RESEARCH ON MECHANICAL PROPERTIES OF THE DEPLOYABLE STRUCTURE WITH ADJUSTABLE THERMAL EXPANSION COEFFICIENT
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摘要: 在航空航天等领域, 结构不仅需要具备精确调控热膨胀系数的能力, 以确保在极端温度变化下保持热稳定性, 还要具备高效的空间部署能力, 以应对受限工作环境中的各种挑战. 具备可调特性的点阵复合材料正逐步在工程领域中得到应用. 文章结合折纸技术和双材料三角形结构, 提出了一种能够实现空间展开、可调热膨胀性能及轻量化的三角形联合可展开结构. 通过使用非零厚度面板和调整铰链位置, 该结构可以在两侧施加拉力, 将理想折纸模型转变为具备承载能力的等效三维结构. 进一步通过调整几何参数和材料组合, 实现了热膨胀系数从正值到负值的可调性, 并能够调节刚度. 研究结果表明, 增大角度(三角形单元的斜边与对称轴的夹角)和减小厚度比(低、高热膨胀系数材料的厚度比)能有效降低结构的热膨胀系数, 同时减小弹性模量. 增大单胞比(支撑面与底面的单胞数量比)可以降低结构热膨胀系数并增加弹性模量, 但同时会在结构中增加更多易变形的连接部位, 从而导致屈服强度下降. 减小角度、厚度比和增大单胞比均有利于实现结构的轻量化. 结构在承载方向上的等效热膨胀系数的理论值与有限元模拟结果吻合良好.Abstract: Control of thermal expansion coefficients (TECs) is critical for structural systems in specialized fields such as aerospace, where extreme temperature variation environments necessitate high thermal stability. Meanwhile, such systems also require efficient space deployment capabilities to address the challenges posed by limited working spaces. Lattice composite structures with tunable properties are gradually being applied in the engineering field. In this study, we propose a triangular combined deployable structure that incorporates space deployment, adjustable thermal expansion, and lightweight properties through an origami-based design utilizing bi-material triangles. By introducing panels with non-zero thickness and strategically adjusting the hinge positions, the idealized origami model is transformed into a three-dimensional load-bearing configuration when tensile forces are applied to both sides of the structure, allowing it to support loads effectively. The TEC of the structure can be engineered to exhibit either positive or negative values by strategically adjusting the geometrical parameters and material combinations, which also allows tuning of structural stiffness. The results show that increasing the angle (the angle between the symmetry axis and the hypotenuse of the triangle) and reducing the thickness ratio (the ratio of material thicknesses with low and high TECs) can effectively lower the TEC of the structure and simultaneously diminish its elastic modulus. Elevating the cell ratio, which is the ratio of the number of cells on the supporting surface to those on the base surface, decreases the TEC and enhances the elastic modulus of the structure. However, it also introduces more deformable connection regions within the structure, leading to a decrease in yield strength. Additionally, the results indicate that greater improvements in lightweight properties can be achieved by reducing the angle and thickness ratio, as well as increasing the cell ratio. The theoretical values of the equivalent TEC in the load-bearing direction of the structure align well with the results from finite element simulations.
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引 言
在航空航天等领域中, 复杂的工作环境和极端的温度变化对结构的功能、安全和热稳定性提出了高要求[1-3]. 为了适应有限空间和复杂的环境条件, 工程中广泛采用空间可展开结构的解决方案[4], 以增强系统的适应性和功能性.
1896年法国物理学家Guillaume[5]发现了一种Fe-Ni合金, 在室温附近具有近零热膨胀系数, 称为因瓦合金. 金属和合金在一定温度范围内具有非常低的热膨胀系数的现象被称为因瓦效应. 此后, 学者们发现多种具有因瓦效应的合金体系, 如Fe-Pt[6]和Fe-Mn[7]. 这类材料能有效保持热稳定性并降低热应力. 然而, 传统因瓦合金力学性能较差、温度范围窄、制备困难, 且不能满足轻量化需求. 点阵复合材料具有良好的功能设计性. 通过在单胞尺度上复合两种不同热膨胀材料, 可以实现宏观等效零膨胀的二维复合材料. 具有可调热膨胀的结构主要分为拉伸主导型[8-11]和弯曲主导型[12]. 拉伸主导型是通过杆件的轴向拉压变形调控热膨胀系数, 最初由Miller等[8]引入, 他们使用双材料三角形进行热膨胀系数的调控. Wei等[9]提出了三角形单胞的平面晶格设计方法和稳态固定节点方法, 并验证了其有效性. 弯曲主导型最早由Timoshenko[13]引入, 他研究了加热时双金属带的弯曲行为, 指出由于两种金属热膨胀系数不匹配导致了结构曲率变化, 从而引起弦长方向的长度变化. 根据这一原理, 众学者设计了多种新型结构, 如手性与反手性弯曲结构[14-16]、双层肋多边形点阵结构[17-19]等. Ai等[20]设计了双材料星型重入平面结构, 具有负泊松比和负热膨胀系数. Chen等[21]考虑了双材料三角形晶胞和弯曲梁的热应力问题, 设计了一种具有低热应力的可调热膨胀材料. 然而, 这些多是平面点阵复合材料, 刚度低且在特殊工作环境下会受到限制.
空间可展开结构在航空航天和机器人等特殊领域被广泛采用[22-26]. 它可以从折叠状态变换到复杂的三维形状, 在封装比、模块化及结构复杂度等方面具有优势[4,26]. 航空航天领域已采用刚性蜂窝板结合弹簧驱动铰链连接的可展开太阳翼[23]. 嫦娥四号中继星配备了伞状可展开天线, 能够适应在轨运行阴影期−230 °C的极端低温环境[24]. 折纸技术因其可设计性和折叠变形特性[27], 近年来为可展开结构提供了创新的方向. 例如, 刚性折纸Miura是周期性平行四边形图案, 通过结构衍生设计, 它能够展现可调刚度[28]、多稳态[28]、可调热膨胀[29]、自折叠[30]和自锁[31]等性能, 已应用于人造肌肉[25]、太阳能电池[32]等领域中. Van Manen等[30]设计了一种适用于微观尺度的自折叠折纸结构, 通过外部拉伸实现顺序自动折叠, 展示了在微小尺度上通过物理激励实现复杂结构动态配置的潜力. 刘杰等[33]设计了一种采用Tachi-Miura多面体折纸的双稳态软体机器人, 其通过快速储存和释放能量驱动软体机器人快速运动. 可见, 具备展开能力的结构不仅可以节省空间并减轻质量, 还能提供独特且可设计的力学性能.
工程实践中, 设备仪器不仅需要控制热膨胀系数, 还需要具备空间展开能力以适应紧凑环境. 本工作设计了一种双材料三角形联合可展开结构, 并通过理论推导和有限元仿真研究了该结构的可调热膨胀特性与力学性能, 综合分析了其轻量化性能, 以期为具备可调热膨胀特性的空间可展开结构提供设计参考.
1. 结构设计
1.1 折纸模型
折纸是一种理想的实现力学可设计超材料的方式, 通过合理设计折痕可将二维平面转化为三维几何图案. 本文设计了一种三角形联合可展开结构, 其折纸模型的原理如图1(a)所示, 其中θ为面板I与承载方向的夹角. 该结构从平面状态开始, 通过两侧施加拉力展开, 直至底部折纸层对齐并位于同一平面, 最终形成完全展开的三维状态. 结构基本构件包括长方形刚性平面I和II, 这些平面组合成三角立方体, 进而多个立方体联合构成整体的可展开结构. 当结构完全展开后, 面板I充当支撑结构, 而面板II组合后充当顶部和底部.
1.2 可调热膨胀结构原理
本文采用拉伸主导型双材料三角形[8]作为基本单元, 底边组件L1使用高热膨胀系数(thermal expansion coefficient, TEC)材料, 斜边组件L2选用低热膨胀系数材料. 如图1(b)所示, 当温度升高时, 三角形在x轴方向膨胀, 在y轴方向收缩. 此时, 双材料三角形在y轴向表现出负热膨胀效应. 图1(c)展示了建模过程中双材料三角形的各项几何参数, c表示内三角形的高度BF, β为三角形单元斜边与对称轴的夹角, t1和t2分别为高、低热膨胀组件在面内的宽度, d为三角形单元的面外厚度. 如图1(d)所示, 将双材料三角形单元进行周期旋转变换, 形成四重旋转对称性单胞, 再将单胞在行列两个方向上阵列, 组成了三角形联合可展开结构的可调热膨胀支撑面(面板I)和底面(面板II).
1.3 可调热膨胀结构的厚偏移板模型
在应用中, 折纸结构通常需从理想零厚度模型转变为具有厚度的结构. 通过将刚性平面替换为面板, 将折痕替换为铰链, 该设计形成了运动学等效的三维模型. 为防止面板厚度的相互干涉, 铰链需合理布局在面板不同位置. 如图2(a)所示, 本文将面板折痕视为铰链, 并设计面板I为Z字形偏移板, 以补偿折叠状态下面板II的厚度. 为确保结构在完全展开时的水平稳定性, 本文在面板I的上下部分添加了额外部分. 该部分通过在CATIA中使用DMU运动机构模块建立运动关系, 当相邻的两个面板II位于水平方向时停止展开. 随后, 通过几何投影方法在面板I上添加额外部分, 确保展开状态下水平方向的结构处于同一水平面, 同时该部分使用高热膨胀系数材料, 如图2(b)中绿色框所示.
结构的几何参数直接影响其在展开状态下的热膨胀性能和力学性能. 本文将分析角度(β为三角形单元斜边与对称轴的夹角)、厚度比(n = t2/t1为低、高热膨胀系数材料的厚度比)、单胞比(p为支撑面与底面的单胞数量比)和材料热膨胀系数比(α1/α2为高、低热膨胀系数之比)对结构承载方向上的热膨胀系数、弹性模量和屈服强度的影响. 在本研究中, 几何参数设定为c = 40 mm, d = 4 mm和 t1 = 2 mm. 不同单胞比p的结构模型如图2(c)所示.
为满足结构对可调热膨胀性和承载能力的需求, 选材策略应侧重于高弹性模量且热膨胀系数不同的材料组合. 为深入分析组件热膨胀系数比对结构性能的影响, 本研究选择了多种材料组合, 详细材料及其属性见表1.
表 1 材料参数Table 1. Material propertiesMaterial Modulus of elasticity,
E/GPaThermal expansion coefficient,
α/(10−6 °C−1)Temperature, T/°C Density,
ρ/(kg·m−3)Poisson’s ratio, ν aluminium alloy (7075) 71 23.9 25 ~ 125 2800 0.33 magnesium alloy (ZE41) 45 27 20 ~ 100 1840 0.35 stainless steel (440C) 214 10.2 20 ~ 100 7800 0.283 alloy steel (4J33) 139 6.3 20 ~ 300 8270 0.37 2. 有限元模型
图3给出了三角形联合可展开结构的有限元模型. 该模型在CATIA中建立, 并导入COMSOL Multiphysics的三维固体力学模块进行仿真模拟. 热膨胀性能分析设定了20 °C ~ 120 °C的均匀温度变化范围, 同时通过准静态压缩模拟获得承载方向上的应力应变曲线, 以评估结构的力学性能.
承载方向为z方向, 图3(a)为准静态压缩模拟的边界条件: 限制结构下表面z方向自由度, 固定点M和N的所有自由度, 并在上表面施加z方向的压缩位移. 力学有限元分析时, 材料的本构关系为线弹性本构关系, 服从广义胡克定律, 同时考虑了几何非线性效应.
有限元模型采用六面体和三角形棱柱单元进行网格划分, 利用二次多项式形函数对单元内的位移场进行插值. 为确保结果可靠性, 进行了网格无关性验证, 图3(c)显示了不同网格数量下的计算结果, 随着网格数量的增加, 应力-应变曲线变化很小. 综合考虑计算效率, 最终确定使用包含
37464 个单元的模型, 其中宽度和高度方向至少配置2个单元, 长度方向则至少配置14个单元. 两种材料固接在一起. 网格划分如图3(b)所示.3. 结构的等效参数
3.1 等效热膨胀系数
3.1.1 基本单元的轴向等效热膨胀系数
如图1(b)所示, 在双材料三角形单元部分, 为简化分析, 理想情况下不考虑双材料三角形组件的厚度, 而是将其抽象为理想的三角形. 定义三角形单元的对称轴方向为轴向, 并基于此来分析各结构的轴向等效热膨胀系数. 随后, 通过温度变化前后三角形的几何关系进行分析
$$ {c^2} = {L_2}^2 - {\left(\frac{{{L_1}}}{2}\right)^2} $$ (1) $$ {(c + \Delta c)^2} = {({L_2} + \Delta {L_2})^2} - {\left(\frac{{{L_1} + \Delta {L_1}}}{2}\right)^2} $$ (2) $$ \alpha = \frac{{\Delta l}}{{l\Delta T}} $$ (3) 式中, α为热膨胀系数.
得到双材料三角形轴向等效热膨胀系数公式
$$ {\alpha _{{\mathrm{axial}}}} = \frac{{\left(1 -\dfrac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}} {{\sin }^2}\beta \right){\alpha _2}}}{{{{\cos }^2}\beta }} $$ (4) 在实际应用中, 组件的厚度对结构性能有显著影响. 根据图1(c)所示模型, 推导考虑组件厚度时结构轴向的等效热膨胀系数公式
$$ \begin{split} &{\alpha _{AE}} = \dfrac{{\Delta {L_{AB}} + \Delta {L_{BF}} + \Delta {L_{FE}}}}{{{L_{AE}}\Delta T}} =\\ &\qquad {{\left[ {\dfrac{{\left(1 - \dfrac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}}{{\sin }^2}\beta \right)c}}{{{{\cos }^2}\beta }} + {t_1}\dfrac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}} + \dfrac{{{t_2}}}{{\sin \beta }}} \right]{\alpha _2}}}\Bigg/\left({{c + {t_1} + \dfrac{{{t_2}}}{{\sin \beta }}}}\right)\end{split} $$ (5) 3.1.2 结构承载方向的等效热膨胀系数
如图2(c)所示. 由于结构的面板是由基础单元双材料三角形构成, 并且这些三角形在结构中是独立不相互影响的, 因此面板I和面板II的轴向等效热膨胀系数可以近似与双材料三角形的轴向热膨胀系数相同
$$ {\alpha _{\text{panel-I}}} = {\alpha _{\text{panel-II}}} = {\alpha _{AE}} $$ (6) 面板I的长度为
$$ {L_{\text{panel-I}}} = 2p{L_{AE}} = 2p\left(c + {t_1} + \frac{{{t_2}}}{{\sin \beta }}\right) $$ (7) 对于完全展开的结构, 需要简化z字形连接处带来的微小角度影响, 因此将可展开结构支撑面板I与承载方向的夹角定义为
$$ \theta = \arcsin \frac{1}{p}$$ (8) 完全展开状态下, 结构承载方向的等效热膨胀系数公式定义为
$$ \begin{split} &{\alpha _Z} = \frac{{{\alpha _{\text{panel-I}}}{L_{\text{panel-I}}}\cos \theta + 2{\alpha _1}d}}{{{L_Z}}} = \\ &\qquad \frac{{{\alpha _{\text{panel-I}}}{L_{\text{panel-I}}}\cos \theta + 2{\alpha _1}d}}{{{L_{\text{panel-I}}}\cos \theta + 2d}}\end{split} $$ (9) 得到理论公式为
$$ \begin{split} &{\alpha _{\text{Z}}} = \left[ {\dfrac{{\left( {1 -{\dfrac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}}} {{\sin }^2}\beta } \right)c}}{{{{\cos }^2}\beta }} + {t_1} {\dfrac{{{\alpha _1}}}{{{\alpha _2}}}} + \dfrac{{{t_2}}}{{\sin \beta }}} \right]p{\alpha _2}\cdot\\ &\qquad \cos \left( {\arcsin {\dfrac{1}{p}} } \right) + d{\alpha _1}\Bigg/\left[p\cos \left( {\arcsin {\dfrac{1}{p}}} \right)\right.\cdot \\ &\qquad \left.\left( {c + {t_1} + \dfrac{{{t_2}}}{{\sin \beta }}} \right) + d\right] \end{split}$$ (10) 式中, 0° < β < 45 °, 0.5≤n≤2.5, 2≤p≤6.
3.2 等效密度
根据几何关系, 图2(c)中结构完全展开后体积为
$$ V = \frac{{(4c + 8c)2pc\cos \theta }}{2} \cdot 4c = 48p{c^3}\cos \theta $$ (11) 结构各个杆件的总质量为
$$ m = (8p + 12)(4{L_1}{t_1}d{\rho _1} + 8{L_2}{t_2}{d_1}{\rho _2}) $$ (12) 式中, ρ1和ρ2为两种材料的密度, 展开结构的等效密度ρ为
$$ \rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{{\left( {{\rho _1}\tan \beta + \dfrac{{{\rho _2}}}{{\cos \beta }} {\dfrac{{{t_2}}}{{{t_1}}}} } \right)(2p + 3)}}{{300p\cos \left( {\arcsin \dfrac{1}{p}} \right)}} $$ (13) 结构的轻量化性能由相对密度表示, 结构相对密度[15]定义为
$$ \bar \rho = \sqrt {\frac{{2{\rho ^2}}}{{\rho _1^2 + \rho _2^2}}} $$ (14) 式中, 自变量范围为0° < β < 45°, 0.5≤n≤2.5, 2≤p≤6.
4. 结果与讨论
4.1 热膨胀特性
4.1.1 结构热变形模拟
图4展示了在特定参数下的结构热膨胀模拟结果, 温差ΔT = 100 K, 角度β = 44°, 单胞比p = 2, 厚度比n = 1, 材料为镁合金ZE41和合金钢4J33, 变形尺度因子为30. 模拟结果显示, 结构在承载方向上收缩, 表现出负热膨胀特性.
4.1.2 不同参数对结构热膨胀系数的影响
本小节研究了几何参数角度β、厚度比n、单胞比p和材料热膨胀系数之比α1/α2对完全展开结构承载方向的等效热膨胀系数的影响. 如图5所示, 理论值与仿真值吻合良好, 点为有限元仿真结果, 曲线为理论计算结果.
如图5(a)所示, 随着α1/α2增大, 结构热膨胀系数减小. 可展开结构由双材料三角形组成, 两个材料热膨胀系数差距越大时, 结构的协调变形也会越大, 等效热膨胀系数减小. 随着β增大, 结构热膨胀系数单调递减. 由于三角形给定的内角变化需要相对较长边的长度变化, β增大使底边膨胀更显著, 导致轴向等效热膨胀系数减小.
如图5(b)所示, 随着厚度比n增大, 结构热膨胀系数单调递增. 三角形底面通过对称边界条件连接, 限制了旋转和沿对称轴的变形. 而较大的拉伸变形有助于降低热膨胀. 随着n增大, 斜边刚度提高, 导致在相同温度增量下热变形减少, 结构轴向等效热膨胀系数增大. 如图5(c)所示, 随着单胞比p的增大, 结构热膨胀系数单调递减, 但幅度较小, 表明p对结构热膨胀系数影响不大.
在结果中, 理论值普遍低于模拟值. 理论分析是基于铰接, 通过变形前后的几何关系进行公式推导, 忽略了两种材料实际是固接在一起, 升温时不同热膨胀会导致结构协调变形, 在连接处产生内应力, 组件出现弯曲变形, 使轴向等效热膨胀略小于理论值. 此外, 三维模型中三角形单元顶角连接处也会带来误差.
4.2 力学性能
4.2.1 准静态压缩变形
图6(a)展示了准静态压缩下的z方向位移云图, 模拟参数为: 压缩位移6 mm, 角度β = 44°, 单胞比p = 2, 厚度比n = 1, 材料为7075铝合金(7075Al)和440C不锈钢. 图6(b)展示了不同角度下准静态压缩结构的等效应力应变曲线, 用于评估结构在承载方向上的力学性能. 结果显示结构在弹性变形阶段持续时间较短, 迅速进入塑性变形. 主要由于细长杆件组成易发生屈曲失稳, 弯曲首先出现在两个三角形单元的结合处.
4.2.2 几何参数对结构力学性能的影响
图7给出了参数与结构弹性模量和屈服强度之间的关系. 图7(a)显示, 随着角度β增大, 结构弹性模量和屈服强度递减; 而随着厚度比n增大, 结构弹性模量和屈服强度单调递增. 选取支撑面板中两个三角形单元进行理想受力分析, 单元位置如图2(b)局部放大图所示. 假定单元中杆件拉压变形主导, 如图8所示, 施加压力FN后, 分析表明杆1处于受拉状态(T), 而杆2是受压状态(C)
$$ {F_1} = {F_N}\tan \beta \;({\mathrm{T}}) $$ (15) $$ {F_2} = \frac{{{F_N}}}{{2\cos \beta }}\;({\mathrm{C}}) $$ (16) 杆件中的轴向应力为
$$ {\sigma _1} = \frac{{{F_N}\tan \beta }}{{{A_1}}} = \frac{{{F_N}\tan \beta }}{{{t_1}d}} $$ (17) $$ {\sigma _2} = \frac{{{F_N}}}{{2 {A_2}\cos \beta}} = \frac{{{F_N}}}{{2{t_2}d\cos \beta }} $$ (18) 从式(17)和式(18)可知, 保持FN不变, 随着角度β增加, 杆1和杆2的应力增大, 意味着杆件更易达到破坏极限, 结构刚度降低. 相反, 图7(b)显示, 当厚度比n增加(t2增大), 杆2应力减小, 结构刚度提高. 因此, 减小角度和增加杆件厚度可以提高结构的抗变形能力, 增强整体刚度.
如图7(c)所示, 随着单胞比p增大, 结构弹性模量增加, 而屈服强度降低. 单胞比的增加导致结构支撑面之间的角度减小, 因此弹性变形阶段结构的弹性模量增大. 由于结构中连接处使用的低热膨胀材料弹性模量较低, 这些连接处更容易变形. 随着单胞比增大, 易变形的连接处增多, 结构更易失稳, 因此屈服强度降低.
4.3 热膨胀系数与弹性模量的耦合分析
本节分析了结构热膨胀系数和弹性模量的耦合效应, 其中高热膨胀材料选用7075铝合金(7075Al), 低热膨胀材料为不锈钢440C, 单胞比p = 2. 图9为不同几何参数下的结构热膨胀系数和弹性模量. 结果显示, 结构的弹性模量和热膨胀系数通常同步变化, 均随角度减小而增大, 随厚度比增加而增加. 此外, 厚度比对结构弹性模量的影响较为显著.
当角度β减小时, 三角形的底边长度减小, 使结构更有效地沿高度方向传递力, 提高垂直载荷的承载能力. 厚度比的增加不仅提高了弹性模量, 还降低了三角形单元在升温过程中的拉压变形程度, 从而提高了结构的热膨胀系数.
4.4 轻量化性能
图10展示了结构相对密度随参数β, n和p的变化情况, 其中高热膨胀材料选用7075铝合金(7075Al), 低热膨胀材料为不锈钢440C. 如图10(a)所示, 厚度比n = 1时, 较大的单胞比p与较小的角度β结合时, 结构的轻量化性能更为显著, 结构相对密度最大为2.5%. 在给定的几何构型下, 减小角度会减少基础三角形单元的周长, 有助于减少结构的总材料使用量, 降低结构相对密度.
图10(b)显示, 单胞比p = 2时, 较小的厚度比n结合较小的角度β同样利于提高轻量化性能, 结构相对密度最大为6.5%. 降低厚度比会减少结构中的材料用量, 从而降低结构相对密度.
5. 结 论
结合空间展开能力和可调热膨胀特性, 本文提出了一种三角形联合可展开结构. 利用理论推导和数值模拟的方法, 研究了结构在完全展开状态下的热膨胀性能、力学性能和轻量化性能, 详细分析了几何参数和材料组合对结构性能的影响. 本文得到主要结论如下.
(1)增大角度、单胞比、热膨胀系数比和减小厚度比均能扩大这种协调变形, 进一步降低结构的热膨胀系数. 通过调整这些参数, 结构可实现正负热膨胀系数的调节.
(2)在单胞比不变的情况下, 减小角度和增加厚度比可以提高杆件的承载能力, 从而提升结构的弹性模量、屈服强度和热膨胀系数. 增大单胞比虽然能提高弹性模量, 但也会在结构中引入更多易变形的连接处, 导致屈服强度下降.
(3)减小角度和厚度比, 增大单胞比, 可以有效提升结构的轻量化性能.
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表 1 材料参数
Table 1 Material properties
Material Modulus of elasticity,
E/GPaThermal expansion coefficient,
α/(10−6 °C−1)Temperature, T/°C Density,
ρ/(kg·m−3)Poisson’s ratio, ν aluminium alloy (7075) 71 23.9 25 ~ 125 2800 0.33 magnesium alloy (ZE41) 45 27 20 ~ 100 1840 0.35 stainless steel (440C) 214 10.2 20 ~ 100 7800 0.283 alloy steel (4J33) 139 6.3 20 ~ 300 8270 0.37 -
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