DYNAMIC CRACKING SIMULATION OF SHEAR-BASED FRACTURE BY USING SBFEM
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摘要: 剪切型断裂是岩土工程中常见的破坏模式, 了解剪切破坏机理并准确预测剪切型裂纹的萌生、扩展过程对保障工程结构的安全性与稳定性具有重要意义. 文章建立了基于比例边界有限元法(scaled boundary finite element methods, SBFEM)和非局部宏-微观损伤模型的剪切型裂纹动态开裂模拟方法, 定义了基于偏应变概念的物质点对的正伸长量, 可作为预测剪切型裂纹扩展行为的动态开裂准则, 一点的损伤定义为该点影响域范围内连接的物质键损伤的加权平均值, 而物质键的损伤则与基于偏应变概念的物质点对的正伸长量相关联, 并引入能量退化函数建立结构域几何拓扑损伤与能量损失之间的关系, 将拓扑损伤与应力应变联系起来, 通过能量退化函数修正了SBFEM的刚度系数矩阵, 得到了子域在损伤状态下的刚度矩阵, 推导了考虑结构损伤的SBFEM动力控制方程, 采用Newmark隐式算法对控制方程进行时间离散. 最后, 通过3个典型算例验证了建议的模型可较好地模拟剪切型断裂问题, 能够很好地捕捉剪切型裂纹的扩展路径, 并得到较为准确的载荷-位移曲线.
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关键词:
- 比例边界有限元法 /
- 非局部宏-微观损伤模型 /
- 剪切型开裂 /
- 四叉树网格 /
- 偏应变
Abstract: Shear failure is a common failure mode in geotechnical engineering. Understanding the shear failure mechanism and accurately predicting the initiation and propagation process of shear fractures is of great significance for ensuring the safety and stability of engineering structures. This paper establishes a dynamic cracking simulation method for shear-based fractures based on the scaled boundary finite element methods (SBFEM) and a non-local macro-micro damage model. It defines the positive elongation of material point pairs based on deviator strain concept, which can serve as a dynamic cracking criterion for predicting the propagation behaviour of shear-based fractures. The damage at a point is defined as the weighted average of material bond damage within the influence domain of that point, where material bond damage is related to the positive elongation of material point pairs based on deviator strain concept. An energy degradation function is introduced to establish the relationship between geometric topological damage in the structural domain and energy loss, linking topological damage with stress and strain. The energy degradation function is used to modify the stiffness matrix of SBFEM, resulting in the stiffness matrix of the subdomain in the damaged state. The dynamic governing equation of SBFEM considering structural damage is derived, and the Newmark implicit algorithm is used for time discretization of the governing equation. Finally, through three typical numerical examples, it is verified that the proposed model can effectively simulate shear failure problems, accurately capture the crack path of shear fractures, and obtain relatively accurate load-displacement curves. -
引 言
由于作用力的不同, 实际构件和试样中的裂纹可以分为3种基本类型: 张开型裂纹(I型)、滑开型裂纹(II型)、撕开型裂纹(III型). 在断裂力学的经典定义中, II型裂纹是指裂纹面仅发生滑移而不发生裂纹口张开的加载类型, 标准的实验室加载装置显示初始裂纹在大约$ {\theta }_{0}\approx $70°方向扩展形成“翼裂纹”, 见图1(a). 这种裂纹扩展模式称为II型裂纹. 在这种加载模式下两翼裂纹的形成是由拉应力驱动的, 因此, 这些II型裂纹的扩展行为通常可以使用I型开裂扩展准则很好地预测[1].
剪切载荷下拉应力驱动的裂纹扩展是因为材料的II型断裂韧度比I型大得多, 即拉伸断裂往往先于剪切断裂发生. 然而, 在某些情况下裂纹不仅主要受II型载荷作用, 而且裂纹扩展也会因剪切应力而发生, 从而产生自平面裂纹扩展, 如图1(b)所示. 在这种情况下, 自平面裂纹生长是对垂直于裂纹平面或平行于裂纹平面的压应力的响应, 抵消了由拉应力驱动的翼裂纹形成. 为了将这种类型的开裂与拉应力驱动的开裂区分开来, 称其为真II型裂纹(剪切型裂纹)[2].
和拉应力驱动的断裂研究相比, 剪切型断裂研究仍比较有限, 这跟一般材料的抗剪强度大于抗拉强度、剪切型断裂在实验室实现复杂度高有关. 然而, 剪切型断裂经常发生在高围压应力足以抑制拉伸断裂的次表面, 如边坡滑移[3]、断层或结构面滑移型岩爆[4]、断层滑移[5]和水力剪切[6]等. 因此, 了解剪切破坏机理并准确预测剪切型裂纹的萌生、扩展过程对保障工程结构的安全性与稳定性具有重要意义. 近年来, 国内外已有很多学者关注真II型开裂的理论和实验研究. Rao等[7]通过理论分析、数值模拟及室内试验建立了II型断裂的开裂准则并发展了II型应力强度因子的测试方法. Tang等[8]采用加权函数法得到了压应力下双边断裂的巴西圆盘试件的II型应力强度因子的解析解. Bahrami等[2,9]采用含双边裂纹的巴西圆盘试件较系统地研究了岩石的真II型断裂韧度及尺寸效应对断裂韧度的影响. Cao等[10]发展了Z型中心断裂的直剪测试方法观察岩体的真II型断裂. 姬晨濛等[11]基于弹性动力学的理论和复应力函数提出了一种伪应力函数法, 可用于近似评估II型动态裂纹尖端应力场. 张晨曦等[12]系统地对现阶段国内外岩石材料II型断裂理论与实验测试技术进展进行了概括分析.
在裂纹开裂扩展数值模拟方面, 有限元法[13-14]和扩展有限元法[15]等都得到了广泛应用. 由Wolf等[16]提出的比例边界有限元法(scaled boundary finite element methods, SBFEM)是近年来在各个领域日益受欢迎的数值方法, 如无界域[17]、断裂和损伤力学[18]、波传播[19]和反问题[20]. SBFEM单元形状的高度灵活性显著简化了网格剖分过程[21], 与四叉树网格结合时, SBFEM可以利用四叉树的有限模式, 显著提高计算效率[22]. 受近场动力学和统一相场理论的启发, 卢广达等[23]提出了一类非局部宏-微观损伤模型, 该模型引入近场动力学中物质点和物质点偶的概念, 很好地避免了网格敏感性和应力锁死问题. 任宇东等[24]又对该模型进行了发展, 提出了一种基于结构化变形驱动的非局部宏-微观损伤模型, 成功地捕捉到了结构在受直接剪切载荷下的真Ⅱ型裂纹扩展模式.
论文在SBFEM的框架下, 定义基于偏应变概念的物质点对的正伸长量, 进一步发展SBFEM和非局部宏-微观损伤模型用于剪切型裂纹的动态开裂模拟, 推导了考虑结构损伤的SBFEM动力控制方程, 采用Newmark隐式算法进行时间离散. 最后, 通过3个算例验证建议的模型模拟剪切型裂纹动态开裂问题的可行性.
1. 动态开裂问题的SBFEM基本方程
采用四叉树网格对结构域进行离散化, 将每个正方形四叉树单元(含有任意边数)作为SBFE的一个子域. 如图2所示, 具有4个角节点和3个悬挂节点的四叉树单元的边被划分为7条线单元. 比例中心$ O $位于四叉树单元的中心, 从比例中心可看到所有边界. 单元的边界使用线单元进行离散化. 每个单元定义了一个局部坐标$ \eta $. 任何悬挂节点(如果存在)都会被自然处理, 将四叉树单元视为具有任意边数的多边形即可. 径向坐标$ \xi $从比例中心$ O\left(\xi = 0\right) $指向边界上的一个点$ \left(\xi = 1\right) $, 因此, 通过采用径向坐标$ \xi $可将边界逐渐缩放至比例中心$ O $.
SBFEM位移模式可表示为
$$ \boldsymbol{u}\left(\xi ,\eta \right) = \boldsymbol{N}\left(\eta \right)\boldsymbol{u}\left(\xi \right) $$ (1) 式中, $ \boldsymbol{u}\left(\xi \right) $为$ \xi $方向满足平衡方程的解析位移函数. 对于弹性静力学问题, 采用虚功原理可推导出SBFE方程为[25]
$$ {\boldsymbol{E}}_{0}{\xi }^{2}{\boldsymbol{u}\left(\xi \right)}_{,\xi \xi } + \left({\boldsymbol{E}}_{0}-{\boldsymbol{E}}_{1} + {\boldsymbol{E}}_{1}^{\mathrm{T}}\right){\xi \boldsymbol{u}\left(\xi \right)}_{,\xi }-{\boldsymbol{E}}_{2}\boldsymbol{u}\left(\xi \right) = {\boldsymbol{0}} $$ (2) 式中, $ {\boldsymbol{E}}_{0}、{\boldsymbol{E}}_{1} $和$ {\boldsymbol{E}}_{2} $为与材料参数和形状有关的刚度系数矩阵. 可将式(2)转化为具有两倍未知数的一阶微分方程后求解[26], $ \boldsymbol{u}\left(\xi \right) $的解答可表示为
$$ \boldsymbol{u}\left(\xi \right) = \sum _{i = 1}^{n}{c}_{i}{\xi }^{{\lambda }_{i}}{\boldsymbol{\phi }}_{i}^{\mathrm{u}} = {\boldsymbol{\phi }}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{u}}{\xi }^{\left\langle{{{\boldsymbol{\lambda}} }_{{{\boldsymbol{b}}}}}\right\rangle}\boldsymbol{c} $$ (3) 式中, $ n $为自由度数; $ {\boldsymbol{\phi }}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{u}} $是对应于具有非负实部的第一个特征值的特征向量矩阵的子矩阵; $ \left\langle{{{\boldsymbol{\lambda}} }_{{{\boldsymbol{b}}}}}\right\rangle $是包含特征值的对角矩阵; $ \boldsymbol{c} $是取决于边界条件的积分常数, 积分常数可从结点位移$ {\boldsymbol{u}}_{\mathrm{b}} = \boldsymbol{u}\left(\xi = 1\right) $中获得, 即
$$ \boldsymbol{c} = {\left({\boldsymbol{\phi }}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{u}}\right)}^{-1}{\boldsymbol{u}}_{\mathrm{b}} $$ (4) 子域边界上的结点力可表示为
$$ \boldsymbol{q}\left(\xi \right) = \sum _{i = 1}^{n}{c}_{\boldsymbol{i}}{\xi }^{{\boldsymbol{\lambda }}_{\boldsymbol{i}}}{\boldsymbol{\phi }}_{i}^{\rm{q}} = {\boldsymbol{\phi }}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{q}}{\xi }^{\left\langle{{\boldsymbol{\lambda }}_{\boldsymbol{b}}}\right\rangle}\boldsymbol{c} $$ (5) 式中, $ {\boldsymbol{\phi }}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{q}} $也是相应于具有非负实部的第一个特征值的特征向量矩阵的子矩阵. 子域刚度矩阵可通过下式计算
$$ {\boldsymbol{K}}^{\mathrm{e}} = {\boldsymbol{\phi }}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{q}}{\left({\boldsymbol{\phi }}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{u}}\right)}^{-1} $$ (6) 为了将公式扩展到弹性动力学问题, 可使用虚功原理推导出运动方程, 其中包括由于惯性力产生的附加项, 具体的推导过程见文献[26], 子域质量矩阵的表达式为
$$ {\boldsymbol{M}}^{\mathrm{e}} = {\left({\boldsymbol{\phi }}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{u}}\right)}^{-\mathrm{T}}{\int }_{0}^{1}{\xi }^{\left\langle{{{\boldsymbol{\lambda}} }_{{{\boldsymbol{b}}}}}\right\rangle}{\left({\boldsymbol{\phi }}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{u}}\right)}^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{M}}_{\mathrm{0}}{\boldsymbol{\phi }}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{u}}{\xi }^{\left\langle{{{\boldsymbol{\lambda }}}_{{{\boldsymbol{b}}}}}\right\rangle}\xi \mathrm{d}\xi {\left({\boldsymbol{\phi }}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{u}}\right)}^{-1} $$ (7) 式中, $ {\boldsymbol{M}}_{0} $为质量系数矩阵, 可表示为
$$ {\boldsymbol{M}}_{\mathrm{0}} = {\sum }_{\mathrm{e}}{\int }_{-1}^{ + 1}{\boldsymbol{N}}^{\mathrm{T}}\rho \boldsymbol{N}\left|{\boldsymbol{J}}_{\mathrm{b}}\right|\mathrm{d}\eta $$ (8) 式中, $ \boldsymbol{N} $为子域边界单元的形函数矩阵; $ \rho $为质量密度; $ \left|{\boldsymbol{J}}_{\mathrm{b}}\right| $为子域边界单元的雅克比矩阵行列式.
集成所有子域的刚度、质量矩阵以及载荷列阵可得到求解动力问题的SBFEM控制方程为
$$ \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}} + \boldsymbol{K}\boldsymbol{u} = \boldsymbol{F} $$ (9) 式中, $ \boldsymbol{M} $为整体质量矩阵, $ \boldsymbol{K} $为整体刚度矩阵, $ \ddot{\boldsymbol{u}} $为整体结点加速度向量, $ \boldsymbol{u} $为整体结点位移向量, $ \boldsymbol{F} $为整体外载荷向量.
2. 开裂准则
根据非局部宏-微观损伤模型[23], 考虑二维空间中的结构域${\boldsymbol{ \varOmega }}$, $ \boldsymbol{x} = \left({x}_{1},{x}_{2}\right) $和$ {\boldsymbol{x}}{{'}} = \left({x}'_{1}{{}},{x}'_{2}{{}}\right) $是$ {\boldsymbol{\varOmega }}$中的两个物质点, 物质点对$ \boldsymbol{x} $和$ {\boldsymbol{x}}{{'}} $记为$ \left(\boldsymbol{x},{\boldsymbol{x}}{{{'}}}\right) $, 类似于连续介质力学中线元的概念. 两物质点之间的空间距离定义为$ \parallel {\boldsymbol{r}}\parallel = \parallel \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}\mathrm{{'}}\parallel $. 当连续体发生变形时, 物质点$ \boldsymbol{x} $和$ {\boldsymbol{x}}{{'}} $的运动分别由位移向量$ \boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}\left(\boldsymbol{x}\right) $和$ {\boldsymbol{u}}{\mathrm{{'}}} = \boldsymbol{u}\mathrm{{'}}\left(\boldsymbol{x}\mathrm{{'}}\right) $定义. 如图3所示, 类似于连续介质力学中线元拉伸量的概念, 物质点对之间的变形定义为
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图 3 物质点对之间的变形示意图Figure 3. Schematic diagram of deformation of a pair of material points$$ \lambda \left(\boldsymbol{x},{\boldsymbol{x}}{{{'}}}\right) = \parallel {\boldsymbol{u}}{{{'}}}-\boldsymbol{u} + \boldsymbol{r}\parallel -\parallel \boldsymbol{r}\parallel \approx \left({\boldsymbol{u}}{{{'}}}-\boldsymbol{u}\right)\cdot \boldsymbol{\nu } $$ (10) 式中, $ \boldsymbol{\nu } = \boldsymbol{r}/\parallel \boldsymbol{r}\parallel $为物质点对的单位方向向量. 因此, 物质点对的正伸长量可以表示为
$$ {\lambda }^{ + }\left(\boldsymbol{x},{\boldsymbol{x}}{{'}}\right) = \lambda \left(\boldsymbol{x},{\boldsymbol{x}}{{'}}\right)H\left[\lambda \left(\boldsymbol{x},{\boldsymbol{x}}{{'}}\right)\right] $$ (11) 式中, $ H\left(\cdot \right) $为Heaviside阶跃函数, $ \lambda \leqslant 0 $时$ H\left(\lambda \right) = 0 $, 否则$ H\left(\lambda \right) = 1 $.
根据结构化变形的假设[24, 27], 固体中一点的宏观应变$ \boldsymbol{\varepsilon } $可认为由弹性部分的应变$ {\boldsymbol{\varepsilon }}_{\rm{e}} $(未受损部分的弹性变形引起的)和由于错位而导致的结构化变形部分引起的应变$ {\boldsymbol{\varepsilon }}_{\rm{s}} $组成, 从而导致类似于塑性变形的分裂, 即
$$ \boldsymbol{\varepsilon } = {\boldsymbol{\varepsilon }}_{\mathrm{e}} + {\boldsymbol{\varepsilon }}_{\mathrm{s}} $$ (12) 式中, $ {\boldsymbol{\varepsilon }}_{\mathrm{e}} $为完好材料提供的应变, $ {\boldsymbol{\varepsilon }}_{\mathrm{s}} $为结构化应变. 根据剪切型破坏的特征, 可指定结构化应变所属的集合为对称的二阶偏张量集合$ {\boldsymbol{S}}_{\mathrm{y}\mathrm{m}}^{\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{v}} $, 进而可求得结构化应变为[24]
$$ {\boldsymbol{\varepsilon }}_{\mathrm{s}} = {\boldsymbol{\varepsilon }}^{\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{v}} $$ (13) 式中, $ {\boldsymbol{\varepsilon }}^{\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{v}} $为宏观应变的偏量部分. 对于二维问题, 结构化应变$ {\boldsymbol{\varepsilon }}^{\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{v}} $可用偏应变来表示
$$ {\boldsymbol{\varepsilon }}^{\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{v}} = \left[\begin{array}{cc}\dfrac{1}{3}\left(2{\varepsilon }_{x}-{\varepsilon }_{y}\right)& {\varepsilon }_{xy}\\ {\varepsilon }_{xy}& \dfrac{1}{3}\left(2{\varepsilon }_{y}-{\varepsilon }_{x}\right)\end{array}\right] $$ (14) 由此, 结合物质点对的概念, 根据式(14)可求出各物质点对的结构化应变为
$$ {\hat{\boldsymbol{\varepsilon }}}_{\mathrm{s}}\left(\boldsymbol{x},{\boldsymbol{x}}{{'}},t\right) = {\hat{\boldsymbol{\varepsilon }}}^{\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{v}}\left(\boldsymbol{x},{\boldsymbol{x}}{{'}},t\right) $$ (15) 从而, 基于偏应变概念, 定义物质点对的正伸长量为
$$ \lambda_{\mathrm{s}}^{+}\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}^{\prime}, t\right)=\sqrt{\left[r_x \cdot \frac{1}{3}\left(2 \varepsilon_x^{\prime}-\varepsilon_y^{\prime}\right)\right]^2+\left[r_y \cdot \frac{1}{3}\left(2 \varepsilon_y^{\prime}-\varepsilon_x^{\prime}\right)\right]^2} $$ (16) 式中, rx、ry分别为物质点对沿x、y方向的长度, $\varepsilon_x^{\prime} $、$\varepsilon_y^{\prime} $分别为物质点对沿x、y方向的正伸长率.
当物质点对的结构化正伸长量$ {\lambda }_{\mathrm{s}}^{ + } $超过临界值$ {\bar {\lambda }}_{\mathrm{s}} $时, 两物质点产生不可逆的分离, 直至物质键完全断裂, 这一过程与单调非减的加载历史参数有关, 定义加载历史参数为[23]
$$ \kappa \left(\boldsymbol{x},{\boldsymbol{x}}{{{'}}},t\right) = \underset{\tau \in \left[0,t\right]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left[\left({\lambda }_{\mathrm{s}}^{ + }-{\bar {\lambda }}_{\mathrm{s}}\right)H\left({\lambda }_{\mathrm{s}}^{ + }-{\bar {\lambda }}_{\mathrm{s}}\right)\right] $$ (17) 即物质键变形历史的最大超越伸长量. 为了表征物质键的损伤程度, 定义一个细微观损伤函数$ \omega (\boldsymbol{x},{\boldsymbol{x}}{{{'}}},t) $并归一化为$ \omega \in \left[\mathrm{0,1}\right] $, 该参数是历史最大超越伸长量$ \kappa $的单调非减函数, 取为[23]
$$ \omega = 1-\mathrm{exp}\left(-\gamma \kappa \right) $$ (18) 式中, $ \gamma > 0 $为模型参数, $ \gamma $越大, 损伤的发展速度越快. 由于Heaviside阶跃函数能够表征不连续性, 因此, 细微观损伤刻画了固体在物质键层次的不连续程度. 关于非局部损伤模型的详细介绍可参见文献[23].
3. 考虑结构损伤的SBFEM控制方程
定义物质点$ \boldsymbol{x} $的影响域半径为$ \ell $, $ {D}_{\ell }\left(\boldsymbol{x}\right) $为物质点$ \boldsymbol{x} $的影响域. 某点的损伤定义为该点影响域范围内连接的物质键损伤的加权平均
$$ \varTheta \left(\boldsymbol{x}\right) = {\int }_{{D}_{\ell }\left(\boldsymbol{x}\right)}\varphi \left(\boldsymbol{x},{\boldsymbol{x}}{{{'}}}\right)\omega \left(\boldsymbol{x},{\boldsymbol{x}}{{{'}}},t\right)\mathrm{d}{V}{{{'}}} $$ (19) 式中, $ \varphi \left(\boldsymbol{x},{\boldsymbol{x}}{{{'}}}\right) $为权函数. 能量退化函数为[23]
$$ g\left(\varTheta \right) = \frac{(1-\varTheta {)}^{p}}{1 + q[1-(1-\varTheta {)}^{p}]},p \geqslant 1,q \geqslant 0 $$ (20) 式中, $ p $和$ q $均为退化参数, 表征材料的宏观脆性程度, 由材料自身性质决定. 通过引入能量退化函数$ g = g\left(\varTheta \right) $, 将拓扑损伤与应力-应变联系起来, 材料本构关系为
$$ \boldsymbol{\sigma } = g\boldsymbol{D}\boldsymbol{\varepsilon } = {\boldsymbol{D}}^{{\mathrm{D}}}\boldsymbol{\varepsilon } $$ (21) 式中, $ {\boldsymbol{D}}^{{\mathrm{D}}} = g\boldsymbol{D} $为弹性损伤矩阵. 由此, 损伤子域的刚度系数矩阵修正为
$$ \left.\begin{array}{c}{\boldsymbol{E}}_{0}^{\mathrm{D}} = g{\boldsymbol{E}}_{0} = g{\int }_{\eta }{\boldsymbol{B}}_{1}\left(\eta \right)^{\mathrm{T}}\boldsymbol{D}{\boldsymbol{B}}_{1}\left(\eta \right)\left|{\boldsymbol{J}}_{\mathrm{b}}\right|{\mathrm{d}}\eta \\ {\boldsymbol{E}}_{1}^{\mathrm{D}} = g{\boldsymbol{E}}_{1} = g{\int }_{\eta }{\boldsymbol{B}}_{2}\left(\eta \right)^{\mathrm{T}}\boldsymbol{D}{\boldsymbol{B}}_{1}\left(\eta \right)\left|{\boldsymbol{J}}_{\mathrm{b}}\right|{\mathrm{d}}\eta \\ {\boldsymbol{E}}_{2}^{\mathrm{D}} = g{\boldsymbol{E}}_{2} = g{\int }_{\eta }{\boldsymbol{B}}_{2}\left(\eta \right)^{\mathrm{T}}\boldsymbol{D}{\boldsymbol{B}}_{2}\left(\eta \right)\left|{\boldsymbol{J}}_{\mathrm{b}}\right|{\mathrm{d}}\eta \end{array}\right\} $$ (22) 式中, $ \xi \mathrm{为}\mathrm{径}\mathrm{向}\mathrm{坐}\mathrm{标}, \eta \mathrm{为}\mathrm{环}\mathrm{向}\mathrm{坐}\mathrm{标} $, $ {\boldsymbol{B}}_{1}\left(\eta \right) $和$ {\boldsymbol{B}}_{2}\left(\eta \right) $为应变-位移转换矩阵, 对式(2)进行求解并将式(22)代入即可得到子域在损伤状态下的刚度矩阵.
因此, 考虑结构损伤的SBFEM动力控制方程可表示为
$$ \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}} + {\boldsymbol{K}}^{\mathrm{D}}\boldsymbol{u} = \boldsymbol{F} $$ (23) 式中, $ {\boldsymbol{K}}^{\mathrm{D}} $为考虑子域损伤的整体刚度矩阵.
采用Newmark隐式时间积分算法对式(23)进行时间离散. 引入两个参数$ \alpha $和$ \beta $, Newmark隐式算法的基本方程为
$$ \left.\begin{split} &{\dot{\boldsymbol{u}}}_{t + \mathrm{\Delta }t} = {\dot{\boldsymbol{u}}}_{t} + (1-\alpha ){\ddot{\boldsymbol{u}}}_{t}\Delta t + \alpha {\ddot{\boldsymbol{u}}}_{t + \mathrm{\Delta }t}\Delta t\\ &{\boldsymbol{u}}_{t + \mathrm{\Delta }t} = {\boldsymbol{u}}_{t} + {\dot{\boldsymbol{u}}}_{t}\Delta t + \left(\frac{1}{2}-\beta \right){\ddot{\boldsymbol{u}}}_{t}\Delta {t}^{2} + \beta {\ddot{\boldsymbol{u}}}_{t + \mathrm{\Delta }t}\Delta {t}^{2}\end{split}\right\} $$ (24) 式中, $ {\boldsymbol{u}}_{t} $, $ {\dot{\boldsymbol{u}}}_{t} $和$ {\ddot{\boldsymbol{u}}}_{t} $为$ t $时刻的位移、速度和加速度向量, $ \mathrm{\Delta }t $为时间步长, 为了消除数值阻尼, 取$ \alpha = 0.55 $, $ \beta = 0.275\;625 $.
4. 数值算例
4.1 算例1: 紧凑剪切试验试件
紧凑剪切试验试件是用于II型断裂测试的试件, Zhang等[28]用态基近场动力学(state-based peridynamic, SBPD)以及Madenci等[29]用改进的键基近场动力学(bond-based peridynamic, BBPD)模拟了紧凑剪切试验[30-31]. 紧凑剪切试验的试件草图如图4(a)所示, 用于模拟的试验试件几何尺寸、边界条件及加载方式如图4(b)所示. 试件半宽度$ W = 25\;\mathrm{m}\mathrm{m} $, 试件高度$ H = 100\;\mathrm{m}\mathrm{m} $, 预制裂纹长度为$ {a}_{0} = 30\;\mathrm{m}\mathrm{m} $, 二维计算时的厚度取为$ b = 1\;\mathrm{m} $. 采用平面应变假定进行计算. 材料的弹性模量$ E = 70\;\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{a} $, 泊松比$ \upsilon = 0.3 $, 质量密度$ \rho = 2700\;\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{3} $. 非局部损伤模型的参数取为: 影响域半径$ \ell = 1.5\;\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{m} $, 临界伸长量$ {\bar {\lambda }}_{\mathrm{s}} = 8.0\times {10}^{-4} $, 材料脆性指标$ \gamma = 270 $, 能量退化参数$ p = 11 $, $ q = 0 $. 划分网格时, 可能出现裂纹扩展的区域进行网格加密处理, 试件被离散化为多个SBFEM子域, 得到的网格如图4(c)所示, 包含4280个四叉树单元和4717个结点. 数值计算时, 时间步长取为$ \Delta t = 2.0\times {10}^{-8}\;\mathrm{s} $, 每一时间步的加载位移为$ \Delta \bar {u} = 4.0\times {10}^{-6}\;\mathrm{m}\mathrm{m} $, 总加载时长为$ t = 2.0\times {10}^{-4}\;\mathrm{s} $.
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图 4 紧凑剪切试件示意图及网格划分Figure 4. Schematic diagram and mesh partition of compact shear specimen图5(a)给出了当前模型计算得到的裂纹扩展路径, 图5(b)和图5(c)中给出了态基近场动力学[28]与改进的键基近场动力学[29]计算得到的裂纹形态, 图5(d)给出了Jones等[31]的试验结果, 试验结果表明裂纹沿着初始裂纹方向进一步扩展, 具有剪切型破坏特征. 从图中可以看出, 当前模型计算得到的裂纹形态与两类近场动力学模型计算结果及试验结果较为一致, 符合剪切型破坏的特征. 试件在直剪的加载条件下, 裂纹沿着竖向扩展, 裂纹的两个表面在平面内相互滑移, 属于剪切型破坏, 表明论文提出的方法可较好地模拟剪切型裂纹扩展问题.
图6给出了当前模型计算得到的载荷-加载点竖向位移曲线, 并与改进的键基近场动力学计算结果及试验结果进行了对比, 具有较好的吻合度. 曲线走势在弹性阶段线性上升, 在出现损伤后, 由于试件的整体刚度矩阵下降, 载荷的上升趋势减缓, 进入屈服阶段, 当位移加载到约3.4 × 10−2 mm时, 达到试件的屈服极限, 载荷急剧下降, 裂纹迅速贯穿试件, 这是由于试验试件的材质脆性较大. Jones等[31]的试验结果受限于测试条件, 仅测出了上升段, 试验得到的极限载荷值约为359.03 kN, 论文建议方法模拟得到的极限载荷值为385.07 kN, 吻合较好.
图7给出了3个典型阶段的试件损伤情况. 裂纹在弹性阶段的末尾(阶段Ⅰ)开始萌生, 在屈服阶段(阶段Ⅱ ~ 阶段Ⅲ)不断平稳发展, 直至达到结构的承载极限, 裂纹发展失稳, 迅速贯穿整个试件(阶段Ⅳ).
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图 7 紧凑剪切试件不同阶段裂纹图Figure 7. Different phases of crack propagation in the compact shear specimen4.2 算例2: 长剪切试件
本算例考察长剪切试件的剪切型开裂模拟, Fei等[32]利用相场模型对该试件进行了模拟计算和分析. 试件的几何尺寸、边界条件和加载方式如图8(a)所示. 试件长度$ L = 500\;\mathrm{m}\mathrm{m} $, 宽度$ W = 100\;\mathrm{m}\mathrm{m} $, 试件左侧中央预制裂纹长度为$ {a}_{0} = 10\;\mathrm{m}\mathrm{m} $, 二维计算时的厚度取为$ b = 1\;\mathrm{m} $. 试件的底部固定, 两侧壁只固定竖向自由度, 顶部施加方向向右的水平位移$ {\bar {u}}_{x}\left(t\right) $. 采用平面应变假定进行计算, 材料的弹性模量$ E = 26\;\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a} $, 泊松比$ \upsilon = 0.3 $, 质量密度$ \rho = 1800\; \mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{3} $. 模型参数取为: 影响域半径$ \ell = 3\;\mathrm{m}\mathrm{m} $, 临界结构化伸长量$ {\bar {\lambda }}_{\mathrm{s}} = 1.5\times {10}^{-2} $, 材料脆性指标$ \gamma = 1 $, 能量退化参数$ p = 7 $, $ q = 13 $. 试件的网格划分如图8(b)所示, 对可能出现裂纹扩展的区域进行了加密处理. 整个试件被离散为多个SBFEM子域, 具有7036个四叉树单元和8151个节点. 时间步长取为$ \Delta t = 5.0\times {10}^{-7}\;\mathrm{s} $, 每一时间步的位移为$ \Delta \bar {u} = 1.0\times {10}^{-4}\;\mathrm{m}\mathrm{m} $, 总加载时长为 $ t = 1.5\times {10}^{-2}\;\mathrm{s} $.
图9(a)给出了当前模型计算得到的裂纹扩展路径, 图9(b)中给出了相场模型计算得到的裂纹形态, 从图中可以看出, 当前模型计算得到的裂纹形态与相场模型计算结果一致, 符合真Ⅱ型破坏的特征. 试件在直剪的载荷加载条件下, 裂纹沿水平方向扩展, 裂纹的两个表面在平面内相互滑移, 属于剪切型破坏.
图10给出了当前模型计算得到的载荷-位移曲线, 并与相场模型计算结果进行了对比. 可以看到两者在弹性阶段是较为吻合的, 只是在下降阶段有所区别, 这是由于论文采取应变驱动损伤的模型, 随着裂纹上、下面之间相对位移的不断增加, 单元的结构化应变也不断增大, 因此裂缝面单元的拓扑损伤不断增大, 单元的刚度不断下降, 导致整体结构的承载力不断下降. 同时可以发现, 长剪切试件载荷-位移曲线的破坏(软化)阶段与紧剪切试件有所不同, 长剪切试件的载荷下降段要平缓的多. 这是由于长剪切试件的材料为黏土, 是一种十分“不脆”的材料, 脆性指标$ \gamma = 1 $.
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图 10 长剪切试件载荷-加载点水平位移曲线Figure 10. Load-loading point horizontal displacement curve of the long shear specimen图11给出了当前模型计算得到的长剪切试件裂纹形态, 并与相场模型进行了对比. 可以发现, 当前模型与相场模型模拟得到的裂纹扩展过程的特征相同, 即当试件的承载力尚未达到峰值时, 损伤的区域已经覆盖了裂纹最终扩展路径的区域, 进入软化阶段后, 裂纹所在区域内的损伤值不断扩大, 裂纹所在单元的承载力不断下降, 在最后的阶段, 损伤区域内的单元完全破坏, 失去了承载能力, 形成最终的裂纹形态.
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4.3 算例3: 端载含裂纹悬臂梁试件
考察端载含裂纹悬臂梁试件的开裂模拟, Zhang等[28]对该试件的张开型开裂和Ⅱ型开裂进行了模拟计算和分析. 该试件的几何尺寸、边界条件以及加载方式如图12(a)所示. 试件长度$ L = 200\;\mathrm{m}\mathrm{m} $, 宽度$ W = 10\;\mathrm{m}\mathrm{m} $, 试件的右侧中部设有长为$ {a}_{0} = 120\;\mathrm{m}\mathrm{m} $的预制裂缝, 裂缝的宽度为$ w = 0.5\;\mathrm{m}\mathrm{m} $, 二维计算时的厚度取为$ b = 1\;\mathrm{m} $, 为了使裂纹开裂能够沿着中央界面进行, 参考文献中的做法, 将预制裂缝左端的中央界面设为较为薄弱的界面. 采用平面应变假定进行计算, 材料的弹性模量$ E = 200\;\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{a} $, 泊松比$ \upsilon = 0.3 $, 质量密度$ \rho = 7850\;\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{3} $. 界面处的弹性模量为$ E = 200\;\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a} $. 非局部宏-微观损伤模型的模型参数为: 影响域半径$ \ell = 0.5\;\mathrm{m}\mathrm{m} $, 临界结构化伸长量$ {\bar {\lambda }}_{\mathrm{s}} = 1.5\times {10}^{-4} $, 材料脆性指标$ \gamma = 1000 $, 能量退化参数$ p = 11 $, $ q = 0 $. 试件的网格划分如图12(b)所示, 对可能出现裂纹发展的区域进行了加密处理. 整个试件被离散为多个SBFEM子域, 具有
10455 个四叉树单元和7880个节点. 时间步长取$ \Delta t = 1.0\times {10}^{-7}\;\mathrm{s} $, 每一时间步的位移为$ \Delta \bar {u} = 5.0\times {10}^{-5}\;\mathrm{m}\mathrm{m} $, 总加载时长为$ t = 1.0\times {10}^{-3}\;\mathrm{s} $.图13(a)给出了当前模型计算得到的裂纹扩展路径, 图13(b)给出了SBPD计算得到的裂纹形态, 从图中可以看出, 当前模型计算得到的裂纹形态与文献计算结果较为一致, 符合剪切型破坏的特征. 裂纹沿着弱界面水平扩展, 裂纹的两个表面在平面内相互滑移, 属于剪切型破坏.
图14给出了当前模型计算得到的载荷-位移曲线, 并与SBPD模型计算结果进行了对比(文献[28]峰值点后的图有微小震荡, 图中仅取了若干点拟合表示曲线的变化趋势). 可以看到两者的曲线走势是较为吻合的, 同时可以看到, 区别于上文两个算例, 该试件所得载荷-位移曲线走势在达到载荷峰值后, 下降到一定程度后, 载荷会维持在一定的范围内, 从损伤结果云图可以看出, 裂纹并未完全贯穿试件, 在距离固定端约1/10试件长度处停止了扩展, 试件并未完全失去承载能力.
图15给出了4个典型阶段的损伤云图, 可以看到, 损伤在载荷并未达到峰值时就已经产生, 随着加载位移的不断增大, 损伤的程度也越来越大, 且整体沿着从左至右的方向进行扩展, 在扩展到距固定端约1/10试件长度时停止扩展, 尽管位移加载并未停止, 损伤也并未继续向右蔓延.
5. 结论
提出了基于SBFEM和非局部宏-微观损伤模型的剪切型裂纹动态开裂模拟方法. 通过定义基于偏应变概念的物质点对的正伸长量, 作为预测剪切型裂纹扩展行为的动态开裂准则, 以及引入能量退化函数修正SBFEM的刚度系数矩阵, 建立结构域几何拓扑损伤与能量损失之间的关系, 推导了考虑结构损伤的SBFEM动力控制方程, 采用Newmark隐式算法进行时间离散. 通过3个典型算例的验证, 结果表明所提出的模型能较好地模拟剪切型断裂问题, 捕捉剪切型裂纹的扩展路径, 并获得较为准确的载荷-位移曲线, 为岩土工程中剪切型裂纹破坏模式的研究提供了新的方法和理论支持.
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图 3 物质点对之间的变形示意图
Figure 3. Schematic diagram of deformation of a pair of material points
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图 4 紧凑剪切试件示意图及网格划分
Figure 4. Schematic diagram and mesh partition of compact shear specimen
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图 7 紧凑剪切试件不同阶段裂纹图
Figure 7. Different phases of crack propagation in the compact shear specimen
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图 10 长剪切试件载荷-加载点水平位移曲线
Figure 10. Load-loading point horizontal displacement curve of the long shear specimen
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