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## 留言板 引用本文: 周帅, 肖周芳, 付琳, 汪丁顺. 一类面向高阶精度自适应流动计算的流场插值方法. 力学学报, 2022, 54(6): 1732-1740 Zhou Shuai, Xiao Zhoufang, Fu Lin, Wang Dingshun. Solution interpolation for high-order accurate adaptive flow simulation. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2022, 54(6): 1732-1740 doi: 10.6052/0459-1879-22-060
 Citation: Zhou Shuai, Xiao Zhoufang, Fu Lin, Wang Dingshun. Solution interpolation for high-order accurate adaptive flow simulation. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2022, 54(6): 1732-1740 ## 一类面向高阶精度自适应流动计算的流场插值方法

##### doi: 10.6052/0459-1879-22-060

###### 作者简介:肖周芳, 讲师, 主要研究方向: 网格生成与自适应计算 . E-mail: xiaozf@hdu.edu.cn
• 中图分类号: V211.3

## SOLUTION INTERPOLATION FOR HIGH-ORDER ACCURATE ADAPTIVE FLOW SIMULATION

• 摘要: 网格自适应技术和高阶精度数值方法是提升计算流体力学复杂问题适应能力的有效技术途径. 将这两项技术结合需要解决一系列技术难题, 其中之一是高阶精度流场插值. 针对高阶精度自适应流动计算, 提出一类高精度流场插值方法, 实现将前一迭代步网格中流场数值解插值到当前迭代步网格中, 以延续前一迭代步中的计算状态. 为实现流场插值过程中物理量守恒, 该方法先计算新旧网格的重叠区域, 然后将物理量从重叠区域的旧网格中转移到新网格中. 为满足高阶精度要求, 先采用k-exact最小二乘方法对旧网格上的数值解进行重构, 获得描述物理量分布的高阶多项式, 随后采用高阶精度高斯数值积分实现物理量精确地转移到新网格单元上. 最后, 通过一个具有精确解的数值算例和一个高阶精度自适应流动计算算例验证了本文算法的有效性. 第一个算例结果表明当网格规模固定不变时, 插值精度阶数越高, 插值误差越小; 第二个算例显示本文方法可以有效缩短高精度自适应流动计算的迭代收敛时间.

• 图  1  二维物理量守恒插值示意图, 背景网格和当前网格分别用黑边和红边表示

Figure  1.  Schematic diagram of two-dimensional conservation of physical quantity interpolation, the background mesh and the current mes are represented by red and black edges respectively

图  2  第一组网格

Figure  2.  The first group of meshes

图  3  第二组网格

Figure  3.  The second group of meshes

图  4  翼型计算域在不同自适应计算迭代步中的网格

Figure  4.  Meshes of the airfoil computational domain in different adaptive computation iteration steps

图  5  自适应计算收敛过程中气动系数随网格规模变化的变化

Figure  5.  Convergence of lift and drag coefficients against degrees of freedom (vertices)

图  6  自适应迭代收敛后的马赫数分布图

Figure  6.  The distribution of Mach number after adaptive solution convergences

表  1  不同阶数精度对应的积分点信息

Table  1.   Information of integration points corresponding to different order

 Order Points Point location Weight 2 1 $\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\right)$ 1 3 3 $\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}, 0\right) , \left(\dfrac{1}{2},0, \dfrac{1}{2}\right) ,\left(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ $\dfrac{1}{3} , \dfrac{1}{3} , \dfrac{1}{3}$ 4 4 $\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\right) ,\left(\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{5},\dfrac{3}{5}\right) , \left(\dfrac{1}{5},\dfrac{3}{5},\dfrac{1}{5}\right) , \left(\dfrac{3}{5},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{5}\right)$ ${{ - }}\dfrac{9}{{16}} ,\dfrac{{25}}{{48}} ,\dfrac{{25}}{{48}} , \dfrac{{25}}{{48}}$

表  2  两组不同规模的网格数据

Table  2.   Two groups of meshes with different scales

 Fist group of meshes Second group of meshes Background mesh Current mesh Background mesh Current mesh elements 1043 1225 3363 4944 points 580 679 1792 2597

表  3  在不同网格规模和不同插值精度下的流场插值误差

Table  3.   Interpolation errors of flow field under different mesh scales and different orders of interpolation accuracy

 Order Physical quantity First group of meshes Second group of meshes L1 norm L2 norm L∞ norm L1 norm L2 norm L∞ norm 2 ρ 3.05 × 10−4 5.25 × 10−4 4.25 × 10−3 1.12 × 10−4 1.73 × 10−4 1.34 × 10−3 u 2.07 × 10−4 3.60 × 10−4 3.21 × 10−3 7.41 × 10−5 1.21 × 10−4 1.35 × 10−3 v 2.03 × 10−4 3.57 × 10−4 2.57 × 10−3 7.48 × 10−5 1.22 × 10−4 1.18 × 10−3 P 2.86 × 10−4 4.70 × 10−4 3.52 × 10−3 1.01 × 10−4 1.58 × 10−4 1.32 × 10−3 3 ρ 1.65 × 10−5 3.08 × 10−5 3.13 × 10−4 3.15 × 10−6 5.98 × 10−6 6.39 × 10−5 u 1.21 × 10−5 2.37 × 10−5 2.72 × 10−4 2.41 × 10−6 6.05 × 10−6 1.52 × 10−4 v 1.11 × 10−5 2.22 × 10−5 2.78 × 10−4 2.44 × 10−6 6.11 × 10−6 1.13 × 10−4 P 3.23 × 10−5 6.03 × 10−5 5.92 × 10−4 6.82 × 10−6 1.30 × 10−5 1.24 × 10−4 4 ρ 2.55 × 10−6 5.34 × 10−6 4.19 × 10−5 3.11 × 10−7 7.11 × 10−7 7.65 × 10−6 u 1.16 × 10−6 2.56 × 10−6 3.51 × 10−5 1.43 × 10−7 4.50 × 10−7 1.26 × 10−5 v 1.17 × 10−6 2.30 × 10−6 2.26 × 10−5 1.41 × 10−7 4.32 × 10−7 1.32 × 10−5 P 4.40 × 10−6 8.73 × 10−6 6.53 × 10−5 5.08 × 10−7 1.05 × 10−6 9.43 × 10−6

表  4  有无流场插值功能时求解收敛情况

Table  4.   Convergence of solution with or without the flow field interpolation

 Steps of adaptation Elements Vertices With flow field interpolation Without flow field interpolation Convergence iterations Convergence time/s Convergence iterations Convergence time/s initial 7790 3966 16 34.7 − − 1 9235 4693 11 33.0 15 40.1 2 12 517 6364 8 35.2 13 49.6 3 16 719 8477 8 47.5 14 69.9 4 21 290 10 773 10 70.7 23 138.8 5 27 100 13 708 10 91.0 22 170.9 6 34 823 17 593 10 125.3 29 294.6
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##### 出版历程
• 收稿日期:  2022-01-31
• 录用日期:  2022-03-30
• 网络出版日期:  2022-03-31
• 刊出日期:  2022-06-18

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