ELECTROTHERMAL INSTABILITY MECHANISM AND ELASTOPLASTIC ANALYSIS OF COMPOSITE SUPERCONDUCTING COILS
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摘要: 高温超导磁体通常是由复合超导带材绕制而成的线圈组合成的系统. 实际运行中线圈可能因局部热源、局部退化及过载流运行等因素而发生失超, 整体结构在热应力和电磁力作用下出现弹塑性变形甚至局部破损现象. 由于局部失超的随机性和多原因触发特性、复合带材组分过多且宽厚比过大、线圈内电磁-热-力耦合和非线性特性, 这些都为精准预测复合超导线圈的电热失稳与力学变形带来了极大困难. 已有的数值研究大多通过对局部失超区域精细化建模而剩余区域均匀化处理来降低自由度, 无法处理随机失超情形且无法给出失超传播区域各材料层的力学信息. 文章在磁场-磁标势方程、热传导方程和弹塑性力学方程基础上, 结合非线性幂律模型和非线性应力-应变关系, 发展了一套高效准确的超导磁体电磁-热-力耦合行为分析方法. 该方法采用磁场方程来模拟超导层、铜层、银层和哈氏合金层等导电区域的电磁行为, 而采用磁标势方程来模拟绝缘层和周围液氮等非导电区域的电磁行为, 通过切口法并引入磁标势的不连续性, 使得非导电区域从多连通变成单连通并遵守安培定律, 其计算速度可以比当前主流的磁场法快近4倍. 在复合超导盘形线圈的多场耦合分析中, 采用该方法详细讨论了局部热源、局部退化及过载流运行等多因素下整体线圈结构的失超传播机理与各材料层的弹塑性演化规律.Abstract: High temperature superconducting magnet system is typically composed of coils wound from composite superconducting tapes. In actual operation, the quench may occur in coils resulting from the local heat source, local degradation, overcurrent and other factors, and the whole structure may undergo elastoplastic deformation or even local damage under action of thermal stress and electromagnetic force. Due to the randomness and multi-factor triggering characteristics of local quench, the large aspect ratio for composite tapes with excessive compositions, and the electromagnetic-thermal-mechanical coupling and nonlinear characteristics, it is very difficult to accurately predict the electrothermal instability and mechanical behavior of composite superconducting coils. Most existing numerical studies reduce degrees of freedom by finely discretizing the local quench region and homogenizing the remaining region, which cannot handle random quench situations and provide mechanical information for each material layer in the quench propagation region. Based on the magnetic field-magnetic scalar potential equation, heat conduction equation, and elastoplastic mechanical equation, this paper develops an efficient and accurate analysis method for the electromagnetic-thermal-mechanical coupling behavior of superconducting magnets by combining the nonlinear power-law model and nonlinear stress-strain relationship. This method uses magnetic field equation to simulate the electromagnetic behavior of conductive regions such as superconducting layers, copper layers, silver layers, and Hastelloy layers, while magnetic scalar potential equation is used to simulate the electromagnetic behavior of non-conductive regions such as insulation layers and surrounding liquid nitrogen. By adopting a thin-cut method and introducing the discontinuity for magnetic scalar potential, the non-conductive region can be transformed from multiply connected to simply connected to obey Ampere’s law. Its calculation speed can be nearly 4 times faster than the current mainstream magnetic field method. In the multi-field coupling analysis of superconducting pancake coil, this method is used to discuss in detail the quench mechanism of the coil structure and the elastoplastic evolution of each material layer under multiple factors such as the local heat source, local degradation, and overcurrent process.
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引 言
自从超导现象发现以来, 超导材料的载流无阻性和完全抗磁性引起了高场磁体研究人员的注意. 由于低温超导体NbTi和Nb3Sn等在高场下载流能力会急剧下降, 现今只有高温超导体能在强磁场下仍有非常大的载流能力, 实现无焦耳损耗, 降低高场磁体的能耗和制冷需求. 高温超导磁体能将磁场从低温超导23.5 T左右的极限延伸到30 T以上. 目前世界上各个强磁场实验室均在积极开发以高温超导磁体技术为核心的高场磁体[1-3]. 高场磁体通常是由钇系YBCO高温超导带材绕制而成的饼式线圈组合成的磁体系统, 其中YBCO带材是一个典型的多层复合结构, 包括哈氏合金基底层、缓冲层、超导层、银覆盖层和铜稳定层等[4]. 稳定性是限制高温超导磁体发展的一个关键问题, 现今还没有得到一致认可的解决方法. 高温超导磁体的稳定性威胁主要是指磁体在运行过程中突然退出超导态, 使得系统运行中断. 超导失超是一个多场环境下多因素相互作用导致的稳定性问题, 线圈在磁体运行过程不可避免地受到电磁力作用, 导致带材中出现局部弹塑性并致使临界电流发生退化, 进而引起线圈局部电流和磁场变化以及交流损耗, 并以焦耳热的形式释放. 在电磁场、温度场以及应变场耦合作用下线圈极易因电热失稳而诱发局部失超, 严重情况下将造成系统发生猝熄甚至烧毁现象[5-7]. 因此, 研究高温超导线圈的电热失稳机理与弹塑性行为对提高高温超导磁体安全稳定性有着重要的理论研究意义和工程应用价值.
作为高温超导磁体中的基础构件, YBCO带材的电热稳定性以及力学特性得到了普遍研究. 已有研究表明, YBCO带材的失超行为伴随着急剧的局部温度上升和带材性能退化, 其与环境温度、制冷方式、传输电流、外磁场环境、带材各材料组分层的物理属性和几何尺寸等因素相关[8-10]. 失超造成带材性能退化机制的相关实验研究中发现, 带材内事先存在的缺陷是造成退化的根源. 在带材边缘处的缺陷将导致银覆盖层脱离, 使得超导层出现树枝状的磁通崩塌效应并发热, 并进一步引发银层融化脱离乃至局部失超[11]. 目前学者们主要通过外加热源引起局部失超的方式, 开展了大量理论和数值工作来讨论超导带材的最小失超能和失超传播速度等重要参量[12-16]. 然而, 由于带材和线圈的结构差异性, 这些工作仅能为实际线圈的失超表征提供粗略的参考. 对于实际线圈结构, YBCO超导层的传输电流在失超过程中会通过银覆盖层和缓冲层转移到铜稳定层和哈氏合金基底层, 失超可能沿径向和环向方向同时传播. 为了能够准确模拟超导线圈的失超行为, 学者们将麦克斯韦方程组表示成不同的状态变量形式, 对实际线圈结构开展了有限元精细化建模[17-21]. Niu等[20]选取超导线圈及其周围足够大的空气域为计算区域, 忽略银层和缓冲层的影响, 基于磁场强度${\boldsymbol{H}}$方程和热传导方程, 建立了二维轴对称超导线圈的电热耦合模型, 分析了局部热源触发下线圈结构的失超传播特性以及电磁力与热应力共同作用下的弹塑性变形规律. Huang等[21]基于毕奥-萨伐尔定律和磁场叠加原理, 通过适当的边界条件将计算区域从足够大的空气域缩小到线圈结构域附近, 提出了改进的${\boldsymbol{H}}$法来减小线圈电磁场求解的自由度, 分析了二维轴对称超导线圈的局部热源或缺陷引起的失超和弹性变形. 尽管这些方法可以准确模拟失超演化, 但是在空气域使用磁场矢量相关的变量会导致不必要的长计算时间.
由于复合超导带材具有多组分、多层特征, 且各组分层宽厚比极大, 精细化建模引入的大量自由度会产生计算负载过大且效率过低等问题. 为了解决这些问题, 大量学者通过对可能发生失超的区域进行精细化建模, 而剩余区域进行均匀化处理来降低模型的自由度[22-30]. Chan等[28]将厚度较小的YBCO超导层简化为二维模型, 厚度较大的基底层、铜层处理为三维模型, 建立了超导线圈三维/二维混合模型来分析失超传播特性, 在保证精度的基础上有效减小了计算量, 相关结果可为线圈制备及失超保护设计提供一定的理论指导. Zhou等[29]将带材内不同材料层等效为一层, 数值分析了三维超导线圈的绕制预应力, 降温过程中的热应力, 以及通电时的电磁力对线圈的影响, 并采用细化模型得到了带材层状结构中各层的应力分布. Badel等[30]将电流传输问题一维处理, 而热传导问题二维处理, 引入了自适应时间步进方法, 提出了超导线圈一维/二维瞬态电热混合模型, 高效分析了线圈失超过程中能量耗散区域的形成与传播机理. 近期, 部分学者将超导带材假设为只含有超导层的薄壳结构, 而求解域简化为超导域和非超导域, 提出了高效的电流矢势${\boldsymbol{T}}$法来处理螺旋状超导线圈的失超问题[31-33]. 尽管这些模型能够简化计算复杂性并预测线圈的失超行为, 但是存在的弊端也是显而易见的, 即均匀化技术无法分离出带材内各层之间的力学特性, 也无法处理更复杂的随机失超情形. 作为一种由多组分材料制备而成的多层复合结构, 超导线圈内局部失超的发生往往具有随机性和多原因触发特性, 且其在电磁力和热应力作用下, 各材料层的应力状态差异显著, 尤其超导层的超导特性与应力状态紧密相关.
本文在磁场${\boldsymbol{H}}$-磁标势$\phi$方程、热传导方程和弹塑性力学方程基础上, 提出了一种高保真且高效率的多场耦合分析方法, 用来准确分析复合超导线圈的多因素失超机理与各材料组分层的力学行为. 通过在导电区域以磁场矢量为求解变量, 而在非导电区域以磁标势为求解变量, 采用切口法并引入磁标势的不连续性来保证非导电域遵守安培定律. 在网格数量相同且满足精度要求的前提下, 本文提出的${\boldsymbol{H}}$-$\phi$法计算速度可比当前主流的${\boldsymbol{H}}$法快近4倍. 最后基于提出的高保真、高效率方法, 详细分析了典型复合超导盘形线圈在局部热源、局部退化及过载流运行等多因素下的失超传播机理与各材料组分层的弹塑性演化规律.
1. 理论和模型
复合高温超导线圈通常由YBCO高温超导带材和Kapton绝缘层盘形交替绕制而成. YBCO带材是一个典型的多层复合结构, 包含2层铜(copper或Cu)稳定层、1层银(silver或Ag)覆盖层、1层YBCO超导层和1层哈氏合金(Hastelloy)基底层, 且超导带材之间被绝缘层所分隔开. 为了简化几何结构, 线圈被视为一系列同心圆环, 且每匝中传输电流${I_t}$相等. 如图1(a)所示, 选择实验室某一代表性的复合高温超导线圈[19], 其匝数、内径和轴向高度分别为40、59和4 mm. 超导带材内铜层、银层、YBCO层、哈氏合金层和Kapton绝缘层的厚度分别为20, 2, 1, 50和59 ${\text{μm}}$. 以线圈中心为坐标原点并建立柱坐标系, 其中$r$, $\varphi $和$z$分别表示径向、环向和轴向坐标.
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图 1 复合超导线圈的材料组分层排列和计算区域Figure 1. Arrangement of material composition layers and computational domain for composite superconducting coil1.1 复合高温超导线圈的电磁热力耦合模型
当超导磁体稳定运行时, 复合高温超导线圈内所有超导带材都携带着大小相等、方向相同的传输电流${I_t}$并产生磁场. 尽管当前主流的${\boldsymbol{H}}$法在模拟超导线圈的电磁行为方面具有优势, 但在非导电区域使用矢量相关的变量会导致不必要的计算量增加. 为了避免在超导线圈模拟中遇到这一问题, 本文在Arsenault等[34]的工作基础上, 发展了一套高保真且高效率的电磁热力耦合分析方法.
对于含铜层、银层、YBCO层和哈氏合金层的超导带材导电区域, 其电磁行为可以由以磁场矢量${\boldsymbol{H}}$为状态变量的控制方程决定
$$ \nabla \times \left( {\rho \nabla \times {\boldsymbol{H}}} \right) = - {\mu _0}\frac{{\partial {\boldsymbol{H}}}}{{\partial t}} $$ (1) 式中, ${\mu _0}$是磁导率, $\rho $是材料电阻率.
对于绝缘层和线圈周围的液氮等非导电区域, 其电流密度始终为零. 根据安培定理$\nabla \times {\boldsymbol{H}} = {\boldsymbol{0}}$和高斯定理$\nabla \cdot {\boldsymbol{B}} = 0$, 结合关系式${\boldsymbol{B = }}{\mu _0}{\boldsymbol{H}}$和定义式${\boldsymbol{H}} = - \nabla \phi $, 非导电区域的电磁行为可以由以磁标势$\phi $为状态变量的控制方程决定
$$ \nabla \cdot \nabla \phi = 0 $$ (2) 为了确保磁场在导电区域和非导电区域的公共边界上连续, 需要施加磁场分量约束条件
$$ - \partial \phi /\partial r = {H_r},{\text{ }} - \partial \phi /\partial z = {H_z} $$ (3) 根据麦克斯韦电磁理论, 当采用磁标势分析电磁场时, 其需要满足安培定律, 即使用$\phi $模拟的计算域必须为单连通域. 考虑到超导线圈内超导带材携带着传输电流, 所有导线被绝缘层和液氮分割开来, 导电区域与非导电区域彼此隔离形成了一个复杂的多连通区域. 在此情形下, 非导电区域内任一闭合线可能会包含净电流, 安培定律自然不能满足, 这导致$\phi $具有多值性而无法唯一地求解. 为了解决这一问题, 这里在线圈下端的非导电区域中引入一个薄切口$d$(青色线), 使绝缘层和液氮成为一个单连通区域. 对于任一穿过超导带材之间的封闭回路$C$, 安培定律可依据梯度定理表示为[34]
$$ \oint_C {{\boldsymbol{H}} \cdot {\mathrm{d}}{\boldsymbol{L}}} = - \oint_C {\nabla \phi \cdot {\mathrm{d}}{\boldsymbol{L}}} = \phi \left( {{d^ - }} \right) - \phi \left( {{d^ + }} \right) = {\left[ \phi \right]_d} $$ (4) 其中$\phi \left( {{d^ - }} \right)$和$\phi \left( {{d^ + }} \right)$为切口上下边缘的磁标势值, 记号${\left[ \phi \right]_d}$代表磁标势$\phi $在切口$d$上的不连续性. 在切口上下边缘设置合适的$\phi \left( {{d^ - }} \right)$和$\phi \left( {{d^ + }} \right)$值, 使得${\left[ \phi \right]_d}$的值刚好等于回路$C$内传输电流之和, 这样磁标势$\phi $在任何闭合回路自然都遵循安培定律. 如图1(b)所示, 切口$d$的不连续性设置主要在相邻超导带材之间. 线圈右侧最外层的超导带材通过切口与液氮边界相连, 因此该切口必须具有不连续性$40{I_t}$. 相邻的切口则必须具有不连续性$39{I_t}$, 以此类推, 直到每个带材的电流都为与其相关切口的不连续性做出贡献. 需要注意的是, 本文切口$d$的不连续性设置方案(见图1(b))并不是唯一的. 只要磁标势$\phi $的取值满足式(4)且在足够大空气域边界为零, 采用${\boldsymbol{H}}$-$\phi$法可得到唯一的电磁场分布.
超导线圈内组分材料的电阻率通常是与温度相关的, 特别地, YBCO层的电阻率可以表示为
$$ \rho = \left\{ \begin{aligned} & \frac{{{\rho _s} \cdot {\rho _{{\text{norm}}}}}}{{{\rho _s} + {\rho _{{\text{norm}}}}}},\quad T < {T_c} \\ & {\rho _{{\text{norm}}}},\quad T \geqslant {T_c}\end{aligned} \right. $$ (5) 式中, $T$是局部温度, ${T_c}$是临界温度, ${\rho _{{\mathrm{norm}}}} = 3.0 \times {10^{ - 6}}{\text{ }}\Omega \cdot{{\mathrm{m}}} $和${\rho _s}$分别代表正常和超导状态下的YBCO电阻率. $ \rho_{s} $的值可以从幂律模型中得到, 即[20]
$$ {\rho _s} = \frac{{{E_c}}}{{{J_c}}} \cdot {\left( {\frac{{{J_\varphi }}}{{{J_c}}}} \right)^{n - 1}} $$ (6) 式中, ${E_c} = 1.0 \times{10^{ - 4}}\;{{{\mathrm{V}}} /{{\mathrm{m}}} }$是临界电场, $n$为磁通蠕变指数, 取值为21. 考虑到磁场各向异性和温度依赖性, YBCO的临界电流密度可以表示为[19]
$$ {J_c} = \dfrac{{{J_{c0}}}}{{{{\left( {1 + \dfrac{{\sqrt { {{k^2}B_z^2 + B_r^2} } }}{{{B_0}}}} \right)}^{{\beta _0}}}}} \cdot {\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{T}{{{T_c}}}} \right)}^2}} \right]^{\tfrac{3}{2}}} $$ (7) 式中, ${B_r}$和${B_z}$分别是径向和轴向磁感应强度分量, ${J_{c0}} = 1.56 \times {10^{11}}{\text{ A}}/{{\mathrm{m}}^2}$, $k = 0.3$, ${B_0} = 0.02{\text{ T}}$, ${\beta _0} = 0.6$, ${T_c} = 92{\text{ K}}$[19].
当线圈稳定运行时, 传输电流仅在YBCO层内流动且损耗功率几乎为0. 而当线圈受到干扰发生失超时, 传输电流会通过银层转移到铜层和哈氏合金层, 损耗功率急增引起热效应. 若超导线圈处于绝热环境中, 其内温度分布为
$$ C\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \left[ {\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\kappa \frac{{\partial T}}{{\partial r}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\kappa \frac{{\partial T}}{{\partial z}}} \right)} \right] + {\boldsymbol{E}} \cdot {\boldsymbol{J}} $$ (8) 式中, $C$为比热容, $\kappa $为导热系数, ${\boldsymbol{E}} \cdot {\boldsymbol{J}}$为损耗功率.
假定线圈中各层材料都是均匀的、各向同性的, 且任意两个相邻层之间的界面彼此完美地黏合在一起. 在电磁体力和热应力的共同作用下, 材料发生弹性或弹塑性变形. 对于陶瓷氧化物脆性材料YBCO层, 当应力增大到材料断裂强度时, 材料直接发生脆性断裂且在整个变形过程中无塑性变形出现, 因此假定在失超过程中超导层只发生弹性变形. 而对于塑性材料铜层、银层、哈氏合金层和绝缘层, 当材料发生屈服进入塑性变形阶段时, 假定其遵循双线性各向同性硬化模型, 并采用von Mises屈服准则来判断材料是否发生屈服. 在轴对称复合超导线圈结构中, 磁场${\boldsymbol{H}}$沿径向和轴向分别有非零分量${H_r}$和${H_z}$, 而电流密度${\boldsymbol{J}}$沿环向有非零分量${J_\varphi }$. 基于弹塑性理论和洛伦兹力公式, 轴对称线圈结构的平衡方程和几何方程分别表示为
$$ \left.\begin{aligned} & {\frac{{\partial {\sigma _r}}}{{\partial r}} + \frac{{\partial {\tau _{rz}}}}{{\partial z}} + \frac{{{\sigma _r} - {\sigma _\varphi }}}{r} + {\mu _0}{J_\varphi }{H_z} = 0} \\ & \frac{{\partial {\sigma _z}}}{{\partial z}} + \frac{{\partial {\tau _{rz}}}}{{\partial r}} + \frac{{{\tau _{rz}}}}{r} - {\mu _0}{J_\varphi }{H_r} = 0\end{aligned} \right\} $$ (9) $$ {\varepsilon _r} = \frac{{\partial u}}{{\partial r}},{\text{ }}{\varepsilon _\varphi } = \frac{u}{r},{\text{ }}{\varepsilon _z} = \frac{{\partial w}}{{\partial z}},{\text{ }}{\gamma _{rz}} = \frac{{\partial u}}{{\partial z}} + \frac{{\partial w}}{{\partial r}} $$ (10) 式中, $u$和$w$是位移分量; ${\sigma _r}$, ${\sigma _\varphi }$, ${\sigma _z}$和${\tau _{rz}}$ 是应力分量; ${\varepsilon _r}$, ${\varepsilon _\varphi }$, ${\varepsilon _z}$和${\gamma _{rz}}$是应变分量, 它们可表示为
$$ \left.\begin{aligned} & {{\varepsilon _r} = {\varepsilon _{r,e}} + {\varepsilon _{r,p}} + {\varepsilon _{r,T}}} \\ & {{\varepsilon _\varphi } = {\varepsilon _{\varphi ,e}} + {\varepsilon _{\varphi ,p}} + {\varepsilon _{\varphi ,T}}} \\ & {{\varepsilon _z} = {\varepsilon _{z,e}} + {\varepsilon _{z,p}} + {\varepsilon _{z,T}}} \\ & {{\gamma _{rz}} = {\gamma _{rz,e}} + {\gamma _{rz,p}}} \end{aligned} \right\} $$ (11) 式中, 下标$e$, $p$和$T$分别表示来自弹性变形、塑性变形和热变形的贡献. 当材料处于弹性变形阶段时, 其弹性应变可以表示为
$$ \left.\begin{aligned} & {{\varepsilon _{r,e}} = \frac{1}{E}\left[ {{\sigma _r} - \nu \left( {{\sigma _\varphi } + {\sigma _z}} \right)} \right]} \\ & {{\varepsilon _{\varphi ,e}} = \frac{1}{E}\left[ {{\sigma _\varphi } - \nu \left( {{\sigma _r} + {\sigma _z}} \right)} \right]} \\ & {{\varepsilon _{z,e}} = \frac{1}{E}\left[ {{\sigma _z} - \nu \left( {{\sigma _r} + {\sigma _\varphi }} \right)} \right]} \\ & {{\gamma _{rz,e}} = \frac{{2\left( {1 + \nu } \right)}}{E}{\tau _{rz}}} \end{aligned} \right\} $$ (12) 式中, $E$和$\nu $分别为杨氏模量和泊松比. 当材料发生屈服进入塑性变形阶段时, 则塑性应变增量可以表示为[17]
$$ \left.\begin{aligned} & {{\mathrm{d}}{\varepsilon _{r,p}} = \frac{{{\mathrm{d}}{\varepsilon _{ef}}}}{{{\sigma _{eq}}}}\left[ {{\sigma _r} - \frac{1}{2}\left( {{\sigma _\varphi } + {\sigma _z}} \right)} \right]} \\ & {{\mathrm{d}}{\varepsilon _{\varphi ,p}} = \frac{{{\mathrm{d}}{\varepsilon _{ef}}}}{{{\sigma _{eq}}}}\left[ {{\sigma _\varphi } - \frac{1}{2}\left( {{\sigma _r} + {\sigma _z}} \right)} \right]} \\ & {{\mathrm{d}}{\varepsilon _{z,p}} = \frac{{{\mathrm{d}}{\varepsilon _{ef}}}}{{{\sigma _{eq}}}}\left[ {{\sigma _z} - \frac{1}{2}\left( {{\sigma _r} + {\sigma _\varphi }} \right)} \right]} \\ & {{\mathrm{d}}{\gamma _{rz,p}} = \frac{{3{\mathrm{d}}{\varepsilon _{ef}}}}{{2{\sigma _{eq}}}}{\tau _{rz}}} \end{aligned} \right\} $$ (13) 式中, $ {\varepsilon _{ef}} $为有效弹性应变, $ {\sigma _{eq}} $为等效弹性应力. 当超导线圈发生失超时, 则材料热应变可以表示为
$$ {\varepsilon _{r,T}} = {\varepsilon _{\varphi ,T}} = {\varepsilon _{z,T}} = \int_{{T_0}}^T {\alpha {\mathrm{d}}T} $$ (14) 式中, $\alpha $是热膨胀系数, ${T_0} = 77{\text{ K}}$是初始温度.
通过上述方程可以发现电磁场和温度场通过损耗功率和临界电流密度相互耦合, 电磁场和力学场通过洛伦兹力相互耦合, 而温度场和力学场通过热应变相互耦合. 为了获得超导线圈的电磁-热-力耦合行为, 在数值分析中可通过积分的形式约束线圈中每匝的传输电流为${I_t}$, 且假定线圈与周围环境无热交换. 考虑到超导线圈在实际运行中的结构对称特性, 可认为其径向横截面中线沿轴向的位移始终为零. 对于铜层、银层、YBCO层、哈氏合金层和绝缘层, 其热膨胀系数$\alpha $分别为$1.67 \times {10^{ - 5}}$, $1.71 \times {10^{ - 5}}$, $1.34 \times {10^{ - 5}}$, $1.09 \times {10^{ - 5}}$和$2.0 \times {10^{ - 5}}{\text{ }}{{\text{K}}^{ - 1}}$, 杨氏模量$E$分别为$70$, $76$, $157$, $170$和$30{\text{ GPa}}$, 泊松比$\nu $分别为$0.343$, $0.37$, $0.3$, $0.307$和$0.3 $[20-21,35]. 假定在失超过程中脆性材料超导层只发生弹性变形, 而塑性材料铜层、银层、哈氏合金层和绝缘层遵循双线性各向同性硬化模型, 其屈服强度分别为$350$, $35$, $840$和$69{\text{ MPa}}$, 切线模量分别为$4$, $1$, $10$和$1{\text{ GPa}}$. 在超导线圈失超过程中温度引起材料电阻率、热容和热导率的剧烈变化, 这些参数的温度相关性可参考文献[19, 21]. 本文中复合超导线圈的电磁热力耦合分析主要在有限元软件COMSOL multiphysics平台上完成, 电脑配置为Intel(R) Core(TM) i9-10900 K处理器和64 GB内存.
1.2 模型验证
为了验证模型的正确性和高效性, 采用本文提出的${\boldsymbol{H}}$-$\phi$法和当前主流且已经过检验的${\boldsymbol{H}}$法(见文献[21])分别分析超导线圈的电磁热力耦合行为. 假设线圈中每匝的传输电流在0.1 s内线性地从0 A增加到44 A, 采用有限元法将超导线圈区域和周围液氮区域离散成
27960 个单元, 其中线性单元、二次拉格朗日单元和二次巧凑边点单元分别用于电磁、热和力学场的计算, 默认的求解器为MUMPS. 因为它易于使用, 鲁棒性强, 适用于处理高度非线性和多物理场问题. 为了确保结果的准确性, 计算的相对容差和时间步长分别设置为${10^{ - 5}}$和${10^{ - 4}}{\text{ s}}$. 在整个电磁热力耦合计算中, 采用${\boldsymbol{H}}$-$\phi $法耗时2.2 h, 而采用${\boldsymbol{H}}$法耗时9.3 h, 前者比后者的计算速度快4.2倍. 图2给出了最后时刻超导线圈的温度、电流密度和von Mises应力分布. 从图中可以看出, YBCO的抗磁特性使得温度、电流密度和von Mises应力的最大值主要集中在线圈上下部, 且沿线圈中面呈轴对称分布. 采用${\boldsymbol{H}}$-$\phi $法和${\boldsymbol{H}}$法都能准确分析线圈的电磁热力耦合行为.![]()
图 2 复合超导线圈的温度、电流密度和von Mises应力分布Figure 2. Distributions of temperature, current density and von Mises stress for composite superconducting coil2. 复合高温超导线圈的失超与弹塑性分析
复合高温超导线圈的失超是多场环境下各种因素相互作用引起的稳定性问题, 在瞬间和连续扰动下, 失超通常首先发生在某一局部区域, 该区域温度超过临界值, 导体从超导态转变为正常态. 只有全面了解超导线圈的失超传播特性, 才能检测出超导磁体的失超现象, 并设计合适的保护系统. 如图3所示, 本文主要考虑工程中最常出现的3种失超诱发因素. (1)局部热源. 将局部热源放置在超导线圈第20匝和第21匝之间的绝缘层(K20)中间, 其径向方向和轴向方向的尺寸分别为$59{\text{ }} {\text{μm}}$和0.4 mm, 传输电流${I_t}$在0.1 s内线性地从0 A增加到44 A(小于临界传输电流)并维持不变. 此后给热源输入某一能量并打开工作30 ms. (2)局部退化. 假设超导线圈第20匝的YBCO层(Y20)由于局部缺陷而使其临界电流密度从${J_c}$退化到某一值. 线圈工作时传输电流${I_t}$在0.1 s内线性地从0 A增加到44 A(小于临界传输电流)并维持不变. (3)过载流. 假定线圈中传输电流${I_t}$在0.1 s内先线性地从0 A增加到某一最大值(大于临界传输电流), 再线性地从最大值减小到44 A(小于临界传输电流)并维持不变. 由于线圈的计算结果沿中面呈轴对称分布, 后面仅展示上半部分线圈结构以便于讨论. 此外, 本文主要采用von Mises屈服准则来判断超导线圈在失超过程中是否出现塑性, 而没有进一步深入研究YBCO的脆性破坏, 这将在我们下一步的工作中重点考虑.
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图 3 复合超导线圈内局部热源、局部退化和过载流诱发失超Figure 3. Quench caused by local heater, local degradation and overcurrent in composite superconducting coil2.1 局部热源情形
首先考虑在绝缘层K20处放置局部热源来研究它对线圈多场耦合行为的影响. 图4给出了不同热源输入能量下第20匝内各材料层最大温度随时间的变化. 由于超导临界电流密度的温度相关性, 热源输入能量通常会导致超导层的温度上升与载流能力下降. 从图4(a)中可以看出, 当热源输入能量较小时, 超导层的临界电流密度退化较轻. 由于退化引起的损耗热量会逐渐向周围介质扩散, 因而最大温度逐渐恢复到环境温度77 K. 而当热源输入能量较大时, 超导层的临界电流密度退化较为严重. 此时超导层因退化引起的热量产生速度会大于热量向周围介质扩散速度. 因而超导层内最大温度经过短暂减小后会逐渐上升, 直至超导层发生完全失超. 经过计算, 局域热源引起超导线圈局部失超的最小失超能约为3 J. 从图4(b)中可以看到, 当热源输入能量为3.5 J时, 第20匝内会发生局部失超. 由于局部热源放置于绝缘层内, 导致最大温度瞬间达到162 K, 而其余材料层由于热量快速传递, 最大温度几乎一样.
图5给出了不同热源输入能量下第20匝内各材料层最大von Mises应力随时间的变化. 由于银层的屈服强度最低, 其内应力最容易超过屈服极限而发生塑性变形. 需要注意的是, 为了直观对比各材料层的应力水平, 图中也展示了脆性材料YBCO的von Mises应力, 但其不作为判断YBCO的破坏标准. 从图5(a)中可以看出, 若线圈未发生失超, 则银层始终处于弹性状态. 一旦线圈内失超发生, 局部温升引起的温度应力会导致银层发生塑性变形, 且热源输入能量越大, 银层越早进入塑性状态. 换句话讲, 银层的弹塑性状态可以间接反映超导线圈内是否发生失超. 从图5(b)中可以看出, 当线圈发生失超时, 电流局部调整会导致各材料层的电磁体力重新分配, 此时焦耳热引起的热应力会急剧增加. 在电磁体力和热应力作用下, 银层的最大von Mises应力曲线出现明显的拐点, 意味着应力超过屈服极限且材料进入塑性阶段; 而其他材料层的最大von Mises应力曲线始终光滑无拐点, 意味着应力低于屈服极限且材料一直处于弹性阶段. 从图5(c)中可以看出, 局部热源设置在K20处使得第20匝内最先发生失超并产生大量热量. 在失超传播过程中, 热量沿着各材料层快速向周围传导. 由于本文采用了其他工作中常用的线圈绝热假设[19-20], 热量将会在各材料层上下端部累积, 因而银层端部最先出现塑性变形. 伴随着失超传播, 塑性区域逐渐向周围扩大, 可以预期与银层相接触的银层-超导层界面和银层-铜层界面最容易出现脱层甚至力学失效, 这与已有的实验观测结果完全一致[11-12].
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图 5 第20匝内最大von Mises应力随时间变化Figure 5. The maximum von Mises stress in 20th turn varying with time图6给出了热源输入能量为3.5 J下径向应力、环向应力和von Mises应力沿着线圈上端部边界T1T2的分布. 从图6中可以看出, 在初始时刻线圈内的应力主要由压缩性质的电磁体力决定. 由于各材料层的力学参数差异, 应力沿边界T1T2呈锯齿状分布, 且最大径向压缩应力出现在线圈中部, 而最大环向拉伸应力出现在线圈内外两侧. 随后, 局部热源引起超导临界电流密度退化, 失超区域热应力开始占据主导地位. 由于温升引起膨胀效应, 而电磁体力引起压缩效应, 因而线圈中部径向应力从压缩状态变为拉伸状态, 而环向应力从拉伸状态变为压缩状态. 在线圈内外侧失超未出现的区域, 电磁力依然占主导地位. 在整个失超传播过程中, 失超引起的热应力远大于传输电流引起的电磁应力, 因而热应力是引起线圈力学失效的主要原因.
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图 6 热源输入能量为3.5 J下线圈上端边界的应力分布Figure 6. The stress distribution at the upper boundary of the coil under input energy 3.5 J为了深入理解线圈内局部热源对失超和弹塑性行为的影响, 图7给出了热源输入能量为3.5 J下温度、电流密度、径向应力和环向应力云图随时间的演变过程. 从图7中可以看出, 在热源开启的初始时刻, 线圈内温度接近环境温度, 且传输电流主要集中在超导层. 随着时间的演化, 热源逐渐导致超导层局部退化, 且退化区域的热量开始向周围快速传导. 当热源输入能量较大时, 超导退化区域产生热量的速度大于热源向周围传导的速度, 因而超导退化区域逐渐扩大, 电流逐渐从超导层向铜层转移. 最终由于局部升温过高导致退化区域完全失超. 同时可以看到, 在初始时刻最大径向压缩应力出现在线圈中间区域, 最大环向拉伸应力出现在内外两侧区域. 随着时间的演化, 热源附近的温度应力开始抵消甚至超过电磁应力. 与此同时, 径向应力从压缩状态转变为拉伸状态, 且其最大值逐渐沿轴向向线圈上下两端移动; 环向拉伸应力最大值则一直出现在内外两侧区域.
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图 7 热源输入能量为3.5 J下线圈的温度、YBCO层电流密度、铜层电流密度、径向应力和环向应力分布Figure 7. The distributions of temperature, current density in YBCO, current density in copper, radial stress and hoop stress in coil under input energy 3.5 J2.2 局部退化情形
对于超导YBCO带材, 由于材料本身可能存在缺陷点, 或者在反复使用过程中可能出现脱层, 使得部分带材的超导性能出现退化. 这里考虑Y20处的临界电流密度从${J_c}$退化到某一较低的值(如$0.5{J_c}$, $0.1{J_c}$, $0.01{J_c}$, $0.001{J_c}$)来研究它对线圈多场耦合行为的影响. 图8给出了不同临界电流密度退化值下第20匝内各材料层最大温度随时间的变化. 从图8(a)中可以看出, 随着临界电流密度退化程度的增加, 超导层的载流能力逐渐降低. 一旦传输电流超过超导层的载流极限, 电流开始转移到其他材料层并产生大量焦耳热, 温度升高会进一步加剧临界电流密度退化, 最终导致失超现象发生. 从图8(b)中可以看到, 在失超过程中传输电流快速从电能转换成焦耳热, 局部温度升高超过超导体的临界温度. 由于各材料层彼此接触, 焦耳热以Y20退化层为中心向周围扩散, 因而第20匝内各材料层的最大温度曲线几乎完全重合.
图9给出了不同临界电流密度退化值下第20匝内各材料层最大von Mises应力随时间的变化. 从图9(a)中可以看出, 随着超导层退化程度的升高, 银层中的最大von Mises应力也增大, 且增大的速率紧密依赖于超导层的退化程度. 当退化程度较低时引起的损耗热量积累较少, 在较低的温升下相应的热应力比较小, 最大von Mises应力未达到银层的屈服极限. 而当退化程度较高时, 温升越大, 使得最大von Mises应力最终会达到银层的屈服强度, 使其发生塑性变形. 从图9(b)中可以看出, 在局部退化诱发失超传播过程中, 焦耳热会不断提升温度, 最大von Mises也不断增大. 由于各材料层的力学参数差异性, 银层的最大von Mises应力先达到屈服强度. 从图9(c)中可以看出, 银层发生塑性变形时, 主要出现在线圈的上下两端中部, 即Y20的附近. 随着时间的推移, 塑性区域将会沿径向和轴向方向扩大, 直至线圈出现脱层或破裂.
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图 9 第20匝内最大von Mises应力随时间变化Figure 9. The maximum von Mises stress in 20th turn varying with time图10给出了临界电流密度退化为$0.01{J_c}$下径向应力、环向应力和von Mises应力沿着线圈上端部边界T1T2的分布. 从图10中可以看出, 应力沿着T1T2呈锯齿状分布. 在开始阶段, 线圈将受到径向压缩应力和环向拉伸应力. 一旦传输电流超过退化超导层的临界电流, 由能量损耗引起的温度应力将抵消电磁应力而占据主导地位. 因而在退化超导层附近, 热应力急剧增加, 导致径向应力从压缩状态变为拉伸状态, 而环向应力从拉伸状态变为压缩状态. 通过对比径向应力和环向应力的大小可以发现, 径向应力占据次要地位, 而环向应力占据主要地位, 线圈退化区域附近最容易出现力学失效. 随着线圈内失超传播, 热应力主导的区域逐渐从中间向两侧扩展, 而电磁力主导的内外侧区域逐渐收缩.
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图 10 临界电流密度退化为$0.01{J_c}$下线圈上端边界的应力分布随时间变化Figure 10. The stress distribution at the upper boundary of the coil varying with time under critical current density degrading to $0.01{J_c}$图11给出了临界电流密度退化为$0.01{J_c}$下温度、电流密度、径向应力和环向应力云图随时间的演变过程. 从图11中可以看出, 在开始阶段, 传输电流逐渐从线圈上下边缘处向内渗透. 由于电流主要集中于超导层, 线圈内的温升可以忽略. 一旦传输电流超过退化层的临界电流, 电流逐渐从退化超导层向相邻铜层转移. 此时, 铜层由于电阻的存在而产生大量的焦耳热, 从而进一步降低退化超导层的性能. 这种反馈过程将会加剧热量的产生以及高温区的扩张. 退化层的临界电流密度越小, 引起的能量损耗和局部温升越大, 因此局部失超更容易发生. 在失超传播过程中, 线圈主要承受电磁应力和热应力. 在它们的共同作用下, 最大径向拉伸应力和最大环向压缩应力出现在退化层上下两端附近.
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图 11 临界电流密度退化为$0.01{J_c}$下线圈的温度、YBCO层电流密度、铜层电流密度、径向应力和环向应力分布Figure 11. The distributions of temperature, current density in YBCO, current density in copper, radial stress and hoop stress in coil under critical current density degrading to $0.01{J_c}$2.3 过载流情形
超导磁体稳定运行时需要在线圈中通入很大的工作电流来产生磁场. 在实际应用中线圈可能出现短暂过载流情形, 即工作电流会超过额定电流. 考虑整体线圈工作电流在0.1 s内线性地先从0 A增加到某一幅值再减小到工作值44 A来研究过载流幅值对线圈多场耦合行为的影响. 图12给出了不同过载流幅值下整体线圈各材料层最大温度随时间的变化. 从图12(a)中可以看出, 过载流会引起超导层出现短暂失超现象. 当过载流幅值较小时, 短暂失超引起的损耗热量较少. 此时热量向周围扩散, 线圈内超导层快速恢复到超导态, 整个线圈几乎不会受到过载流的影响. 然而当过载流幅值较大时, 超导短暂失超产生热量的速度大于热量向周围扩散的速度. 此时热量开始快速积累, 超导层临界电流密度退化加剧, 且工作电流从超导层转移到其他材料层, 这进一步导致失超区域扩大. 经过计算, 过载流引起超导线圈局部失超的幅值约为81 A. 从图12(b)中可以看出, 若过载流引起失超, 超导线圈各个材料层的最大温度相差不大且温度曲线会近似重叠.
图13给出了不同过载流幅值下整体线圈各材料层最大von Mises应力随时间的变化. 从图13(a)中可以看出, 随着电流幅值的增大, 银层中的最大von Mises应力也增大. 当过载流幅值较小时, 超导层退化引起的损耗热量积累较少, 最大von Mises应力未达到银层的屈服极限. 而当过载流幅值较大时, 超导层退化产生的损耗热量较多, 从而引起的局部温升越大, 以至于von Mises应力最终会达到银层的屈服强度, 使其发生塑性变形. 从图13(b)中可以看出, 当过载流幅值较大时, 损耗热量积累较多, 最大von Mises应力不断增大. 尽管哈氏合金和YBCO层的von Mises应力水平较高, 但依然是银层最先达到屈服强度. 从图13(c)中可以看出, 不同于局部热源或退化引起的局部失超情形, 过载流会引起超导线圈内发生区域性失超, 且集中在第16匝附近. 随着时间的增加, 银层塑性区域不断向周围扩张.
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图 13 线圈内最大von Mises应力随时间变化Figure 13. The maximum von Mises stress in coil varying with time图14给出了过载流幅值为85 A下径向应力、环向应力和von Mises应力沿着线圈上端部边界T1T2的分布. 从图中可以看出, 开始阶段径向应力主要是压缩状态, 且最大径向应力出现在线圈中间区域; 环向应力主要是拉伸状态, 且最大拉伸应力出现在线圈内外侧区域, 最大von Mises应力主要由环向应力决定. 在过载流作用下, 超导线圈内出现区域性失超现象, 焦耳热引起的热应力逐渐改变整体线圈应力状态. 由于线圈在第16匝附近出现了区域性失超, 导致该区域的径向应力从压缩状态转变为拉伸状态, 而环向应力从拉伸状态转变为压缩状态. 总体上, 相对于径向应力, 环向应力占主导地位. 由于最大的von Mises应力出现在线圈外侧, 因此该区域最容易出现力学失效.
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图 14 过载流幅值为85 A下线圈上端边界的应力分布随时间变化Figure 14. The stress distribution at the upper boundary of the coil varying with time under overcurrent amplitude equaling to 85 A图15给出了过载流幅值为85 A下温度、电流密度、径向应力和环向应力云图随时间的演变过程. 从图15中可以看出, 在传输电流达到幅值之前, 线圈内温度接近环境温度, 且传输电流主要集中在超导层. 在此之后, 过载流情形导致第16匝附近超导退化区域产生热量的速度大于热量向周围传导的速度, 热量开始积累并逐渐沿径向向两侧传播. 与此同时, 超导层载流能力从第16匝附近向两侧逐渐退化, 而传输电流也逐渐从超导层处向铜层转移. 此外, 可以看出开始阶段径向应力主要是压缩状态而且最大压缩应力出现在线圈第16匝附近区域. 环向应力主要是拉伸状态, 最大拉伸应力出现在内外两侧区域. 在失超传播一段时间后, 线圈上下两端靠近中间区域的径向应力开始从压缩状态变成拉伸状态, 而环向应力从拉伸状态变成压缩状态.
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图 15 过载流幅值为85 A下线圈的温度、YBCO层电流密度、铜层电流密度、径向应力和环向应力分布Figure 15. The distributions of temperature, current density in YBCO, current density in copper, radial stress and hoop stress in coil under overcurrent amplitude equaling to 85 A3. 结 论
复合超导线圈是目前正在开发和研制中的高温超导磁体装置的核心部件. 针对复合超导线圈中失超诱因复杂、带材组分过多且宽厚比过大、材料非线性且服役工况下多物理场相互耦合等问题, 本文在磁场-磁标势方程、热传导方程和弹塑性力学方程基础上, 发展了一套高保真且高效率的电磁热力耦合分析方法, 用来准确分析复合超导线圈的多因素失超机理与各材料组分层的弹塑性行为. 结果表明, 当局部热源输入能量达到最小失超能, 或者局部临界电流密度退化到特定程度, 或者过载流运行电流超过特定幅值时, 超导线圈内会发生失超现象. 失超造成工作电流从超导层转移到铜层, 并伴随着大量焦耳热. 在电磁体力作用下, 超导线圈主要受到径向压缩应力和环向拉伸应力, 且后者占主导地位. 在失超传播过程中, 热应力导致径向应力从压缩变为拉伸的, 而环向应力从拉伸变成压缩的. 局部热源或退化引起的失超依赖于热源或退化点的位置, 由局部点失超向周围传播; 而过载流引起的失超依赖于整体线圈结构, 由某一区域失超向周围传播. 在绝热条件下, 由于热传导沿轴向比沿径向传播速度快, 所以热量容易在线圈上下端累积. 热应力的急剧增加使得银层最先出现塑性变形, 而其他材料层依然保持弹性阶段, 可以预见与银层相接触的银层-超导层界面和银层-铜层界面最容易出现脱层甚至力学失效. 随着失超和高温区的传播, 银层塑性区域逐渐向周围扩张. 因此, 银层的弹塑性状态可以间接反映超导线圈内是否发生失超, 而银层的塑性分布可以间接反映失超传播区域的大小. 本文的方法可以拓展应用到高场磁体系统内多匝数复合超导线圈多物理场耦合效应的精准预测.
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图 1 复合超导线圈的材料组分层排列和计算区域
Figure 1. Arrangement of material composition layers and computational domain for composite superconducting coil
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图 2 复合超导线圈的温度、电流密度和von Mises应力分布
Figure 2. Distributions of temperature, current density and von Mises stress for composite superconducting coil
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图 3 复合超导线圈内局部热源、局部退化和过载流诱发失超
Figure 3. Quench caused by local heater, local degradation and overcurrent in composite superconducting coil
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图 5 第20匝内最大von Mises应力随时间变化
Figure 5. The maximum von Mises stress in 20th turn varying with time
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图 6 热源输入能量为3.5 J下线圈上端边界的应力分布
Figure 6. The stress distribution at the upper boundary of the coil under input energy 3.5 J
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图 7 热源输入能量为3.5 J下线圈的温度、YBCO层电流密度、铜层电流密度、径向应力和环向应力分布
Figure 7. The distributions of temperature, current density in YBCO, current density in copper, radial stress and hoop stress in coil under input energy 3.5 J
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图 9 第20匝内最大von Mises应力随时间变化
Figure 9. The maximum von Mises stress in 20th turn varying with time
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图 10 临界电流密度退化为$0.01{J_c}$下线圈上端边界的应力分布随时间变化
Figure 10. The stress distribution at the upper boundary of the coil varying with time under critical current density degrading to $0.01{J_c}$
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图 11 临界电流密度退化为$0.01{J_c}$下线圈的温度、YBCO层电流密度、铜层电流密度、径向应力和环向应力分布
Figure 11. The distributions of temperature, current density in YBCO, current density in copper, radial stress and hoop stress in coil under critical current density degrading to $0.01{J_c}$
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图 13 线圈内最大von Mises应力随时间变化
Figure 13. The maximum von Mises stress in coil varying with time
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图 14 过载流幅值为85 A下线圈上端边界的应力分布随时间变化
Figure 14. The stress distribution at the upper boundary of the coil varying with time under overcurrent amplitude equaling to 85 A
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