A SUPER-RESOLUTION LATTICE BOLTZMANN METHOD BASED ON CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORK
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摘要: 对于隧道突涌水、飞行器和汽车外形设计等与流动相关的问题, 通常使用计算流体力学 (CFD) 来预测流场特征和分析结构性能, 为设计的快速迭代提供技术支撑. 然而, 高精度CFD仿真需要大量的计算资源. 近年来, 基于机器学习的超分辨率流场重构方法在流体力学领域取得了重大进展. 本文首次基于格子Boltzmann方法(LBM), 结合卷积神经网络, 建立新的超分辨率流场重构模型(SRLBM), 将介观分布函数从低分辨率重建至高分辨率, 进而还原宏观速度场与涡量场. 首先, 使用LBM模拟了不同雷诺数下的二维圆柱绕流, 从多方面与文献进行对比, 验证了LBM的准确性. 然后, 将二维圆柱绕流数据作为SRLBM的训练集, 并对比不同缩放系数下SRLBM的重建效果. 结果表明, SRLBM在不同缩放系数下均能准确恢复高分辨率分布函数. 在8倍缩放系数下, 相比双三次插值重建方法, SRLBM重建的分布函数误差降低了近60%, 宏观场误差降低了近70%. 即使在32倍缩放系数下, SRLBM还原的宏观场与直接数值模拟结果基本保持一致. 固体体积分数作为额外输入通道可有效提高SRLBM的预测能力, 在32倍缩放系数下, 可使圆柱区域相对误差降低近40%. SRLBM具有一定的泛化能力, 当缩放系数为8时, 在一定雷诺数范围内重建的高分辨率流场误差小于3%. 因此, SRLBM在经过充分训练后, 具备成为高精度复杂流场快速重构方法的潜力.Abstract: For fluid problems, such as water inrush disaster in tunnels, shape design and optimization of aircraft and automobile, computational fluid dynamics (CFD) is commonly used to predict flow characteristics and analyze structural performance. However, high-precision CFD simulations require significant computational resources. In recent years, the super-resolution flow field reconstruction method based on machine learning has made significant progress in fluid mechanics. In this study, a novel super-resolution flow field reconstruction model (SRLBM) is firstly proposed, which is based on the lattice Boltzmann method (LBM) combined with convolutional neural networks, to reconstruct mesoscopic distribution functions from low-resolution to high-resolution, thereby restoring macroscopic velocity fields and vorticity fields. First, the two-dimensional flow around a cylinder at different Reynolds numbers is simulated using LBM, and compared with published data regarding various aspects to validate the accuracy of LBM. Then, the data from the two-dimensional cylinder flow are utilized as the training dataset for SRLBM, and the reconstruction performance of SRLBM under different scaling factors are compared. The results show that SRLBM can effectively restore high-resolution distribution functions for different scaling factors. At a scaling factor of 8, compared to bicubic interpolation reconstruction methods, the error of SRLBM is reduced by nearly 60% regarding distribution functions, and is reduced by nearly 70% regarding the macroscopic fields. Even at a scaling factor of 32, the macroscopic field restored by SRLBM is generally consistent with the results from the direct numerical simulation. Incorporating solid volume fraction and distribution function as input channels can effectively enhance the predictability of SRLBM, which can reduce the relative error in the cylinder region by nearly 40% when the scaling factor is 32. The SRLBM demonstrates a good generalization ability, when the scale factor is 8, the error in the reconstructed high-resolution flow field within a certain range of Reynolds numbers is below 3%. Therefore, after adequate training, SRLBM has the potential to become an effective method for reconstructing high-resolution complex flow field.
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引 言
快速并且准确地获取高分辨率流动数据一直是实验和计算流体力学的主要追求之一. 高分辨率的流场信息意味着更丰富的流场特征, 从而允许工程师更可靠地分析流场特征和结构性能. 这种高分辨率信息的主要来源是数值模拟. 传统计算流体力学(computational fluid dynamics, CFD)方法通过迭代求解Navier-Stokes (NS) 方程获取流场信息. 这类方法包括有限体积法 (FVM)、有限差分法 (FDM) 和有限元法 (FEM) 等. 然而, 在Courant-Friedrichs-Lewy 条件限制下, CFD计算结果的准确性往往和网格大小紧密相关, 为了得到更加精准的结果, 通常需要减小网格尺寸从而导致计算成本增加. 但是在大型设计的研究中, 如面对地下突涌水开发复杂隧道支护体系, 飞行器及汽车外形优化等涉及到流场分析的问题, 通常需要快速对其进行反馈迭代, 这无疑对传统CFD方法提出了新的挑战.
为加速流场的数值计算, 学界提出了多种加速方案. 浸没边界法[1]分别采用固定的欧拉网格和移动的拉格朗日网格离散流体域和固体域, 大大简化了网格生成的前处理过程. 同时, ROM[2]降阶方法通过用更小阶的模型取代原始模型, 在保持一定准确性的同时减少计算成本, 被广泛用于加速数值模拟. ROM根据降阶方式分为奇异值分解[3]和本征正交分解[4]两种方法. 近年来, 计算机的硬件设施快速发展, 由CPU占主导的并行计算模型逐渐被GPU取代. NVIDIA 公司开发的CUDA并行计算架构目前被广泛应用到机器学习、CFD等大规模数据运算[5-6].
近些年, 机器学习的普及和快速发展为流体力学领域带来了新的机遇, 在学界激起将机器学习与流体力学结合的研究浪潮[7]. Baldi等[8]首次将深度学习应用到了流体力学领域, 利用本征正交分解和线性神经网络的关联性, 重建了湍流流场和管道流近壁面区域的流动特征. Giralt等[9]设计的神经网络能够捕捉自由湍流的高度非线性动力学特征. Zhu等[10]通过径向基神经网络和辅助优化方法, 建立了湍流模型, 并重现高雷诺数下翼型的周边流动状态. Duraisamy等[11]综合分析了基于机器学习的RANS方程代理模型, 认为数据驱动方法可结合湍流建模与物理约束的先验知识, 产生可靠的预测模型.
此外, 基于机器学习的流场重构方法也在快速发展. Fukami等[12]首次在流场中进行超分辨率分析, 通过卷积神经网络和多尺度下采样混合连接方法, 将低分辨率复杂流动图像重建为高分辨率流场图像, 并取得了显著的效果. Liu等[13]提出了两种超分辨率湍流重建的深度学习模型, 在湍流通道流动中准确恢复了近壁面的高分辨率数据. Kim等[14]开发了一种无监督学习模型, 在多种雷诺数下的均匀各向同性湍流中恢复高分辨率流场. 吴昊恺等[15]通过卷积神经网络和生成对抗神经网络, 将低分辨率近壁面湍流流场重建为高分辨率流场. 利用机器学习直接从粗糙数据中恢复高分辨率数据的方案, 在计算成本较高的数值模拟中具有巨大的应用潜力.
在工业设计中, 通常需要分析速度场、压力场和涡量场等宏观物理量. 例如在翼型设计中, 流动分离会增加阻力、降低升力, 从而影响飞行器性能, 而它的产生通常与翼型上下压力差、机翼表面的流场分布情况以及涡旋相关[16]. 然而, 由于训练数据的差异性, 基于单一宏观量训练的模型一般不适用于重建其他宏观量. 因此, 对于传统CFD方法, 通常需要训练多个模型来应对更复杂的流场分析.
格子Boltzmann方法 (LBM) 于20世纪80年代被提出[17-18], 在湍流[19-20]、多相流[21-24]、微流体[25]、颗粒流[26-27]和多孔介质流[28]等复杂流动中得到了广泛应用, 成为计算流体力学的一种可行数值工具. LBM作为一种介观方法, 通过在每个时间步上计算分布函数的碰撞和迁移过程, 完成宏观流场的演化. 分布函数描述了微观粒子在特定方向上的分布, 并且其速度矩可还原速度、密度和压强等宏观物理量. LBM特殊的微观表示 (即离散粒子分布函数数量), 使得它比宏观量具有更多自由度, 这些额外的自由度给予了LBM在机器学习中编码更多信息的基础. Chen等[29-30]设计了由卷积层和卷积长短期记忆层组成的神经网络, 通过输入带有时间和空间双重维度的流场信息, 从而对跨越多个传统迭代后的流场进行预测. Wang等[31]结合了LBM与卷积神经网络, 将不同雷诺数下的密度分布函数与温度分布函数作为卷积层输入, 从而快速模拟出其他雷诺数下的方腔对流场景.
LBM以其特有的分布函数属性, 可以从介观角度对流场进行重构, 从而快速恢复宏观物理量. 本文首次提出了新的超分辨率卷积神经网络模型(SRLBM), 对LBM直接数值模拟得到的分布函数数据进行下采样, 并将下采样后的数据用作训练集, 在不同缩放系数、不同输入通道和不同雷诺数场景下, 分析SRLBM超分辨率流场重建的能力.
1. 理论方法与模型搭建
1.1 格子Boltzmann方法
LBM通过粒子分布函数 (particle distribution function, PDF) 描述整个宏观系统的演化, 分布函数表示某一时刻在特定位置出现特定速度的粒子的概率. ${f_i}({{\boldsymbol{x}}},t)$为$t$时刻位于${{\boldsymbol{x}}}$处指向${{{\boldsymbol{c}}}_i}$方向的PDF. 不同于在宏观场上求解NS方程, LBM的控制方程从介观角度描述了PDF的演化. 无源项的单松弛LBM方程为
$$ {f_i}({{\boldsymbol{x}}} + {{{\boldsymbol{c}}}_i}{\delta _t},t + {\delta _t}) - {f_i}({{\boldsymbol{x}}},t) = \varOmega _{{\text{ }}i}^{{\text{ }}f} $$ (1) 式中, 左边项为流动过程, 表示分布函数$ {f_i} $沿${{{\boldsymbol{c}}}_i}$方向在一个LBM时间步${\delta _t}$内从$ {{\boldsymbol{x}}} $传递到邻近的节点${{\boldsymbol{x}}}$ + ${{{\boldsymbol{c}}}_i}{\delta _t}$. 右边项$\varOmega _i^f$为Bhatnagar等[32]提出的BGK碰撞算子, 松弛时间$\tau $控制流场朝着平衡态分布函数$f_i^{eq}$演化的速率
$$ \varOmega _{{i}}^f = - \frac{1}{\tau }[{f_i}({{\boldsymbol{x}}},t) - f_i^{eq}({{\boldsymbol{x}}},t)] $$ (2) 式中, $f_i^{eq}$是Maxwellian分布沿宏观流体速度${{{\boldsymbol{u}}}_f}$的Taylor级数展开的二阶截断[33]
$$ f_i^{eq} = {w_i}{\rho _f}\left[1 + \frac{{{{{\boldsymbol{c}}}_i} \cdot {{{\boldsymbol{u}}}_f}}}{{c_s^2}} + \frac{{{{({{{\boldsymbol{c}}}_i} \cdot {{{\boldsymbol{u}}}_f})}^2}}}{{2c_s^4}} - \frac{{{{{\boldsymbol{u}}}_f} \cdot {{{\boldsymbol{u}}}_f}}}{{2c_s^2}}\right] $$ (3) 其中, ${c_s} = 1/\sqrt 3 $为格子声速. 本文采用D2Q9模型, 表示二维情况下的9个离散方向的离散速度集, 每个离散速度${{{\boldsymbol{c}}}_i}$(${{i}} \in {{[0, 1, }} 2,\cdots {\text{, 8]}}$)及其权重${w_i}$如图1所示.
根据质量和动量守恒, 可以由PDF的零阶和一阶速度矩重构宏观流体密度${\rho _f}$和速度${{{\boldsymbol{u}}}_f}$
$$ \rho_f = \sum_{i = 0}^8 f_i $$ (4) $$ \boldsymbol{u}_f = \sum_{i = 0}^8 {\boldsymbol{c}}_i f_i / \rho_f $$ (5) 式(1)可通过多尺度(如Chapman-Enskog)展开恢复至Navier-Stokes方程[34], 并得到松弛时间$\tau $、LBM时间步长${\delta _t}$、网格步长${\delta _x}$和流体运动黏度$\nu $之间的关系
$$ \nu = c_s^2\left( {\tau - \frac{1}{2}} \right)\frac{{\delta _x^2}}{{{\delta _t}}} $$ (6) 另一宏观物理量压强$p$可由流体密度根据状态方程计算得到[34]
$$ p = c_s^2{\text{ }}{\rho _f} $$ (7) 1.2 部分渗透单元法
本文采用部分渗透单元 (partially saturated cells, PSC) 方法耦合流体与固体界面行为[35], 如图2所示. PSC方法根据每个格子的固体体积${V_s}$和流体体积${V_f}$计算其固体体积分数$\varepsilon = {V_s}/({V_s} + {V_f})$. 本文通过Python中的Shapely几何操作数据库, 来计算每个格子内与圆的交集区域面积(即固体体积), 从而确定其固体体积分数$\varepsilon $. 根据$\varepsilon $的大小可以将格子分成3类: 流体格子($\varepsilon = 0$)、界面格子($\varepsilon \in (0,1)$)和固体格子($\varepsilon = 1$). 通过在LB演化方程引入一个额外的固体碰撞算子($\varOmega _i^s$)
$$ \varOmega _i^s = {f_{( - i)}}({{\boldsymbol{x}}},t) - {f_i}({{\boldsymbol{x}}},t) {\text{ }} + f_i^{eq}(\rho ,{{{\boldsymbol{u}}}_s}) - f_{( - i)}^{eq}(\rho ,{{{\boldsymbol{u}}}_f}) $$ (8) 将所有格子的碰撞项表示为$\varOmega _i^f$和$\varOmega _i^s$的加权和为
$$ \begin{split} & {f_i}({{\boldsymbol{x}}} + {{{\boldsymbol{c}}}_i}{\delta _t},t + {\delta _t}) - {f_i}({{\boldsymbol{x}}},t) = [1 - {\text{ }}B(\varepsilon ,\tau )]\varOmega _i^f +\\ &\qquad B(\varepsilon ,\tau )\varOmega _i^s\end{split} $$ (9) 下标${{ - {{i}}}}$表示的是与${{i}}$相反的方向, 即${{{\boldsymbol{c}}}_{ - i}}$ = ${ - }{{{\boldsymbol{c}}}_i}$. $ {{{\boldsymbol{u}}}_s} $为${{\boldsymbol{x}}}$处固体的宏观速度. 权重函数$B$的值根据松弛时间$\tau $和固体体积分数$\varepsilon $得到[35]
$$ B(\varepsilon ,\tau ) = \frac{{\varepsilon (\tau - 1/2)}}{{(1 - \varepsilon ) + (\tau - 1/2)}} $$ (10) 在PSC方法中, 流体对固体的作用由流体流动施加在该固体覆盖的所有节点的力表示
$$ {{\boldsymbol{F}} = }\sum\limits_{j = 1}^m \left({B_j} \sum\limits_i^8 \varOmega _i^B{{{\boldsymbol{c}}}_i}\right) $$ (11) 其中, $m$为该固体覆盖的格子数量.
1.3 基于LBM的超分辨率卷积神经网络模型
图像超分辨率分析通过插值[36]、重建[37]、增强[38]或者学习[39]的方式, 从低分辨率(模糊、退化)的图像得到高分辨率的图像, 是计算机视觉中一个重要的方向. Dong等[40]将神经网络学习过程抽象为图像特征的提取和聚合, 提出了超分辨率卷积神经网络(SRCNN), 开创了基于机器学习的超分辨率分析. 不同于多层感知器神经网络(MLP), 卷积神经网络(CNN)通过卷积操作提取局部特征, 使得网络可以捕捉数据中的空间层次结构, 同时大量减少网络参数[41].
LBM方法的核心步骤是分布函数的碰撞和迁移, 而流场宏观数据通过分布函数还原得到. 本文结合LBM的特点, 提出了基于LBM的机器学习超分辨率分析的总体过程, 如图3所示. 使用本文提出的SRLBM模型将低分辨率分布函数进行重建, 得到高分辨率分布函数, 从而进一步还原速度、涡量等宏观场.
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图 3 基于LBM的超分辨率流场重构过程Figure 3. An overview of super-resolution reconstruction of flow fields based on LBM本文基于Pytorch-2.1.0-cuda-12.1环境构建了超分辨率LBM神经网络模型SRLBM, 如图4所示. 总体架构为3层卷积神经网络, 输入和输出的通道数分别为10和9. SRLBM将每个低分辨率分布函数单独作为输入的一个通道, 并加入描述障碍物位置的固体体积分数通道共同组成输入的10通道. SRLBM的输出为重建后的9个方向的高分辨率分布函数数据. 每层卷积核的个数分别是 64, 32和9, 其尺寸大小分别为9 × 9, 5 × 5和5 × 5. 同时为保存各通道尺寸不变性, 在每层中进行零填充, 大小分别为4, 2和2. 在卷积层中, 上一层的特征图经过卷积核进行卷积, 然后通过ReLU激活函数[42], 得到输出特征图. 每层的操作表示成
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图 4 基于卷积神经网络的超分辨率LBM模型SRLBMFigure 4. Super-resolution LBM model based on convolutional neural network (SRLBM)$$ H({{\boldsymbol{X}}_q}) = \max (0,{{\boldsymbol{W}}_q} \otimes {{\boldsymbol{X}}_q} + {{\boldsymbol{b}}_q}) $$ (12) 其中, ${{\boldsymbol{W}}_q}$, ${{\boldsymbol{b}}_q}$和${{\boldsymbol{X}}_q}$分别表示第${{q}}$层的卷积核、卷积核偏置项和上一层特征数据, ${{q}} \in \{ 1,2,3\} $. SRLBM的参数可以表示为$\varTheta = \{ {{\boldsymbol{W}}_q},{{\boldsymbol{b}}_q}\} $, 通过随机梯度下降法[43]不断缩小预测值$H({\boldsymbol{X}};\varTheta )$与真实值${{\boldsymbol{Y}}^{{\mathrm{True}}}}$之间的误差, 即损失函数. 本文采用均方误差作为损失函数
$$ Loss = \frac{1}{n}{\text{ }}\sum\limits_{\alpha = 1}^n {{{\left\| {H{{({\boldsymbol{X}};\varTheta )}_\alpha } - {\boldsymbol{Y}}_\alpha ^{{\mathrm{True}}}} \right\|}^2}} $$ (13) 式中, n为训练集的样本数. 高分辨率训练集通过LBM的直接数值模拟(DNS)获取. 并使用双三次插值对DNS结果下采样$K$倍, 获得对应的低分辨率数据集, 这样可以确保高低分辨率数据样本相互对应, 使得SRLBM可以准确地学习它们的非线性映射关系. 然后使用双三次插值将粗糙低分辨率数据上采样到高分辨率空间尺寸. 这里的双三次插值上采样过程可看作是一种特殊分数步幅的卷积操作, 亦可作为超分辨率模型训练的一部分[40].
在机器学习领域, 对输入数据进行标准化可以消除数据本身的奇异性, 从而提高网络的稳定性及模型的泛化能力, 并加速模型收敛. 而LBM方法具备良好的数值稳定性与守恒性, 9个方向的分布函数在平衡态附近小幅波动. 因此, 我们对经过两次双三次插值后的分布函数数据和DNS结果进行了标准化(后者为真实对照标签), 将它们映射到标准正态分布. 每个方向分布函数${f_i}$执行的标准化公式得到$f_i^{{\mathrm{norm}}}$
$$ f_i^{{\mathrm{norm}}} = \frac{{{f_i} - {\mu _i}}}{{{\sigma _i}}} $$ (14) 式中, ${\mu _i}$和${\sigma _i}$分别是${f_i}$的均值及方差.
模型采用自适应矩估计优化器Adam, 前两层学习率为${10^{ - 4}}$, 最后一层使用较低的学习率可以加快收敛[40], 本文设置为${10^{ - 5}}$. 此外, 采用自适应学习率调节因子可以使模型更有效收敛到最优解, 当迭代误差在10个连续迭代内停滞时, 将学习率乘以0.2.
2. 二维圆柱绕流验证
高保真的LBM仿真结果是SRLBM方法的基础. 本文以圆柱绕流为例进行流场仿真, 它是研究如飞行器结构设计、海上钻井平台等工程背景的重要基础. 在恒定不可压缩来流下, 雷诺数$Re$是区分复杂流态的重要无量纲数. 本文将$Re$定义为
$$ Re = \frac{{{u_\infty }D}}{\nu } $$ (15) 其中, ${u_\infty }$为来流流速, $D$为圆柱直径, $\nu $为流体运动黏度. 根据Fredsoe等[44]总结的规律, 当 $Re$ < 5时, 不会出现边界层的分离现象, 当$Re$达到5时, 开始发生边界层的分离. 当5 < $Re$ < 40时, 在圆柱后形成一对位置相对圆柱固定的涡, 涡的大小随$Re$增加而增大. 当$Re$ > 40时, 圆柱后的两个涡将从圆柱交替脱落而形成涡街(vortex street).
圆柱绕流计算域如图5所示. 计算区域大小为60D × 32D, 网格步长${\delta _x}$ = $D/32$, D = 0.001 m, 松弛时间$\tau $ = 0.515, 流体密度${\rho _f}$ = 1000 kg/m3, 流体运动黏度$\nu $ = $ 1.0 \times {10^{ - 6}} $ N·s/m2, $ Re $为 20, 40和100时的${u_\infty }$分别为0.02, 0.04和0.1 m/s.
首先对$Re$ 为20和40的情况使用LBM进行直接数值模拟. 绘制的流线图如图6所示, 流体在迎风面贴着圆柱表面流动, 而在背风面由于黏性力占主导, 使得靠近壁面的流体的剪切变形较大, 导致边界层内的流体微团下表面黏性力大于上表面, 从而发生流动分离, 并在圆柱体后方产生一个低速低压区域, 形成了两个上下对称分布的涡状结构.
为全面分析本文LBM算法的准确性, 选择多个关键参数与参考文献[45-47]相比较, 相关结果见表1. 其中, He等[45]为LBM结果, Nieuwstadt等[46] 和Dennis等[47]为基于求解NS方程的有限差分法(FDM)结果.
表 1 Re = 20和40时相关参数对比Table 1. Comparison of relevant parameters at Re = 20, 40Re Reference Method $Lr/D$ $ {\theta _s}/(^\circ) $ ${C_d}$ ${C_p}(0)$ ${C_p}(\text{π} )$ 20 present paper LBM 0.906 137.52 2.092 1.111 0.673 He et al.[45] LBM 0.921 137.04 2.152 1.241 0.569 Nieuwstadt et al.[46] CFD 0.893 136.63 2.053 1.274 0.582 Dennis et al.[47] CFD 0.940 136.30 2.045 1.269 0.589 40 present paper LBM 2.281 127.21 1.559 1.038 0.565 He et al.[45] LBM 2.245 127.16 1.499 1.139 0.487 Nieuwstadt et al.[46] CFD 2.179 126.66 1.550 1.117 0.554 Dennis et al.[47] CFD 2.230 126.20 1.522 1.144 0.509 尾涡区域包含丰富的流场特征, 包括尾涡长度($Lr/D$)和分离角(${\theta _s}$). 尾涡长度定义为圆柱后方水平中轴线上速度为负值的区域长度, 而分离角是尾涡分离点和中轴线的夹角, 夹角计算起始点为圆柱前驻点. 表1数据显示, 当$Re$ = 20时, 尾涡长度约为2D, 分离角约为137°. 而当$Re$ = 40时, 尾涡长度增加至约4.5D, 分离角约为127°. 两种情况的分离角相差约为10°, 与文献[45-47]结果吻合. 图7进一步展示了本文LBM结果的尾涡中轴线速度演化, 并与Nieuwstadt[46]的理论值及Coutanceau等[48]和Nishioka 等[49]的实验值进行对比. 结果表明LBM模拟结果与文献数据吻合度较高.
此外, 为验证PSC方法的可行性, 计算拖曳力系数${C_d}$和压力系数$ {C_p} $, 其中$ {C_d} = 2{F_x}/(\rho \bar u_\infty ^2 D) $, ${C_p} = 2(p - {\bar p_\infty })/({\bar \rho _\infty }\bar u_\infty ^2)$. 其中${\bar u_\infty }$, ${\bar p_\infty }$和$ {\bar \rho _\infty } $分别为入口处平均流速, 平均压强和平均密度. 从表1结果来看, ${C_d}$和$ {C_p} $结果与文献参考值基本一致, 说明LBM-PSC耦合方法具有较高的准确性.
本文进一步考查$Re$ = 100时的非定常流动. 图8展示了3种不同雷诺数下拖曳力系数${C_d}$和升力系数$ {C_l} $随时间的演化, 其中$ {C_l} = 2{F_y}/(\rho \bar u_\infty ^2 D) $. 在图8(a)中, ${C_d}$在流动开始时波动较大, 此后逐渐趋于稳定值, 并且这个数值与$Re$呈负相关趋势. 当$Re$ = 100时, 在0.5 s时刻左右${C_d}$由于卡门涡街作用而缓慢上升. 而在图8 (b)中, 仅当$Re$ = 100时, ${C_l}$在$t$ = 0.5 s后由0逐渐演变为振幅约为0.35的稳定周期震荡, 而其余低雷诺数情况(Re = 20, 40) ${C_l}$基本保持为0.
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图 8 Re = 20, 40, 100下${C_d}$及${C_l}$时程图Figure 8. Time-history plots of ${C_d}$and ${C_l}$ at Re = 20, 40, 1003. 超分辨率流场重构
3.1 数据准备
本文选取$Re$ = 100时的LBM模拟结果作为DNS数据, 并截取了图5中虚线区域对应的数据作为训练集, 截取范围为$\{ (x,y)|x \in [ - 2.5 D,{\text{ }}10.5 D], y \in [ - 2.5 D,{\text{ }}2.5 D]\} $, 网格点个数$Nx$ = 410, $Ny$ = 160. 本文选择从零时刻开始到$t = 2{\text{ s}}$的200个等间隔时刻的数据, 其中包括了早期的涡街发展稳定阶段和后期的涡街脱落阶段.
对于模型的输入, 将这200个直接数值模拟得到的分布函数数据, 首先执行缩放系数为$K$的双三次插值下采样, 并再次使用双三次插值上采样回原有尺寸. 随后将这些粗糙数据执行式(14)的标准化过程, 并在输入通道额外加入描述障碍物位置的固体体积分数通道, 组成10通道, 模型的输出为重建后的9通道高分辨率分布函数. 本文将处理过的200个数据集顺序打乱重组, 按照8:2的比例分为训练集与测试集.
3.2 不同缩放系数的模型训练结果
初步考查缩放系数$K$ = 8时, SRLBM重建流场的能力. 训练过程采用式(13)的均方误差作为预测评价指标, 迭代800次后的训练集 (train) 和测试集 (test) 误差下降情况如图9所示. 从图9中可以看出, 训练集和测试集误差在迭代400次已趋于稳定, 均方误差约为$2.0 \times {10^{ - 3}}$.
图10展示了在$t$ = 2 s时刻, SRLBM与传统双三次插值 (bicubic interpolation) 方法对9个方向分布函数的重建效果. 采用$ L_{2} $相对误差范数$ y $将重建结果${{\boldsymbol{X}}^{{\mathrm{pre}}}}$与DNS结果进行对比, 其中, $ \gamma = {\left\| {{{\boldsymbol{X}}^{{\mathrm{pre}}}} - {{\boldsymbol{Y}}^{{\mathrm{True}}}}} \right\|_2}\Big/{\left\| {{{\boldsymbol{Y}}^{{\mathrm{True}}}}} \right\|_2} $. 第一列为DNS下采样8倍的低分辨率粗糙数据(low resolution, LR), 第2列为使用双三次插值对第1列数据上采样8倍的结果, 第3列为使用SRLBM重建得到的结果, 第4列为原始高分辨率DNS数据. 首先, 与DNS数据相比, 双三次插值结果对于圆柱区域的插值结果过于平滑. 虽然双三次插值会考虑周围的16个点的数据进行插值, 但是对于流场来说, 其对非线性规律的捕捉能力仍然偏弱. 而对于SRLBM训练的结果, 可以明显看到圆柱轮廓, 以及圆柱周围分布函数的突变, 误差$ \gamma $的结果也比双三次插值结果低近60%, 更接近DNS结果. 这说明SRLBM相较于传统的双三次插值而言可以更准确地识别到障碍物的存在, 并且可以捕捉流场中非线性规律.
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图 10 $K$ = 8时双三次插值与机器学习方法对$t$ = 2 s时分布函数重建结果对比Figure 10. Comparison of distribution function reconstruction results at $t$ = 2 s between bicubic interpolation and machine learning methods when $K$ = 8为进一步考查SRLBM重建的分布函数对宏观场的还原效果, 图11将不同方法重建的分布函数还原为宏观速度场(水平方向速度${u_x}$和竖直方向速度${u_y}$)和涡量场$\omega $. 对于图11中的速度场, 双三次插值结果虽然在整体上具备与DNS相同的特征, 但是在圆柱周围仍得出过于平滑的数据, 而SRLBM结果与DNS则十分接近. 这一现象在涡量结果中表现地更为明显, 双三次插值结果在圆柱上下侧的涡量值表现得十分稀疏, 而SRLBM结果还原出圆柱周围的涡量值的急剧变化, 精准还原了DNS结果. 总体来说, SRLBM重建宏观流场结果的误差$ \gamma $比双三次插值低了近70%.
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图 11 $K$ = 8时双三次插值与机器学习方法对$t$ = 2 s时宏观场重建结果对比Figure 11. Comparison of macroscopic field reconstruction results at $t$ = 2 s between bicubic interpolation and machine learning methods when $K$ = 8为进一步评估在不同缩放系数$K$下, SRLBM捕捉流场细节的能力, 本文将$K$扩展到16和32进行测试. 同时, 为了更细致地分析流场重建后的数据差异, 图12以统计的方式展现了SRLBM在不同$K$下重建的速度场${{{\boldsymbol{u}}}_f}$、涡量场$\omega $的概率密度函数(probability density function, ${\text{p}}{\text{.d}}{\text{.f}}{\text{.}}$). 当$K$ = 8时, 双三次插值重建的速度场大体上与DNS相似, 但是在0附近概率偏大, 这是因为插值方法不能识别到圆柱区域速度为0的特殊分布, 从而将这个区域与附近流场进行平滑过渡; 涡量场结果基本一致. 此时SRLBM重建的速度场及涡量场则与DNS基本相同. 当$K$ = 16时,双三次插值所需的流场信息进一步减少, 从而使得重建的速度、涡量场更加平滑, 其中, 速度场丢失速度0的值, 在0 ~ 0.25$ {u_\infty } $之间的概率偏大, 涡量场的还原范围下降到± 45左右; 而SRLBM重建的速度场仅在速度为0的小区域内概率偏大, 其余区域表现良好, 重建的涡量场与DNS结果总体上相似. 当$K$ = 32时, 双三次插值重建的速度场进一步丢失速度1.25$ {u_\infty } $及以上的值, 在0.6$ {u_\infty } $左右的速度值概率偏大, 涡量值的范围也进一步缩小到±30左右; SRLBM重建的速度场仍在值为0的小区域附近概率偏大, 1.25$ {u_\infty } $处概率偏低, 重建的涡量场仍与DNS相接近. 总体来说, SRLBM相比双三次插值, 能够还原更丰富的流场细节, 即使在32倍缩放系数下, SRLBM仍然具备捕获流场主要特征的能力.
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图 12 $K$ = 8, 16和32时, 双三次插值与机器学习重建的$t$ = 2 s时速度场与涡量场概率密度函数Figure 12. Probability density functions of velocity and vorticity fields at $t$ = 2 s reconstructed by bicubic interpolation and machine learning methods when $K$ = 8, 16, 323.3 不同网络结构的对比
基于3.2节的结果, SRLBM可以在流场重构中识别出圆柱所在位置, 从而对该区域做特殊处理. 为了检验固体体积分数输入通道在SRLBM中的作用, 本节考查是否将固体体积分数作为输入通道的不同网络结构的训练情况, 并仍采用$Re = 100$的数据集展开训练.
由于训练集和测试集的误差几乎重合, 图13仅展示不同缩放系数下, 两种网络结构的测试集误差对比, 其中实线代表添加了固体体积分数的10输入通道模型结果, 而虚线则代表不添加固体体积分数的9输入通道模型结果. 由图13可见, 随着$K$的增大, 测试集的误差收敛值也越大, 并且9通道模型的收敛值始终大于10通道模型的收敛值. 具体而言, 10通道模型的收敛值从$K$= 8时的$ 2.0 \times {10^{ - 3}} $逐渐增大到$K$= 32时的$1.5 \times {10^{ - 2}}$. 9通道模型的收敛值从$K$= 8时的$2.5 \times {10^{ - 3}}$逐渐增大到$K$ = 32时的$1.9 \times {10^{ - 2}}$.
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图 13 K = 8, 16和32时, 10通道和9通道的SRLBM测试集误差下降对比Figure 13. Comparison of test set mean-square-error variation between 10-channel and 9-channel SRLBM at $K$ = 8, 16, 32为了进一步研究固体体积分数输入通道对圆柱区域附近流场重构的影响, 考查基于双三次插值、9输入通道和10输入通道的SRLBM三种方法得到不同$K$下水平速度中轴线的演化规律, 取$t$ = 2 s时刻, 如图14所示. 当$K$ = 8时, 误差主要集中在圆柱区域内, 双三次插值结果略微高于DNS, SRLBM的两种通道模型重建结果均接近DNS, 速度结果更接近于0. 当$K$ = 16时, 双三次插值结果在圆柱区域附近表现出平滑的特点, 速度演化表现出平滑下降再上升的趋势, 并在圆柱后1D位置的速度波峰位置略低于DNS. 而此时SRLBM的两种通道模型重建的结果除在2.5D速度波峰位置略偏离DNS之外, 其余区域基本与DNS吻合, 但9输入通道模型重建结果在圆柱区域内左右两端的值略高于DNS, 10输入通道模型重建结果则基本为0. 当$K$ = 32时, 3种方法重建的流场结果均表现较差. 双三次插值结果在[−D, 3D]区间与DNS差异较大, 几乎不能捕获圆柱周围流场的主要特征. SRLBM重建结果与DNS的总体上保持相同趋势, 但在圆柱区域、2.5D速度波峰位置以及1.5D波谷位置均与DNS偏离较大. 在圆柱区域内, 9输入通道模型重建结果最高接近0.11${u_\infty }$, 而10输入通道模型重建结果最高接近0.04${u_\infty }$, 其圆柱区域整体的相对误差比9输入通道模型重建结果降低约40%. 综上所述, 添加固体体积分数通道可有效帮助SRLBM识别流场中固体区域, 使得该区域附近重构的速度更接近于真实情况.
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图 14 $K$ = 8, 16, 32时, 不同流场重建方法重建的$t$ = 2 s时速度场在水平中轴线的分布Figure 14. Distribution of the flow velocity along the horizontal axis at $t$ = 2 s reconstructed by different flow field reconstruction methods when $K$ = 8, 16, 323.4 SRLBM泛化能力测试
为了进一步研究SRLBM对其他雷诺数场景的泛化能力, 考查了基于$Re = 100$数据训练的模型对不同雷诺数场景的预测情况. 如图15所示, 展示了不同缩放系数$K$ = 8, 16和32下, 在同一时刻$t$ = 2 s对Re = 60, 80, 120和140时圆柱绕流数据的分布函数重建结果. 当$Re$大小越接近100时, 分布函数的误差$\gamma $值也越小, 呈现出倒三角的趋势. 其中, 当$K$ = 8时, $\gamma $值从$Re$ = 100时的$3.7 \times {10^{ - 4}}$增大到了$Re$ = 140和$Re$ = 60时的$1.5 \times {10^{ - 3}}$左右, 误差增大了一个数量级. 当$K$ = 32时, $\gamma $值从$Re$ = 100时的$1.2 \times {10^{ - 3}}$增大到$Re$ = 60和140时的$3.5 \times {10^{ - 3}}$左右, 误差增大至原来的3倍.
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图 15 不同缩放系数下基于$Re$ = 100时的数据训练的SRLBM模型在不同雷诺数下重建的$t$ = 2 s时分布函数误差结果对比Figure 15. Comparison of errors of distribution functions at $t$ = 2 s under different Reynolds numbers, reconstructed by the SRLBM model trained at $Re$ = 100 for different scaling factors图16进一步展示了还原的宏观速度场误差对比, 其与图15的误差趋势基本相同, 仍表现出倒三角的趋势. 其中, 当$K$ = 8时, $\gamma $值从Re = 100时的$5.4 \times {10^{ - 3}}$分别增大到Re = 60和140时的$2.8 \times {10^{ - 2}}$和$1.1 \times {10^{ - 2}}$. 当$K$ = 32时, $\gamma $值从Re = 100时的$2.2 \times {10^{ - 2}}$分别增大到$Re$ = 140和60时的$1.5 \times {10^{ - 1}}$和$ 4.0 \times {10^{ - 2}} $. 在不同缩放系数下, $Re$ < 100时的速度场预测误差比$Re$ > 100时的误差更大, 其原因可能是$Re$较小时流场较长时间表现出层流的特性, 在$Re$ = 100的场景训练时未学习充分, 模型预测精度较差. 当$Re$在100附近 (正负40范围内) 变化且缩放系数为8时, 速度场的最大误差小于3%.
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图 16 不同缩放系数下基于$Re$ = 100时的数据训练的SRLBM模型在不同雷诺数下重建的$t$ = 2 s时速度场误差结果对比Figure 16. Comparison of errors of velocity field at $t$ = 2 s under different Reynolds numbers, reconstructed by the SRLBM model trained at $Re$ = 100 for different scaling factors图17进一步展示了在$t$ = 2 s、缩放系数$K$ = 8、$Re$ = 60和140时, SRLBM预测的时速度场和涡量场结果. 即使是在 $Re$ = 60 时, 流场未发生涡街脱落的情况, SRLBM预测的速度场和涡量场特征与DNS结果基本一致. 在$Re$ = 140 时, 流场变化更为剧烈, SRLBM也能较好地捕捉流场中涡街的分布规律.
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图 17 $K$ = 8时, SRLBM分别在$Re = $60和140时, 对$t$ = 2 s时刻的速度场与涡量场重建结果对比Figure 17. Comparison of the reconstructed velocity and vorticity fields at $t$ = 2 s by SRLBM when $K$ = 8 and $Re = $60, 140因此, 基于单一雷诺数工况数据训练的SRLBM模型可以重构得到一定雷诺数范围内的较高精度的高分辨率流场信息.
4. 结论
为解决传统计算流体力学方法进行高精度流场仿真时计算量较大的问题, 本文首次提出了基于LBM的超分辨率卷积神经网络模型SRLBM, 实现了介观尺度低分辨率流场至高分辨率流场的重建. 首先, 通过模拟圆柱绕流案例验证LBM的正确性, 并基于其产生的DNS数据构建SRLBM的训练集; 其次, 探究不同缩放系数下SRLBM相对于传统双三次插值的流场重构能力; 然后, 关注固体体积分数通道对SRLBM的影响; 最后, 分析了SRLBM的泛化能力, 得到的主要结论如下.
(1) SRLBM具备从低分辨率分布函数重建为高分辨率分布函数的能力. 当$K$ = 8时可准确还原出相关宏观场, 如速度场、涡量场等. 相比传统双三次插值方法, SRLBM更能捕获流场高频非线性变化特征, 在其重建的流场中, 分布函数的误差下降了近60%, 还原的宏观场误差下降了近70%.
(2) 随着$K$的增大, 由于流场信息的大幅缺失, 传统插值方法的重构性能显著降低, 还原的速度场和涡量场捕获范围急剧减小. 当$K$ = 32时, 传统插值方法捕获涡量场的范围仅为真值的1/4; 而SRLBM重建的宏观场受$K$的影响较小, 即使当$K$ = 32时, 重建速度场和涡量场仍可捕获DNS流场的主要特征.
(3) 在SRLBM输入中额外引入固体体积分数通道, 能使SRLBM更准确地识别出流场中固体区域. 在不同缩放系数下, 10输入通道的SRLBM重建结果在圆柱区域附近都更接近DNS结果, 当$K$ = 32时, 其在圆柱区域的误差相对9输入通道下降了近40%.
(4) 基于雷诺数$Re$ = 100时的数据训练的SRLBM模型可在不同缩放系数下预测其他雷诺数时的圆柱绕流场景, 雷诺数越接近100, 缩放系数越小, 重构的高分辨率流场的精度越高. 当缩放系数为8时, $Re$变化在正负40范围内, 重构速度场误差小于3%, 且基本能够捕获流场主要特征.
本文的低分辨率流场数据通过压缩DNS模拟结果得到, 后续研究将关注直接从低分辨率LBM模拟出发, 利用超分辨率神经网络将其还原至高分辨率数值模拟结果的方法.
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图 3 基于LBM的超分辨率流场重构过程
Figure 3. An overview of super-resolution reconstruction of flow fields based on LBM
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图 4 基于卷积神经网络的超分辨率LBM模型SRLBM
Figure 4. Super-resolution LBM model based on convolutional neural network (SRLBM)
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图 8 Re = 20, 40, 100下${C_d}$及${C_l}$时程图
Figure 8. Time-history plots of ${C_d}$and ${C_l}$ at Re = 20, 40, 100
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图 10 $K$ = 8时双三次插值与机器学习方法对$t$ = 2 s时分布函数重建结果对比
Figure 10. Comparison of distribution function reconstruction results at $t$ = 2 s between bicubic interpolation and machine learning methods when $K$ = 8
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图 11 $K$ = 8时双三次插值与机器学习方法对$t$ = 2 s时宏观场重建结果对比
Figure 11. Comparison of macroscopic field reconstruction results at $t$ = 2 s between bicubic interpolation and machine learning methods when $K$ = 8
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图 12 $K$ = 8, 16和32时, 双三次插值与机器学习重建的$t$ = 2 s时速度场与涡量场概率密度函数
Figure 12. Probability density functions of velocity and vorticity fields at $t$ = 2 s reconstructed by bicubic interpolation and machine learning methods when $K$ = 8, 16, 32
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图 13 K = 8, 16和32时, 10通道和9通道的SRLBM测试集误差下降对比
Figure 13. Comparison of test set mean-square-error variation between 10-channel and 9-channel SRLBM at $K$ = 8, 16, 32
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图 14 $K$ = 8, 16, 32时, 不同流场重建方法重建的$t$ = 2 s时速度场在水平中轴线的分布
Figure 14. Distribution of the flow velocity along the horizontal axis at $t$ = 2 s reconstructed by different flow field reconstruction methods when $K$ = 8, 16, 32
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图 15 不同缩放系数下基于$Re$ = 100时的数据训练的SRLBM模型在不同雷诺数下重建的$t$ = 2 s时分布函数误差结果对比
Figure 15. Comparison of errors of distribution functions at $t$ = 2 s under different Reynolds numbers, reconstructed by the SRLBM model trained at $Re$ = 100 for different scaling factors
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图 16 不同缩放系数下基于$Re$ = 100时的数据训练的SRLBM模型在不同雷诺数下重建的$t$ = 2 s时速度场误差结果对比
Figure 16. Comparison of errors of velocity field at $t$ = 2 s under different Reynolds numbers, reconstructed by the SRLBM model trained at $Re$ = 100 for different scaling factors
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图 17 $K$ = 8时, SRLBM分别在$Re = $60和140时, 对$t$ = 2 s时刻的速度场与涡量场重建结果对比
Figure 17. Comparison of the reconstructed velocity and vorticity fields at $t$ = 2 s by SRLBM when $K$ = 8 and $Re = $60, 140
表 1 Re = 20和40时相关参数对比
Table 1 Comparison of relevant parameters at Re = 20, 40
Re Reference Method $Lr/D$ $ {\theta _s}/(^\circ) $ ${C_d}$ ${C_p}(0)$ ${C_p}(\text{π} )$ 20 present paper LBM 0.906 137.52 2.092 1.111 0.673 He et al.[45] LBM 0.921 137.04 2.152 1.241 0.569 Nieuwstadt et al.[46] CFD 0.893 136.63 2.053 1.274 0.582 Dennis et al.[47] CFD 0.940 136.30 2.045 1.269 0.589 40 present paper LBM 2.281 127.21 1.559 1.038 0.565 He et al.[45] LBM 2.245 127.16 1.499 1.139 0.487 Nieuwstadt et al.[46] CFD 2.179 126.66 1.550 1.117 0.554 Dennis et al.[47] CFD 2.230 126.20 1.522 1.144 0.509 
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