引 言

力学系统的对称性与守恒律密切相关. 通过研究对称性而探索或发现复杂力学系统的守恒律, 这是分析力学研究的一个重要方面^[1-2]. Lie对称性^[3-9]、Noether对称性^[10-20]和Mei对称性^[21-28]是3种概念不同的对称性方法. 利用对称性和守恒律, 可以简化动力学问题甚至求解力学系统的精确解, 从而更好地理解其动力学行为. 微分方程的Lie理论最早由Lutzky^[29]引入力学系统, 所得守恒量是Noether型的. Hojman^[30]由Lie对称性直接导出一类不属于Noether型的守恒量, 称之为Hojman守恒量^[21]. Hilger^[31]于1990年提出了测度链上的分析理论, 而时间尺度作为测度链的特殊情形备受关注^[32-34]. 时间尺度分析不仅是连续分析和离散分析的统一, 而且是经典微积分对任意时间尺度的拓广. Bartosiewicz和Torres^[35]首先开展时间尺度上Noether对称性的研究, 此后关于时间尺度上Noether定理及其证明的探讨至今仍方兴未艾^[36-42]. 但是, 时间尺度上Lie对称性直到最近才有一些初步的研究且所得守恒量均为Noether型的^[43-46]. 鉴于此, 本文将研究并给出由时间尺度上Lie对称性直接导出的非Noether型的新型守恒量.

1.   时间尺度微积分

为方便读者, 这里对时间尺度微积分做一简单介绍, 详见文献[32-33].

设${{\mathbb{T}}}$是一个时间尺度, 即实数集${{\mathbb{R}}}$的任意非空闭子集, 如实数集${{\mathbb{R}}}$、整数集${\mathbb{Z}}$、非负整数集${{\mathbb{N}}_0}$或$\left[ {1,3} \right] \cup {\mathbb{N}}$. 前跳算子$\sigma \left( t \right) = \inf \left\{ {s \in {{\mathbb{T}}}:s > t} \right\}$和后跳算子$\rho \left( t \right) = \sup \left\{ {s \in {{\mathbb{T}}}:s < t} \right\}$是关于时间尺度的两个重要的量. 若$\sigma \left( t \right) = t$, 称点$t \in {{\mathbb{T}}}$右稠密, $\sigma \left( t \right) > t$则右发散; 若$\rho \left( t \right) = t$, 称点$t \in {{\mathbb{T}}}$左稠密, $\rho \left( t \right) < t$则左发散. 相邻点的位置关系在时间尺度上可用向前或向后步差函数$\mu \left( t \right) = \sigma \left( t \right) - t$或$\upsilon \left( t \right) = t - \rho \left( t \right)$描述.

由${{\mathbb{T}}}$可定义集合${{{\mathbb{T}}}^k}$和${{{\mathbb{T}}}_k}$: 当$\sup {{\mathbb{T}}} < \infty $时, ${{{\mathbb{T}}}^k} = $$ {{\mathbb{T}}}\backslash \left( {\rho \left( {\sup {{\mathbb{T}}}} \right),\sup {{\mathbb{T}}}} \right]$, 而当$\sup {{\mathbb{T}}} = \infty $时, ${{{\mathbb{T}}}^k} = {{\mathbb{T}}}$; 与之相对应, 当$\inf {{\mathbb{T}}} > - \infty $时, ${{{\mathbb{T}}}_k} = {{\mathbb{T}}}\backslash \left[ {\sup {{\mathbb{T}}},\sigma \left( {\sup {{\mathbb{T}}}} \right)} \right)$, 而当时$\inf {{\mathbb{T}}} = - \infty $, ${{{\mathbb{T}}}_k} = {{\mathbb{T}}}$.

定义函数$y:{{\mathbb{T}}} \to {{\mathbb{R}}}$在点$t \in {{{\mathbb{T}}}^k}$的delta导数为: 任给$\varepsilon > 0$, 如果存在 $\delta > 0$, 使得 $\left| y\left( {\sigma \left( t \right)} \right) - y\left( \tau \right) - \right. $$ \left. {y^\Delta }\left( t \right)\left( {\sigma \left( t \right) - \tau } \right) \right| \leqslant \varepsilon \left| {\sigma \left( t \right) - \tau } \right|$对所有的 $\tau \in U = ( t - \delta , $$ t + \delta ) \cap {{\mathbb{T}}}$成立. 记为$ {y^\Delta }\left( t \right) $或$\dfrac{\Delta }{{\Delta t}}y\left( t \right)$. 类似地, 在$t \in {{{\mathbb{T}}}_k}$的nabla导数定义为: 任给$\varepsilon > 0$, 如果存在$\delta > 0$, 使得$ \left| {y\left( {\rho \left( t \right)} \right) - y\left( \tau \right) - {y^\nabla }\left( t \right)\left( {\rho \left( t \right) - \tau } \right)} \right| \leqslant \varepsilon \left| {\rho \left( t \right) - \tau } \right| $成立. 记为$ {y^\nabla }\left( t \right) $或 $\dfrac{\nabla }{{\nabla t}}y\left( t \right)$.

如果函数$ y:{\mathbb{T}} \to {\mathbb{R}} $在$ {\mathbb{T}} $的右稠密点连续且在左稠密点的左极限存在, 则称$ y\left( t \right) $是$ {\text{rd}} $连续的. $ {\mathbb{T}} $上所有$ {\text{rd}} $连续的函数的集合记为$ C_{{\text{rd}}}^0\left( {\mathbb{T}} \right) $, 而$ {{\mathbb{T}}^k} $上具有$ {\text{rd}} $连续的delta导数的delta可微函数的集合记为$ C_{{\text{rd}}}^{1,\Delta }\left( {\mathbb{T}} \right) $.

如果对所有的$t \in {{{\mathbb{T}}}^k}$, 有$ {Y^\Delta }\left( t \right) = y\left( t \right) $, 则称$ Y:{\mathbb{T}} \to {\mathbb{R}} $为$ y:{\mathbb{T}} \to {\mathbb{R}} $的一个原函数. 定义函数$ y $的delta不定积分为$ \int {y\left( t \right)\Delta t = Y\left( t \right) + C} $, delta定积分为$ \int_a^b {y\left( t \right)} \Delta t = Y\left( b \right) - Y\left( a \right) $, 其中$ a,b \in {\mathbb{T}} $, $C$是任意常数.

Dubois-Reymond引理: 令$ y:\left[ {a,b} \right] \to {{\mathbb{R}}^n} $, $ y \in C_{{\text{rd}}}^0 $, 对于任意的$ \eta \in C_{{\text{rd}}}^1 $且$ \eta \left( a \right) = \eta \left( b \right) = 0 $, 积分$ \displaystyle\int_a^b {{y^T}\left( t \right)} {\eta ^\Delta }\left( t \right)\cdot $$ \Delta t = 0$成立的充分必要条件是在$t \in {\left[ {a,b} \right]^k}$上$y\left( t \right) \equiv C$.

链式法则: 设函数$g为\;{{{\mathbb{T}}}_1} \times {{{\mathbb{T}}}_2} \times \cdots \times {{{\mathbb{T}}}_n} \to {{\mathbb{R}}}$在点${t^0}$完全delta可微, 函数${\vartheta _j}\,\left( {j = 1,2, \cdots ,n} \right)$在点${\zeta ^0}$的delta导数存在, 其中$t_j^0 = {\vartheta _j}\left( {{\zeta ^0}} \right)$, 则复合函数$G\left( \zeta \right) = g\left( {{\vartheta _1}\left( \zeta \right),{\vartheta _2}\left( \zeta \right), \cdots ,{\vartheta _n}\left( \zeta \right)} \right)$在该点的delta导数${G^\Delta }\left( {{\zeta ^0}} \right)$存在, 且有

其中

称为函数$g\left( t \right)$在点$t$相对${t_i}$的delta偏导数.

混合delta偏导数次序交换定理: 如果$g_{{t_i}{t_j}}^{{\Delta _i}{\Delta _j}}\left( t \right)$和$g_{{t_j}{t_i}}^{{\Delta _j}{\Delta _i}}\left( t \right)$在点${t^0}$连续, 则$g_{{t_i}{t_j}}^{{\Delta _i}{\Delta _j}}\left( t \right) = g_{{t_j}{t_i}}^{{\Delta _j}{\Delta _i}}\left( t \right)$.

对于delta可微函数$y\left( t \right)$和$z\left( t \right)$, 在时间尺度上成立Leibniz公式

以及分部积分公式

2.   时间尺度上运动微分方程

时间尺度上Lagrange方程为^[28]

其中$ L\left( {{q_s},q_s^\Delta ,t} \right):{{{\mathbb{R}}}^n} \times {{{\mathbb{R}}}^n} \times {{{\mathbb{T}}}^k} \to {{\mathbb{R}}} $是时间尺度上Lagrange函数, ${q_s}\left( t \right)$是时间尺度上广义坐标, $q_s^\Delta \left( t \right)$是广义速度. 假设这些函数都是$C_{{\text{rd}}}^1$函数.

假设系统非奇异, 即$D = \det \left( {\dfrac{{{\partial ^2}L}}{{\partial q_s^\Delta {\Delta _{n + k}}q_k^\Delta }}} \right) \ne 0$, 则由方程(5)可解得所有广义加速度, 简记为

3.   时间尺度上Lagrange系统的两个重要关系式

本节推导时间尺度上Lagrange系统的两个重要关系式, 它们是推导时间尺度上Hojman守恒量的基础.

设函数$ {\varOmega _s} = {\varOmega _s}\left( {{q_k},q_k^\Delta ,t} \right) $是delta可微的, 将$ {\varOmega _s} $按方程(6)对$t$求delta导数, 有

其中$\dfrac{{\bar \Delta }}{{\Delta t}}\left( * \right)$表示$\left( * \right)$按方程(6)对时间$t$的delta导数, 即有

而符号$\dfrac{{\partial {\varOmega _s}}}{{{\Delta _k}{q_k}}}$, $\dfrac{{\partial {\varOmega _s}}}{{{\Delta _{n + k}}q_k^\Delta }}$和$\dfrac{{\partial {\varOmega _s}}}{{{\Delta _{2n + 1}}t}}$表示按照链式法则(1)函数${\varOmega _s}\left( {{q_1},q_2, \cdots ,{q_n},q_1^\Delta , q_2^\Delta,\cdots ,q_n^\Delta ,t} \right)$分别对${q_k}$, $q_k^\Delta $和时间$t$的delta偏导数, 即有

再将式(7)两端分别对${q_s}$和$q_s^\Delta $求普通偏导数和delta偏导数, 有

将式(8)两端对$q_s^\Delta $求普通偏导数, 有

将$\dfrac{{\partial {\varOmega _s}}}{{\partial {q_s}}}$对时间$t$求delta导数, 得到

比较式(13)和式(18), 假设${\varOmega _s}$对变量${q_s}$和$q_s^\Delta $求delta偏导数和普通偏导数的次序可交换, 得到

再将式(15)对时间$t$求delta导数, 得到

类似地, 比较式(17)和式(20), 并假设函数${\varOmega _s}$和${\alpha _s}$对变量${q_s}$和$q_s^\Delta $求delta偏导数以及普通偏导数的次序可交换, 有

式(19)和式(21)是时间尺度上Lagrange系统导数运算的两个重要关系式.

4.   时间尺度上Lie对称性

在时间尺度上引进无限小变换

式中$\varepsilon $是无限小参数, $ {\xi _s} $是变换的生成元, ${\kern 1pt} s,k = $$ 1,2, \cdots ,n$. 变换式(22)的无限小生成元向量${X^{\left( 0 \right)}}$及其一次拓展${X^{\left( 1 \right)}}$和二次拓展${X^{\left( 2 \right)}}$为^[44]

依据微分方程在单参数Lie变换群下的不变性, 可定义时间尺度上Lagrange系统的Lie对称性, 即

定义1. 对于时间尺度上Lagrange系统(5), 当且仅当

则变换式(22)是Lie对称性的.

方程(24)可写为

或

称方程(25)或式(26)为时间尺度上Lie对称性确定方程.

5.   时间尺度上Lie对称性定理

由Lie对称性可直接导出时间尺度上一类新守恒量, 即有:

定理1. 对于时间尺度上Lagrange系统(5), 如果变换式(22)是Lie对称性的, 并假设所有函数对其变量的混合delta偏导数连续, 且存在函数$\psi = \psi \left( {{q_s}} \right)$使得

则该系统存在新的守恒量, 形如

其中

证明: 将式(28)按方程(6)对时间$t$求delta导数, 得

根据假设, 所有函数对其变量的混合delta偏导数连续, 因此函数${\xi _s}$和${\alpha _s}$对变量${q_s}$和$q_s^\Delta $求delta偏导数以及普通偏导数的次序可交换^[33]. 利用关系式(19)和式(21), 有

注意到$\psi = \psi \left( {{q_s}} \right)$, 因此有

将式(31) ~ 式(33)代入式(30), 得到

将确定方程(25)和式(27)代入上式, 有

因此, 式(28)是该系统的守恒量. 证毕.

定理1可称为时间尺度上Lagrange系统的Lie对称性定理. 式(28)可称为时间尺度上Hojman守恒量, 它是由Lie对称性直接导致的.

对于任意时间尺度, 守恒量(28)中函数$\varXi $一般不等于零. 函数$\varXi $出现的原因在于任意时间尺度上delta偏导数不同于普通偏导数, 而当时间尺度${{\mathbb{T}}} = {{\mathbb{R}}}$时两者是一致的. 实际上, 若取${{\mathbb{T}}} = {{\mathbb{R}}}$, 则有

因此$\varXi = 0$, 于是定理1退化为

定理2. 对于经典Lagrange系统, 如果无限小变换(22)是Lie对称性的, 且存在函数$\psi = \psi \left( {{q_s}} \right)$满足条件

则

是该系统的守恒量.

定理2与文献[30]的结果一致.

6.   算例

例. 设时间尺度为${{\mathbb{T}}} = \left\{ {{2^m}:m \in {{\mathbb{N}}_0}} \right\}$, 研究两自由度Lagrange系统, 其Lagrange函数为

试研究该系统的Lie对称性, 并求出对应的Hojman守恒量.

时间尺度上Lagrange方程(5)给出

注意到, 对于时间尺度上任意函数$u\left( t \right)$, 有关系

因此, 方程(40)可解出

确定方程(25)给出

由于${{\mathbb{T}}} = {2^{{{\mathbb{N}}_0}}}$, 则$\sigma \left( t \right) = 2t$, $\mu \left( t \right) = t$, 因此方程(43)有如下解

与生成元式(44)和式(45)相应的变换是Lie对称的. 方程(27)给出

方程(46)有解

根据定理1, 由式(44), 式(45)和式(47), 得到

这是时间尺度上Lie对称性式(44)和式(45)导致的Hojman守恒量. 如果取初始条件为$ {q_1}\left( 1 \right) = 1 $, $ {q_2}\left( 1 \right) = 0 $, $ {q_1}\left( 2 \right) = 2 $, $ {q_2}\left( 2 \right) = 1 $, 在时间尺度为${{\mathbb{T}}} = {2^{{{\mathbb{N}}_0}}}$上计算运动轨迹$ {q_1},{q_2} $和守恒量$ {I_1},{I_2} $的值, 其结果如图1所示. 图1中具体的数据如表1所示.

图  1  时间尺度$ {{\mathbb{T}}} = {2^{{{\mathbb{N}}_0}}} $上$ {q_1},{q_2},{I_1},{I_2} $的值

Figure  1.  Simulations of $ {q_1},{q_2},{I_1},{I_2} $ on the time scale $ {{\mathbb{T}}} = {2^{{{\mathbb{N}}_0}}} $

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表  1  时间尺度$ {{\mathbb{T}}} = {2^{{{\mathbb{N}}_0}}} $上$ {q_1},{q_2},{I_1},{I_2} $的值

Table  1.  The values of $ {q_1},{q_2},{I_1},{I_2} $ on the time scale $ {{\mathbb{T}}} = {2^{{{\mathbb{N}}_0}}} $

$ {\mathbb{T}}/{\rm{s}} $	$ {q_1}/{\rm{m}} $	$ {q_2}/{\rm{m}} $	$ {I_1} $	$ {I_2} $
1	1	0	−9.33	6
2	2	1	−9.33	6
4	0	−5	−9.33	6
8	−20	−81	−9.33	6
16	−124	−745	−9.33	6
32	−588	−6169	−9.33	6
64	−2540	−49785	−9.33	6

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从图1和表1可以看出, 在时间尺度$ {{\mathbb{T}}} = {2^{{{\mathbb{N}}_0}}} $上, 由式(48)和式(49)所确定的$ {I_1} $, $ {I_2} $的值始终不变, 说明$ {I_1} $和$ {I_2} $确实是守恒量, 从而验证了定理1的正确性.

如取${{\mathbb{T}}} = h{{\mathbb{Z}}_ + }$, $h$为常数, 则$\sigma \left( t \right) = t + h$, $\mu \left( t \right) = h$, Lie对称性式(44)和式(45)成为

守恒量式(48)和式(49)成为

仍取上述初始条件, 令$ h = 1 $, 在时间尺度为${{\mathbb{T}}} = {{\mathbb{Z}}_ + }$上计算运动轨迹$ {q_1} $, $ {q_2} $和守恒量$ {I_1} $, $ {I_2} $的值, 其结果和数据如图2和表2所示.

图  2  时间尺度${{\mathbb{T}}} = {{\mathbb{Z}}_ + }$上$ {q_1},{q_2},{I_1},{I_2} $的值

Figure  2.  Simulations of $ {q_1},{q_2},{I_1},{I_2} $ on the time scale ${{\mathbb{T}}} = {{\mathbb{Z}}_ + }$

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表  2  时间尺度${{\mathbb{T}}} = {{\mathbb{Z}}_ + }$上$ {q_1},{q_2},{I_1},{I_2} $的值.

Table  2.  The values of $ {q_1},{q_2},{I_1},{I_2} $ on the time scale ${{\mathbb{T}}} = {{\mathbb{Z}}_ + }$

$ {\mathbb{T}}/{\rm{s}} $	$ {q_1} /{\rm{m}}$	$ {q_2}/{\rm{m}} $	$ {I_1} $	$ {I_2} $
1	1	0	−4	4
2	2	1	−4	4
3	2	0	−4	4
4	1	−4	−4	4
5	−1	−12	−4	4
6	−4	−25	−4	4
7	−8	−44	−4	4
8	−13	−70	−4	4
9	−19	−104	−4	4
10	−26	−147	−4	4

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这里只取了$ t \in \left[ {1,10} \right] $, 实际上随着时间的增加, 仍有$ {I_1} \equiv - 4 $和$ {I_2} \equiv 4 $. 由此可知式(52)和式(53)是守恒量, 再次验证了定理1的正确性.

若取${{\mathbb{T}}} = {{\mathbb{R}}}$, 则$\sigma \left( t \right) = t$, $\mu \left( t \right) = 0$, Lie对称性式(44)和式(45)成为

守恒量式(48)和式(49)成为

这是经典情形的Hojman守恒量.

7.   结 论

本文将Lie对称性方法拓展到时间尺度上Lagrange系统, 给出了时间尺度上Hojman守恒量. 主要贡献在于: 一是利用时间尺度微积分的基本性质导出了时间尺度上Lagrange系统导数运算的两个重要关系式. 这是推导Hojman守恒量的基础; 二是由Lie对称性直接推导得到了时间尺度上Lagrange系统的Hojman类型的守恒量. 该守恒量不依赖于Lagrange函数的结构而仅取决于Lie对称性变换的生成元. 文中以时间尺度上两自由度系统为例, 给出了${{\mathbb{T}}} = {2^{{{\mathbb{N}}_0}}}$, ${{\mathbb{T}}} = h{\mathbb{Z}}$以及${{\mathbb{T}}} = {{\mathbb{R}}}$, 3种情形下的Hojman守恒量, 并通过数值模拟验证了结果的正确性. 当时间尺度取为实数集时, 本文结果退化为经典Lagrange系统的Hojman守恒量. 文章的方法和结果可进一步推广和应用, 如时间尺度上非完整系统, 时间尺度上Birkhoff系统等.