ANALYSIS ON PLANAR OBSTACLE AVOIDANCE LOCOMOTION OF VIBRATION-DRIVEN SYSTEM
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摘要: 近年来，工业机器人的应用领域日益广泛，可移动机器人的发展备受关注，为了在一些复杂环境中准确地完成作业，学者们提出并研究了振动驱动移动系统.本文研究了在各向异性黏性摩擦环境中一类有两个在平行轨道内做正弦运动的内部质量块的振动驱动移动系统的运动规律，提出了使系统完成包括避障等规定作业的驱动设计方法.首先利用第二类拉格朗日方程，建立了系统的动力学方程；然后，利用速度Verlet积分法分析了系统的运动规律，得到了内部驱动参数与系统运动轨迹、运动速度的关系；最后，结合振动驱动移动系统的运动规律，提出了使系统沿预设路径运动和实现避障运动的驱动设计方法.通过曲线离散得到了系统沿预设路径运动的移动轨迹，进而通过改变内部质量块的驱动参数，使系统沿预设路径运动.为了使移动系统在障碍物环境中达到目标位置，提出了结合栅格法，Floyd算法及最小顶点圆法的优化的路径规划计算方法，得到了振动驱动移动系统在障碍物环境中运动的最优路径，并通过改变内部质量块的驱动参数实现了移动系统的避障运动.Abstract: In recent years, with the wide application of the industrial robot, the development of the mobile robot has attracted more and more attention. In order to finish the work accurately in some complex environments, vibrationdriven system has been proposed and researched by scholars. At the presence of anisotropic viscous friction, this paper investigates the motion law of a vibration-driven locomotion system in which two internal masses vibrate sinusoidally in two parallel guides and puts forward a design method to conduct the tasks like obstacle avoiding. Firstly, by using the second-kind Lagrange's equation, dynamical equations of the system are established; then, the motion law is numerically analyzed, the relationship between the internal drive parameters and the system trajectory and the system velocity are obtained by using the velocity-verlet algorithm; finally, based on the motion law of the vibration-driven locomotion system, the drive design method is proposed to make the system move along a prescribed path and realize the obstacle avoidance. To make the mobile system move along a prescribed path, the motion trajectory of the system could be obtained by curve discretization. Then, by changing the driving parameters of the internal mass block, the system could move along the preset path. In order to make the mobile system reach the goal position in the obstacle environment, an optimized path planning method based on the grid method, Floyd algorithm and the minimum vertex circle method is proposed, and the optimal motion path of the vibration-driven mobile system is obtained. Finally, obstacle avoiding can be realized through changing the driving parameters of the internal mass block.
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引言
工业机器人的应用领域日益广泛，可移动机器人的发展越来越得到人们的关注，轮式和腿式机器人可以代替人类在危险、恶劣 (如辐射、有毒等) 和人所不及的 (如宇宙空间) 环境下作业，但在一些狭小 (如管道、肠道等) 和特殊介质 (如碎石、水下等) 环境中，轮式和腿式机器人却很难准确地移动并完成作业.为了解决这一难题，学者们提出并研究了一些仿生学模型[1-2].受蚯蚓在一些复杂环境下运动的启发，Chernousko [3]提出了振动驱动系统，它是指在内部质量块的周期性驱动下，能够在有阻力的环境中实现刚体位移的可移动系统，具有结构简单、易于微型化和密封性好等优点.这种可移动系统可以是单单元系统，也可以是由弹性元件连接而成的多单元系统，可用来设计模仿蚯蚓运动的蠕动型移动机器人，因此，对其动力学行为的研究具有结构仿生和工业应用双重意义.本文主要关注振动驱动系统的单单元模型.在该类模型中，内部质量块相对外部刚体做周期运动，外部刚体在内部质量块的惯性力和支撑面的摩擦力共同作用下实现平面运动.内部质量块的运动形式主要包含两相运动[3-4]、三相运动[3-6]和正弦运动[7-8].系统与支撑面间的摩擦力主要分为库伦干摩擦[5, 9-10]和各向异性黏性摩擦[6, 11-12].
学者们对振动驱动系统的直线运动的研究比较丰富. Chernousko[3-4, 13-14]、Bolotnik等[7-8]、Sergey等[15]和方虹斌等[5-6]主要研究了在库伦摩擦和各向异性黏性摩擦下，含单个和两个内部质量块的振动驱动系统在不同驱动下的稳态运动，并以系统的最大稳态平均速度或最小能量消耗为目标，对内部驱动进行优化.方虹斌和徐鉴[6]利用平均法，在理论上得到了单单元系统在各向异性黏性摩擦环境下，三相驱动时系统做直线运动的稳态运动速度的近似解析解. Sobolev等[11]和Li等[16]分别利用含有多个转子的振动驱动系统和倒摆车实验模型验证了单单元系统的直线运动理论.陈祺等[17]研究了振动驱动系统直线运动的滑移分岔.
对振动驱动系统平面运动的研究则相对较少. Volkova等[9]研究了由两个在平行轨道内做正弦运动的内部质量块驱动的振动驱动系统，系统通过四个倾角可变的支撑与运动面接触来实现各向异性摩擦，用数值方法分析了内部质量块的运动频率和相位差对系统运动的影响；并通过改变四个支撑角的倾角，实现了S形的折线运动.占雄和徐鉴[10, 12]研究了由两个在相互垂直轨道内做正弦运动的内部质量块驱动和有三个工字形排布的周期运动的内部质量块的振动驱动模型，在库伦摩擦各向异性时，考虑stick-slip黏滑效应，理论上得到了系统转动和平动时的速度解析式，并分析了内部驱动频率和相位差对系统运动的影响，通过组合平动和转动，得到了近似S形的折线运动.殷蓬勃等[18]研究了由两个在相互垂直轨道内做三相运动的内部质量块的振动驱动模型在各向异性黏性摩擦环境中的平面运动规律，并通过调节内部驱动的周期比和相位，得到了系统轨迹在直线和圆弧间相互切换的六种平面运动形式.
已有的振动驱动移动系统的研究，均为给定系统内部驱动形式来研究系统的运动轨迹.而预设振动驱动移动系统运动轨迹或系统完成避障运动的研究目前还没有，因为在实际工况中，机器人的工作形式往往是接收命令之后，自主完成作业.所以针对振动驱动移动系统的运动目标，设计驱动参数的问题显得尤为重要.针对这一问题，本文首先分析了各向异性黏性摩擦环境下，振动驱动系统在两个平行的正弦驱动激励下的系统运动规律，然后根据系统的运动规律，设计了通过调节系统内部驱动参数，使系统完成包括避障在内的平面运动的方法.
在使振动驱动系统沿预设路径运动的问题研究中，针对系统的运动规律，需要对轨迹进行曲线离散.对曲线离散方法的研究有很多，目前常用的曲线离散化处理方法主要有等间隔法、等弦长法、等误差法和特征点识别法[19-20].等间隔法的特点是便于计算机硬件实现，运行速度较快，但逼近弦长不均匀且在曲率变化较大处会产生较大的逼近误差；等弦长法的特点是弦长均匀，有利于提高三角化质量，但在曲率变化较大处会产生较大的逼近误差；等误差法可以使直线较为均匀地逼近理想曲线，产生较少的冗余点，但是当曲线形式较为复杂时算法实现较为困难，运算速度慢，同时在曲率较高处，会使逼近线段过短，从而导致在三角化过程中，产生狭长三角形而影响三角面片的质量.由刘丹丹等[19]提出的基于特征点识别法的离散方法，可根据误差限调节曲线逼近的程度，既保证了曲线的逼近精度，避免了在曲线曲率较高处和曲线端点处产生过短的逼近弦长，同时，通过局部特征点的优化，过滤掉不重要的局部特征点，使得曲线的离散点数减少，有利于加快后续三角化速度.为了在保证精度的前提下，减小振动驱动系统瞬态运动的误差，减少驱动参数的切换次数，本文选用基于特征点识别法的曲线离散方法，结合系统的运动特点，设计了振动驱动系统沿预设路径运动的驱动设计方法.
振动驱动移动系统在障碍物环境中自主选择路径到达目标位置的研究中，首先需要完成路径规划工作.路径规划技术在很多领域都具有广泛的应用.凡是可拓扑为点线网络的规划问题基本上都可以采用路径规划的方法解决.路径规划分为全局规划和局部规划，从获取的障碍物信息来看，全局规划属于静态规划，局部规划属于动态规划，其核心是算法的设计.常用的路径规划方法有传统算法、图形学法、智能算法和搜索式算法[21-23].其中传统算法有模拟退火算法、人工势场法、模糊逻辑算法等，图形学法主要有栅格法、可视图空间法等，常用于全局规划；智能算法包括蚁群算法、遗传算法、粒子群算法等，常用于局部规划.本文主要研究了已知环境中障碍物信息的情况下，振动驱动系统内部驱动的设计，即在路径规划中属于全局规划.根据振动驱动移动系统的运动规律，结合栅格法[23-24]、Floyd算法[25]和最小顶点圆法[26]提出了优化的路径规划算法，然后设计出完成规划路径所需要的内部驱动.
1. 振动驱动系统平面运动建模
1.1 力学模型
本文的研究对象为有两个内部可动质量块的振动驱动系统，内部质量块分别处于两个平行轨道中，用M, $m_1$ 和 $m_2$ 分别表示刚性物体和两个内部质量块的重量.系统通过4个倾斜小角 $C_i \ (i=1, 2, 3, 4)$ 与地面接触，作用有各向异性的黏性摩擦.系统的力学模型如图 1所示.刚体的长和宽分别为2k和2d，高度不计.刚体内部的两个平行轨道关于刚体的对称轴对称，长度均为L，即内部质量允许运动的最大距离为L；两轨道间的距离为 $2b$ .两个内部质量块于轨道内做相对刚体的正弦运动, 即
$$ \xi_1(t)=a_1\sin (\omega_1 t) $$ (1) $$ \xi_2(t)=a_2\sin (\omega_2 t) $$ (2) 1.2 系统动力学方程
引入惯性坐标系 $Oxy$ 和相对系统的动坐标系 $O_1\xi\eta$ , $O_1$ 位于刚体M的形心，轴 $O_1\xi$ 和 $O_1\eta$ 分别为刚体的两个对称轴，转角 $\varphi$ 表示轴 $ O_1\xi$ 与轴 $Ox$ 之间的夹角.
下面利用矢量法计算系统的动能.在动坐标系 $O_1\xi\eta$ 中，质量块 $m_1$ 和 $m_2$ 的相对位置矢量分别为
$$ {\pmb r}^{(O_1)}_{O_11}=(\xi_1,b)^{\rm T}\,, \ \ {\pmb r}^{(O_1)}_{O_12}=(\xi_2,-b)^{\rm T} $$ (3) 其中 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 分别表示质量块 $m_1$ 和 $m_2$ 的相对位移，则惯性坐标系 $Oxy$ 下，刚体M、质量块 $m_1$ 和 $m_2$ 的位置矢量分别为
$$ {\pmb r}_M=(x_M,y_M)^{\rm T} $$ (4) $$ {\pmb r}_1={\pmb r}_M+{\pmb r}_{O_11}={\pmb r}_M+{\pmb T}_r\cdot {\pmb r}^{(O_1)}_{O_11} $$ (5) $$ {\pmb r}_2={\pmb r}_M+{\pmb r}_{O_12}={\pmb r}_M+{\pmb T}_r\cdot {\pmb r}^{(O_1)}_{O_12} $$ (6) 其中 ${\pmb T}_r$ 表示由动坐标系 $O_1\xi\eta$ 到惯性坐标系 $Oxy$ 转换矩阵，即
$$ {\boldsymbol{T}_r} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi }&{ - \sin \varphi }\\ {\sin \varphi }&{\cos \varphi } \end{array}} \right] $$ (7) 由方程 (3)~方程 (6) 可得刚体M和内部质量块 $m_1$ 和 $m_2$ 的速度矢量，即
$$ \dot{\pmb r}_M=(\dot x_M,\dot y_M)^{\rm T} $$ (8) $$ \dot{\pmb r}_1=\left(\!\!\dot x_M-(\xi_1 \dot\varphi+b)\sin\varphi+(\dot\xi_1-b\dot\varphi)\cos\varphi \\ \dot y_M+(\xi_1-b\dot\varphi)\sin\varphi+(\dot\xi_1\dot\varphi+b)\cos\varphi\!\!\right) $$ (9) $$ \dot{\pmb r}_2=\left(\!\!\dot x_M+(b-\xi_2 \dot\varphi )\sin\varphi+(\dot\xi_2+b\dot\varphi)\cos\varphi \\ \dot y_M+(\xi_2+b\dot\varphi)\sin\varphi+(\dot\xi_2\dot\varphi-b)\cos\varphi\!\!\right) $$ (10) 由此可得系统平面运动的动能，即
$$ T=T_M+T_1+T_2 $$ (11) 其中
$$ T_M=\dfrac 12 M(\dot x_M^2+\dot y_M^2) +\dfrac 12 J\dot\varphi^2 \\ T_1=\dfrac 12 m_1(\dot V^{2}_{1x}+\dot V^2_{1y})\\ T_2=\dfrac 12 m_2(\dot V^{2}_{2x}+\dot V^2_{2y}) $$ 其中 $J=\dfrac{M(k^2+d^2)}{3}$ .
下面利用矢量法计算系统平面运动时4个支撑角的速度.在惯性坐标系 $Oxy$ 下，4个支撑 $c_i \ (i=1, 2, 3, 4)$ 的位置矢量分别为
$$ {\pmb r}_{c_i}={\pmb r}_M+{\pmb r}_{O_1c_i}={\pmb r}_M+{\pmb T}_r \cdot {\pmb r}^{(O_1)}_{O_1c_i} \ \ \ (i=1,2,3,4) $$ (12) 其中 ${\pmb r}^{(O_1)}_{O_1c_i}$ 表示4个支撑角在随动坐标系 $O_1\xi\eta$ 下的相对位置矢量，即
$$ {\pmb r}^{(O_1)}_{O_1c_i}=(k_i,d_i)^{\rm T} \ \ \ (i=1,2,3,4) $$ (13) 且 $k_i$ 和 $d_i$ ( $i=1, 2, 3, 4$ ) 满足
$$ k_1=k_2=k\,, \ \ k_3=k_4=-k\\ d_i=(-1)^{i+1} d_i \ \ \ (i=1,2,3,4) $$ 对方程 (13) 求导，可得4个支撑角的速度矢量
$$ {{\boldsymbol{\dot r}}_{{c_i}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_M} - {k_i}\dot \varphi \sin \varphi - {d_i}\dot \varphi \cos \varphi }\\ {{{\dot y}_M} - {k_i}\dot \varphi \cos \varphi - {d_i}\dot \varphi \sin \varphi } \end{array}} \right)\;\;\;\;(i = 1,2,3,4) $$ (14) 结合方程 (12) 和方程 (14) 得4个支撑 $c_i (i=1, 2, 3, 4)$ 的速度矢量在 $O_1\xi$ 和 $O_1\eta$ 方向上的投影，即
$$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{r}}_{{c_i}}^{({O_1})} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {V_{{\xi _1}}^{({O_1})}}\\ {V_{{\eta _1}}^{({O_1})}} \end{array}} \right)\mathit{\boldsymbol{T}}_r^{ - 1} \cdot {\mathit{\boldsymbol{r}}_{{c_i}}} = \\ \;\;\;\;\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_M}\cos \varphi + {{\dot y}_M}\sin \varphi - \dot \varphi {d_i}}\\ { - {{\dot x}_M}\sin \varphi + {{\dot y}_M}\cos \varphi + \dot \varphi {k_i}} \end{array}} \right)\\ \;\;\;\;(i = 1,2,3,4) \end{array} $$ (15) 除了支撑处的速度，黏性摩擦系数也影响黏性摩擦力的大小.为了使该模型的摩擦各向异性，将系统的4个支撑 $c_i \ (i=1, 2, 3, 4)$ 按图 2所示方式设计. 图 2(a)中，在 $O_1\xi$ 方向上，支撑与 $O_1\xi$ 正方向的夹角小于90°，使得系统在向前 ( $O_1\xi$ 正向) 和向后 ( $O_1\xi$ 负向) 运动时黏性摩擦系数的不同；图 2(b)中，在 $O_1\eta$ 方向上，支撑与平面的夹角等于90° [13].
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图 2 支撑 $c_i \ (i=1,2,3,4)$ 处的黏性摩擦力模型Figure 2. Model of the viscous frictional force at the i-th support本文系统运动过程中4个支撑 $c_i \ (i=1, 2, 3, 4)$ 在 $O_1\xi$ 方向上的倾角保持不变， $O_1\eta$ 方向保持竖直.给定4个支撑的倾角，则系统在 $O_1\xi$ 和 $O_1\eta$ 方向上的黏性摩擦系数满足如下关系
$$ {\mu _\xi } = \left\{ \begin{array}{l} (1 - \lambda )f{\mkern 1mu} ,\;\;V_\xi ^{({O_1})} \ge 0\\ (1 + \lambda )f{\mkern 1mu} ,\;\;V_\xi ^{({O_1})} < 0{\mkern 1mu} \end{array} \right.\;,{\mu _\eta } = f $$ (16) 其中， $\lambda$ 为与支撑倾角相关的系数[13].
利用方程 (15) 和方程 (16)，可以得到系统的4个支撑在 $O_1\xi$ 和 $O_1\eta$ 方向上的黏性摩擦力如图 3所示，即
$$ \boldsymbol{F}_{{c_i}}^{({O_1})} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {F_{{\xi _i}}^{({O_1})}}\\ {F_{{\eta _i}}^{({O_1})}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\mu _\xi }V_{{\xi _i}}^{({O_i})}}\\ { - {\mu _\eta }V_{{\eta _i}}^{({O_i})}} \end{array}} \right)\;\;\;\;\;(i = 1,2,3,4) $$ ![]()
图 3 振动驱动系统与平面间的相互作用力和力矩Figure 3. The interaction force and moment of force between vibration-driven system and ground利用转换矩阵得系统的4个支撑在惯性坐标系 $Oxy$ 下的黏性摩擦力，即
$$ {\pmb F}_{c_i}=(F_{x_i},F_{y_i})^{\rm T}={\pmb T}_r\cdot {\pmb F}^{(O_i)}_{c_i} \ \ \ (i=1,2,3,4) $$ 则系统所受的摩擦合力和摩擦合力矩分别为
$$ F_x=\sum\limits^4_{i=1} F_{x_i}=\sum\limits^4_{i=1} (F^{(O_1)}_{\xi_i} \cos \varphi- F^{(O_1)}_{\eta_i}\sin \varphi )\\ F_y=\sum\limits^4_{i=1} F_{y_i}=\sum\limits^4_{i=1} (F^{(O_1)}_{\xi_i} \sin \varphi+ F^{(O_1)}_{\eta_i}\cos \varphi )\\ M_{O_1}= \sum\limits^4_{i=1} [ {\pmb r}^{(O_1)}_{O_1c_i}, {\pmb F}^{(O_1)}_{c_i}] F_{x_i} =\\ \qquad \sum\limits^4_{i=1} (k_i\cdot F^{(O_1)}_{\eta_i}-d_i\dot F^{(O_1)}_{\xi_i}) $$ 利用虚功原理计算广义力，系统平面运动的广义坐标分别为刚体形心的位移 $(x_M, y_M)$ 和系统相对形心的转角 $\varphi$ , 当 $\delta_x=0, \delta_y=0, \delta_\varphi=0$ 时，由虚功原理得
$$ \delta W=Q_x \delta_x =F_x \delta_x $$ 则系统在x方向上的广义力为
$$ Q_x=F_x $$ (17) 同理，得到系统在y方向上的广义力和绕形心转动的广义力矩，即
$$ Q_y=F_y\,, \ \ Q_\varphi=M_{O_1} $$ (18) 将方程 (11)、方程 (17) 和方程 (18) 分别代入第二类拉格朗日方程，得到系统平面运动的动力学方程 (19)，即
$$ \left. \begin{array}{l} M\ddot x_M+\sum\limits^2_{j=1} m_j[ \ddot x_M -2\dot\varphi \dot \xi_j\sin\varphi- \ddot \varphi (\xi_j\sin \varphi+B_j\cos\varphi)- \\ \dot\varphi^2(\xi_j\cos\varphi- B_j\sin\varphi)+\ddot\xi_j\cos\varphi] =\\ \qquad \sum\limits^4_{i=1} [-\mu_{\xi_i} \cos \varphi (\dot x_M\cos\varphi+ \dot y_M\sin\varphi -\dot\varphi d_i)-\mu_\eta\sin \varphi \\ (\dot x_M\sin\varphi- \dot y_M\cos \varphi-\dot\varphi k_i)]\\ M\ddot y_M+\sum\limits^2_{j=1} m_j[ \ddot y_M +2\dot\varphi \dot \xi_j\cos\varphi+ \ddot \varphi (\xi_j\cos \varphi-B_j\sin\varphi)-\\ \dot\varphi^2(\xi_j\sin\varphi+ B_j\cos\varphi)+\ddot\xi_j\sin\varphi] =\\ \qquad \sum\limits^4_{i=1} [-\mu_{\xi_i} \sin \varphi (\dot x_M\cos\varphi+ \dot y_M\sin\varphi -\dot\varphi d_i)+\mu_\eta\cos \varphi \\ (\dot x_M\sin\varphi- \dot y_M\cos \varphi-\dot\varphi k_i)]\\ J\ddot\varphi+\sum\limits^2_{j=1}m_j[-\sin\varphi(\ddot x_M\xi_j+\ddot y_MB_j)-\cos \varphi (\ddot x_M B_j-\ddot y_M\xi_j)+ \\ 2\dot\varphi \dot\xi_j\xi_j+\ddot\varphi (\xi^2_j+B^2_j)-\ddot \xi_jB_j] =\\ \qquad \sum\limits^4_{i=1}[\mu_{\xi_i} d_i(\dot x_M\cos\varphi+\dot y_M\sin\varphi- \dot\varphi d_i)+ \\ \mu_\eta k_i(\dot x_M\sin\varphi-\dot y_M\cos \varphi-\dot\varphi k_i)]\end{array} \right\} $$ (19) 且满足初始条件 $x(0)=0, \dot x(0)=0, y(0)=0, \dot y(0)=0, \varphi(0)=0, \dot\varphi(0)=0$ .
2. 平面运动规律
在系统的动力学方程 (19) 中，由于广义坐标间的相互耦合，方程求解具有很大的难度，下文将采用数值算法[13, 16]来分析系统的平面运动规律.
2.1 速度Verlet积分法
设 $x ( t )$ 为质点在t时刻的位置向量，则在 $t_0 $ 时刻的泰勒展开式为
$$ x\left( {t_0 + \Delta t} \right) = x\left( {t_0 } \right) + \Delta t {x}'\left( {t_0 } \right) + \dfrac{1}{2}\Delta t^2 {x}''\left( {t_0 } \right) $$ (20) $$ x\left( {t_0 - \Delta t} \right) = x\left( {t_0 } \right) - \Delta t {x}'\left( {t_0 } \right) + \dfrac{1}{2}\Delta t^2 {x}''\left( {t_0 } \right) $$ (21) $$ x\left( {t_0 + 2\Delta t} \right) = x\left( {t_0 + \Delta t} \right) + \Delta t {x}'\left( {t_0 + \Delta t} \right) + \\ \qquad \dfrac{1}{2}\Delta t^2 {x}''\left( {t_0 + \Delta t} \right) $$ (22) 将方程 (20) 和方程 (21) 相加，得
$$ x\left( {t_0 + \Delta t} \right) = 2x\left( {t_0 } \right) - x\left( {t_0 - \Delta t} \right) + \Delta t^2 {x}''\left( {t_0 } \right) $$ (23) 将方程 (20) 和方程 (22) 相减，得
$$ x\left( {t_0 + 2\Delta t} \right) + x\left( {t_0 } \right) = 2x\left( {t_0 + \Delta t} \right) + {x}'\left( {t_0 + \Delta t} \right)\Delta t -\\ \qquad {x}'\left( {t_0 } \right)\Delta t + \dfrac{1}{2}\Delta t^2 \left[ {{x}''\left( {t_0 + \Delta t} \right) - {x}''\left( {t_0 } \right)} \right] $$ (24) 由式 (23) 可得
$$ x\left( {t_0 + 2\Delta t} \right)\mbox{ = }2x\left( {t_0 + \Delta t} \right) - x\left( {t_0 } \right) + \Delta t^2 {x}''\left( {t_0 + \Delta t} \right) $$ 并代入方程 (24) 中，得到
$$ {x}'\left( {t_0 + \Delta t} \right) = {x}'\left( {t_0 } \right) + \frac{1}{2}\Delta t \left[ {{x}''\left( {t_0 + \Delta t} \right) + {x}''\left( {t_0 } \right)} \right] $$ (25) 方程 (23) 和方程 (25) 即为速度Verlet积分法，通过这种数值算法可以同时得到速度和位移.速度Verlet积分法具有较好的稳定性和计算速度.由于振动驱动移动系统的每个周期的净位移很微小，所以对其运动规律的研究需要考虑较长的运动时间，速度Verlet积分法能够很好地满足这样的要求.
在本文中设定以下基本参数
$$ d=0.04\,{\rm m}\,, \ k=0.05\,{\rm m}\,, \ b=0.035\,{\rm m} \\ \lambda=1/2\,, \ f=10\,{\rm N}\cdot {\rm s/m}\,, \ M=0.3\,{\rm kg}\\ m_1=m_2=m=0.01\,{\rm kg}\,, \ a_1=a_2=a=0.04\,{\rm m} $$ 2.2 直线运动
当 $\omega_1=\omega_2=\omega$ 时，即 $\xi_1=\xi_2=a \sin \omega t$ , 此时两个内部质量块同步运动，方程 (19) 简化为
$$ (M+2m)\ddot x_M-2m a\omega^2\sin\omega t=- \sum\limits^4_{i=1} \mu_{\xi_i}(\dot x_M) $$ (26) 因为系统的对称性，在y方向上不存在驱动力，只有x方向上的驱动力，所以系统将沿x方向做直线运动. $\omega$ 不同时，直线运动的轨迹、x方向速度 $\dot x_M$ 和位移 $x_M$ 与时间t图像如下图.
由图 4~图 6可见，当两个内部质量块同步运动时，系统做直线运动，且运动具有周期性.随着驱动频率的增大，系统运动的稳态平均速度增大.
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图 6 系统x方向速度 $\dot x_M$ 与时间t的关系Figure 6. Relations between velocity $\dot x_M$ and time t2.3 平面运动
当 $\omega_1\ne \omega_2$ 时，令 $n=\omega_2/\omega_1$ , 系统做圆周运动.令 $\omega_1=100$ rad/s, 改变参数n, 可得到如图 7所示系统的运动轨迹[16].
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图 7 $\omega_1=100$ rad/s, n取不同值时系统轨迹Figure 7. Trajectories of vibration-driven system under different n when $\omega_1=100$ rad/s由图 7可知，当 $n < 1$ 时，系统做逆时针的圆周运动，随着n的增大，系统运动的曲率半径越来越大；当 $n > 1$ 时，系统做顺时针的圆周运动，随着n的增大，系统运动的曲率半径越来越小.且当 $n_1, n_2$ 满足倒数关系时，系统运动的曲率半径相同，方向相反.
在图 8中，当 $n < 1$ 时，随着n的增大，系统转角 $\varphi$ 的变化越来越慢，这是由于随着n的增大，系统的曲率半径越来越大.在图 9中，随着n的增大，系统路程s的变化越来越快. $s=\int \sqrt{\dot x_M^2+\dot y_M^2} \, {\rm{d}}t$ .因为随着n的增大，系统运动的稳态平均线速度越来越大.
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图 8 $\omega_1=100$ rad/s, $n < 1$ 时系统的转角 $\varphi$ 与时间t的关系Figure 8. Relations between angular displacement $\varphi$ and time t when $n < 1$ and $\omega_1=100$ rad/s![]()
图 9 $\omega_1=100$ rad/s, $n < 1$ 时系统路程s与时间t的关系Figure 9. Relations between displacement s and time t when $n < 1$ and $\omega_1=100$ rad/s当 $n < 1$ 时，系统运动的曲率半径R与参数n的关系 ( $\omega_1=100$ rad/s) 如图 10.随着n从0增大到1，系统的曲率半径由最小值0.107 6 m逐渐增大，直至 $n=1$ 时，系统做直线运动，即系统运动的曲率半径为无穷大.
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图 10 $\omega_1=100$ rad/s, 系统曲率半径R与驱动频率比n的关系Figure 10. Relations between radius R and n when $\omega_1=100$ rad/s通过对系统平面运动规律的分析，可见当两个内部质量块的驱动频率不同时，系统可以实现不同半径的圆周运动和直线运动，可以通过改变内部质量块的驱动频率比 $n(\omega_2/\omega_1)$ 来实现系统的平面运动.
3. 振动驱动系统预设轨迹的驱动设计
在实际工况中，有些情况需要机器人按照既定的路径运动，本节将介绍振动驱动系统按给定轨迹运动的驱动设计方法.首先，对给定轨迹进行曲线离散，将曲线离散为满足误差条件的折线；然后用速度Verlet积分法得到数值模拟的系统驱动参数.
3.1 对系统运动轨迹进行曲线离散
曲线离散流程见图 11.预设轨迹为函数 $\gamma=f(x)$ , $x \in [a, b]$ , 误差限e.
(1) 求出曲线的所有驻点和不可导点 $P_i \ (i=1, 2, \cdots, n)$ ，与曲线的端点一起组成特征点集C；
(2) 将特征点集C中的点按照x坐标的顺序排列，将函数曲线分为 $n+1$ 段.选取每段的起始点 $P_{\rm s}$ 与终止点 $P_{\rm e}$ ;
(3) 对每段函数曲线 $\gamma=f(x)$ , $x\in [a_i, b_i]$ , 以 $P_{\rm s}, P_{\rm e}$ 为端点做连线，求取局部特征点 $P_k$ , 局部特征点处的导数值等于直线 $P_{\rm s}P_{\rm e}$ 的斜率.即
$$ K=\dfrac{f(x_a)-f(x_b)}{x_a-x_b}=\dfrac{f(a_i)-f(b_i)}{a_i-b_i}=f’(x_k) $$ 由此得到点 $P_k$ ，并求出其到直线 $P_sP_e$ 的距离 $d_k$
$$ d_k=\dfrac{f(x_k)-f(a_i)-k(x_k-a_i)}{\sqrt{1+k^2}} $$ (4) 若 $d_k>e$ , 将 $P_k$ 加入特征点集C.若 $d_k \leq e$ , 则舍弃；
(5) 对新的特征点集C重复步骤 (2)~(4)，直到所有的 $d_k \leq e$ .此时的C就是函数曲线的特征点集；
(6) 按照一定的顺序依次连接C内的点，即为所求的曲线的离散.
对轨迹 $f(x)=2\cos (x+ \pi /2)-\cos (3x)$ 作曲线离散的图像如图 12，分别选取误差限 $e_1=0.2$ , $e_2=0.1$ , 可见随着误差限e的减小，离散的结果越来越接近原曲线.通过对误差限e的调整，可以得到不同精度的离散曲线，e越小，离散后的曲线与原曲线越接近.在工程实践中可根据实际要求控制误差限e来进行调整.
曲线离散过程中的误差由误差限e来控制，在特征点集的确定过程中，随着迭代次数的增大，离散后的折线与原曲线之间的最大误差越来越小，即 $\max (d_k)$ 越来越趋近于误差限e.示例中的迭代次数与最大误差之间的关系如图 13所示.
3.2 驱动设计
得到曲线离散后的折线后，利用系统内部质量块的驱动频率比 $n(\omega_2/\omega_1)$ 与系统运动的曲率半径R的关系，来设计系统的驱动参数.
(1) 针对方程 (19) 利用速度Verlet积分法算出系统驱动频率比 $n(\omega_2/\omega_1)$ 与曲率半径R的关系；
(2) 利用切线圆法计算每个拐点处所允许的最大转弯半径 $R_0$ 如图 14；
图中 $x_0$ 表示完成转弯需要预留的距离，a表示轨道宽度.由几何关系，可得
$$ R_0=(a/2-b)/({\rm sec}(\theta/2)+1) \\ x_0=R_0/{\rm tan} (\theta/2) $$ (3) 找出 $R_0$ 对应频率比n;
(4) 令 $n=1$ ，即 $\omega_1=\omega_2$ ，振动驱动系统作直线运动至拐点；
(5) 切换频率比n，转弯至所需角度；
(6) 重复步骤 (4) 和 (5) 直至系统完成最后一次转弯；
(7) 令 $n=1$ ，振动驱动系统运动至终点.
驱动设计的示例图和流程图如图 15和图 16所示.由图中可见，通过我们设计的算法，系统的运动轨迹与预设轨迹之间的误差极小，从程序中可以读出系统完成每个步骤所需要的驱动参数.
4. 振动驱动系统避障运动分析
振动驱动系统在移动过程中躲避障碍物的运动是一种平面运动，关键在于内部质量块驱动参数的设计，即驱动力的设计.另外，有些工况不会给出系统的运动轨迹，而需要其在有障碍物的环境中自主选取轨迹，只知道障碍物和系统起始点、目标点的信息.因此，需要提出设计振动驱动系统驱动参数的方法，本节将提出振动驱动移动系统躲避障碍物的方法.
4.1 对系统运动环境进行区分，标识出障碍物区域及可运动区域
在知道运动环境中障碍物信息的情况下，为了能够将可到达区域和障碍物区域区分开来，我们选用栅格法来进行处理.
假设已知一个长为L，宽为H的矩形区域，其中有障碍物 $O_i \ (i=1, 2, 3, \cdots)$ , 并已知各障碍物位置信息, 如图 17所示.
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图 17 栅格地图模型 (红点:起始点，绿点:目标点)Figure 17. Model of grid map (red: initial point, green: target point)(1) 选取栅格边长为a, 对矩形区域进行栅格划分，则区域内共有 $ L/a\times H/a $ 个栅格.按照栅格所处的行列，将每个栅格中心表示为 $(x, y)$ , 其中x表示列数，y表示行数，方向总是从起始点至目标点.
(2) 对栅格进行区分，引入状态函数 $z=f(x, y)$ .令
$$ f(x,y) = \left\{ \begin{array}{l} 0,\;(x,y)\;{\rm{reachable}}\\ 1,\;(x,y)\;{\rm{disabled}} \end{array} \right. $$ (3) 将起始点所在栅格表示为 $(x_{\rm s}, y_{\rm s})$ ，目标点所在栅格表示为 $(x_{\rm e}, y_{\rm e})$ .
4.2 利用垂线法和Floyd算法选出模型运动过程中躲避的关键位置
在完成栅格划分，对运动环境进行区分之后，我们首先需要初步规划出系统从起始点到目标点运动的轨迹，在用垂线法选出可选择的中间节点之后，利用Floyd算法[25]选出完成最短路径时经过的中间节点.
(1) 连结起始点栅格 $(x_{\rm s}, y_{\rm s})$ 与目标点栅格 $(x_{\rm e}, y_{\rm e})$ .得到线段l.可表示为
$$ y=\dfrac{y_{\rm e}-y_{\rm s}}{x_{\rm e}-x_{\rm s}}(x-x_{\rm s})+y_{\rm s} $$ (2) 若线段l通过的所有栅格的状态函数 $f(x, y)$ 均为零，即起始点到目标点的连线不经过障碍物，振动驱动系统可作直线运动，线段l即为运动轨迹；
若线段l通过障碍物栅格，则需要计算系统躲避障碍物的拐点.
(3) 根据垂线法选择节点栅格.计算线段l穿过的障碍物 $O_i$ 相邻的所有可到达栅格 $(x, y)$ 到线段l的距离d.并分别选取线段l两侧 $\max(d)$ 对应的栅格为节点栅格
$$ d=\dfrac{\left | y-y_s\dfrac{y_e-y_s}{x_e-x_s}(x-x_s) \right | } {\sqrt{1+\Big ( \dfrac {y_e-y_s}{x_e-x_s}\Big)^2}} $$ (4) 将步骤 (3) 所得节点栅格与起始点、目标点栅格一起编号，起始点栅格标记为1，步骤 (3) 求得的栅格按x从小到大的顺序依次排序，终点栅格标记为m.
(5) 写出无中间节点的权值矩阵 ${\pmb A}=(a_{ij})_{m\times m}$ , 其中 $a_{ij}$ 代表从节点 $(x_i, y_i)$ 到节点 $(x_j, y_j)$ 的距离.
(6) 根据节点所在位置计算节点间权值大小.
(a) $a_{ii}=0$ ; (b) 若节点 $(x_i, y_i)$ 与节点 $(x_j, y_j)$ 连线通过障碍物栅格，则 $a_{ij}=a_{ji}=\infty$ ; (c) 若节点 $(x_i, y_i)$ 与节点 $(x_j, y_j)$ 连线不通过障碍物栅格，则
$$ a_{ij}=a_{ji}=\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2} $$ (d) 若 $j=0$ , 则 $a_{ij}=\infty$ ；若 $i=m$ ，则 $a_{ij}=\infty$ .
(7) 计算节点 $(x_i, y_i)$ 到节点 $(x_j, y_j)$ 间有1个中间节点情况下的权值矩阵.设节点 $(x_i, y_i)$ 经过一个中间节点 $(x_r, y_r)$ 到达节点 $(x_j, y_j)$ ，则节点 $(x_i, y_i)$ 到节点 $(x_j, y_j)$ 的最短距离为 $a_{ij}^1 = \mathop {{\rm{min}}}\limits_r {\rm{ }}\{ {a_{ir}} + {a_{rj}}\} $ , 权值矩阵为 ${\pmb A}^1=(a^1_{ij})$ .
(8) 计算节点 $(x_i, y_i)$ 到节点 $(x_j, y_j)$ 间有k个中间节点情况下的权值矩阵.设节点 $(x_i, y_i)$ 经过r个中间节点到达节点 $(x_r, y_r)$ 的最小距离为 $a^r_{ir}$ , 节点 $(x_r, y_r)$ 经过 $k-r$ 个中间节点到达节点 $(x_j, y_j)$ 的最小距离为 $a^{k-r}_{rf}$ , 则节点 $(x_i, y_i)$ 到节点 $(x_j, y_j)$ 的最短距离为 $a_{ij}^k = \mathop {{\rm{min}}}\limits_r \{ a_{ir}^r + a_{rj}^{k - r}\} $ , 权值矩阵为 ${\pmb A}^k=(a^k_{ij})$ .
(9) 在权值矩阵 ${\pmb A}^k=(a^k_{ij})$ 中， $a^k_{im}$ 即为起始点栅格到目标点栅格的最短距离，经过的中间节点则组成了振动驱动系统躲避障碍物的关键节点.将挑选出的栅格坐标存档备用.
4.3 利用最小顶点圆法确定系统的最终运动轨迹
因为振动驱动系统在内部质量块的驱动频率不同，即驱动频率比 $n \ne 1$ 时，系统将做圆周运动，且圆周运动的最小半径即为 $n=0$ 时得到的曲率半径，所以在得到初步的系统运动轨迹后，结合模型的运动特点，采用最小顶点圆法对选出的路径进行优化，得到更适合振动驱动系统的运动路径.具体方法如下.
(1) 已知起始点栅格 $(x_{\rm s}, y_{\rm s})$ 、中间节点栅格 $(x_i, y_i)$ $(i=1, 2, \cdots)$ 、目标点栅格 $(x_{\rm e}, y_{\rm e})$ .确定安全距离r, 以中间节点为圆心， $r'=r/a$ 为半径做圆，作第i个点与第 $i+1$ 个点之间的切线.
(a) 当 $i=1$ 或 $m-1$ 时，为第1种情况，即求点-圆切线; (b) 当 $i\ne 1$ 或 $m-1$ 时，为第2种情况，即求圆-圆切线.
(2) 选取远离障碍物的切线及切点间的圆弧为系统的轨迹，即优化后的路径.
当取 $r=0.107\, 6$ 时，图 17所示的示例得到的优化路径如图 18所示.
4.4 利用速度Verlet积分法设计系统驱动
确定出振动驱动系统的最终运动路径后，利用系统内部质量块的驱动频率比 $n(\omega_2/\omega_1)$ 与系统运动的曲率半径R的关系，可设计系统的驱动参数.
(1) 针对方程 (19) 用速度Verlet积分法计算出系统驱动频率比 $n(\omega_2/\omega_1)$ 与曲率半径R的关系；
(2) 找出安全距离r对应的驱动频率比n，并将各栅格坐标变换为真实坐标 $(x', y')$ , $ x'_i=ax_i $ , $ y'_i=ay_i $ ；
(3) 令 $n=1$ , 即 $\omega_1=\omega_2$ ，系统从起始点出发作直线运动，到达切点；
(4) 切换频率比n，系统作圆周运动，到达下一个切点，完成转向；
(5) 重复步骤 (3) 和 (4) 直至系统完成最后一次转向；
(6) 令 $n=1$ ，振动驱动系统运动至目标点.
针对图 18中优化的运动路径，安全距离 $r=0.107\, 6$ 对应的驱动频率比 $n=0$ ，首先系统从起始点出发，令 $n=1$ , 即 $\omega_1=\omega_2=100$ rad/s，运动至第一个切点处，然后令 $n=0$ , 即 $\omega_1 =100$ rad/s, $\omega_2=0$ ，系统运动至第二个切点，完成第一次方向的改变；依次重复令 $n=1$ , $n=0$ 直到系统完成最后一次方向改变，最后令 $n=1$ , 系统到达目标点.
设计驱动到达目标位置示例见图 19, 从图 19中可见，振动驱动移动系统通过给出的算法可以成功实现避障平面运动.值得指出的是，本算法可以实现任意避障路径的移动.
4.5 MATLAB仿真实验
对于更加一般的避障移动，应用上述提出的计算方法和避障策略，并利用MATLAB平台，通过编程实现了所提出算法的仿真实验，可以得到系统在障碍物环境中避障运动的仿真实验动态图. 图 20为系统运动过程的各个不同时间段的截图.仿真虚拟实验表明，提出的避障计算方法是可行和有效的.
5. 结论
本文研究了一类有两个在平行轨道内做正弦运动的内部质量块的振动驱动移动系统在各向异性黏性摩擦环境中的运动规律，并提出了使系统完成预设轨迹和避障作业的驱动设计方法.通过对预设路径离散化处理得到振动驱动移动系统的运动轨迹，进而提出了切线圆法，通过改变内部质量块的驱动参数，使振动驱动移动系统沿预设路径运动.针对振动驱动移动系统在障碍物环境中到达目标位置的问题，提出了结合栅格法、Floyd算法和最小顶点圆法对运动路径规划进一步优化的计算方法，通过设计内部质量块的驱动参数实现了移动系统的避障移动.
本文针对振动驱动移动系统的研究完成了使移动系统沿预设路径运动和在障碍物环境中工作的可行方法的分析，对振动驱动机器人的研究具有重要的意义.后续将进一步进行针对文中的避障算法进行物理实验.
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图 2 支撑 $c_i \ (i=1,2,3,4)$ 处的黏性摩擦力模型
Figure 2. Model of the viscous frictional force at the i-th support
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图 3 振动驱动系统与平面间的相互作用力和力矩
Figure 3. The interaction force and moment of force between vibration-driven system and ground
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图 6 系统x方向速度 $\dot x_M$ 与时间t的关系
Figure 6. Relations between velocity $\dot x_M$ and time t
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图 7 $\omega_1=100$ rad/s, n取不同值时系统轨迹
Figure 7. Trajectories of vibration-driven system under different n when $\omega_1=100$ rad/s
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图 8 $\omega_1=100$ rad/s, $n < 1$ 时系统的转角 $\varphi$ 与时间t的关系
Figure 8. Relations between angular displacement $\varphi$ and time t when $n < 1$ and $\omega_1=100$ rad/s
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图 9 $\omega_1=100$ rad/s, $n < 1$ 时系统路程s与时间t的关系
Figure 9. Relations between displacement s and time t when $n < 1$ and $\omega_1=100$ rad/s
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图 10 $\omega_1=100$ rad/s, 系统曲率半径R与驱动频率比n的关系
Figure 10. Relations between radius R and n when $\omega_1=100$ rad/s
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图 17 栅格地图模型 (红点:起始点，绿点:目标点)
Figure 17. Model of grid map (red: initial point, green: target point)
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