RAPID PREDICTION METHOD FOR HIGH-PRESSURE CAPTURING WING SURFACE FLOW FIELD BASED ON PROPER ORTHOGONAL DECOMPOSITION AND SURROGATE MODEL
-
摘要: 高超声速飞行器气动特性的快速预测是其多学科优化设计中的核心环节. 当前, 针对升力体和翼身组合体等常规气动布局, 高超声速气动特性工程计算方法已趋于成熟并得到广泛应用. 然而, 面对部件间存在显著气动干扰的高压捕获翼新型气动布局, 传统工程计算方法面临显著的局限性. 为解决这一问题, 文章结合计算流体力学(CFD)技术、本征正交分解(POD)方法与径向基函数代理模型, 提出了一种高效准确的高压捕获翼表面流场快速预测方法, 并据此构建了完整的气动特性快速预测框架. 基于高压捕获翼基本设计原理, 综合考虑了关键几何参数和来流条件的影响, 对典型构型捕获翼下表面的复杂压强分布进行了预测验证. 研究结果表明, 当保留13个POD基模态时, 所提出的快速预测方法与直接CFD计算结果相比, 翼面压强预测的平均相对误差仅为1.6%, 气动力预测误差更是低至0.3%. 值得注意的是, 进一步增加POD基模态数量对预测精度的提升效果并不显著. 该方法在确保高精度流场重建和预测的同时, 显著提升了计算效率, 为高压捕获翼构型的优化设计提供了可靠的技术支持.Abstract: The rapid prediction of aerodynamic characteristics for hypersonic vehicles is a critical component in their multidisciplinary optimization design. Currently, engineering calculation methods for hypersonic aerodynamic characteristics have matured and are widely applied to conventional aerodynamic configurations such as lifting bodies and wing-body combinations. These methods are highly efficient and provide reasonably accurate results for traditional designs. However, traditional engineering calculation methods face significant limitations when dealing with novel aerodynamic configurations like high-pressure capturing wing (HCW), where there is substantial aerodynamic interaction between components. This limitation stems from the inability of conventional methods to accurately capture the complex flow interactions and pressure distributions associated with such advanced configurations. To address this issue, this paper proposes an efficient and accurate rapid prediction method for the surface flow field of HCW by integrating computational fluid dynamics (CFD) technology, proper orthogonal decomposition (POD) method, and radial basis function surrogate modeling. Based on this, a comprehensive framework for rapid prediction of aerodynamic characteristics is constructed. Considering the basic design principles of HCW and the influence of key geometric parameters and inflow conditions, the complex pressure distributions on the lower surface of the capturing wing for a typical HCW configuration were predicted and validated. The research results indicate that when 13 POD basis modes are retained, the average relative error in wing surface pressure prediction compared to direct CFD calculation results is only 1.6%, and the aerodynamic force prediction error is as low as 0.3%. It should be noted that further increasing the number of POD basis modes does not significantly enhance prediction accuracy. This method ensures high-accuracy flow field reconstruction and prediction while significantly improving computational efficiency, providing reliable technical support for the design optimization of HCW configurations. The proposed approach has the potential to be extended to other complex aerodynamic configurations with strong interaction effects, thereby contributing to the advancement of hypersonic vehicle design methodologies.
-
引 言
高超声速飞行器所涉及的技术范畴极为广泛, 主要包括总体技术、推进技术和试验验证技术等六大关键领域[1]. 其中, 总体技术在设计研制和改型中起着统领全局的作用. 而作为总体技术的核心构成, 外形设计与气动力数值模拟技术的持续进步, 对于显著提升高超声速飞行器的整体性能具有重大意义.
典型的高超声速飞行器气动布局包括锥柱体、升力体、翼身组合体、融合体及乘波体等. 为了追求更高的升阻比, 现代高超声速飞行器的设计逐渐从轴对称向面对称扁平化发展, 并以乘波体构型[2-3]为极限. 唐伟等[4]利用优化方法研究了若干典型构型在不同装填限制下的气动特性, 明确指出了飞行器的升阻比与容积利用率之间存在强烈矛盾, 例如乘波体虽然具有最高的气动效率, 但较扁平的机身会带来较小的可用容积和纵横向的操稳匹配困难等问题. 为了在一定程度上缓解这种矛盾, 崔凯等[5-6]创新性地提出了一种高压捕获翼(high-pressure capturing wing, HCW)气动布局概念. 该构型通过在机体上方巧妙设置一个薄翼面(即捕获翼), 有效利用机体头激波对该翼面的有益干扰, 可以在保证机体大容积率同时, 显著提升整机的升力和升阻比[7]. 近年来, 针对高压捕获翼气动布局的研究主要聚焦于高超声速条件下的升阻特性[8-10]和稳定特性[11-12], 并逐渐拓展到宽速域研究[13]. 随着研究逐步深入至多点/多目标气动外形优化设计领域, 对高压捕获翼构型在高超声速条件下的气动特性快速预测变得愈发迫切.
目前, 高超声速飞行器气动特性的快速预测主要依赖于一系列工程计算方法[14-16], 如牛顿法、修正牛顿法、切楔/切锥法、激波法及膨胀波法等. 这些方法在升力体、翼身组合体与乘波体布局的气动力快速评估中得到了广泛应用. 鉴于各方法存在一定的适用局限性, 实践中常采用组合策略, 即根据计算对象的不同位置、迎/背风状态、来流马赫数和攻角等选择最合适的方法[1]. 值得注意的是, 这些工程计算方法大多基于高超声速无黏流理论, 能够较好地预测飞行器的升力、无黏阻力和俯仰力矩等关键气动特性. 然而, 它们对黏性阻力和部件间气动干扰等复杂效应的考虑相对不足. 对于高压捕获翼构型而言, 由于捕获翼下表面的流场深受机体头激波的影响, 传统的工程计算方法往往难以准确描述这一复杂现象, 从而导致预测失效. 因此, 在实际应用中, 常需借助计算流体力学(computational fluid dynamics, CFD)数值计算来更精确地预测流场. 然而, CFD数值计算耗时较长且人工干预频繁, 难以适应工程应用的快速响应需求. 因此, 仍需要发展更为高效的高压捕获翼气动力预示方法.
除了传统的工程计算方法外, 针对高超声速飞行器气动特性的快速预测有两种主要的技术方案. 一种是直接构建影响因素与气动力参数之间的代理模型(surrogate model). 该方案在气动性能预测领域已有广泛应用[17-20], 其优势在于能够快速给出预测结果. 然而, 由于建模过程中忽略了流场特征, 导致样本集中的流场数据缺乏充分利用, 因此所构建的模型通常被视为端到端的“黑箱”模型, 其预测结果缺乏可解释性, 且泛化能力有限. 这在一定程度上限制了该方案的应用范围. 为了克服这一局限性, 另一种方案是先对飞行器的表面流场进行建模, 然后通过积分等数学手段获取升力和阻力等气动参数. 这种方法能够更直接地反映流场与气动力之间的关系, 因此预测结果具有更高的可解释性. 近年来, 流体力学与深度学习技术相结合, 成为一种新兴的研究范式[21], 部分学者开始研究基于深度学习的流场预示[22]. 然而, 由于CFD数值计算的高昂代价和复杂性, 直接对数值计算的原始流场数据进行深度学习需要庞大的样本量才能保证预测精度, 这在工程实践中面临较大困难. 对原始流场进行降阶处理是解决这一问题的有效途径.
在流体动力学系统中, 本征正交分解(proper orthogonal decomposition, POD)是一种常用的降阶模型方法, 其能够将高维复杂系统分解为一系列基模态来精准刻画系统的主要动态特征. 通过基模态的线性组合, 可以实现系统的降阶重构, 从而在保持系统核心特征的同时, 显著减轻了计算负担[23]. 近年来, 基于POD方法与代理模型的预测方法已被尝试用于多种流场的预测研究[24-26], 在预测精度和效率方面展现出了较大的应用潜力[27].
针对复杂干扰环境下高超声速飞行器表面流场的快速预测, 当前研究尚显不足. 为此, 本文结合POD降阶理论与代理模型的高效近似技术, 提出了一种适用于强激波干扰下高压捕获翼表面流场的快速预测方法. 通过对捕获翼下表面的压强分布和气动力进行预测, 验证了该方法的可靠性和实用性, 为高压捕获翼构型在实际工程应用中的气动特性快速评估提供了重要参考.
1. 原理与方法
1.1 高压捕获翼基本原理
高压捕获翼气动布局的基本设计原理如图1所示. 在高超声速飞行条件下, 当来流经过机体头部和上壁面时会发生剧烈压缩, 并产生一道强激波BS. 如果在机体上方适当位置放置一个薄翼(即高压捕获翼, 简称捕获翼或HCW), 则机体激波(BS)会在捕获翼下表面反射形成反射激波(RS). 这样, 来流在经过激波BS和RS两道强激波的压缩后, 将在捕获翼下表面形成显著的高压区①. 此外, 由于在设计点工况下捕获翼通常与来流的夹角较小, 因此其上下表面将存在较大的压强差, 从而额外贡献较大的升力. 同时, 由于捕获翼通常采用薄翼设计, 所引起的阻力增加有限, 因此整机的升阻比将显著提升.
值得说明的是, 并非在任何机体上方随意安置一个翼面都能实现显著的气动性能提升. 要充分发挥“捕获翼效应”, 必须对机体的型线和捕获翼的位置进行精心设计与匹配. 具体而言, 机体前部上壁面应具备适当的凸起形态, 以对来流实施充分的预压缩; 同时, 确保反射激波RS能够顺利掠过机身的最高点, 避免对机体后段或捕获翼支撑结构造成显著的负面干扰. 这种精细的设计考量对于实现高效的高压捕获翼气动布局至关重要.
1.2 本征正交分解
POD方法的核心思想是将复杂的高维数据(如时间序列数据或空间数据)分解为一组规范正交基, 这组基能够“最优且充分”地重构原始全阶系统的动力学特性[28]. 具体地, 对于由n个线性无关向量组成的数据集合$ {\left\{{\boldsymbol{p}}^{i}\right\}}_{i = 1}^{n} $, POD方法的本质是寻找该集合所在空间的一组规范正交基, 即POD基 $ {\left\{{\boldsymbol{\varPhi }}^{i}\right\}}_{i = 1}^{n} $, 并满足集合$ {\left\{{\boldsymbol{p}}^{i}\right\}}_{i = 1}^{n} $中的元素在这组基上的投影最大, 即
$$ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\frac{1}{n}\sum _{i = 1}^{n}{\left| < {\boldsymbol{p}}^{i},\boldsymbol{\varPhi } > \right|}^{2} < \boldsymbol{\varPhi },\quad \boldsymbol{\varPhi } \geqslant 1 $$ (1) 每个POD正交基可以表示为向量集合$ {\left\{{\boldsymbol{p}}^{i}\right\}}_{i = 1}^{n} $的线性组合, 即
$$ {\boldsymbol{\varPhi }}^{j} = \sum _{i = 1}^{n}{a}_{i}^{j}{\boldsymbol{p}}^{i} $$ (2) 这样, 求解POD基$ {\boldsymbol{\varPhi }}^{j} $便转化为求解系数$ {a}_{i}^{j} $. 通常, 可以构造向量集合的协方差矩阵$ {\boldsymbol{R}}_{n\times n} $, 求取其特征向量即可得到系数$ {a}_{i}^{j} $, 其中$ {\boldsymbol{R}}_{n\times n} $的第ij个元素为内积$ < {\boldsymbol{p}}^{i},{\boldsymbol{p}}^{j} > $.
然而, 若集合$ {\left\{{\boldsymbol{p}}^{i}\right\}}_{i = 1}^{n} $中的元素较多, 基于协方差矩阵的求解效率较低, 此时可以通过对$ {\left\{{\boldsymbol{p}}^{i}\right\}}_{i = 1}^{n} $所构成的快照矩阵$ {\boldsymbol{P}}_{m\times n} $进行奇异值分解来实现POD基的高效求解, 即
$$ {\boldsymbol{P}}_{m\times n} = {\boldsymbol{U}}_{m\times m}{\boldsymbol{\varSigma }}_{m\times n}{\boldsymbol{V}}_{n\times n}^{\mathrm{T}} = {\boldsymbol{\varPhi }}_{m\times n}{\boldsymbol{V}}_{n\times n}^{\mathrm{T}} = {\boldsymbol{\varPhi }}_{m\times n}{\boldsymbol{A}}_{n\times n} $$ (3) 式中, m为每个向量$ {\boldsymbol{p}}^{{i}} $的元素个数; $ {\boldsymbol{U}}_{m\times m} $和$ {\boldsymbol{V}}_{n\times n}^{\mathrm{T}} $均为正交矩阵; $ {\boldsymbol{\varSigma }}_{m\times n} = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{r}) $为对角阵, 其中对角元素为奇异值并递减排列, $ r = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(m,n) $; $ {\boldsymbol{\varPhi }}_{m\times n} $为POD基模态矩阵; $ {\boldsymbol{A}}_{n\times n} $为POD基模态系数矩阵.
由于前几阶POD基模态所占的“能量”较大, 因此只需要保留前d阶基模态即可充分表征全阶系统, 即
$$ {\boldsymbol{P}}_{m\times n}\approx {\boldsymbol{\varPhi }}_{m\times d}{\boldsymbol{A}}_{d\times d} $$ (4) 可见全阶系统可以表示为各阶模态的线性叠加. 通常用特征值$ {\lambda }_{i} $(奇异值的平方)来表征能量占比$ \varepsilon $, 进而选择适当的POD基模态阶数, 即
$$ \varepsilon = \frac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^d {{\lambda _i}} }}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} }} \times 100\text{%} ,\quad{\text{ }}{\lambda _i} = \sigma _i^2 $$ (5) 1.3 径向基函数模型
代理模型是通过数学方法, 构造出一个计算量较小, 但计算结果与数值分析结果或真实物理实验结果相近的近似数学模型, 以代替原数值分析模型或真实物理实验[29]. 目前常用的代理模型主要有多项式响应面模型、径向基函数(radial basis function, RBF)模型、Kriging模型和神经网格模型等. 研究发现, RBF模型在处理高阶非线性问题时有很好的适用性, 实现难度较小, 鲁棒性较强, 时效性方面明显优于Kriging模型, 便于应用[30]. 因此, 本文主要采用RBF代理模型. 下面对其简要介绍.
RBF是一类取值仅仅依赖于离某一点(通常称为中心点)距离的实值函数, 一般使用欧氏距离. 通过对径向函数进行线性组合构造出的模型即为RBF模型, 其基本形式为
$$ f\left(\boldsymbol{x}\right) = \sum _{i = 1}^{n}{\omega }_{i}\phi \left(r\right),\quad r = \left\|\boldsymbol{x}-{\boldsymbol{c}}_{i}\right\| $$ (6) 式中, $ \phi \left(r\right) $为径向基函数, $ {\boldsymbol{c}}_{i} $为中心点, $ {\omega }_{i} $为权系数, n为中心点个数. 中心点的选取有多种方法, 与样本点的数量和分布有关. 若样本量较小, 可以直接取样本点; 若样本量较大, 可以通过聚类分析等算法获得少量个数的中心点以提高效率. 考虑本文的样本量低于100, 因此中心点直接取样本点.
径向基函数的类型有很多, 本文采用最为常用的Gauss函数, 即
$$ \phi \left(r\right) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{r}^{2}}{2{\sigma }^{2}}\right) $$ (7) 式中, $ \sigma $为宽度系数, 用来控制各个中心点的影响范围. 研究表明, $ \sigma $的取值对模型的精度影响较大, 因此本文利用优化方法对$ \sigma $进行了寻优, 以确保针对不同目标函数都能达到最佳的预测精度.
权系数可以通过求解最小化问题得到, 即
$$ \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{\left[{\boldsymbol{F}}_{j}-f\left({\boldsymbol{x}}_{j}\right)\right]}^{2},\quad j = \mathrm{1,2},\cdots ,m $$ (8) 式中, $ {\boldsymbol{x}}_{j} $为样本点, $ {\boldsymbol{F}}_{j} $为样本点对应的真实值, $ m $为样本点个数. 得到$ {\omega }_{i} $便可以建立相应的RBF代理模型.
1.4 数值模拟方法
采用CFD数值模拟方法获取高压捕获翼构型在不同工况下的流场. 基于有限体积法求解可压缩理想气体Navier-Stokes方程, 其三维无量纲积分形式为
$$ \frac{\partial }{{\partial t}}\iiint\limits_\varOmega {{\boldsymbol{Q}}{\text{d}}\sigma } + \oiint\limits_{\partial \varOmega} {\left[ {{{\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{c}}}}({{\boldsymbol{Q}}}){\text{ + }}{{\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{v}}}}({{\boldsymbol{Q}}})} \right] \cdot {\boldsymbol{n}}{\text{d}}s} = {\boldsymbol{0}} $$ (9) 式中, $ \boldsymbol{Q} $为流场守恒变量, $ {\boldsymbol{F}}_{\mathrm{c}} $为对流项通量, $ {\boldsymbol{F}}_{\mathrm{v}} $为黏性项通量, $ \boldsymbol{n} $为控制体表面外法向单位失量, $ \mathrm{\varOmega } $和$ \partial \mathrm{\varOmega } $分别表示流动控制体的空间域及其表面, $ \mathrm{d}\sigma $和$ \mathrm{d}s $分别表示体积微元和面积微元. 对流项求解采用二阶TVD格式, 黏性项采用二阶中心格式, 湍流模型采用鲁棒性较强的两方程Realizable $ k\text{-}\varepsilon $ 模型; 时间推进采用双时间步方法. 前期对该CFD求解器在高超声速流动计算上的可信度进行了详细验证[31], 本文不再赘述.
2. 基于POD和RBF模型的快速预测框架
针对高压捕获翼表面流场的快速预测, 耦合POD方法和RBF代理模型方法, 提出了一种气动特性降阶-预测模型框架, 如图2所示. POD方法通过奇异值分解将高压捕获翼高维流场数据投影到低维空间, 提取主导模态; RBF代理模型则用于建立设计变量与POD模态系数之间的映射关系. 具体流程如下.
![]()
图 2 高压捕获翼气动特性降阶模型框架Figure 2. Framework for aerodynamic characteristics reduced-order modeling of HCW(1)确定设计变量和设计空间. 在高压捕获翼表面流场预测中, 选择对流场影响较为显著的来流参数和几何参数作为设计变量, 并根据先验知识确定设计变量的合理变化范围.
(2)获取样本点和目标值. 采用国内外广泛应用的均匀试验设计(uniform design)方法[32]在设计空间内获取初始样本点, 基于CFD数值模拟方法获得各样本点的流场, 提取出捕获翼表面各个节点的流动物理量(如压强和热流等)作为目标值.
(3)基于CFD样本构建流场快照矩阵$ {\boldsymbol{P}}_{m\times n} $, 即
$$ {{{\boldsymbol{P}}}_{m \times n}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {p_1^{(1)}}&{p_1^{(2)}}& \cdots &{p_1^{(n)}} \\ {p_2^{(1)}}&{p_2^{(2)}}& \cdots &{p_2^{(n)}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {p_m^{(1)}}&{p_m^{(2)}}& \cdots &{p_m^{(n)}} \end{array}} \right] $$ (10) 其中, n为样本点个数, m为采样点工况下CFD计算的捕获翼翼面网格节点数, 且有$ m\gg n $; $ {p}_{j}^{\left(i\right)} $为采样点工况$ i $下第$ j $个网格节点上的流动物理量. 可见, 此处要求所有工况下翼面网格节点位置保证一致.
(4)基于POD方法构建训练数据集. 对快照矩阵$ {\boldsymbol{P}}_{m\times n} $进行POD分解, 获取所有POD基模态向量$ {\left\{{\boldsymbol{\varPhi }}^{i}\right\}}_{i = 1}^{n} $; 对每个样本点, 通过最小二乘法计算其对应的POD基模态系数$ {\left\{{\boldsymbol{a}}^{i}\right\}}_{i = 1}^{n} $. 由于样本点与POD基模态系数之间存在对应关系, 因此可以构建用于代理模型训练的数据集.
(5)建模评估与流场预测. 采用RBF代理模型构建设计变量(如几何/来流参数)与各个POD基模态系数之间的非线性关系, 并基于留一交叉验证(leave-one-out cross-validation, LOOCV)方法[33]对代理模型的精度进行评估, 基于加点策略补充样本点, 更新各个代理模型, 反复迭代直到满足设计精度. 在设计空间内任意给定测试样本点k, 利用RBF代理模型预测POD基系数$ {\boldsymbol{a}}^{k} $, 则可通过模态叠加重构出对应的捕获翼翼面流场, 即
$$ {\boldsymbol{p}}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}^{k} = \sum _{i = 1}^{d}{a}_{i}^{k}{\boldsymbol{\varPhi }}^{i} $$ (11) 式中, d为保留的POD基模态阶数.
值得说明的是, 点云预测是目前在流场预测中比较流行的方法, 其通常直接建立设计变量与流场节点数据的映射(如“端到端”深度学习), 而本文方法通过模态分解将流场特征解耦为全局模式(POD基)和局部权重(模态系数), 物理意义更明确, 且所需样本量更少.
3. 高压捕获翼表面流场预测分析
3.1 几何模型与设计空间
为了突出由机体激波与捕获翼干扰所产生的高压捕获翼效应这一主要流动特征, 本文着重关注了一种如图3所示的高压捕获翼单翼构型. 该构型的机体由圆锥状前体和偏心圆台状后体组合而成, 而捕获翼则采用2 mm等厚的平板形态, 同时忽略了下翼面及支撑结构的影响, 以简化分析过程. 本文选取圆锥的轴向长度($ {L}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}} = 1\;\mathrm{m} $)作为参考长度$ L $, 偏心圆台的轴向长度$ {L}_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{u}} = 0.4 L $, 并确保圆锥和圆台的下母线共线, 以简化机体下表面外形的设计. 为了尽可能完整地捕捉到不同工况下的机体激波, 捕获翼被设计为一个尺寸偏大的长方形. 其半展长为$ 0.7 L $, 以确保足够的覆盖范围. 此外, 捕获翼的前缘和尾缘顶点相对于机体拐点(即机体的最高点)的轴向距离分别为$ 0.24 L $和$ 0.8 L $.
基于经验, 本文精选了4个对捕获翼下表面压强分布具有显著影响的几何参数作为设计变量, 并考虑来流马赫数Ma的变化, 即总计5个设计变量. 所有工况的飞行高度统一设定为35 km. 鉴于高压捕获翼构型在设计工况下的飞行攻角通常接近0°, 因此本文中所有工况的来流攻角均设定为0°.
设计变量及其对应的取值范围如图3和表1所示. 其中, $ {\theta }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}} $为机体圆锥段的半锥角, 其主要调控机体激波的强度和位置; $ {\theta }_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{u}} $为机体偏心圆台上方的倾斜角, 主要影响机体拐点处膨胀波的强度及其影响范围; $ {\theta }_{\mathrm{h}\mathrm{c}\mathrm{w}} $为捕获翼与水平线的夹角, 即捕获翼安装角, 主要影响捕获翼下表面高压区的位置; 而$ {\psi }_{\mathrm{h}\mathrm{c}\mathrm{w}} $确定了捕获翼与机体之间的相对距离, 即
$$ {\psi }_{\mathrm{h}\mathrm{c}\mathrm{w}} = \frac{{H}_{1}}{{H}_{2}} $$ (12) 式中, $ {H}_{1} $为机体拐点到捕获翼下表面的垂向距离, $ {H}_{2} $为机体拐点到机体激波的垂向距离. 值得说明的是, 在设计变量及其空间的选取上, 本文主要关注的是覆盖高压捕获翼构型的设计工况; 而至于非设计点工况, 本文暂时不过多考虑.
为了确保样本点在整个设计空间内均匀分布, 以便构建高精度的输入-输出响应模型, 本文采用了均匀试验设计方法生成了81个初始样本点. 后续可以根据加点策略进行样本点的扩充, 以进一步提高代理模型的精度.
表 1 设计变量及设计空间Table 1. Design variables and spaceDesign variables Lower bound Upper bound Ma 5 8 $ {\theta }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}} $ $ 6^\circ $ $ 12^\circ $ $ {\theta }_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{u}} $ $ {\theta }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}} + 6^\circ $ $ {\theta }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}} + 10^\circ $ $ {\theta }_{\mathrm{h}\mathrm{c}\mathrm{w}} $ $ 0^\circ $ $ 6^\circ $ $ {\psi }_{\mathrm{h}\mathrm{c}\mathrm{w}} $ 0.8 1.0 3.2 计算网格与数值仿真
本文主要基于所提出的方法对高压捕获翼表面压强进行建模. 在进行CFD数值仿真时, 模型壁面采用绝热壁边界条件. 计算域采用混合网格进行划分, 前期开展了网格无关性验证, 最终选取了1200万规模的网格, 如图4所示. 近壁面第一层的网格厚度为$ 2.0\times {10}^{-5}\;\mathrm{m} $, 对应$ {{y}}^{ + } < 1.0 $. 由于不考虑侧滑角的影响, 因此采用半模计算. 为了提高计算效率并确保所有样本的网格质量及单元数基本一致, 本文通过编写Python脚本调用网格生成软件Pointwise, 实现了对设计空间内任意样本的外形生成、网格自动划分及文件输出的全流程自动化. 这一方法大大节省了人工操作时间, 同时也提高了计算的准确性和一致性.
对所有样本点进行批量CFD数值仿真, 并确保所有工况下的结果均达到收敛标准. 图5展示了任意选取的3个样本构型在纵对称平面及捕获翼下表面的压强分布CFD计算结果, 其中P表示计算所得压强, 而P∞为来流压强(下文亦同). 可以看出, 流场计算结果较为合理, 主要波系结构(如机体激波、反射激波和膨胀波)均能被清晰地捕捉到, 且与上文所述的高压捕获翼基本原理相吻合. 此外, 在不同外形下, 捕获翼表面的压强分布呈现出一定的相似性, 且机体激波的干扰区域均得到了较为完整的覆盖, 这进一步验证了上述给定设计空间的合理性.
![]()
图 5 不同外形流场压强的CFD计算结果Figure 5. CFD results of flow field pressure for different shapes3.3 结果与分析
3.3.1 流场的POD模态特性
从初始81个样本工况中提取了CFD计算所得的捕获翼下表面压强数据, 并通过POD方法对其进行分解, 获得了81个基模态. 图6直观地显示了能量占比随所保留POD模态数量的变化情况, 可以看出, 第1阶模态的能量占比高达约95%, 而前3阶模态的累积能量占比更是超过了99%. 随着保留模态数的逐步增加, 当保留前8阶和18阶模态时, 累积能量占比分别首次超过了99.9%和99.99%. 总体而言, 前18阶模态几乎涵盖了捕获翼压强流场的大部分关键特性.
![]()
图 6 能量占比随保留POD模态数的变化Figure 6. Variation of energy proportion with the number of retained POD modes图7展示了前4阶POD模态的结果. 可以看出, 前2阶模态几乎捕捉到了整个捕获翼下表面流动特征的核心要素, 其中高压区域及其大致轮廓得到了有效的刻画. 随着更高阶数模态的引入, 虽然参与描述整体流动模式的空间范围有所缩减, 但是它们却能够提供更精细的细节补充, 尤其是在那些需要特别关注的地方. 因此, 尽管较高阶次的POD模态分量在总能量贡献上相对较小, 但在完善特定局部特征方面扮演着不可或缺的角色.
为了定量衡量POD降阶结果或预测结果相比CFD结果的差异, 本文引用了最大相对误差(maximum relative error, MRE)和均方根相对误差(root mean square relative error, RMSE), 其定义如下
$$ \left.\begin{split} & {{MRE}} = \frac{{\max ({{{\boldsymbol{p}}}_{{\text{R}},{{\mathrm{P}}} }} - {{{\boldsymbol{p}}}_{{\text{CFD}}}})}}{{\max ({{{\boldsymbol{p}}}_{{\text{CFD}}}}) - \min ({{{\boldsymbol{p}}}_{{\text{CFD}}}})}} \times 100\text{%} \\ & {{RMSE}} = \frac{{\sqrt {{{\left\| {{{{\boldsymbol{p}}}_{{\text{R}},{{\mathrm{P}}} }} - {{{\boldsymbol{p}}}_{{\text{CFD}}}}} \right\|}^2}/m} }}{{\max ({{{\boldsymbol{p}}}_{{\text{CFD}}}}) - \min ({{{\boldsymbol{p}}}_{{\text{CFD}}}})}} \times 100\text{%}\end{split}\right\} $$ (13) 式中, $ {\boldsymbol{p}}_{\mathrm{R},\mathrm{P}} $表示POD降阶值或预测值, $ {\boldsymbol{p}}_{\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{D}} $表示CFD计算值, m为数据点个数. MRE用于衡量最极端情况下的误差大小, 而RMSE则用于评估整体的误差水平. 为了更有效地评估误差的相对大小, 选取CFD计算结果中的最大值与最小值之差作为参考, 以防止由于各数据点采用不同的参考值而导致评估结果出现异常差异.
图8给出了保留不同POD模态数时降阶误差的变化情况. 可以看出, 当保留的模态数达到13时, MRE和RMSE均低于5%, 之后继续增加模态数, 降阶误差仅缓慢下降. 图9则显示了在保留不同模态数量时, 捕获翼表面压强等值线的POD降阶结果和CFD计算结果之间的差异. 具体而言, 当仅保留1阶模态时, 高压区的位置和形态均存在明显差异; 而保留前13阶模态时, 两者的差异显著减小, 主要差异集中在高压区前部等值线聚集处; 进一步保留前22阶模态时, 大部分区域的POD降阶结果和CFD计算结果十分吻合. 这些结果再次证实了, 保留约20阶模态即可有效重构出捕获翼下表面流场的绝大部分关键信息.
![]()
图 8 降阶误差随保留POD模态数的变化Figure 8. Variation of reduced order errors with the number of retained POD modes![]()
图 9 保留不同POD模态数时捕获翼表面压强等值线分布(红线: CFD结果; 黑线: 降阶结果)Figure 9. Pressure contours on the HCW surface with different numbers of retained POD modes (red line: CFD results; black line: reduced-order results)3.3.2 流场预测误差分析
本文采用LOOCV方法[31]评估降阶模型在捕获翼表面流场预测方面的精度. 假设有$ n $个样本点, LOOCV方法会逐一将每个样本作为验证集, 而将其余$ n-1 $个样本点全部用作训练集, 最终, 模型的精度通过这$ n $个单独验证模型精度的平均水平来确定. 由于LOOCV方法在验证模型精度时完全排除了随机因素的干扰, 并且每个样本点均有相同的机会被用作验证和训练(只是不在同一轮次中), 因此LOOCV方法在处理小样本数据时尤为客观和可靠. 值得注意的是, LOOCV过程会构建$ n $个代理模型, 每个模型都是基于$ n-1 $个训练样本生成的. 然而, 在后续实际预测时, 通常不会直接使用这些用于评估模型精度的代理模型, 而会利用全部$ n $个样本点来构建一个更加准确和稳健的最终代理模型, 该模型将被用于对新的、未见过的数据进行预测.
图10给出了压强预测的MRE和RMSE随POD保留模态数的变化情况. 可以看出, 当保留模态数超过13时, MRE稳定在约9.3%的水平, 而RMSE则维持在大约1.6%的数值, 继续增加模态数并不能有效降低模型的预测误差.
![]()
图 10 压强预测误差随保留POD模态数的变化Figure 10. Variation of pressure prediction errors with the number of retained POD modes图11给出了当保留前13阶模态时, 任意3个样本点的压强分布预测结果. 与CFD计算结果对比可以看出, 整体上两者的压强等值线变化趋势较为吻合, 且预测出的高压区形状基本一致. 为了进一步探明预测误差的分布特征, 图12显示了基于LOOCV方法计算出的捕获翼表面各个节点上的压强平均相对误差(average relative error, ARE)分布情况. 可以清晰看出, 翼面大部分区域的预测误差在1%以内, 显示出较高的预测准确性. 而在对称面(即$ {y} = 0\mathrm{处} $)附近, 预测误差略有上升, 主要集中在2%左右. 值得注意的是, 压强预测误差最大值出现在高压区前沿的中部区域, 约为5%. 整体来看, 本文所提的方法在预测捕获翼下表面复杂压强分布方面展现了较高的精度, 尽管在特定区域存在一定的误差, 但整体上仍能满足较高的预测要求.
![]()
图 11 典型工况捕获翼表面压强等值线分布 (红线: CFD结果; 黑线: 预测结果)Figure 11. Pressure contours on the HCW surface for typical cases (red line: CFD results; black line: prediction results)![]()
图 12 捕获翼表面压强预测的平均相对误差分布Figure 12. Distribution of average relative error for pressure prediction on the HCW surface进一步, 通过对预测所得的捕获翼表面压强进行积分, 可以获得沿翼面法向的气动力. 图13显示了气动力预测的平均相对误差随保留POD模态数的变化情况. 可以看出, 当仅保留第1阶模态时, 气动力预测的相对误差高达8.6%. 然而, 随着保留模态数的逐步增加, 预测误差迅速减小; 当保留至前7阶模式时, 误差降为0.3%, 且此后即使模态数继续增加, 气动力的预测误差也基本保持不变. 此外, 图13还直观地展示了保留1阶和7阶模态时, 各个样本点无量纲化气动力的预测结果$ {F}_{{\mathrm{pred}}} $和CFD计算结果$ {{F}}_{{\mathrm{CFD}}} $. 可以看出, 保留前7阶模式时, 所有工况下的气动力预测均较为准确. 值得注意的是, 对比图13和图10可以发现, 对于捕获翼表面压强的预测而言, 需要保留更多的POD模态才能实现误差的收敛; 而对于翼面压强积分值(即气动力)的预测, 则只需保留相对较少的POD模态即可达到收敛状态.
![]()
图 13 气动力预测误差随保留POD模态数的变化Figure 13. Variation of aerodynamic force prediction errors with the number of retained POD modes3.3.3 预测方法效率分析
进一步, 对比了高精度CFD方法与本文所提出的基于POD-RBF方法的高压捕获翼表面流场快速预测框架的计算效率, 具体的CPU耗时情况如表2所示. 在CFD计算方面, 本文基于国家超算互联网(Super Computing Network, SCNet)高性能计算平台, 选用的处理器为2×7285H 32C, 内存为256 GB, 主频为2.5 GHz; 每个算例均独立占用一个处理器进行并行计算. 而在采用POD-RBF方法进行建模和计算时, 使用了戴尔Precision 5820 Tower台式机, 其处理器为Intel(R) Xeon(R) W-2245, 内存为64 GB, 主频为3.9 GHz. 值得注意的是, POD-RBF方法的计算耗时包括了预测POD基模态系数和重构流场的整个过程, 其中对每个模态系数的预测耗时约为0.001 s, 重构流场所用到的节点数量为3.0 × 104. 为了确保流场重构的精度, 这里保留了13个模态. 通过对比可以看出, 采用CFD方法的计算耗时约为POD-RBF方法的300万倍, 充分证明了本文所提出的方法在减少高压捕获翼表面流场计算时间和资源消耗方面的巨大优势.
表 2 CFD方法与POD-RBF方法的计算效率对比Table 2. Comparison of efficiency with CFD and POD-RBF methodMethod CPU time of one case/s prediction reconstruction total CFD — — ~ 42000 POD-RBF 0.013 0.001 0.014 4. 结 论
本文针对高压捕获翼新型气动布局在复杂干扰环境下的表面流场快速预测问题, 提出了一种结合本征正交分解(POD)和径向基函数(RBF)代理模型的方法, 旨在对流动物理量分布进行有效降阶和高效预测, 并据此构建了一个高超声速气动特性快速预测框架. 主要结论如下.
(1) 基于高压捕获翼基本设计原理, 选取了对流场特征具有显著影响的5个几何/来流参数作为设计变量, 结合高精度CFD数值计算完成了数据样本集的构建, 为复杂干扰下翼面流场的降阶和建模提供了数据支撑.
(2) 以捕获翼下表面的压强分布预测为例验证了所提方法的有效性. 结果表明, 当分别保留前13阶和7阶POD基模态时, 该方法对压强分布和气动力的预测精度均收敛, 其预测值与CFD结果的平均相对误差分别为1.6%和0.3%, 展现出了较高的预测精度.
(3) 针对高压捕获翼构型所特有的复杂流场环境, 该方法在预测精度和计算效率上均展现出了显著的工程应用前景, 为高压捕获翼构型气动优化设计工作奠定了重要基础.
下一步将重点关注预测模型的泛化性和精度优化、多精度数据融合建模等方面. 同时, 结合传统工程气动计算方法, 构建面向整机气动特性的混合预测框架, 以期在整机气动特性预测中实现计算效率与精度的协同提升.
-
![]()
图 2 高压捕获翼气动特性降阶模型框架
Figure 2. Framework for aerodynamic characteristics reduced-order modeling of HCW
![]()
图 5 不同外形流场压强的CFD计算结果
Figure 5. CFD results of flow field pressure for different shapes
![]()
图 6 能量占比随保留POD模态数的变化
Figure 6. Variation of energy proportion with the number of retained POD modes
![]()
图 8 降阶误差随保留POD模态数的变化
Figure 8. Variation of reduced order errors with the number of retained POD modes
![]()
图 9 保留不同POD模态数时捕获翼表面压强等值线分布(红线: CFD结果; 黑线: 降阶结果)
Figure 9. Pressure contours on the HCW surface with different numbers of retained POD modes (red line: CFD results; black line: reduced-order results)
![]()
图 10 压强预测误差随保留POD模态数的变化
Figure 10. Variation of pressure prediction errors with the number of retained POD modes
![]()
图 11 典型工况捕获翼表面压强等值线分布 (红线: CFD结果; 黑线: 预测结果)
Figure 11. Pressure contours on the HCW surface for typical cases (red line: CFD results; black line: prediction results)
![]()
图 12 捕获翼表面压强预测的平均相对误差分布
Figure 12. Distribution of average relative error for pressure prediction on the HCW surface
![]()
图 13 气动力预测误差随保留POD模态数的变化
Figure 13. Variation of aerodynamic force prediction errors with the number of retained POD modes
表 1 设计变量及设计空间
Table 1 Design variables and space
Design variables Lower bound Upper bound Ma 5 8 $ {\theta }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}} $ $ 6^\circ $ $ 12^\circ $ $ {\theta }_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{u}} $ $ {\theta }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}} + 6^\circ $ $ {\theta }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}} + 10^\circ $ $ {\theta }_{\mathrm{h}\mathrm{c}\mathrm{w}} $ $ 0^\circ $ $ 6^\circ $ $ {\psi }_{\mathrm{h}\mathrm{c}\mathrm{w}} $ 0.8 1.0 
下载: 导出CSV
表 2 CFD方法与POD-RBF方法的计算效率对比
Table 2 Comparison of efficiency with CFD and POD-RBF method
Method CPU time of one case/s prediction reconstruction total CFD — — ~ 42000 POD-RBF 0.013 0.001 0.014
下载: 导出CSV
-
[1] 蔡国飙, 徐大军. 高超声速飞行器技术. 北京: 科学出版社, 2012 (Cai Guobiao, Xu Dajun. Technology of Hypersonic Vehicle. Beijing: Science Press, 2012 (in Chinese) Cai Guobiao, Xu Dajun. Technology of Hypersonic Vehicle. Beijing: Science Press, 2012 (in Chinese)
[2] Ding F, Liu J, Shen C, et al. An overview of research on waverider design methodology. Acta Astronautica, 2017, 140: 190-205 doi: 10.1016/j.actaastro.2017.08.027
[3] 刘济民, 常斌, 张朝阳等. 乘波体特性研究现状及展望. 航空科学技术, 2023, 34(11): 23-33 (Liu Jimin, Chang Bin, Zhang Zhaoyang, et al. Research status and prospect on the charactaeristics of waverider. Aeronautical Science & Technology, 2023, 34(11): 23-33 (in Chinese) Liu Jimin, Chang Bin, Zhang Zhaoyang, et al. Research status and prospect on the charactaeristics of waverider. Aeronautical Science & Technology, 2023, 34(11): 23-33 (in Chinese)
[4] 唐伟, 冯毅, 杨肖峰等. 非惯性弹道飞行器气动布局设计实践. 气体物理, 2017, 2(1): 1-12 (Tang Wei, Feng Yi, Yang Xiaofeng, et al. Practices of aerodynamic configuration design for non-ballistic trajectory vehicles. Physics of Gases, 2017, 2(1): 1-12 (in Chinese) Tang Wei, Feng Yi, Yang Xiaofeng, et al. Practices of aerodynamic configuration design for non-ballistic trajectory vehicles. Physics of Gases, 2017, 2(1): 1-12 (in Chinese)
[5] 崔凯, 李广利, 肖尧等. 高速飞行器高压捕获翼气动布局概念研究. 中国科学: 物理学 力学 天文学, 2013, 43(5): 652-661 (Cui Kai, Li Guangli, Xiao Yao, et al. Conceptual studies of the high pressure zone capture wing configuration for high speed air vehicles. Scientia Sinica: Physica, Mechanica & Astronomica, 2013, 43(5): 652-661 (in Chinese) Cui Kai, Li Guangli, Xiao Yao, et al. Conceptual studies of the high pressure zone capture wing configuration for high speed air vehicles. Scientia Sinica: Physica, Mechanica & Astronomica, 2013, 43(5): 652-661 (in Chinese)
[6] Cui K, Li GL, Xiao Y, et al. High-pressure capturing wing configurations. AIAA Journal, 2017, 55(6): 1909-1919 doi: 10.2514/1.J055395
[7] Li GL, Cui K, Xu YZ, et al. Experimental investigation of a hypersonic I-shaped configuration with a waverider compression surface. Science China Physics, Mechanics & Astronomy, 2020, 63(5): 25472
[8] Cui K, Xiao Y, Xu YZ, et al. Hypersonic I-shaped aerodynamic configurations. Science China Physics, Mechanics & Astronomy, 2018, 61(2): 024722
[9] Ma Y, Zhou W, Han QL, et al. Aerodynamic configuration of the HCW based on the lifting body. Journal of Aerospace Engineering, 2019, 32(2): 04019004 doi: 10.1061/(ASCE)AS.1943-5525.0000950
[10] Wang YL, Wei YJ, Wang C, et al. Theoretical and numerical simulation study on aerodynamics of V configuration high-pressure capture wing (HCW-V). Physics of Fluids, 2022, 34(8): 086106 doi: 10.1063/5.0102095
[11] 常思源, 肖尧, 李广利等. 翼反角对高压捕获翼构型高超气动特性的影响. 航空学报, 2023, 44(8): 45-58 (Chang Siyuan, Xiao Yao, Li Guangli, et al. Effect of wing dihedral and anhedral angles on hypersonic aerodynamic characteristics of HCW configuration. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2023, 44(8): 45-58 (in Chinese) Chang Siyuan, Xiao Yao, Li Guangli, et al. Effect of wing dihedral and anhedral angles on hypersonic aerodynamic characteristics of HCW configuration. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2023, 44(8): 45-58 (in Chinese)
[12] 常思源, 田中伟, 李广利等. 基于气动导数的高压捕获翼飞行器纵向稳定性数值研究. 中国科学: 技术科学, 2024, 54(2): 275-288 (Chang Siyuan, Tian Zhongwei, Li Guangli, et al. Numerical study on longitudinal stability for HCW aircraft based on aerodynamic derivatives. Scientia Sinica: Technologica, 2024, 54(2): 275-288 (in Chinese) doi: 10.1360/SST-2022-0309 Chang Siyuan, Tian Zhongwei, Li Guangli, et al. Numerical study on longitudinal stability for HCW aircraft based on aerodynamic derivatives. Scientia Sinica: Technologica, 2024, 54(2): 275-288 (in Chinese) doi: 10.1360/SST-2022-0309
[13] 肖尧, 崔凯, 李广利等. 高压捕获翼双翼构型宽速域气动性能研究. 气体物理, 2023, 8(5): 54-60 (Xiao Yao, Cui Kai, Li Guangli, et al. Research on aerodynamic performance of high-pressure capturing wing with bi-wing configuration in wide-speed range. Physics of Gases, 2023, 8(5): 54-60 (in Chinese) Xiao Yao, Cui Kai, Li Guangli, et al. Research on aerodynamic performance of high-pressure capturing wing with bi-wing configuration in wide-speed range. Physics of Gases, 2023, 8(5): 54-60 (in Chinese)
[14] 程锋, 唐硕, 张栋. 超声速/高超声速飞行器气动力快速估算平台设计及应用. 西北工业大学学报, 2018, 36(6): 1076-1084 (Cheng Feng, Tang Shuo, Zhang Dong. Design and applications of preliminary evaluation platform of aerodynamic forces for supersonic/hypersonic vehicles. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2018, 36(6): 1076-1084 (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1000-2758.2018.06.007 Cheng Feng, Tang Shuo, Zhang Dong. Design and applications of preliminary evaluation platform of aerodynamic forces for supersonic/hypersonic vehicles. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2018, 36(6): 1076-1084 (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1000-2758.2018.06.007
[15] 郝佳傲, 蒋崇文, 高振勋等. 有翼再入飞行器的超/高超声速气动力工程方法. 中国空间科学技术, 2014, 34(3): 38-45 (Hao Jiaao, Jiang Chongwen, Gao Zhenxun, et al. Aerodynamic engineering prediction methods for winged reentry vehicles. Chinese Space Science and Technology, 2014, 34(3): 38-45 (in Chinese) doi: 10.3780/j.issn.1000-758X.2014.03.006 Hao Jiaao, Jiang Chongwen, Gao Zhenxun, et al. Aerodynamic engineering prediction methods for winged reentry vehicles. Chinese Space Science and Technology, 2014, 34(3): 38-45 (in Chinese) doi: 10.3780/j.issn.1000-758X.2014.03.006
[16] Lobbia MA. Rapid supersonic/hypersonic aerodynamics analysis model for arbitrary geometries. Journal of Spacecraft and Rockets, 2017, 54(1): 315-322 doi: 10.2514/1.A33514
[17] 朱广生, 段毅, 姚世勇等. 跨流域高速飞行器气动设计研究现状及思考. 宇航学报, 2023, 44(3): 358-367 (Zhu Guangsheng, Duan Yi, Yao Shiyong, et al. Research status and consideration on aerodynamic design of hypersonic flight vehicle covering various flow regimes. Journal of Astronautics, 2023, 44(3): 358-367 (in Chinese) Zhu Guangsheng, Duan Yi, Yao Shiyong, et al. Research status and consideration on aerodynamic design of hypersonic flight vehicle covering various flow regimes. Journal of Astronautics, 2023, 44(3): 358-367 (in Chinese)
[18] Andres-Perez E, Paulete-Perianez C. On the application of surrogate regression models for aerodynamic coefficient prediction. Complex & Inteligent Systems, 2021, 7(4): 1991-2021
[19] 陈树生, 冯聪, 张兆康等. 基于全局/梯度优化方法的宽速域乘波-机翼布局气动设计. 航空学报, 2024, 45(6): 140-154 (Chen Shusheng, Feng Cong, Zhang Zhaokang, et al. Aerodynamic design of wide-speed-range waverider-wing configuration based on global & gradient optimization method. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2024, 45(6): 140-154 (in Chinese) Chen Shusheng, Feng Cong, Zhang Zhaokang, et al. Aerodynamic design of wide-speed-range waverider-wing configuration based on global & gradient optimization method. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2024, 45(6): 140-154 (in Chinese)
[20] Jin SY, Chen SS, Che SQ, et al. Airfoil aerodynamic/stealth design based on conditional generative adversarial networks. Physics of Fluids, 2024, 36(7): 077146 doi: 10.1063/5.0220671
[21] Chen X, Wang Z, Deng L, et al. Towards a new paradigm in intelligence-driven computational fluid dynamics simulations. Engineering Applications of Computational Fluid Mechanics, 2024, 18(1): 2407005 doi: 10.1080/19942060.2024.2407005
[22] 陈皓, 郭明明, 田野等. 卷积神经网络在流场重构研究中的进展. 力学学报, 2022, 54(9): 2343-2360 (Chen Hao, Guo Mingming, Tian Ye, et al. Progress of convolution neural networks in flow field reconstruction. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2022, 54(9): 2343-2360 (in Chinese) Chen Hao, Guo Mingming, Tian Ye, et al. Progress of convolution neural networks in flow field reconstruction. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2022, 54(9): 2343-2360 (in Chinese)
[23] Long Y, Guo X, Xiao TB. Research, application and future prospect of mode decomposition in fluid mechanics. Symmetry, 2024, 16(2): 155 doi: 10.3390/sym16020155
[24] 陈鑫, 刘莉, 岳振江. 基于本征正交分解和代理模型的高超声速气动热模型降阶研究. 航空学报, 2015, 36(2): 462-472 (Chen Xin, Liu Li, Yue Zhenjiang. Reduced order aerothermodynamic modeling research for hypersonic vehicles based on proper orthogonal decomposition and surrogate method. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2015, 36(2): 462-472 (in Chinese) Chen Xin, Liu Li, Yue Zhenjiang. Reduced order aerothermodynamic modeling research for hypersonic vehicles based on proper orthogonal decomposition and surrogate method. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2015, 36(2): 462-472 (in Chinese)
[25] Dolci V, Arina R. Proper orthogonal decomposition as surrogate model for aerodynamic optimization. International Journal of Aerospace Engineering, 2016, 2016(1): 8092824
[26] 赵啸宇. 融合先验知识的物理场快速预测深度代理模型方法研究. [博士论文]. 北京: 军事科学院, 2023 (Zhao Xiaoyu. Research on deep surrogate model method integrated with prior knowledge for fast prediction of physical fields. [PhD Thesis]. Beijing: Academy of Military Science, 2023 (in Chinese) Zhao Xiaoyu. Research on deep surrogate model method integrated with prior knowledge for fast prediction of physical fields. [PhD Thesis]. Beijing: Academy of Military Science, 2023 (in Chinese)
[27] Crowell AR, McNamara JJ. Model reduction of computational aerothermodynamics for hypersonic aerothermoelasticity. AIAA Journal, 2012, 50(1): 74-84 doi: 10.2514/1.J051094
[28] Hall KC, Thomas JP, Dowell EH. Proper orthogonal decomposition technique for transonic unsteady aerodynamic flows. AIAA Journal, 2000, 38(10): 1853-1862 doi: 10.2514/2.867
[29] Simpson TW, Booker AJ, Ghosh D, et al. Approximation methods in multidisciplinary analysis and optimization: A panel discussion. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2004, 27: 302-313
[30] 何西旺, 杨亮亮, 冉仁杰等. 基于多评价标准的代理模型综合比较研究. 机械工程学报, 2022, 58(16): 403-419 (He Xiwang, Yang Liangliang, Ran Renjie, et al. Comparative studies of surrogate models based on multiple evaluation criteria. Journal of Mechanical Engineering, 2022, 58(16): 403-419 (in Chinese) doi: 10.3901/JME.2022.16.403 He Xiwang, Yang Liangliang, Ran Renjie, et al. Comparative studies of surrogate models based on multiple evaluation criteria. Journal of Mechanical Engineering, 2022, 58(16): 403-419 (in Chinese) doi: 10.3901/JME.2022.16.403
[31] Xi XZ, Li GL, Zhang KK, et al. Surrogate-based shape optimization and sensitivity analysis on the aerodynamic performance of HCW configuration. Aerospace Science and Technology, 2024, 152: 109347 doi: 10.1016/j.ast.2024.109347
[32] 方开泰, 刘民千, 周永道. 试验设计与建模. 北京: 高等教育出版社, 2011 (Fang Kaitai, Liu Minqian, Zhou Yongdao. Design and Modeling of Experiments. Beijing: Higher Education Press, 2011 (in Chinese) Fang Kaitai, Liu Minqian, Zhou Yongdao. Design and Modeling of Experiments. Beijing: Higher Education Press, 2011 (in Chinese)
[33] Wong TT. Performance evaluation of classification algorithms by k-fold and leave-one-out cross validation. Pattern Recognition, 2015, 48(9): 2839-2846 doi: 10.1016/j.patcog.2015.03.009
计量
- 文章访问数: 77
- HTML全文浏览量: 10
- PDF下载量: 36
