RESEARCH PROGRESS OF RESOLVENT ANALYSIS IN FLUID MECHANICS
-
摘要: 线性稳定性分析长期以来是揭示复杂流动机理的重要手段, 通过求解流动线性化算子的特征值问题获得流动的直接模态及其频率、增长率等信息. 然而其仅能描述系统微幅扰动随时间的指数发展, 无法捕捉系统受迫和响应特征. 预解分析从线性输入/输出动力学系统出发, 通过提取流动系统受谐波激励的强迫/响应模态及其增益, 捕捉系统关于不同频率扰动的受迫模式和能量放大效应. 该方法建立了流动对外激励的空间敏感性和对应响应的空间模式分析的统一框架, 对复杂流体动力学问题的分析、建模和控制有很强的应用潜力. 文章针对预解分析方法展开了全面综述: 首先介绍了预解分析理论框架、实现难点与改进方法, 讨论了预解增益和模态的物理意义; 同时, 从基础假设、数学理论、算法流程以及物理含义等方面对比了线性稳定性分析和预解分析算法, 并给出了两者在一定条件下的联系; 进一步展示了预解分析在揭示流动机理、建立低维模型以及指导流动控制等方面的研究成果; 最后通过Ginzburg-Landau方程和方柱绕流问题, 展示了预解分析在动力学系统特征提取上的应用潜力. 在此基础上, 针对现有研究的不足和困难, 讨论了预解分析方法在改进算法、非线性系统分析、流动控制等方面的未来研究方向.Abstract: Linear stability analysis has long been an important method to reveal the complex flow mechanism. By solving the eigenvalue problem of the linearized operator of the Navier-Stokes equations, the direct mode of the flow and its frequency, growth rate and other information can be obtained. However, it can only describe the exponential time dependence under small perturbations, and can't capture the forcing-response characteristics of the system. Based on the linear input-output dynamic system, resolvent analysis extracts the forcing/response modes and their gains of the flow system excited under harmonics, and captures the forcing types and energy amplification to system disturbances across multiple frequencies. This approach establishes a unified framework for the spatial sensitivity of flow to external excitation and the spatial modal analysis of corresponding response, and has potential applications to the analysis, modeling and control of complex flow problems. This review gives a general introduction to resolvent analysis. Firstly, the theoretical framework of resolvent analysis, its existing challenges and improved algorithms are introduced, and the physical significance of resolvent modes and gains are discussed. At the same time, the linear stability analysis and resolvent analysis are compared from the aspects of basic assumptions, mathematical theory, algorithmic process and physical meaning. The relationship between these two algorithms under certain conditions is also given. Furthermore, research progresses in revealing flow mechanism, constructing reduced-order models and designing flow control laws based on resolvent analysis are demonstrated. The application potential of the resolvent analysis in the feature extraction of the dynamic system will be shown by two cases: the Ginzburg-Landau equation and the flow past a square cylinder. Based on these, in view of the limitations and difficulties of the existing research, the future research direction of resolvent analysis is discussed in the aspects of improved algorithms, nonlinear system analysis and flow control.
-
Keywords:
- resolvent analysis /
- linear stability analysis /
- sensitivity /
- receptivity /
- reduced-order model
-
引 言
预解分析是近年来流体力学研究中逐渐兴起的特征分析方法, 其由线性稳定性分析发展而来, 基于流动控制方程, 构造线性化系统受到谐波强迫后与流场响应之间的传递函数(预解算子), 通过分析传递函数的增益和强迫/响应模式, 获得了动态系统对外激励的空间敏感性和流动响应的空间模式信息, 具有十分强大的应用潜力.
纳维-斯托克斯(Navier-Stokes, NS)方程的诞生是流体力学领域的里程碑事件, 但是其非线性性质为后续的研究带来了巨大的困难. 因此, 研究者们对非线性动力学系统进行线性化, 以分析其基本性质. 1931年, Koopman[1]提出了Koopman理论, 认为非线性动力学系统观测量随时间的演化可以用无穷维的线性算子表示, 后被称为Koopman算子. 之后, Mezić[2]发现Koopman算子的谱分解与动力学系统的空间模态相关, 且该模态具有单一的频率. 作为一种描述复杂非线性动力学系统观测量随时间演化的分析方法, Koopman分析提供了利用线性化方法分析非线性动力学系统并提取空间模态的理论基础. 现如今, 流动线性化分析方法主要有两类: 其一是数据驱动方法, 代表是动力学模态分解(dynamic mode decomposition, DMD)方法[3]. DMD方法的本质是将流动演化看做线性动力学过程, 通过对整个过程的流场快照进行特征分析, 得到表征流场信息的低阶模态及其对应的特征值(或Ritz值)[4]. 另一种便是基于直接离散控制方程线性化算子的分析方法, 包括线性稳定性分析、预解分析方法等.
在基于线性化算子的分析方法中, 研究者很早就开始关注流动稳定性问题, 为预解分析的发展奠定了基础. 雷诺实验作为现代流体动力学稳定性理论的开端, 引入了雷诺数Re作为区分流动稳定与否的关键无量纲参数[5-6]. 早期学者使用简化假设和渐近技术获得了诸多经典成就, 其包括: 平行剪切流的黏性稳定性控制方程(Orr-Sommerfeld equation, O-S方程)[7-8]、T-S波(Tollmien-Schlichting waves)的试验观测[9]、可压缩边界层中不稳定波的识别[10]等. 随着大型计算机技术的成熟, 研究者们提取了NS方程的线性化算子(即直接算子), 从而建立了线性稳定性分析方法: 通过假设扰动随时间指数演化, 可以将线性初值问题转化为相应线性化算子的特征值问题[11-12]. 特征值的实部称为增长率, 虚部为频率. 增长率最大的特征值和特征向量为系统最不稳定特征值和直接模态. 如果该最不稳定特征值的增长率为正, 则基流是不稳定的, 反之则稳定. 同时, 对应伴随问题的线性化算子被称为伴随算子, 其和直接算子拥有相同的特征值, 对应的特征向量定义为伴随模态(adjoint modes). 直接和伴随模态进一步表征了流场对小扰动的敏感性. 然而, 线性稳定性分析存在自身固有的缺陷. 线性算子的谱信息只能描述流动受微幅扰动演化的渐近($ t \to \infty $)结果, 而不能捕捉到短期特性[13-14], 这导致了壁面剪切流中计算的转捩临界雷诺数和实际不一致等问题[13]. 1993年, Trefethen等[15]创造性地使用了预解分析, 发现了线性稳定系统扰动的能量在初始阶段会出现短期增长(即瞬态增长, transient-growth), 并指出该现象来自于系统非正交直接模态之间的线性组合. 由此证实了线性系统稳定性理论无法完全表征流动受扰动后的演化行为, 而通过预解算子得到的伪谱特征则能更准确描述该行为. 在此基础上, 20世纪90年代, 非模态稳定性理论出现, 通过初值问题表征了流体系统线性动力学的完整演化过程[16]. 该方法拓展了传统的线性稳定性分析方法(模态方法), 并加深了对近失稳系统物理机制的理解[17]. 由此建立了包括预解分析在内的研究流动对强迫输入的响应问题的框架, 已经成功用于分析流动对初值条件[18]、随机扰动[19]和谐波强迫[20]的响应. 2010年, Sipp等[21]综述了流动线性分析的方法和结果, 深入分析了流动中存在的线性失稳和能量瞬态放大现象的动力学特征.
除了分析流动中的瞬态增长现象, 预解分析还可以给出动力学系统对单频外激励最敏感的空间模式和感受性最强的空间分布, 同时计算系统输入/输出之间的增益. 这些信息对于流动系统的理解、建模和控制非常有价值. Bagheri等[22]以一维Ginzburg-Landau (GL)方程为例, 使用线性稳定性分析和预解分析等工具, 分析其稳定性、感受性和敏感性等特征, 以此设计并比较了不同的建模和控制方法. 2010年, McKeon等[23]通过将傅里叶变换的NS方程中的非线性项视为外源谐波强迫, 从而建立了面向非线性流体动力学系统的预解分析框架, 并通过预解分析提取了流动的相干结构, 为流动的受迫和响应性质提供了新的分析视角. 此外, 采用合适的方法对输入强迫进行建模, 结合预解算子可以建立流场的降阶模型, 研究者们已经利用这种思路来研究湍流槽道流[24]与湍流射流[25]等. 同时, 预解分析从输入/输出动力学系统角度, 可以计算某些感兴趣的输出对特定输入分量的响应[26]. 这种输入-输出视角可以用于分析局部扰动, 剖析转捩和湍流噪声机理, 并为流动控制提供指导[27]. 基于上述研究, 预解分析的理论和应用场景在近年来进一步拓展. 理论方面, Padovan等[28]提出谐波预解分析, 用于捕获周期性流动中多个频率的交叉作用等; 应用方面, Rigas等[29]将非线性输入/输出分析应用于边界层转捩等. 这说明, 预解分析方法还有更多未知的潜力等待研究者们挖掘.
由于复杂流动的非线性和高维特征, 进行预解分析需要极高的内存和时间成本, 因此, 研究者们发展了许多改进算法. 目前国内外学者逐步发展并广泛应用了预解分析方法, 然而目前没有面向该方法的针对性综述论文. 本文系统性综述了预解分析在流体力学领域的研究进展, 重点介绍了预解分析方法的理论及算法, 总结了该方法在流体力学领域的研究成果, 展示了典型的应用算例, 最后总结了预解分析的未来发展趋势.
1. 预解分析及其改进算法
本节将系统性介绍预解分析方法. 首先给出标准预解分析以及输入/输出分析的算法流程, 其次分析预解模态的物理意义, 最后概述了部分改进算法.
1.1 标准预解分析及输入/输出分析算法
基于流体动力学系统, 预解分析首先建立半离散算子形式描述下的统一框架
$$ \frac{{\partial {\boldsymbol{q}}}}{{\partial t}} = {\bf{R}}\left[ {{\boldsymbol{q}}\left( {{\boldsymbol{x}},t} \right)} \right] $$ (1) 其中, $ {\boldsymbol{q}} $和$ {\bf{R}} $分别是不同类型流体控制方程的状态变量和非线性算子. 采用雷诺分解, 将流动变量分解为基流和扰动量
$$ {\boldsymbol{q}}\left( {{\boldsymbol{x}},t} \right) = {\boldsymbol{\bar q}}\left( {\boldsymbol{x}} \right) + {\boldsymbol{q'}}\left( {{\boldsymbol{x}},t} \right) $$ (2) 代入式(1), 利用泰勒展开, 得到线性化受迫系统
$$ \frac{{\partial {\boldsymbol{q'}}}}{{\partial t}} = {\boldsymbol{Aq'}} + {\boldsymbol{f}} $$ (3) 其中$ {\boldsymbol{A}} = \dfrac{{\partial {\bf{R}}}}{{\partial {\boldsymbol{q}}}}\Big|_{{\boldsymbol{\bar q}}} $为系统的雅可比矩阵, 线性稳定性分析方法便是求解雅可比矩阵的特征值问题. $ {\boldsymbol{f}} $是外激励, 包含控制方程的非线性项$ {\bf{R}}\left( {{\boldsymbol{\bar q}}} \right) $, 泰勒展开的高阶小量$ o\left( {{\boldsymbol{q'}}} \right) $以及可能的外源强迫$ {\boldsymbol{g}} $
$$ {\boldsymbol{f}} = {\bf{R}}\left( {{\boldsymbol{\bar q}}} \right) + o\left( {{\boldsymbol{q'}}} \right) + {\boldsymbol{g}} $$ (4) 如果基本流取流动定常解, 则控制方程非线性项$ {\bf{R}}\left( {{\boldsymbol{\bar q}}} \right) = {\boldsymbol{0}} $. 对外激励及其响应做谐波假设
$$ {\boldsymbol{f}}\left( {{\boldsymbol{x}},t} \right) = {\boldsymbol{\hat f}}\left( {\boldsymbol{x}} \right){{\text{e}}^{st}} + {\text{c}}{\text{.c}}{\text{. }} $$ (5) $$ {\boldsymbol{q'}}\left( {{\boldsymbol{x}},t} \right) = {\boldsymbol{\hat q}}\left( {\boldsymbol{x}} \right){{\text{e}}^{st}} + {\text{c}}{\text{.c}}{\text{. }} $$ (6) 其中$ {\text{c}}{\text{.c}}{\text{.}} $表示共轭复数, 将其代入方程(3)得到系统强迫和响应之间的传递函数
$$ {\boldsymbol{\hat q}} = {\left( {s{\boldsymbol{I}} - {\boldsymbol{A}}} \right)^{ - 1}}{\boldsymbol{\hat f}} $$ (7) 定义$ {\bf{H}}\left( s \right) = {\left( {s{\boldsymbol{I}} - {\boldsymbol{A}}} \right)^{ - 1}} $为系统的预解算子, 其中复数$ s = \beta + \omega {\mathrm{i}} $中, $ \omega $是强迫频率, $ \beta $是衰减率. 当流体系统线性稳定时, 衰减率一般设定为0, 即外激励为单纯的谐波扰动
$$ {\boldsymbol{f}}\left( {{\boldsymbol{x}},t} \right) = {\boldsymbol{\tilde f}}\left( {\boldsymbol{x}} \right){{\text{e}}^{{\mathrm{i}}\omega t}} + {\text{c}}{\text{.c}}{\text{. }} $$ (8) 此时传递函数为
$$ {\boldsymbol{\tilde q}} = {\left( {{\mathrm{i}}\omega {\boldsymbol{I}} - {\boldsymbol{A}}} \right)^{ - 1}}{\boldsymbol{\tilde f}} $$ (9) 否则由于不稳定系统受到的小扰动随时间发散, 纯谐波扰动引起的响应一定是无限大的, 所以需要施加大于系统最不稳定特征值的实部的衰减率
$$ {\boldsymbol{\hat q}}\left( {\boldsymbol{x}} \right) = {{\mathrm{e}}^{ - \beta t}}{\boldsymbol{\tilde q}}\left( {\boldsymbol{x}} \right) $$ (10) 在时域空间中, 衰减率相当于时间过滤器, 是拉普拉斯变换中描述关注动力学系统时间尺度的参数, 用于观察线性不稳定系统在时间窗口$ {t_\beta } = 1/\beta $内受到强迫时占主导地位的流动响应[30]. 尽管对于不稳定流动, 也可以关注单纯的谐波扰动, 即令$ \beta = {\text{0}} $, 然而这样会使预解算子的物理意义不充分, 可能存在非物理增益.
为了研究系统对于不同频率谐波强迫的放大效应, 进一步定义状态量范数为$ \left\| {\boldsymbol{q}} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2 = {\boldsymbol{q}}{}^{\text{*}}{\boldsymbol{Qq}} $, 其中$ {\boldsymbol{Q}} = {{\boldsymbol{F}}^{\text{*}}}{\boldsymbol{F}} $为正定加权矩阵, "$ ^{\text{*}} $"表示矩阵共轭转置. 针对不同的研究问题, 加权矩阵定义有所不同, 例如网格面积加权范数[31]、能量加权范数[30]等. 状态量范数和标准二范数之间满足$ \left\| {\boldsymbol{q}} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2 = \left\| {{\boldsymbol{Fq}}} \right\|_2^2 $. 因此, 系统对于输入强迫的放大可以用响应与强迫的范数之比来量化
$$ \begin{split} & {\sigma _{\text{1}}}\left( \omega \right) = \mathop {\max }\limits_{{\boldsymbol{f}} \ne 0} \frac{{\left\| {{\boldsymbol{\hat q}}} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2}}{{\left\| {{\boldsymbol{\hat f}}} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2}} = \mathop {\max }\limits_{{\boldsymbol{f}} \ne 0} \frac{{\left\| {{\bf{H}}\left( \omega \right){\boldsymbol{\hat f}}} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2}}{{\left\| {{\boldsymbol{\hat f}}} \right\|_{\boldsymbol{Q}}^2}} = \\ &\qquad \mathop {\max }\limits_{{\boldsymbol{f}} \ne 0} \frac{{\left\| {{\boldsymbol{F}}{\bf{H}}\left( \omega \right){\boldsymbol{\hat f}}} \right\|_2^2}}{{\left\| {{\boldsymbol{F\hat f}}} \right\|_2^2}} = \left\| {{\boldsymbol{F}}{\bf{H}}\left( \omega \right){{\boldsymbol{F}}^{ - 1}}} \right\|_2^2\end{split} $$ (11) 使用预解算子的加权奇异值分解(SVD)求解强迫和响应模态以及对应增益[32]
$$ {\boldsymbol{F}}{\bf{H}}\left( \omega \right){{\boldsymbol{F}}^{ - 1}} = {{\boldsymbol{\varPsi }}_{\boldsymbol{F}}}\left( \omega \right){\boldsymbol{\varSigma }}\left( \omega \right){\boldsymbol{\varPhi }}_{\boldsymbol{F}}^{\boldsymbol{*}}\left( \omega \right) $$ (12) 其中, $ {\boldsymbol{\varSigma }}\left( \omega \right) $对角线上的奇异值$ {\sigma _{\text{1}}}\left( \omega \right) > {\sigma _{\text{2}}}\left( \omega \right) > \cdots > {\sigma _{{j}}}\left( \omega \right) > \cdots > {\sigma _{{n}}}\left( \omega \right) $即为各阶增益, 由此得到的频率增益曲线能表征系统对不同频率外输入的放大特性, 增益最大的频率称为最敏感频率. $ {{\boldsymbol{F}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{\varPsi }}_{\boldsymbol{F}}}\left( \omega \right) $和$ {{\boldsymbol{F}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{\varPhi}} _{\boldsymbol{F}}}\left( \omega \right) $中对应的列向量$ {{\boldsymbol{\psi }}_j} $和$ {{\boldsymbol{\varphi }}_{{j}}} $分别是响应和强迫模态.
在此基础上, 系统输入/输出分析是针对研究者关心的输入/输出设置对应的矩阵[32-33]
$$ {\boldsymbol{y}} = {\boldsymbol{C\hat q}},\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}{\boldsymbol{\hat f}} = {\boldsymbol{Bu}} $$ (13) 式中, 矩阵$ {\boldsymbol{B}} $和$ {\boldsymbol{C}} $分别是输入/输出矩阵. 通过矩阵可以设置空间窗口, 以探索感兴趣的特定空间区域之间的输入/输出关系; 也可以进行变量选择, 探究不同的输入/输出变量之间的影响. 代入式(7)得到系统输入/输出之间的传递函数
$$ {\boldsymbol{y}} = {\boldsymbol{C}}{\left( {s{\boldsymbol{I}} - {\boldsymbol{A}}} \right)^{ - 1}}{\boldsymbol{Bu}} $$ (14) 对输入/输出量采用不同的范数进行量化
$$\qquad\qquad \left\| {\boldsymbol{y}} \right\|_{{{\boldsymbol{Q}}_{\boldsymbol{y}}}}^2 = {{\boldsymbol{y}}^{\boldsymbol{*}}}{{\boldsymbol{Q}}_{\boldsymbol{y}}}{\boldsymbol{y}} = {{\boldsymbol{y}}^{\boldsymbol{*}}}{\boldsymbol{F}}_{\boldsymbol{y}}^{\boldsymbol{*}}{{\boldsymbol{F}}_{\boldsymbol{y}}}{\boldsymbol{y}} $$ (15) $$\qquad\qquad \left\| {\boldsymbol{u}} \right\|_{{{\boldsymbol{Q}}_{\boldsymbol{u}}}}^2 = {{\boldsymbol{u}}^{\boldsymbol{*}}}{{\boldsymbol{Q}}_{\boldsymbol{u}}}{\boldsymbol{u}} = {{\boldsymbol{u}}^{\boldsymbol{*}}}{\boldsymbol{F}}_{\boldsymbol{u}}^{\boldsymbol{*}}{{\boldsymbol{F}}_{\boldsymbol{u}}}{\boldsymbol{u}} $$ (16) 类似地, 通过加窗预解算子$ {\boldsymbol{C}}{\bf{H}}\left( \omega \right){\boldsymbol{B}} $的加权SVD求解输入/输出模态和对应增益
$$ {{\boldsymbol{F}}_{\boldsymbol{y}}}{\boldsymbol{C}}{\bf{H}}\left( \omega \right){\boldsymbol{BF}}_{\boldsymbol{u}}^{ - 1} = {{\boldsymbol{\varPsi }}_{\boldsymbol{C}}}\left( \omega \right){\boldsymbol{\varSigma }}\left( \omega \right){\boldsymbol{\varPhi }}_{\boldsymbol{B}}^{\boldsymbol{*}}\left( \omega \right) $$ (17) 其中, $ {\boldsymbol{\varSigma }}\left( \omega \right) $对角线奇异值即为各阶输入/输出增益, 输入/输出模态分别是矩阵$ {\boldsymbol{F}}_{\boldsymbol{u}}^{ - 1}{{\boldsymbol{\varPhi }}_{\boldsymbol{B}}}\left( \omega \right) $和$ {\boldsymbol{F}}_{\boldsymbol{y}}^{ - 1}{{\boldsymbol{\varPsi }}_{\boldsymbol{C}}}\left( \omega \right) $的列向量. 需要指出, 输入/输出分析未改变预解分析核心理论, 仅通过输入/输出矩阵设置不同的激励和响应, 因此本文面向预解分析的介绍可推广到输入/输出分析. 综上, 标准预解分析算法的流程如图1所示.
1.2 预解增益和模态的物理意义
为进一步剖析预解增益和模态的物理意义, 并和线性稳定性分析方法进行对比, 将预解算子用增益和对应模态表示为
$$ {\bf{H}}\left( \omega \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\boldsymbol{\psi }}_i}\left( \omega \right){\sigma _i}\left( \omega \right){\boldsymbol{\varphi }}_{{i}}^{{*}}\left( \omega \right)} $$ (18) 代入式(7)中, 得到
$$ {\boldsymbol{\hat q}} = \sum\limits_{i = 1}^n { {{{\boldsymbol{\psi }}_i}\left( \omega \right){\sigma _i}\left( \omega \right){\boldsymbol{\varphi }}_{{i}}^{{*}}\left( \omega \right){\boldsymbol{\hat f}}} } $$ (19) 由此可见, 不同频率的外激励首先和对应各阶强迫模态做内积, 即系统只有在强迫模态非0的位置才能感知到外界扰动, 强迫模态以此来表征系统对空间内扰动的敏感性; 感知结果被各阶增益放大, 最终的输出由各阶响应模态线性叠加给出. 此外, 高增益对应的响应模态在流动响应中占据主导地位, 表征系统感受性最强的状态.
在高增益的频率范围内, 流动系统受迫响应通常表现出低秩特征, 即$ {\sigma _{\text{1}}}\left( \omega \right) \gg {\sigma _{\text{2}}}\left( \omega \right) $. 式(19)可以进一步近似为
$$ {\boldsymbol{\hat q}} \approx {{\boldsymbol{\psi }}_1}\left( \omega \right){\sigma _1}\left( \omega \right){\boldsymbol{\varphi }}_1^*\left( \omega \right){\boldsymbol{\hat f}} $$ (20) 称为预解模态表达的预解算子秩1近似(rank-1 approximation). 即通过一阶预解模态实现高维动力学系统的降维表征, 其增益可以近似原始系统强迫响应之间的放大倍数[34].
表1对比了预解分析和稳定性及伴随模态分析方法的不同特点. 基于线化流动控制方程, 全局稳定性分析通过特征值分解获取稳定性特征, 并捕获初值问题的齐次解; 预解分析则通过奇异值分解给出了特定输入频率下线性系统的强迫响应特征. 由表1可知, 其一, 预解分析和线性稳定性方法的核心假设条件不同. 二者同样基于流动系统的线性化算子, 线性稳定性分析基于小扰动假设, 忽略了泰勒展开的高阶项, 然而在强非线性系统中扰动相对于基本流并不完全是一个无穷小量, 有可能导致分析结果出现偏差; 预解分析则保留了高阶项, 假设外激励具有单谐波形式, 结合时间过滤/空间加窗的输入/输出分析, 进一步研究稳定/不稳定流动在一定时间/空间范围内对于外输入的能量放大特性. 具体可参见式(3)与式(4). 其二, 稳定性分析的计算难度一般要高于预解分析. 虽然它们的基本流均可以选择流动定常解或时均解, 但是稳定性分析关注增长率最大的特征模态, 而全局谱的计算代价往往是现有计算条件无法承受的, 研究中经常使用谱变换结合迭代或降维算法来计算重要的物理特征谱[17], 谱变换需要人为设定参数, 对于复杂流动往往需要进行参数寻优, 增加了计算的不确定性; 预解分析则关注奇异值最大的预解模态, 可以转化为对称正定矩阵的绝对值最大的特征值, 以直接使用迭代或降维算法. 其三, 预解分析获得的系统信息比稳定性分析更加多样. 相比稳定性分析仅能给出雅可比矩阵的谱对应的特征模态信息, 预解分析可以得到任意输入频率对应的增益和模态信息. 其四, 预解分析所获模态的物理意义不同. 稳定性分析获得的是按对应的增长率和频率随时间发展的空间模态, 增长率为0即说明流动处于临界状态; 而预解分析的强迫和响应模态分别表征流动对外激励的空间敏感性和响应的空间模式, 并不直接包含稳定性信息. 然而, 系统对外激励的响应必然和其稳定性特征相关, 接下来将详细讨论两种方法之间的联系.
表 1 基于控制方程线性算子的流动分析方法对比Table 1. Comparison of flow analysis methods based on the linearization operator of control equationDetails Linear stability and adjoint mode analysis Resolvent analysis important assumptions small disturbance increases exponentially with time harmonic forcing with single frequency targeted flow problem linear instability transient energy amplification mathematical problems eigenvalue decomposition singular value decomposition base flow (stable or unstable) steady-state solution/mean flow output direct and adjoint modes, and related growth rates and frequencies resolvent modes and gains at different frequencies mode selection criteria largest growth rate resolvent gains critical state of instability zero growth rate no 基于同样的基本流和线性化控制方程, 将预解算子中的雅可比矩阵进行特征值分解
$$ \begin{split} & {\sigma _{\text{1}}}\left( \omega \right) = \left\| {{\bf{H}}\left( \omega \right)} \right\|_Q^2 = \\ &\qquad \left\| {{\boldsymbol{G}}{{\left[ {\left( {\beta + \omega {\mathrm{i}}} \right){\boldsymbol{I}} - {\boldsymbol{\varLambda}} } \right]}^{{{ - 1}}}}{{\boldsymbol{G}}^{ - 1}}} \right\|_Q^2\end{split} $$ (21) 其中, $ {\boldsymbol{\varLambda}} $, $ {\boldsymbol{G}} $分别是雅可比矩阵的特征值和特征向量矩阵. 如果特征向量是正交的, 即雅可比矩阵$ {\boldsymbol{A}} $是正规矩阵(normal matrices), $ {\boldsymbol{G}} $是酉矩阵, 则有
$$ {\sigma _{\text{1}}}\left( \omega \right) = \left\| {{{\left[ {\left( {\beta + \omega {\mathrm{i}}} \right){\boldsymbol{I}} - {\boldsymbol{\varLambda}} } \right]}^{{{ - 1}}}}} \right\|_Q^2 $$ (22) 外激励会和流动的最不稳定模态形成共振效应, 共振频率即为流动最不稳定频率, 对应的增益值也最大. 反之, 非正规矩阵的特征向量的非正交性会使得系统最敏感频率偏离最不稳定频率, 称之为“伪共振”频率[35].
另一方面, 预解算子可以用雅可比矩阵的特征值和直接-伴随模态对表示为
$$ {\bf{H}}\left( \omega \right) = \sum\limits_{j = 1}^n {\left[ {{{\left( {\beta + \omega {\mathrm{i}} - {\lambda _j}} \right)}^{ - 1}}{{\boldsymbol{g}}_j}{\boldsymbol{h}}_j^{\boldsymbol{*}}} \right]} $$ (23) 其中, $ {\lambda _j} $是稳定性分析得到的雅可比矩阵各阶特征值, $ {{\boldsymbol{g}}_{{j}}} $和$ {{\boldsymbol{h}}_{{j}}} $分别是对应的直接和伴随模态. 如果系统稳定性特征由特征值$ {\lambda _{\text{1}}} $主导, 其对于级数的贡献占主导地位
$$ {\bf{H}}\left( \omega \right) \approx {\left( {\beta + \omega {\mathrm{i}} - {\lambda _1}} \right)^{ - 1}}{{\boldsymbol{g}}_{{1}}}{\boldsymbol{h}}_{{1}}^{{*}} $$ (24) 上式称之为特征向量表示的预解算子的秩1近似, 与预解模态的秩1近似对比
$$ {{\boldsymbol{\psi }}_1}{\sigma _1}\left( \omega \right){\boldsymbol{\varphi }}_1^* \approx {\left( {\beta + \omega {\mathrm{i}} - {\lambda _1}} \right)^{ - 1}}{{\boldsymbol{g}}_{{1}}}{\boldsymbol{h}}_{{1}}^{{*}} $$ (25) 即在满足两种秩1近似条件的情况下, 最敏感频率即为最不稳定频率, 此时增益大小取决于复平面内最不稳定特征值和实部为$ \beta $的复数所组成直线的距离, 稳定性分析得到的直接和伴随模态分别对应响应和强迫模态. 因此, 对于满足秩1近似条件的稳定流动, 取$ \beta = {\text{0}} $, 则流动增长率越接近于0 (即流动越趋于失稳), 一阶增益越大并占据主导地位, 且外激励频率等于最不稳定频率(即最敏感频率)时一阶增益最大. Symon等[34]从理论上得到了这一结果, 并且在圆柱绕流上做了验证. Yuan等[31]针对方柱绕流的研究也从侧面验证了这一观点. 进一步, Towne等[36]以谱正交模态分解(spectral proper orthogonal decomposition, SPOD)为桥梁, 该方法相当于频域上的本征正交分解(proper orthogonal decomposition, POD), 提取出的模态不但空间正交, 而且以单一频率振荡. 从理论上得到了不考虑秩1近似条件下, SPOD与预解分析、SPOD与DMD方法之间的关系, 并进行了验证.
1.3 标准预解分析算法的难点与改进
标准预解分析算法的流程主要分为流动平衡态求解、预解算子构造和预解特征提取3个阶段. 然而, 在实际应用中预解分析方法的实现面临着诸多挑战: 复杂流动大多是强不稳定流动, 难以求解定常解; 预解算子中的雅可比矩阵成分复杂提取困难; 预解算子的维度过高, 使得矩阵求逆和奇异值分解内存、时间消耗太大. 针对上述问题, 表2对改进的预解分析方法进行了总结.
表 2 预解分析的改进算法Table 2. Improved algorithms for resolvent analysisImprovement Details new approximation of Jacobi matrix data-driven approaches[32] direct-adjoint system iterative algorithm[37] solution of base flow steady-state solution[31] mean flow[23] computation of Jacobi matrix analytic Jacobi matrix[23] numerical Jacobian matrix[31] improved technologies of matrix decomposition matrix inverse solution[38] improved randomized singular value decomposition[39] iterative randomized singular value decomposition[40] parallel solving technique[41] 由于预解分析仅关注主导预解增益及模态信息, 系统雅可比矩阵无需显式求解. 因此, 研究者采用数据驱动算法[32]通过对来自不同初始激励的流场快照进行DMD得到雅可比矩阵的主导特征值和直接模态, 在直接模态的降维空间中构建预解算子进行预解分析; 直接-伴随系统迭代算法[37]通过对直接系统和伴随系统进行迭代求解, 从快照中得到直接系统的预解模态特征. 这类算法省去了完整、显式的预解算子构造及分解过程, 最大限度地节省了内存和计算成本, 但是现阶段提出的数据驱动算法需要初始激励激发流动的主要敏感和感受性特征, 且所用DMD算法需要依靠经验设定参数; 直接-伴随系统迭代算法则需要新的流动伴随求解器, 增加了代码成本. 由此可见, 此类算法还需要更进一步检验普适性和鲁棒性.
流动平衡态的选择主要有两种: 定常解[31]和非定常流动时均解[23]. 对于稳定流动, 直接时间推进可获得定常解; 而对不稳定流动, 可以基于滤波的思想, 加大非定常求解步长, 过滤掉非定常脉动量, 以获得定常解. 然而, 对高雷诺数翼型绕流为代表的强非定常流动, 获取不稳定定常解难度极大, 使用完全发展状态下的时均解可以在保证结果具有物理意义的同时减小计算难度, 并可用于试验研究.
预解算子构造的主要难度在于获取雅可比矩阵, 目前主要有两种手段. (1)解析雅可比矩阵[23]: 依靠理论推导, 对线性化NS方程进行空间离散, 结合边界条件获得雅可比矩阵; (2)数值雅可比矩阵[31]: 基于流动平衡态, 对流场施加小扰动, 进行通量差分以近似雅可比矩阵中的偏导数. 由此, 解析雅可比矩阵提供了连续方程灵敏度的数值逼近, 其精度仅和所采取的离散格式相关, 然而理论、结构复杂; 数值雅可比矩阵则代表了连续方程的离散逼近的灵敏度, 其精度与数值格式、添加小扰动的量级有关, 但是有更好的程序迁移性, 更适用于工程问题[42].
针对矩阵分解, 在预解特征提取的过程中, 对式(9)整体求逆可得
$$ {\boldsymbol{F}}{{\bf{H}}^{ - 1}}\left( \omega \right){{\boldsymbol{F}}^{ - 1}} = {{\boldsymbol{\varPhi }}_{\boldsymbol{F}}}\left( \omega \right){{\boldsymbol{\varSigma }}^{ - 1}}\left( \omega \right){\boldsymbol{\varPsi }}_{\boldsymbol{F}}^{\text{*}}\left( \omega \right) $$ (26) 因此, 可以直接利用雅可比矩阵构造预解算子的逆矩阵$ {{\bf{H}}^{{{ - 1}}}}\left( \omega \right) = \left( {\beta + \omega {\mathrm{i}}} \right){\boldsymbol{I}} - {\boldsymbol{A}} $进行加权奇异值分解, 其最小奇异值倒数近似为原预解算子的最大奇异值, 左右奇异向量和原预解算子相反. 该方法称为矩阵逆向求解技术[38]. 2020年, 研究者们基于随机奇异值分解[39], 通过在测试空间内求解预解算子逆矩阵的线性方程组获得预解算子与随机测试向量的乘积, 以实现预解算子的降维, 再进行奇异值分解. 迭代随机奇异值分解方法[40]在此基础上引入迭代求解思想, 以前一步获得的降维矩阵的奇异向量作为新的测试向量, 直至获得收敛的预解算子的奇异向量. 同时, 通过对解析预解算子矩阵预处理, 构造块稀疏矩阵, 以便进行大规模并行求解[41]. 矩阵分解算法是预解分析对于算力要求最高的流程, 其改进更多依靠数学算法. 逆向求解跳过了非对角矩阵求逆的过程, 简化后的算法理论简单, 实用性强. 随机奇异值分解方法的引入也大大减小了矩阵计算的内存和时间消耗, 和迭代思想的结合又减少了所需的随机测试向量的个数, 削减了随机因素的影响, 提高了计算的准确度. 大规模并行求解技术带来了计算机算力的大幅度提升, 是未来实现复杂流动的预解分析的关键技术之一.
2. 预解分析方法在流动问题中的应用
目前, 预解分析已在各种流动问题中得到了广泛应用. 本节主要介绍其在流动机理分析、流动降阶模型和流动控制方面的实际应用.
2.1 流动机理分析
通过预解分析获得流动增益和强迫-响应模态, 为流动内在机理提供了新的物理见解. 面向流动机理研究的预解分析工作总结如表3.
表 3 预解分析方法剖析流动机理Table 3. Mechanism of fluid flows analyzed by resolvent analysisApplications Mechanisms and outcomes transition Butler et al.[43] find the linear three-dimensional perturbations that gain the most energy in a
given time period and excitation of these perturbations facilitates transition.Bonne et al.[44] found the high frequency mode at St = 2 ~ 3 (LES) and St = 1 ~ 2 (resolvent analysis) is
related to the transition of the boundary layer.turbulent pipe flow McKeon et al.[23] established the resolvent framework for the incompressible NS equations. finite wing in transonic flow Houtman et al.[45] identified resolvent modes (e.g., wake and wingtip vortex modes) that cannot be
captured by global stability analysis.two-dimensional transonic buffet over airfoil Sartor et al.[46] identified two peaks in transonic buffet corresponding to shock oscillation
and wake vortex shedding, respectively.Kojima et al.[33] found the amplification of disturbance in the boundary layer leads to buffet even at
low Reynolds numbers, indicating turbulence is not necessary for buffet.turbulent jet Garnaud et al.[47] characterizes the preferred amplification as a pseudo-resonance with a dominant
Strouhal number of around 0.45.turbulent channel flow Chavarin et al.[48] analyzed drag reduction based on surface riblet and identified Kelvin-Helmholtz vortices. flow past bluff bodies Yuan et al.[31] found the disappearance of resolvent modes and the overlap of resolvent gains at subcritical
Reynolds numbers, indicating the lowest Reynolds number of vortex-induced vibrations.Butler等[43]在黏性剪切流中捕捉到了给定时间内能量放大效应最强的三维扰动, 认为这种扰动的激发促进了流动的转捩. Bonne等[44]针对有斜激波的转捩边界层进行了预解分析和大涡模拟(LES), 同时辨识出了低、中和高3种频率模态, 认为高频模态和边界层转捩相关.
McKeon等[23]以时均解作为基流对NS方程进行线性化, 以未知的非线性项作为未知强迫进行预解分析, 剖析湍流的相干结构, 为从流动中提取相干结构提供了分析框架.
之后, Houtman等[45]在研究跨音速有限展向翼流动问题时发现和全局稳定性的弱阻尼模态相比, 增益曲线的峰值可以更好地预测流动近失稳特性. 同时通过类比稳定性分析的“造波器区域”提出了预解造波器系数概念, 通过频率增益曲线和造波器系数曲线峰值, 辨识出了激波振荡和全局稳定性分析方法无法有效识别的尾流、翼尖涡和另一种长波响应特征模态.
针对翼型抖振, Sartor等[46]发现其同时具有扰动放大器和滤波器的作用, 低频增益远大于高频. 频率增益曲线存在两个峰值, 对应的响应模态分别呈现出激波振荡和尾流模式, 证实了抖振同时受到二者影响, 弥补了稳定性分析仅能提取激波模态的不足. Kojima等[33]在低雷诺数下, 通过对翼型进行标准和针对激波振荡区域的加窗预解分析, 发现抖振是由激波根部边界层内的扰动被流动放大而产生的. 同时根据强迫模态提供的流动系统的敏感性特征向翼型施加扰动, 可以在低雷诺数下引发抖振, 说明湍流并不是产生抖振的必要条件.
Garnaud等[47]使用预解框架分析了湍流射流对于外源扰动的放大作用, 得到最优放大频率为$ St = 0.45 $. 同时证实了这种放大效应并非强迫频率和全局最不稳定模态共振产生, 而是由系统对外输入的“伪共振”主导, 且在低强度扰动下和实验结果一致.
Chavarin等[48]研究了肋对槽道湍流结构的影响, 随着条肋尺寸的增加, 预解分析方法预测了其减阻性能的恶化以及开尔文-亥姆霍兹涡的出现, 和数值模拟的结果基本一致.
Yuan等[31]发现在亚临界雷诺数下方柱扰流主导频率对应的响应模态仍存在卡门涡街, 而前两阶频率增益曲线在Re = 19附近重合使得响应模态中的卡门涡街消失, 这可能与方柱绕流在亚临界下流固耦合失稳的临界雷诺数有关.
相比线性稳定性分析及对应的伴随分析方法, 预解分析在解读流动机理方面的优势有两点: 其一, 预解分析方法通过设定不同的输入频率, 可以获得复杂流动对不同频率外输入的敏感性和感受性特征, 以输入/输出系统视角解释流动受迫响应问题; 其二, 预解分析可以捕获流动能量的瞬态放大, 补充流动的失稳特性. 然而由于缺乏稳定性标度, 预解分析无法精确捕捉流动临界失稳特性.
2.2 建立降阶模型
在流动降阶模型方面, 预解算子属于典型的线性模型, 但是和本征正交分解(POD)、动力学模式分解(DMD)等降阶模型算法有着本质区别: POD等降阶模型关键在于提取流动模态以及计算模态系数, 建立模态系数随时间变化的函数以描述流动随时间的演化过程; 预解分析本身基于离散NS方程, 已提供了频域中的输入/输出映射关系, 其关键在于对输入项进行建模, 且可以在输入项中考虑非线性作用. 预解算子的输入可以分为外输入和内输入. 外输入主要是指流动所受到的外力强迫, Li等[49]将风力机转子运动建模为NS方程的体积力外输入, 在傅里叶基函数上进行投影获得预解算子输入, 通过预解算子获得尾流响应. Jin等[50]将闭环控制中致动器的输入作为体积力, 通过预解算子建立闭环控制的状态方程以寻找最优控制. 这些模型虽然仅适用于某一种流动问题, 但均提出了将外输入建模为体积力作为流动控制方程外源强迫, 以通过预解算子映射到流场响应的思路, 非常具有参考价值. 内输入来源于非线性方程在线性化进程中产生的未知项, 将其分解为涡黏项和非线性强迫并分别建模, 结合预解算子就可以建立预测模型. 涡黏项建模一般采用Cess涡黏模型[51], 值得一提的是, Fan等[52]将混合长度理论和半经验公式融入不可压缩湍流Cess涡黏模型, 提出了可压缩改进的Cess和半经验涡黏模型, 未来可用于可压缩流体建模. 非线性强迫的建模方式则更加多样: Morra等[53]采用的白噪声模型; Gupta等[54]根据涡动黏度和流动尺度的分布来修改非线性强迫的分布, 分别建立了W模型和尺度相关模型($ \lambda $模型); Towne等[55]根据测量值由预解算子反解非线性强迫建立了预解强迫模型; Wu等[56]以白噪声的预解算子映射作为非线性强迫项建立的复预解分析模型; Ying等[57]根据壁面距离对非线性强迫进行分类, 在较远处采用白噪声强迫直接建模, 近壁范围内使用预解强迫对白噪声强迫进行修正. 我们在表4中根据不同的输入来源, 对基于预解算子的降阶模型进行了分类和总结.
表 4 预解算子输入建模方法Table 4. Reduced-order model of input corresponding to resolvent operatorSource of input Reduced-order model external input the body force model of wind turbine wakes[49] the body forces that serve as an actuator[50] internal input Cess model with the white-noise-based estimation[53] Cess model with the wall-distance-dependent and scale-dependent models[54] Cess model with the resolvent-based estimation[55] Cess model with the composite resolvent analysis[56] Cess model with the resolvent-informed white-noise-based estimation[57] 2.3 指导流动控制
在流动控制领域, 传统流动控制律设计依赖于设计经验, 需要大量遍历各种设计参数, 通过非定常模拟评估控制效果, 费时费力. 预解分析提供了流动对于局部扰动的敏感性、感受性特征和输入/输出放大特性, 为流动控制及其效果评估注入了物理信息指导. 现有的部分工作总结在表5中, 供读者参考. 被动控制通过局部变形实现, 强迫模态通过敏感性特征指导作用区域. 由变形前后的增益变化可以指导形状变化的趋势和程度: Doshi等[58]分析各波长频率扰动的增益大小, 修改物体形状以期用小增益扰动替代高增益扰动, 对通过分流板的超音速流动进行控制; Chavarin等[59]以和阻力相关频率的扰动增益为优化目标, 寻找最优形状实现最大程度减阻设计. 主动开环控制主要关注作动器位置和作动频率, 强迫模态提供了流动敏感性特征, 一般将其最大值处设置为作动器位置[30, 60-61]; 作动频率现多以一阶响应模态的增益[60]、能量[61]和雷诺应力[30]的最大值对应频率为准. 除此以外, 使用预解分析还可以评估主动闭环控制律. 通过修改边界条件直接获得解析雅可比矩阵分别进行了自由流和受控流的预解分析, 比较湍流中特定频率-波长组合结构在受控前后的一阶增益和模态雷诺应力, 以评估其减阻效果. Nakashima等[62]和Luhar等[63]分别使用该方法评估了湍流次优和反向控制律; Kawagoe等[64]基于评估效果对湍流流向次优控制律进行了改进. 但是, 由于线性模型的固有缺陷, 预解分析无法捕捉流动中多频率交叉和非线性作用, 导致其指导、评估流动控制的实际效果往往和理想状态存在差异.
表 5 预解分析指导/评估流动控制Table 5. Design/assessment of flow control via resolvent analysisType Results of resolvent analysis Design/assessment of flow control Applicable to flow control problems passive control sensitive position of the
first-order forcing modethe area of shape change supersonic flow separated by the
splitter plate[58]resolvent gain minimize gain by changing shape supersonic flow separated by the splitter plate[58], Optimization of riblet geometry[59] open-loop active control resolvent gain design actuation frequency laminar flow separation[60] the integrated kinetic energy of the
first-order response modeturbulent cavity flows[61] Reynolds shear stress of
the first-order response modeairfoil separation flow[30] the most sensitive position of the
first-order forcing modethe position of actuator laminar flow separation[60], airfoil separation flow[30], turbulent cavity flows[61] assessment of
closed-loop control lawresolvent gain and Reynolds
shear stress of the first-order modescompare the corresponding values of the modes before and after flow control suboptimal control[62,64], opposition control[63] 目前, 即使部分研究者已经开始采用改进算法, 但实现预解分析的内存和时间成本仍然高昂. 这导致目前其应用范围仅停留在学术研究领域, 难以向工业界推广, 未来有待进一步研究.
3. 典型算例
为说明预解分析方法在实际问题中的应用, 首先面向一维GL方程开展预解分析, 该方程可以模拟流动对流、耗散以及指数不稳定性, 以此为例说明预解分析方法的实现过程和结果, 并探究物理意义; 随后, 将展示方柱绕流的预解分析结果, 以此解析亚临界方柱绕流的流动机理.
3.1 一维GL方程
一维GL方程经常被用作研究流体系统稳定性, 通过不同的参数设置可以模拟不同类型的流动, 首先采用GL方程说明预解分析方法的实现流程
$$ \left.\begin{aligned} & \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = - \upsilon \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \gamma \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \mu \left( x \right)u \\ & \mu \left( x \right) = \left( {{\mu _0} - c_u^2} \right) + \left( {{\mu _2}/2} \right){x^2} \end{aligned}\right\} $$ (27) 其中, 复数$ \upsilon = U + 2 {\mathrm{i}}{c_u} $和$ \gamma = {\text{1}} + {\mathrm{i}}{c_d} $分别模拟流动的对流和耗散性质. $ {\mu _{\text{2}}} $有双重作用: 当其值较大时, 系统是强非平行但弱非正规的; 反之, 系统代表弱非平行但强非正规的流动. 实值项$ {\mu _{\text{0}}} - c_u^2 $用来模拟指数不稳定性. 本文选取的参数值与Herrmann等[32]一致, 以保证结果的准确性.
根据控制方程, GL方程的定常解为$ {u_B}\left( {x,t} \right) = 0 $, 基于定常解在$ x \in \left[ { - 85,85} \right] $内采用谱方法对GL方程进行离散获得雅可比矩阵, 通过奇异值分解保留前4阶增益和模态. 由图2可以明显看出系统对不同频率的放大作用, 一阶增益的最大值对应频率为$ \omega = {\text{0}}{\text{.55}} $, 即最敏感频率, 同时设置对照频率$ \omega = {\text{2}} $, 其增益值较小. 若对系统施加相同能量的强迫, $ \omega = {\text{0}}{\text{.55}} $的谐波成分将被最大程度地放大. 图3给出了敏感频率和对照频率下系统的强迫和响应模态. 红色曲线表示模态的模, 黑色曲线表示模态实部. 可以看到GL方程在两个频率下的敏感和响应区域都集中在原点附近, 而对于来自远场的扰动极不敏感, 也几乎不会存在响应.
![]()
图 2 GL方程前4阶频率-增益曲线Figure 2. The first four gains at different frequencies of the GL equation![]()
图 3 GL方程在不同频率下的一阶预解模态Figure 3. The first-order resolvent mode at different frequencies of the GL equation为了验证预解分析结果, 对GL方程进行数值模拟, 计算其在给定强迫下的响应. 图4(a)和图4(b)给出了方程在初始条件$ {u_0} = 0 $和不同频率全局谐波激励$ f = \sin \left( {\omega t} \right) $作用下的响应. 二者输入幅值相同, 然而结果显示最敏感频率$ \omega = {\text{0}}{\text{.55}} $激励导致的响应在一个周期内的最大幅值为
6.1198 , 而对照频率$ \omega = {\text{2}} $仅为1.4780 . 最敏感频率激励引起的响应幅值远大于对照频率, 这和最敏感频率和对照频率的增益大小关系一致. 为了验证GL方程对于外激励的敏感区域, 分别在空间的不同位置$ x = 0 $, $ - 34 $施加局部谐波激励$ f = \sin \left( {{\text{0}}{\text{.55}}t} \right) $, 前者位于强迫模态指示的敏感区域中心, 后者远离敏感区域, 以便形成对照. 图4(c)和图4(d)给出了验证结果, 可以看到在敏感区域施加激励引起的响应幅值和影响区域远大于非敏感区域. 结合图4(a)和图4(c)中的不同响应可以发现, 无论是局部还是全局激励, $ \omega = {\text{0}}{\text{.55}} $的谐波激励引起的响应均集中于$ x = 0 $附近, 其响应区域和形式均和响应模态吻合较好.![]()
图 4 GL方程在不同激励下的数值响应Figure 4. Numerical response of GL equation under different excitation3.2 方柱绕流
钝体绕流广泛存在于自然界和工程实际中, 包含了流动分离、剪切层失稳和湍流等多种复杂现象[65]. 在所有研究的钝体中, 圆柱和方柱是两种被广泛研究的几何形状. 当流动雷诺数大于临界雷诺数(Recr)时, 静止钝体绕流由于Hopf分岔而变得不稳定, 表现出周期性的冯·卡门涡脱落现象. 以方柱绕流为例, 展示预解分析在流动问题中的应用[31].
对亚临界Re = 19, 20, 40和超临界Re = 55的方柱绕流开展了预解分析研究. 首先通过数值计算得到稳定/不稳定定常解, 其中不稳定定常解是放大时间步长过滤掉非定常脉动量之后获得的, 对其施加小扰动得到数值雅可比矩阵, 最后采用逆向求解得到预解增益和模态. 图5给出了不同雷诺数下前两阶频率-增益曲线结果, 为了获得方柱绕流线性段的主导频率, 对于不稳定流动, 直接收集线性段的快照进行DMD分析; 反之, 通过柱体运动向流动施加一个外激励, 收集衰减段的流动快照进行DMD分析. 具体的操作见参考文献[66], 将获得的主导频率在图5中用黑色虚线标出, 并给出具体数值. 从中可以发现: (1)流动越接近失稳, 一阶增益值就越大, 最敏感频率不断向流动主频率靠近, 这说明一阶模态在流动对外激励的响应中越来越占据主导地位, 系统更加满足秩1近似条件; (2)在流动主频率附近, 随着雷诺数不断减小, 一二阶增益曲线也不断靠近, 直到Re = 19时二者完全重合. 后续可以看到, 这对其对应的强迫响应模态有重要影响.
![]()
图 5 方柱绕流不同雷诺数下频率-增益曲线Figure 5. Resolvent gains at different Reynolds number of the flow around a square cylinder图6和图7分别给出了不同雷诺数主导频率下压力的强迫和响应模态, 其分别对应线性稳定性分析的直接和伴随模态. 强迫模态表示流动对于最敏感频率扰动的敏感区域, 可以看出Re = 20以上方柱绕流的敏感区域主要集中在柱体周围和上游, 下游区域占比较小, 说明流动对于上游和柱体周围的压力扰动更加敏感, 这和长期以来研究者的物理直觉以及流动控制的经验是对应的. 响应模态代表了流动受到扰动后的响应形式, 在雷诺数Re = 20以上均呈现出冯·卡门涡脱形式, 且模态特征与DMD得到的全局模态一致[31]. 随着流动雷诺数增加, 当流动受到扰动时, 由于最敏感频率对应的增益值增大, 其对应的强迫分量将被进一步放大, 导致响应模态在流动响应中越来越占据主导地位, 流动响应便呈现出冯·卡门涡脱形式, 直到流动失稳, 这从受迫动力学系统角度解释了流动失稳机理. 结合频率增益曲线发现, 当雷诺数降至Re = 19时, 流动主频率附近前两阶增益曲线重合, 对应强迫及响应模态同时消失, 不再有任何流动结构, 这可能和亚临界下方柱绕流的流固耦合失稳特性相关[31].
![]()
图 6 方柱绕流在不同雷诺数主导频率下压力一阶强迫模态Figure 6. The first-order forcing mode of pressure at flow characteristic frequency of different Reynolds numbers of the flow around a square cylinder![]()
图 7 方柱绕流在不同雷诺数主导频率下压力一阶响应模态Figure 7. The first-order response mode of pressure at flow characteristic frequency of different Reynolds numbers of the flow around a square cylinder4. 结论
预解分析方法从线化系统输入/输出动力学角度, 获得了动态系统对外激励的空间敏感性和流动响应的空间分布信息, 对流动机理分析、建模和控制提供了重要指导. 本文介绍了预解分析算法的基本理论和改进算法, 与线性稳定性分析结合讨论了预解增益和模态的物理意义, 展示了预解分析在流体力学问题中的研究成果, 最后通过测试算例说明了预解分析实现的具体过程. 结合当前研究现状, 预解分析未来的主要研究包括以下内容.
(1)改进算法的发展. 预解分析方法的发展一直受到其计算精度和效率不足的制约, 尤其是由于流动求解维度高带来的大规模矩阵的分解问题. 目前, 随着大数据时代到来, 计算机算力正在成倍增长, 大幅提高了矩阵分解计算的精度和效率; 另一方面, 物理和数据双驱动的高精度降阶模型不断涌现, 计算数学的蓬勃发展也在不断为流体力学带来新理论和新方法. 因此, 适应不断提升的算力, 结合降阶模型和计算数学新方法发展预解分析的改进算法, 不断提升其计算精度和效率, 是改进预解算法的重要方向.
(2)非线性系统的分析和预测. 尽管面向NS方程的预解分析将系统非线性项视为外源强迫, 但构造的输入/输出关系仍是线性的. 为解决这一矛盾, 研究者从强迫中剥离出了涡黏项, 并使用随机动力学对非线性强迫项进行建模, 使得其对非线性系统的近似能力进一步提高. 由此可见, 利用先验知识, 剖析系统输入的物理组成, 采用合适的方法进行对应建模, 以减小未知非线性因素的影响; 或选择合适的输入/输出量, 以建立非线性系统的最优线性近似, 是提高预解分析方法对非线性系统分析和预测能力的关键.
(3)精准指导和评估流动控制. 预解分析作为线性分析方法, 对于流动控制的指导和评估受制于系统输入/输出的线性关系, 控制设计指标对于不同流动也有所不同. 因此, 如何选择合适的流动控制量和观测量以建立二者之间的线性映射关系, 如何将预解分析给出的增益和模态信息综合为可靠、普适的控制指标, 是解决现有控制问题、实现精准指导或评估流动控制的关键.
(4)其他应用范围拓展. 预解算子构造了输入/输出之间的映射关系, 在流体力学问题中输入输出变量均为流动变量, 输入/输出矩阵调整关心的变量和空间区域. 未来可以考虑将强迫来源拓展至外源场, 或分析耦合系统的动力学控制方程[67], 以研究多场耦合问题, 从而拓展预解分析方法的应用范围.
-
![]()
图 2 GL方程前4阶频率-增益曲线
Figure 2. The first four gains at different frequencies of the GL equation
![]()
图 3 GL方程在不同频率下的一阶预解模态
Figure 3. The first-order resolvent mode at different frequencies of the GL equation
![]()
图 4 GL方程在不同激励下的数值响应
Figure 4. Numerical response of GL equation under different excitation
![]()
图 5 方柱绕流不同雷诺数下频率-增益曲线
Figure 5. Resolvent gains at different Reynolds number of the flow around a square cylinder
![]()
图 6 方柱绕流在不同雷诺数主导频率下压力一阶强迫模态
Figure 6. The first-order forcing mode of pressure at flow characteristic frequency of different Reynolds numbers of the flow around a square cylinder
![]()
图 7 方柱绕流在不同雷诺数主导频率下压力一阶响应模态
Figure 7. The first-order response mode of pressure at flow characteristic frequency of different Reynolds numbers of the flow around a square cylinder
表 1 基于控制方程线性算子的流动分析方法对比
Table 1 Comparison of flow analysis methods based on the linearization operator of control equation
Details Linear stability and adjoint mode analysis Resolvent analysis important assumptions small disturbance increases exponentially with time harmonic forcing with single frequency targeted flow problem linear instability transient energy amplification mathematical problems eigenvalue decomposition singular value decomposition base flow (stable or unstable) steady-state solution/mean flow output direct and adjoint modes, and related growth rates and frequencies resolvent modes and gains at different frequencies mode selection criteria largest growth rate resolvent gains critical state of instability zero growth rate no 
下载: 导出CSV
表 2 预解分析的改进算法
Table 2 Improved algorithms for resolvent analysis
Improvement Details new approximation of Jacobi matrix data-driven approaches[32] direct-adjoint system iterative algorithm[37] solution of base flow steady-state solution[31] mean flow[23] computation of Jacobi matrix analytic Jacobi matrix[23] numerical Jacobian matrix[31] improved technologies of matrix decomposition matrix inverse solution[38] improved randomized singular value decomposition[39] iterative randomized singular value decomposition[40] parallel solving technique[41]
下载: 导出CSV
表 3 预解分析方法剖析流动机理
Table 3 Mechanism of fluid flows analyzed by resolvent analysis
Applications Mechanisms and outcomes transition Butler et al.[43] find the linear three-dimensional perturbations that gain the most energy in a
given time period and excitation of these perturbations facilitates transition.Bonne et al.[44] found the high frequency mode at St = 2 ~ 3 (LES) and St = 1 ~ 2 (resolvent analysis) is
related to the transition of the boundary layer.turbulent pipe flow McKeon et al.[23] established the resolvent framework for the incompressible NS equations. finite wing in transonic flow Houtman et al.[45] identified resolvent modes (e.g., wake and wingtip vortex modes) that cannot be
captured by global stability analysis.two-dimensional transonic buffet over airfoil Sartor et al.[46] identified two peaks in transonic buffet corresponding to shock oscillation
and wake vortex shedding, respectively.Kojima et al.[33] found the amplification of disturbance in the boundary layer leads to buffet even at
low Reynolds numbers, indicating turbulence is not necessary for buffet.turbulent jet Garnaud et al.[47] characterizes the preferred amplification as a pseudo-resonance with a dominant
Strouhal number of around 0.45.turbulent channel flow Chavarin et al.[48] analyzed drag reduction based on surface riblet and identified Kelvin-Helmholtz vortices. flow past bluff bodies Yuan et al.[31] found the disappearance of resolvent modes and the overlap of resolvent gains at subcritical
Reynolds numbers, indicating the lowest Reynolds number of vortex-induced vibrations.
下载: 导出CSV
表 4 预解算子输入建模方法
Table 4 Reduced-order model of input corresponding to resolvent operator
Source of input Reduced-order model external input the body force model of wind turbine wakes[49] the body forces that serve as an actuator[50] internal input Cess model with the white-noise-based estimation[53] Cess model with the wall-distance-dependent and scale-dependent models[54] Cess model with the resolvent-based estimation[55] Cess model with the composite resolvent analysis[56] Cess model with the resolvent-informed white-noise-based estimation[57]
下载: 导出CSV
表 5 预解分析指导/评估流动控制
Table 5 Design/assessment of flow control via resolvent analysis
Type Results of resolvent analysis Design/assessment of flow control Applicable to flow control problems passive control sensitive position of the
first-order forcing modethe area of shape change supersonic flow separated by the
splitter plate[58]resolvent gain minimize gain by changing shape supersonic flow separated by the splitter plate[58], Optimization of riblet geometry[59] open-loop active control resolvent gain design actuation frequency laminar flow separation[60] the integrated kinetic energy of the
first-order response modeturbulent cavity flows[61] Reynolds shear stress of
the first-order response modeairfoil separation flow[30] the most sensitive position of the
first-order forcing modethe position of actuator laminar flow separation[60], airfoil separation flow[30], turbulent cavity flows[61] assessment of
closed-loop control lawresolvent gain and Reynolds
shear stress of the first-order modescompare the corresponding values of the modes before and after flow control suboptimal control[62,64], opposition control[63]
下载: 导出CSV
-
[1] Koopman BO. Hamiltonian systems and transformations in hilbert space. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 1931, 17: 315-318
[2] Mezic I. Analysis of fluid flows via spectral properties of the koopman operator. Annual Review of Fluid Mechanics, 2013, 45: 357-378 doi: 10.1146/annurev-fluid-011212-140652
[3] Schmid PJ. Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data. Journal of Fluid Mechanics, 2010, 656: 5-28 doi: 10.1017/S0022112010001217
[4] 寇家庆, 张伟伟. 动力学模态分解及其在流体力学中的应用. 空气动力学学报, 2018, 36(2): 163-179 (Kou Jiaqing, Zhang Weiwei. Dynamic mode decomposition and its applications in fluid dynamics. Acta Aerodynamica Sinica, 2018, 36(2): 163-179 (in Chinese) Kou Jiaqing, Zhang Weiwei. Dynamic mode decomposition and its applications in fluid dynamics. Acta Aerodynamica Sinica, 2018, 36(2): 163-179 (in Chinese)
[5] Reynolds OX. An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels. Philosophical Transactions of the Royal society of London, 1883, 174: 935-982
[6] Stuart JT, 周恒. 流动稳定性及转捩. 力学进展, 1984, 14(2): 147-159 (Stuart JT, Zhou Heng. Hydrodynamic stability and transition. Advances in Mechanics, 1984, 14(2): 147-159 (in Chinese) Stuart JT, Zhou Heng. Hydrodynamic stability and transition. Advances in Mechanics, 1984, 14(2): 147-159 (in Chinese)
[7] Orr WMF. The stability or instability of the steady motions of a perfect liquid and of a viscous liquid. Part ii: A viscous liquid//Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences. JSTOR, 1907, 27: 69-138
[8] Sommerfield A. Ein beitrag zur hydrodynamischen erklarung der turbulenten flussigkeisbewegung//4th Atti Congr Int Math., 1908
[9] Klebanoff PS, Tidstrom K, Sargent L. The three-dimensional nature of boundary-layer instability. Journal of Fluid Mechanics, 1962, 12(1): 1-34 doi: 10.1017/S0022112062000014
[10] Mack L. The inviscid stability of the compressible laminar boundary layer. Space Programs Summary, 1963, 37: 23
[11] Taira K, Brunton SL, Dawson STM, et al. Modal analysis of fluid flows: An overview. AIAA Journal, 2017, 55(12): 4013-4041 doi: 10.2514/1.J056060
[12] 许登科, 董旭, 徐瑞泽等. 压气机流动稳定性自适应控制方法研究进展. 力学学报, 2022, 54(3): 559-576 (Xu Dengke, Dong Xu, Xu Ruize, et al. Research progress of adaptive control methods for compressor flow stability. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2022, 54(3): 559-576 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-21-560 Xu Dengke, Dong Xu, Xu Ruize, et al. Research progress of adaptive control methods for compressor flow stability. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2022, 54(3): 559-576 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-21-560
[13] Schmid PJ. Nonmodal stability theory. Annual Review of Fluid Mechanics, 2007, 39: 129-162 doi: 10.1146/annurev.fluid.38.050304.092139
[14] 谢兴奥, 刘正先, 李孝检. 基于线性稳定性理论的瞬态稳定性分析及其未来应用//中国力学大会, 西安, 2022: 10 (Xie Xingao, Liu Zhengxian, Li Xiaojian. Transient stability analysis based on linear stability theory and its future application//The Chinese Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Xi'an, 2022: 10 (in Chinese) Xie Xingao, Liu Zhengxian, Li Xiaojian. Transient stability analysis based on linear stability theory and its future application//The Chinese Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Xi'an, 2022: 10 (in Chinese)
[15] Trefethen LN, Trefethen AE, Reddy SC, et al. Hydrodynamic stability without eigenvalues. Science, 1993, 261(5121): 578-584 doi: 10.1126/science.261.5121.578
[16] Schmid PJ, Henningson DS. Stability and Transition in Shear Flows. New York, NY: Springer, 2001
[17] Theofilis V. Global linear instability. Annual Review of Fluid Mechanics, 2011, 43: 319-352 doi: 10.1146/annurev-fluid-122109-160705
[18] Gustavsson LH. Energy growth of 3-dimensional disturbances in plane poiseuille flow. Journal of Fluid Mechanics, 1991, 224: 241-260 doi: 10.1017/S002211209100174X
[19] Farrell BF, Ioannou PJ. Stochastic forcing of the linearized navier-stokes equations. Physics of Fluids A-Fluid Dynamics, 1993, 5(11): 2600-2609 doi: 10.1063/1.858894
[20] Hwang YY, Cossu C. Linear non-normal energy amplification of harmonic and stochastic forcing in the turbulent channel flow. Journal of Fluid Mechanics, 2010, 664: 51-73 doi: 10.1017/S0022112010003629
[21] Sipp D, Marquet O, Meliga P, et al. Dynamics and control of global instabilities in open-flows: A linearized approach. Applied Mechanics Reviews, 2010, 63(3): 26
[22] Bagheri S, Henningson DS, Hoepffner J, et al. Input-output analysis and control design applied to a linear model of spatially developing flows. Applied Mechanics Reviews, 2009, 62(2): 27
[23] Mckeon BJ, Sharma AS. A critical-layer framework for turbulent pipe flow. Journal of Fluid Mechanics, 2010, 658: 336-382 doi: 10.1017/S002211201000176X
[24] Moarref R, Sharma AS, Tropp JA, et al. Model-based scaling of the streamwise energy density in high-reynolds-number turbulent channels. Journal of Fluid Mechanics, 2013, 734: 275-316 doi: 10.1017/jfm.2013.457
[25] Lesshafft L, Semeraro O, Jaunet V, et al. Resolvent-based modeling of coherent wave packets in a turbulent jet. Physical Review Fluids, 2019, 4(6): 27
[26] Jovanovic MR, Bamieh B. Componentwise energy amplification in channel flows. Journal of Fluid Mechanics, 2005, 534: 145-183 doi: 10.1017/S0022112005004295
[27] Jovanovic MR. From bypass transition to flow control and data-driven turbulence modeling: An input-output viewpoint. Annual Review of Fluid Mechanics, 2021, 53: 311-345 doi: 10.1146/annurev-fluid-010719-060244
[28] Padovan A, Otto SE, Rowley CW. Analysis of amplification mechanisms and cross-frequency interactions in nonlinear flows via the harmonic resolvent. Journal of Fluid Mechanics, 2020, 900: 21 doi: 10.1017/jfm.2020.453
[29] Rigas G, Sipp D, Colonius T. Nonlinear input/output analysis: Application to boundary layer transition. Journal of Fluid Mechanics, 2021, 911: 42 doi: 10.1017/jfm.2020.1051
[30] Yeh CA, Taira K. Resolvent-analysis-based design of airfoil separation control. Journal of Fluid Mechanics, 2019, 867: 572-610 doi: 10.1017/jfm.2019.163
[31] Yuan H, Kou JQ, Gao CQ, et al. Resolvent and dynamic mode analysis of flow past a square cylinder at subcritical reynolds numbers. Physics of Fluids, 2023, 35(7): 7
[32] Herrmann B, Baddoo PJ, Semaan R, et al. Data-driven resolvent analysis. Journal of Fluid Mechanics, 2021, 918: 19 doi: 10.1017/jfm.2021.340
[33] Kojima Y, Yeh CA, Taira K, et al. Resolvent analysis on the origin of two-dimensional transonic buffet. Journal of Fluid Mechanics, 2020, 885: 12 doi: 10.1017/jfm.2019.950
[34] Symon S, Rosenberg K, Dawson STM, et al. Non-normality and classification of amplification mechanisms in stability and resolvent analysis. Physical Review Fluids, 2018, 3(5): 33
[35] Schmid PJ, Brandt L. Analysis of fluid systems: Stability, receptivity, sensitivity. Applied Mechanics Reviews, 2014, 66(2): 21
[36] Towne A, Schmidt OT, Colonius T. Spectral proper orthogonal decomposition and its relationship to dynamic mode decomposition and resolvent analysis. Journal of Fluid Mechanics, 2018, 847: 821-867 doi: 10.1017/jfm.2018.283
[37] Martini E, Rodríguez D, Towne A, et al. Efficient computation of global resolvent modes. Journal of Fluid Mechanics, 2021, 919: 27 doi: 10.1017/jfm.2021.385
[38] Dokoza T, Oberlack M. Reynolds number induced growth of the large-scale rolls in plane couette flow using resolvent analysis. Journal of Fluid Mechanics, 2023, 968: 23 doi: 10.1017/jfm.2023.574
[39] Ribeiro JHM, Yeh CA, Taira K. Randomized resolvent analysis. Physical Review Fluids, 2020, 5(3): 17
[40] House D, Skene C, Ribeiro JHM, et al. Sketch-based resolvent analysis//AIAA Aviation 2022 Forum, 2022: 3335
[41] Hou W, Colonius T. Three-dimensional stability and resolvent analysis of external flows over spanwise-homogeneous immersed bodies//AIAA Aviation 2023 Forum, 2023: 3414
[42] De Pando MF, Sipp D, Schmid PJ. Efficient evaluation of the direct and adjoint linearized dynamics from compressible flow solvers. Journal of Computational Physics, 2012, 231(23): 7739-7755 doi: 10.1016/j.jcp.2012.06.038
[43] Butler KM, Farrell BF. Three-dimensional optimal perturbations in viscous shear flow. Physics of Fluids A: Fluid Dynamics, 1992, 4(8): 1637-1650 doi: 10.1063/1.858386
[44] Bonne N, Brion V, Garnier E, et al. Analysis of the two-dimensional dynamics of a mach 1.6 shock wave/transitional boundary layer interaction using a rans based resolvent approach. Journal of Fluid Mechanics, 2019, 862: 1166-1202 doi: 10.1017/jfm.2018.932
[45] Houtman J, Timme S, Sharma A. Resolvent analysis of a finite wing in transonic flow. Flow, 2023, 3: 20 doi: 10.1017/flo.2023.17
[46] Sartor F, Mettot C, Sipp D. Stability, receptivity, and sensitivity analyses of buffeting transonic flow over a profile. AIAA Journal, 2015, 53(7): 1980-1993 doi: 10.2514/1.J053588
[47] Garnaud X, Lesshafft L, Schmid PJ, et al. The preferred mode of incompressible jets: Linear frequency response analysis. Journal of Fluid Mechanics, 2013, 716: 189-202 doi: 10.1017/jfm.2012.540
[48] Chavarin A, Luhar M. Resolvent analysis for turbulent channel flow with riblets. AIAA Journal, 2020, 58(2): 589-599 doi: 10.2514/1.J058205
[49] Li ZB, Yang XL. Resolvent-based motion-to-wake modelling of wind turbine wakes under dynamic rotor motion. Journal of Fluid Mechanics, 2024, 980: 47 doi: 10.1017/jfm.2023.1071
[50] Jin B, Illingworth SJ, Sandberg RD. Feedback control of vortex shedding using a resolvent-based modelling approach. Journal of Fluid Mechanics, 2020, 897: A26 doi: 10.1017/jfm.2020.347
[51] Cess R. A survey of the literature on heat transfer in turbulent tube flow. Res. Rep., 1958, 8: 0529
[52] Fan YT, Kozul M, Li WP, et al. Eddy-viscosity-improved resolvent analysis of compressible turbulent boundary layers. Journal of Fluid Mechanics, 2024, 983: 22 doi: 10.1017/jfm.2024.131
[53] Morra P, Semeraro O, Henningson DS, et al. On the relevance of reynolds stresses in resolvent analyses of turbulent wall-bounded flows. Journal of Fluid Mechanics, 2019, 867: 969-984 doi: 10.1017/jfm.2019.196
[54] Gupta V, Madhusudanan A, Wan MP, et al. Linear-model-based estimation in wall turbulence: Improved stochastic forcing and eddy viscosity terms. Journal of Fluid Mechanics, 2021, 925: 31 doi: 10.1017/jfm.2021.693
[55] Towne A, Lozano-Durán A, Yang X. Resolvent-based estimation of space-time flow statistics. Journal of Fluid Mechanics, 2020, 883: 27 doi: 10.1017/jfm.2019.865
[56] Wu T, He GW. Composition of resolvents enhanced by random sweeping for large-scale structures in turbulent channel flows. Journal of Fluid Mechanics, 2023, 956: 33 doi: 10.1017/jfm.2023.23
[57] Ying AJ, Liang T, Li ZG, et al. A resolvent-based prediction framework for incompressible turbulent channel flow with limited measurements. Journal of Fluid Mechanics, 2023, 976: 43
[58] Doshi PS, Ranjan R, Liu Q, et al. Toward a passive control strategy for a supersonic multi-stream flow using resolvent analysis//AIAA Scitech 2021 Forum, 2021: 1557
[59] Chavarin A, Luhar M. Optimization of riblet geometry via the resolvent framework//AIAA Scitech 2022 Forum, 2022: 1037
[60] Gross A, Marks C, Sondergaard R. Laminar separation control for eppler 387 airfoil based on resolvent analysis. AIAA Journal, 2024, 62(4): 1487-1502 doi: 10.2514/1.J063492
[61] Liu Q, Sun YY, Yeh CA, et al. Unsteady control of supersonic turbulent cavity flow based on resolvent analysis. Journal of Fluid Mechanics, 2021, 925: 28 doi: 10.1017/jfm.2021.686
[62] Nakashima S, Fukagata K, Luhar M. Assessment of suboptimal control for turbulent skin friction reduction via resolvent analysis. Journal of Fluid Mechanics, 2017, 828: 496-526 doi: 10.1017/jfm.2017.519
[63] Luhar M, Sharma AS, Mckeon BJ. Opposition control within the resolvent analysis framework. Journal of Fluid Mechanics, 2014, 749: 597-626 doi: 10.1017/jfm.2014.209
[64] Kawagoe A, Nakashima S, Luhar M, et al. Proposal of control laws for turbulent skin friction reduction based on resolvent analysis. Journal of Fluid Mechanics, 2019, 866: 810-840 doi: 10.1017/jfm.2019.157
[65] Williamson CH. Vortex dynamics in the cylinder wake. Annual Review of Fluid Mechanics, 1996, 28(1): 477-539 doi: 10.1146/annurev.fl.28.010196.002401
[66] Kou JQ, Zhang WW, Liu YL, et al. The lowest reynolds number of vortex-induced vibrations. Physics of Fluids, 2017, 29(4): 041701
[67] Yuan H, Kou JQ, Gao CQ, et al. Resolvent analysis for flutter boundary prediction in transonic flow. AIAA Journal, 2024, https://doi.org/10.2514/1.J064214
-
期刊类型引用(1)
1. 张帆，张恒，李卓越，文俊，胡海豹. 基于深度学习方法的圆柱绕流实验缺失数据重构. 物理学报. 2025(07): 154-166 . 
百度学术
其他类型引用(0)
计量
- 文章访问数: 520
- HTML全文浏览量: 137
- PDF下载量: 305
- 被引次数: 1
