BIONIC MECHANISM AND LARGE-DEFORMATION MODELING OF RIGID-FLEXIBLE COUPLING STRUCTURE INSPIRED BY CHICKEN NECK
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摘要: 观察表明, 禽类颈部普遍具有刚柔耦合的特点, 在运动过程中, 可以辅助身体运动, 使得头部产生大变形. 在机器人、航空航天等领域普遍需要具有大变形、变刚度等特征的结构实现相关功能. 受禽类脖子结构的启发, 提出了一种仿鸡脖子刚柔耦合结构, 阐明仿鸡脖子的仿生机理并建立大变形模型. 首先, 从鸡颈部的生物解剖出发, 发现仿鸡脖子结构势必具有多自由度刚柔耦合的特征, 因此, 根据鸡脖子骨骼的构型构造出单节仿生标准单元, 根据肌肉的连接方式厘清节间弹性连接, 建立起仿鸡脖子刚柔耦合结构的力学模型; 然后, 通过定义连接矩阵描述节间弹性元件的分布和作用, 由此得到任意运动下的标准单元的力平衡方程; 最后, 选取了几种具有代表性的工况, 通过有限元分析验证理论建模方法的准确性并展示结构的非线性变刚度特征;在4种典型平面弯曲工况下得到不同变形与发力肌肉群的对应关系. 文章提出的仿鸡脖子刚柔耦合结构建模具有仿生机理清晰、适合大变形计算及结构具有非线性刚度特征等特点, 也解释了禽类颈部变形机理.Abstract: It is observed that the necks of birds generally have the characteristics of rigid-flexible coupling and variable stiffness, which can cause large head deformation with the body movement when the bird moves as walking or flighting. In the fields such as robotics and aerospace, structures with the characteristics of large deformation, variable stiffness and rigid-flexible coupling are generally required to achieve relevant functions. Inspired by the structure of the bird neck, this paper proposes a kind of rigid-flexible coupling structure imitating the chicken neck which clarifies its bionic mechanism, and establishes the mechanical model for flexible large deformations. Firstly, it discovers that bionic structure must have the characteristics of high-degree of freedom and rigid-flexible coupling based on the biological anatomical structure of the chicken neck. A bionic single standard unit is constructed according to the characteristics of the chicken neck skeleton and a model of spring connection between nodes is constructed according to the connection mode of muscles, thus a bionic rigid-flexible coupling structure is established by combining these two elements. Then, this paper describes the distribution and function of the elastic elements between nodes by defining the connectivity matrix, with which the force balance equation of any standard rigid section under any movement is obtained. Finally, several representative working conditions are selected for simulation, which verifies the accuracy of the established theoretical modeling method by the comparation with finite element analysis, and the nonlinear variable stiffness characteristics of the structure are displayed; The relations between deformations under four typical plane bending conditions and corresponding muscles force generation are obtained. The analysis on the bionic rigid-flexible coupling structure clearly shows the characteristics of bionic mechanism of chicken neck, which gives the theoretical calculation model for large deformations, representing the nonlinear stiffness characteristics. It also explains the deformation mechanism of the chicken neck.
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引言
随着科学技术的进步与发展, 在机器人、航空航天等实际工程应用中, 普遍需要具有多节、刚柔耦合特征的动力学结构, 并通过设计系统大变形、变刚度等特征, 使其能够实现抓取、隔振和对接等动作[1-7]. 从自然界中观察发现, 禽类脖子具有多节、大变形的力学特征[8-12]. 禽类脖子主要由骨骼和肌肉这两种组织组成, 其中, 骨骼主要起到承载作用, 决定了脖子的外形, 并且给肌肉提供了附着点; 肌肉的作用是附着在骨骼的各个位点并且将其连接, 为脖子整体提供了柔性, 起到了连接、平衡和回弹等作用. 另一方面, 考虑到肌肉的弹性模量远远小于骨骼, 且禽类脖子在变形过程中肌肉和骨骼的功能不同, 骨骼自身几乎不产生形变, 可以看做刚体; 而肌肉根据运动状态进行收缩或伸长, 可以看做柔体. 由此, 认为禽类脖子的结构是多节刚柔耦合的. 查阅论文可以发现, 禽类头部可以在脖子的配合下可以完成平行地面移动、左右扭头、低头啄食和抬头等动作[13-15]. 在这些过程中, 颈部肌肉发生收缩或伸长来牵动骨骼运动, 通过肌肉做动实现变形, 多节的骨骼-肌肉结构对位移进行累加, 从而使头部产生大的变形或运动. 典型的例子是, 鸽子、蓑羽鹤、鹌鹑等禽类在陆地上前进时, 在脖子的配合下头部可以实现运动(thrust)和静止(hold)两个状态来回切换[16-17], 在这样的切换里, 两种状态下脖子整体的刚度特征明显是不一致的, 运动状态拥有较高的柔度, 静止状态拥有高刚度. 由于禽类脖子具有上述刚柔耦合、大变形和变刚度等力学特性, 学者们基于禽类脖子的结构和功能开发了一系列的仿生结构.
根据不同的应用背景、建模方式和假设, 已经有不少学者在禽类脖子仿生建模这一领域完成了一些工作. Furet等[18-19]和Fasquelle等[20]的四连杆式、李召芹[21]和Wang等[22]的张拉扭转X形结构等仿照了禽类脖子的多节结构, 参照张拉整体结构, 将骨骼简化为刚性的刚体杆件或组件, 将肌肉肌腱等软体组织简化为柔性的绳索, 有明显的刚柔耦合特征. 并且这些结构有良好的平面可达性, 上述学者后续也对结构找形进行了简单的研究[19, 23]. 考虑到禽类脖子的动力学功能, Sun等[24]提出了仿禽类脖子动态功能的多面体空腔结构; Deng等[25]从功能出发提出了三弹簧立式的仿鸟脖子的多层隔振器[26], 基于鸟脖子的多节特性分析了具有多节、刚柔耦合特征的仿生隔振结构, 建立了各结构参数对力学性能的影响, 并且进行动力学分析验证了结构具有减振的作用. 然而, 上述研究在仿生建模时, 均未对仿禽类脖子仿生机理进行详细阐述, 即模型与生物结构之间的一一对应关系并未明确, 椎骨如何对应刚性杆件、肌肉如何对应弹性元件、两类元件间如何连接, 这些问题没有仿生机理解答. 且上述模型仿照张拉结构采用绳索模拟肌肉, 绳索不能承受压力、不能产生收缩变形的特性无法很好地表达肌肉可以收缩的特点. 因此, 本文希望以鸡作为禽类的代表, 基于真实鸡脖子解剖结构, 对应骨骼构型与肌肉连接建立一种仿鸡脖子刚柔耦合结构, 实现大变形、变刚度等特征, 并且阐明仿生机理.
在仿鸡脖子的刚柔耦合结构建模中需要体现骨骼和肌肉的特征和作用, 将骨骼抽象为刚性元件、肌肉抽象为柔性元件, 需要适用空间大变形的仿鸡脖子刚柔耦合结构的建模方法. 生物学家们使用双平面X光射线、显微CT扫描技术或几何形态计量法对野生火鸡、企鹅、鹰及非洲鸵鸟等多种禽类[10, 27 -29]的脖颈骨骼进行扫描建模, 获取了这些禽类的每一节颈椎骨骼的三维建模, 并将椎骨按形状和功能进行模块化, 探索了禽类的颈骨骼构型及其进化; Kambic等[27]对火鸡脖子三维模型进行了正向加载、轴向旋转等力学特性的研究, 以从3D扫描图或照片中获取结构信息, 精细复刻数字化模型, 由此开展模拟计算, 但其缺点是扫描重构的时间代价巨大, 得到的计算结果无规律且无解析表征, 这些缺点不利于该建模方法的拓展应用. 在仿生建模领域, 这些对章鱼臂、象鼻、尺蠖、蛇、人体外骨骼等[28-33]具有多节刚柔耦合特征的仿生建模关注主要变形、运动与作用力间的关系, 在建模过程中运用绝对坐标法表示体节运动或变形, 配合牛顿法、力密度法、能量法等进行力学建模求解, 并且后续开展了动力学分析和应用. 绝对坐标法从力学建模出发, 数学表达清晰, 在航空、机械等领域[34-36]应用广泛, 其可以实现大变形、刚柔耦合等特征的描述, 适用于多节结构建模且有利于后续研究.
本文的工作从鸡脖子的生物学解剖图出发, 根据真实的骨骼构型, 对照椎骨棘突, 按照侧突、腹突和后突建立中心固接多刚杆形成的单节椎骨刚体模型;根据颈侧肌群、颈腹肌群和颈背肌群等肌肉群的作用及其连接模式, 基于主要肌肉群的起终点位置得到对应的弹性连接的连接方式. 由此, 建立基于骨骼构型和肌肉功能的仿生刚柔耦合标准单元. 随后, 提出连接矩阵描述节点坐标与弹性元件的作用, 融合能够描述刚体空间大位移的绝对坐标法, 得到仿生标准单元的受力解析表示, 大变形下的刚体的受力平衡条件可以解析表达. 基于连接矩阵和绝对坐标方法, 通过建立变形后空间直角坐标系下每一节体节的6个广义坐标所满足的平衡方程得到仿鸡脖子多节力学模型力−位移本构. 最后进行模型验证和结果对比, 采用空间任意力系、平面弯曲和竖向扭转3个例子分别计算14节体节结构被动加载的理论结果和有限元软件仿真建模结果, 验证模型的准确性, 并且揭示结构的非线性特征. 特别的, 在平面弯曲工况下选取了自然构型、伸缩脖子、前后探头及头部俯仰4种构型进行弹簧主动作动验证, 展现了模型的生物可解释性.
1. 鸡脖子仿生机理
在对鸡脖子进行仿生建模时, 考虑仿生要求中的外形和结构相似. 注意到鸡类脖子主要由骨骼和肌肉两种生物组织组合而成, 且这两种组织的杨氏模量有数量级上的差距. 鸡脖子的整体形状是由骨骼支撑起来的, 所有的颈椎骨都由肌肉连接或被肌肉包围, 在运动时一般不会发生形变; 而肌肉通过拉伸或收缩来产生位移, 从而带动其附着的骨骼一并移动. 所以可以将骨骼抽象为不变形的刚性元件, 肌肉抽象为可变形的弹性元件(本文使用弹簧), 整个仿鸡类脖子结构可以抽象为多节次刚柔耦合结构, 其中, 刚性杆件支撑出整体结构形状、弹性元件起到平衡和变形作用. 本章将基于鸡的脖子的骨骼构型和肌肉连接, 确定仿鸡脖子多节次刚柔耦合结构的力学模型.
1.1 单节椎骨仿生
首先关注鸡脖子的骨骼构型. 根据解剖学研究, 鸡的脖颈部分多数分为14节颈椎骨, 从头部到胸部分别记为C1 ~ C14, C是颈部(cervical)的首字母. 在整根鸡脖子中, C1 ~ C4主要跟头部相连, C12 ~ C14主要跟胸腹与身体相连. 这两部分大部分肌肉跟头部或胸腹相连, 其肌肉、神经和淋巴等组织复杂, 骨骼构型也无统一规律;中部的C5 ~ C11节没有与头部或胸腹相连的任务, 骨骼构型相似, 肌肉连接比较规整, 故主要关注中部的椎骨.图1展示了中部椎骨单节鸡脖子骨骼三视图和对应的简化模型.图1(a)和图1(c)展示了一节真实解剖拍摄的鸡脖子中部椎骨的前、后、侧观面图, 此节椎骨明显呈现为一个空间X形, 前、后视图可以明显分辨顶部左右两边侧突和尾部分叉的位置, 侧视图可以明显分辨腹突与后突. 故本章的单节椎骨建模将以这节的结构为参照.
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图 1 单节鸡脖子椎骨三视图与简化结构对照Figure 1. Three-views and simplified structure of a single cervical vertebrae of chicken neck如图1所示, 鸡脖子中的椎骨有着明显的从椎骨中心延伸出的多根骨突, 故本文拟使用中心固接多刚杆的结构对椎骨进行仿生. 取结构的型心为中心Oi点, 将图1(a)中的后视图中“X形”的下半部分明显的分叉定义为后突, 后突有左右两根小的棘突, 在图1(b)中分别为
${{O}_{i}}n_{i1}^{'} $ 和${{O}_{i}}n_{i1}^{''}$ . 由于后突两根分岔处骨骼结构左右对称、这两根棘突与上下节椎骨连接的肌肉类型和连接方式一致. 在鸡脖子进行活动时, 与后突左右棘突相连的肌肉运动方式也基本是一致的: 在仰头、缩脖子时, 连接左棘突和右棘突的肌肉均会收缩;在低头、伸脖子时左右侧肌肉均会舒张. 故在力学建模上可以将后突的左右棘突合并为一根位于对称轴上大后突, 即Oini1. 注意到虽然在脖子扭转或歪头时, 这两根棘突上连接的肌肉的作用可能是相反的, 但这种简化处理不会丢失原本的肌肉连接和作用方式的表达. 与后突相对的, 在图1(c)中前视图下半部分和侧视图右下部分有比较粗的舌状骨突, 这部分是腹突, 对应于图中的紫色杆件Oini2. 腹突与后突都在前视图或后视图的对称轴上, 简化后在xOiz平面内.图1(c)中前视图与后视图上部有左右两个向外延伸的骨突, 将其称为侧突, 分别对应于图中的黑色杆件Oini3和Oini4. 为简化结构, 假定侧突都在yOiz平面内.1.2 椎间连接
为了构建仿鸡脖子肌肉连接的弹性元件连接模式, 本节将在1.1节建立的单节椎骨模型的基础上, 根据鸡脖子真实肌肉分布和各肌肉的连接位置及各自作用, 对两节椎骨间的肌肉连接进行分类和阐明, 建立仿鸡脖子结构中的柔性连接模式.
表1展示了禽类颈部主要肌肉的分布, 包括其起终点和主要作用. 可以看到, 鸡颈肌肉主要分为颈侧、颈背和颈腹3个肌群, 在侧突、后突和腹突上都有不同种类的肌肉与其连接, 肌肉也发挥了维持稳定、后仰、转动和回弹前驱等多种不同功能.图2根据表1内的肌肉分布情况和图1(d)的单节椎骨模型, 对比鸡脖子真实椎骨构型, 完善了模型中的两节间连接情况.
Muscular system Muscle name Origin (start) Insertion (end) Main function Mm. cervicales laterals Mm. intertransversarii transverse processes of Ci transverse processes of C(i−1) maintain stability and
bear compressive forceMm. cervicales dorsales Mm. intercristalis postzygapophysis of Ci postzygapophysis of C(i−1) maintain stability and
bear compressive forceMm. cervicales ventrales Mm. intercristalis prezygapophysis of Ci prezygapophysis of C(i−1) maintain stability and
bear compressive forceMm. cervicales dorsales M. ascendens cervicalis transverse processes of C6 ~ C11 postzygapophysis of C4 ~ C9 achieve torsion and bending Mm. cervicales dorsales M. longus colli dorsalis postzygapophysis of C14 transverse processes of C2 help tilt backward Mm. cervicales ventrales M. longus colli ventralis prezygapophysis of C14 prezygapophysis of C2 help springback and bend forward Note: “M” stands for “musculus” (Latin of “muscle”) and “Mm” is the abbreviation of “musculi”(the plural from) 注意到3种肌群里都有纵向肌肉的存在, 即颈侧肌群(Mm. cervicales laterals)的横突间肌(Mm. intertransversarii)、颈背肌群(Mm. cervicales dorsales)和颈腹肌群(Mm. cervicales ventrales)的棘间肌(Mm. intercristalis). 它们的连接方式均为从下节椎体突触连接到上节椎体对应突触, 主要作用均为维持椎体稳定和承受纵向压力, 连接方式简单并且主要作用相同. 所以可以将这些棘间肌抽象为连接nij和n(i + 1)j (j = 1, 2, 3, 4)的竖向弹簧, 对应图2(b)所示的4根黄色纵向弹簧. 颈升肌(M. ascendens cervicalis)由下节侧突(transverse processes)连接到上节后突(postzygapophysis), 其作用是让颈部可以实现扭转和弯曲. 故将颈升肌抽象为斜向弹簧, 对应图2(d)中的两根橙色斜向弹簧ni1n(i + 1)3和ni1n(i + 1)4. 颈背长肌(M. longus colli dorsalis)是一条跨度很长, 从颈椎底部的C14后突连接到头部的C2侧突上的长肌肉, 根据其功能为协助脖子后仰(tilt backward), 为方便建模, 将其分解到两节之间, 将其抽象为连接后突的弹簧, 对应图2(d)中的黄色纵向弹簧ni1n(i + 1)1. 故颈背肌群简化为由图2(d)展示的3根弹簧连接, 即黄色竖向弹簧ni1n(i + 1)1以及橙色斜向弹簧ni1n(i + 1)3和ni1n(i + 1)4. 颈腹肌群除了棘间肌以外还有颈腹长肌, 它的跨度也很大, 连接了C14的腹突(prezygapophysis)和C2腹突. 同颈背长肌一样, 也将其作用分解到两节之间. 颈腹长肌的主要作用为协助脖子发生回弹和前屈(springback and bend forward), 所以可以认为颈腹长肌的作用与颈背肌群作用相对, 故将颈腹长肌抽象为与颈背肌群镜像对称的3根弹簧, 分别是黄色竖向弹簧ni2n(i + 1)2以及橙色斜向弹簧ni2n(i + 1)3和ni2n(i + 1)4, 它们共同组成了颈腹肌群的简化结构, 即图2(f).
综上所述, 两节椎体间的肌肉连接组的力学模型抽象为8组弹性元件, 其中4组竖向弹性元件, 4组斜向弹性元件. 竖向弹簧的主要作用为维持椎体稳定、承受纵向压力以及协助头部俯仰, 从下节椎体突触连接到上节椎体对应突触, 腹突、后突及侧突, 在图2中以黄色线段表示, 其用线段nijn(i + 1)j (j = 1, 2, 3, 4)表示. 斜向弹簧的主要作用为实现扭转和弯曲, 从下节椎体侧突连接到上节椎体的腹突和后突, 在图2中以橙色线段表示, 表示为线段nipn(i + 1)q, (p = 1, 2; q = 3, 4). 本章建立的仿鸡脖子结构具有与鸡脖子类似的刚柔耦合特征, 刚体部分对照骨骼突触抽象为中心固接四刚杆结构, 柔性部分对照肌肉连接和所在肌群抽象为8根弹性元件, 且能够完成鸡脖子相关生理功能. 由此, 仿生刚柔耦合模型中的弹性元件的连接模式能够对应鸡脖子肌肉分类和作用, 图2所示的刚柔耦合单元符合鸡脖子生物结构特点.
2. 单节组合变形模型静力学建模
基于1.1部分对单节椎骨的构型和1.2部分对肌肉连接模式的建模, 第i节结构的仿生力学模型已经十分明晰. 如图3(a), 第i节结构拥有4根杆件Oini1, Oini2, Oini3和Oini4, 分别对应后突、腹突与左右侧突. 第i节结构与其上下两节, 即第i−1节与i + 1节拥有弹性连接. 本章将对任意一节模型进行静力学结构建模, 将节点位置与弹簧状态用坐标表示, 建立出力平衡方程, 进一步得出力−位移本构, 为后续非线性、动力学分析和控制奠定静力学模型理论基础.
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图 3 第i节刚体建模与节间连接方式Figure 3. Modeling of the i-th section and the connection between two sections将一个如图3(a)所示的,以Oi为中心,拥有Oini1, Oini2, Oini3和Oini44根杆件,其中Oini1和Oini2在xOiz平面内、Oini3和Oini4在yOiz平面内的一中心四刚杆结构称为第i节标准单元. 一个标准单元与上下两节编号相邻标准单元以图3(b)所示的弹簧连接,称连接第i节和第i + 1节标准单元的8根弹簧为第i组弹簧组. 后续建模将以标准单元和弹簧组为对象进行展开.
2.1 标准单元建模
对于单节刚体(图3(a))上的骨突, 由于中心点固定, 其各杆端点位置可以用长度ρ和角度θ两个广义坐标表示, 所以第i节骨骼刚体可以由ρi1, θi1, ρi2, θi2, ρi3, θi3, ρi4和θi4 8个广义坐标可以完全确定. 同时由于左右骨突在结构上对称, 所以通常可以取ρi3 = ρi4, θi3 = θi4. 若以中心点Oi为局部坐标系原点, 各杆端点nij的局部坐标表示为
$$ \left.\begin{split} & {{\boldsymbol{O}}_i}{{\boldsymbol{n}}_{i1}} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _{i1}}\sin {\theta _{i1}}}&0&{ - {\rho _{i1}}\cos {\theta _{i1}}} \end{array}} \right)^{\text{T}}} \\ & {{\boldsymbol{O}}_i}{{\boldsymbol{n}}_{i2}} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\rho _{i2}}\sin {\theta _{i2}}}&0&{ - {\rho _{i2}}\cos {\theta _{i2}}} \end{array}} \right)^{\text{T}}} \\ & {{\boldsymbol{O}}_i}{{\boldsymbol{n}}_{i3}} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{\rho _{i3}}\sin {\theta _{i3}}}&{{\rho _{i3}}\cos {\theta _{i3}}} \end{array}} \right)^{\text{T}}} \\ & {{\boldsymbol{O}}_i}{{\boldsymbol{n}}_{i4}} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {\rho _{i4}}\sin {\theta _{i4}}}&{{\rho _{i4}}\cos {\theta _{i4}}} \end{array}} \right)^{\text{T}}} \end{split}\right\} $$ (1) 以上给出的是端点nij与其所在刚体的中心点Oi连接的向量, 也是该端点在以Oi为原点的相对坐标系下的坐标. 若以整个结构的第一节标准单元的中心O1所在的位置为原点O建立整体坐标系, 那么各端点nij的绝对坐标为
$$ {{\boldsymbol{n}}_{ij}} = {\boldsymbol{O}}{{\boldsymbol{n}}_{ij}} = {\boldsymbol{O}}{{\boldsymbol{O}}_i} + {{\boldsymbol{O}}_i}{{\boldsymbol{n}}_{ij}} $$ (2) 其中, j = 1, 2, 3, 4.由于原点O和所有Oi都在z轴上, 所以原点到各中心点的向量可以表示为
$$ {{\boldsymbol{O}}_1}{{\boldsymbol{O}}_i} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ - \displaystyle\sum\limits_{p = 1}^{i - 1} {{d_p}} } \end{array}} \right)^{\text{T}}} $$ (3) 其中, i = 2, 3, ···, m, m是总节数, dp是第p节与第p − 1节中心之间的距离, 即Op−1与Op的间距.
2.2 弹簧连接建模
为得到单节位移与各弹簧弹性力之间的关系, 需要建立两节标准单元之间连接的弹性元件的数学表达. 参照各弹簧所连接节点的编号, 给两节间的8组弹簧依次编号为si1 ~ si8. 图4展示了连接矩阵的定义和装配方法, 图4(a)展示了一节标准单元弹簧连接建模相关的节点和弹簧编号, 图4(b)展示了每根弹簧的连接方式, 规定弹簧由上节标准单元上的节点指向下节标准单元上的节点, 即nij为起点(start), n(i + 1)k为终点(end), 其中, 下标j, k = 1, 2, 3, 4.
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图 4 弹簧连接方式、连接节点列表及连接矩阵Figure 4. Connection mode of springs, node list of connection springs and connection matrix如图4(a) ~ 图4(b)所示, si1 ~ si4是竖向弹簧(黄色), 连接nij和n(i + 1)j, j = 1, 2, 3, 4; si5 ~ si8是斜向弹簧(橙色), 连接nip和n(i + 1)q, p = 1, 2, q = 3, 4; si1 ~ si8即为第i组弹簧组. 由于每两节标准单元之间的连接方式一致, 故对于第i−1组弹簧组, 其连接表内的弹簧和节点编号下标与第i组弹簧组仅有参数i发生变化, 图中s(i−1)1 ~ s(i−1)4以淡黄色标识, s(i−1)5 ~ s(i−1)8以淡橙色标识.
根据图4(a) ~ 图4(b), 本文提出描述节点是否作用有弹性恢复力的矩阵C, 其构成和元素意义如图4(c)所示. 定义连接矩阵C中每一行代表一根弹簧的连接方式, 从上到下依次是s(i−1)1 ~ s(i−1)8, si1 ~ si8; C中每一列代表一个节点, 从左至右依次是n(i−1)1 ~ n(i−1)4(蓝绿色), ni1 ~ ni4(天蓝色), n(i + 1)1 ~ n(i + 1)4(蓝色). 由于第i节与上下两节分别相连, 涉及到16根弹簧和12个节点, 故C是大小为16 × 12的矩阵. 对于C的第i行第j列的元素, 若第j列对应的节点与第i行对应的弹簧有连接, 并且为起点, 则Cij = 1, 若为终点, 则Cij = −1; 若无连接, 则Cij = 0; 这里规定上级标准单元(如第i级)上的点作为起点, 下级标准单元(如第i + 1级)上的点作为终点. 例如连接矩阵C的第6列, 对应节点ni2, 这一列的元素中, 第2行取−1, 第10, 15和16行为1, 其余元素均为0, 这表示该节点(ni2)是s(i−1)2的终点, 也是si2, si7和si8的起点, 并且与其他弹簧没有连接. 对照图4(b) ~ 图4(c)检验, 可以发现ni2的连接信息被连接矩阵C准确、全面的表述.
由于连接矩阵C每行代表一根弹簧, 每列代表一个节点, 并且储存了弹簧起终点信息, 故其可以作为节点坐标和弹簧状态的连接, 即
$$ {{\boldsymbol{L}}_i} = {\boldsymbol{C}}{{\boldsymbol{N}}_i} $$ (4) 其中Li 是弹簧组不受力时的状态向量, 由与第i节标准单元连接的16根弹簧的状态向量组成, Lij是相同下标弹簧sij的向量表示; Ni是由第i−1节、第i节和第i + 1节的12个节点坐标组成的列向量. 其中i = 1, 2, ···, m−1; j = 1, 2, ···, 8. 各向量的具体形式请参阅附录A. 对于最后一节(即当i = m), 并不存在对应的弹簧组Lm, 故此处i不取m. 同时需要注意, 对于第1节标准单元, 即当i = 1时, 式中的L(i−1)1 ~ L(i−1)8, n(i−1)1 ~ n(i−1)4不存在, 所以在计算时, 这些元素为0.
2.3 单节变形静力学模型
基于2.1节和2.2节对标准单元和弹簧组的建模, 本节将通过受力分析与静力平衡建立每个标准单元的静力学模型. 第i节标准单元的力和力矩的平衡方程为
$$ \sum\limits_{j = 1}^4 {{{\boldsymbol{F}}_{ij}} + {{\boldsymbol{F}}_{io}}} = {{\boldsymbol{0}}},\;\;\sum\limits_{j = 1}^4 {{{\boldsymbol{M}}_{ij}} + {{\boldsymbol{M}}_{io}}} = {{\boldsymbol{0}}} $$ (5) 式中Fij是第i节标准单元上第j个节点的弹性力, Mij是对应节点弹性力在结构中心Oi产生的力矩, Fio和Mio是简化至结构中心Oi的合外力与合外力矩. 其中i = 1, 2, ···, m−1; j = 1, 2, 3, 4.
假设在外力作用下, 第i节标准单元产生了6个自由度的位移和转角xi, yi, zi, φix, φiy, φiz. 平衡状态下各端点的位置可以用这6个广义坐标表示为
$$ {\boldsymbol{n}}{'_{ij}} = {\boldsymbol{On}}{'_{ij}} = {\boldsymbol{O}}{{\boldsymbol{O}}_i} + {{\boldsymbol{O}}_i}{\boldsymbol{O}}{'_i} + {\boldsymbol{O}}{'_i}{{\boldsymbol{n}}_{ij}} $$ (6) 其中
$$ {\boldsymbol{O}}{ _i}{\boldsymbol{O}}{'_i} = {\left( x_{i},\;y_{i},\;z_{i} \right)^{\text{T}}},\;\;{\boldsymbol{O}}{'_i}{{\boldsymbol{n}}_{ij}} = {{\boldsymbol{R}}_i} \cdot {{\boldsymbol{O}}_i}{{\boldsymbol{n}}_{ij}} $$ (7) 其中, j = 1, 2, 3, 4.此处Ri∈
$ \mathbb{R} $ 3×3是在φix, φiy和φiz三个转角下第i节单元的整体旋转矩阵, 为便于计算和结果展示, 这里将整体的旋转矩阵定义为依次顺序绕O'ix轴、O'iy轴和O'iz轴旋转矩阵的乘积, 即$$ {{\boldsymbol{R}}_i} = {{\boldsymbol{R}}_{iz}}{{\boldsymbol{R}}_{iy}}{{\boldsymbol{R}}_{ix}} $$ (8) 其中
$$ \left.\begin{split} & {{\boldsymbol{R}}_{ix}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&{\cos {\varphi _{ix}}}&{ - \sin {\varphi _{ix}}} \\ 0&{\sin {\varphi _{ix}}}&{\cos {\varphi _{ix}}} \end{array}} \right] \\ & {{\boldsymbol{R}}_{iy}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\varphi _{iy}}}&0&{\sin {\varphi _{iy}}} \\ 0&1&0 \\ { - \sin {\varphi _{iy}}}&0&{\cos {\varphi _{iy}}} \end{array}} \right] \\ & {{\boldsymbol{R}}_{iz}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\varphi _{iz}}}&{ - \sin {\varphi _{iz}}}&0 \\ {\sin {\varphi _{iz}}}&{\cos {\varphi _{iz}}}&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right] \end{split}\right\} $$ (9) 其中, i = 1, 2, ···, m−1.
弹簧的弹性力可以用胡克定律Fik = kiΔl表示. 将与第i节标准单元相连的16根弹簧(即图4(b))合并成一个矩阵,有
$$ {{\boldsymbol{F}}_{i{\text{k}}}} = {{\boldsymbol{K}}_i}{{\Delta }}{{\boldsymbol{L}}_i} $$ (10) 其中Fik 是图4(b)所列出的16根弹簧的弹性力, 其组成元素Fij是相同下标弹簧sij所受弹性力; Ki 是这些弹簧对应的刚度组成的对角矩阵, 其组成元素kij是相同下标弹簧sij的刚度; ΔLi 是这16根弹簧的变形量向量, 其组成元素ΔLij的物理意义是携带平衡状态下方向信息的弹簧长度变化量, 计算方式为
$$ {{\Delta }}{{\boldsymbol{L}}_{ij}} = \left( {\left\| {{{\boldsymbol{L}}_{ij}}} \right\| - \left\| {{\boldsymbol{L}}{'_{ij}}} \right\|} \right)\frac{{{\boldsymbol{L}}{'_{ij}}}}{{\left\| {{\boldsymbol{L}}{'_{ij}}} \right\|}} $$ (11) 其中, Lij和
${\boldsymbol{L}}'_{ij}$ 可以通过式(4)计算得到, 即$$ {{\boldsymbol{L}}_i} = {\boldsymbol{C}}{{\boldsymbol{N}}_i},\;\;{\boldsymbol{L}}{'_i} = {\boldsymbol{CN}}{'_i} $$ (12) 其中,
${\boldsymbol{L}}'_{i}$ 与Li的意义类似, 代表弹簧组平衡状态下的状态向量, 下标为, i = 1, 2, ···, m−1; j = 1, 2, 3, ···, 8.将弹簧的弹性力对应到节点上时,可以再一次利用连接矩阵C. 由于此处只计算第i节标准单元上的4个端点ni1, ni2, ni3, ni4, 所以只取连接矩阵对应的几列,即中间4列,并将其转置,得
$$ {\boldsymbol{C}}'^{\rm{T}} = \left[\begin{array}{cccccccccccccccc}-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& -1& 0& -1& 0& -1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1& 0& -1& 0& -1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right] $$ (13) 利用
${\boldsymbol{C}}'^{\rm{T}}$ , 可以将弹性力Fik对应到节点力Fi上, 即$$ {{\boldsymbol{F}}_i} = {\boldsymbol{C}}'^{\rm{T}}{{\boldsymbol{F}}_{i{{k}}}} $$ (14) 其中Fi = {Fi1, Fi2, Fi3, Fi4}T. 可以进一步求得各点受弹性力对结构中心Oi的力矩为
$$ {{\boldsymbol{M}}_{ij}} = {{\boldsymbol{O}}_i}{{\boldsymbol{n}}_{ij}} \times {{\boldsymbol{F}}_{ij}} $$ (15) 其中, i = 1, 2, ···, m−1; j = 1, 2, 3, 4.
根据力平衡条件式(5), 可将力平衡方程和力矩平衡方程各自投影到3个方向上. 对于每一节标准单元, 存在6个平衡方程和6个自由度, 故联立整个结构的6m−6个方程可求解6m−6个自由度(其中第m节固接于地面, 6个自由度均为0).
综上, 本章使用绝对坐标法并引入连接矩阵对节点坐标和弹簧状态进行描述, 建立了一种适用于多方向、大变形和多节刚柔耦合结构的建模方法, 完成了前文建立的仿鸡脖子刚柔耦合结构的力学建模, 由此可以确定力与位移之间的关系.
3. 理论建模结果验证
第2章提出的理论建模方法可以完成对仿鸡脖子刚柔耦合结构的描述和求解, 本节将选取几种典型案例: 2体节受任意外力、平面弯曲和扭转, 及14体节受到平面弯曲和扭转, 分别对比第2章理论建模方法的结果和有限元计算的结果, 以及展示结构的非线性特征.
表2展示了计算参数的取值. 其中结构参数(structure parameters)被同时应用在理论方法和有限元计算中. 在有限元计算过程中需要添加设置材料参数(material parameters)和截面参数(profile parameters). 注意到理论建模中存在刚体假设, 故此处有限元验证中也将为每一节标准单元添加刚体约束(rigid body constrain), 参考点(reference point)选择结构中心点Oi. 由于未考虑重力, 预定义的重力场(predefined field: gravity)大小为0.本节中假设每一个标准单元的构型是同构的, 腹突、后突和侧突构型也一致, 每两节间间距均相同, 且所有的弹簧都是线性的并且刚度相同. 所以使用4个结构参数(ρij, θij, di, kij)可以描述每一节标准单元和其连接的状况.
表 2 模型参数设置Table 2. Parameter settings in modelingParameter type Name Value structure parameters ρij 100 mm θij π/4 di 50 mm kij 1×104 N/m material parameters Young’s modulus 2 TPa Poisson’s ratio 0.49 profile parameters (rectangular) a(width) 1 mm b(length) 1 mm constrain rigid body constrain (for each standard units) predefined field gravity 0 3.1 两体节变形模型静力学变形与刚度特征
下面考虑只有两节体节的情况, 即m = 2, 此时结构拥有两个标准单元和一组弹簧组. 分别使用第2章中提出的理论方法与有限元方法计算施加如竖向外力和横向外力, 其静力学变形结果及刚度特征在3.1.1和3.1.2节展示. 这种情况下, 第2节标准单元固支于地面, 只有第一节标准单元受外力后会产生位移, 故接下来的描述中省略了各力和位移的第一个下标i(实际取值为1), 例如F1oz记做Foz, 位移z1记做z. 由图5和图6可见理论方法与有限元方法的计算结果差距很小, 几乎可以忽略. 这说明理论建模结果准确.
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图 6 横力弯曲时Foy与y, z, φx关系图Figure 6. Foy-y, Foy-z, Foy-φx graph under transverse bending force3.1.1 竖向外力−位移特征
本节展示两节构型中竖向外力的值Foz与竖向位移z的关系. 图5(a)展示了两体节结构的有限元建模, 其中每一节标准单元的刚体约束参考点(reference point, RP-i)与中心点Oi重合, 第2节标准单元完全固接于地面, 两节之间以本文第2.2节所展示的弹簧组连接. 后续章节的有限元模型只是在上方添加了标准单元与对应弹簧组, 不再重复展示. 如果只施加竖向外力Foz, 根据结构的对称性, 外力在允许范围内加载只会产生竖向位移, 所以可以直接导出Foz与z的函数关系. 图5(b)中展示了两节构型中, 竖向外力Foz与竖向位移z在受压缩力时的关系, 圆点为本文理论方法计算值, 方块为有限元计算值. 由于其非线性特征并不明显, 此处添加了一条直线F = kz = 0z作对比, 它是Foz−z曲线在z = 0处的切线.
可见Foz与z的关系为非线性, 且为硬弹簧关系, 即随着外力绝对值增大刚度的绝对值增大. 由于弹簧刚度均为线性, 所以此处的非线性来源于结构本身, 这一变化趋势也与实际结构相吻合: 当向下的力Foz的值增大, 位移z的值增大, 相当于两节标准单元靠近, 此时斜向弹簧与z轴的夹角变小, z轴正方向的分量增加, 可以更多的提供竖向刚度.
3.1.2 横向外力−位移特征
本节展示两节构型中横向外力加载与位移和转角的关系. 如果只施加一个横向外力Foy, 则会产生y, z, φx三个方向的位移.图6中采用取点法, 选取了Foy = 0, 30, 60, ···, 300的11个点, 在这些Foy值下分别计算y, z, φx三个方向的位移的结果, 再将各点连接.图6中展示了不同Foy值下y, z, φx三个方向位移的变化规律. 由于Foy−z关系后段的刚度变化趋势不明显, 故补充了其导数值的变化图像. 图6(c)的导数值是根据导数定义, 令ΔFoy = 0.01, 使用理论方法计算出Δz后, 代入得出的极限的近似值.
从图6中可以明显发现, Foy与y, z, φx的关系均为非线性. Foy−y与Foy−φx 为硬弹簧关系, 即随着外力增大刚度的绝对值增大; 而Foy−z为先软后硬的关系, 即随着外力增大, 刚度的绝对值先减小后增大. 这些现象可以从结构角度解释为: 随着横力增加, 结构弯曲幅度增加, 原本竖向的弹簧也会产生横向分量, 原本倾斜的弹簧也会在水平方向产生刚度, 从而y方向的刚度增大, z方向的刚度的绝对值先是减小; 但是随着弯曲幅度进一步增加, 转角φx逐渐增大, 原本倾斜的弹簧向竖直方向分解力增加, 从而为竖直方向提供了更高的恢复力, 故z方向刚度后续会增大. 转角φx方向的刚度主要来自于4根斜弹簧, 随着结构弯曲幅度增加, 由于会产生z负方向的位移, 两根斜弹簧都被拉伸, 会使得产生转角的难度更大, 从而此方向的刚度的绝对值会增大.
3.2 14体节变形模型顶部受载结果展示
3.2.1 平面弯曲
喝水、啄取地上的食物或左右歪头是鸡禽在正常生活中经常会遇见的场景. 在这样的场景下, 鸡脖子需要承受头部的重量. 这对于鸡脖子来说, 对应的力学工况即为顶端受载荷的平面弯曲. 故本节算例考察一个体节数为14 (即m = 14)的结构顶端(即第1节结构)受一载荷的变形状况. 图7展示了14体节结构加载了一个形如F1oy = 20 N, F1oz = 20 N的外力后, 各节单元的位移的理论计算和有限元计算结果, 附录B中表B1列明了理论和有限元计算的详细数据对比. 由图7和附录B中表B1可见, 所有数据理论计算与有限元结果相差不超过0.03%, 可认为理论计算准确.
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图 7 14体节结构顶端受弯曲力作用下理论结果与有限元结果对比Figure 7. Comparison of theoretical and FEA results under a bending force acts on the top of 14-section structure3.2.2 竖向扭转
鸡禽漫步或找寻食物时, 经常可以被观察到头部扭转从而带动脖子扭转的场景. 本节算例考察一个体节数为14的结构顶端受一竖向扭转力矩后的位移与转角情况. 图8展示了14体节结构加载了一个形如M1oz = 10 N·m的外力矩后, 各节单元的位移的理论计算和有限元计算结果, 附录B中表B2列明了理论和有限元计算的详细数据对比. 由图8和表B2可见, 所有数据理论计算与有限元结果相差不超过0.03%, 可认为理论计算准确.
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图 8 14体节结构顶端受一竖向扭转力矩作用下理论结果与有限元结果对比Figure 8. Comparison of theoretical and FEA results under a torsional moment acts on the top of 14-section structure本文还对14体节结构加载了一个形如F1oy = 10 N, M1oz = 1 N·m的外力, 即弯扭组合变形工况下的模型正确性进行了验证, 限于篇幅问题不在正文中展示, 数据见附录B中表B3.其中x, y, z, φx, φz的误差均在可接受范围内. 由于φy是耦合带来的, 有限元结果受数据干扰影响较大, 与理论计算结果有数量级上的差距, 需要后续研究中再与实验结果做比较.
4. 颈腹颈背肌肉群作动时仿生结构构型
4.1 平面弯曲肌肉作动弹簧作用力表示方法
本章将对鸡脖子最常见的工况, 即肌肉作动的平面弯曲工况进行研究. 在两个方向的弯曲中, 又属xOz平面的弯曲更为常见. 在这个平面内鸡脖子可以完成伸缩脖子、前后探头、配合头部俯仰等动作, 对应于结构的工况即为上下前后的大范围移动以及末端的角度大范围变化. 假设只有位于xOz平面内的肌肉起主要作用并且可以进行主动伸缩, 其他肌肉起辅助作用, 即对应的si1和si2弹簧主动伸缩, si3 ~ si8弹簧被动变形(i = 1 ~ 13). 由于si1和si2弹簧分别位于结构前侧和后侧, 可以简单的认为si1一侧弹簧收缩可以使结构末端前倾, si2一侧弹簧收缩与si1一侧弹簧收缩的作用对称. 由于肌肉的作用通常是连续变化的且一般情况下骨骼位移主要由肌肉收缩产生, 所以可以假设每根弹簧只进行收缩作用且对侧弹簧不会同时主动收缩作用. 可以将主动作动的弹簧作用力表述为
$$ \left.\begin{split} & {{\boldsymbol{F}}_{\text{s}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{F}}_{{\text{s1}}}}} \\ {{{\boldsymbol{F}}_{{\text{s2}}}}} \end{array}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{{\text{s11}}}}}&{{F_{{\text{s21}}}}}& \cdots &{{F_{{\text{s(13)1}}}}} \\ {{F_{{\text{s12}}}}}&{{F_{{\text{s22}}}}}& \cdots &{{F_{{\text{s(13)2}}}}} \end{array}} \right] \\ & {\text{s}}{\text{.t}}{\text{. }}{F_{{\text{s}}i1}} {F_{{\text{s}}i2}} = 0,{F_{{\text{s}}i1}} + {F_{{\text{s}}i2}} > 0,i = 1,2,3, \cdots ,13 \end{split}\right\} $$ (16) 其中的Fsij表示对应编号弹簧的作用力. 此处为简化问题, 假设在作动时, 每一根弹簧作用力大小一致. 在这样的假设下, 可以将弹簧作动的表示拆分为大小和状态量, 即
$$ \left.\begin{split} & {{\boldsymbol{F}}_{\text{s}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{F}}_{{\text{s1}}}}} \\ {{{\boldsymbol{F}}_{{\text{s2}}}}} \end{array}} \right) = {F_{{S}}} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_{{\text{s11}}}}}&{{T_{{\text{s21}}}}}& \cdots &{{T_{{\text{s(13)1}}}}} \\ {{T_{{\text{s12}}}}}&{{T_{{\text{s22}}}}}& \cdots &{{T_{{\text{s(13)2}}}}} \end{array}} \right] \\ & {\text{s}}{\text{.t}}{\text{. }}{T_{{\text{s}}i1}} {T_{{\text{s}}i2}} = 0,{T_{{\text{s}}i1}} + {T_{{\text{s}}i2}} = 1,i = 1,2,3, \cdots ,13 \end{split}\right\} $$ (17) 其中FS表示弹簧作动力的大小, 乘号后方只由1和0组成的矩阵称作构型矩阵.
4.2 构型示意与计算结果
根据文献[13-15]中对鸡脖子肌肉作动时整体构型的展示定义, 本文建立仿鸡脖子结构中肌肉群作动方式与构型之间的关系, 图9(a)为自然状态下鸡脖子呈现的S形状, 图9(b) ~ 图9(d)为鸡脖子在平面内实现伸缩脖子、前后探头、头部俯仰功能时的结构示例图. 其中灰色圆点表示一节椎骨(标准单元), 黑色连接线表示节间连接的肌肉组(弹簧组). 此处图9(b) ~ 图9(d)中均放置了同一端点的图9(a)构型作为对比. 根据每节之间的转角关系, 可以直接假定其弹簧作用力Fs, 图9中一并展示对应构型的弹簧作用力.
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图 9 14体节结构xOz平面弯曲相关功能真实结构示意及其弹簧作用力(Fs单位: N)Figure 9. The structure schematic diagram of 14-section structure abstract from 3 related functions and spring force of xOz plane bending (unit of Fs: N)将以上弹簧作用力加载到本文建立的14节结构上, 计算出的构型如图10和附录B中表B4所示. 观察图10、表B3与Fs(a) ~ Fs(d)可以发现, Fs(a)对应的构型图10(a)是一个自然状态的S构型, 与图9(a)相当; Fs(b)对应的构型图10(b)是一个头部抬升状态的S构型, 与图9(b)相似, 其作用相当于抬升了头部的位置, 产生z方向位移. 这与实际情况相同, 鸡脖子肌肉松弛可以实现一个抬头的效果, 反之肌肉紧绷可以实现缩头的效果. Fs(c)对应的构型图10(c)是一个头部前探状态的S构型, 与图9(c)相似, 其弹簧作用力与Fs(a)相比只变化了靠近底端的第10和第11对弹簧, 从颈背肌发力改变成颈腹肌发力, 使得结构顶端产生了较大的x方向位移; Fs(d)对应的构型图10(d)是一个头部仰起状态的S构型, 与图9(d)相似, 其弹簧作用力与Fs(a)相比只变化了靠近顶端的第5和第6对弹簧, 从颈腹肌发力改变成颈背肌发力, 使得结构顶端产生了较大的φy方向转角. 这两个构型的切换方式也与实际情况相同: 鸡脖子底端肌肉发力可以大幅改变其顶端位置, 而顶端肌肉发力对顶端位置的改变有限, 但可以改变其仰角. 这些构型和其切换方式具有良好的大变形性质和生物学解释, 这说明本文建立的仿鸡脖子刚柔耦合结构与实际的鸡脖子结构的功能一致, 可以通过肌肉作动实现伸缩脖子、前后探头、配合头部俯仰等的功能.
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图 10 14体节结构xOz平面弯曲构型计算结果示意Figure 10. Results of 14-section structure under spring force of xOz plane bending5. 结论
本文提出了一种仿鸡脖子多节刚柔耦合结构, 对其进行建模并给出了柔性大变形下的力−位移规律, 通过与有限元方法结果的对比证明了理论建模的有效性. 该仿生结构展现了可设计的非线性恢复力特征, 在不同肌肉群作动下也展现出符合生物构型的整体变形. 基于大变形的解析建模方法是仿生结构设计的基础, 也是后续应用的关键. 本文的主要结论如下.
(1) 本文根据鸡脖子真实解剖结构, 阐明骨骼部分的构型特征和关键连接点, 将骨骼部分抽象为中心固接四刚杆标准单元;基于功能和连接模式将肌肉群进行分类, 抽象为完备的弹簧组, 最后, 组建为具有非典型非完整约束连接的仿生多节刚柔耦合结构. 提出的仿鸡脖子多节结构的构型具有生物可解释性, 体现了刚柔耦合特点.
(2)利用绝对坐标法描述刚体部分各端点在空间中的绝对位置, 定义连接矩阵将各端点位置和弹性元件所对应的状态向量联系起来, 由此形成弹性元件组的连接恢复力解析表达. 由此建立了仿生刚柔耦合结构的解析建模方法. 在该力学建模中, 对大变形的几何关系没有引入任何力学假设, 且连接矩阵的形式只与各弹簧的连接方式有关, 因此, 当肌肉本构、节数、结构参数发生改变时, 本文的建模方法同样适用.
(3) 本文的研究结果展示了两节结构受任意外力、竖向压力和横向弯曲、多节结构受横力弯曲和扭转力矩的五种典型工况下的结构力学特性, 以及通过弹簧作动复原了平面弯曲工况下, 具有14节体节的仿生结构在模拟鸡脖子自然状态、伸缩脖子、前后探头和头部俯仰4种情况下的构型. 通过对比理论建模结果和有限元建模结果, 验证了理论模型的正确性、生物可解释性, 并且模型可以实现6个方向大变形下的力学计算. 根据结果数据可以看出, 该结构具有非线性变刚度特性, 即各方向的刚度会随着外力变化而变化, 并非线性关系, 并且存在先软后硬的反常规非线性规律.
本文提出的多节仿鸡脖子刚柔耦合结构建模具有仿生机理清楚、非线性变刚度特征明显和可以实现大变形计算的特点,这为终端稳定振动控制、精确定位等动力学领域的后续研究提供了理论模型,在机器人、航空航天等领域具有应用价值,也是对禽类颈部仿生结构仿生机理的补充.
附录A
单节变形静力学建模中相关向量或矩阵的具体表达形式如下
$\; $ $$ {{\boldsymbol{L}}_i} = {\left\{ {{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)1}},{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)2}},{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)3}},{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)4}},{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)5}},{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)6}},{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)7}},{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)8}},{{\boldsymbol{L}}_{i1}},{{\boldsymbol{L}}_{i2}},{{\boldsymbol{L}}_{i3}},{{\boldsymbol{L}}_{i4}},{{\boldsymbol{L}}_{i5}},{{\boldsymbol{L}}_{i6}},{{\boldsymbol{L}}_{i7}},{{\boldsymbol{L}}_{i8}}} \right\}^{\text{T}}} $$ $$ {{\boldsymbol{N}}_i} = {\left\{ {{{\boldsymbol{n}}_{(i - 1)1}},{{\boldsymbol{n}}_{(i - 1)2}},{{\boldsymbol{n}}_{(i - 1)3}},{{\boldsymbol{n}}_{(i - 1)4}},{{\boldsymbol{n}}_{i1}},{{\boldsymbol{n}}_{i2}},{{\boldsymbol{n}}_{i3}},{{\boldsymbol{n}}_{i4}},{{\boldsymbol{n}}_{(i{\text{ + }}1)1}},{{\boldsymbol{n}}_{(i{\text{ + }}1)2}},{{\boldsymbol{n}}_{(i{\text{ + }}1)3}},{{\boldsymbol{n}}_{(i{\text{ + }}1)4}}} \right\}^{\text{T}}} $$ $$ {{\boldsymbol{F}}_{i{{k}}}} = {\left\{ {{{\boldsymbol{F}}_{(i - 1)1{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{(i - 1)2{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{(i - 1)3{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{(i - 1)4{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{(i - 1)5{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{(i - 1)6{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{(i - 1)7{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{(i - 1)8{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{i1{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{i2{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{i3{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{i4{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{i5{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{i6{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{i7{{k}}}},{{\boldsymbol{F}}_{i8{{k}}}}} \right\}^{\text{T}}} $$ $$ {{\boldsymbol{K}}_i} = {\text{dig}}\left( {{k_{(i - 1)1}},{k_{(i - 1)2}},{k_{(i - 1)3}},{k_{(i - 1)4}},{k_{(i - 1)5}},{k_{(i - 1)6}},{k_{(i - 1)7}},{k_{(i - 1)8}},{k_{i1}},{k_{i2}},{k_{i3}},{k_{i4}},{k_{i5}},{k_{i6}},{k_{i7}},{k_{i8}}} \right) $$ $$ {\Delta }{{\boldsymbol{L}}_i} = {\left\{ {{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)1}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)2}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)3}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)4}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)5}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)6}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)7}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{(i - 1)8}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{i1}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{i2}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{i3}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{i4}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{i5}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{i6}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{i7}},{\Delta }{{\boldsymbol{L}}_{i8}}} \right\}^{\text{T}}} $$ $$ {\boldsymbol{L}}{'_i} = {\left\{ {{\boldsymbol{L}}{'_{(i - 1)1}},{\boldsymbol{L}}{'_{(i - 1)2}},{\boldsymbol{L}}{'_{(i - 1)3}},{\boldsymbol{L}}{'_{(i - 1)4}},{\boldsymbol{L}}{'_{(i - 1)5}},{\boldsymbol{L}}{'_{(i - 1)6}},{\boldsymbol{L}}{'_{(i - 1)7}},{\boldsymbol{L}}{'_{(i - 1)8}},{\boldsymbol{L}}{'_{i1}},{\boldsymbol{L}}{'_{i2}},{\boldsymbol{L}}{'_{i3}},{\boldsymbol{L}}{'_{i4}},{\boldsymbol{L}}{'_{i5}},{\boldsymbol{L}}{'_{i6}},{\boldsymbol{L}}{'_{i7}},{\boldsymbol{L}}{'_{i8}}} \right\}^{\text{T}}} $$ 附录B
14体节结构算例理论结果与有限元结果对比如下表.
B1 14体节结构顶端受−弯曲力作用下理论结果与有限元结果数据B1. Data of theoretical and FEA results when a bending force acts on the top of 14-section structureSection number yi/mm, FEA yi/mm, theo Error of yi/% zi/mm, FEA zi/mm, theo Error of zi/% φix/rad, FEA φix/rad, theo Error of φix/% 1 529.76 529.71 −0.01 −348.82 −348.71 −0.03 −1.3529 −1.3526 −0.02 2 480.19 480.15 −0.01 −307.26 −307.16 −0.03 −1.3366 −1.3363 −0.02 3 430.74 430.70 −0.01 −266.25 −266.17 −0.03 −1.3086 −1.3083 −0.02 4 381.53 381.49 −0.01 −226.35 −226.28 −0.03 −1.2685 −1.2683 −0.02 5 332.74 332.70 −0.01 −188.11 −188.05 −0.03 −1.2158 −1.2156 −0.02 6 284.61 284.58 −0.01 −152.11 −152.06 −0.03 −1.1498 −1.1495 −0.02 7 237.47 237.44 −0.01 −118.91 −118.87 −0.03 −1.0696 −1.0693 −0.02 8 191.80 191.77 −0.01 −89.07 −89.04 −0.03 −0.9740 −0.9738 −0.02 9 148.21 148.19 −0.01 −63.13 −63.11 −0.03 −0.8620 −0.8618 −0.02 10 107.57 107.55 −0.01 −41.53 −41.51 −0.03 −0.7319 −0.7317 −0.02 11 70.94 70.93 −0.01 −24.58 −24.57 −0.03 −0.5822 −0.5820 −0.03 12 39.70 39.70 −0.01 −12.34 −12.34 −0.03 −0.4112 −0.4111 −0.03 13 15.46 15.46 −0.01 −4.46 −4.46 −0.03 −0.2175 −0.2174 −0.03 *Note: Error is based on theoretical results. The same in Table B2 and Table B3 B2 14体节结构顶端受−竖向扭转力矩作用下理论结果与有限元结果数据B2. Data of theoretical and FEA results when a torsional moment acts on the top of 14-section structureSection number zi/mm, FEA zi/mm, theo Error of zi/% φiz/rad, FEA φiz/rad, theo Error of φiz/% 1 −18.52 −18.52 −0.02 2.4213 2.4207 −0.02 2 −17.09 −17.09 −0.02 2.2350 2.2345 −0.02 3 −15.67 −15.67 −0.02 2.0488 2.0483 −0.02 4 −14.25 −14.24 −0.02 1.8625 1.8621 −0.02 5 −12.82 −12.82 −0.03 1.6763 1.6759 −0.02 6 −11.40 −11.39 −0.03 1.4900 1.4896 −0.02 7 −9.97 −9.97 −0.03 1.3038 1.3034 −0.02 8 −8.55 −8.55 −0.03 1.1175 1.1172 −0.03 9 −7.12 −7.12 −0.03 0.9313 0.9310 −0.02 10 −5.70 −5.70 −0.03 0.7450 0.7448 −0.02 11 −4.27 −4.27 −0.03 0.5588 0.5586 −0.02 12 −2.85 −2.85 −0.03 0.3725 0.3724 −0.02 13 −1.42 −1.42 −0.03 0.1863 0.1862 −0.02 B3 14体节结构顶端受−弯扭组合力作用下理论结果与有限元结果数据B3. Data of theoretical and FEA results when a bending force and a torsional moment act on the top of 14-section structureSection number xi/mm, FEA xi/mm, theo Error of xi/% yi/mm, FEA yi/mm, theo Error of yi/% zi/mm, FEA zi/mm, theo Error of zi/% 1 −0.28 −0.28 0.61 5.45 5.42 −0.55 −0.41 −0.41 −1.19 2 −0.65 −0.65 −0.37 13.72 13.63 −0.60 −1.18 −1.17 −1.27 3 −1.12 −1.11 −1.11 24.52 24.36 −0.63 −2.42 −2.39 −1.33 4 −1.72 −1.69 −1.66 37.57 37.33 −0.66 −4.19 −4.13 −1.40 5 −2.44 −2.40 −2.08 52.62 52.26 −0.68 −6.52 −6.43 −1.45 6 −3.32 −3.24 −2.40 69.39 68.90 −0.71 −9.42 −9.28 −1.51 7 −4.35 −4.23 −2.64 87.64 87.01 −0.73 −12.86 −12.66 −1.57 8 −5.54 −5.38 −2.82 107.14 106.34 −0.75 −16.80 −16.53 −1.63 9 −6.90 −6.70 −2.97 127.65 126.67 −0.78 −21.17 −20.82 −1.70 10 −8.43 −8.18 −3.09 148.96 147.78 −0.80 −25.91 −25.46 −1.76 11 −10.15 −9.84 −3.18 170.86 169.46 −0.83 −30.92 −30.37 −1.83 12 −12.05 −11.67 −3.27 193.15 191.50 −0.86 −36.13 −35.46 −1.91 13 −14.13 −13.67 −3.34 215.61 213.71 −0.89 −41.44 −40.63 −1.99 Section number φix/rad, FEA φix/rad, theo Error of φix/% φiy/rad, FEA φiy/rad, theo Error of φiy/% φiz/rad, FEA φiz/rad, theo Error of φiz/% 1 −0.0647 −0.0643 −0.70 −2.18×10−4 4.32×10−4 150.37 0.0167 0.0168 0.36 2 −0.1241 −0.1232 −0.75 −9.47×10−5 2.18×10−3 104.34 0.0333 0.0334 0.14 3 −0.1781 −0.1767 −0.80 2.79×10−4 5.01×10−3 94.43 0.0499 0.0498 −0.20 4 −0.2269 −0.2250 −0.88 8.19×10−4 8.70×10−3 90.58 0.0663 0.0659 −0.63 5 −0.2707 −0.2681 −0.96 1.45×10−3 13.0×10−3 88.89 0.0828 0.0819 −1.09 6 −0.3095 −0.3062 −1.06 2.09×10−3 17.8×10−3 88.29 0.0992 0.0977 −1.56 7 −0.3434 −0.3394 −1.17 2.66×10−3 22.9×10−3 88.37 0.1157 0.1134 −2.00 8 −0.3725 −0.3678 −1.30 3.09×10−3 28.0×10−3 88.95 0.1322 0.1291 −2.39 9 −0.3970 −0.3914 −1.43 3.31×10−3 33.0×10−3 89.97 0.1488 0.1449 −2.71 10 −0.4168 −0.4103 −1.58 3.24×10−3 37.8×10−3 91.43 0.1656 0.1608 −2.94 11 −0.4320 −0.4247 −1.74 2.80×10−3 42.2×10−3 93.35 0.1824 0.1770 −3.08 12 −0.4428 −0.4345 −1.91 1.92×10−3 45.9×10−3 95.82 0.1993 0.1933 −3.10 13 −0.4490 −0.4399 −2.09 5.06×10−4 48.9×10−3 98.96 0.2164 0.2101 −3.02 B4 14体节结构xOz平面弯曲构型末端位置B4. Position data of the terminal of the 14-section structure under spring force of xOz plane bendingConfiguration x1/mm z1/mm φy1/rad (a) 4.47 −137.08 0.5923 (b) −6.71 −26.62 0.1839 (c) 301.88 −237.71 1.3821 (d) −155.57 −177.54 −0.1974 -
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图 1 单节鸡脖子椎骨三视图与简化结构对照
Figure 1. Three-views and simplified structure of a single cervical vertebrae of chicken neck
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图 3 第i节刚体建模与节间连接方式
Figure 3. Modeling of the i-th section and the connection between two sections
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图 4 弹簧连接方式、连接节点列表及连接矩阵
Figure 4. Connection mode of springs, node list of connection springs and connection matrix
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图 6 横力弯曲时Foy与y, z, φx关系图
Figure 6. Foy-y, Foy-z, Foy-φx graph under transverse bending force
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图 7 14体节结构顶端受弯曲力作用下理论结果与有限元结果对比
Figure 7. Comparison of theoretical and FEA results under a bending force acts on the top of 14-section structure
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图 8 14体节结构顶端受一竖向扭转力矩作用下理论结果与有限元结果对比
Figure 8. Comparison of theoretical and FEA results under a torsional moment acts on the top of 14-section structure
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图 9 14体节结构xOz平面弯曲相关功能真实结构示意及其弹簧作用力(Fs单位: N)
Figure 9. The structure schematic diagram of 14-section structure abstract from 3 related functions and spring force of xOz plane bending (unit of Fs: N)
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图 10 14体节结构xOz平面弯曲构型计算结果示意
Figure 10. Results of 14-section structure under spring force of xOz plane bending
Muscular system Muscle name Origin (start) Insertion (end) Main function Mm. cervicales laterals Mm. intertransversarii transverse processes of Ci transverse processes of C(i−1) maintain stability and
bear compressive forceMm. cervicales dorsales Mm. intercristalis postzygapophysis of Ci postzygapophysis of C(i−1) maintain stability and
bear compressive forceMm. cervicales ventrales Mm. intercristalis prezygapophysis of Ci prezygapophysis of C(i−1) maintain stability and
bear compressive forceMm. cervicales dorsales M. ascendens cervicalis transverse processes of C6 ~ C11 postzygapophysis of C4 ~ C9 achieve torsion and bending Mm. cervicales dorsales M. longus colli dorsalis postzygapophysis of C14 transverse processes of C2 help tilt backward Mm. cervicales ventrales M. longus colli ventralis prezygapophysis of C14 prezygapophysis of C2 help springback and bend forward Note: “M” stands for “musculus” (Latin of “muscle”) and “Mm” is the abbreviation of “musculi”(the plural from) 
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表 2 模型参数设置
Table 2 Parameter settings in modeling
Parameter type Name Value structure parameters ρij 100 mm θij π/4 di 50 mm kij 1×104 N/m material parameters Young’s modulus 2 TPa Poisson’s ratio 0.49 profile parameters (rectangular) a(width) 1 mm b(length) 1 mm constrain rigid body constrain (for each standard units) predefined field gravity 0
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B1 14体节结构顶端受−弯曲力作用下理论结果与有限元结果数据
B1 Data of theoretical and FEA results when a bending force acts on the top of 14-section structure
Section number yi/mm, FEA yi/mm, theo Error of yi/% zi/mm, FEA zi/mm, theo Error of zi/% φix/rad, FEA φix/rad, theo Error of φix/% 1 529.76 529.71 −0.01 −348.82 −348.71 −0.03 −1.3529 −1.3526 −0.02 2 480.19 480.15 −0.01 −307.26 −307.16 −0.03 −1.3366 −1.3363 −0.02 3 430.74 430.70 −0.01 −266.25 −266.17 −0.03 −1.3086 −1.3083 −0.02 4 381.53 381.49 −0.01 −226.35 −226.28 −0.03 −1.2685 −1.2683 −0.02 5 332.74 332.70 −0.01 −188.11 −188.05 −0.03 −1.2158 −1.2156 −0.02 6 284.61 284.58 −0.01 −152.11 −152.06 −0.03 −1.1498 −1.1495 −0.02 7 237.47 237.44 −0.01 −118.91 −118.87 −0.03 −1.0696 −1.0693 −0.02 8 191.80 191.77 −0.01 −89.07 −89.04 −0.03 −0.9740 −0.9738 −0.02 9 148.21 148.19 −0.01 −63.13 −63.11 −0.03 −0.8620 −0.8618 −0.02 10 107.57 107.55 −0.01 −41.53 −41.51 −0.03 −0.7319 −0.7317 −0.02 11 70.94 70.93 −0.01 −24.58 −24.57 −0.03 −0.5822 −0.5820 −0.03 12 39.70 39.70 −0.01 −12.34 −12.34 −0.03 −0.4112 −0.4111 −0.03 13 15.46 15.46 −0.01 −4.46 −4.46 −0.03 −0.2175 −0.2174 −0.03 *Note: Error is based on theoretical results. The same in Table B2 and Table B3
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B2 14体节结构顶端受−竖向扭转力矩作用下理论结果与有限元结果数据
B2 Data of theoretical and FEA results when a torsional moment acts on the top of 14-section structure
Section number zi/mm, FEA zi/mm, theo Error of zi/% φiz/rad, FEA φiz/rad, theo Error of φiz/% 1 −18.52 −18.52 −0.02 2.4213 2.4207 −0.02 2 −17.09 −17.09 −0.02 2.2350 2.2345 −0.02 3 −15.67 −15.67 −0.02 2.0488 2.0483 −0.02 4 −14.25 −14.24 −0.02 1.8625 1.8621 −0.02 5 −12.82 −12.82 −0.03 1.6763 1.6759 −0.02 6 −11.40 −11.39 −0.03 1.4900 1.4896 −0.02 7 −9.97 −9.97 −0.03 1.3038 1.3034 −0.02 8 −8.55 −8.55 −0.03 1.1175 1.1172 −0.03 9 −7.12 −7.12 −0.03 0.9313 0.9310 −0.02 10 −5.70 −5.70 −0.03 0.7450 0.7448 −0.02 11 −4.27 −4.27 −0.03 0.5588 0.5586 −0.02 12 −2.85 −2.85 −0.03 0.3725 0.3724 −0.02 13 −1.42 −1.42 −0.03 0.1863 0.1862 −0.02
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B3 14体节结构顶端受−弯扭组合力作用下理论结果与有限元结果数据
B3 Data of theoretical and FEA results when a bending force and a torsional moment act on the top of 14-section structure
Section number xi/mm, FEA xi/mm, theo Error of xi/% yi/mm, FEA yi/mm, theo Error of yi/% zi/mm, FEA zi/mm, theo Error of zi/% 1 −0.28 −0.28 0.61 5.45 5.42 −0.55 −0.41 −0.41 −1.19 2 −0.65 −0.65 −0.37 13.72 13.63 −0.60 −1.18 −1.17 −1.27 3 −1.12 −1.11 −1.11 24.52 24.36 −0.63 −2.42 −2.39 −1.33 4 −1.72 −1.69 −1.66 37.57 37.33 −0.66 −4.19 −4.13 −1.40 5 −2.44 −2.40 −2.08 52.62 52.26 −0.68 −6.52 −6.43 −1.45 6 −3.32 −3.24 −2.40 69.39 68.90 −0.71 −9.42 −9.28 −1.51 7 −4.35 −4.23 −2.64 87.64 87.01 −0.73 −12.86 −12.66 −1.57 8 −5.54 −5.38 −2.82 107.14 106.34 −0.75 −16.80 −16.53 −1.63 9 −6.90 −6.70 −2.97 127.65 126.67 −0.78 −21.17 −20.82 −1.70 10 −8.43 −8.18 −3.09 148.96 147.78 −0.80 −25.91 −25.46 −1.76 11 −10.15 −9.84 −3.18 170.86 169.46 −0.83 −30.92 −30.37 −1.83 12 −12.05 −11.67 −3.27 193.15 191.50 −0.86 −36.13 −35.46 −1.91 13 −14.13 −13.67 −3.34 215.61 213.71 −0.89 −41.44 −40.63 −1.99 Section number φix/rad, FEA φix/rad, theo Error of φix/% φiy/rad, FEA φiy/rad, theo Error of φiy/% φiz/rad, FEA φiz/rad, theo Error of φiz/% 1 −0.0647 −0.0643 −0.70 −2.18×10−4 4.32×10−4 150.37 0.0167 0.0168 0.36 2 −0.1241 −0.1232 −0.75 −9.47×10−5 2.18×10−3 104.34 0.0333 0.0334 0.14 3 −0.1781 −0.1767 −0.80 2.79×10−4 5.01×10−3 94.43 0.0499 0.0498 −0.20 4 −0.2269 −0.2250 −0.88 8.19×10−4 8.70×10−3 90.58 0.0663 0.0659 −0.63 5 −0.2707 −0.2681 −0.96 1.45×10−3 13.0×10−3 88.89 0.0828 0.0819 −1.09 6 −0.3095 −0.3062 −1.06 2.09×10−3 17.8×10−3 88.29 0.0992 0.0977 −1.56 7 −0.3434 −0.3394 −1.17 2.66×10−3 22.9×10−3 88.37 0.1157 0.1134 −2.00 8 −0.3725 −0.3678 −1.30 3.09×10−3 28.0×10−3 88.95 0.1322 0.1291 −2.39 9 −0.3970 −0.3914 −1.43 3.31×10−3 33.0×10−3 89.97 0.1488 0.1449 −2.71 10 −0.4168 −0.4103 −1.58 3.24×10−3 37.8×10−3 91.43 0.1656 0.1608 −2.94 11 −0.4320 −0.4247 −1.74 2.80×10−3 42.2×10−3 93.35 0.1824 0.1770 −3.08 12 −0.4428 −0.4345 −1.91 1.92×10−3 45.9×10−3 95.82 0.1993 0.1933 −3.10 13 −0.4490 −0.4399 −2.09 5.06×10−4 48.9×10−3 98.96 0.2164 0.2101 −3.02
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B4 14体节结构xOz平面弯曲构型末端位置
B4 Position data of the terminal of the 14-section structure under spring force of xOz plane bending
Configuration x1/mm z1/mm φy1/rad (a) 4.47 −137.08 0.5923 (b) −6.71 −26.62 0.1839 (c) 301.88 −237.71 1.3821 (d) −155.57 −177.54 −0.1974
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