A MULTI-OBJECTIVE SEQUENTIAL OPTIMIZATION METHOD BASED ON CLUSTERING-PARTITIONED ENSEMBLE OF METAMODELS
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摘要: 针对具有显式约束的昂贵多目标优化问题, 提出了一种基于聚类分区混合代理模型(CPEM)的多目标序列优化方法(MOSOM-CPEM). 在MOSOM-CPEM中引入了约束域最优拉丁超立方设计(CDOLHD), 使其能够在边界形状复杂的可行域内构造样本点. 多区域混合代理模型(EM-MROWF)中的可行域划分方法在分割非矩形域时将导致部分区域样本点数量较少从而影响该区域混合代理模型的预测精度. 为了解决这一缺陷, 在CPEM中提出了一种基于K-means聚类的可行域分区方法和相应的边界光滑方法. CPEM与多项式响应面(PRS)、径向基函数(RBF)、克里金(KRG)模型和两种混合代理模型(GOEL和ACAR)在10个测试函数上进行了拟合精度比较. 结果表明, CPEM的整体拟合精度优于对比的代理模型, 证实了所提出的可行域分区方法的有效性. MOSOM-CPEM在CEC2021中的6个工程约束多目标优化问题上与其他基于代理模型的优化方法进行了比较. 结果表明, 在使用相同的样本点数量的前提下, MOSOM-CPEM获得的Pareto前沿收敛性和分布性更好. MOSOM-CPEM应用于履带式起重机超长桁架臂的腰绳结构优化问题, 结果证实了其优势, 表明MOSOM-CPEM具有较高的工程应用价值.Abstract: For the expensive multi-objective optimization problem with explicit constraints, this paper proposes a multi-objective sequential optimization method based on clustering-partitioned ensemble of metamodels (CPEM) called MOSOM-CPEM. The constrained domain optimal Latin hypercube design (CDOLHD) is introduced in MOSOM-CPEM, which enables it to obtain sample points in feasible domains with complex boundary shapes. A key challenge in utilizing ensembles of metamodels with multiple regional optimized weight factors (EM-MROWF) lies in the unequal distribution of sample points across non-rectangular domains, often resulting in a dearth of samples in certain regions and subsequently compromising the predictive accuracy of the metamodel ensemble within those areas. To mitigate this limitation, the CPEM incorporates a feasible domain division method grounded in K-means clustering, complemented by a matching boundary smoothing technique. This dual strategy ensures a more balanced and effective distribution of sample points across the entire domain, thereby enhancing the overall fitting accuracy of the model. To validate the efficacy of CPEM, its fitting accuracy is rigorously compared against several established metamodels, including the polynomial response surface (PRS), radial basis function (RBF), kriging (KRG) model, and two types of ensemble of metamodels, namely GOEL and ACAR. The results show that the fitting accuracy of CPEM is better than the compared metamodels, confirming the effectiveness of the proposed feasible domain division method. Furthermore, the performance of MOSOM-CPEM is benchmarked against other metamodel-based optimization techniques within the context of six constrained multi-objective optimization problems featured in the CEC2021 competition. The findings reveal that, when employing an identical number of sample points, the Pareto fronts yielded by MOSOM-CPEM exhibit superior convergence and distribution characteristics. MOSOM-CPEM is applied to the optimization problem of the waist rope structure of the extra-long truss boom of crawler cranes, and the results confirm its superiority, indicating that MOSOM-CPEM has high value for engineering applications.
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引 言
随着CAE技术的普及, 有限元分析(finite element analysis, FEA)方法作为一种高效的力学分析方法在工程中得到广泛应用. 其优势在于能够通过计算机模拟获得高精度的仿真结果, 从而减少实验成本, 因而基于FEA方法的优化设计得到快速发展. 然而, 针对例如汽车碰撞安全优化设计[1-4]、飞机翼型优化设计[5-7]和航天器优化设计[8-10]等昂贵的优化问题(expensive optimization problems, EOPs), 通过FEA方法获得高精度的数值解往往需要数百万的网格, 因此需要很高的时间成本, 这导致了基于FEA方法的优化设计方法应用受限.
针对EOPs, 一个有效的方法是通过具有真实响应的样本点来构建目标函数的廉价代理模型, 使用代理模型来辅助优化算法寻优, 该方法被称为基于代理模型的优化方法. 常见的代理模型包括多项式响应面(polynomial response surface, PRS)[11]、径向基函数(radial basis function, RBF)[12]、克里金(Kriging, KRG)模型[13]或高斯过程(Gaussian process, GP)[14]、支持向量机回归(support vector regression, SVR)[15]和人工神经网络(artificial neural networks, ANN)[16]等.
根据代理模型是否迭代更新, 该方法可分为两类: 静态和动态. 静态的方法只构建一次代理模型, 并使用代理模型来取代昂贵的函数评估, 该方法已经在工程中得到广泛应用[17-22]. 动态的方法采用实验设计方法生成一个初始样本集用于构建初始代理模型, 然后不断更新样本集来提高代理模型的精度, 这种方法也被称为序列优化方法[23]. 序列优化方法对初始样本点的依赖性相对较弱, 并且在最优解的潜在区域具有较高的预测精度.
近年来, 研究者们在序列优化领域进行了大量的改进和创新[24-31]. 研究表明, 序列优化的效用主要取决于代理模型的选择和样本点填充准则[32]. 大多数序列优化方法都采用单一的代理模型. 高精度的代理模型能够适应不同的目标函数, 从整体上来看可以减小目标数增加带来的累积误差. 最受欢迎的代理模型是KRG模型, 主要原因在于其能够提供有关预测不确定性的信息[33]. 也有一些研究者尝试在优化过程中使用多个相同或不同类型的代理模型来近似目标函数. Marjavaara等[34]使用了PRS模型和RBF网络分别近似不同的目标函数, 用于水轮机扩散器形状优化. Lim等[35]提出一个泛化的代理辅助计算框架, 在搜索过程中使用了两种模型, 一种是用于全局搜索的低阶PRS模型, 另一种是混合代理模型. Rosales-Pérez等[36]使用了一组SVR模型组成的集合来近似目标函数. 样本填充准则是序列优化方法中的另一重要组成部分, 好的样本填充准则能够使得算法收敛至全局最优并减少样本点的使用, 从而提高优化效率. 基于KRG的序列优化方法大多采用置信下限(lower confidence bound, LCB)、改善概率(probability of improvement, PoI)和预期改善(expected improvement, EI)来设计样本填充准则. Knowles[37]提出了一种基于Tchebycheff聚合方法的EI, 用于估计多目标优化中的预期改进. Wang等[38]提出了一种混合准则的样本填充策略, 一个是基于预期改进矩阵的填充准则, 另一个是基于欧氏距离的填充准则. 田杰等[24]提出了一种多目标加点准则, 通过最大化EI和最小化LCB来生成填充的样本点.
Yin等[39]提出了一种多区域混合代理模型(ensemble of metamodels with multiple regional optimized weight factors, EM-MROWF), 通过将设计域分割成若干个子域, 在每个子域上使用优化算法获得分配给基础代理模型的最佳权重因子, 并通过大量的数值实验证实其整体精度优于传统的混合代理模型. Yin等[40]基于EM-MROWF, 结合所提出的样本点填充策略, 提出了一种序列优化方法(或被称为自适应多区域混合代理模型, adaptive multi-regional ensemble of metamodels, AMEM), 并验证了其效率优于广为人知的高效的全局优化(efficient global optimization, EGO)方法[41].
然而, 工程中的许多优化问题都具有显式约束, 即设计变量之间是相互制约的. 大量复杂的显式约束将导致可行域远小于原设计空间, 并且具有不规则的边界. AMEM在解决此类问题时常常受到限制, 原因在于: 可行域分割方法没有考虑到复杂边界的影响, 这将增大EM-MROWF的拟合误差; 初始样本点的构建是针对矩形设计域的, 当优化问题的样本点在非可行域中时, 可能无法获得其真实的响应.
本文工作提出了基于聚类的可行域分割方法和引入了约束域最优拉丁超立方设计(constrained domain optimal Latin hypercube design, CDOLHD)[42], 以改进AMEM求解约束多目标优化问题时的局限性. 结合所提出的区域边界光滑方法和停止准则, 提出了一种基于聚类分区混合代理模型(clustering-partitioned ensemble of metamodels, CPEM)的多目标序列优化方法(multi-objective sequential optimization method based on clustering-partitioned ensemble of metamodels, MOSOM-CPEM).
1. MOSOM-CPEM的关键技术
1.1 MOSOM-CPEM的整体算法流程
基于聚类分区混合代理模型的多目标序列优化方法(MOSOM-CPEM)的核心思想是利用多区域混合代理模型在多个区域具有局部高精度的优势, 在优化过程中逐步将Pareto集所在区域划分出来, 并通过在该区域添加样本点来提高模型的预测精度. 其中, 自适应包含以下两个方面.
(1) 通过特定的加点策略从Pareto集中选择若干个Pareto解作为新的样本点添加到已有的样本集中, 根据新的样本集重构代理模型. 因此, 代理模型的精度自适应地改善.
(2) 由于添加了新的样本点, 改变了样本点的空间分布格局, 在Pareto集的潜在区域, 样本点分布更加密集. 采用聚类的思想将该区域单独划分出来, 结合多区域混合代理模型能够显著提高该区域的预测精度. 因此, 可行域中多个区域的边界是自适应变化的.
MOSOM-CPEM的流程如图1所示, 具体描述如下:
(1) 使用CDOLHD生成N个初始样本点作为初始样本集;
(2) 使用样本集分别构建PRS、RBF和KRG代理模型作为混合代理模型的基础模型;
(3) 使用K均值(K-means)聚类方法[43]根据样本集中点的分布将可行域划分为K个区域;
(4) 使用顺序二次规划(sequential quadratic programming, SQP)算法优化每个子区域中基础代理模型的权重, 用于构建混合代理模型;
(5) 由于每个区域中基础代理模型的权重不同, 在区域的边界附近将出现函数值阶跃效应, 使用基于K近邻(K-nearest neighbor, KNN)[44]思想的边界光滑方法消除阶跃效应;
(6) 基于建立的混合代理模型, 使用多目标优化算法获得Pareto集, 本文采用的是工程中广泛使用的第二代非支配排序遗传算法(non-dominated sorting genetic algorithm II, NSGAII)[45]作为多目标优化求解器;
(7) 检查是否满足收敛条件, 若未满足, 则从当前获得的Pareto集中选择若干个样本点添加到样本集中, 重新回到步骤(2).
整个优化流程通过建模、求解和加点3个主要部分的循环来不断改善Pareto前沿的精度. CDOLHD和基于聚类的可行域划分方法使得MOSOM-CPEM对有约束和无约束问题均具有较好的适应性. 可行域的划分不易受到其形状的影响, 并且可行域分区的边界是动态的, 配合加点策略能够使得样本点集中在Pareto集潜在区域, 进而提高预测精度.
1.2 初始采样方法
MOSOM-CPEM中的初始样本点通过约束域最优拉丁超立方设计(CDOLHD)生成. 常规的拉丁超立方设计仅适用于形状规则的超立方体设计域, 本文引入了CDOLHD, 用于在形状不规则的可行域内生成均匀的样本点, 具体步骤如下.
(1) 求解下式描述的2d个约束优化问题重构设计变量的取值范围, 将原始的采样空间缩小至包围可行域的最小超立方体内
$$ \left.\begin{aligned} & {{\mathrm{Minimize}}\;\; {x_i},\quad i \in [1,d]} \\ & {{\mathrm{Maximize}}\;\; {x_i},\quad i \in [1,d]} \\ & {{\mathrm{s.t.}}\;\; g({\boldsymbol{X}}) < 0,\quad h({\boldsymbol{X}}) = 0} \end{aligned} \right\} $$ (1) 其中, d表示设计变量的维度, X表示设计变量, xi表示设计变量的第i个维度, g(X)表示不等式约束, h(X)表示等式约束. 由于本步骤的目的在于缩小采样空间, 所以对于上述优化问题的求解精度要求不高. 采用例如粒子群优化(particle swarm optimization, PSO)[46]的元启发式优化算法可实现对上述问题的快速求解并且不依赖于问题的可导性, 对高维问题也能高效地求出近似最优解.
(2) 所需可行域样本点个数为n, 基准采样点个数为N, 令迭代次数t = 1.
(3) 采用改进的随机进化(enhanced stochastic evolution, ESE)[47]算法求解式(2) ~ 式(4)所描述的优化问题, 得到nt个可行样本点
$$\qquad\qquad {\mathrm{Maximize}}\; {n_t} + \frac{{{n_t}({n_t} - 1)}}{{2{{\bar \varphi }_p}}} $$ (2) $$\qquad\qquad {\bar \varphi _p} = {\left(\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^{N - 1} {{w_i}{w_j}{d_{ij}}^{ - p}} } \right)^{1/p}} $$ (3) $$\qquad\qquad {w_i} = \left\{\begin{aligned} & {1,\quad {\mathrm{if}}\; {{\boldsymbol{X}}_i}\; {\mathrm{is}} {\text{ feasible}} } \\ & {0,\quad {\mathrm{else}}} \end{aligned} \right. $$ (4) 其中, nt表示第t次迭代中获得的可行样本点数, dij表示样本点Xi到样本点Xj的欧氏距离, p是一个正整数, 一般取2. wi控制样本点是否参与式(3)的计算, 只有满足约束的样本点才参与计算.
(4) 如果nt < n, 进行步骤(5), 否则, 终止搜索.
(5) 按照式(5)更新基准采样点个数, 令t = t + 1, 重复步骤(3) ~ 步骤(4)
$$ N = \frac{n}{{{n_t}}}N $$ (5) 该方法能够在具有复杂边界的可行域内生成符合拉丁超立方分布的样本点, 流程图如图2所示.
1.3 聚类分区混合代理模型
1.3.1 多区域混合代理模型
传统的基于误差最小化的混合代理模型[48-49]在整个设计域内具有一致的权重向量, 这导致了混合代理模型在设计域内的部分区域精度不高. 多区域混合代理模型(EM-MROWF)将设计域划分成多个区域, 在每个区域上最小化误差度量(GMSE), 每个区域都获得了最佳的权重向量. 在区域的边界, 权重向量为相邻区域权重向量的平均值. EM-MROWF的建立过程如图3所示, 具体包括以下步骤.
(1) 使用最优拉丁超立方设计(optimal Latin hypercube design, OLHD)在设计域内生成N个样本点.
(2) 按照如图4所示的区域划分方法将设计域划分成${N_r} = {n_1} \times {n_2} \times \cdots \times {n_d}$个区域, d为设计变量的个数.
(3) 使用SQP算法最小化每个区域的误差度量GMSE获得区域的最佳权重向量, 在区域的边界, 权重向量为相邻区域权重向量的平均值.
1.3.2 基于聚类的区域划分方法
当可行域不是规则的矩形域时, 图4所示的区域划分方法将导致每个区域的样本点数量差异较大, 样本点数较少的区域获得的最优权重往往不是最佳的. 原因在于该区域的样本点数量太少而难以提供更多的细节特征, 如图5(a)所示.
本文提出一种基于聚类的可行域划分方法, 适用于具有复杂边界形状的可行域, 如图5(b)所示. 该分区方法具有以下优势.
(1) 该区域划分方法的适用范围更广. 对于无约束问题的矩形设计空间, 省略1.2节中的步骤(1), CDOLHD转变成一种OLHD.
(2) 该区域划分方法可以根据样本点的疏密进行灵活的分区, 每个区域都具有较密集的样本点, 提高了每个区域的预测精度. 当可行域内的样本点分布均匀时, 每个区域都有数量近似相等的样本点, 当样本点分布不均匀时, 点分布集中的区域被分类为一个区域, 每个样本点集中的区域精度都将被提高.
由于混合代理模型在优化方法中随着迭代过程自适应变化, 为了不显著增加构建代理模型的时间, 聚类的方法采用计算复杂度较低的K-means聚类方法, 其具体过程如下:
(1) 选择K个样本作为初始聚类中心;
(2) 计算每个样本点到K个聚类中心的欧式距离并将其归类到距离最小的聚类中心对应的类中;
(3) 重新计算每个类别的质心作为新的聚类中心;
(4) 重复步骤(2)和(3)直到满足终止条件.
1.3.3 区域边界光滑方法
由于每个区域的权重因子不相同, 在区域的边界附近模型的预测值将发生突变. 本文基于KNN分类方法的思想提出了一种适用于K-means聚类分区的边界光滑方法, 模型预测值根据以下公式进行修正
$$ {\hat y_{{\mathrm{ens}}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{N_i}}}{{{N_{{\mathrm{nei}}}}}}\hat y_{{\mathrm{ens}}}^i} $$ (6) 其中, $ {\hat y_{{\mathrm{ens}}}} $表示全区域混合代理模型, $ \hat y_{{\mathrm{ens}}}^i $表示第i个区域的混合代理模型, Nnei表示待预测点周围最近的样本点数量, Ni表示Nnei个最近的样本点中属于第i个区域的样本点数, n表示区域数.
如图6所示, 以Nnei = 3为例, 当待预测点位于一个区域内部时, 其周围的3个最近的样本点都属于同一个区域, 所以该点的预测值使用该区域的混合代理模型计算. 当待预测点位于多个区域的交界处附近时, 其周围的3个最近的样本点属于不同的区域, 根据数量占比对所属区域的混合代理模型进行加权来计算该点的预测值.
1.4 优化算法和序列加点过程
1.4.1 第二代非支配排序遗传算法
MOSOM-CPEM每次构建完代理模型之后使用NSGAII来搜索Pareto集. NSGAII是一种元启发式多目标优化算法, 符合元启发式算法的一般搜索范式, 使用交叉和变异作为启发算子进行搜索, 通过对种群的非支配排序和拥挤距离排序, 保证了种群的进化方向是朝着真实的Pareto前沿进行的, 同时还考虑了前沿的分布性. NSGAII的有效性和鲁棒性已在许多研究中得到证明, 详细的过程和介绍见文献[45].
1.4.2 序列加点策略
MOSOM-CPEM通过序列加点策略来改善代理模型的精度. 主要从两个方面考虑: 一是改善Pareto集附近区域已有样本点的预测精度; 二是在Pareto集附近区域均匀地填充样本点. 因此, 该加点策略由两部分组成.
(1) 基于误差的加点策略(based on error, BOE): 先根据欧氏距离选择离Pareto集最近的一些已有的样本点作为特殊设计点, 然后计算特殊设计点的预测误差并按照误差从大到小排序, 根据欧氏距离找到离前Ne个特定设计点最近的Ne个Pareto解作为添加的样本点, 如图7所示.
(2) 基于位置的加点策略(based on location, BOL): 首先计算每个Pareto解到已有样本点的最小欧氏距离, 并对Pareto解按照计算的最小距离从大到小排序, 选择前Nl个Pareto解作为添加的样本点, 如图7所示.
总加点个数为Ne + Nl, 添加的样本点同时改善了原有样本点的精度和填充了未采样的区域.
1.4.3 终止准则
随着真实Pareto集潜在区域的样本点数增加, 每次迭代获得的Pareto前沿越来越接近真实的前沿. 本文提出了用于衡量MOSOM-CPEM优化方法收敛性的指标, 示意图如图8所示, 公式如下
$$ {C^t} = \mathop {\max }\limits_{1 \leqslant m \leqslant {N_{{\mathrm{pop}}}}} \mathop {\min }\limits_{1 \leqslant n \leqslant {N_{{\mathrm{pop}}}}} {\left\| {Y_m^t - Y_n^{t - 1}} \right\|_2} $$ (7) 其中, Ct表示第t次迭代时的收敛性指标, $ Y_m^t $表示第t次迭代获得的前沿上的第m个点, $ Y_n^{t - 1} $表示第t − 1次迭代获得的前沿上的第n个点, Npop表示NSGAII的种群大小. 该指标计算的是两次迭代获得的前沿之间最大间隔, 为了消除目标之间数值大小差异的影响, 在计算前将两次迭代获得的前沿合并之后进行归一化, 当该指标小于初始设置的间隔容差时, 优化过程将终止.
2. 数值实验
本节将对CPEM中的光滑方法进行验证, 并与PRS、RBF、KRG和两种混合代理模型(GOEL和ACAR)进行拟合精度比较. 此外, 还将基于CPEM的多目标序列优化方法(MOSOM-CPEM)与其他7种基于代理模型的优化方法进行比较.
2.1 光滑方法有效性验证
本节选择Camelback、Goldstein-price和Waving 3个测试函数来说明所提出的光滑方法的有效性. 在定义域内使用CDOLHD生成45个样本点用于构建混合代理模型. 使用基于聚类的分区方法将样本点分成3个区域. 模型光滑前后的对比如图9所示. 由于每个区域获得的最佳权重可能具有较明显的差异, 导致模型的响应面在区域的边界附近出现明显的分界线. 使用本文提出的光滑方法后能够有效消除这一现象, 所获得的模型响应面更加平滑.
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图 9 光滑前后Camelback、Goldstein-price和Waving测试函数的响应面Figure 9. Response surface of Camelback, Goldstein-price and Waving test functions before and after smoothing2.2 CPEM拟合精度验证
本节将CPEM与两种混合代理模型(GOEL和ACAR)[48-49]和3种基本代理模型(PRS、RBF和KRG)在10个测试函数(公式见表1)上进行拟合精度的对比. 在每个测试函数上, 使用CDOLHD生成5D, 8D, 10D, 12D和20D个样本点(D表示测试函数的维度), 使用随机拉丁超立方设计生成1000个固定测试点. 使用决定系数(coefficient of determination, R2)和最大绝对相对误差(maximum absolute relative rrror, MARE)来评估模型的整体拟合精度和局部拟合精度, 计算公式如下
表 1 测试函数的公式Table 1. The formulas of the test functionsName Mathematical formulation D Range Fun 1 $y = {\left( {{x_2} - \dfrac{{5.1 x_1^2}}{{4{\text{π} ^2}}} + \dfrac{{5{x_1}}}{\text{π} } - 6} \right)^2} + 10\left( {1 - \dfrac{1}{{8\text{π} }}} \right)\cos {x_1} + 10$ 2 $\begin{gathered} {x_1} \in [ - 5,10] \\ {x_2} \in [0,15] \\ \end{gathered} $ Fun 2 $y = \left( {4 - 2.1 x_1^2 + - \dfrac{{4 x_1^4}}{3}} \right)x_1^2 + {x_1}{x_2} + \left( { - 4 + 4 x_2^2} \right)x_2^2$ 2 ${x_i} \in [ - 2,2]$ Fun 3 $ \begin{aligned}& y = \left[ {1 + {{({x_1} + {x_2} + 1)}^2}(19 - 4{x_1} + 3 x_1^2 - 14{x_2} + 6{x_1}{x_2} + 3 x_2^2)} \right] \cdot \\&\qquad \left[ {30 + {{(2{x_1} - 3{x_2})}^2}(18 - 32{x_1} + 12 x_1^2 + 48{x_2} - 36{x_1}{x_2} + 27 x_2^2)} \right]\end{aligned} $ 2 ${x_i} \in [ - 2,2]$ Fun 4 $y = {x_1}{x_2}\sin {x_1} + \dfrac{{x_1^2}}{{10}} + {x_1} - 1.5{x_2}$ 2 ${x_i} \in [ - 2,2]$ Fun 5 $ y = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^4 {\left\{ {{{\left[ {{{(6{x_{i + 1}} - 3)}^2} - {{(6{x_i} - 3)}^2}} \right]}^2} + {{(6{x_i} - 4)}^2}} \right\}} $ 5 ${x_i} \in [0,1]$ Fun 6 $ y = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^5 {\left[x_i^2 - 10\cos (2\text{π} {x_i}) + 10\right]} $ 5 ${x_i} \in [ - 1,1]$ Fun 7 $ \begin{gathered} y = \sum\limits_{i = 1}^5 \exp\left({x_i}\right)\cdot \left\{ A(i) + {x_i} - \ln \left[ {\sum\limits_{k = 1}^5 {\exp\left({x_k}\right)}}\right] \right\} \\ A = [ - 6.089, - 17.164, - 34.054, - 5.914, - 24.721] \\ \end{gathered} $ 5 ${x_i} \in [ - 5,5]$ Fun 8 $ y = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^9 {\left[ {{{\left( {x_{i + 1}^2 - {x_i}} \right)}^2} + {{\left( {{x_i} - 1} \right)}^2}} \right]} $ 10 ${x_i} \in [ - 3,3]$ Fun 9 $\begin{aligned}& y = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} - 14{x_1} - 16{x_2} + {({x_3} - 10)^2} + 4{({x_4} - 5)^2} + {({x_5} - 3)^2} + 2{({x_6} - 1)^2} + \\& \qquad 5 x_7^2 + 7{({x_8} - 11)^2} + 2{({x_9} - 10)^2} + {({x_{10}} - 7)^2} + 45 \end{aligned} $ 10 ${x_i} \in [ - 10,11]$ Fun 10 $ y = {({x_1} - 1)^2} + \displaystyle\sum\limits_{i = 2}^{10} {i{{(2 x_i^2 - {x_{i - 1}})}^2}} $ 10 ${x_i} \in [ - 5,5]$ $$\qquad\qquad {R^2} = 1 - \frac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{({y_i} - {{\hat y}_i})}^2}} }}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{({y_i} - \bar y)}^2}} }} $$ (8) $$\qquad\qquad MARE = \max \left( {\left| {\frac{{{y_i} - {{\hat y}_i}}}{{{y_i}}}} \right|} \right) $$ (9) 其中, n表示样本点数, ${y_i}$表示第i个样本点的真实响应, ${\hat y_i}$表示第i个样本点的预测值, $\bar y$表示样本点真实响应的平均值.
$ {R^2} $的结果记录在表2中, 为了消除在不同测试函数上获得结果的数值差异, 对MARE的结果进行归一化后记录在表3中. 由于问题的类型不同, 单一代理模型的近似能力不尽相同. 通常, 混合代理模型集成了单一代理模型的优点, 对不同类型问题都有较好的预测精度. 然而, ACAR和GOEL两种混合代理模型具有一致的全局权重因子, 在设计域的部分区域拟合精度不高. 将设计域划分成多个子域能够有效解决这一缺陷, 进一步减小混合代理模型的拟合误差. 由表2和表3中数据可知, CPEM的整体拟合精度优于GOEL、ACAR和单一代理模型, 验证了所提出的基于聚类分区混合代理模型的有效性.
表 2 几种代理模型在测试函数上的R2结果Table 2. The R2 results of different metamodels on the test functionsItem Name Mean Fun 1
(D = 2)Fun 2
(D = 2)Fun 3
(D = 2)Fun 4
(D = 2)Fun 5
(D = 5)Fun 6
(D = 5)Fun 7
(D = 5)Fun 8
(D = 10)Fun 9
(D = 10)Fun 10
(D = 10)R2
n = 5DCPEM 0.69020 0.59155 0.28483 0.86710 − 0.15362 − 0.30184 0.70125 0.06025 0.86792 − 0.01010 0.35975 GOEL 0.59094 0.54164 0.12207 0.80985 − 0.15880 − 0.28638 0.69931 0.02245 0.86726 − 0.13594 0.30724 ACAR 0.51859 0.57064 0.23487 0.79618 − 0.20921 − 0.33792 0.65514 0.05901 0.86157 0.01913 0.31680 PRS − 0.01292 0.41790 0.29205 0.67816 − 0.98848 − 1.48234 − 0.50643 − 0.12857 0.86157 − 0.39304 − 0.12621 RBF 0.55937 0.12536 − 0.05027 0.67480 − 0.24646 − 0.29959 0.58149 − 0.00059 0.70883 0.07427 0.21272 KRG 0.61167 − 0.04011 − 0.13081 0.98701 − 0.40925 − 0.57264 0.51100 − 0.12857 0.86157 − 0.34890 0.13410 R2
n = 8DCPEM 0.54752 0.87436 0.27396 0.98491 0.20537 − 0.06838 0.75847 0.13347 0.88394 0.37938 0.49730 GOEL 0.49566 0.86964 0.21847 0.97656 0.20427 − 0.06700 0.75632 0.12281 0.88364 0.16973 0.46301 ACAR 0.46375 0.85913 0.01295 0.98566 0.18986 − 0.06907 0.72295 0.11606 0.88336 0.37938 0.45440 PRS 0.66955 0.77551 − 0.03780 0.49185 − 0.20524 − 0.39308 0.68782 0.06184 0.87875 − 0.18499 0.27442 RBF 0.11010 0.36449 0.10499 0.60408 0.13872 − 0.22871 0.66143 0.08848 0.74609 0.37942 0.29691 KRG 0.39666 0.85667 0.31880 0.98572 0.11111 − 0.10372 0.70546 0.06184 0.87875 − 0.18499 0.40263 R2
n = 10DCPEM 0.81904 0.88918 0.69473 0.99532 0.04368 − 0.11787 0.77563 0.28894 0.93876 0.35438 0.56818 GOEL 0.80079 0.87499 0.68013 0.99379 0.04279 − 0.11923 0.77513 0.26796 0.91708 0.27520 0.55086 ACAR 0.81901 0.88918 0.70884 0.99532 − 0.02741 − 0.13544 0.75612 0.28898 0.93988 0.34575 0.55802 PRS 0.71752 0.82893 0.30481 0.75846 − 0.15152 − 0.59288 0.72476 0.10521 0.87523 − 0.02002 0.35505 RBF 0.82647 0.83353 0.67572 0.89147 − 0.16585 − 0.18671 0.68490 0.25390 0.59119 0.34571 0.47503 KRG 0.78675 0.88918 0.55905 0.99532 − 0.11009 − 0.18258 0.67776 0.18392 0.93990 0.06184 0.48011 R2
n = 12DCPEM 0.99908 0.82333 0.65808 0.99970 0.25907 − 0.00021 0.62841 0.36487 0.89183 0.31249 0.59367 GOEL 0.99730 0.82245 0.57185 0.99950 0.25856 0.00395 0.62754 0.32437 0.88682 0.21109 0.57034 ACAR 0.99908 0.77485 0.63283 0.99971 0.23612 0.02272 0.64187 0.36618 0.89880 0.30926 0.58814 PRS 0.76295 0.77484 0.32838 0.97422 0.05484 − 0.03225 0.45654 0.11050 0.88798 − 0.04062 0.42774 RBF 0.80301 0.57766 0.50495 0.98384 0.21716 − 0.30984 0.58755 0.32502 0.58281 0.30895 0.45811 KRG 0.99917 0.95207 0.65978 0.99972 − 0.00736 0.04329 0.60384 0.19784 0.90074 − 0.04441 0.53047 R2
n = 20DCPEM 0.99998 0.99027 0.74610 0.99999 0.35297 0.06506 0.74542 0.44376 0.92259 0.28422 0.65504 GOEL 0.99972 0.98383 0.74038 0.99955 0.34691 0.04192 0.71848 0.39888 0.90510 0.22489 0.63597 ACAR 0.99997 0.99006 0.57794 0.99999 0.35793 0.09246 0.74304 0.44964 0.92260 0.29219 0.64258 PRS 0.73364 0.84365 0.29510 0.76875 0.12990 − 0.04852 0.43141 0.14472 0.88279 − 0.05694 0.41245 RBF 0.97264 0.86322 0.70015 0.91337 0.21417 − 0.12347 0.60247 0.32215 0.54447 0.17279 0.51820 KRG 0.99998 0.99006 0.81576 1.00000 0.32663 0.09766 0.69034 0.38068 0.92261 0.17646 0.64002 表 3 几种代理模型在测试函数上的MARE结果Table 3. The MARE results of different metamodels on the test functionsItem Name Mean Fun 1
(D = 2)Fun 2
(D = 2)Fun 3
(D = 2)Fun 4
(D = 2)Fun 5
(D = 5)Fun 6
(D = 5)Fun 7
(D = 5)Fun 8
(D = 10)Fun 9
(D = 10)Fun 10
(D = 10)MARE
n = 5DCPEM 0.0000 0.2740 0.0000 0.3490 0.2590 0.0896 0.0000 0.2240 0.0000 0.0743 0.1270 GOEL 0.2480 0.2820 0.3940 0.7090 0.2540 0.0000 0.0636 0.6440 0.0662 0.6140 0.3270 ACAR 0.3370 0.2010 0.0565 0.7360 1.0000 0.0141 0.0416 0.3380 0.0381 0.2270 0.2990 PRS 0.5480 0.0000 0.0000 0.7220 0.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0382 0.9220 0.5230 RBF 0.2690 0.3290 1.0000 1.0000 0.0309 0.7250 0.0471 0.0000 1.0000 0.0000 0.4400 KRG 1.0000 1.0000 0.7810 0.0000 1.0000 0.3000 0.4670 1.0000 0.0382 1.0000 0.6590 MARE
n = 8DCPEM 0.1540 0.3240 0.1060 0.0267 0.2410 0.2390 0.2290 0.3320 0.0000 0.0001 0.1650 GOEL 0.1940 0.3430 0.4300 0.0685 0.4880 0.4890 0.3410 0.3650 0.1820 0.4240 0.3320 ACAR 0.2210 0.7150 0.9330 0.0005 0.4720 0.1920 0.6470 0.8220 0.0933 0.0001 0.4100 PRS 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.6000 RBF 0.0000 0.2230 0.0000 0.8710 0.3290 0.9410 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.5360 KRG 0.1170 0.0000 0.0885 0.0000 1.0000 0.0000 0.1340 0.0000 0.0000 1.0000 0.2340 MARE
n = 10DCPEM 0.0099 0.1970 0.0594 0.0000 0.5000 0.3020 0.3620 0.2050 0.0000 0.0000 0.1640 GOEL 0.0577 0.4700 0.3980 0.1450 0.5010 0.3280 0.5250 0.4850 0.0299 0.3490 0.3290 ACAR 0.0000 0.1780 0.0492 0.0002 0.6370 0.2970 0.3650 0.1850 0.1960 0.0003 0.1910 PRS 0.3460 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.1860 1.0000 0.6530 RBF 1.0000 0.0000 0.0000 0.0071 0.3680 0.2750 0.7360 0.5300 1.0000 0.0000 0.3920 KRG 0.0099 0.2540 0.9010 0.0194 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.1960 0.2810 0.3660 MARE
n = 12DCPEM 0.0136 0.4210 0.0230 0.0000 0.2590 0.5100 0.3400 0.2660 0.0506 0.0001 0.1880 GOEL 0.0821 0.4190 0.0000 0.0042 0.2980 0.4760 0.4640 0.5460 0.1460 0.4830 0.2920 ACAR 0.0139 0.4350 0.0307 0.0572 0.5050 0.3280 0.5240 0.1780 0.0210 0.0324 0.2130 PRS 1.0000 0.4350 1.0000 1.0000 0.0566 0.5490 0.3950 1.0000 0.0549 1.0000 0.6490 RBF 0.8910 1.0000 0.2200 0.9220 0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.6030 KRG 0.0000 0.0000 0.1660 0.0614 1.0000 0.0000 0.0000 0.9070 0.0000 0.8730 0.3010 MARE
n = 20DCPEM 0.0000 0.0052 0.0000 0.0046 0.0981 0.0001 0.1480 0.0000 0.1780 0.3910 0.0825 GOEL 0.0223 0.0724 0.2510 0.0141 0.3200 0.6150 0.5200 0.2280 0.1980 0.5420 0.2780 ACAR 0.0002 0.0073 0.0141 0.0041 0.0858 0.2900 0.2120 0.0253 0.1780 0.3780 0.1200 PRS 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.3590 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.8360 RBF 0.2170 0.0000 0.3150 0.0120 1.0000 0.9190 0.9220 0.3180 1.0000 0.7020 0.5410 KRG 0.0002 0.1290 0.0326 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1640 0.1780 0.0000 0.0504 对于序列优化而言, 代理模型的精度对优化过程具有重要影响. 低精度的代理模型将对优化过程产生错误的导向, 为了矫正搜索方向则需要添加更多的样本点, 进而显著影响优化效率. 本文提出的CPEM整体拟合精度优于其他代理模型, 对优化过程能够提供更加准确的搜索方向.
2.3 MOSOM-CPEM的有效性验证
本文选择CEC2021实际工程优化问题测试集中的压力容器设计问题(CMOP1)、盘式制动器设计问题(CMOP2)、双杆平面桁架设计问题(CMOP3)、压力弹簧设计问题(CMOP4)、悬臂梁设计问题(CMOP5)和工艺流程表问题(CMOP6)来验证MOSOM-CPEM的有效性, 问题的数学模型见文献[50]. 其中, 具有混合型变量的问题都简化为连续型变量的问题. MOSOM-CPEM每次通过添加样本点来自适应更新CPEM, 作为对比参考, 通过CDOLHD生成相同数量(Nsample)的样本点, 使用基于静态代理模型(PRS、RBF、KRG和CPEM)的优化方法求解上述优化问题. NAGAII的种群大小(Npop)和迭代次数均设为100. 此外, MOSOM-CPEM还与高效的全局多目标优化(multi-objective efficient global optimization, MOEGO)方法[51]、具有双搜索模式的KRG辅助进化算法(Kriging-assisted evolutionary algorithm with two search modes, KTS)[52]和多重粒度代理辅助约束进化算法(multigranularity surrogate-assisted constrained evolutionary algorithm, MGSAEA)[53]进行比较, 这3种算法的源代码来自PlatEMO[54], 它们的参数都按照其相关文献中的建议进行设置. 为了公平起见, 对MOSOM-CPEM和基于静态代理模型的优化方法获得的Pareto解都计算真实响应后再进行对比. 因此, MOEGO、KTS和MGSAEA的函数评估次数设置为Ntotal (Ntotal = Nsample + Npop). 本文使用综合评价指标反世代距离(inverted generation distance, IGD)来衡量这些方法获得的Pareto前沿的质量, 计算公式如下
$$ IGD = \sqrt {\frac{1}{{{N_p}}}\sum\limits_{i = 1}^{{N_p}} {d_i^2} } $$ (10) 其中, Np表示参考点(真实Pareto前沿上的均匀采样点)的个数, di表示在目标空间中第i个参考点到获得的Pareto解的最小归一化欧氏距离. 参考点通过直接使用问题的数学模型优化获得. IGD不仅考虑了收敛性, 还考虑了前沿的分布性, 其值越小, 表明获得的Pareto前沿的质量越高.
表4给出了对比的方法获得的IGD结果和可行Pareto解的数量. 图10展示了这些方法获得的Pareto前沿(结果都根据参考点进行了归一化处理). 在CMOP1问题上经过126次目标函数调用之后, MOEGO和MGSAEA都没有获得可行Pareto解, KTS只获得了一个远离真实前沿的可行解. 基于静态RBF、KRG和CPEM的优化方法获得的前沿中有部分解偏离真实前沿. 基于静态PRS的优化方法和MOSOM-CPEM均获得了收敛性较好的前沿. 然而, MOSOM-CPEM获得的IGD指标最小, 表明MOSOM-CPEM获得的前沿分布性更好. 在CMOP2问题上, MOEGO无法顺利地运行, 原因在于MOEGO中的初始取样方法为常规的拉丁超立方设计, 当问题的约束较复杂时, 可行域在设计空间的占比减小, 使得该方法难以采集到符合约束的样本点, 这种情况影响了MOEGO中选择函数的构建, 在CMOP3、CMOP4和CMOP6问题上也有类似的情况. 经过133次目标函数调用之后, 基于静态PRS的优化方法和KTS都产生了偏离真实前沿的解, 而其余方法获得的解接近真实前沿. MOSOM-CPEM获得了最小的IGD指标, 表明其获得的前沿分布性更好. 在CMOP3问题上经过111次目标函数调用之后, 除了基于静态PRS和RBF的优化方法收敛性不佳外, 其余方法获得的解均收敛至真实前沿附近. 其中, KTS获得的IGD指标最小, 表明其获得的前沿具有更好的分布性. 在CMOP4问题上经过130次目标函数调用之后, KTS和MGSAEA均未搜索到满足约束的Pareto解, 基于静态PRS和RBF的优化方法获得了部分远离真实前沿的解, 其余方法均具有较好的收敛性. 其中, MOSOM-CPEM获得了最小的IGD指标, 表明其获得的Pareto解分布更加均匀. 对于CMOP5问题, 在经过132次目标函数调用之后, MOEGO的收敛性不佳. 在其余的方法中, 基于静态CPEM的优化方法获得的IGD指标最小, 表明其获得的前沿综合质量最高. 在CMOP6问题上执行113次目标函数调用后, 基于静态RBF的优化方法收敛性最差, 综合考虑前沿分布性, MOSOM-CPEM获得的IGD指标最小, 所以其获得Pareto前沿的质量最高.
表 4 工程问题上的测试结果Table 4. Test results on engineering problemsProblem Sequential optimization Static surrogate model optimization MOSOM-CPEM MOEGO KTS MGSAEA NSGAII-PRS NSGAII-RBF NSGAII-KRG NSGAII-CPEM CMOP1 0.00566 − 0.92800 − 0.01170 0.01120 0.01020 0.00670 (Ntotal = 126) (95) (0) (1) (0) (97) (61) (100) (97) CMOP2 0.00597 − 0.12200 0.38700 0.09790 0.01720 0.09950 0.07990 (Ntotal = 133) (89) (0) (48) (16) (41) (71) (29) (59) CMOP3 0.02340 − 0.01640 0.02640 0.02940 0.04140 0.04720 0.04090 (Ntotal = 111) (97) (0) (62) (49) (66) (55) (83) (80) CMOP4 0.00557 − − − 0.01700 0.01880 0.00577 0.00622 (Ntotal = 130) (95) (0) (0) (0) (87) (88) (97) (96) CMOP5 0.00468 0.09310 0.02100 0.02920 0.00642 0.06200 0.00532 0.00442 (Ntotal = 132) (100) (7) (87) (42) (100) (100) (100) (100) CMOP6 0.00371 − 0.00802 0.07950 0.72500 0.03950 0.00413 0.00425 (Ntotal = 113) (100) (0) (61) (14) (1) (60) (100) (100) mean 0.00817 0.09310 0.21900 0.13100 0.14800 0.03170 0.02870 0.02370 (96) (1) (43) (20) (65) (73) (85) (89) Note: The value in brackets indicates the number of feasible Pareto solutions. The symbol “−” indicates that no feasible solution is obtained. ![]()
图 10 所有优化方法在工程问题上获得的Pareto前沿Figure 10. Pareto fronts obtained by all optimization methods on engineering problems综合上述结果, MOSOM-CPEM在4个问题上获得了综合质量最好的Pareto前沿. 从整体上来看, MOSOM-CPEM获得的IGD指标的平均值最小, 表明其在求解约束问题时具有优越性. 此外, MOSOM-CPEM在这些问题上获得的可行解数量的平均值最大, 表明其在有限次目标函数调用的条件下能够为决策者提供更多的解决方案.
计算效率和复杂度方面, 本文将从两个方面来对比这些优化方法: 一是初始样本点的采样时间(T1), 二是优化过程所用时间(T2), 在序列优化方法中, T2包括序列采样时间、代理模型构建时间和优化算法运行时间. 由于本节中的测试问题具有准确数学公式, 因此序列采样时间可以忽略, 因而该测试结果能够反应算法的计算复杂度, 具体结果见表5所示. CDOLHD在采样时考虑了显式约束, 其具有多次内优化过程因而增加了运行时间T1. CPEM的建立过程涉及反复优化与内部建模, 因而基于CPEM的优化方法在优化过程中所用时间(T2)较长. 其中, MOSOM-CPEM在优化过程中需要重构CPEM, 这导致其计算复杂度进一步增加, 优化过程更加耗时.
然而, 对于获取单个样本点就需要数小时或数天时间(例如高保真度的有限元模型计算)的昂贵优化问题, MOSOM-CPEM在优化过程中反复建模与内优化增加的计算时间是可接受的. 其在使用相同数量样本点的条件下与其他优化方法相比获得的Pareto前沿的质量更高.
表 5 工程问题上的运行时间(单位: s)Table 5. Runtime on engineering problems (unit: s)Problem Runtime Sequential optimization Static surrogate model optimization MOSOM-CPEM MOEGO KTS MGSAEA NSGAII-PRS NSGAII-RBF NSGAII-KRG NSGAII-CPEM CMOP1 T1 13.63 0.009 0.006 0.008 21.13 21.13 21.13 21.13 (Ntotal = 126) T2 675.70 3.82 2.22 1.70 0.92 1.42 0.72 140.08 CMOP2 T1 7.23 0.006 0.005 0.004 15.16 15.16 15.16 15.16 (Ntotal = 133) T2 1046.42 − 4.50 2.55 0.81 1.16 1.34 136.44 CMOP3 T1 0.54 0.004 0.010 0.004 1.06 1.06 1.06 1.06 (Ntotal = 111) T2 176.92 − 2.74 1.28 1.38 2.23 1.13 105.38 CMOP4 T1 23.32 0.008 0.007 0.005 34.89 34.89 34.89 34.89 (Ntotal = 130) T2 1997.72 − 5.88 2.15 0.98 1.86 0.67 262.78 CMOP5 T1 22.59 0.005 0.006 0.006 29.55 29.55 29.55 29.55 (Ntotal = 132) T2 998.90 5.09 3.88 1.58 1.44 2.58 2.39 211.70 CMOP6 T1 2.19 0.009 0.011 0.007 7.39 7.39 7.39 7.39 (Ntotal = 113) T2 269.11 − 3.61 1.95 1.66 1.19 0.45 99.61 Note: The symbol “−” indicates that it cannot be run. 3. MOSOM-CPEM的工程应用验证
为了进一步验证MOSOM-CPEM在实际工程优化问题中的有效性, 本节展示应用MOSOM-CPEM解决履带式起重机超长桁架臂多腰绳结构优化问题的效果, 并与2.3节中的其他优化方法进行对比.
3.1 优化问题的描述
腰绳设计是起重机设计中的一个重要环节, 尤其是针对具有超长桁架臂的风电起重机, 合理的腰绳结构能改善臂架系统的受力状态, 大大降低臂架的变形, 从而减小臂架的应力. 起重机在作业过程中, 起臂工况和吊装工况是两个重要工况, 然而, 臂架在这两个工况下具有不同的变形模式. 如图11所示, 在起臂工况中, 臂架受自身重力的影响在中部向下弯曲, 腰绳长度越短且安装位置越靠近臂架中部越有利于减小变形(D2), 在吊装工况中, 臂架在腰绳安装位置附近向前弯曲, 腰绳长度越短将导致更大变形(D1). 因此, 两个工况下臂架的变形是相互冲突的, 这是多目标优化问题的典型特征.
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图 11 腰绳结构优化问题示意图Figure 11. Schematic diagram of the optimization problem for waist rope structure如图12所示, 对于一个具有n根腰绳的桁架臂, 在桅杆长L0、臂长L、腰绳与拉板连接点与臂架顶点的连线AiA和拉板与主臂的最大夹角${\theta _{\max }}$确定的情况下, 其结构可由腰绳长度和安装位置描述. 安装位置定义为腰绳安装点Bi到臂架顶点A的距离Li. 由于每根腰绳长度的上限不相同, 定义腰绳与拉板的连接点为A, 用AiA和BiA的夹角${\theta _i}$来描述腰绳的长度, ${\theta _i}$的上限为CA与BA的夹角${\theta _{\max }}$. 因此, 多腰绳结构优化问题可以用下式描述
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图 12 腰绳结构优化问题的几何描述Figure 12. Geometrical description of the optimization problem for the waist rope structure$$\left.\begin{split} & {\mathrm{Minimize}}\; f({\boldsymbol{X}}) = ({D_1},{D_2}), {\boldsymbol{X}} = ({L_i},{\theta _i}) \\ & {\mathrm{s.t.}}\; 0 < {L_i} < {L_{i + 1}} < L, {\alpha _i} < [{\alpha _i}] < {180^{\text{o}}} \\ & 0 < {\theta _i} < {\theta _{i + 1}} < {\theta _{\max }}, i \in [1,n] \end{split}\right\} $$ (11) 其中, [${\alpha _i}$]表示拉板夹角允许的最大值, 在工程设计中根据实际情况选取为定值. 在吊装工况下, 由于臂架向前弯曲, 使得${\alpha _i} \geqslant {180^{\text{o}}}$, 这将导致有限元方法计算不收敛. [${\alpha _i}$]用于限制拉板的初始夹角, 其值根据具体的桁架模型来确定. Li是描述第i根腰绳的安装位置的变量, ${\theta _i}$是描述第i根腰绳长度的变量, n为腰绳的数量.
本文采用有限元方法求解桁架臂的变形, 桁架结构采用三维线性有限应变梁单元模拟, 腰绳和拉板采用三维杆单元模拟, 材料密度设为7850 kg/m3, 弹性模量设为210 GPa, 泊松比设为0.3. 由于安装位置变量Li是一个连续型变量, 而在建立有限元模型时腰绳安装点Bi只能位于单元节点处, 为了减小建模误差, 单元尺寸设置为较小的值. 直接采用有限元法获得目标函数值将带来更高的计算时间, 基于代理模型的方法更加适用. 2.3节中已经验证了在使用相同数量的样本点时, MOSOM-CPEM相比于其他优化方法能够获得质量更高的Pareto前沿. 因此, 3.3节中将展示使用MOSOM-CPEM求解单腰绳和双腰绳结构优化问题的结果并与其他方法进行对比, 进一步说明所提出方法的实用性与优势.
3.2 单、双腰绳结构优化问题几何约束推导
单腰绳的桁架臂结构几何描述如图13所示, 拉板夹角${\alpha _1}$与设计变量的关系推导如下.
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图 13 单腰绳结构优化问题的几何描述Figure 13. Geometric description of the optimization problem for single-waisted rope structure在三角形ABC中,使用正弦定理计算角ACB和AC的长
$$ \angle ACB = \arcsin \frac{{L\sin {\theta _{\max }}}}{{{L_0}}} $$ (12) $$ AC = \frac{{{L_0}\sin (\text{π} - \angle ACB)}}{{\sin {\theta _{\max }}}} $$ (13) 在三角形A1AC中, 使用余弦定理计算A1C, 再使用正弦定理计算${\alpha _1}$
$$ {A_1}C = \sqrt {{A_1}{A^2} + A{C^2} - 2 \cdot {A_1}A \cdot AC \cdot \cos ({\theta _{\max }} - {\theta _1})} $$ (14) $$ {\alpha _1} = \arcsin \frac{{AC \cdot \sin ({\theta _{\max }} - {\theta _1})}}{{{A_1}C}} $$ (15) 将式(15)代入式(11)可得单腰绳优化问题的数学模型
$$\left. \begin{split} & {\mathrm{Minimize}}\; f({\boldsymbol{X}}) = ({D_1},{D_2}), {\boldsymbol{X}} = ({L_1},{\theta _1}) \\ &{\mathrm{ s.t.}}\quad 0 < {L_1} < L, 0 < {\theta _1} < {\theta _{\max }} \\ & \arcsin \frac{{AC \cdot \sin ({\theta _{\max }} - {\theta _1})}}{{{A_1}C}} < [{\alpha _1}] \end{split}\right\} $$ (16) 双腰绳桁架臂结构几何描述如图14所示, 拉板夹角${\alpha _1}$和${\alpha _2}$与设计变量的关系推导如下.
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图 14 双腰绳结构优化问题的几何描述Figure 14. Geometric description of the optimization problem for double-waisted rope structure根据单腰绳问题的推导过程可知
$$ {A_2}C = \sqrt {{A_2}{A^2} + A{C^2} - 2 \cdot {A_2}A \cdot AC \cdot \cos ({\theta _{\max }} - {\theta _2})} $$ (17) $$ \angle C{A_2}A = \arcsin \frac{{AC \cdot \sin ({\theta _{\max }} - {\theta _2})}}{{{A_2}C}} $$ (18) 在三角形A2A1A中使用余弦定理计算A1A2, 然后使用正弦定理计算${\alpha _1}$
$$ {A_1}{A_2} = \sqrt {{A_1}{A^2} + {A_2}{A^2} - 2 \cdot {A_1}A \cdot {A_2}A \cdot \cos ({\theta _2} - {\theta _1})} $$ (19) $$ {\alpha _1} = \arcsin \frac{{{A_2}A \cdot \sin ({\theta _2} - {\theta _1})}}{{{A_2}{A_1}}} $$ (20) 综上, ${\alpha _2}$可由下式计算
$$ {\alpha _2} = \angle C{A_2}A + \text{π} - {\alpha _1} - ({\theta _2} - {\theta _1}) $$ (21) 将式(20)和式(21)代入式(11)可得双腰绳优化问题的数学模型
$$ \left.\begin{split} & {\mathrm{Minimize}}\; f({\boldsymbol{X}}) = ({D_1},{D_2}), {\boldsymbol{X}} = ({L_1},{L_2},{\theta _1},{\theta _2}) \\ &{\mathrm{ s.t.}}\quad 0 < {L_1} < {L_2} < L, 0 < {\theta _1} < {\theta _2} < {\theta _{\max }} \\ & \arcsin \frac{{{A_2}A \cdot \sin ({\theta _2} - {\theta _1})}}{{{A_2}{A_1}}} < [{\alpha _1}] \\ & \angle C{A_2}A + \text{π} - {\alpha _1} - ({\theta _2} - {\theta _1}) < [{\alpha _2}] \end{split}\right\} $$ (22) 3.3 优化结果对比
在单腰绳优化模型中, [${\alpha _i}$] = 177°. 使用CDOLHD在约束域内构建9个初始样本点. MOSOM-CPEM经历两次加点过程之后收敛(每次添加两个样本点), 共使用了13个样本点. 使用CDOLHD生成13个样本点为传统的优化方法构建代理模型. NSGAII的种群大小设为30, 迭代次数设为50. 与2.3节中类似, 需要计算MOSOM-CPEM和传统优化方法获得的Pareto解的真实响应, 然后计算相关的评价指标. 因此, 总的目标函数调用次数Ntotal = 43. 为了进行公平的比较, MOEGO、KTS和MGSAEA的目标函数调用次数应设为43.
在双腰绳模型中, [${\alpha _i}$] = 178°. 同样使用CDOLHD在约束域内构建26个初始样本点. MOSOM-CPEM经历4次加点过程之后收敛(每次添加两个样本点), 共使用了34个样本点. 使用CDOLHD生成34个样本点为基于静态代理模型的优化方法构建代理模型. NSGAII的参数设置与单腰绳问题中的设置保持一致. 因此, 总的目标函数调用次数(Ntotal) = 64. MOEGO、KTS和MGSAEA的目标函数调用次数应设为64.
由于实际问题的Pareto前沿未知, 本节采用超体积(hypervolume, HV)指标来衡量Pareto前沿的质量, 其计算公式如下
$$ HV(S,{z^{{\mathrm{ref}}}}) = volume\left(\bigcup\limits_{i = 1}^{\left| S \right|} {{c^i}} \right) $$ (23) $$ volume({c^i}) = \left\{\begin{aligned} &{\prod\limits_{k = 1}^m {[z_k^{{\mathrm{ref}}} - {f_k}({x^i})]} , \forall k[z_k^{{\mathrm{ref}}} - {f_k}({x^i}) > 0]} \\ & {0, \exists k[z_k^{{\mathrm{ref}}} - {f_k}({x^i}) \leqslant 0]} \end{aligned} \right. $$ (24) 式中, ci是指解集S中第i个非支配解与参考点zref作为对角点所组成的超立方体, volume表示体积计算符, fk表示第k个目标函数值. 式(24)中的第二个公式表示被参考点支配的解不参与HV的计算(该点对HV无贡献). HV指标越大, 表明算法获得的前沿质量越高. 在本节中, 为了使得HV的计算区域包含所有算法获得的Pareto前沿, 将所有的前沿归一化至[0, 1]的矩形空间内, zref取为[1.1, 1.1].
单腰绳结构优化问题上获得的Pareto前沿如图15所示. 除了MOEGO和MGSAEA获得了一些收敛性不佳的Pareto解以外, 其余算法的收敛性均表现较好. 表6展示了更加细致的数据对比, 其中, MOSOM-CPEM获得的HV指标最大, 表明其获得的Pareto前沿的收敛性和分布性最好.
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图 15 单腰绳结构优化问题上获得的Pareto前沿Figure 15. Pareto fronts obtained on the optimization problem of single-waisted rope structure表 6 腰绳结构优化问题上的测试结果Table 6. Test results on the problem of optimization for waist rope structureMethod Name Single-
waisted rope
(Ntotal = 43)Double-
waisted rope
(Ntotal = 64)sequential
optimizationMOSOM-CPEM 1.009196 1.169112 (29) (27) MOEGO 0.959112 − (17) (0) KTS 0.957487 1.060932 (23) (15) MGSAEA 0.966354 1.015490 (20) (6) static surrogate
model optimizationNSGAII-PRS 1.002724 1.160588 (28) (26) NSGAII-RBF 1.002414 1.160588 (29) (27) NSGAII-KRG 1.006070 1.166037 (26) (27) NSGAII-CPEM 1.001055 1.166275 (29) (26) Note: The value in brackets indicates the number of feasible Pareto solutions. The symbol “−” indicates that no feasible solution is obtained and the HV index cannot be calculated. 双腰绳结构优化问题上获得的Pareto前沿如图16所示. 该问题的设计变量更多, 约束更加复杂, MOEGO在该问题上失效, 这与2.3节中描述的情况一致. 基于静态RBF的优化方法收敛性不佳, 其余的优化方法在收敛性方面表现相似. 根据表6中的数据结果, MOSOM-CPEM获得的HV指标最大, 表明其在求解双腰绳结构优化问题时的性能优于其他优化方法.
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图 16 双腰绳结构优化问题上获得的Pareto前沿Figure 16. Pareto fronts obtained on the optimization problem of double-waisted rope structure从获得的可行解数量上来看, MOSOM-CPEM在两个问题上都获得了最多的可行解, 因此, 本文提出的序列优化方法在这两个问题上可以为决策者提供更多高质量的选择方案.
4. 结 论
针对具有显式约束的昂贵多目标优化问题, 本文提出了一种高效的序列优化方法(MOSOM-CPEM), 该方法对AMEM优化方法进行了两项改进:
(1) 引入了CDOLHD在复杂的非矩形可行域内生成样本点;
(2) 基于聚类的思想改进了AMEM中EM-MROWF的分区策略, 结合提出的边界光滑方法, 提出了一种基于聚类分区的混合代理模型(CPEM).
测试结果表明: CPEM的整体预测精度更高; 相较于基于静态代理模型的优化方法、MOEGO、KTS和MGSAEA, MOSOM-CPEM的计算复杂度更高. 但是, 在使用相同数量的样本点时能够获得更高质量的Pareto前沿, 这对于昂贵的优化问题而言是有益的.
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图 9 光滑前后Camelback、Goldstein-price和Waving测试函数的响应面
Figure 9. Response surface of Camelback, Goldstein-price and Waving test functions before and after smoothing
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图 10 所有优化方法在工程问题上获得的Pareto前沿
Figure 10. Pareto fronts obtained by all optimization methods on engineering problems
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图 11 腰绳结构优化问题示意图
Figure 11. Schematic diagram of the optimization problem for waist rope structure
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图 12 腰绳结构优化问题的几何描述
Figure 12. Geometrical description of the optimization problem for the waist rope structure
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图 13 单腰绳结构优化问题的几何描述
Figure 13. Geometric description of the optimization problem for single-waisted rope structure
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图 14 双腰绳结构优化问题的几何描述
Figure 14. Geometric description of the optimization problem for double-waisted rope structure
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图 15 单腰绳结构优化问题上获得的Pareto前沿
Figure 15. Pareto fronts obtained on the optimization problem of single-waisted rope structure
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图 16 双腰绳结构优化问题上获得的Pareto前沿
Figure 16. Pareto fronts obtained on the optimization problem of double-waisted rope structure
表 1 测试函数的公式
Table 1 The formulas of the test functions
Name Mathematical formulation D Range Fun 1 $y = {\left( {{x_2} - \dfrac{{5.1 x_1^2}}{{4{\text{π} ^2}}} + \dfrac{{5{x_1}}}{\text{π} } - 6} \right)^2} + 10\left( {1 - \dfrac{1}{{8\text{π} }}} \right)\cos {x_1} + 10$ 2 $\begin{gathered} {x_1} \in [ - 5,10] \\ {x_2} \in [0,15] \\ \end{gathered} $ Fun 2 $y = \left( {4 - 2.1 x_1^2 + - \dfrac{{4 x_1^4}}{3}} \right)x_1^2 + {x_1}{x_2} + \left( { - 4 + 4 x_2^2} \right)x_2^2$ 2 ${x_i} \in [ - 2,2]$ Fun 3 $ \begin{aligned}& y = \left[ {1 + {{({x_1} + {x_2} + 1)}^2}(19 - 4{x_1} + 3 x_1^2 - 14{x_2} + 6{x_1}{x_2} + 3 x_2^2)} \right] \cdot \\&\qquad \left[ {30 + {{(2{x_1} - 3{x_2})}^2}(18 - 32{x_1} + 12 x_1^2 + 48{x_2} - 36{x_1}{x_2} + 27 x_2^2)} \right]\end{aligned} $ 2 ${x_i} \in [ - 2,2]$ Fun 4 $y = {x_1}{x_2}\sin {x_1} + \dfrac{{x_1^2}}{{10}} + {x_1} - 1.5{x_2}$ 2 ${x_i} \in [ - 2,2]$ Fun 5 $ y = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^4 {\left\{ {{{\left[ {{{(6{x_{i + 1}} - 3)}^2} - {{(6{x_i} - 3)}^2}} \right]}^2} + {{(6{x_i} - 4)}^2}} \right\}} $ 5 ${x_i} \in [0,1]$ Fun 6 $ y = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^5 {\left[x_i^2 - 10\cos (2\text{π} {x_i}) + 10\right]} $ 5 ${x_i} \in [ - 1,1]$ Fun 7 $ \begin{gathered} y = \sum\limits_{i = 1}^5 \exp\left({x_i}\right)\cdot \left\{ A(i) + {x_i} - \ln \left[ {\sum\limits_{k = 1}^5 {\exp\left({x_k}\right)}}\right] \right\} \\ A = [ - 6.089, - 17.164, - 34.054, - 5.914, - 24.721] \\ \end{gathered} $ 5 ${x_i} \in [ - 5,5]$ Fun 8 $ y = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^9 {\left[ {{{\left( {x_{i + 1}^2 - {x_i}} \right)}^2} + {{\left( {{x_i} - 1} \right)}^2}} \right]} $ 10 ${x_i} \in [ - 3,3]$ Fun 9 $\begin{aligned}& y = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} - 14{x_1} - 16{x_2} + {({x_3} - 10)^2} + 4{({x_4} - 5)^2} + {({x_5} - 3)^2} + 2{({x_6} - 1)^2} + \\& \qquad 5 x_7^2 + 7{({x_8} - 11)^2} + 2{({x_9} - 10)^2} + {({x_{10}} - 7)^2} + 45 \end{aligned} $ 10 ${x_i} \in [ - 10,11]$ Fun 10 $ y = {({x_1} - 1)^2} + \displaystyle\sum\limits_{i = 2}^{10} {i{{(2 x_i^2 - {x_{i - 1}})}^2}} $ 10 ${x_i} \in [ - 5,5]$ 
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表 2 几种代理模型在测试函数上的R2结果
Table 2 The R2 results of different metamodels on the test functions
Item Name Mean Fun 1
(D = 2)Fun 2
(D = 2)Fun 3
(D = 2)Fun 4
(D = 2)Fun 5
(D = 5)Fun 6
(D = 5)Fun 7
(D = 5)Fun 8
(D = 10)Fun 9
(D = 10)Fun 10
(D = 10)R2
n = 5DCPEM 0.69020 0.59155 0.28483 0.86710 − 0.15362 − 0.30184 0.70125 0.06025 0.86792 − 0.01010 0.35975 GOEL 0.59094 0.54164 0.12207 0.80985 − 0.15880 − 0.28638 0.69931 0.02245 0.86726 − 0.13594 0.30724 ACAR 0.51859 0.57064 0.23487 0.79618 − 0.20921 − 0.33792 0.65514 0.05901 0.86157 0.01913 0.31680 PRS − 0.01292 0.41790 0.29205 0.67816 − 0.98848 − 1.48234 − 0.50643 − 0.12857 0.86157 − 0.39304 − 0.12621 RBF 0.55937 0.12536 − 0.05027 0.67480 − 0.24646 − 0.29959 0.58149 − 0.00059 0.70883 0.07427 0.21272 KRG 0.61167 − 0.04011 − 0.13081 0.98701 − 0.40925 − 0.57264 0.51100 − 0.12857 0.86157 − 0.34890 0.13410 R2
n = 8DCPEM 0.54752 0.87436 0.27396 0.98491 0.20537 − 0.06838 0.75847 0.13347 0.88394 0.37938 0.49730 GOEL 0.49566 0.86964 0.21847 0.97656 0.20427 − 0.06700 0.75632 0.12281 0.88364 0.16973 0.46301 ACAR 0.46375 0.85913 0.01295 0.98566 0.18986 − 0.06907 0.72295 0.11606 0.88336 0.37938 0.45440 PRS 0.66955 0.77551 − 0.03780 0.49185 − 0.20524 − 0.39308 0.68782 0.06184 0.87875 − 0.18499 0.27442 RBF 0.11010 0.36449 0.10499 0.60408 0.13872 − 0.22871 0.66143 0.08848 0.74609 0.37942 0.29691 KRG 0.39666 0.85667 0.31880 0.98572 0.11111 − 0.10372 0.70546 0.06184 0.87875 − 0.18499 0.40263 R2
n = 10DCPEM 0.81904 0.88918 0.69473 0.99532 0.04368 − 0.11787 0.77563 0.28894 0.93876 0.35438 0.56818 GOEL 0.80079 0.87499 0.68013 0.99379 0.04279 − 0.11923 0.77513 0.26796 0.91708 0.27520 0.55086 ACAR 0.81901 0.88918 0.70884 0.99532 − 0.02741 − 0.13544 0.75612 0.28898 0.93988 0.34575 0.55802 PRS 0.71752 0.82893 0.30481 0.75846 − 0.15152 − 0.59288 0.72476 0.10521 0.87523 − 0.02002 0.35505 RBF 0.82647 0.83353 0.67572 0.89147 − 0.16585 − 0.18671 0.68490 0.25390 0.59119 0.34571 0.47503 KRG 0.78675 0.88918 0.55905 0.99532 − 0.11009 − 0.18258 0.67776 0.18392 0.93990 0.06184 0.48011 R2
n = 12DCPEM 0.99908 0.82333 0.65808 0.99970 0.25907 − 0.00021 0.62841 0.36487 0.89183 0.31249 0.59367 GOEL 0.99730 0.82245 0.57185 0.99950 0.25856 0.00395 0.62754 0.32437 0.88682 0.21109 0.57034 ACAR 0.99908 0.77485 0.63283 0.99971 0.23612 0.02272 0.64187 0.36618 0.89880 0.30926 0.58814 PRS 0.76295 0.77484 0.32838 0.97422 0.05484 − 0.03225 0.45654 0.11050 0.88798 − 0.04062 0.42774 RBF 0.80301 0.57766 0.50495 0.98384 0.21716 − 0.30984 0.58755 0.32502 0.58281 0.30895 0.45811 KRG 0.99917 0.95207 0.65978 0.99972 − 0.00736 0.04329 0.60384 0.19784 0.90074 − 0.04441 0.53047 R2
n = 20DCPEM 0.99998 0.99027 0.74610 0.99999 0.35297 0.06506 0.74542 0.44376 0.92259 0.28422 0.65504 GOEL 0.99972 0.98383 0.74038 0.99955 0.34691 0.04192 0.71848 0.39888 0.90510 0.22489 0.63597 ACAR 0.99997 0.99006 0.57794 0.99999 0.35793 0.09246 0.74304 0.44964 0.92260 0.29219 0.64258 PRS 0.73364 0.84365 0.29510 0.76875 0.12990 − 0.04852 0.43141 0.14472 0.88279 − 0.05694 0.41245 RBF 0.97264 0.86322 0.70015 0.91337 0.21417 − 0.12347 0.60247 0.32215 0.54447 0.17279 0.51820 KRG 0.99998 0.99006 0.81576 1.00000 0.32663 0.09766 0.69034 0.38068 0.92261 0.17646 0.64002
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表 3 几种代理模型在测试函数上的MARE结果
Table 3 The MARE results of different metamodels on the test functions
Item Name Mean Fun 1
(D = 2)Fun 2
(D = 2)Fun 3
(D = 2)Fun 4
(D = 2)Fun 5
(D = 5)Fun 6
(D = 5)Fun 7
(D = 5)Fun 8
(D = 10)Fun 9
(D = 10)Fun 10
(D = 10)MARE
n = 5DCPEM 0.0000 0.2740 0.0000 0.3490 0.2590 0.0896 0.0000 0.2240 0.0000 0.0743 0.1270 GOEL 0.2480 0.2820 0.3940 0.7090 0.2540 0.0000 0.0636 0.6440 0.0662 0.6140 0.3270 ACAR 0.3370 0.2010 0.0565 0.7360 1.0000 0.0141 0.0416 0.3380 0.0381 0.2270 0.2990 PRS 0.5480 0.0000 0.0000 0.7220 0.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0382 0.9220 0.5230 RBF 0.2690 0.3290 1.0000 1.0000 0.0309 0.7250 0.0471 0.0000 1.0000 0.0000 0.4400 KRG 1.0000 1.0000 0.7810 0.0000 1.0000 0.3000 0.4670 1.0000 0.0382 1.0000 0.6590 MARE
n = 8DCPEM 0.1540 0.3240 0.1060 0.0267 0.2410 0.2390 0.2290 0.3320 0.0000 0.0001 0.1650 GOEL 0.1940 0.3430 0.4300 0.0685 0.4880 0.4890 0.3410 0.3650 0.1820 0.4240 0.3320 ACAR 0.2210 0.7150 0.9330 0.0005 0.4720 0.1920 0.6470 0.8220 0.0933 0.0001 0.4100 PRS 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.6000 RBF 0.0000 0.2230 0.0000 0.8710 0.3290 0.9410 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.5360 KRG 0.1170 0.0000 0.0885 0.0000 1.0000 0.0000 0.1340 0.0000 0.0000 1.0000 0.2340 MARE
n = 10DCPEM 0.0099 0.1970 0.0594 0.0000 0.5000 0.3020 0.3620 0.2050 0.0000 0.0000 0.1640 GOEL 0.0577 0.4700 0.3980 0.1450 0.5010 0.3280 0.5250 0.4850 0.0299 0.3490 0.3290 ACAR 0.0000 0.1780 0.0492 0.0002 0.6370 0.2970 0.3650 0.1850 0.1960 0.0003 0.1910 PRS 0.3460 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.1860 1.0000 0.6530 RBF 1.0000 0.0000 0.0000 0.0071 0.3680 0.2750 0.7360 0.5300 1.0000 0.0000 0.3920 KRG 0.0099 0.2540 0.9010 0.0194 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.1960 0.2810 0.3660 MARE
n = 12DCPEM 0.0136 0.4210 0.0230 0.0000 0.2590 0.5100 0.3400 0.2660 0.0506 0.0001 0.1880 GOEL 0.0821 0.4190 0.0000 0.0042 0.2980 0.4760 0.4640 0.5460 0.1460 0.4830 0.2920 ACAR 0.0139 0.4350 0.0307 0.0572 0.5050 0.3280 0.5240 0.1780 0.0210 0.0324 0.2130 PRS 1.0000 0.4350 1.0000 1.0000 0.0566 0.5490 0.3950 1.0000 0.0549 1.0000 0.6490 RBF 0.8910 1.0000 0.2200 0.9220 0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.6030 KRG 0.0000 0.0000 0.1660 0.0614 1.0000 0.0000 0.0000 0.9070 0.0000 0.8730 0.3010 MARE
n = 20DCPEM 0.0000 0.0052 0.0000 0.0046 0.0981 0.0001 0.1480 0.0000 0.1780 0.3910 0.0825 GOEL 0.0223 0.0724 0.2510 0.0141 0.3200 0.6150 0.5200 0.2280 0.1980 0.5420 0.2780 ACAR 0.0002 0.0073 0.0141 0.0041 0.0858 0.2900 0.2120 0.0253 0.1780 0.3780 0.1200 PRS 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.3590 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.8360 RBF 0.2170 0.0000 0.3150 0.0120 1.0000 0.9190 0.9220 0.3180 1.0000 0.7020 0.5410 KRG 0.0002 0.1290 0.0326 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1640 0.1780 0.0000 0.0504
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表 4 工程问题上的测试结果
Table 4 Test results on engineering problems
Problem Sequential optimization Static surrogate model optimization MOSOM-CPEM MOEGO KTS MGSAEA NSGAII-PRS NSGAII-RBF NSGAII-KRG NSGAII-CPEM CMOP1 0.00566 − 0.92800 − 0.01170 0.01120 0.01020 0.00670 (Ntotal = 126) (95) (0) (1) (0) (97) (61) (100) (97) CMOP2 0.00597 − 0.12200 0.38700 0.09790 0.01720 0.09950 0.07990 (Ntotal = 133) (89) (0) (48) (16) (41) (71) (29) (59) CMOP3 0.02340 − 0.01640 0.02640 0.02940 0.04140 0.04720 0.04090 (Ntotal = 111) (97) (0) (62) (49) (66) (55) (83) (80) CMOP4 0.00557 − − − 0.01700 0.01880 0.00577 0.00622 (Ntotal = 130) (95) (0) (0) (0) (87) (88) (97) (96) CMOP5 0.00468 0.09310 0.02100 0.02920 0.00642 0.06200 0.00532 0.00442 (Ntotal = 132) (100) (7) (87) (42) (100) (100) (100) (100) CMOP6 0.00371 − 0.00802 0.07950 0.72500 0.03950 0.00413 0.00425 (Ntotal = 113) (100) (0) (61) (14) (1) (60) (100) (100) mean 0.00817 0.09310 0.21900 0.13100 0.14800 0.03170 0.02870 0.02370 (96) (1) (43) (20) (65) (73) (85) (89) Note: The value in brackets indicates the number of feasible Pareto solutions. The symbol “−” indicates that no feasible solution is obtained.
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表 5 工程问题上的运行时间(单位: s)
Table 5 Runtime on engineering problems (unit: s)
Problem Runtime Sequential optimization Static surrogate model optimization MOSOM-CPEM MOEGO KTS MGSAEA NSGAII-PRS NSGAII-RBF NSGAII-KRG NSGAII-CPEM CMOP1 T1 13.63 0.009 0.006 0.008 21.13 21.13 21.13 21.13 (Ntotal = 126) T2 675.70 3.82 2.22 1.70 0.92 1.42 0.72 140.08 CMOP2 T1 7.23 0.006 0.005 0.004 15.16 15.16 15.16 15.16 (Ntotal = 133) T2 1046.42 − 4.50 2.55 0.81 1.16 1.34 136.44 CMOP3 T1 0.54 0.004 0.010 0.004 1.06 1.06 1.06 1.06 (Ntotal = 111) T2 176.92 − 2.74 1.28 1.38 2.23 1.13 105.38 CMOP4 T1 23.32 0.008 0.007 0.005 34.89 34.89 34.89 34.89 (Ntotal = 130) T2 1997.72 − 5.88 2.15 0.98 1.86 0.67 262.78 CMOP5 T1 22.59 0.005 0.006 0.006 29.55 29.55 29.55 29.55 (Ntotal = 132) T2 998.90 5.09 3.88 1.58 1.44 2.58 2.39 211.70 CMOP6 T1 2.19 0.009 0.011 0.007 7.39 7.39 7.39 7.39 (Ntotal = 113) T2 269.11 − 3.61 1.95 1.66 1.19 0.45 99.61 Note: The symbol “−” indicates that it cannot be run.
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表 6 腰绳结构优化问题上的测试结果
Table 6 Test results on the problem of optimization for waist rope structure
Method Name Single-
waisted rope
(Ntotal = 43)Double-
waisted rope
(Ntotal = 64)sequential
optimizationMOSOM-CPEM 1.009196 1.169112 (29) (27) MOEGO 0.959112 − (17) (0) KTS 0.957487 1.060932 (23) (15) MGSAEA 0.966354 1.015490 (20) (6) static surrogate
model optimizationNSGAII-PRS 1.002724 1.160588 (28) (26) NSGAII-RBF 1.002414 1.160588 (29) (27) NSGAII-KRG 1.006070 1.166037 (26) (27) NSGAII-CPEM 1.001055 1.166275 (29) (26) Note: The value in brackets indicates the number of feasible Pareto solutions. The symbol “−” indicates that no feasible solution is obtained and the HV index cannot be calculated.
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