RELIABILITY-BASED TOPOLOGY OPTIMIZATION OF CONTINUUM STRUCTURES CONSIDERING RANDOM FIELD LOAD UNCERTAINTY
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摘要: 提出了一种基于多项式混沌展开(polynomial chaos expansions, PCE)代理模型的高效可靠性拓扑优化(reliability-based topology optimization, RBTO)方法, 用于处理考虑随机场载荷不确定性的可靠性设计问题. 为此, 建立了基于柔度响应定义的概率约束下的结构体积分数最小化的单层循环RBTO模型, 采用Karhunen-Loève (K-L)展开式描述载荷随机场, 利用蒙特卡罗模拟计算结构的失效概率. 为了克服蒙特卡罗模拟方法在计算结构响应时计算成本高昂的问题, 引入了PCE作为代理模型, 高效地捕捉随机场载荷与结构柔度之间的复杂非线性关系. 通过少量的高精度有限元分析样本, 可以构建出高精度的PCE代理模型, 一旦构建好代理模型的显式表达式, 就可以直接基于代理模型在随机样本处计算失效概率, 后续无需再进行有限元分析, 从而在不牺牲太多精度的情况下, 大幅减少后续计算的时间成本. 详细推导了概率约束函数关于设计变量的灵敏度, 采用移动渐近线方法(method of moving asymptotes, MMA)求解优化问题, 将基于分析模型的RBTO方法与基于代理模型的RBTO方法作对比, 验证了所提方法的有效性和优越性, 并通过4个数值算例讨论了失效概率限值、柔度限值、载荷随机场均值与标准差以及相关长度对优化结果的影响. 结果表明, 不确定性因素增强时, 结构需要消耗更多的材料来抵抗不确定性因素的干扰, 另外基于代理模型的RBTO方法相对于基于分析模型的RBTO计算时间大幅缩短, 提高了优化效率.Abstract: This paper proposes an efficient reliability-based topology optimization (RBTO) method based on the polynomial chaos expansions (PCE) surrogate model to address design problems considering random field load uncer-tainty. To this end, a single-loop RBTO model is established to minimize the structural volume fraction under probabi-listic constraint defined by compliance response. The Karhunen-Loève (K-L) expansion is utilized to characterize the random field of loads, while Monte Carlo simulation is employed to estimate the probability of structural failure. In order to mitigate the substantial computational demands of Monte Carlo Simulation method in calculating structural response, the PCE is implemented as a surrogate model, effectively capturing the intricate nonlinear relationship between random field loads and structural compliance. A high-precision PCE surrogate model can be constructed using a limited number of high-fidelity finite element analysis samples, Once the explicit expression of the surrogate model is constructed, the failure probability can be directly calculated at random samples based on the surrogate model, without the need for further finite element analysis, thereby significantly reducing computational time without compromising accuracy. The sensitivity of the probabilistic constraint function with respect to design variables is thoroughly derived, and the optimization problem is addressed using the method of moving asymptotes (MMA). The efficacy and superiority of the proposed surrogate model-based RBTO method are validated through comparisons with an analytical model-based RBTO approach. In addition, the effects of failure probability thresholds, compliance limits, mean and standard deviations of load random fields, and correlation lengths on the optimization outcomes was discussed through four numerical examples. The results indicate that when uncertainty factors increase, the structure needs to consume more materials to resist the interference of uncertainty factors. In the bargain, the surrogate model-based RBTO method significantly reduces the computation time and improves the optimization efficiency compared to the analytical model-based RBTO approach.
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引 言
拓扑优化(topology optimization, TO), 作为一种高效的设计手段, 在结构工程领域得到了广泛应用. 近年来, 随着增材制造技术的飞速进步, TO更是成为了实现复杂结构设计的强大工具. 然而, 值得注意的是, 当前大多数TO研究均基于确定性条件进行, 但在实际结构设计中, 载荷、材料特性及边界条件等因素往往蕴含着不确定性[1]. 这些不确定性因素可能严重损害结构的性能表现, 因此, 对不确定性的有效处理变得尤为重要. 为应对这一挑战, 鲁棒拓扑优化(robust topology optimization, RTO)与基于可靠性的拓扑优化(reliability-based topology optimization, RBTO)应运而生, 成为量化TO中不确定性的两种关键方法. RTO方法一般以所考虑的目标性能的均值与标准差的加权最小化为目标函数, 在保持设计性能的同时增强其稳健性[2-4]. 而RBTO将传统的确定性约束条件转化为概率约束, 并在这些约束中融入不确定参数, 核心目标在于严格控制发生失效事件的概率, 以确保结构的整体可靠性[5]. 本文聚焦于可靠性拓扑优化, 深入探讨其在处理结构设计中不确定性因素方面的独特优势.
RBTO是结构拓扑优化领域的一个重要研究方向, 近年来引起越来越多的关注. Kharmanda等[5]将可靠性分析整合到TO问题中, 提出了RBTO设计的概念. Jung等[6]提出了一种基于可靠性的三维Mindlin板结构拓扑优化方法. Maute等[7]提出了一种通过拓扑优化设计微机电系统的方法. 罗阳军等[8]提出了以结构体积最小化为目标、 具有位移非概率可靠性约束的三维连续体TO数学模型. Zheng等[9]提出了一种新的基于非概率可靠性的拓扑优化方法. Luo等[10]提出了一种在载荷和材料不确定性下解决应力约束TO问题的有效方法. Silva等[11]采用单循环方法的一种变体来执行RBTO. Yin等[12]提出了一种新的RBTO方法, 用于基于模糊集模型的不确定结构设计. Mahmoud 等[13]提出了一种适用于RBTO的新型序贯TO与可靠性分析方法. Xian等[14]针对非平稳地震激励下耗能结构黏弹性阻尼器的布置问题, 提出了一种有效的RBTO框架. Behrooz等[15]开发了一种用于可靠性回路的鲁棒迭代公式的混合RBTO方法. Xing等[16]使用一个隐藏层神经网络和基于梯度与非梯度的可靠性量化来加速双循环RBTO. Cheng等[17]发展了一种基于应力约束的非概率可靠性多材料TO新方法. Nguyen等[18]提出了一种基于系统可靠性的TO的单回路算法. Zheng等[19]提出了一种将双环优化等效解耦为一个序贯过程的高效RBTO方法. Muayad等[20]提出一种将可靠性设计应用于热弹性结构TO的计算方法. Zhan等 [21]提出了一种分布载荷不确定性下的非概率RBTO方法. Steffen等[22]提出了一种考虑不确定载荷和不确定材料参数的TO方法. 王选等[23]针对载荷不确定性下破损-安全结构的设计问题提出了一种有效的基于响应面的RBTO方法.
可以看出上述工作中所探讨的随机参数均被视为随机变量处理. 然而, 在实际工程结构中, 常常会遇到一些与空间位置密切相关的属性, 诸如非均匀分布的载荷以及随空间位置变化而异的材料性能参数等. 这些不确定性的参数, 采用随机场模型来描述, 能够更为精确且合理地反映其空间变异性特征. 随机场给RBTO问题带来了更多的挑战性. Jalalpour等[24]提出了一种针对考虑材料随机场的结构的连续体域RBTO计算方法. 战俊杰等[25]基于非概率有界场模型提出了一种针对考虑厚度随机场的结构的非概率RBTO模型. 刘培硕等[26]研究了针对考虑材料随机场的结构的连续体结构可靠度拓扑优化问题. Keshavarzzadeh等[27]针对考虑载荷随机场的结构提出了一种有效的 RBTO方法.
可以看出以上工作都是基于逼近的分析方法通过迭代进行可靠性分析, 与上述工作不同, 本文提出一种基于抽样方法的可靠性拓扑优化方法, 用于处理考虑随机场载荷不确定性的连续体结构可靠性设计问题. 本文方法不需要通过迭代进行可靠性分析, 而是采用基于蒙特卡洛模拟(Monte Carlo simul-ateon, MCS)的抽样方法来直接计算失效概率. 同时, 为有效解决传统抽样方法中因频繁执行大规模有限元分析(finite element analysis, FEA)所带来的时间成本高昂问题, 本文构建了基于多项式混沌展开(polynomial chaos expansion, PCE)的代理模型来计算失效概率, 通过少量的高精度有限元分析样本, 构建出高精度的PCE代理模型, 在不牺牲过多精度的情况下, 大幅减少可靠性分析的时间成本, 进而提高可靠性拓扑优化方法的计算效率.
1. 确定性拓扑优化列式
在本文中, 用solid isotropic material with penali-zation (SIMP) 方法来求解拓扑优化问题, SIMP方法为每一个单元赋予一个伪密度变量$ {\rho _e} $, 通过伪密度变量来插值计算每个单元的弹性模量, 从而反映不同单元在整体结构中的贡献程度. 这种插值方式能够根据优化目标和约束要求来调整各单元的密度分布, 进而实现结构的拓扑优化.
为了防止SIMP方法实施过程中出现棋盘格现象与网格依赖性, 采用密度过滤的方法对单元密度$ {\rho _e} $进行过滤, 表达式为
$$ {\tilde \rho _e} = \frac{1}{{\displaystyle\sum\nolimits_{i \in {\mathbb{N}_e}} {w({{\boldsymbol{x}}_i})} }}\sum\limits_{i \in {\mathbb{N}_e}} {w({{\boldsymbol{x}}_i}){\rho _i}} $$ (1) 式中, ${\tilde \rho _e}$表示过滤后的物理密度, $ {\mathbb{N}_e} $表示所有到单元e中心的距离小于过滤半径${r_{\min }}$的单元集合, $w(x)$为加权函数, 表达式为
$$ w{\text{ }}({{\boldsymbol{x}}_i}){ = }\max (0{,}{\text{ }}{r_{\min }} - {\text{ }}\left\| {{{\boldsymbol{x}}_i}{\text{ }} - {\text{ }}{{\boldsymbol{x}}_e}} \right\|) $$ (2) 式中, ${{\boldsymbol{x}}_e}$和${{\boldsymbol{x}}_i}$分别表示单元e和单元i的中心坐标.
在此基础上, 弹性模量的插值模型可表示为
$$ {E_e} = {E_{\min }} + \tilde \rho _e^p({E_0} - {E_{\min }}) $$ (3) 式中, ${E_{\min }}$是为了防止刚度矩阵奇异而引入的微小参数, p是惩罚因子, ${E_0}$表示实体材料的弹性模量.
2. 考虑随机场载荷不确定性拓扑优化列式
2.1 随机场载荷不确定性建模
在本文中, 采用随机场来描述载荷的不确定性. 随机场作为一种强大的数学工具, 能够有效地刻画载荷在空间中的随机波动特性. 通过引入随机场, 能够更加真实地模拟实际工程问题中载荷的复杂变化, 从而得到更加可靠和准确的优化结果.
为了具体描述随机场, 将施加随机载荷的空间域$ {{\varOmega }_x} $离散为一系列观察点${{\boldsymbol{Y}}} = {({{{\boldsymbol{y}}}_1},{{{\boldsymbol{y}}}_2},\cdots ,{{{\boldsymbol{y}}}_n})^{\text{T}}}$, ${{{\boldsymbol{y}}}_i}$表示与单元节点一一对应的观察点的坐标矢量, n表示观察点个数, 采用Karhunen-Loève (K-L)展开式[28]以级数形式表示载荷随机场, 表达式为
$$ {{\boldsymbol{F}}}({{\boldsymbol{Y}}},{\omega }) = {{\boldsymbol{\mu}} }({{\boldsymbol{Y}}}) + \sum\limits_{{i} = 1}^\infty {\sqrt {{{\lambda }_{i}}} {{{\boldsymbol{\varphi}} }_{i}}{{\xi }_{i}}} (\omega ) $$ (4) 其中, $\omega $表示样本空间${\varTheta }$中的一个随机样本, ${{\boldsymbol{\mu}} }({{\boldsymbol{Y}}})$表示载荷随机场的均值矢量, 当随机场为高斯场时, $\{ {\xi _i}\} $表示相互独立的标准正态随机变量, ${\lambda _i}$和${{{\boldsymbol{\varphi}} }_i}$分别表示协方差矩阵C的特征值和特征向量, 协方差矩阵C表示为
$$ {{\boldsymbol{C}} = }\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {C({{{\boldsymbol{y}}}_1},{{{\boldsymbol{y}}}_1})}&{C({{{\boldsymbol{y}}}_1},{{{\boldsymbol{y}}}_2})}& \cdots &{C({{{\boldsymbol{y}}}_1},{{{\boldsymbol{y}}}_n})} \\ {C({{{\boldsymbol{y}}}_2},{{{\boldsymbol{y}}}_1})}&{C({{{\boldsymbol{y}}}_2},{{{\boldsymbol{y}}}_2})}& \cdots &{C({{{\boldsymbol{y}}}_2},{{{\boldsymbol{y}}}_n})} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {C({{{\boldsymbol{y}}}_n},{{{\boldsymbol{y}}}_1})}&{C({{{\boldsymbol{y}}}_n},{{{\boldsymbol{y}}}_2})}& \cdots &{C({{{\boldsymbol{y}}}_n},{{{\boldsymbol{y}}}_n})} \end{array}} \right] $$ (5) 式中, $C({{{\boldsymbol{y}}}_i},{{{\boldsymbol{y}}}_j})$表示描述高斯场中任意两个观察点间相关性的相关函数, 表达式为
$$ C({{{\boldsymbol{y}}}_i},{{{\boldsymbol{y}}}_j}) = {\sigma }({{{\boldsymbol{y}}}_i}){\sigma }({{{\boldsymbol{y}}}_j})\exp \left( - \frac{{{{\left\| {{{{\boldsymbol{y}}}_i} - {{{\boldsymbol{y}}}_j}} \right\|}^2}}}{{l_{\text{c}}^2}}\right) $$ (6) 其中, ${\sigma }( \cdot )$表示标准差, ${l_{\text{c}}}$表示相关长度. 为了实际计算的需要, 通常采用截断的K-L展开来刻画随机场
$$ {\hat {\boldsymbol{F}}}({{\boldsymbol{Y}}},\omega ) = {{\boldsymbol{\mu}} }({{\boldsymbol{Y}}}) + \sum\limits_{{i} = 1}^m {\sqrt {{{\lambda }_{i}}} {{{\boldsymbol{\varphi}} }_{i}}{{\xi }_{i}}} (\omega ) $$ (7) 其中, m为截断项数, 特征值按${\lambda _1} > {\lambda _2} > \cdots > {\lambda _m}$排序.
2.2 可靠性拓扑优化模型
本文考虑载荷随机场不确定性, 基于柔度响应建立度量结构可靠性的状态函数, 建立可靠性约束下体积最小化可靠性拓扑优化模型如下
$$ \left. \begin{aligned} & {{\text{find: }}{{\boldsymbol{\rho}} = }({\rho _1},{\rho _2},\cdots ,{\rho _{{N_e}}})} \\ & {\min :{V_{\text{f}}} = \frac{{\displaystyle\sum\nolimits_{e = 1}^{{N_e}} {{{\tilde \rho }_e}{v_e}} }}{{\displaystyle\sum\nolimits_{e = 1}^{{N_e}} {{v_e}} }}} \\ & {{\text{s}}{\text{.t}}. \left\{\begin{aligned} & {{P_{\text{f}}} = P[g({{\boldsymbol{\rho}} },{{\boldsymbol{\xi}} }) = C - {C^{\text{t}}} > 0] \leqslant P_{\text{f}}^{\text{t}}} \\ & {{{\boldsymbol{KU}}} = {{\boldsymbol{F}}}} \\ & {C = {{{\boldsymbol{F}}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{U}}}} \\ & {0 \leqslant {\rho _e} \leqslant 1} \end{aligned} \right.} \end{aligned} \right\} $$ (8) 式中, ${{\boldsymbol{\rho}} }$表示由所有设计变量组成的向量, ${V_{\text{f}}}$表示目标函数, 定义为结构相对于初始体积的体积分数, $ {N_e} $表示用来实施结构响应分析的有限单元个数. $g = C - {C^{\text{t}}}$为度量结构可靠性的极限状态函数, 其中$C$为结构的柔度, ${C^{\text{t}}}$为柔度限值. $g > 0$表示结构失效. ${P_{\text{f}}}$表示当前结构的失效概率, 约束结构的失效概率${P_{\text{f}}}$不超过指定的失效概率$P_{\text{f}}^{\text{t}}$. K, U和F分别表示总体刚度矩阵、位移矢量及载荷矢量, ${{\boldsymbol{\xi}} }$是由刻画载荷随机场的随机变量$\{ {\xi _i}\} $组成.
采用MCS计算结构失效概率${P_{\text{f}}} = P[g({\tilde {\boldsymbol{\rho}} },{{\boldsymbol{\xi}} }) > 0]$, 表达式为
$$ {P_{\text{f}}} = \frac{1}{k}\sum\limits_{i = 1}^k {I[g({\tilde {\boldsymbol{\rho }}},{{\boldsymbol{\xi}} }_i)]} $$ (9) 式中, k表示MCS的随机样本总数, $I(g)$表示失效指标函数, 表达式为
$$ I(g) = \left\{\begin{aligned} & {1,\quad g > 0} \\ & {0,\quad g \leqslant 0} \end{aligned} \right. $$ (10) 考虑到失效指标函数的不连续性[29], 为了便于求导, 采用可导的函数$\tilde I(g)$来逼近失效指标函数$ I(g) $[27,30-31], 表达式为
$$ \tilde I(g) = \frac{1}{2}\left[\tanh \left(\frac{g}{\varepsilon }\right) + 1\right] $$ (11) 式中, $\varepsilon $是表征函数逼近程度的控制参数.
2.3 基于PCE代理模型的可靠性分析
在结构可靠性分析的过程中, 蒙特卡罗模拟方法虽能有效计算失效概率, 但其计算成本随着样本量的增加而增加, 计算量过于庞大. 因为k次蒙特卡罗模拟就需要实施k次有限元分析计算结构响应. 因此对于复杂工程结构的可靠性分析, 蒙特卡罗模拟方法的计算量往往难以承受. 为了降低计算成本, 本文采用PCE构建计算结构柔度响应C的代理模型${C_{{\text{PCE}}}}$, 表达式为
$$ {C_{{\text{PCE}}}}({{\boldsymbol{\xi}} }) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{c_i}{{\varPsi }_i}({{\boldsymbol{\xi}} })} $$ (12) 式中, ${c_i}$表示PCE系数, $ {{\varPsi }_i}({{\boldsymbol{\xi}} }) $表示PCE基函数, 若输入随机变量为高斯随机变量, 可采用埃尔米特(Hermit)多项式构造PCE基函数, 表达式为
$$ {{\varPsi }_i}({\xi _1},{\xi _2},\cdots ,{\xi _m}) = {H_{{\alpha _1}}}({\xi _1}){H_{{\alpha _2}}}({\xi _2})\cdots {H_{{\alpha _m}}}({\xi _m}) $$ (13) 式中, $ {H_{{\alpha _i}}}({\xi _i}) $表示单变量埃尔米特多项式, $ {\alpha _i} $表示埃尔米特多项式的次数. 为了便于实际计算, 将式(12)截断为有限项
$$ {C_{{\text{PCE}}}}({{\boldsymbol{\xi}} }) = \sum\limits_{i = 0}^{{N_{\text{p}}}} {{c_i}{{\varPsi }_i}({{\boldsymbol{\xi}} })} $$ (14) 式中, ${N_{\text{p}}}$表示PCE的截断项数, 可通过式(15)计算
$$ {N_{\text{p}}} + 1 = \frac{{(m + {p_{{\text{PCE}}}})!}}{{m!{p_{{\text{PCE}}}}!}} $$ (15) 式中, $ {p_{{\text{PCE}}}} $表示PCE基的次数, 由埃尔米特多项式次数累加获得, 即${p_{{\text{PCE}}}} = {\alpha _1} + {\alpha _2} + \cdots + {\alpha _m}$.
采用非侵入式伪谱方法, PCE的系数${c_i}$近似表示为
$$ {c_i} = \frac{1}{{E({\varPsi }_i^2)}}\sum\limits_{q = 1}^{{n_{\text{q}}}} {w_g^{(q)}C({{{\boldsymbol{\xi}} }^{(q)}}){{\varPsi }_i}({{{\boldsymbol{\xi}} }^{(q)}})} $$ (16) 式中, $E( \cdot )$表示数学期望, ${{{\boldsymbol{\xi}} }^{(q)}} = (\xi _1^{(q)},\xi _2^{(q)},\cdots ,\xi _m^{(q)})$和$w_g^{(q)}$分别表示积分点和这些积分点在概率空间中的权重, ${n_{{q}}}$表示积分点的个数. $C({{{\boldsymbol{\xi}} }^{(q)}})$表示在第q个积分点处通过有限元分析计算得到的柔度.
在此基础上, 可定义度量结构可靠性的极限状态函数g的代理模型函数${g_{{\text{PCE}}}}$为
$$ {g_{{\text{PCE}}}} = {C_{{\text{PCE}}}} - {C^{\text{t}}} $$ (17) 需要注意的是, 在本文基于PCE代理模型的可靠性分析方法中, $ {g_{{\text{PCE}}}} $将代替式(9) ~ 式(11)中的g参入结构的失效概率的计算.
可以看出, 由于PCE基函数并未涉及有限元计算, 构建代理模型${C_{{\text{PCE}}}}$的计算代价主要在于PCE系数的计算, 而每个PCE系数只需要进行${n_{{q}}}$次有限元分析计算结构柔度响应. 一旦构建好代理模型的显式表达式后, 就可以直接基于代理模型在随机样本处计算失效概率, 无需进行有限元分析. 而使用传统的MCS方法计算失效概率, k个随机样本意味着k次蒙特卡罗模拟, 即k次有限元计算结构响应. 且一般情况下${n_{{q}}} \ll {k}$, 因此相较于利用分析模型计算结构柔度响应, 确定失效概率, 基于代理模型方法可在不损失过多精度的前提下大幅降低计算成本.
3. 灵敏度分析
本节详细推导分析模型和PCE代理模型下失效概率对设计变量的导数信息, 以便对比分析模型与PCE代理模型下可靠性拓扑优化的性能差异.
根据式(9) ~ 式(11), 失效概率关于设计变量的导数$\partial {P_{\text{f}}}/\partial {\rho _e}$可由链式法则推导为
$$ \begin{split} & \frac{{\partial {P_{\text{f}}}}}{{\partial {\rho _e}}} = \frac{{\partial {P_{\text{f}}}}}{{\partial \tilde I}}\frac{{\partial \tilde I}}{{\partial g}}\frac{{\partial g}}{{\partial C}}\frac{{\partial C}}{{\partial {{\tilde \rho }_e}}}\frac{{\partial {{\tilde \rho }_e}}}{{\partial {\rho _e}}} = \\ &\qquad \frac{1}{{2k\varepsilon }}\sum\limits_{i = 1}^k {\frac{{\partial C}}{{\partial {{\tilde \rho }_e}}}\frac{{\partial {{\tilde \rho }_e}}}{{\partial {\rho _e}}}\left[1 - {{\tanh }^2}\left(\frac{g}{\varepsilon }\right)\right]}\end{split} $$ (18) 3.1 分析模型下柔顺度C对物理密度${{\tilde \rho }_{e}}$的导数
分析模型下柔顺度C对物理密度${\tilde \rho _e}$的导数, 即式(18)中导数项$\partial C/\partial {\tilde \rho _e}$, 可由伴随法推导. 通过引入可人为规定的伴随向量${{\boldsymbol{\lambda }}}$来构造等价于柔顺度C的增广拉格朗日函数, 表达式如下
$$ L = {{{\boldsymbol{F}}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{U}}} + {{{\boldsymbol{\lambda}} }^{\text{T}}}({{\boldsymbol{F}}} - {{\boldsymbol{KU}}}) $$ (19) 式(19)两边对${\tilde \rho _e}$求导可得
$$ \frac{{\partial L}}{{\partial {{\tilde \rho }_e}}} = ({{{\boldsymbol{F}}}^{\text{T}}} - {{{\boldsymbol{\lambda}} }^{\text{T}}}{{\boldsymbol{K}}})\frac{{\partial {{\boldsymbol{U}}}}}{{\partial {{\tilde \rho }_e}}} - {{{\boldsymbol{\lambda}} }^{\text{T}}}\frac{{\partial {{\boldsymbol{K}}}}}{{\partial {{\tilde \rho }_e}}}{{\boldsymbol{U}}} $$ (20) 为了消除未知导数项$\partial {{\boldsymbol{U}}}/\partial {\tilde \rho _e}$, 伴随向量${{\boldsymbol{\lambda}} }$取伴随式${{{\boldsymbol{F}}}^{\text{T}}} = {{{\boldsymbol{\lambda}} }^{\text{T}}}{{\boldsymbol{K}}}$的解U, 即${{\boldsymbol{\lambda}} }{\text{ = }}{{\boldsymbol{U}}}$, 则导数项$\partial C/\partial {\tilde \rho _e}$表示为
$$ \begin{split} & \frac{{\partial C}}{{\partial {{\tilde \rho }_e}}} = \frac{{\partial L}}{{\partial {{\tilde \rho }_e}}} = - {{{\boldsymbol{U}}}^{\text{T}}}\frac{{\partial {{\boldsymbol{K}}}}}{{\partial {{\tilde \rho }_e}}}{{\boldsymbol{U}}} = \\ &\qquad- {p}{{\text{(}}{E_0} - {E_{\min }}{\text{)}}^{p - 1}}{{\boldsymbol{u}}}_e^{\text{T}}{{{\boldsymbol{k}}}_0}{{{\boldsymbol{u}}}_e} \end{split} $$ (21) 式中, $ {{{\boldsymbol{u}}}_e} $和${{{\boldsymbol{k}}}_0}$分别表示单元e的位移矢量与单元刚度矩阵.
式(18)中导数项$\partial {\tilde \rho _e}/\partial {\rho _e}$可由式(1)求导得到
$$ \frac{{\partial {{\tilde \rho }_e}}}{{\partial {\rho _e}}} = \frac{{w({{\boldsymbol{x}}_e})}}{{\displaystyle\sum\nolimits_{i \in {\mathbb{N}_e}} {w({{\boldsymbol{x}}_i})} }} $$ (22) 3.2 PCE模型下柔顺度$ {{C}_{{\mathbf{PCE}}}} $对物理密度${{\tilde \rho }_{e}}$的导数
在PCE代理模型下, 采用${g_{{\text{PCE}}}}$和${C_{{\text{PCE}}}}$分别代替g和C进行结构失效概率与柔顺度的计算. 此时, 式(18)中导数项$\partial C/\partial {\tilde \rho _e}$变成了$\partial {C_{{\text{PCE}}}}/\partial {\tilde \rho _e}$, 同样利用链式法则推导失效概率对设计变量的导数$\partial {P_{\text{f}}}/\partial {\rho _e}$, 结果同式(18). 根据式(14),导数项$\partial {C_{{\text{PCE}}}}/\partial {\tilde \rho _e}$可表示为
$$ \frac{{\partial {C_{{\text{PCE}}}}}}{{\partial {{\tilde \rho }_e}}} = \sum\limits_{i = 0}^{{N_{\text{p}}}} {\frac{{\partial {c_i}}}{{\partial {{\tilde \rho }_e}}}} {{\varPsi }_i}({{\boldsymbol{\xi }}}) $$ (23) 导数项$\partial {c_i}/\partial {\tilde \rho _e}$可由式(16)获得
$$ \frac{{\partial {c_i}}}{{\partial {{\tilde \rho }_e}}} = \frac{1}{{E({\varPsi }_i^2)}}\sum\limits_{q = 1}^{{n_{\text{q}}}} {w_g^{(q)}\frac{{\partial C({{{\boldsymbol{\xi}} }^{(q)}})}}{{\partial {{\tilde \rho }_e}}}{{\varPsi }_i}({{{\boldsymbol{\xi}} }^{(q)}})} $$ (24) 而导数项$ \partial C({{{\boldsymbol{\xi}} }^{(q)}})/\partial {\tilde \rho _e} $同式(21).
3.3 失效概率的修正处理
本文利用移动渐近线法[32]求解拓扑优化问题. 在迭代过程中整个样本空间中的柔度可能出现始终小于柔度限值${C^{\text{t}}}$的情况, 这会导致失效概率${{P}_{\text{f}}}$以及失效概率对设计变量导数$\partial {P_{\text{f}}}/\partial {\rho _e}$为0, 从而使迭代终止[27,29-30]. 为了改善这一问题, 受文献[30]启发, 对失效概率${P_{\text{f}}}$进行如下修正处理
$$ {\tilde P_{\text{f}}} = \left\{\begin{aligned} & {{P_{\text{f}}} + {c_{{P_{\text{f}}}}}{{\left(\frac{{{C_1} - {C^{\text{t}}}}}{{{C^{\text{t}}}}}\right)}^2},\quad {C^{\text{t}}} < {C_1}} \\ & {{P_{\text{f}}},\quad {C_1} < {C^{\text{t}}} < {C_2}} \\ & {{P_{\text{f}}} - {c_{{P_{\text{f}}}}}{{\left(\frac{{{C_2} - {C^{\text{t}}}}}{{{C^{\text{t}}}}}\right)}^2},\quad {C_2} < {C^{\text{t}}}} \end{aligned} \right. $$ (25) 相应的失效概率关于设计变量的导数$\partial {P_{\text{f}}}/\partial {\rho _e}$可表示如下
$$ \frac{{\partial {{\tilde P}_{\text{f}}}}}{{\partial {\rho _e}}} = \left\{ \begin{aligned} & {\frac{{\partial {P_{\text{f}}}}}{{\partial {\rho _e}}} + \frac{{2{c_{{P_{\text{f}}}}}}}{{{C^{\text{t}}}}}\frac{{\partial {C_1}}}{{\partial {\rho _e}}}\frac{{{C_1} - {C^{\text{t}}}}}{{{C^{\text{t}}}}},\quad {C^{\text{t}}} < {C_1}} \\ & {\frac{{\partial {P_{\text{f}}}}}{{\partial {\rho _e}}},\quad {C_1} < {C^{\text{t}}} < {C_2}} \\ & {\frac{{\partial {P_{\text{f}}}}}{{\partial {\rho _e}}} - \frac{{2{c_{{P_{\text{f}}}}}}}{{{C^{\text{t}}}}}\frac{{\partial {C_2}}}{{\partial {\rho _e}}}\frac{{{C_2} - {C^{\text{t}}}}}{{{C^{\text{t}}}}},\quad {C_2} < {C^{\text{t}}}} \end{aligned} \right. $$ (26) 在式(25)以及式(26)中, ${c_{{P_{\text{f}}}}}$是自定义的常数, ${C_1} = \min \{ C\} $以及${C_2} = \max \{ C\} $分别表示样本空间中柔度的最小值和最大值.
在获取了目标函数及约束函数的灵敏度数据后, 本文运用梯度导向的移动渐近线方法(method of moving asymptotes, MMA)来求解优化问题, 到达最大迭代步数优化过程停止迭代.
4. 数值算例
本节以4个数值算例来验证所提出方法的有效性. 若无特别说明, 本文取值${E_{\min }} = 1.0 \times {10^{ - 3}}$, 过滤半径${r_{\min }} = 2{\text{ mm}}$, p = 3, 结构厚度为1 mm, 单元密度初始值取${\rho _e} = 0.5$, 材料的弹性模量取$E = 2.0 \times {10^5}{\text{ GPa}}$, 泊松比取0.3, MCS的样本数k =
10000 , 载荷随机场截断项数m = 3, PCE基的次数${p_{{\text{PCE}}}} = 3$, 用于计算PCE系数的积分点个数${n_{{q}}}$ = 39, $\varepsilon = 0.01{\text{std(}}C{\text{)}}$, ${c_{{P_{\text{f}}}}} = 5$, 最大迭代步数为500.4.1 悬臂梁
几何尺寸为$100{\text{ mm}} \times 50{\text{ mm}}$悬臂梁结构的设计域如图1所示, 结构左端固定, 距离右端75 mm范围内的底边区域受随机场载荷作用, 结构的下边界区域包含2 mm (2层单元)厚度的不可设计域(如图1黑色阴影部分所示). 设计域由$100 \times 50$个四节点四边形单元离散. 柔度限值设置为0.1 J. 本算例对比确定性拓扑优化(deterministic topology optimization, DTO)与RBTO的差别. 在 DTO框架下, 所施加的载荷设定为密度为$5{\text{ N/m}}{{\text{m}}^2}$的均布载荷. 在RBTO设计中, 载荷建模为遵循正态分布的随机场, 相关长度${l_{\text{c}}} = 100{\text{ mm}}$, 其均值与标准差分别设定为5 N和0.2 N, 且指定的失效概率限值$P_{\text{f}}^{\text{t}}$ = 0.001.
图2展示了不考虑载荷不确定性的DTO结果, DTO设计是基于柔度约束下体积最小化优化模型计算的, 最终结构体积分数为13.73%. 为了显示载荷不确定性对结构设计的影响, 将DTO结果与基于分析模型下RBTO结果以及基于PCE模型的RBTO结果作对比. 图3和图4分别给出了基于分析模型和PCE模型的 RBTO的优化结果. 表1显示了基于分析模型和PCE模型的 RBTO设计每个迭代步平均计算时间和结构最终的体积分数.
表 1 不同方法下悬臂梁的优化结果Table 1. Optimization results of cantilever beam under different methodsMethods t/s Vf/% FEA 486.6 38.94 PCE 6.7 35.96 对比图2 ~ 图4可知, DTO设计与RBTO设计的拓扑构型存在显著差异. RBTO设计相较于DTO设计具有更粗的分支、以及更为复杂的拓扑结构, 可有效抵抗不确定性因素对结构造成的影响, DTO设计与RBTO设计之间的差异说明了载荷不确定性对结构设计的影响是不可忽略的.
基于分析模型与基于PCE模型的RBTO设计的拓扑构型差异较小, 二者的最终体积分数也相近, 分别为38.94%和35.96%. 然而基于PCE模型的RBTO优化设计相较于基于分析模型的RBTO优化设计而言, 计算时间大幅缩短.
图5显示了基于PCE模型的RBTO设计方法的体积分数与失效概率的迭代历史. 可以看出, 本文方法迭代过程稳定, 体积分数与失效概率均实现了较快收敛.
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图 5 体积分数与失效概率的迭代历史Figure 5. Iterative history of volume fraction and failure probability4.2 L型梁
L型梁的设计域如图6所示, 左上端固支, 随机场载荷作用在距离右端55 mm范围内的右上端区域, 同时随机场载荷作用区域包含2 mm (2个单元)厚度的不可设计域(如图6阴影部分所示). 设计域由6400个四节点四边形单元离散. 柔度限值设置为0.11 J. 在 DTO框架下, 所施加的载荷设定为密度为${\text{4 N/m}}{{\text{m}}^2}$的均布载荷. 在RBTO设计中, 载荷建模为遵循正态分布的随机场, 相关长度${l_{\text{c}}} = 100{\text{ mm}}$, 其均值和标准差分别设定为4 N和0.2 N.
为了研究失效概率限值对优化结果的影响, 选取了3个不同的失效概率限值, 分别为0.001, 0.02以及0.15, 图7展示了DTO设计及3种不同失效概率限值下基于PCE模型获得的RBTO设计结果, 对应的体积分数分别为12.84%, 42.96%, 30.34%和19.65%. 对比优化结果可知, 结构的体积分数随着失效概率限值的降低而逐渐增加, 这意味着提高结构的可靠性水平需要更多的材料来抵抗不确定因素的影响.
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图 7 DTO设计及不同失效概率限值下RBTO设计Figure 7. DTO design and RBTO designs under different failure probability limits为了研究随机场载荷的标准差对优化结果的影响, 选取了3个不同的标准差, 分别为0.2, 0.3以及0.4 N, 此时载荷均值和失效概率限值分别设置为2 N和0.02, 载荷随机场相关长度${l_{\text{c}}} = 100{\text{ mm}}$. 图8显示了3个不同标准差下基于PCE模型获得的RBTO设计结果, 对应的体积分数分别为20.82%, 30.50%和50.96%. 对比优化结果可知, 随着标准差的增加, 体积分数也随之增加, 结构的拓扑构型变得更为复杂. 更大的标准差意味着更大的不确定性, 说明结构需要更多的材料来抵抗不确定因素的干扰.
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图 8 不同标准差下的L型梁RBTO结果Figure 8. RBTO results of L-shaped beam under different standard deviations4.3 简支梁
几何尺寸为$120{\text{ mm}} \times 60{\text{ mm}}$的简支梁设计域如图9所示, 结构的左下角完全固定, 右下角固定竖直方向的位移, 随机场载荷作用在上边界区域, 结构的上边界区域包含2 mm (2层单元)厚度的不可设计域(如图9阴影部分所示). 设计域由$120 \times 60$个四节点四边形单元离散. 失效概率限值设置为0.01. 在 DTO框架下, 所施加的载荷设定为密度为${\text{2}}{\text{.5 N/m}}{{\text{m}}^2}$的均布载荷. 在RBTO设计中, 载荷建模为遵循正态分布的随机场, 相关长度${l_{\text{c}}} = 100{\text{ mm}}$, 其均值和标准差分别设定为2.5 N和0.2 N.
为了研究柔度限值对优化结果的影响, 选取了3个不同的柔度限值, 分别为$2.5 \times {10^{ - 2}}$, $5.5 \times {10^{ - 2}}$以及$8.5 \times {10^{ - 2}}{\text{ J}}$. 图10展示了3种不同柔度限值下的DTO设计, 及基于PCE模型获得的RBTO设计结果. 表2显示了对应的体积分数.
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图 10 不同柔度限值下DTO及RBTO设计Figure 10. DTO and RBTO designs under different compliance limits表 2 不同柔度限值下简支梁的优化结果Table 2. Optimization results of simply supported beam under different compliance limits$ {{C}}^{\text{}\text{t}} $/J Method Vf/% $ \text{2}\text{.}\text{5}\text{ × }{\text{10}}^{{-2}} $ DTO 11.82 RBTO 45.98 $ \text{5}\text{.}\text{5}\text{ × }{\text{10}}^{{-2}} $ DTO 8.72 RBTO 22.15 $ \text{8}\text{.}\text{5}\text{ × }{\text{10}}^{{-2}} $ DTO 7.57 RBTO 17.39 分析优化结果可知, 随着柔度限值的减小, DTO设计和RBTO设计的结构的体积分数均逐渐增大, 意味着结构刚度也逐渐增大. 另外, DTO设计和RBTO设计之间拓扑也有明显差异, 说明考虑载荷随机场不确定性的必要性.
为了研究随机场载荷相关长度对优化结果的影响, 选取了3个不同的相关长度, 分别为60, 90以及120 mm, 此时柔度限值和失效概率限值分别设置为$3.0 \times {10^{ - 2}}{\text{ J}}$和0.01. 随机场载荷均值和标准差分别设置为2.5 N以及0.2 N. 图11显示了3个不同相关长度下基于PCE模型获得的RBTO设计结果, 对应的体积分数分别为34.21%, 36.29%和37.40%. 对比优化结果可知, 随着相关长度的增加, 体积分数也随之增加, 结构的分支更为粗大. 更大的相关长度意味着更大的不确定性, 这说明结构需要更多的材料来抵抗不确定因素的干扰.
4.4 三维悬臂梁
几何尺寸为$100{\text{ mm}} \times 50{\text{ mm}} \times 4{\text{ mm}}$悬臂梁结构的设计域如图12所示, 结构左端固定, 距离右端75 mm范围内$75{\text{ mm}} \times 4{\text{ mm}}$的底边区域(图12底边阴影部分)受随机场载荷作用, 设计域由$100 \times 50 \times 4$个四节点四边形单元离散. 柔度限值设置为0.1 J. 在RBTO设计中, 载荷建模为遵循正态分布的随机场, 相关长度${l_{\text{c}}} = 100{\text{ mm}}$, 其均值与标准差分别设定为1 N和0.1 N, 指定的失效概率限值$P_{\text{f}}^{\text{t}}$ = 0.005.
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图 12 三维悬臂梁结构示意图Figure 12. Schematic diagram of three-dimensional cantilever beam structure为了研究随机场载荷的均值对优化结果的影响, 选取了2个不同的均值, 分别为1 N和1.4 N. 图13展示了2种不同随机场载荷均值下的基于PCE模型获得的RBTO设计结果. 对应的体积分数分别26.90%和30.65%. 分析优化结果可知, 随着载荷均值的增大, 结构的体积分数逐渐增大.
5. 结论
本文提出了一种考虑随机场载荷不确定性的单循环RBTO方法, 利用K-L展开式描述随机场载荷的不确定性, 通过少量高精度FEA 样本, 构建PCE 代理模型, 使用MCS计算结构的失效概率, 在此基础上建立了失效概率约束下体积分数最小化的单循环RBTO模型. 4个数值算例验证了所提出方法的有效性和优越性.
(1)利用PCE代理模型替代传统的FEA分析, 大幅缩短了失效概率计算时间, 提高了优化效率.
(2)柔度限值和失效概率限值的降低, 以及随机场载荷均值、标准差与相关长度的增加, 均会导致结构最终体积分数的增加.
(3)不确定性因素增强时, 结构需要消耗更多的材料来抵抗不确定性因素的干扰以满足指定的可靠性要求.
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图 5 体积分数与失效概率的迭代历史
Figure 5. Iterative history of volume fraction and failure probability
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图 7 DTO设计及不同失效概率限值下RBTO设计
Figure 7. DTO design and RBTO designs under different failure probability limits
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图 8 不同标准差下的L型梁RBTO结果
Figure 8. RBTO results of L-shaped beam under different standard deviations
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图 10 不同柔度限值下DTO及RBTO设计
Figure 10. DTO and RBTO designs under different compliance limits
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图 12 三维悬臂梁结构示意图
Figure 12. Schematic diagram of three-dimensional cantilever beam structure
表 1 不同方法下悬臂梁的优化结果
Table 1 Optimization results of cantilever beam under different methods
Methods t/s Vf/% FEA 486.6 38.94 PCE 6.7 35.96 
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表 2 不同柔度限值下简支梁的优化结果
Table 2 Optimization results of simply supported beam under different compliance limits
$ {{C}}^{\text{}\text{t}} $/J Method Vf/% $ \text{2}\text{.}\text{5}\text{ × }{\text{10}}^{{-2}} $ DTO 11.82 RBTO 45.98 $ \text{5}\text{.}\text{5}\text{ × }{\text{10}}^{{-2}} $ DTO 8.72 RBTO 22.15 $ \text{8}\text{.}\text{5}\text{ × }{\text{10}}^{{-2}} $ DTO 7.57 RBTO 17.39
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