THE TIME-VARYING ANALYSIS METHOD FOR TRAIN-TRACK VERTICAL DYNAMICS IN CONTINUOUS TRAVEL
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摘要: 随着运行速度的提升, 高速列车与服役结构及环境的耦合作用显著加剧, 并且上述耦合作用表现在车辆运动的全过程. 考虑实际的运行环境, 建立精细的车辆-轨道耦合动力学模型, 开展更为精确的服役模拟是当前研究热点, 但面临许多挑战, 例如车辆与长大轨道结构耦合动力学建模难题. 现代高速列车短时间内就能在轨运行至数百公里的距离, 经典的理论方法采用了拉格朗日方式描述系统的运动和变形, 限定系统的力学研究对象固定不变, 往往需要针对全部长度的轨道结构进行建模, 计算分析效率亟需提高. 围绕高速轨道交通领域内关键基础力学模型问题, 基于模型截断的策略, 从时变系统动力学角度, 构建长距离连续运行车辆-轨道耦合动力学高效建模与分析方法. 引入移动控制体描述长大轨道结构在有效振动区域内动力学行为, 利用任意拉格朗日-欧拉原理建立移动控制体内截断轨道梁的连续时变动力学模型, 基于自适应步长Runge-Kutta-Fehlberg积分策略, 通过预处理当前时间步的积分信息, 确定预测下一时间步系统响应所需的迭代条件, 从而表征控制体内轨道梁下轨枕和道床质量系统的离散时变动力学问题. 最后, 通过数值算例仿真, 分析了车辆-轨道耦合系统的动力学响应, 并将计算结果与传统模态叠加法获得结果进行比较, 验证了方法的有效性.
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关键词:
- 高速列车 /
- 长大轨道结构 /
- 离散/连续时变系统动力学 /
- 移动控制体 /
- 任意拉格朗日-欧拉原理
Abstract: The interactions between the high-speed train and the service structure/environment obviously strengthen with increase of the vehicle speed, which exhibit in the whole motion of the train. It is currently a research hotspot to establish a refined train-track dynamic model with considering real service environment and perform a more accurate simulation, but may encounter many challenges, e.g., the difficulty in modeling coupled dynamics of the train and long track structure. Modern trains can run the distance of several hundred kilometers across the track in a short time. The classical methods often deal with the motion and deformation of the coupled system in Lagrangian description, and impose an intrinsic requirement of an invariable mechanical research object of the system. Hence, they must model an entire track structure and the computation efficiency needs to be improved. Aiming at the key mechanical model in the field of high-speed rail transit, based on the model reduction and the theory of time-varying system dynamics, an efficient method is proposed to model and analyze the train-track dynamics in long distance continuous travel. For its purpose, the moving control volume is introduced here to describe dynamic of the long track in an effective region, which forms a truncated system for the analysis. The arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation is used to establish the time-varying dynamic model of the truncated rail beam in the moving control volume. The adaptive Runge-Kutta-Fehlberg method is used to numerically solve the motion equations of the coupled system. At each time step, the integral information at current step should be preconditioned to obtain right initial value conditions for predict dynamic response of the system at next step. By this way, the discrete time-varying dynamics of the lump mass system in the moving control volume is included, representing the sleeper and ballast system. Dynamic analysis is carried out with the numerical example and obtained results are compared with those from the traditional modal superposition method. The current method is verified. -
引 言
高速化和轻量化是轨道车辆技术发展的重要方向[1]. 随着车辆运行速度不断提升, 高速列车与服役结构和环境的耦合作用显著加剧, 系统动力学行为越来越复杂, 呈现突出的大范围运行区域内刚柔耦合、多场耦合、多子系统相互作用和多因素影响等特征. 考虑实际的运行环境, 建立车辆-轨道耦合系统的精细动力学模型, 开展更为精确的服役模拟[2]是当前研究热点.
目前, 模态叠加法[3-6]和有限单元法[7-10]是建立车辆-轨道耦合动力学模型的主流方法, 并被国内外学者广泛地应用于相关研究. 于曰伟等[5]考虑牵引电机振动, 基于模态叠加原理建立列车-轨道垂向耦合动力学模型, 分析了牵引电机振动对高速列车动力车垂向动力学性能的影响. 陈兆玮等[6]利用连续欧拉模态梁理论, 建立考虑多桥墩沉降的高速列车-轨道-桥梁动力学模型, 研究了连续多桥墩沉降下高速列车的动态特性, 探明列车动态特性变化情况与多桥墩沉降量之间的定量数学关系式. 雷晓燕等[7]基于有限元法建立了车辆-轨道空间非线性耦合系统动力学模型, 提出了将迹线法融入交叉迭代法求解车辆-轨道空间非线性耦合系统动力学的方法. Li等[8]利用有限单元理论建立了车辆-轨道-路基耦合动力学模型, 研究了车载作用下路基积累沉降及对系统动力学影响. Xu等[9]基于有限单元理论构建了一种多用途的车辆与轨道相互作用模型, 研究了车线耦合动力学问题. Song等[10]建立了车线耦合与弓网耦合系统的有限元模型, 并分析了考虑车线耦合作用激励下弓网动力学特性.
一般而言, 传统的模态叠加法和有限单元法基于拉格朗日方式描述系统运动和变形. 在上述方法的理论体系中, 由车辆与轨道结构组成的力学研究对象必须为定常系统, 为避免移动车辆超出计算边界, 就需要预先设定足够计算长度的结构模型, 并对全部长度的结构进行理论建模与分析. 当车辆连续运动时, 轨道结构的计算长度会随车辆运行距离不断增大, 系统模型的自由度数将无限膨胀, 数值求解十分困难. 例如, 现代高速列车短时间内就能在轨运行至数百公里的距离, 因此传统方法分析车辆与长大轨道结构耦合动力学计算效率低的问题十分突出.
通常, 模型截断是分析车辆与长大轨道结构耦合动力学问题的有效措施. 由于结构阻尼的振动耗散作用, 不失一般性, 轨道结构仅在车辆两侧的有限区域内发生振动, 并且结构的有效振动区域会随车辆一起“移动”, 而大部分的轨道结构始终处于静止状态, 对系统动力学的影响可以忽略不计. Zhai等[11]建议利用有效长度的轨道梁分析车线耦合动力学问题, 并指出合适的轨道计算长度约为100 m[4]. Koh等[12]基于有效长度的轨道梁模型提出了移动单元法, 实现了车辆与长大轨道结构耦合动力学的快速分析. 该方法本质上是一种坐标变换的方法, 即在固结于截断的轨道梁上移动坐标系中描述结构振动与变形. Lei等[13]利用移动单元法并结合有限元理论分析了车辆与板式轨道耦合动力学响应. 此外, 一些学者针对上述问题还提出了不同的模型截断分析法, 主要包括循环计算法[14]、循环轨道模型法[15]和滑移窗口法[2,16]等. Xu等[14]参照轨道结构定义了若干个首尾相邻的分块计算区域, 利用车辆运动学关系, 确定每个计算区域内缩减系统模型的局部自由度序列, 并构建缩减系统的质量、阻尼和刚度矩阵等, 通过依次分析全部计算区域内缩减系统的动力学行为, 进而实现了车辆与长大轨道结构耦合动力学研究. 类似地, Baeza等[15]基于循环轨道模型提出了车辆与无限长轨道结构耦合动力学的高效建模与分析方法. 张卫华等[2,16]利用滑移窗口在轨道结构上设置了不同的计算区域, 利用相邻区域的重叠部分上梁振动响应一致性, 构建不同区域间系统动力学的延拓条件, 再依次分析每个计算区域内车线耦合动力学, 根据相应的延拓条件获得整个结构的动力学响应.
值得说明的是, 模型截断虽然减小了长大轨道结构动力学分析的计算规模, 但导致了截断的研究系统具有复杂的时变力学特性. 时变力学系统通常是指总质量或者质点对象不断变化的系统[17]. 由于车辆的移动, 在不同时刻截断的研究系统将包含不同空间区域内轨道结构, 说明构成上述系统的质点对象在不断发生改变. 另一方面, 受轨道不平顺等因素的影响, 车辆载荷作用下轨道结构有效振动区域的长度会改变, 进而截断的研究系统总质量也会发生变化. 因此, 截断的研究系统是一个相当复杂的时变力学系统, 基于拉格朗日描述的经典方法失效, 可采用任意拉格朗日-欧拉方法(ALE)进行研究. ALE方法集成了拉格朗日和欧拉方法的优点, 引入控制体描述系统质点迁徙造成的时变动力学效应, 已被广泛地应用于多柔体动力学[18-19]、流固耦合动力学[20-21]和冲击/接触动力学[22-24]等领域研究. 经典ALE方法中控制体通常为空间某固定区域, 但是在车辆-截断轨道耦合动力学问题中控制体是随车辆一起运动. Yang等[25]考虑移动控制体并利用ALE方法研究了截断轨道结构的时变动力学建模问题, 并揭示了模型截断会导致系统运动方程的动力学附加项. 这些附加项既包含了系统质点对象变化引起的对流项, 还包括了与车辆的速度一次方、二次方及加速度相关的力学项. Yang等[25]给出了连续直梁的时变动力学建模推导过程. Xu等[26]将上述研究拓展至连续曲梁的时变动力学建模, 并考虑扣件失效, 研究了车辆与长大曲板式轨道结构的耦合动力学问题. 在铁路工程实际中, 轨道通常可视为无限长的欧拉/铁摩辛柯梁, 故而截断的轨道梁可以处理为质点对象/质量连续变化的时变力学系统, 但截断的轨道结构还包含了时变离散质量力学系统, 比如经典车线耦合动力学问题[27-30]中轨下离散分布的轨枕和道砟散粒等. 相较于连续时变力学问题, 由于存在动力学不连续现象, 离散时变力学问题通常更为复杂, 因此截断的车辆-轨道耦合系统的时变动力学问题需要深入研究.
本文围绕高速轨道交通运载系统的基本力学模型问题, 针对连续运行车辆与长大轨道结构耦合动力学建模难题, 基于移动控制体和ALE方法, 将着重研究长大轨道结构截断引起的时变离散质量系统的动力学建模与仿真问题, 并在此基础上形成一种普适性的理论建模与分析方法. 首先, 建立截断后轨道梁与轨下集中质量系统的时变动力学模型; 其次, 基于龙格库塔积分方法, 设计系统时变动力学的仿真计算策略; 最后, 通过数值算例, 对系统动力学进行仿真计算, 并将计算结果与传统方法结果比较, 验证了本文方法的有效性.
1. 车辆-轨道垂向耦合动力学时变建模
如图1所示, 车辆以恒定速度V在轨道上连续地运行. 本节将研究车辆与长大轨道结构耦合动力学的高效建模过程. 假设, 车辆系统是由车体、架构、轮对和一系悬挂及二系悬挂组成, 且系统的动力学模型具有10个自由度, 包括车体的沉浮yc和点头θc运动, 前后构架的沉浮ybf和ybr及点头θbf和θbr运动, 以及4个轮对的垂向振动yi, 其中i = 1, 2, 3, 4. 车体的质量和点头惯量分别为Mc和Jc, 前后架构的质量和点头惯量为Mb和Jb, 各轮对质量为Mw, 一系悬挂刚度和阻尼分别为k2和c2, 二系悬挂刚度和阻尼分别为k3和c3, 车体中心与二系悬挂上端点的间距为a, 架构中心与一系悬挂上端点的间距为b. 在轨道结构模型中, 钢轨视为连续弹性离散支承上欧拉梁, 离散支承等效为双质量(轨枕和道床块)、3层(钢轨-轨枕-道床-路基)弹簧-阻尼振动系统. 假设轨枕质量为ms, 道床块质量为mb, 轨下垫层刚度和阻尼分别为kp和cp, 轨枕与道床间刚度和阻尼分别为kb和cb, 道床与路基间刚度和阻尼分别为kf和cf, 道床块间剪切刚度和阻尼分别为kw和cw, 钢轨的单位长度质量为mr, 抗弯刚度为EI. 轨枕间距为d. 轮轨相互作用采用线性赫兹接触模型[25]进行描述, 其中接触刚度和阻尼分别为k1和c1.
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一般而言, 现有经典的方法绝大多数都是基于拉格朗日原理, 理论上仅适用于研究固定质点/质点系的动力学问题, 因此需要预先设定足够计算长度的轨道模型, 并对全部长度的结构进行建模, 系统模型的自由度数将十分巨大, 数值求解困难. 不失一般性, 由于结构阻尼效应, 车辆在移动过程中仅与车体两侧一定区域内轨道结构发生耦合作用, 而结构上大部分区域处于静止状态. 本文利用移动控制体对任意时刻轨道结构上有效振动区域进行标记, 见图2中红色虚线框, 并选取移动控制体内轨道结构与车辆作为研究对象, 建立缩减系统的动力学方程, 分析车辆-轨道耦合动力学响应.
如图2所示, 本文选定的研究对象在不同时刻包含了不同区域内轨道结构, 表明缩减的研究系统具有典型的时变力学特性. 具体而言, 钢轨上新质点对象连续从右侧流进移动控制体, 组成缩减的力学研究系统, 而系统中原先的钢轨质点对象则从左侧流出控制体, 同时轨下离散集中质量以一定速率间断地进入/离开控制体, 说明缩减系统的时变动力学问题相当复杂, 包括了时变连续梁系统和时变离散集中质量系统动力学行为. 因此, 本节将利用任意拉格朗日-欧拉原理和模态叠加理论建立移动控制体内时变连续梁的动力学模型, 并进一步基于多刚体动力学理论, 建立车辆系统和轨下离散集中质量系统的动力学模型, 具体过程如下.
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图 2 移动控制体中车辆-轨道耦合系统的时变动力学模型示意图Figure 2. Schematic of a time-varying train-track coupled model in the moving control volume1.1 车辆系统模型
由多刚体动力学理论, 车辆系统的运动方程可表示为
$$ {{\boldsymbol{M}}_v}{{\boldsymbol{\ddot y}}_v} + {{\boldsymbol{C}}_v}{{\boldsymbol{\dot y}}_v} + {{\boldsymbol{K}}_v}{{\boldsymbol{y}}_v} = {{\boldsymbol{F}}_v} $$ (1) 式中, $ {{\boldsymbol{y}}_v} $为车辆系统的坐标列阵, 且定义为
$$ {{\boldsymbol{y}}_v} = {\left[ {{y_c},{\theta _c},{y_{bf}},{\theta _{bf}},{y_{br}},{\theta _{br}},{y_1},{y_2},{y_3},{y_4}} \right]^{\text{T}}} $$ (2) $ {{\boldsymbol{M}}_v} $, $ {{\boldsymbol{C}}_v} $和$ {{\boldsymbol{K}}_v} $分别为车辆系统的质量、阻尼和刚度矩阵, 其具体表达式见文献[31]; $ {{\boldsymbol{F}}_v} $为作用在车辆系统上外力列阵, 包括重力和轮轨接触力, 其中轮对i处接触力Fci可表示为[31]
$$ {F_{ci}} = \left\{ \begin{aligned} & { - {k_1}{\delta _i} - {c_1}{{\dot \delta }_i}},\quad{{\delta _i} < 0} \\ & 0,\quad{{\delta _i} \geqslant 0} \end{aligned} \right. $$ (3) 式中, δi为嵌入量, 且定义为
$$ {\delta _i} = {y_i} - {w_{ci}} + {r_i} $$ (4) 式中, wci和ri分别表示轮轨接触点i处钢轨的垂向振动位移和轨道不平顺度. 通常, ri是根据该接触点纵向位置及轨道不平顺谱, 通过插值计算得到.
1.2 连续时变轨道梁模型
轨道等效为无限长的连续欧拉-伯努利梁. 假设w(x, t)表示移动控制体内截断轨道梁在弧长x处的垂向振动位移, 由模态叠加理论可得
$$ w\left( {x,t} \right) = {\boldsymbol{\varPhi }}\left( x \right){\boldsymbol{q}}\left( t \right) $$ (5) 式中, $ {\boldsymbol{q}} $表示轨道梁的模态坐标列阵, $ {\boldsymbol{\varPhi }} $表示模态振型矩阵. 式(5)对时间t求导一次, 轨道梁在弧长x处垂向振动速度可表示为[25]
$$ \dot w = {\boldsymbol{\varPhi \dot q}} - V{{\boldsymbol{\varPhi }}_x}{\boldsymbol{q}} $$ (6) 式中, $ {{\boldsymbol{\varPhi }}_x} $表示模态振型矩阵$ {\boldsymbol{\varPhi }} $关于弧长x的一阶偏导数矩阵. 类似地, 轨道梁在弧长x处垂向振动加速度为
$$ \ddot w = {\boldsymbol{\varPhi \ddot q}} - 2V{{\boldsymbol{\varPhi }}_x}{\boldsymbol{\dot q}} + {V^2}{{\boldsymbol{\varPhi }}_{xx}}{\boldsymbol{q}} $$ (7) 式中, $ {{\boldsymbol{\varPhi }}_{xx}} $表示模态振型矩阵$ {\boldsymbol{\varPhi }} $关于弧长x的二阶偏导数矩阵.
利用式(6), 移动控制体内轨道梁的动能可计算为
$$ T = \int_\varOmega {{T_V}{\mathrm{d}}\varOmega } = \frac{1}{2}{m_r}\int_0^{{L_t}} {{{\left( {{\boldsymbol{\varPhi \dot q}} - V{{\boldsymbol{\varPhi }}_x}{\boldsymbol{q}}} \right)}^2}{\mathrm{d}}x} $$ (8) 式中, Lt表示移动控制体中轨道梁长度, dΩ表示轨道梁的体积微元, TV表示单位体积轨道梁动能, 且定义为
$$ {T_V} = \frac{1}{2}\rho {\left( {{\boldsymbol{\varPhi \dot q}} - V{{\boldsymbol{\varPhi }}_x}{\boldsymbol{q}}} \right)^2} $$ (9) 式中, ρ表示梁的密度. 另一方面, 由式(5)可定义轨道梁在弧长x处的弯曲应变
$$ \varepsilon = {{\boldsymbol{\varPhi }}_{xx}}{\boldsymbol{q}} $$ (10) 因此, 轨道梁的弹性变形能可计算为
$$ U = {{\boldsymbol{q}}^{\text{T}}}\left( {\frac{1}{2}EI\int_0^{{L_t}} {{\boldsymbol{\varPhi }}_{xx}^{\text{T}}{{\boldsymbol{\varPhi }}_{xx}}{\mathrm{d}}x} } \right){\boldsymbol{q}} $$ (11) 考虑式(8)和式(11), 利用任意拉格朗日-欧拉原理, 可以得到[25, 32-33]
$$ \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial {\boldsymbol{\dot q}}}}} \right) - \frac{{\partial T}}{{\partial {\boldsymbol{q}}}} + \frac{{\partial U}}{{\partial {\boldsymbol{q}}}} + \int_S {\frac{{\partial {T_V}}}{{\partial {\boldsymbol{\dot q}}}}{{\boldsymbol{v}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{n}}{\mathrm{d}}S} = {{\boldsymbol{Q}}_q} $$ (12) 式中, dS表示移动控制体中轨道梁外表面上任意点处面积微元, $ {\boldsymbol{n}} $表示该点处曲面外法线向量, $ {\boldsymbol{v}} $表示流入(出)控制体中梁质点的速度矢量, $ {{\boldsymbol{Q}}_q} $表示作用在轨道梁上外力的广义力列阵, 包括轮轨接触力和轨下支承作用力.
通过分析不难发现, 方程(12)中等号左侧第4项代表了移动控制体内轨道梁质点对象变化引起的附加作用力$ {{\boldsymbol{Q}}_{{\mathrm{flux}}}} $, 考虑到仅轨道梁两侧端面上有质量流入/出控制体, 因此该项可以简化为
$$ {{\boldsymbol{Q}}_{{\mathrm{flux}}}} = \int_S {\frac{{\partial {T_V}}}{{\partial {\boldsymbol{\dot q}}}}{{\boldsymbol{v}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{n}}{\mathrm{d}}S} = {m_r}V{{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}\left. {\left( {{\boldsymbol{\varPhi \dot q}} - V{{\boldsymbol{\varPhi }}_x}{\boldsymbol{q}}} \right)} \right|_{x = 0}^{x = {L_t}} $$ (13) 本文利用虚功原理分析作用在钢轨上轮轨接触力和轨下支承力的广义力. 基于虚功原理, 钢轨上接触力Fci的广义力列阵可表示为
$$ {{\boldsymbol{Q}}_{ci}} = - {{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}\left( {{x_i}} \right){F_{ci}} $$ (14) 式中, xi表示轮轨接触点i在移动控制体中相对位置. 因此, 轮轨接触作用的广义力总和$ {{\boldsymbol{Q}}_{{\mathrm{con}}}} $为
$$ {{\boldsymbol{Q}}_{{\mathrm{con}}}} = \sum\limits_{i = 1}^4 {{{\boldsymbol{Q}}_{ci}}} $$ (15) 类似地, 支承j作用的广义力列阵可表示为
$$ {{\boldsymbol{Q}}_{fj}} = {{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}\left( {{x_{rj}}} \right)\left[ { - k\left( {{w_j} - {y_{sj}}} \right) - {c_p}\left( {{{\dot w}_j} - {{\dot y}_{sj}}} \right)} \right] $$ (16) 式中, xrj表示支承j作用点在移动控制体中相对位置, wj表示轨道梁在该点处垂向振动位移, ysj表示支承j处轨枕的垂向振动位移. 利用式(16), 并考虑式(5)和式(6), 移动控制体中支承的广义力为
$$ {{\boldsymbol{Q}}_f} = \sum\limits_{j = 1}^N {{{\boldsymbol{Q}}_{fj}}} = - \sum\limits_{j = 1}^N {{{\boldsymbol{C}}_{rj}}{\boldsymbol{\dot q}}} - \sum\limits_{j = 1}^N {{{\boldsymbol{K}}_{rj}}{\boldsymbol{q}}} - {{\boldsymbol{C}}_{rs}}{{{\boldsymbol{\dot y}}}_s} - {{\boldsymbol{K}}_{rs}}{{\boldsymbol{y}}_s} $$ (17) 式中, N表示移动控制体中支承数, $ {{\boldsymbol{y}}_s} $表示移动控制体中轨枕系统的位移坐标列阵, 且定义为
$$ {{\boldsymbol{y}}_s} = {\left[ {{y_{s1}},{y_{s2}}, \cdots ,{y_{sj}}, \cdots ,{y_{sN}}} \right]^{\text{T}}} $$ (18) 支承j引起的等效系统阻尼和刚度矩阵分别为
$$ {{\boldsymbol{C}}_{rj}} = {c_p}{{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}\left( {{x_{rj}}} \right){\boldsymbol{\varPhi }}\left( {{x_{rj}}} \right) $$ (19) $$ {{\boldsymbol{K}}_{rj}} = {{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}\left( {{x_{rj}}} \right)\left[ {{k_p}{\boldsymbol{\varPhi }}\left( {{x_{rj}}} \right) - {c_p}V{{\boldsymbol{\varPhi }}_x}\left( {{x_{rj}}} \right)} \right] $$ (20) $$ {{\boldsymbol{C}}_{rs}} = - {c_p}\left[ {{{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}\left( {{x_{r1}}} \right),{{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}\left( {{x_{r2}}} \right), \cdots ,{{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}\left( {{x_{rN}}} \right)} \right] $$ (21) $$ {{\boldsymbol{K}}_{rs}} = - {k_p}\left[ {{{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}\left( {{x_{r1}}} \right),{{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}\left( {{x_{r2}}} \right), \cdots ,{{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}\left( {{x_{rN}}} \right)} \right] $$ (22) 将式(15)和式(17)代入式(12), 并整理得到
$$ {{\boldsymbol{M}}_r}{\boldsymbol{\ddot q}} + {{\boldsymbol{C}}_r}{\boldsymbol{\dot q}} + {{\boldsymbol{K}}_r}{\boldsymbol{q}} + {{\boldsymbol{C}}_{rs}}{{\boldsymbol{\dot y}}_s} + {{\boldsymbol{K}}_{rs}}{{\boldsymbol{y}}_s} = {{\boldsymbol{Q}}_{{\mathrm{con}}}} - {{\boldsymbol{Q}}_{{\mathrm{flux}}}} $$ (23) 式中, 轨道梁的质量、阻尼和刚度矩阵分别为
$$ {{\boldsymbol{M}}_r} = {m_r}\int_0^{{L_t}} {{{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\varPhi }}{\mathrm{d}}x} $$ (24) $$ {{\boldsymbol{C}}_r} = \sum\limits_{j = 1}^N {{{\boldsymbol{C}}_{rj}}} - 2{m_r}V\int_0^{{L_t}} {{{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{\varPhi }}_x}{\mathrm{d}}x} $$ (25) $$\begin{split} & {{\boldsymbol{K}}_r} = \sum\limits_{j = 1}^N {{{\boldsymbol{K}}_{rj}}} + EI\int_0^{{L_t}} {{\boldsymbol{\varPhi }}_{xx}^{\text{T}}{{\boldsymbol{\varPhi }}_{xx}}{\mathrm{d}}x} + \\ &\qquad {m_r}{V^2}\int_0^{{L_t}} {{{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{\varPhi }}_{xx}}{\mathrm{d}}x} \end{split} $$ (26) 由式(25)和式(26)可知, 轨道模型截断会引起与车速V相关的附加系统阻尼和刚度矩阵. 截断梁系统的质量、阻尼和刚度矩阵具体表达式与模态振型函数$ {\boldsymbol{\varPhi }} $有关, 模态振型函数$ {\boldsymbol{\varPhi }} $取决于轨道梁的截断边界条件. Mei等[34]比较研究了两端简支与固支边界条件对截断系统动力学的影响, 表明当截断梁长度选取合理时, 即系统的有效振动区域完全包含在移动控制体内, 两种边界条件的计算结果无明显差别. 为简便起见, 本文采用两端简支的轨道梁边界条件.
1.3 离散时变轨下结构模型
车辆在控制体中相对位置始终保持不变, 因此可以根据轨枕空间安装位置、车辆即时位置及控制体的范围, 确定任意t时刻控制体内轨枕和道床系统的集中质量对象j. 轨枕j的垂向运动方程为
$$ \begin{split} & {m_s}{{\ddot y}_{sj}} = {k_p}{w_j} - {k_p}{y_{sj}} + {c_p}{{\dot w}_j} - {c_p}{{\dot y}_{sj}} - \\ &\qquad {k_b}\left( {{y_{sj}} - {y_{bj}}} \right) - {c_b}\left( {{{\dot y}_{sj}} - {{\dot y}_{bj}}} \right) \end{split} $$ (27) 利用式(27), 轨枕系统的垂向运动方程为
$$ \begin{split} & {{\boldsymbol{M}}_s}{{{\boldsymbol{\ddot y}}}_s} + {{\boldsymbol{C}}_s}{{{\boldsymbol{\dot y}}}_s} + {{\boldsymbol{K}}_s}{{\boldsymbol{y}}_s} + {{\boldsymbol{C}}_{sb}}{{{\boldsymbol{\dot y}}}_b} + \\ &\qquad {{\boldsymbol{K}}_{sb}}{{\boldsymbol{y}}_b} + {{\boldsymbol{C}}_{sr}}{\boldsymbol{\dot q}} + {{\boldsymbol{K}}_{sr}}{\boldsymbol{q}} = {\boldsymbol{0}} \end{split} $$ (28) 式中, $ {{\boldsymbol{y}}_b} $表示任意t时刻移动控制体中道床系统的位移坐标列阵, 且定义为
$$ {{\boldsymbol{y}}_b} = {\left[ {{y_{b1}},{y_{b2}}, \cdots ,{y_{bi}}, \cdots ,{y_{bN}}} \right]^{\text{T}}} $$ (29) 道床系统的质量、阻尼和刚度矩阵及相关矩阵分别定义为
$$ {{\boldsymbol{M}}_s} = {m_s}{{\boldsymbol{I}}_{NN}} $$ (30) $$ {{\boldsymbol{C}}_s} = \left( {{c_p} + {c_b}} \right){{\boldsymbol{I}}_{NN}} $$ (31) $$ {{\boldsymbol{K}}_s} = \left( {{k_p} + {k_b}} \right){{\boldsymbol{I}}_{NN}} $$ (32) $$ {{\boldsymbol{C}}_{sb}} = - {c_b}{{\boldsymbol{I}}_{NN}} $$ (33) $$ {{\boldsymbol{K}}_{sb}} = - {k_b}{{\boldsymbol{I}}_{NN}} $$ (34) $$ {{\boldsymbol{C}}_{sr}} = {\boldsymbol{C}}_{rs}^{\text{T}} $$ (35) $$ \begin{split} & {{\boldsymbol{K}}_{sr}} = - {k_p}{\left[ {{{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}\left( {{x_{r1}}} \right),{{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}\left( {{x_{r2}}} \right), \cdots ,{{\boldsymbol{\varPhi }}^{\text{T}}}\left( {{x_{rN}}} \right)} \right]^{\text{T}}} + \\ &\qquad V{c_p}{\left[ {{\boldsymbol{\varPhi }}_x^{\text{T}}\left( {{x_{r1}}} \right),{\boldsymbol{\varPhi }}_x^{\text{T}}\left( {{x_{r2}}} \right), \cdots ,{\boldsymbol{\varPhi }}_x^{\text{T}}\left( {{x_{rN}}} \right)} \right]^{\text{T}}} \end{split} $$ (36) 在式(30) ~ 式(34)中, $ {{\boldsymbol{I}}_{NN}} $表示N × N维单位矩阵. 类似地, 道床块j的垂向运动方程为
$$\begin{split} & {m_b}{{\ddot y}_{bj}} = {k_b}\left( {{y_{sj}} - {y_{bj}}} \right) + {c_b}\left( {{{\dot y}_{sj}} - {{\dot y}_{bj}}} \right) - {k_f}{y_{bj}} - \\ &\qquad {c_f}{{\dot y}_{bj}} - {k_w}\left( {{y_{bj}} - {y_{bj - 1}}} \right) - {c_w}\left( {{{\dot y}_{bj}} - {{\dot y}_{bj - 1}}} \right) + \\ &\qquad {k_w}\left( {{y_{bj + 1}} - {y_{bj}}} \right) + {c_w}\left( {{{\dot y}_{bj + 1}} - {{\dot y}_{bj}}} \right) \end{split} $$ (37) 式中, 当j = 1或j = N时, ybj−1 = 0或ybj+1 = 0. 因此, 移动控制体内道床系统的运动方程为
$$ {{\boldsymbol{M}}_b}{{\boldsymbol{\ddot y}}_b} + {{\boldsymbol{C}}_b}{{\boldsymbol{\dot y}}_b} + {{\boldsymbol{K}}_b}{{\boldsymbol{y}}_b} + {{\boldsymbol{C}}_{bs}}{{\boldsymbol{\dot y}}_s} + {{\boldsymbol{K}}_{bs}}{{\boldsymbol{y}}_s} = {\boldsymbol{0}} $$ (38) 式中, 道床系统的质量矩阵$ {{\boldsymbol{M}}_b} $、阻尼矩阵$ {{\boldsymbol{C}}_b} $、刚度矩阵$ {{\boldsymbol{K}}_b} $及相关矩阵$ {{\boldsymbol{C}}_{bs}} $和$ {{\boldsymbol{C}}_{bs}} $分别为
$$ {{\boldsymbol{M}}_b} = {m_b}{{\boldsymbol{I}}_{NN}} $$ (39) $$ {{\boldsymbol{C}}_b} = {{\boldsymbol{C}}_{bw}} + \left( {{c_b} + {c_f}} \right){{\boldsymbol{I}}_{NN}} $$ (40) $$ {{\boldsymbol{K}}_b} = {{\boldsymbol{K}}_{bw}} + \left( {{k_b} + {k_f}} \right){{\boldsymbol{I}}_{NN}} $$ (41) $$ {{\boldsymbol{C}}_{bs}} = {{\boldsymbol{C}}_{sb}} $$ (42) $$ {{\boldsymbol{K}}_{bs}} = {{\boldsymbol{K}}_{sb}} $$ (43) 式(40)中, 阻尼矩阵$ {{\boldsymbol{C}}_{bw}} $定义为
$$ {{\boldsymbol{C}}_{bw}} = {c_w}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&{\cdots}&{0}&{0} \\ { - 1}&2& \cdots &{0}&{0} \\ {0}&{ - 1}& \cdots &{ - 1}&{0} \\ {0}&{0}& \cdots &2&{ - 1} \\ {0}&{0}&{\cdots}&{ - 1}&2 \end{array}} \right] $$ (44) 式(41)中, 刚度矩阵$ {{\boldsymbol{K}}_{bw}} $定义为
$$ {{\boldsymbol{K}}_{bw}} = {k_w}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&{\cdots}&{0}&{0} \\ { - 1}&2& \cdots &{0}&{0} \\ {0}&{ - 1}& \cdots &{ - 1}&{0} \\ {0}&{0}& \cdots &2&{ - 1} \\ {0}&{0}&{\cdots}&{ - 1}&2 \end{array}} \right] $$ (45) 需要着重说明的是, 移动控制体内轨枕和道床系统的质点对象和自由度数通常是变化的, 因此方程(28)和方程(38)需要从时变角度进行理解和求解. 但区别于截断的轨道梁系统时变特性体现在模型方程的动力学附加项, 而截断轨下结构的动力学方程无法直接体现系统时变特性. 下文将结合具体的积分算法, 通过设置积分迭代条件来表征轨下结构的离散时变动力学问题.
1.4 系统动力学方程
基于上文的车辆、轨道及轨下结构模型, 利用有限单元组装技术, 连续运行车辆与长大轨道耦合系统的时变动力学方程可表示为
$$ {\boldsymbol{M\ddot X}} + {\boldsymbol{C\dot X}} + {\boldsymbol{KX}} = {\boldsymbol{F}} $$ (46) 式中, 系统的广义坐标列阵$ {\boldsymbol{X}} $定义为
$$ {\boldsymbol{X}} = {\left[ {{\boldsymbol{y}}_v^{\text{T}},{{\boldsymbol{q}}^{\text{T}}},{\boldsymbol{y}}_s^{\text{T}},{\boldsymbol{y}}_b^{\text{T}}} \right]^{\text{T}}} $$ (47) 系统的质量矩阵$ {\boldsymbol{M}} $定义为
$$ {\boldsymbol{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{M}}_v}}&{{\boldsymbol{0}}}&{{\boldsymbol{0}}}&{{\boldsymbol{0}}} \\ {{\boldsymbol{0}}}&{{{\boldsymbol{M}}_r}}&{{\boldsymbol{0}}}&{{\boldsymbol{0}}} \\ {{\boldsymbol{0}}}&{{\boldsymbol{0}}}&{{{\boldsymbol{M}}_s}}&{{\boldsymbol{0}}} \\ {{\boldsymbol{0}}}&{{\boldsymbol{0}}}&{{\boldsymbol{0}}}&{{{\boldsymbol{M}}_b}} \end{array}} \right] $$ (48) 系统的阻尼矩阵$ {\boldsymbol{C}} $定义为
$$ {\boldsymbol{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{C}}_v}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{{{\boldsymbol{C}}_r}}&{{{\boldsymbol{C}}_{rs}}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{{{\boldsymbol{C}}_{sr}}}&{{{\boldsymbol{C}}_s}}&{{{\boldsymbol{C}}_{sb}}} \\ {\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{{{\boldsymbol{C}}_{bs}}}&{{{\boldsymbol{C}}_b}} \end{array}} \right] $$ (49) 系统的刚度矩阵$ {\boldsymbol{K}} $定义为
$$ {\boldsymbol{K}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{K}}_v}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{{{\boldsymbol{K}}_r}}&{{{\boldsymbol{K}}_{rs}}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{{{\boldsymbol{K}}_{sr}}}&{{{\boldsymbol{K}}_s}}&{{{\boldsymbol{K}}_{sb}}} \\ {\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{{{\boldsymbol{K}}_{bs}}}&{{{\boldsymbol{K}}_b}} \end{array}} \right] $$ (50) 系统的外力列阵$ {\boldsymbol{F}} $定义为
$$ {\boldsymbol{F}} = {\left[ {{\boldsymbol{F}}_v^{\text{T}},{\boldsymbol{Q}}_{{\mathrm{con}}}^{\text{T}},{{\boldsymbol{0}}},{{\boldsymbol{0}}}} \right]^{\text{T}}} $$ (51) 注意在简支边界条件下附加项$ {{\boldsymbol{Q}}_{{\mathrm{flux}}}} $为0, 因此不会出现在系统的外力列阵$ {\boldsymbol{F}} $的表达式中.
2. 系统时变动力学积分算法
本文采用自适应步长的龙格-库塔-费尔贝格积分算法[35-36](Runge-Kutta-Fehlberg, RKF45)数值求解方程(46), 获得车辆-轨道结构耦合动力学响应. 为此, 在时间域上对方程(46)进行积分离散, 利用初始时刻系统的响应, 通过一系列代数运算, 依次预测各离散时间点上系统的位移和速度响应; 在每个积分迭代步, 先以设定的最大步长预测系统响应, 如果预测结果不能满足设定的误差要求, 则不断减小积分步长, 并重复上述计算以获得足够精度的预测结果, 反之则转入下一积分迭代步的系统响应预测计算过程, 直至得到系统在整个时间域内的积分响应. 对于定常系统的动力学积分问题, 待求微分方程中未知变量所对应的质点对象或系统自由度是固定不变的, 在迭代过程中当前步数值积分结果可直接作为下一步迭代计算的初值条件. 但是, 本文中移动控制体内车辆-轨道耦合动力学系统具有典型的时变特性, 相邻两个迭代步的待求方程个数和方程中未知量表征的系统自由度和物理量是不匹配的, 不能直接利用当前步计算结果预测下一步系统响应, 需要结合车辆运动学关系等信息对积分结果进行预处理, 才能得到正确的积分迭代条件.
本文选定的系统力学研究对象由移动控制体内车辆、连续轨道梁和表征轨枕/道床的离散集中质量系统组成. 车辆系统的质点对象固定不变, 因此在时域离散积分格式中当前步车辆系统响应可直接作为迭代初值条件预测下一步车辆系统响应. 另一方面, 由于移动控制体内轨道梁系统的时变特性已通过附加的力学项体现在系统动力学方程中, 当前步轨道梁的振动响应也可以直接用于预测下一步梁系统的振动响应. 而对于轨枕和道床系统而言, 虽然方程(28)和方程(38)具有统一的形式, 但由于车辆的移动实际上描述了不同轨枕和道床块质量系统的垂向振动, 当前步轨枕和道床系统的积分响应不能直接用于预测下一步轨枕和道床系统的动力学响应. 为了表述方便, 这里假设t时刻移动控制体内轨枕和道床系统的自由度分别为(ys1, yb1), (ys2, yb2)和(ys3, yb3), 而在t + Δt时刻轨枕和道床系统的自由度分别为(ys1, yb1), (ys2, yb2), (ys3, yb3)和(ys4, yb4), 如图3所示. 易知, 在积分过程中t时刻系统自由度(ys2, yb2)和(ys3, yb3)的响应可直接用于预测t + Δt时刻自由度(ys1, yb1)和(ys2, yb2)的响应, 而预测系统自由度(ys3, yb3)和(ys4, yb4)的响应初值则应设置为0.
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图 3 移动控制体中轨枕/道床质量对象变化示意图Figure 3. Variation of mass objects of the sleeper and ballast system in moving control volume本文将根据车辆的即时位置、轨枕的安装位置及移动控制体的有效范围等信息, 确定当前积分步中移动控制体内轨枕和道床块id、数量N和支承点的相对位置xrj, 并进一步判断上述质量对象在前一积分步中是否也在移动控制体内. 对于前后积分步中未变的质量对象, 基于运动几何关系从前一步积分信息确定相对应的积分信息, 并直接作为当前步积分计算的初值条件. 若某集中质量是从上一积分步新进流入当前积分步控制体中研究对象, 则说明该质量对象在上一积分步位于控制体之外, 将处于静止状态, 因此在当前积分步该质量对象的积分迭代初值条件设为零. 结合上文阐述, 本文采用的数值积分算法流程如图4所示.
3. 方法验证与讨论
本节将结合具体算例, 验证上文提出的时变方法并讨论该方法的相关细节. 假设移动控制体内轨道梁长度Lt = 100 m, 且车体中心始终位于控制体垂直对称轴上, 因此各车轮中心在控制体中相对位置分别为60, 57.5, 42.5和40 m. 在描述轮轨相互作用时, 考虑德国轨道不平顺谱, 其高低不平顺功率谱密度为[37-38]
$$ {S_v}\left( \varOmega \right) = \frac{{{A_v}\varOmega _c^2}}{{\left( {{\varOmega ^2} + \varOmega _r^2} \right)\left( {{\varOmega ^2} + \varOmega _c^2} \right)}} $$ (52) 式中, Ω表示轨道不平顺的空间频率, 截断频率Ωr和Ωc分别为0.020 6和0.824 6 rad/m, 粗糙度常数Av为4.032 × 10−7. 图5为本文中轨道不平顺在纵向位置[0, 500 m]区间内变化规律图. 采用80个模态坐标计算控制体中轨道梁的动响应, 系统模型的计算参数见表1所示.
Notation Value Notation Value Notation Value Mc/kg 77000 k2/(N·m−1) 2.14 × 106 kb/(N·m−1) 2.4 × 108 Jc/(kg·m2) 1.2 × 106 c2/(N·s·m−1) 4.9 × 104 cb/(N·s·m−1) 5.88 × 104 Mb/kg 1100 k3/(N·m−1) 5.32 × 106 kf/(N·m−1) 6.5 × 107 Jb/(kg·m2) 760 c3/(N·m−1) 7.0 × 104 cf/(N·m−1) 3.12 × 104 Mw/kg 1200 a/m 8.75 kw/(N·m−1) 7.84 × 107 d/m 0.545 b/m 1.25 cw/(N·s·m−1) 8.0 × 104 mr/(kg·m−1) 51.5 ms/kg 237 k1/(N·m−1) 1.5 × 108 EI/(N·m2) 4.2 × 106 mb/kg 683 c1/(N·s·m−1) 1.8 × 105 kp/(N·m−1) 1.2 × 108 cp/(N·s·m−1) 1.24 × 105 3.1 算例验证
为了验证本文方法的有效性, 假设图1中轨道结构全长为545 m, 初始时车辆中心到轨道左端点的水平距离为120 m, 车辆以300 km/h速度在轨道上运行, 采用经典的模态叠加法(CMSM)和本文方法(CM)分析系统的动力学响应, 其中经典方法使用了500个模态坐标计算系统响应.
图6比较了两种方法计算得到的车体垂向位移、速度和加速度响应. 图7比较了两种方法得到的前构架点头振动响应. 图8比较了两种方法得到的轮轨接触力响应. 图9为不同时刻车辆附近区域内轨道的垂向位移响应. 图10和图11为不同位置处轨枕/道床块的振动响应. 从上述各图中可以看出, 两种方法的计算结果能够很好地吻合, 表明本文方法可使用较少模态就能获得理想的数值结果.
本文利用Matlab软件实现了两种方法的仿真计算程序并获得上述结果. 两种方法的计算效率对比情况如表2所示. 从表2中可以看出, 两种方法计算分析4.0 s车线耦合动力学响应时, 经典模态叠加法耗时1947.5 s, 而本文方法则耗时555.3 s, 前者是后者的3.5倍. 当增加仿真时间时, 本文方法中轨道模型的计算长度和模态数保持不变, 模态叠加法因需遵循研究对象不变的前提条件, 轨道模型的计算长度和相应模态数会增加, 计算耗时也会明显增加. 因此, 本文方法分析车辆与长大轨道结构耦合动力学计算效率高的优势将会更加明显.
表 2 两种方法的计算效率比较Table 2. Comparison of two methods used in computation efficiencySimulation time/s CPU time/s Computed length of rail/m Number of required modes CM CMSM CM CMSM CM CMSM 4.0 555.3 1947.5 100.0 545.5 80 500 6.0 1044.2 4532.7 100.0 745.5 80 650 3.2 时变效应的影响
轨道截断后, 车辆与有效长度轨道结构组成的耦合系统具有复杂的时变特性, 因此连续运行车辆与长大轨道耦合动力学分析的关键在于如何正确完整地表征系统的时变特性. 式(6)和式(7)定性地说明了模型截断引起的时变效应对系统动力学的影响, 不难发现有效长度轨道的质点对象变化将对钢轨的速度和加速度响应产生影响作用. 为了定量地说明上述现象, 这里不考虑系统方程(46)中动力学附加项并分析系统的动力学响应, 并将计算结果与本文的计算结果进行比较. 图12比较了考虑与不考虑时变效应情况下不同位置处钢轨速度和加速度振动响应. 进一步, 忽略移动控制体中离散轨枕和道床质点对象变化, 即在迭代过程中将上一步结果直接用于预估下一步系统响应, 比较研究两种计算结果差异, 如图13所示. 图13比较了两种分析计算中轮轨接触点处钢轨垂向振动位移差异. 由图12和图13可以看出, 模型截断引起的时变效应对系统动力学有较明显的影响作用.
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图 12 时变效应对不同位置处钢轨振动响应的影响Figure 12. Time-varying effects on dynamic responses of the rail at positions![]()
图 13 时变效应对轮轨接触处钢轨振动响应的影响Figure 13. Time-varying effects on dynamic responses of the rail at contact points3.3 轨道模型计算长度选取
本文假设在任意时刻系统的有效振动全部集中于移动控制体内, 而控制体之外的轨道结构处于静止状态. 因此, 控制体内轨道模型的计算长度必须合适, 否则会影响数值结果的精度. 由于车线耦合动力学的复杂性, 目前还没有一般性方法确定轨道模型的计算长度, 可以采用预分析方法选取合适的轨道模型计算长度. 车载作用下轨道结构的有效区域与系统振动传播和衰减有关. 选定较大的轨道模型的计算长度Lt = 150 m, 并分析系统响应, 然后计算系统在车辆两侧区域内机械振动能量. 图14为钢轨振动能量随计算区域长度的变化情况. 从图14中可以看出, 当选定计算区域的长度Ls超出一定范围后, 钢轨振动能量的计算值不再明显变化, 表明此时计算区域已包含轨道结构的主要振动特征. 图15比较了选取不同的轨道模型计算长度时钢轨振动响应. 因此, 综合考虑相关因素, 基于能量的预分析方法就可以确定合适的轨道模型的计算长度.
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图 14 给定计算区域内钢轨机械能变化图Figure 14. Variations of mechanical energy of the rail in give computation regions![]()
图 15 不同轨道模型计算长度的钢轨振动响应比较Figure 15. Comparison of displacement of the rail computed with effective lengths一般说来, 轨道模型计算长度与车辆、轨道和地基的动力学性能相关. 这里根据上文的方法简单分析车速V对轨道模型计算长度Lt的影响. 数值研究表明车速不是影响轨道模型计算长度变化的主要因素. 从图16中可以看出, 当车速在100 ~ 500 km/h范围内变化时, 轨道模型计算长度虽呈现了增大变化趋势, 但相对车速来说总体增幅不大.
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图 16 车速V变化对轨道模型计算长度Lt的影响Figure 16. Effect of train velocity V on computed length Lt of the rail3.4 车辆载荷作用点位置确定
本文假设移动控制体中有效振动区域范围不变, 并随车辆一起运动, 因此车辆载荷作用点在移动控制体中相对位置保持不变. 为了减少待确定的未知变量, 本文假定控制体中有效振动区域沿车辆中心对称分布. 因此, 当轨道模型的有效计算长度确定后, 就可以根据车辆结构尺寸计算轮轨接触点在移动控制体中相对位置. 不失一般性, 远离车辆的轨道结构由于处于静止状态, 对系统动力学的影响可以忽略, 故总能够通过适当调整控制体的两端边界位置, 使得控制体选定的区域沿车辆中心对称分布. 图17给出了车辆位于控制体中不同位置时钢轨振动响应结果比较. 由图17可知, 当控制体包含了结构有效振动区域, 车辆在控制体中相对位置在一定范围内调整不会影响系统动力学计算结果, 说明了本文确定车辆载荷作用点位置的可行性.
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图 17 不同车载作用点位置时钢轨位移比较Figure 17. Comparison of displacement of the rail computed with applied locations of vehicle loads3.5 模型更新迭代步长Δt选取
为了表征移动控制体中轨枕和道床块质量对象变化引起的时变效应, 本文每经过一定时间Δt后对积分迭代初值条件进行预处理一次, 而在对应的积分时域内可按定常系统处理, 利用龙格库塔积分算法进行数值求解, 因此模型更新迭代步长Δt的选取会影响计算结果. 本文限定每次模型更新时, 只有一个轨枕/道床块质量对象进入移动控制体中, 所以Δt选取要适合. 模型更新迭代步长Δt通常与轨下结构的具体形式、车辆运行情况、轨枕间距和控制体边界初始位置等有关, 且取值并不唯一. 本文首先根据车速V和轨枕间距d初步预估Δt的上限值
$$ \Delta t < d/V $$ (53) 再结合其他相关因素, 通过预分析方法选取较为合适的Δt. 图18比较了选取不同Δt时钢轨振动响应差异性. 当Δt接近或超过上限值0.006 5 s时, 在模型更新前就已有质点对象流进/出控制体, 导致了相应的计算结果存在较明显的误差, 因此Δt必须仔细选取.
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图 18 不同步长Δt时钢轨位移比较Figure 18. Comparison of displacement of the rail computed with steps Δt4. 结 论
本文揭示了连续运行车辆与截断轨道结构耦合系统基础理论模型的力学本质——质点对象不断改变的复杂时变动力学系统, 其中包含了轨道梁系统的连续时变动力学特征和轨下结构集中质量系统的离散时变动力学特征. 进一步, 本文基于移动控制体和任意拉格朗日-欧拉原理, 以附加的系统阻尼和刚度矩阵及广义作用力形式表征了轨道梁的连续时变动力学效应; 通过预处理迭代初值条件, 描述轨枕和道床等集中质量系统的离散时变动力学效应; 并在此基础上, 构建了一种研究长距离运行车辆与轨道结构垂向耦合动力学问题的时变分析法.
通过与经典模态叠加法的比较研究, 本文方法的正确性和有效性得到了验证. 数值结果表明本文方法可以采用较少自由度获得具有足够数值精度的系统响应解. 此外, 研究还表明轨道模型截断引起的钢轨与轨下结构的时变效应对耦合系统动力学有明显的影响作用, 在系统动力学建模时应从时变系统角度予以充分考虑.
本文运用时变动力学原理初步解决了连续运行车辆与长大轨道结构耦合动力学的高效建模和数值仿真问题, 为研究系统的长期动力学行为演化等轨道交通领域内关键科学问题及实际服役动力学问题奠定了理论基础. 但本文方法在理论确定移动控制体长度、模型更新迭代步长等方面还存在不足, 需要深入研究. 另外, 本文方法还可以进一步拓展并应用于其他类型的轨道结构及车辆-轨道耦合系统的三维动力学问题的研究. 相关工作将在后续研究中逐渐开展.
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图 2 移动控制体中车辆-轨道耦合系统的时变动力学模型示意图
Figure 2. Schematic of a time-varying train-track coupled model in the moving control volume
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图 3 移动控制体中轨枕/道床质量对象变化示意图
Figure 3. Variation of mass objects of the sleeper and ballast system in moving control volume
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图 12 时变效应对不同位置处钢轨振动响应的影响
Figure 12. Time-varying effects on dynamic responses of the rail at positions
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图 13 时变效应对轮轨接触处钢轨振动响应的影响
Figure 13. Time-varying effects on dynamic responses of the rail at contact points
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图 14 给定计算区域内钢轨机械能变化图
Figure 14. Variations of mechanical energy of the rail in give computation regions
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图 15 不同轨道模型计算长度的钢轨振动响应比较
Figure 15. Comparison of displacement of the rail computed with effective lengths
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图 16 车速V变化对轨道模型计算长度Lt的影响
Figure 16. Effect of train velocity V on computed length Lt of the rail
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图 17 不同车载作用点位置时钢轨位移比较
Figure 17. Comparison of displacement of the rail computed with applied locations of vehicle loads
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图 18 不同步长Δt时钢轨位移比较
Figure 18. Comparison of displacement of the rail computed with steps Δt
Notation Value Notation Value Notation Value Mc/kg 77000 k2/(N·m−1) 2.14 × 106 kb/(N·m−1) 2.4 × 108 Jc/(kg·m2) 1.2 × 106 c2/(N·s·m−1) 4.9 × 104 cb/(N·s·m−1) 5.88 × 104 Mb/kg 1100 k3/(N·m−1) 5.32 × 106 kf/(N·m−1) 6.5 × 107 Jb/(kg·m2) 760 c3/(N·m−1) 7.0 × 104 cf/(N·m−1) 3.12 × 104 Mw/kg 1200 a/m 8.75 kw/(N·m−1) 7.84 × 107 d/m 0.545 b/m 1.25 cw/(N·s·m−1) 8.0 × 104 mr/(kg·m−1) 51.5 ms/kg 237 k1/(N·m−1) 1.5 × 108 EI/(N·m2) 4.2 × 106 mb/kg 683 c1/(N·s·m−1) 1.8 × 105 kp/(N·m−1) 1.2 × 108 cp/(N·s·m−1) 1.24 × 105 
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表 2 两种方法的计算效率比较
Table 2 Comparison of two methods used in computation efficiency
Simulation time/s CPU time/s Computed length of rail/m Number of required modes CM CMSM CM CMSM CM CMSM 4.0 555.3 1947.5 100.0 545.5 80 500 6.0 1044.2 4532.7 100.0 745.5 80 650
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