ON THE FLOW BIFURCATIONS OF LID-DRIVEN QUASI-HONEYCOMB CAVITY FLOW
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摘要: 流动分岔对于厘清流场物理特性意义非凡, 对于工程实际中遇到的流动问题分析和相关应用有着非常重要的指导意义. 作为流体力学中的经典问题, 腔体流动在很多重要领域都被广泛应用, 具备极高的研究价值. 对于腔体内流流动而言, 腔体几何构型对于流动分岔的类型和临界雷诺数影响较大. 针对目前国内外研究现状, 部分几何构型对于流动分岔的影响规律尚未明晰. 文章通过基于直角网格的LBM算法和流场稳定性分析理论, 针对类蜂窝构型的腔体内流开展数值模拟和流动现象机理分析研究, 揭示了类蜂窝结构对于内流流场流动分岔的影响机制. 对比之前的研究, 着重探究类蜂窝构型对于Hopf、Neimark-Sacker以及Turbulence-triggering流动分岔的影响以及该构型内流动演化模式和涡系发展特征, 从物理层面分析流动现象的形成机理. 研究结果表明, 虽然类蜂窝构型不会影响流动分岔的类型以及流场演化模式, 但是对于流动分岔的临界值影响较大. 可以有效推迟流动失稳和湍流出现, 极大地提升了内流流场的稳定性. 此外, 该流场内的涡系结构及演化规律异常稳定.Abstract: The study on flow bifurcations is of great significance in clarifying the physical characteristics of the flow field, and has important guiding significance for the analysis of flow problems encountered in engineering purposes and corresponding applications. As a classic problem in fluid mechanics, cavity flows have been widely applied in many important fields and has extremely high research values. For the flow inside the cavity, the geometric configuration of the cavity has a significant impact on the types and critical Reynolds numbers of flow bifurcations. Based on the literature review worldwide, the influence of certain geometric configurations on flow bifurcation is not yet clear. As a result, we conduct numerical simulations and flow mechanism analysis on the flow inside a cavity with a quasi-honeycomb structure through the LBM algorithm based on Cartesian grid and flow field stability analysis, revealing the influence of the quasi-honeycomb structure on the flow bifurcations of this internal flow. Compared with previous research, this study is focused on exploring the influence of quasi-honeycomb configuration on the Hopf, Neimark-Sacker, and Turbulence trigging flow bifurcations, as well as the flow evolution patterns and vortex development characteristics within this configuration. The mechanism of flow phenomena is analyzed from a physical perspective. The numerical results indicate that although the quasi-honeycomb configuration does not affect the type of flow bifurcations and the evolution patterns of the flow, it has a significant influence on the critical values of flow bifurcations. It can effectively delay the occurrence of flow instability and turbulence, greatly improving the stability of this internal flow. In addition, the vortex structure and evolution behavior within the flow field are exceptionally stable.
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Keywords:
- lid-driven cavity flow /
- quasi-honeycomb geometry /
- flow stability /
- LBM /
- flow bifurcations
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引 言
流动分岔是流体力学研究中普遍存在的物理现象. 流动分岔的出现会导致相应的流动特征变化, 决定了流场演化规律和物理特性. 根据非线性不稳定性分析理论[1], 流动分岔的出现往往会导致流动从最初的定常状态最终演化为湍流[2-5]. 研究表明无论是以绕流为代表的外部流动[6-10]还是以腔体为代表的内部流动[11-19], 其研究对象的几何外形对于流动分岔有着重大影响. 不仅可以改变流动分岔的类型和临界值, 还能改变流动所对应的流动状态, 从根本上决定了流动的物理特性, 因此对于深入了解流动本身有重要意义[20-21]. Deliceoğlu等[11]基于伽辽金有限元方法求解了Navier-Stokes方程组, 通过数值模拟结果讨论分析了L形腔体内定常状态下的不同流场拓扑结构和涡系演化规律. Gurcan[12]研究了不同纵深比条件下, 顶盖和底边反向驱动的矩形腔内部流动. 文章主要探究了定常流动的流场拓扑结构, 将流函数的解析解表示为Papkovich-Fadle特征函数的无穷级数形式, 用于揭示流场拓扑结构随纵深比变化的规律. Daube等[13]通过有限差分方法数值模拟转静腔内盘流的流动特性, 使用线性稳定性理论预测并捕捉了致使流动失稳的Hopf流动分岔. 他们认为该流场内, 非定常流动主要以准周期性流动和湍流为主, 未观察到流动滞后现象. Bilgil等[14]开展了S形腔体顶盖驱动内流的研究. 主要探究了定常状态下, 驱动速度比和纵深比对腔内流动拓扑结构的影响. 数值模拟结果显示, 在定常状态下流场拓扑结构具备非常明显的$ \text{π} $旋转对称性. Pichi等[15]通过使用基于神经网络的深度学习方法研究三角形腔体内部流动. 由于文章着力于新算法的构建和验证, 仅对定常状态下的流动特性做了简单分析. Gurcan等[16]在之前的研究基础[12]上探究了扇形腔内定常状态下涡系的产生机制和发展方式, 根据不同的涡结构预测了saddle-node流动分岔. 事实上除了基于数值模拟和理论分析的研究之外, 还有学者通过实验手段验证了腔体内部的流动分岔特性, 进一步完善了相关研究. Jana等[22]针对细长腔体内混合流动和多胞流动这两种复杂斯托克斯流动, 开展了结合实验和数值模拟的相关研究, 分析了流动分岔和流场对称性问题, 通过实验验证了绝热条件下存在流动混合区的可能性, 揭示了从绝热到非绝热行为的变化特性. Poncet等[23]基于流动显示技术分析了环形定-转子腔体的流场稳定性特性, 着重探究了非融合边界层流动中的两种流动不稳定性. Li等[24]结合流动可视化实验、理论分析和数值模拟研究了两个垂直连接且由相反浮力驱动的腔体流动分岔特性, 发现对于一定范围的发热/散热比, 存在两个稳定解.
腔体内部流动作为流体力学中的经典问题, 在传质传热[25]、发动机设计[26]、内埋式弹舱设计[27]、多孔介质[28]和渗流[29]等众多工业领域发挥着重要的应用价值和理论指导作用. 而腔体内部的流动分岔是其中的主要研究内容, 有助于揭示流动特性, 认识流动的物理本质. 虽然有关方腔内流的研究[30-32]已趋于完善, 但是针对一些特殊几何外形的腔体内流研究仍有不足, 尤其是对于流动分岔的类型、临界值以及对流动特性的影响等问题尚不明晰. 作者在之前的研究中已经系统性地探究了三角腔[17]、梯形腔[19]以及变深纵比矩形腔[33]内部的流动分岔、流场拓扑结构及涡系演化规律. 发现相较于方腔, 其内部的流动分岔发生了巨大的变化, 以至于流动本身的特性也随之改变. 研究表明腔体的几何构型对流动分岔的类型和临界值有着重大影响, 从根本上决定了腔体内部的流场演化模式和流动特性. 而这种由几何构型带来的影响并不一定遵循统一的影响规律. 因而之前针对方腔、梯形腔、三角腔和矩形腔的研究结论只能作为参考, 不能完全适用于尚未明晰的特殊几何构型, 比如本文所关心的类蜂窝构型(见图1). 类蜂窝构型继承了传统蜂窝构型的很多优点, 并在很多方面表现优异且其相关研究较为充足. 比如结构承载能力[34]、燃料电池性能[35]、高性能超级电容[36]、冲击特性[37]和传质传热[38]等. 但是针对类蜂窝构型腔体内部流动, 很多问题尚未明晰, 需要阐明, 例如腔内流动分岔类型与临界值、流场稳定性分析、流动滞后、流场演化模式和涡系结构特征等物理现象.
通过对比国内外研究现状, 使作者受益匪浅, 同时也看到了现有研究需要完善和补充的方面. 区别于已有的腔体内流研究[11-19], 发现目前的类似研究[11-16]基本都是针对定常流动状态下的流场拓扑结构演变, 对流动分岔只是做了初步的探索, 给予流场稳定性的讨论和分析较为缺乏. 同时, 针对本文类蜂窝结构的腔体基本没有与流动特性相关的研究. 因此, 本文以顶盖驱动的类蜂窝腔体为研究对象, 深入探究流动分岔问题, 通过预测其类型和临界值分析流场演化模式以及流场拓扑结构的发展方式, 同时探究湍流相关特性.
1. 数值模拟算法及控制方程
本文数值模拟工作以低雷诺数不可压缩流动为主($ Ma = 0.173\;2 $且$ Re \leqslant {{30\;0}}00 $). 数值模拟采用LBGK-D2Q9模型[39]. 平衡态分布函数定义如下
$$ f_\alpha ^{{\mathrm{eq}}} = {\omega _\alpha }\rho \left[ {1 + \frac{{{{\boldsymbol{e}}_\alpha } \cdot {\boldsymbol{u}}}}{{c_s^2}} + \frac{{{{\left( {{{\boldsymbol{e}}_\alpha } \cdot {\boldsymbol{u}}} \right)}^2}}}{{2c_s^4}} - \frac{{{{\boldsymbol{u}}^2}}}{{2c_s^2}}} \right] $$ (1) 其中, $ {\omega _\alpha } $是离散速度模型的权系数; $ {{\boldsymbol{e}}_\alpha } $是离散速度矢量, 构造如下
$$ \left.\begin{split} & {{\boldsymbol{e}}_\alpha } = c\left[ \begin{gathered} 0,1,0, - 1,0,1, - 1, - 1,1 \\ 0,0,1,0, - 1,1,1, - 1, - 1 \\ \end{gathered} \right] \\ & {{{c}}_s} = \frac{c}{{\sqrt 3 }},\quad {\omega _\alpha } = \left\{ \begin{gathered} {4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 9}} \right. } 9},\quad {\boldsymbol{e}}_\alpha ^2 = 0 \\ {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 9}} \right. } 9},\quad {\boldsymbol{e}}_\alpha ^2 = {c^2} \\ {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {36}}} \right. } {36}},\quad {\boldsymbol{e}}_\alpha ^2 = 2{c^2} \\ \end{gathered} \right. \\ & \alpha = 0,1,2,\cdots ,8 \end{split} \right\}$$ (2) 而$ c = {{\Delta x} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta x} {\Delta t}}} \right. } {\Delta t}} = 1 $为格子速度; $ {{{c}}_s} $为格子声速; $ \Delta x $为网格步长; $ \Delta t $为时间步长.
下式定义了LBGK模型中碰撞迁移理论的控制方程, 其中, $ {\boldsymbol{r}} $为空间向量; $ \xi $为单组分气体分子速度矢量; $ \tau $ 为松弛时间; $ {f_\alpha } $和$ f_\alpha ^{{\mathrm{eq}}} $分别为分布函数和平衡态分布函数
$$ {f_\alpha }({\boldsymbol{r}} + {{\boldsymbol{e}}_\alpha }\Delta t,t + \Delta t) - {f_\alpha }({\boldsymbol{r}},t) \frac{1}{\tau }\left[ {f_\alpha ^{{\mathrm{eq}}}({\boldsymbol{r}},\xi ) - {f_\alpha }({\boldsymbol{r}},\xi ,t)} \right] $$ (3) 流场速度和密度的计算公式如下
$$\left.\begin{split} & \rho = \sum\limits_\alpha {{f_\alpha }} \\ & \rho {\boldsymbol{u}} = \sum\limits_\alpha {{{\boldsymbol{e}}_\alpha }{f_\alpha }}\end{split}\right\} $$ (4) 2. 问题描述及边界条件
2.1 计算域构建及参数设计
本文数值模拟采用了均匀直角网格, 网格步长为$ {{\Delta x = \Delta y = {\text{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta x = \Delta y = {\text{1}}} {{\text{1024}}}}} \right. } {{\text{1024}}}} $. 其选取借鉴了作者之前研究工作[17-19, 33, 40]中的网格独立性验证. 基于此网格尺度, 发现当$ Re \leqslant {\text{3}}0\;000 $时能够保证$ {y^ + } \lt {\text{1}}{\text{.0}} $, 数值模拟结果可信且能够捕捉边界层附近的流场信息. 如图1所示, 展示了类蜂窝构型腔体的计算域和驱动条件.
点$ {P_1}(x = 0.25,\;y = 0.5) $作为观测点记录了腔体中心速度时间曲线, 用于预测流动分岔类型和临界值. 顶盖和底边的速度和密度构造如下
$$ \left.\begin{split} & {u_x} = {U_{{\mathrm{lid}}}},\quad {u_y} = 0,\quad \frac{{\partial \rho }}{{\partial y}} = 0 \;\;({\mathrm{lid}}) \\ & {\boldsymbol{u}} = {\boldsymbol{0}},\quad \frac{{\partial \rho }}{{\partial {\boldsymbol{n}}}} = {\boldsymbol{0}}\;\;({\mathrm{walls}}) \end{split}\right\} $$ (5) 斜边的速度和密度构造如下
$$ {\boldsymbol{u}} = {\boldsymbol{0}},\quad \rho = 0.5({\rho _{\text{h}}} + {\rho _{\mathrm{v}}}) $$ (6) 其中$ {u_x} $和$ {u_y} $分别为横和纵向的速度分量; $ {\boldsymbol{u}} $和$ \rho $分别为边界点的速度矢量和密度; $ {\boldsymbol{n}} $为物面法向方向; $ {\rho _{\text{h}}} $和$ {\rho _{\text{v}}} $分别为边界点横和纵向临近流体点.
2.2 边界条件
如图1所示, 本文涉及的边界为平直边界(腔体顶盖及底边)和斜直边界(腔体4条斜边). 其中顶盖为驱动边界, 其余各边均为物面边界.
2.2.1 平直边界条件处理
如图2所示点A, B和C为平直物面边界点, D点为流体节点. 根据格子玻尔兹曼方法中LBGK计算模型[41]的碰撞迁移原理, 控制方程演化需要计算各离散点的分布函数$ {f_\alpha } $, 而本文除边界点外的所有点的分布函数都可以通过控制方程的演化而求解.
因此, 对于边界点的分布函数需要在每次演化之前单独处理. 结合作者之前的研究经验, 本文继续使用非平衡态外推格式[42], 将边界点上的分布函数分为平衡态和非平衡态两部分. 以B点为例, 其分布函数表示如下
$$ {f_\alpha }(B,t) = f_\alpha ^{{\mathrm{eq}}}(B,t) + f_\alpha ^{{\mathrm{neq}}}(B,t) $$ (7) 该点的平衡态分布函数$ f_\alpha ^{{\mathrm{eq}}}(B,t) $可用该点的宏观物理量来构造(见式(1)), 如果该点的宏观物理量未知, 则由D点的相应值代替. 而非平衡态分布函数则由D点的非平衡态分布函数来近似代替
$$ f_\alpha ^{{\mathrm{neq}}}(B,t) = {f_\alpha }(D,t) - f_\alpha ^{{\mathrm{eq}}}(D,t) $$ (8) 因此, B点的分布函数可以近似得到
$$ {f_\alpha }(B,t) = f_\alpha ^{{\mathrm{eq}}}(B,t) + {f_\alpha }(D,t) - f_\alpha ^{{\mathrm{eq}}}(D,t) $$ (9) 综上, 就可以构造平直物面边界点的分布函数.
2.2.2 斜直边界条件处理
如图3所示点A, B和C为斜直物面边界点, D点和E点为流体节点. 以B点为例, 其分布函数如式(7)所示. 该点的平衡态分布函数$ f_\alpha ^{{\mathrm{eq}}}(B,t) $可用该点的宏观物理量来构造(见式(6)). 而非平衡态分布函数则由D点和E点的非平衡态分布函数来近似代替
$$ f_\alpha ^{{\mathrm{neq}}}(B,t) = {\text{0}}{\text{.5}}\left[{f_\alpha }(D,t) - f_\alpha ^{{\mathrm{eq}}}(D,t) {\text{ + }}{f_\alpha }({{E}},t) - f_\alpha ^{{\mathrm{eq}}}(E,t) \right] $$ (10) 3. 计算结果与分析讨论
由于本文所使用的数值模拟算法和网格分布策略已经在之前的众多研究工作[17-19, 33, 43]得到了多次的验证. 计算结果表明目前的计算模型和网格能够为本文的研究内容提供可信的数值模拟结果, 因此本文不再赘述.
3.1 Hopf流动分岔
由流动演化的基本规律可知, 随着雷诺数的不断增加, 流动会逐渐由定常状态演化为湍流. 随着各种流动分岔的出现, 流动状态及特性也随之发生变化. 本文类蜂窝结构腔体流场稳定性的初次破坏是由Hopf流动分岔诱发的.
由于本文主要关心第一Hopf流动分岔, 因此瞬态流场$ [{\boldsymbol{u}}(t),p(t)] $可以表征为定常流动$ (\bar {\boldsymbol{U}},\bar P) $与扰动场$ [{\boldsymbol{u}}'(t),p'(t)] $之和, 如下式所示
$$ [{\boldsymbol{u}}(t),p(t)] = [{\boldsymbol{u}}'(t),p'(t)] + (\bar {\boldsymbol{U}},\bar P) $$ (11) 以中心点横向速度分量为例, 扰动场又可以简化为如下形式
$$ {u'_x}(t) = {\tilde u_{x,1}}{{\mathrm{e}}^{{\lambda _1}t}} + {\mathrm{c.c.}} $$ (12) 其中, $ {\tilde u_x} $为特征模态, 而$ \lambda $则表示特征模态对应的特征值, $ {\lambda _1} = \lambda _1^{\mathrm{r}} \pm {\mathrm{i}}\lambda _1^{\mathrm{i}} $ 为主导特征值, 也称最大Lyapunov指数, $ \lambda _1^{\mathrm{r}} $和$ \lambda _1^{\mathrm{i}} $分别为实数和虚数部, $ {\mathrm{c.c.}} $代指复共轭部分. 而对于定常流动, 所有的特征值的实数部(Lyapunov指数)都是负值, 因此当t趋于无穷时, 扰动会衰减为0.
如图4所示, 展示了最大Lyapunov指数随时间变化曲线的线性段. 结果显示, 随着雷诺数的逐渐增加, 线性段的斜率不断增大, 坡度逐渐减小并变得平缓, 说明主导特征值逐渐趋于0. 印证了流动演化的一般规律: 随着雷诺数的增加, 流动出现失稳现象, 从定常流动演化为非定常状态. 当斜率变为0时(图中雷诺数为
13900 的结果), 说明此时的流动已变为非定常周期性流动. 以上研究表明Hopf流动分岔的临界值介于13850 和13900 之间.通过进一步研究, 发现在Hopf流动分岔处没有出现流动滞后现象, 即选取一个周期性解, 以其作为初始条件逐渐将低雷诺数至Hopf流动分岔附近, 发现计算结果与图5中黑色点线代表的定常解一致, 这一结论与经典方腔顶盖驱动以及大多数之前研究的腔体内流结论一致, 流场稳定性最初的破坏始自超临界型的Hopf流动分岔. 图5展示了不同雷诺数对应的横向速度分量, 黑色直线和实心圆符号代表了定常状态的收敛值. 黑色虚线表示非定常周期性流动的速度平均值. $ \Delta $代表非定常周期性流动的速度振幅(最大值). 红色曲线代表了二次拟合曲线及近似得到的Hopf流动分岔的临界值$ R{e^{\text{H}}} \approx 1{\text{3 888}}{\text{.3}} $, 与图4和图6的计算结果完全一致.
3.2 定常状态流场拓扑结构
图7所示为定常状态下不同雷诺数的流场拓扑结构(流函数和涡量图). 结果显示流函数图(红、白和黑实线)和涡量图(背景云图)展示了完全一致的流场信息. 图中, 黑色实线代表了负值流函数; 白色实线代表了正值流函数; 红色粗实线代表了零值流函数. 对比方腔内流的流场拓扑结构, 发现了类似的现象, 整个计算域被一个巨大的中心主涡所占据. 在两侧和底边夹角附近存在一系列次级涡和细碎涡(见图7(b)蓝色方框), 出现了典型的Moffat效应[43]. 观察发现, 随着雷诺数的增大, 流场拓扑结构基本保持一致, 说明类蜂窝结构腔体的内流异常稳定. 从Hopf流动分岔的临界值也可以看出端倪, 其值
13888.3 远大于方腔、三角腔、以及部分矩形腔和梯形腔的Hopf流动分岔临界值($ 7000 < R{e^{\mathrm{H}}} < 9000 $)[17-19, 33, 40]. 此外, 顶盖左端附近始终存在一个稳定的次级涡(见图7(b)绿色方框), 这与塔状-梯形腔[19]的研究结果非常一致. 作者认为, 一方面是由于夹角处的Moffat效应[43], 会出现类似的次级涡, 另一方面由于类蜂窝结构的几何特征导致附近区域有足够大的空间保证涡的发展相对较为平缓, 流场没有剧烈变化, 所以附近区域的速度梯度较小, 对附近区域的涡结构破坏较弱, 才能使得该次级涡能够长久稳定存在. 观察经典方腔顶盖驱动内流的流场拓扑结构, 由于底角附近的几何构型使得附近流场的速度梯度较大, 带来强烈的涡流并伴随雷诺数的增加逐渐被挤压、拉伸直至破碎分裂, 流场逐渐失稳. 而对于本文的类蜂窝结构, 由于底角为钝角导致该区域速度梯度较小, 次级涡对抗挤压和破碎的能力较强, 从而提升流场的稳定性.3.3 非定常周期性流动
通常情况下流动演化一般遵循经典的Ruelle-Takens模式[44-45](如经典方腔内流), 随着雷诺数的持续增加, 在经历Hopf流动分岔后流场稳定性将首次被破坏, 由最初的定常变为非定常周期性流动. 随后经历Neimark-Sacker流动分岔后, 流动变为准周期性流动, 随后再演化为湍流. 图8描述了周期性流动($ Re = 15\;000 $)一个完整周期内不同时刻的流场拓扑结构, 细节化地展示了涡结构的演化规律. 结合图8, 可以看出腔体内除了左侧尖角附近有明显的涡结构变化, 其他区域内流动均保持了非常稳定的拓扑结构. 可以观察到流动稳定性的破坏由出现在左下侧斜边处的细碎涡引起, 随着流场进一步演化, 这一细碎涡逐渐生长增大并向左侧尖角处的原有次级涡移动和挤压并最终融合, 重新形成一个次级涡.
图9展示了相应雷诺数的速度随时间的变化曲线$ {u_x} $、速度频谱$ (f,{\hat u_x}) $和速度相图$ ({u_x},{u_y}) $. 通过速度时间曲线可见, 速度分量在经历了初期的无规则振荡之后呈现出典型的周期性特性, 振荡频率为$ f = 0.433 $, 速度频谱图中匀整的频峰($ Re = 15\;000 $)和速度相图中的单一闭合曲线进一步证实了这一结论.
3.4 Neimark-Sacker流动分岔
随着雷诺数的进一步增加, 流动出现了第二次失稳, 由非定常周期性流动演化为非定常准周期性流动, 这一现象与其他几何外形的腔体结论一致. 如图10所示, 当雷诺数小于
18250 时, 从速度频谱图可以观察到仅有一个代表周期性震荡的单一频率$ f $, 其他频峰均为这一频率的整数倍, 同时速度相图也呈现出一条单一的闭合曲线, 这些特征都说明此时依然为周期性流动. 而当雷诺数等于18250 时, 出现了准周期性流动的经典特征, 双频率$ {f_{\text{1}}} = 0.43 $和$ {f_{\text{2}}} = 0.{\text{11}} $, 而其他频峰则为这两个频率的线性组合. 其中$ {f_{\text{1}}} $是从周期性流动继承的主频率, $ {f_{\text{2}}} $为调制频率. 而速度相图由原来的单一闭合曲线变成了多簇闭合曲线(蓝色曲线族). 说明此时的流动已然演化为非定常准周期性流动. Neimark-Sacker流动分岔的临界值约为$ R{e^{{\mathrm{NS}}}} = 18\;225 \pm 25 $. 对比之前的研究, 这一数值远大于三角腔$ R{e^{{\mathrm{NS}}}} = {\text{8564}}{\text{.8}} $, 方腔$ R{e^{{\mathrm{NS}}}} \approx {\text{13 575}} $, 不同纵深比矩形腔$ R{e^{{\mathrm{NS}}}} = 6000 \sim 7000 $以及不同纵深比梯形腔$ R{e^{{\mathrm{NS}}}} = {\text{8}}000 \sim {\text{9}}000 $. 说明类蜂窝结构的腔体内流极其稳定不容易失稳.![]()
图 10 周期性流动的速度相图和速度频谱Figure 10. Phase map and velocity spectrum of a periodic solution3.5 Turbulence-triggering流动分岔
当雷诺数继续增加, 如图11所示增至
19000 时, 流动演化为湍流状态. 虽然可以从速度频谱图观察到代表准周期性流动的两个振荡频率$ {f_{\text{1}}} $和$ {f_{\text{2}}} $, 但是整个速度频谱图已被宽带噪音占据, 此时流动已然变为湍流. 这一结论从速度相图也得到了更为直观的印证, 对比准周期性流动的闭合曲线族(红色), 此时的速度相图已变的无序混乱(黑色曲线).![]()
图 11 周期性流动的速度相图和速度频谱Figure 11. Phase map and velocity spectrum of a periodic solution由图中的计算结果可知, 湍流始现的临界雷诺数大约为$ R{e^{{\mathrm{TT}}}} = 18\;950 \pm {\text{50}} $. 同样地, 这一数值也是远大于其他几何外形的腔体[17-19, 33, 40]. 进一步说明, 类蜂窝结构在推迟湍流出现方面表现优异. 甚至于当雷诺数进一步增大到
20000 时, 对于其他几何外形的腔体而言, 流动已经演化为全湍流状态, 主涡结构已被严重破坏, 取而代之的是众多作无序运动的细碎涡. 而观察图12可以发现, 此时的类蜂窝构型腔体, 其内部的中心主涡和位于底边的次级附着涡依然存在, 且相较于定常结果没有发生剧烈变化. 说明此时虽然流动已变为湍流, 但内部的流场拓扑结构依然稳定, 进一步说明类蜂窝结构对于保持流场稳定性有着重要作用.![]()
图 12 某一时刻的湍流流场拓扑结构($ Re = {\text{20 }}000 $)Figure 12. A flow topology snapshot of turbulence ($ Re = {\text{20 }}000 $)4. 结 论
本文针对类蜂窝构型的顶盖驱动腔体内流, 通过数值模拟及分析研究, 揭示几何构型对流动分岔的流场拓扑结构的影响, 计算结果表明.
(1) 流场稳定性最初的破坏是以Hopf流动分岔点的出现而开始, 这与其他几何构型的腔体内流结论一致. 说明几何外形对于流场稳定性初次破坏时的流动分岔类型基本没有影响. 本文类蜂窝构型的腔体Hopf流动分岔为超临界型, 与经典方腔的结论一致.
(2) 本文几何构型对于流动的演化模式没有影响, 流动遵循了经典的Ruelle-Takens模式, 从定常演化至非定常周期性流动, 再演化为非定常准周期性流动, 最终演化为湍流.
(3) 相较于其他几何形状的腔体, 类蜂窝构型对于Hopf, Neimark-Sacker以及Turbulence-triggering流动分岔的临界雷诺数影响较大, 大幅提升了各流动分岔的临界值, 有效推迟了流场失稳及湍流的出现.
(4) 得益于腔体外形的特殊性, 使得流场拓扑结构异常稳定, 流场次级涡的变形破碎程度远小于其他几何外形的腔体, 涡系演化模式相对简单. 即便在雷诺数为
20000 时(其他外形腔体已出现全湍流情形, 主涡结构已被破坏), 流场主涡和底边两个次级附着涡依然完整, 未出现大规模无序的细碎涡. 此外, 通过数值模拟研究在各流动分岔处均未发现流动滞后现象. -
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图 10 周期性流动的速度相图和速度频谱
Figure 10. Phase map and velocity spectrum of a periodic solution
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图 11 周期性流动的速度相图和速度频谱
Figure 11. Phase map and velocity spectrum of a periodic solution
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