TYPE Ⅱ HYPERSONIC SHOCK WAVE INTERACTION ON A SWEPT-FORWARD FIN
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摘要: 针对楔-前掠圆柱构型激波干扰, 采用数值模拟和理论分析方法, 研究了第Ⅱ类干扰下游流场结构和气动热特性随几何参数的变化规律. 数值结果表明, 在不同楔角和前掠角组合下, 第Ⅱ类干扰下游形成了3种射流结构, 分别是超声速、亚声速和跨声速射流. 其中超声速射流会导致壁面热流大幅上升, 亚声速和跨声速射流对壁面冲击较弱, 壁面热流维持在较低水平. 楔角是决定射流速度的重要因素, 小楔角下产生对热流影响较大的超声速射流, 大楔角下产生对热流影响较小的亚声速和跨声速射流. 因此在一定参数范围内, 增大楔角不仅不会造成热流上升, 反而会因为射流变为亚声速造成热流减小. 利用干扰区内局部均匀流动假设, 对亚/超声速射流的产生条件进行了理论分析与数值验证. 理论分析结果表明, 亚声速和跨声速射流这两种产生热流较小的干扰类型在一定参数范围内普遍存在, 在给定来流马赫数时, 楔角越大时越容易产生亚声速或跨声速射流. 由于采用了均匀流动假设, 给定来流马赫数下理论分析得到的亚/超声速射流临界楔角略高于CFD结果, 误差在1°左右.Abstract: An investigation of swept-forward fin shock interactions is conducted theoretically and numerically, focusing on the effects of wedge angle and swept-forward angle on the flow pattern and heat flux distribution of type II interaction. Numerical results indicate that three types of jets are observed in the downstream flow pattern of the type II interaction on the symmetry plane: supersonic, subsonic, and transonic jets. Notably, an extremely high heat flux which is caused by a supersonic jet is observed in the case where the wedge angle is 20°. In contrast, for cases with transonic and subsonic jets, the peak heat flux is significantly lower than that of the supersonic jet, due to the weakening of the wall strike effect. The study demonstrates that within a specific range of geometric parameters, increasing the wedge angle does not necessarily result in a corresponding increase in heat flux. Instead, a larger wedge angle can promote the transition of the jet from supersonic to subsonic speeds, thus leading to a reduction in heat flux. This finding challenges conventional assumptions and offers potential pathways for controlling aerodynamic heating in high-speed flows. The conditions for the generation of subsonic and supersonic jets are theoretically analyzed under the assumption of local uniform flow in the interference region and numerically verified with a freestream Mach number of 6.36. Theoretical analysis indicates that subsonic and transonic jets, which result in lower heat flux peaks, are generally present within a wide range of parameters. For a given freestream Mach number, larger wedge angles are more likely to produce subsonic or transonic jets. Due to the simplifications inherent in the uniform flow assumption, the critical wedge angles predicted for the formation of subsonic and supersonic jets were found to be slightly higher than those obtained from CFD simulations, with a discrepancy of approximately 1°.
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Keywords:
- shock interaction /
- type Ⅱ interaction /
- aerodynamic heat /
- subsonic jet /
- 3-D shock interaction
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引 言
激波在传播过程中与其他波系相遇并产生相交是典型的激波干扰[1-2]现象. 激波干扰不但会导致激波的交叉和转折, 还会诱发马赫反射、射流和剪切层等现象出现, 因此流动特征十分复杂. 在实际应用中的某些情况下, 这种复杂的干扰现象会导致飞行器局部力热载荷剧增, 从而严重影响飞行器的安全. 因此, 激波干扰现象被认为是超声速及高超声速流动中最具挑战性难题之一, 也是目前空气动力学领域的研究热点和前沿方向之一[3].
入射斜激波与钝头体弓形激波的相互作用是激波干扰的典型示例, 这一问题广泛存在于吸气式高超声速飞行器前体/进气道一体化设计[2]、采用三维内转式进气道的吸气式高超声速飞行器内外流动特性分析[4]及飞行器机翼或控制面前缘干扰作用[5-6]等研究中. 严格来讲, 所有的激波干扰现象都具有三维特征, 但对于高超声速飞行器前体斜激波与唇口弓形激波相互作用等问题, 可采用沿激波法向剖面内进行二维简化的分析方法, 从而有助于把握问题的重点和分解难点.
二维激波干扰问题的研究已经有近60年的历史. Edney[1-2]根据入射激波与弓形激波的相对位置和激波强度将其分为6类, 不同干扰类型下近壁面流动结构会出现本质的不同. 基于此种分类方式, 前期展开了包括流场结构[7-9]、转捩准则[7, 10-11]和气动热特性[12-14]等一系列研究. 这些研究不仅丰富了对激波干扰流动机理的认识, 而且为工程应用提供了许多有价值的参考. 已有研究结果表明, 在发生第Ⅲ和第Ⅳ类干扰时, 流场中会形成剪切层或超声速射流与壁面相互作用, 造成热流急剧上升, 最高可达到驻点热流的10倍以上[12]. 不过在第Ⅳ类干扰中, 射流也会存在一些特殊的状态[11], 并不会引起热流的增加. 例如, 入射激波强度和与弓形激波相交位置满足一定条件时, 射流上游的透射激波出现亚声速弱解, 这会导致射流变为两分支的跨声速射流, 射流下方的分支是亚声速, 上方的分支是超声速. 这种干扰下射流马赫数较小, 对壁面冲击很弱, 产生的热流较小.
当入射激波和弓形激波不在同一个平面内, 而是发生空间交叉时, 则无法再采用二维简化分析方法. 实际中三维激波干扰的典型实例包括X-15的吊架前缘[15]、机翼前缘[16]或者高压捕获翼构型[17-19]支撑前缘等处形成的激波干扰. 三维激波干扰情况下的流场结构和气动加热特性比二维情况下更加复杂. 为便于分析, Berry等[20]提出一种简化的楔-前掠圆柱概念模型, 该构型中楔产生的入射激波与圆柱前缘及其产生的弓形激波面所在平面垂直. 此种干扰产生的流场结构虽然是三维的, 但是由于对称面上热流最大, 且对称面上的流场结构直接决定了干扰类型并且对壁面热流影响最大, 因此相关的实验研究和本文中对流场结构的分析主要集中在对称面上.
基于这一模型, Berry等[20]进一步分析了圆柱前缘由前掠变为后掠的过程中圆柱纵对称面附近的干扰现象, 并仿照二维激波干扰的分类方式提出了三维条件下的第Ⅰ到第Ⅵ类干扰. 但由于几何结构的差异, 与对应的二维激波干扰相比, 其气动热特性呈现出明显的区别. 尤其是在发生第Ⅱ类干扰时, 下游会产生超声速射流, 造成壁面热流大幅上升. 在此基础上, Mason等[21]通过实验获得了第Ⅳ类干扰时前缘壁面温度、壁面油流谱和流场纹影, 加深了对楔-前掠圆柱构型气动热特性的认识.
三维激波干扰的另一个典型实例存在于具有V形前缘的内转式进气道唇口. 此构型中激波干扰由拐角前缘自身产生的波系引起, 即由V形前缘形成的两道脱体激波在拐角处相交, 从而产生复杂的波系结构. 对于这一问题, Xiao等[4]发现随着几何变化, V形前缘会产生异侧激波规则反射、马赫反射和同侧激波反射3种干扰类型, 不同类型干扰下壁面气动力/热载荷变化规律[22-27], 非定常振荡特性[28-29]和下游流场结构[30-32]等具有很大差异. 研究表明, 前缘钝化半径是影响干扰类型的关键因素, 半径较小时, 发生规则反射, 干扰产生的热流是驻点热流1.1倍左右. 随着钝化半径增加到一定程度, 由于干扰类型发生转变, 激波、剪切层和射流等流动结构与壁面作用效果逐渐显现, 使激波干扰引起的热流升高占主导地位, 热流最大能升高到驻点热流的7.3倍. 这与无激波干扰时驻点热流随前缘钝化半径变化的规律有很大不同.
在三维激波干扰气动热研究方面, 尽管已经取得了长足的进步, 但对楔-前掠圆柱构型激波干扰中气动热特性随几何参数变化规律的认识, 仍然不够全面和透彻. 以往关于楔-前掠圆柱构型激波干扰气动热特性的研究, 楔角都固定在9°, 将前掠角作为单一变量来分析. 这种基于单一几何参数变化获得的影响规律很难推广, 也限制了对热流峰值的全面把握.
最近作者通过理论和数值方法, 在楔角和前掠角构成的几何参数空间内建立了楔-前掠圆柱构型第Ⅰ类干扰到第Ⅱ类干扰类型的转捩准则[33]. 数值研究结果表明, 第Ⅱ类干扰下游形成的流场结构会随楔角增大发生较大变化. 楔角较小时, 下游形成超声速射流, 这与Berry等[20]实验中观察到的现象一致; 随着楔角增大, 射流会变为亚声速. 这表明大楔角下, 楔-前掠圆柱构型激波干扰流场结构和气动热特性与小楔角下会有很大不同. 但是由于研究重点在于干扰类型的转捩, 计算参数多集中在转捩点附近, 未进一步分析大楔角下前掠角对下游形成的亚声速射流等流场结构的影响. 同时由于采用无黏方法进行计算, 未考虑亚声速射流等流场结构对壁面热流的影响. 因此为建立楔-前掠圆柱构型激波干扰气动热特性在楔角和前掠角构成的几何参数空间内完整的认识, 亟需对大楔角下流场结构和气动热特性进行分析, 以便在工程应用中, 综合考虑并权衡不同几何参数的影响.
本文采用数值模拟和理论分析方法, 以前期无黏计算结果[33]为指导, 选择了20°和30°这两个楔角, 分别对应超声速射流和亚声速射流. 在各自楔角下分析了发生第Ⅱ类干扰时下游产生的流场结构和气动热特性随前掠角的变化规律, 并通过理论分析对亚/超声速射流的产生条件进行了讨论. 以期阐明激波干扰流场结构与气动热特性之间的联系, 获得气动热在楔角和前掠角构成的参数空间的变化规律, 为楔-前掠圆柱构型气动热预测和热防护提供有价值的参考.
1. 计算模型与数值方法
在本文中, 楔-前掠圆柱构型如图1所示, 模型由楔和一个竖直放置的钝头平板构成. 其主要几何特征包括: 楔角θ, 平板前缘前掠角Λ和前缘钝化半径R. 楔产生的平面激波和平板前缘产生的弓形激波发生空间相交, 产生复杂的波系结构. 实际计算中, 前缘半径R = 2 mm, 模型具体几何参数见表1. 在当前参数范围内, 流场结构涵盖了第Ⅰ类干扰及包含超声速射流、亚/跨声速射流等多种流场结构的第Ⅱ类干扰, 可以完整描述各类流场结构对气动热的影响.
表 1 计算中模型的几何参数Table 1. Overview of the performed calculationsθ/(°) Λ/(°) Types of flow pattern 20 65, 55, 50, 45, 46, type Ⅰ 20 43, 42, 40, 37, 35, 30, 27, 25, 20 type Ⅱ (supersonic jet) 30 70, 65, 60, 58, 57 type Ⅰ 30 55, 52, 50, 47, 45, 40, 35, 30, 20 type Ⅱ (sub/transonic jet) 在数值分析时, 采用量热完全气体模型, 其比热比为γ = 1.4, 黏性系数和导热系数按Sutherland公式计算. 采用有限体积法求解RANS方程组, 其中雷诺应力使用全湍流的k-ω SST模型进行封闭. 空间离散使用二阶TVD格式, 并使用Min-Mod限制器抑制间断附近的数值振荡; 时间推进选用隐式二阶格式, 其中CFL数在0.1 ~ 20范围以内, 以保证在数值稳定的条件下加速迭代. 数值迭代的收敛条件需要同时满足以下两个方面: 变量的残差降低至少3个量级, 并且典型位置的热流值变化量小于0.1%.
为进一步简化计算并加速收敛, 忽略钝头平板与楔连接区域附近的复杂流动等次要因素. 因此计算域入口可按Rayleigh-Hugoniot (R-H)关系建立间断入口边界条件, 如图2(a)所示, 以此直接模拟入射激波ISW. 基于这种考虑, 图2(b)给出了本文所使用的计算域及边界条件. inflow1和inflow2是间断入口边界上的两个区域, 分别按来流和波后参数给定压力、温度和速度. out是超声速外推边界. 由于其参数分布可在计算中由流场内部节点直接外插获得, 因此无需事先给定边界参数. wall是根据钝头平板前缘形状给定的等温无滑移壁面边界条件, 其中壁面温度为300 K.
在上述计算域内采用结构网格进行空间离散. 如图2(c)所示, 沿钝头平板前缘方向(ζ)共划分1001个节点, 沿周向(η)均匀分布101个节点. 为便于捕捉干扰区的流动细节, 在前缘方向进行了网格加密, 如图2(c)所示. 沿壁面法向(ξ)以几何分布划分201个节点, 其中壁面第一层网格厚度为5.0 × 10−7 m, 以保证在全部计算条件下Y + < 1, 并使网格足以分辨黏性底层的流动. 图2(c)所示的网格共包含2000万个单元. 为验证其网格无关性, 将壁面网格数分别减小或增大, 形成如表2所示的3种不同密度的网格(coarse, medium, refined).
表 2 网格收敛性分析中不同网格的单元数量Table 2. Four grids used in the grid independence studyGrid $ {N}_{\xi }\times {N}_{\eta }\times {N}_{\zeta } $ coarse 501$ \times $101$ \times $201 medium 1001$ \times $101$ \times $201 refined 1001$ \times $101$ \times $301 在进行网格无关性验证时, 采用与Berry等[20]相同的来流条件, 其中, 马赫数为Ma0 = 5.93, 单位雷诺数为Re = 6.5 × 106, 静温为T0 = 62.59 K. 几何参数也与其相同, 其中前掠角为Λ = 25°, 楔角为θ = 9°. 利用前述数值计算方法, 可得到上述3种网格对应的流场和前缘热流分布. 图3(a) ~ 图3(c)给出对称面处的波系结构, 以密度梯度云图表示. 作为对比, 图3(d)还给出了Berry等[20]的实验纹影图. 结果表明, 3种网格得到的波系结构与位置基本相似, 并与实验结果吻合. medium网格给出的激波宽度与refined相同, 但coarse网格得到的激波更宽. 因此, medium网格足以精细地获得干扰区附近的波系结构, 并用于本文的分析.
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图 3 3种网格对应的对称面处流场对比Figure 3. Comparison of flow pattern on the symmetry plane for verious grid resolution数值计算结果还可定量地给出钝头平板前缘的热流Q在前缘位置X/L的分布规律, 如图4所示, 其中热流使用了无干扰时驻点热流Qref进行无量纲化, X是前缘对称面上沿前缘的距离, 并用实验模型前缘长度L做了无量纲化, 其原点为入射激波与前缘的交点. 结果表明, medium和refined网格可给出基本重合的热流分布, 并与Berry等[20]的试验结果及Wright等[34]的数值结果基本一致. 而coarse网格得到的最大热流值偏低. 因此, 本文后续将使用medium网格对激波干扰的流场结构和气动热特性进行分析.
2. 数值结果分析
利用上述数值计算方法, 以来流马赫数M0 = 6.36, 单位雷诺数Re = 3.27 × 107, 静温T0 = 61.60 K为计算条件, 分析了激波干扰特性随前掠角Λ的变化规律. 其中楔角选取θ = 20°, 30°, 分别对应超声速射流和亚声速射流[33]. 前掠角Λ从60°逐渐降低到20°, 在此范围内, 前缘激波在对称面上波后马赫数均大于1, 因此入射激波和弓形激波相交后只会产生规则反射和马赫反射这两种流场结构. 本文按照Berry等[20]的分析方法, 将入射激波和弓形激波发生规则反射形成的流场称为第Ⅰ类干扰, 发生马赫反射形成的流场结构归为第Ⅱ类干扰.
2.1 热流峰值变化
图5中红色曲线给出了楔角θ = 20°时前缘热流峰值Qmax的变化规律, 其中Qref是同样的自由来流条件下相同半径的二维圆柱头部驻点热流, 用于无量纲化. 结果表明, 随着前掠角Λ的减小, 相对热流Qmax/Qref在Λ > 45°时缓慢增加, 但在Λ < 45°时热流迅速上升. 例如, 当Λ = 27°时已达到29.8倍. 在Berry等[20]的试验结果中也存在类似的热流突增现象. 它与发生第II类干扰下游形成的流场结构有关, 将在第2.2节结合波系结构对热流影响机理进行详细分析.
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图 5 楔角为20°和30°时, 不同前掠角下干扰区热流最大值Figure 5. The maximum heat flux in the case of θ = 20°, 30°而当θ增大到30°时, 热流分布呈现明显不同, 如图5中蓝色曲线所示. 其最大区别在于, 第II类干扰(对应于Λ < 57°)并未带来热流的显著增加. 例如, 在Λ = 30°时峰值热流仅为驻点热流的5 ~ 6倍. 该现象说明, 发生II类干扰以后, 壁面热流产生机理会与θ = 20°时有较大的差异. 因此在第2.2节也将结合波系结构对其进行深入的分析.
2.2 流场结构及壁面热流影响机理分析
在θ = 20°和Λ = 37°条件下, 对称面上的典型参数分布和波系结构如图6所示. 在流场的上游, 形成了典型的马赫反射流场结构, 入射激波ISW和弓形激波BSW通过一道马赫杆MS相连接, 并且形成两道透射激波和剪切层. 由图可见, 在流场上游, 流动结构呈典型的第II类干扰现象, 但在流场下游, 透射激波TS2受壁面附近流动空间的限制, 又形成类似二维激波干扰中第Ⅳ类干扰所出现的射流等复杂流动结构. 因此严格来讲, 完全参照二维激波干扰的分类方法将其归为第Ⅱ类干扰是否准确仍有待商榷. 但为了避免混淆, 本文仍遵循Berry等[20]的分类方法, 将其归为第Ⅱ类干扰.
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图 6 楔-前掠圆柱构型激波干扰第Ⅱ类干扰的典型流场结构Figure 6. The flow pattern of type II interaction in the swept-forward fin interaction最大热流发生的位置表明, 下游的射流等结构是图5中热流突增的主要原因, 也导致了楔角θ = 20°, 30°时热流变化规律的显著不同. 因此, 流场结构的分析重点在于下游射流等结构对气动热的影响. 本节将分别给出不同θ时TS2和SL2及其下游的详细流动结构, 并据此分析热流峰值变化的影响机理.
2.2.1 楔角20°时的流场结构
楔角Q = 20°时, 第Ⅱ类干扰下游共形成了两种流场结构, 分别是剪切层与壁面相互作用以及超声速射流冲击壁面. 本节以前掠角Λ = 37°, 25°为例, 分别对这两种情况下流场结构和气动热特性进行分析.
在前掠角Λ = 37°时, TS2和SL2附近的马赫数分布及壁面上热流分布如图7(a)所示. 为了更清晰地显示波系结构, 图7(b) 给出了对称面上的密度梯度云图. 据此可得到波系结构, 如图7(c)所示, 其主要特征包括如下两个方面.
(1)剪切层SL2与壁面边界层相互作用, 诱导产生了分离涡, 并在其外侧形成了激波SW6和SW7. 这种分离-再附将使得边界层变薄, 造成热流大幅上升.
(2)透射激波TS2与前缘脱体激波SW5相互作用, 形成了超声速射流结构, 如图中红色区域所示. 若该射流冲击到壁面, 则会引起热流剧增. 但在图7对应的几何形状下, 该射流在到达壁面之前很快向下偏转, 尚未对壁面造成强烈冲击.
图8给出了前掠角Λ = 25°时对应的流动结构. 与图7相比, 其主要区别在于以下两点. 首先, 剪切层SL2不再直接与壁面作用, 再附激波等结构消失. 其次, 超声速射流结构(图中红色区域)向上偏转, 直接冲击壁面. 在射流尾段产生了正激波SW7, 提升了射流的压力和温度. 又由于SW7距离壁面很近, 使得大部分能量只能通过热传导到达壁面, 导致热流峰值急剧增加. 计算结果表明此时热流峰值已达到驻点热流的15.7倍.
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图 8 前掠角Λ = 25°时TS2下游流场结构和壁面热流Figure 8. Downstream flow pattern in the case of Λ = 25°图9是20°楔角下, 前掠角Λ = 35°, 27°, 20°时的数值模拟结果. 从图中可以看出, 随着前掠角的变化, 透射激波下游的气流相对于壁面经历了向下偏到垂直于壁面再到向上偏的过程, 由此也引起了壁面热流发生较大变化. 前掠角35°时, 气流向下偏, 流场中对壁面热流起主导作用的是剪切层与壁面相互作用. 随着前掠角减小到27°, 下游形成了超声速射流, 且射流内气流几乎与壁面垂直, 因此导致壁面热流有了极大的上升, 可达到驻点热流的29.8倍. 随着前掠角减小, 射流会逐渐向上偏, 导致射流对壁面的冲击减弱, 壁面热流也随之减小.
这些影响机理也解释了图5中θ = 20°时的热流变化规律(红色曲线).
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图 9 不同前掠角下TS2下游流场结构和壁面热流Figure 9. Downstream flow pattern in the different swept-forward angle2.2.2 楔角30°时的流场结构
在2.1节的图5中, 楔角θ = 30°的热流峰值(蓝色曲线)在第II类干扰时并未显著增加. 从流场结构的角度看, 激波SW4后变为亚声速, 导致超声速射流消失, 同时剪切层两侧速度差更低. 由此导致热流峰值曲线与楔角20°产生了明显的不同.
为证实这一点, 图10 ~ 图12中以前掠角Λ = 50°, 35°, 30°为例, 给出了楔角30°时第Ⅱ类干扰下游形成的典型流场结构. 图10为前掠角Λ = 50°时对称面上的波系结构. 图中马赫数云图中最小马赫数是1, 因此从图中可以看出, 激波SW4后均为蓝色, 这代表速度为亚声速. 与楔角20°时的图8相比, 由于透射激波SW4波后降为亚声速, 因此超声速射流结构不复存在. 虽然分离再附结构仍然存在, 但由于激波SW7的波前接近声速, 激波较弱, 因此对壁面边界层影响较小, 并未引起热流的显著上升.
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图 10 前掠角Λ = 50°时TS2下游流场结构和壁面热流Figure 10. Downstream flow pattern in the case of Λ = 50°![]()
图 11 前掠角Λ = 35°时TS2下游流场结构和壁面热流Figure 11. Downstream flow pattern in the case of Λ = 35°![]()
图 12 前掠角Λ = 30°时TS2下游流场结构和壁面热流Figure 12. Downstream flow pattern in the case of Λ = 30°当Λ减小到35°时, 分离再附结构消失, 同时激波SW4后亚声速射流开始直接冲击壁面, 如图11中红色区域所示. 它与楔角20°时的图8相比, 主要区别在于射流是亚声速的. 因此, 由于在射流尾段不再产生脱体正激波, 因此壁面热流未明显增加, 使得热流突增现象并未产生.
当前掠角Λ进一步减小到30°时, 流场结构如图12所示, 由于SW4波前流动状态稍有变化, 产生了同时存在亚声速和超声速的射流区域, 本文中简称为跨声速射流. 类似的结构[11]也在第IV类二维激波干扰中发现. 由于射流内部马赫数小, 冲击壁面形成的激波较弱, 因此跨声速射流对壁面热流的影响也很小.
3. 射流临界条件
根据第2节的分析, 影响热流峰值的主要因素是射流速度. 其对应的马赫数定义为激波SW4后的马赫数M4, 主要由来流条件和几何形状决定. 数值计算结果已经可以给出M4的近似变化范围. 若假设波系各区域是均匀的, 也可利用激波关系式给出M4的近似理论解. 因此, 本章将以M4 = 1为临界条件, 对射流临界条件进行讨论.
3.1 理论分析方法
针对楔-前掠圆柱构型的第Ⅱ类干扰, 可将流场划分为5个区域, 如图13所示. 前述数值结果已表明, 马赫数在各个区域内近似不变或仅有少量变化. 因此, 为简化分析, 本节假设各个区域内流场参数不变, 并忽略三维效应在对称面的影响, 采用激波关系式及滑移线压力平衡条件来近似计算0 ~ 5区的流动参数. 通过求解对应的方程组来最终给出M4的理论近似值.
在图13中的任意一道激波, 其气流偏转角δ、马赫数M和压力P满足如下关系
$$ \delta = {f_\delta }\left( {{M_u},\beta } \right) $$ (1a) $$ \;\;{M_d} = {f_d}\left( {{M_u},\beta } \right) $$ (1b) $$ {P_d} = {f_\delta }\left( {{M_u},\beta } \right) $$ (1c) 其中下标u和d分别表示波前和波后的参数; 函数fδ, fM和fP的具体表达式分别为
$$ {f_\delta }\left( {{M_u},\beta } \right) = {\tan ^{ - 1}}\frac{{2\cot \beta ({M^2}{{\sin }^2}\beta )}}{{{M^2}\left( {\cos 2\beta + \gamma } \right) + 2}} $$ (2a) $$ \begin{split} &{{f}_{d}}\left( {{M}_{u}},\beta \right)=\\ &\qquad \sqrt{\frac{(\gamma -1){{M}^{2}}+2}{2\gamma {{M}^{2}}{{\sin }^{2}}\beta -\left( \gamma -1 \right)}+ \frac{2{{M}^{2}}{{\cos }^{2}}\beta }{\left( \gamma -1 \right){{M}^{2}}{{\sin }^{2}}\beta +2} }\end{split} $$ (2b) $$ {f_\delta }\left( {{M_u},\beta } \right) = 1 + \frac{{2\gamma }}{{\gamma + 1}}\left( {{M^2}{{\sin }^2}\beta - 1} \right) $$ (2c) 针对图13中的各道激波依次应用式(1)和式(2), 可建立如下方程组
$$\qquad\quad {\delta _1} = \theta ,\quad{\delta _1} = {f_\delta }\left( {{M_0},{\beta _1}} \right) $$ (3a) $$\qquad\quad {M_1} = {f_M}\left( {{M_0},{\beta _1}} \right) $$ (3b) $$\qquad\quad {P_1} = {P_0}{f_P}\left( {{M_0},{\beta _1}} \right) $$ (3c) $$ \qquad\quad{\delta _2} = {f_\delta }\left( {{M_0},{\beta _2}} \right) $$ (4a) $$\qquad\quad {M_2} = {f_M}\left( {{M_0},{\beta _2}} \right) $$ (4b) $$ \qquad\quad{P_2} = {P_0}{f_P}\left( {{M_0},{\beta _2}} \right) $$ (4c) $$\qquad\quad {\delta _3} = {f_\delta }\left( {{M_1},{\beta _3}} \right) $$ (5a) $$\qquad\quad {M_3} = {f_M}\left( {{M_1},{\beta _3}} \right) $$ (5b) $$\qquad\quad {P_3} = {P_1}{f_P}\left( {{M_1},{\beta _3}} \right) $$ (5c) $$\qquad\quad {\delta _4} = {f_\delta }\left( {{M_3},{\beta _4}} \right) $$ (6a) $$ \qquad\quad{M_4} = {f_M}\left( {{M_3},{\beta _4}} \right) $$ (6b) $$ \qquad\quad{P_4} = {P_3}{f_P}\left( {{M_3},{\beta _4}} \right) $$ (6c) $$\qquad\quad {\delta _5} = {f_\delta }\left( {{M_1},{\beta _5}} \right) $$ (7a) $$\qquad\quad {M_5} = {f_M}\left( {{M_1},{\beta _5}} \right) $$ (7b) $$ \qquad\quad{P_5} = {P_1}{f_P}\left( {{M_1},{\beta _5}} \right) $$ (7c) 其中下标0 ~ 5分别表示图13中各区域的流动参数. 再考虑滑移线两侧的压力平衡条件, 还可有如下方程组
$$ \left| {\delta _3} - {\delta _1}\right| = {\delta _2} ,\quad {P_2} = {P_3} $$ (8) $$ \left| {\delta _4} - {\delta _3}\right| = {\delta _5} ,\quad {P_4} = {P_5} $$ (9) 式(3) ~ 式(9)是关于δi, Mi, Pi和βi (i = 1, 2, 3, 4, 5)的封闭方程组, 利用牛顿-拉夫逊迭代[35]方法即可得到M4的数值解.
3.2 计算结果分析
利用3.1节中的理论近似方法, 分别针对来流马赫数为5, 6.36和9, 给出了SW4波后马赫数M4随楔角的变化规律, 如图14所示, 其中楔角θ从10°逐渐增加到35°. 作为对比, 图中还给出了对应条件下的数值计算结果, 其中M4按波后随机选取10个点的平均值来计算.
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图 14 不同来流马赫数和入射激波强度下SW4后马赫数Figure 14. Comparison of Mach number behind SW4 in the different freestream Mach number经比较可以看出, 理论值略高于CFD的结果, 这是由于理论计算中采用了均匀流动假设. 实际CFD结果中气流在通过TS2后, 由于前缘的压缩其速度会逐渐减小. 图15以前掠角20°为例, 给出了透射激波TS2后马赫数分布, 从图中可以看出沿着流线, 马赫数从2.21逐渐减小至2.15. 这就会导致透射激波TS2, SW4和剪切层SL2围成的(3)区内马赫数要小于理论值. 从而导致下游SW4波后马赫数也随之减小. 因此理论分析得到的激波SW4波后马赫数要略高于CFD的结果.
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图 15 楔角20°, 前掠角20°下透射激波TS2后局部马赫数云图Figure 15. Mach number contour in the case of θ = 20°, Λ = 20°图16使用理论分析方法得到了马赫6.36下M4 = 1的曲线, 参数在其上方的区域会发生亚声速或跨声速射流, 下方的区域会发生超声速射流, 并在图中标注出了此参数空间中CFD结果中射流的类型. 从图中可以看出理论分析得到的临界条件略高于CFD结果, 这与图14结果相对应, 都是由于理论计算采用了均匀流动假设. 理论分析与CFD结果相比误差较小, 偏差在1°以内. 从图中还可以看出, 亚声速/跨声速射流这两种产生热流较小的流场结构在一定参数范围内是广泛存在的, 且来流马赫数越小, 发生亚/跨声速射流楔角参数范围越大.
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图 16 马赫6.36下射流类型判别条件Figure 16. Transition criteria of jet type in the freestream Mach number of 6.364. 结论
本文对楔-前掠圆柱构型三维激波干扰产生第II类干扰时下游形成的波系结构和气动热特性进行了分析. 发现射流速度对壁面热流分布有显著影响, 并从亚/跨/超声速射流的形状条件对热流影响机理进行了理论解释. 本文得到主要结论如下.
(1)第Ⅱ类干扰下游形成超声速射流时会造成壁面热流的显著上升, 最大热流可达到驻点热流的29.8倍. 而形成亚声速或跨声速射流时, 由于射流对壁面冲击减弱, 壁面热流维持在相对较低的水平.
(2)楔角是影响射流速度的主要因素, 楔角较小时, 入射激波较弱, 下游形成超声速射流. 楔角较大时, 由于入射激波强度增大, 波后马赫数减小, 其下游的射流也会随之变成亚声速. 这会导致一定参数范围内入射激波强, 干扰产生的热流反而会更小.
(3)理论分析结果表明, 在楔角和来流马赫数满足一定条件时, 亚声速射流会在较大参数范围内普遍存在. 来流马赫数越低, 或楔角越大, 越容易产生亚声速射流和低热流峰值.
鉴于楔-前掠圆柱构型产生干扰的复杂性, 未来需要进一步研究前缘形状对流场结构和气动热特性的影响.
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图 3 3种网格对应的对称面处流场对比
Figure 3. Comparison of flow pattern on the symmetry plane for verious grid resolution
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图 5 楔角为20°和30°时, 不同前掠角下干扰区热流最大值
Figure 5. The maximum heat flux in the case of θ = 20°, 30°
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图 6 楔-前掠圆柱构型激波干扰第Ⅱ类干扰的典型流场结构
Figure 6. The flow pattern of type II interaction in the swept-forward fin interaction
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图 8 前掠角Λ = 25°时TS2下游流场结构和壁面热流
Figure 8. Downstream flow pattern in the case of Λ = 25°
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图 9 不同前掠角下TS2下游流场结构和壁面热流
Figure 9. Downstream flow pattern in the different swept-forward angle
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图 10 前掠角Λ = 50°时TS2下游流场结构和壁面热流
Figure 10. Downstream flow pattern in the case of Λ = 50°
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图 11 前掠角Λ = 35°时TS2下游流场结构和壁面热流
Figure 11. Downstream flow pattern in the case of Λ = 35°
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图 12 前掠角Λ = 30°时TS2下游流场结构和壁面热流
Figure 12. Downstream flow pattern in the case of Λ = 30°
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图 14 不同来流马赫数和入射激波强度下SW4后马赫数
Figure 14. Comparison of Mach number behind SW4 in the different freestream Mach number
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图 15 楔角20°, 前掠角20°下透射激波TS2后局部马赫数云图
Figure 15. Mach number contour in the case of θ = 20°, Λ = 20°
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图 16 马赫6.36下射流类型判别条件
Figure 16. Transition criteria of jet type in the freestream Mach number of 6.36
表 1 计算中模型的几何参数
Table 1 Overview of the performed calculations
θ/(°) Λ/(°) Types of flow pattern 20 65, 55, 50, 45, 46, type Ⅰ 20 43, 42, 40, 37, 35, 30, 27, 25, 20 type Ⅱ (supersonic jet) 30 70, 65, 60, 58, 57 type Ⅰ 30 55, 52, 50, 47, 45, 40, 35, 30, 20 type Ⅱ (sub/transonic jet) 
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表 2 网格收敛性分析中不同网格的单元数量
Table 2 Four grids used in the grid independence study
Grid $ {N}_{\xi }\times {N}_{\eta }\times {N}_{\zeta } $ coarse 501$ \times $101$ \times $201 medium 1001$ \times $101$ \times $201 refined 1001$ \times $101$ \times $301
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