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## 留言板 引用本文: 吴懋琦, 谭述君, 高飞雄. 基于绝对节点坐标法的平面梁有限变形下变形重构. 力学学报, 2021, 53(10): 2776-2789 Wu Maoqi, Tan Shujun, Gao Feixiong. Shape reconstruction of plane beam with finite deformation based on absolute nodal coordinate formulation. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2021, 53(10): 2776-2789 doi: 10.6052/0459-1879-21-338
 Citation: Wu Maoqi, Tan Shujun, Gao Feixiong. Shape reconstruction of plane beam with finite deformation based on absolute nodal coordinate formulation. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2021, 53(10): 2776-2789 • 中图分类号: O39

## SHAPE RECONSTRUCTION OF PLANE BEAM WITH FINITE DEFORMATION BASED ON ABSOLUTE NODAL COORDINATE FORMULATION

• 摘要: 现有的对有限变形条件下柔性结构变形重构的研究往往单纯基于曲率与应变间的几何关系, 同时忽略了被测体的纵向变形及其与弯曲变形的耦合效应. 为得到一种更加精确且能借助现有的力学工具进行应用方向扩展的变形重构方法, 以平面梁为对象, 借鉴变形重构逆有限元法的思想, 将平面梁的变形重构问题视作一类最优化问题. 首先, 通过引入绝对节点坐标法(absolute nodal coordinate formulation, ANCF)对柔性结构大变形下非线性的平面梁应变−位移关系进行精确描述, 构造了一种逆梯度缩减ANCF平面索梁单元. 然后, 对此逆ANCF单元进行改进, 在简化节点自由度的同时通过引入罚函数确保单元节点处的曲率连续性, 既保证了本问题的适定性, 也提升了最终解的精确性. 最后, 基于该单元利用Newton法构造了平面梁有限变形下变形重构问题的两种求解算法, 即逐单元算法和多单元整体算法, 以实现不同需求下的稳定求解. 数值仿真结果表明, 本方法在大变形条件下的变形重构误差小于1%, 而且在测点较少的情况下依然保持较高的精度, 同时验证了本方法的收敛性与计算效率.

• 图  1  基于应变信息的平面梁变形重构模型

Figure  1.  Shape reconstruction model of plane beam based on strain information

图  2  基于线性应变−位移关系的变形重构

Figure  2.  Deformation reconstruction based on linear strain displacement relationship

图  3  梯度缩减ANCF梁单元内部的虚假轴向应变

Figure  3.  False axial strain in gradient reduction ANCF beam element

图  4  边界约束及曲率连续性约束示意图

Figure  4.  Schematic diagram of boundary constraints and curvature continuity constraints

图  5  逐单元变形重构

Figure  5.  Shape reconstruction in a single element

图  6  多单元变形重构

Figure  6.  Shape reconstruction in multi element

图  7  单元递推组装

Figure  7.  Unit recursively assemble

图  8  位移载荷下的外伸梁示意图

Figure  8.  Schematic of overhanging beam under displacement load

图  9  大变形条件下不同测点数的重构效果

Figure  9.  Reconstruction performance of different number of measuring points under large deformation

图  10  位移载荷下的悬臂梁示意图

Figure  10.  Schematic of cantilever beam under displacement load

图  11  不同方法的悬臂梁变形重构仿真结果

Figure  11.  Reconstruction performance of cantilever beam in different methods

图  12  轴向大变形条件下的简支梁示意图

Figure  12.  Schematic of simply supported beam under large axial deformation

图  13  轴向大变形条件下曲率连续化方法和iANCF方法的对比

Figure  13.  Comparison of curvature-based method and iANCF under large axial deformation

表  1  20个测点下的相对误差及计算用时

Table  1.   Reconstruction error and calculation time under 20 measuring points condition

 $u$/mm ${x_ {\rm{err} } }$ ${y_{{\rm{err}}}}$ ${\theta _{{\rm{err}}}}$ t/s 50 6.28×10−4 3.68×10−4 7.42×10−8 0.137 100 6.20×10−4 3.82×10−4 2.88×10−7 0.138 200 7.96×10−4 6.86×10−4 1.10×10−5 0.145

表  2  10个测点下的相对误差及计算用时

Table  2.   Reconstruction error and calculation time under 10 measuring points condition

 $u$/mm ${x_ {\rm{err} } }$ ${y_ {\rm{err} } }$ ${\theta _ {\rm{err} } }$ t/s 50 8.67×10−4 3.75×10−4 9.12×10−7 0.118 100 8.31×10−4 3.69×10−4 4.12×10−6 0.123 200 9.18×10−4 6.04×10−4 2.56×10−4 0.124

表  3  4个测点下的相对误差及计算用时

Table  3.   Reconstruction error and calculation time under 4 measuring points condition

 $u$/mm ${x_ {\rm{err} } }$ ${y_ {\rm{err} } }$ ${\theta _ {\rm{err} } }$ t/s 50 2.38×10−3 1.53×10−3 5.34×10−5 0.113 100 2.68×10−3 1.64×10−3 2.60×10−4 0.113 200 5.29×10−2 2.49×10−2 1.88×10−2 0.118
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##### 出版历程
• 收稿日期:  2021-07-15
• 录用日期:  2021-09-23
• 网络出版日期:  2021-09-24
• 刊出日期:  2021-10-26

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