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## 留言板 引用本文: 郭建斌, 申永军, 李航. 分数阶拟周期Mathieu方程的动力学分析. 力学学报, 2021, 53(12): 1-10 Guo Jianbin, Shen Yongjun, Li Hang. Dynamic analysis of quasi-periodic mathieu equation with fractional-order derivative. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2021, 53(12): 1-10 doi: 10.6052/0459-1879-21-455
 Citation: Guo Jianbin, Shen Yongjun, Li Hang. Dynamic analysis of quasi-periodic mathieu equation with fractional-order derivative. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2021, 53(12): 1-10 ## 分数阶拟周期Mathieu方程的动力学分析

##### doi: 10.6052/0459-1879-21-455

###### 作者简介:申永军, 教授, 主要研究方向: 机械系统动力学与振动控制. E-mail: shenyongjun@126.com
• 中图分类号: O322,O313

## DYNAMIC ANALYSIS OF QUASI-PERIODIC MATHIEU EQUATION WITH FRACTIONAL-ORDER DERIVATIVE

• 摘要: 分数阶微积分有着诸多优异的特点, 目前在动力学领域主要用来提高非线性系统振动特性研究的准确性. 本文在拟周期Mathieu方程的基础上, 引入分数阶微积分理论, 研究了分数阶微分项参数对方程稳定性的影响. 首先, 采用摄动法得到方程稳定区和非稳定区分界线(即过渡曲线)近似表达式, 利用数值方法验证了解析结果的准确性, 图像显示两者吻合较好. 随后, 通过归纳总结不同情况下的过渡曲线近似表达式, 发现在系统中分数阶微分项以等效线性刚度和等效线性阻尼的方式存在. 根据这一特点, 得到了系统等效线性阻尼和等效线性刚度的一般形式, 并且定义了非稳定区域厚度. 最后, 通过数值仿真直观地分析了分数阶微分项参数对方程稳定区域大小和过渡曲线位置的影响. 结果发现, 分数阶微分项不仅具有阻尼特性还具有刚度特性, 并且以等效线性刚度和等效线性阻尼的方式影响着方程稳定区域大小和过渡曲线位置. 合理选择分数阶微分项参数可以使其呈现不同程度的刚度特性或阻尼特性, 方程稳定区域的大小和过渡曲线的位置也因此产生了不同程度的变化.

• 图  1  分数阶拟周期Mathieu方程的过渡曲线

Figure  1.  Transition curves of QP Mathieu equation with fractional-order derivative

图  2  数值解和解析解的方程过渡曲线

Figure  2.  Transition curves of numerical and analytical solutions

图  3  分数阶微分项阶次$p$ 对过渡曲线的影响

Figure  3.  Effects of the fractional order$p$ on transition curves

图  4  $p = 0.1$ 时分数阶微分项系数${K_1}$ 对过渡曲线的影响

Figure  4.  Effects of the fractional coefficient${K_1}$ on transition curves when$p = 0.1$ 图  5  $p = 0.5$ 时分数阶微分项系数对过渡曲线的影响

Figure  5.  Effects of the fractional coefficient on transition curves when$p = 0.5$ 图  6  $p = 0.9$ 时分数阶微分项系数${K_1}$ 对过渡曲线的影响

Figure  6.  Effects of the fractional coefficient${K_1}$ on transition curves when$p = 0.9$ 图  7  线性阻尼系数$\zeta$ 对过渡曲线的影响

Figure  7.  The evolutions of the transition curves due to the change of$\zeta$ 表  1  ${\delta _0}$ 在不同情况下的等效线性阻尼和等效线性刚度

Table  1.   Equivalent linear damping and equivalent linear stiffness of different ${\delta _0}$ ${\delta _0} = 0$ ${\delta _0} = \dfrac{1}{4}{\omega ^2}$ ${\delta _0} = \dfrac{1}{4}$ ${\delta _0} = \dfrac{1}{4}{\left( {1 + \omega } \right)^2}$ ${\delta _0} = \dfrac{1}{4}{\left( {1 - \omega } \right)^2}$ $C(p)$ $2\zeta {\kern 1 pt} + \dfrac{{{K_1}}}{{{2^{p - 1}}}}{\omega ^{p - 1}}\sin \left( {\dfrac{{p{\text{π }}}}{2}} \right)$ $2\zeta + {K_1}\dfrac{1}{{{2^{p - 1}}}}\sin \left( {\dfrac{{p{\text{π }}}}{2}} \right)$ $2\zeta + \dfrac{{{K_1}}}{{{2^{p - 1}}}}{\left( {1 + \omega } \right)^{p - 1}}\sin \left( {\dfrac{{p{\text{π }}}}{2}} \right)$ $2\zeta + \dfrac{{{K_1}}}{{{2^{p - 1}}}}{\left( {1 - \omega } \right)^{p - 1}}\sin \left( {\dfrac{{p{\text{π }}}}{2}} \right)\;$ $K(p)$ $\delta + {\varepsilon ^2}\dfrac{{{K_1}\left( {{\omega ^4} + {\omega ^p}} \right)}}{{2{\omega ^4}}}\cos \left( {\dfrac{{p{\text{π }}}}{2}} \right)$ $\delta + \dfrac{{{K_1}}}{{{2^p}}}{\omega ^p}\cos \left( {\dfrac{{p{\text{π }}}}{2}} \right)$ $\delta + \dfrac{{{K_1}}}{{{2^p}}}\cos \left( {\dfrac{{p{\text{π }}}}{2}} \right)$ $\delta + \dfrac{{{K_1}}}{{{2^p}}}{\left( {1 + \omega } \right)^p}\cos \left( {\dfrac{{p{\text{π }}}}{2}} \right)$ $\delta + \dfrac{{{K_1}}}{{{2^p}}}{\left( {1 - \omega } \right)^p}\cos \left( {\dfrac{{p{\text{π }}}}{2}} \right)$
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##### 出版历程
• 收稿日期:  2021-09-27
• 录用日期:  2021-11-05
• 网络出版日期:  2021-11-06

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