2. 应用示例
2.1 塑性力学
本节使用虚功不等原理重新讨论塑性力学. 将说明仅从虚功不等原理和能量守恒原理出发, 即可完整地推导出塑性力学的全部控制方程, 并证明塑性力学中经典的最大耗散原理是虚功不等原理的推论.
考虑小变形问题. 固体参考构型所占区域记为
$\mathcal{B}$ , 其边界记为$\partial \mathcal{B}$ . 固体的状态变量为$$ {\boldsymbol{X}} = \left\{{\boldsymbol{u}},{{\boldsymbol{\epsilon}} }^{\text{p}}\right\} $$ (13) 其中,
$ {\boldsymbol{u}} $ 为位移矢量场,${{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}$ 为塑性应变张量场.系统的总势能为
$$ \varPi \left({\boldsymbol{u}},{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right) = {\displaystyle {\int }_{\mathcal{B}}^{}\psi \text{d}V}-{\displaystyle {\int }_{\partial \mathcal{B}}^{}{\boldsymbol{T}}\cdot {\boldsymbol{u}}\text{d}s} $$ (14) 其中,
$ {\text{d}}V $ 与$ {\text{d}}s $ 分别表示体积微元与面积微元$$ \psi = \frac{1}{2}\left({\boldsymbol{\epsilon}}-{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right):\mathbb{E}:\left({\boldsymbol{\epsilon}} -{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right) $$ (15) 其中,
${\boldsymbol{\epsilon}} = [\nabla {\boldsymbol{u}} + {\left(\nabla {\boldsymbol{u}}\right)}^{\text{T}}]/2$ 为应变张量,$ {\boldsymbol{T}} = {\boldsymbol{\sigma}} \cdot {\boldsymbol{n}} $ 为边界处施加的外力载荷矢量,${\boldsymbol{\sigma}}$ 为Cauchy应力,$ {\boldsymbol{n}} $ 为单位外法向向量.假设塑性变形受到不可压缩条件的约束[27]
$$ {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} = {{\boldsymbol{\epsilon}}}_{\text{dev}}^{\text{p}},\;\;\text{tr}\left({{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right) = 0 $$ (16) 其中, 第二个等式表明由于塑性变形引起的体积变化为零, 即塑性变形具有不可压缩性.
伴随塑性变形增量
$\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}$ , 假设存在耗散$$ {\text{d}}\mathcal{D} = \int_\mathcal{B}^{} {\xi \left( \lambda \right){\text{d}}\lambda {\text{d}}V} \geqslant 0 $$ (17) 其中,
$ \xi {\mkern 1 mu} {\mkern 1 mu} \left( \lambda \right) $ 为标量函数(耗散力), 标量$ \lambda $ 为等效累积塑性变形$$ \lambda \left(t\right) = {\displaystyle {\int }_{0}^{t}\text{d}}\lambda ,\text{d}\lambda = \Vert \text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\Vert = \sqrt{\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}:\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}} $$ (18) 根据虚功不等原理, 要使固体当前的状态局部稳定, 必须有
$$ \delta \varPi + \delta \mathcal{D} \geqslant 0 $$ (19) 其中
$$ \delta \mathcal{D} = {\displaystyle {\int }_{\mathcal{B}}^{}\xi \left(\lambda \right)\delta \lambda \text{d}x},\;\;\delta \lambda = \sqrt{\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}:\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}} $$ (20) $$ \delta \varPi = {\displaystyle {\int }_{\mathcal{B}}^{}\left(\frac{\partial \psi }{\partial {\boldsymbol{\epsilon}}}:\delta {\boldsymbol{\epsilon}} + \frac{\partial \psi }{\partial {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}}:\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right)\text{d}V}-{\displaystyle {\int }_{\partial \mathcal{B}}^{}{\boldsymbol{T}}\cdot \delta {\boldsymbol{u}}\text{d}s} $$ (21) 而根据能量守恒原理, 有以下等式
$$ {\displaystyle {\int }_{\partial \mathcal{B}}^{}{\boldsymbol{T}}\cdot \dot{{\boldsymbol{u}}}\text{d}s} = {\displaystyle {\int }_{\mathcal{B}}^{}{\boldsymbol{\sigma}} :\dot{{\boldsymbol{\epsilon}}}\text{d}x} + {\displaystyle {\int }_{\mathcal{B}}^{}\xi \left(\lambda \right)\dot{\lambda }\text{d}V} $$ (22) 即外力功率等于内力功率与耗散速率之和.
从式(19)和式(22)即可导出系统状态量的全部控制方程.
首先考察虚功不等原理. 使用分部积分、散度定理、应力的对称性和公式
$ {\boldsymbol{T}} = {\boldsymbol{\sigma}} \cdot {\boldsymbol{n}} $ , 式(20)可以改写为$$ \begin{split} &\delta \varPi = {\displaystyle {\int }_{\mathcal{B}}^{}\left[\left(-\nabla \cdot \frac{\partial \psi }{\partial {\boldsymbol{\epsilon}}}\right)\cdot \delta {\boldsymbol{u}} + \frac{\partial \psi }{\partial {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}}:\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right]\text{d}V}-\\ &\qquad{\displaystyle {\int }_{\partial \mathcal{B}}^{}{\boldsymbol{n}}\cdot \left({\boldsymbol{\sigma}} -\frac{\partial \psi }{\partial {\boldsymbol{\epsilon}}}\right)\cdot \delta {\boldsymbol{u}}\text{d}s} \end{split} $$ (23) 将式(23)和式(21)代入式(19), 得
$$ \begin{split} &{\displaystyle {\int }_{\mathcal{B}}^{}\left[-\nabla \cdot \frac{\partial \psi }{\partial {\boldsymbol{\epsilon}}}\cdot \delta {\boldsymbol{u}} + \frac{\partial \psi }{\partial {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}}:\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} + \xi \left(\lambda \right)\delta \lambda \right]\text{d}V}-\\ &\qquad{\displaystyle {\int }_{\partial \mathcal{B}}^{}{\boldsymbol{n}}\cdot \left({\boldsymbol{\sigma}} -\frac{\partial \psi }{\partial {\boldsymbol{\epsilon}}}\right)\cdot \delta {\boldsymbol{u}}\text{d}s}\geqslant 0\end{split} $$ (24) 根据虚功不等原理, 式(24)要对任意
$ \delta {\boldsymbol{u}} $ 和$\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}$ 成立. 因此$\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} = 0$ 且$ \delta \lambda = 0 $ 时, 式(24)也必须成立. 首先考虑$\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} = 0$ ,$ \delta \lambda = 0 $ . 此时, 要使式(24)对任意$ \delta {\boldsymbol{u}} $ 成立, 考虑到$\mathcal{B}$ 的任意性, 必须有①$$\qquad\qquad \nabla \cdot {\boldsymbol{\sigma}} = 0 $$ (25) $$\qquad\qquad {\boldsymbol{\sigma}} = \frac{\partial \psi }{\partial {\boldsymbol{\epsilon}}} = \mathbb{E}:\left({\boldsymbol{\epsilon}}-{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right)$$ (26) 式(25)和式(26)即是熟知的平衡方程和本构关系.
将式(25)和式(26)代入式(24), 利用
$\partial \psi /\partial {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} = -{\boldsymbol{\sigma}}$ , 同样考虑到$\mathcal{B}$ 的任意性, 应有$$ -{\boldsymbol{\sigma}} :\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} + \xi \left(\lambda \right)\delta \lambda \geqslant 0 $$ (27) 根据虚功不等原理, 上式应对任意
$\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}$ 都成立. 换言之$$ \underset{\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\in S}{\mathrm{min}}F\left({\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda ,\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right)\geqslant 0 $$ (28) 其中
$$ F\left({\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda ,\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right) = -{\boldsymbol{\sigma}} :\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} + \xi \left(\lambda \right)\delta \lambda $$ (29) 注意, 这里通过
$\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\in S$ 强调了该问题是一个有约束的优化问题. 因为假设了塑性变形的不可压缩性,虚拟塑性应变需要满足$\text{tr}\left({{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} + \delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right) = 0$ . 结合式(16)可知$$ \text{tr}\left(\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right) = 0 $$ (30) 固定
$ \delta \lambda > 0 $ , 式(28)中$ F $ 在式(30)约束下的极值为$$ \underset{\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\in S}{\mathrm{min}}F\left({\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda ,\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right) = \left[-\Vert {{\boldsymbol{\sigma}} }_{\text{dev}}\Vert + \xi \left(\lambda \right)\right]\delta \lambda $$ (31) 取得该极值的条件为
$$ \delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} = \underset{\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\in S}{\mathrm{arg}\mathrm{min}}\;F\left({\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda ,\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right) = \delta \lambda \frac{{{\boldsymbol{\sigma}} }_{\text{dev}}}{\Vert {{\boldsymbol{\sigma}} }_{\text{dev}}\Vert } $$ (32) 将式(31)代入式(28), 得
$$ f\left( {{\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda } \right) \leqslant 0 $$ (33) 其中
$$ f\left( {{\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda } \right) = \left\| {{{\boldsymbol{\sigma}} _{{\text{dev}}}}} \right\| - \xi \left( \lambda \right) $$ (34) 这正是塑性力学中的屈服函数.
接下来, 考察能量守恒原理. 同样使用分部积分、散度定理、应力的对称性和公式
${\boldsymbol{T}} = {\boldsymbol{\sigma}} \cdot {\boldsymbol{n}}$ , 能量守恒原理式(22)可以改写为$$ \begin{split} &{\displaystyle {\int }_{\mathcal{B}}^{}\left[-\nabla \cdot \frac{\partial \psi }{\partial {\boldsymbol{\epsilon}}}\cdot \dot{{\boldsymbol{u}}} + \frac{\partial \psi }{\partial {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}}:{\dot{{\boldsymbol{\epsilon}}}}^{\text{p}} + \xi \left(\lambda \right)\dot{\lambda }\right]\text{d}V}-\\ &\qquad {\displaystyle {\int }_{\partial \mathcal{B}}^{}{\boldsymbol{n}}\cdot \left({\boldsymbol{\sigma}} -\frac{\partial \psi }{\partial {\boldsymbol{\epsilon}}}\right)\cdot \dot{{\boldsymbol{u}}}\text{d}s} = 0\end{split} $$ (35) 利用式(25)和式(26)中的本构关系和平衡方程, 并考虑式(18)中
$\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}} }^{{{\rm{p}}}}$ 与$ {\text{d}}\lambda $ 的关系, 式(35)可以简化为$$ {\displaystyle {\int }_{\mathcal{B}}^{}\left[-{\boldsymbol{\sigma}} :\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} + \xi \left(\lambda \right)\text{d}\lambda \right]\text{d}V} = 0 $$ (36) 这里将原先的速率形式改写成了
$ {\text{d}}t $ 对应的增量形式.考虑到能量守恒应对任意隔离体
$\mathcal{B}$ 成立, 不难得到式(36)对应的局部形式$$ F\left({\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda ,\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right)\text{ = }-{\boldsymbol{\sigma}} :\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} + \xi \left(\lambda \right)\text{d}\lambda = 0 $$ (37) 真实的增量
$\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}$ 也应该满足不可压缩的约束, 即$\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\in S$ . 根据式(28), 出于稳定性的要求, 应有$F\left({\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda ,\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right)\geqslant 0,\forall \text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\in S$ . 而式(37)表明, 真实的$\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}$ 使得$F\left({\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda ,\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right) = 0$ , 即取到了其最小值. 因此, 真实塑性增量$\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}$ 的方向应满足式(32)中的极值条件$$ \text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} = \underset{\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\in S}{\mathrm{arg}\mathrm{min}}\;F\left({\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda ,\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right) = \text{d}\lambda \frac{{{\boldsymbol{\sigma}} }_{\text{dev}}}{\Vert {{\boldsymbol{\sigma}} }_{\text{dev}}\Vert } $$ (38) 这正是塑性流动法则, 由虚功不等原理与能量守恒原理相结合给出.
观察式(34)中屈服函数的形式, 容易验证
$$ \text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} = \text{d}\lambda \frac{\partial f\left({\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda \right)}{\partial {\boldsymbol{\sigma}} } $$ (39) 这正是经典的正交流动法则.
至此, 所有控制方程已经导出, 包括应力平衡方程(25)、塑性屈服准则(33)、塑性流动法则(39); 同时, 所有本构关系也已导出, 包括应力−应变关系式(26), 和屈服函数的具体表达式(34).
不妨进一步对屈服函数(34)做简单讨论. 从本节推导可知, 屈服函数一般可以写成如下形式
$$ f\left( {{\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda } \right) = {{{\sigma}} _{{\text{eff}}}}\left( {\boldsymbol{\sigma}} \right) - \xi \left( \lambda \right) $$ (40) 其中,
$ {\sigma _{{\text{eff}}}} $ 表示等效应力,$ \xi $ 表示耗散力的幅值.等效应力
${\sigma _{{\text{eff}}}}\left( {\boldsymbol{\sigma}} \right)$ 的具体形式与条件$\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\in S$ 中可行集合$ S $ 的选取有关. 在这里, 我们假定了塑性不可压缩的性质, 从而导出的等效应力具有 von Mises的形式. 事实上, 耗散力$ \xi \left( \lambda \right) $ 的形式反映了材料的硬化属性. 若认为耗散力是常数, 即$ \xi \left( \lambda \right) = {\xi _0} $ , 则反映理想弹塑性行为; 若$ \xi \left( \lambda \right) $ 是$ \lambda $ 的单调增函数, 则反映塑性强化行为.在经典塑性力学中, 为了给出完整的控制方程, 需要通过引入经验假定或从某些推测建立的原理中推导塑性流动法则. 一种常用的方法是根据最大耗散原理, 即认为塑性流动的方向应使耗散率取最大值. 我们的研究证明, 最大耗散原理可以作为虚功不等原理的推论被导出.
引入耗散力的概念, 塑性力学问题中的耗散率的局部增量形式为
$$ {\mathcal{P}_{\text{diss}}}\text{d}t = \xi \left(\lambda \right)\text{d}\lambda = {\boldsymbol{\sigma}} :\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} $$ (41) 其中第二个等式由能量守恒式(37)导出.
根据虚功不等原理, 固定
$\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}$ 的幅值时, 真实的$\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}$ 方向应满足式(38)中的极值条件$$ \text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} = \underset{\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\in S}{\mathrm{arg}\mathrm{min}}\;F\left({\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda ,\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right) $$ (42) 观察式(37)中
$F\left({\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda ,\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right)$ 的表达式, 容易得到$$ \text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} = \underset{\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\in S}{\mathrm{arg}\mathrm{min}}\text{ }F\left({\boldsymbol{\sigma}} ,\lambda ,\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\right) = \underset{\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\in S}{\mathrm{arg}\mathrm{max}}\text{ }{\boldsymbol{\sigma}} :\text{d}{{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}} = \underset{\delta {{\boldsymbol{\epsilon}}}^{\text{p}}\in S}{\mathrm{arg}\mathrm{max}}{\mathcal{P}_{\text{diss}}} $$ (43) 上式表明, 从虚功变分不等式导出的塑性流动方向正是使耗散率最大的方向. 因此可以认为, 最大耗散原理是虚功不等原理的推论.
2.2 Mohr-Coulomb强度准则
通常认为: 强度准则是试验经验事实的总结与理性升华. 本节通过虚功不等原理, 导出Mohr-Coulomb准则[28].
考虑图2所示的受压板. 板长为L, 高为H, 厚度记为
$ a $ . 板下端通过滚轮固定:$ {x_2} = 0 $ 处$ {u_2} = 0 $ ; 但除刚体位移外, 不限制水平位移.图2(a)为矩形板变形后构型的示意图. 此时系统的总势能为
$$ {\varPi _0} = V\frac{E}{2}{\left( {\frac{{{{\bar u}_2}}}{H}} \right)^2},\quad V = aHL $$ (44) 其中
$ E $ 为杨氏弹性模量. 由于采用了位移加载的方式, 式(44)中不需要考虑外力势能的贡献.为考虑开裂问题, 允许位移场在裂纹集
$\varGamma$ 上不连续. 这里规定潜在的裂纹为一条直线, 如图2(a)中的虚线$$ \varGamma = \left\{ {x \in \mathcal{B}\left| {{\mkern 1mu} \frac{{{x_2} - x_2^*}}{{{x_1} - x_1^*}} = - } \right.\tan \theta ,\;\theta \in [0,{\text{π /2}})} \right\} $$ (45) 其中
$ \left( {x_1^*,x_2^*} \right) $ 为某固定的点.进而, 位移场的可行集由下式规定
$$ \left.\begin{split} &{\boldsymbol{u}}\in {S}_{u}\cap {S}_{\text{bc}}\\ &{S}_{u} = \left\{{\boldsymbol{u}}|{\boldsymbol{u}}\left(x\right)\in {C}^{\infty }\forall x\in \mathcal{B}\backslash \varGamma \right\}\end{split}\right\} $$ (46) 其中
$ {S_{{\text{bc}}}} $ 刻画了边界条件, 其具体形式略去.如图2(b)所示, 位移场沿裂纹面的不连续跳跃记为
$ w $ , 称裂纹滑移. 根据黏聚断裂理论 [29-30](cohesive fracture theory), 断裂过程中, 伴随着裂纹面的相对位移, 会有一部分势能的提高, 称之为黏聚势能.黏聚应力
$ \tau $ 和黏聚势能$ \varphi $ (量纲为[能量] [长度]−2)之间存在如下关系$$ \left.\begin{split} & \tau \left( w \right) = \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}w}}\varphi \left( w \right) \\ & \varphi \left( w \right) = \int\limits_0^w {\tau \left( w \right)} {\mkern 1mu} {\text{d}}w\end{split}\right\} $$ (47) 考虑如图3所示的Camacho-Ortiz线性黏聚律和对应的黏聚势能[31]. 具体地, Camacho-Ortiz线性黏聚律为
$$ \tau = {\tau }_{0}\mathrm{max}\left\{0,1-\hat{w}\right\} $$ (48) 而对应的黏聚势能为
$$ \varphi \left( w \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{G_{\text{c}}}\left( {2\hat w - {{\hat w}^2}} \right)},&{\hat w \leqslant 1} \\ {{G_{\text{c}}}},&{\hat w > 1} \end{array}} \right. $$ (49) 其中
$$ \hat w = \frac{{\left| w \right|}}{{{w_{\text{c}}}}},\quad {G_{\rm{c}}} = \frac{1}{2}{\tau _0}{w_{\text{c}}} $$ (50) 这里,
$ {\tau _0} $ 为材料的剪切黏聚强度(无摩擦时的纯剪强度),$ {w_{\text{c}}} $ 为黏聚应力消失时的临界剪切滑移,${G_{\rm{c}}}$ 为材料断裂能.考虑黏聚势能后, 系统的总势能包括体积内的应变能和裂纹面上的黏聚势能
$$ \varPi = {\displaystyle {\int }_{\mathcal{B}\backslash \varGamma }^{}\frac{1}{2}{\boldsymbol{\epsilon}}:\mathbb{E}:{\boldsymbol{\epsilon}}}\text{ d}V + {\displaystyle {\int }_{\varGamma }^{}\varphi \left(w\right)}\text{ d}s$$ (51) 在图2(a)状态的基础上, 考虑变分
$ \delta w $ , 即给系统一个虚拟裂纹滑移, 系统将变化至图2(b)中的状态. 考虑平衡条件后, 图2(b)裂纹上下两部分将达到相同的均匀应力状态. 此时应变有如下约束$$ {\overline{u}}_{2} = H{ϵ}_{2} + \delta w\mathrm{sin}\theta $$ (52) 此时系统的总势能为
$$ {\varPi }_{1} = V\frac{E}{2}{\epsilon}_{2}^{2} + \frac{aL}{\mathrm{cos}\theta }\varphi \left(\delta w\right) $$ (53) 将式(52)中的
${\epsilon}_{2}$ 代入式(53), 再减去式(44), 略去$ \delta w $ 的高阶量, 整理可以得到$$ \delta \varPi = \frac{V}{H}\left( { - {\sigma _2}\delta w\sin \theta + \frac{{{\tau _0}}}{{\cos \theta }}\left| {\delta w} \right|} \right) $$ (54) 其中
$ {\sigma _2}{\text{ = }}E\left( {{{\bar u}_2}/H} \right) $ , 即变分前图2(a)中的竖向应力.式(54)中与黏聚势能有关的能量变分为
$\varphi \left( {\delta w} \right) = {\tau _0}\delta w + O\left( {\delta w} \right)$ . 注意, 该公式与具体的黏聚势能形式无关, 仅与材料的剪切强度$ {\tau _0} $ 有关.假设裂纹界面存在摩擦, 伴随
$ \delta w $ 会产生如下耗散$$ \delta \mathcal{D} = \frac{{aL}}{{\cos \theta }}{\tau _{\text{f}}}\left| {\delta w} \right| $$ (55) 其中
$$ {\tau _{\text{f}}} = \eta {\sigma _{\text{n}}},{\text{ }}\eta = \tan \phi $$ (56) 式中
$ {\tau _{\text{f}}} $ 为摩擦力,$ {\sigma _{\text{n}}} $ 为正应力,$ \eta $ 为摩擦系数,$ \phi $ 为摩擦角.根据虚功不等原理, 要使图2(a)中固体状态稳定(即不开裂), 须使对任意
$ \delta w $ 以及任意开裂角$ \theta $ , 下式成立$$ \frac{H}{V}\left( {\delta \varPi + \delta \mathcal{D}} \right) = - {\sigma _2}\delta w\sin \theta + \frac{{{\tau _0}}}{{\cos \theta }}\left| {\delta w} \right| + \frac{{{\tau _{\text{f}}}}}{{\cos \theta }}\left| {\delta w} \right| \geqslant 0 $$ (57) 利用Mohr圆公式
$$ \tau = \frac{1}{2}{\sigma }_{1}\mathrm{sin}(2\theta) = {\sigma }_{1}\mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}\theta $$ (58) 式(57)等价于
$$ \delta \varPi + \delta \mathcal{D} \propto F\left( {\tau ,\delta w} \right) = - \tau\delta w + \left( {{\tau _0} + {\tau _{\text{f}}}} \right)\left| {\delta w} \right| \geqslant 0 $$ (59) 这里
$ \tau $ 表示裂纹面上的剪切应力.固定
$ \;\left| {\delta w} \right| $ 和裂纹角$ \theta $ , 式(59)中$ F\left( {\tau ,\delta w} \right) $ 在$ \delta w $ 与$ \tau \; $ 同号时(即$\tau\delta w = \left| {\tau} \right|\left| {\delta w} \right|$ )取到极小值$$ \mathop {\min }\limits_{\delta w} F\left( {\tau ,\delta w} \right) = \;\left| {\delta w} \right|\left[ { - \left| \tau \right| + \left( {{\tau _0} + {\tau _{\text{f}}}} \right)} \right] $$ (60) 因此, 要使式(59)对任意
$ \delta w $ 和$ \theta $ 成立, 需使$$ \mathop {\min }\limits_{\delta w} F\left( {\tau ,\delta w} \right) \geqslant 0,\quad \forall \theta \in [0,{\text{π }}/2] $$ (61) 或等价地
$$ \left| \tau \right| \leqslant {\tau _0} + {\tau _{\text{f}}},\quad \forall \theta \in [0,{\text{π }}/2] $$ (62) 上式正是Mohr-Coulomb强度准则.
推广至一般, 上述讨论表明: 基于应力的强度准则可以是基于能量的稳定性准则的推论.
3. 结论
针对耗散系统, 本文提出了方向稳定和局部稳定的概念. 基于稳定性分析, 提出一类能量变分原理, 称为虚功不等原理. 该原理的物理内涵为: 使系统在某状态局部稳定的必要条件是, 在该状态附近任意可能的虚拟路径上系统释放的势能不大于耗散的能量.
作为应用, 本文将虚功不等原理应用到塑性力学和材料强度理论中. 研究表明: 仅需结合虚功不等原理和能量守恒原理, 即可导出耗散系统力学状态量的全部控制方程, 包括不可逆变量的流动方向、屈服准则和强度准则.
本文工作可以为更复杂力学系统的控制方程的建立提供基础.
1推导使用了如下事实：若对于任意可正可负的$\delta u $ 以及任意的积分区域$\mathcal{B} $ 都有$\int_{\mathcal{B}}^{{}}{f\left( u \right)\delta u\operatorname{d}V}\geqslant 0 $ , 则必须有$f\left( u \right)=0 $ . 证明: 取无穷小积分区域，此时上述积分不等式等价于$f\left( u \right)\delta u\geqslant 0 $ . 令$\delta u>0 $ , 则从$f\left( u \right)\delta u\geqslant 0 $ 可知$f\left( u \right)\geqslant 0 $ ; 同理, 令$\delta u<0 $ , 则须有$f\left( u \right)\leqslant 0 $ . 综上所述, 必须有$f\left( u \right)=0 $ . -
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图 1 一维系统稳定性示意图
Figure 1. Schematic diagram of the stability of a one-dimensional system
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