RESEARCH ON THE VIBRATION REDUCTION CHARACTERISTICS OF ROLLING MILL ROLL SYSTEM WITH ACTIVE AND PASSIVE DAMPING SHOCK ABSORBERS
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摘要: 轧机的垂直振动是冷轧带钢产品生产效率低下的关键问题所在, 严重影响了轧制产品的质量和轧制速度的提高. 为提升轧机设备的安全性, 同时提高生产的效率和钢材的精度, 基于主被动阻尼减振器对轧机辊系的振动特性及减振效果进行了研究. 首先, 考虑主动阻尼控制效应中的分数阶和时滞因素, 建立带有主被动阻尼减振器的分数阶时滞垂直非线性振动方程; 然后, 对建立的数学模型进行稳定性分析, 得到主被动阻尼减振器各参数的稳定区域; 再者, 运用多尺度法求得系统的幅频方程, 分析系统的时域特性、频谱特性、主共振特性以及次谐共振特性; 而后, 对轧机辊系振动响应进行时滞反馈控制, 通过获得最优反馈控制增益和最优反馈时滞, 将振动系统的振幅、不规则振动及能量消耗达到最优; 最后, 对静定轧机上工作辊进行了垂直振动控制实验, 对比发现理论分析与实验结果基本吻合, 结果表明主被动阻尼减振器能够有效抑制轧机辊系的垂直振动并满足设计要求. 研究结果为轧机辊系减振器的设计应用及轧机的振动控制提供了参考.Abstract: The vertical vibration of the rolling mill is a key issue in the low production efficiency of cold-rolled strip products, which seriously affects the quality of rolled products and the improvement of rolling speed. In order to improve the safety of rolling mill equipment, production efficiency and steel accuracy, this paper studies the vibration characteristics and vibration reduction effect of rolling mill roll systems based on active and passive damping shock absorbers. Firstly, a fractional order time delayed vertical nonlinear vibration equation with active and passive damping shock absorbers is established through considering some factors of the fractional order and time delay in the active damping control effect; Then, the analysis of stability is conducted on the established mathematical model, and the stable regions of various parameters of the active and passive damping shock absorbers are obtained; Furthermore, the multi-scale method is used to obtain the amplitude frequency equation of the system, and the time-domain characteristics, spectral characteristics, main resonance characteristics, and subharmonic resonance characteristics of the system are analyzed; Afterwards, a time-delay feedback control is applied to the vibration response of the rolling mill roll system, and the amplitude, irregular vibration, and energy consumption of the vibration system are optimized by achieving the optimal feedback control gain and optimal feedback delay; Finally, the vertical vibration control experiments are conducted on the working rolls of the stationary rolling mill, and it is found that the theoretical analysis is in agreement with the experimental results principally. The results show that the active and passive damping shock absorbers can effectively suppress the vertical vibration of the rolling mill roll system and meet the requirements of design. The results provide reference for the design and application of the shock absorber of rolling mill roll system and the vibration control of rolling mill.
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Keywords:
- time delay /
- stability /
- harmonic resonance /
- vibration reduction control /
- rolling mill roll system
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引 言
随着我国科技实力的不断提升, 我国对高质量钢材的需求量逐渐增加, 钢铁产业的迅速发展是中国20世纪重大工程技术成就之一[1], 板带轧制生产作为目前主要的钢铁成材工艺, 面临着诸多关键性的技术难题. 其中, 板带轧制过程中设备发生的多种形式的非线性振动制约着轧制生产高速化、高效化和连续化, 成为亟需解决的关键性问题, 越来越受到国内外学者的重视[2]. 国内有关高校、科研院所和钢铁公司共同开展研究, 对轧机振动的理论不断完善, 提出了许多有效的抑振措施[3]. 董宏[4]对冷连轧机的结构进行优化设计, 在轧机轴承座与机架窗口之间安装液压衬板阻尼器来增加系统的阻尼以减小振动的幅值; Zheng等[5]采用Riccati传递矩阵法及有限元法分析了不同稳定性的四辊轧机的振动特性, 认为稳定的四辊轧机中多种形式的振动能够得到有效控制; 闫晓强[6]通过应用二阶扭振抑制器并对自动辊缝控制(AGC)参数进行优化, 有效地抑制了轧机机电液耦合振动现象; 王明等[7]运用颗粒阻尼技术设计出适用于轧机轧辊的颗粒阻尼吸振器, 并对减振效果进行了数值仿真和实验验证, 有效拓宽了被动减振器的减振带宽, 减振效果优良.
对于轧机抑振的动力减振器研究, 主要分为主动式、半主动式以及被动式3种结构. 早在 1928 年奥蒙德罗伊德等就提出了动力吸振器的方法[8], 经过百余年的发展, 动力减振装置衍生出了多种形式, 从单纯的机械式动力吸振器发展为机、电、磁和液等耦合式减振器[9], 主要应用于航空航天、车辆、机械和土木等工程领域[10-12]. 宋洋等[13]针对燃气轮机的旋转叶片振动过量问题, 利用压电纤维复合材料传感器和作动器研究了旋转叶片的主动控制, 分析了受控叶片在二阶主共振情形下稳态响应, 揭示了叶片的响应随控制参数的演变规律. 陆泽琦等[14]通过引入由圆形钳制薄板的大变形产生的立方非线性来提高动力吸振器的性能, 探讨了非线性动力吸振器的动力学特性, 揭示了非线性是高阶共振峰离开吸振频率往高频移动的诱因, 同时, 通过对结构响应和吸振性能的灵敏度分析, 找出并优化了系统的敏感参数. 万洪林等[15]针对两尺度耦合 Duffing 系统的复杂振动具有振幅大、频率高的特点, 引入吸振器研究了低频参数激励下 Duffing 系统的振动控制问题, 揭示了整个系统的分岔机制、减振效果与机理、快慢效应与减振的关系.
由于被动式吸振器结构简单、且成本较低, 同时具有不错的结构振动抑制效果, 因此在实际工程中应用最为广泛[16]. 然而, 在实际工程应用中, 被动式动力吸振器对其作用的环境要求很高,很难适应复杂多变的外部环境, 这一弊端大大限制了被动动力吸振器的实际应用[17]. 同时, 被动式吸振器另一个缺点是减振频带狭窄. 为了克服这些缺点,更加有效地减小轧机辊系的振动, 一种半主动式振动控制技术——磁流变液(magnetorheological fluid, MR流体)减振技术逐渐受到学者们的关注.
磁流变液属流动性可控的新型流体, 是智能材料中研究较为活跃的一支. 在外部无磁场时呈现低黏度的牛顿流体特性, 在外加磁场时呈现为高黏度、低流动性的宾汉(Bingham)流体特性. 液体的黏度大小与磁通量存在对应关系,这种转换能耗低、易于控制且响应迅速(ms级)[18]. 基于磁流变液的电磁效应而设计出来的磁流变液阻尼器(magnetorheological fluid damper, MRFD), 是一种典型的半主动控制装置, 通过调整控制电流, 使MR流体产生可控阻尼力, 从而有效地实现振动控制[19]. MRFD的巨大优点拓宽了其应用范围, 从精密仪器[20-22]到重载设备[23-25], 从军用领域[26]到民用结构[27-28], MRFD均有应用. 在不同领域中, MRFD具有通用性, 研究人员需根据具体的要求, 对阻尼器的设计和配置进行优化.
常用的描述MRFD的模型主要包括Bingham模型、双曲正切模型、Bouc-Wen模型、黏性Dahl模型和代数模型等[29-30]. Bingham模型是磁流变阻尼器模型中一种最为经典的模型, 其他近似模型均是在这基础上而演化出来的, 对于经典的Bingham模型, 学者们也做了诸多研究. 周炎等[31]设计了一种基于Bingham模型的双出杆MRFD, 将实验测试得到的力学性能数据与理论计算数据进行对比, 提高阻尼器的工作效益; 张文静等[32]将MRFD的分数阶Bingham模型应用到单自由度1/4车辆悬架系统的动力学分析中, 提高了车辆乘坐舒适性,同时有效抑制了悬架系统的主共振振动幅值, 为分数阶磁流变液阻尼器模型在车辆悬架中的应用提供了参考; 张婉洁等[33]针对MRFD的半主动控制系统中存在的时滞问题, 研究了时滞对半主动阻尼控制隔振系统振动特性的影响, 揭示了主共振峰值响应和共振频率随时滞变化的特性规律. 结果表明, 含时滞的半主动控制系统存在一个小时滞区间, 且存在最优时滞使得系统的振幅大幅度降低. 王桥医[34]设计了一种基于MR流体的自适应减振装置, 应用于轧机减振技术领域, 此减振装置能够针对扭转振动强度对设备进行不同程度的减振, 具有可靠、平稳、自适应调节以及精准地对不同程度的振动提供扭转和径向减振的特点.
本文在目前专家学者对MRFD的研究基础上, 根据轧机的结构特征及工作特点, 设计了一种包括主动的磁流变阻尼器和被动的质量阻尼器(tuned mass damper, TMD)的主被动减振器, 并对带有主被动阻尼减振器(MRFD-TMD)轧辊的振动特性和减振器的减振性能展开研究.
1. 振动控制目标与动力减振器设计
1.1 控制对象及可行性分析
本文以图1 所示的二辊静定轧机的上工作辊为振动控制对象, 研究MRFD-TMD各参数对工作辊振动控制效果的影响.
经过长时间的研究发展, MRFD已具有优良的性能, 其核心部件磁流变液的沸点高和凝固点低, 确保磁流变液有较宽的工作温度范围; 黏度适宜, 磁流变液在0磁场条件下应具有较低的黏度; 同时化学稳定性好、耐蚀、无毒、无异味和价格低廉[35]. 如图2所示, 根据博海新材料公司所提供A172型MR流体的剪切应力与剪切速率关系曲线可以看出, 以此为核心液体所制造的MRFD在0 ~ 2000 Hz内都具有良好的减振效果, 理论上主动控制的减振系统的减振带宽是无限的, 即对减振目标系统的任何频率都是有效的.
对于轧机设备而言, 轧机设备本身工作时有一定的振动幅值, 其中垂直振动的现象尤为明显, 而轧机辊系主要会出现两种垂直振动现象, 一类是3倍频振动, 其振动频率主要集中在 150 ~ 250 Hz 之间[36]; 另一类是5倍频振动, 其振动频率主要集中在 500 ~ 700 Hz 之间[37]. 因此, 将MRFD-TMD应用于轧机轧辊减振具有可行性.
1.2 振动控制目标
本文设计的MRFD通过电磁反应的原理, 能够有效地抑制轧机的这种垂直振动, 尤其是轧件进入轧制口时对轧辊冲击的影响. 因此, 本文所研究减振器的振动控制目标为降低轧辊工作状态下振动幅度, 减少对设备和结构的损害, 提高设备和结构的可靠性和寿命. 同时本文所设计的MRFD-TMD不仅限于轧机设备, 对于其他重载设备, 包括高精度设备, 也能够有效地降低无规则振动和冲击带来的影响.
1.3 MRFD-TMD设计
1.3.1 MRFD设计
本文设计的MRFD如图3所示, 主要结构包括: 活塞杆、活塞、端盖、缸筒及支撑杆. 对于MRFD设计和安装的相关问题, 本文给出以下几点关键问题的解释. (1)为便于将MRFD安装在实验轧机的轧辊端部, 在阻尼器活塞杆设有螺纹并与轴承连接, 同时采用轴承-套筒过盈配合的方式与轧辊连接; (2)为适用实验轧机工作与非工作状态的转换, 以及变厚度轧制过程, MRFD的活塞杆采用电动伸缩杆的设计; (3) MRFD为半主动控制系统, 单独配有控制器, 从而对于轧机板厚控制系统不产生影响; (4)由于轧机轧辊振动位移较小, 因此对于MRFD冲程的设计可以适当减小; (5)所设计的MRFD不设置气室, 对于轧辊而言, 不需要气室的作用, 同时可以减缩减振器的安装空间; (6) MRFD与下机架连接时采用磁力吸附的连接方式, 将吸附力简化为MRFD阻尼力的一部分.
本文设计的MRFD参考汽车标准《汽车筒式减振器尺寸系列及技术条件》(QC/T 491-1999)的规定, 同时参考文献[30]对于MRFD进行结构设计, 阻尼力计算, 磁路设计和磁路分析, 从而确定所设计MRFD的工作间隙, 最大电流、线圈匝数及活塞凹槽绕线处的尺寸等相关参数.
1.3.2 TMD设计
本文设计的TMD如图4所示, 主要结构包括: 端盖、缸筒、导轨、质量块、弹簧及螺栓螺钉. 对于质量阻尼器的设计安装相关问题, 本文给出以下几点关键问题的解释. (1) TMD的安装方式为通过端部的螺纹安装; (2)依据实际安装结果, TMD在物理模型中起主要作用的是质量块, 从而缸筒等其他零部件质量可忽略不计; (3) TMD与下机架连接时采用磁力吸附的连接方式, 将吸附力简化为TMD阻尼力的一部分.
2. 带有MRFD-TMD的轧机辊系主共振特性分析
2.1 带有MRFD-TMD的轧机工作辊动力学建模
为了明确所设计减振器的抑振效果, 建立如图5所示的带有MRFD-TMD的轧机上工作辊两自由度模型, 图中轧机上工作辊等效质量为m1, TMD等效质量为m2; 轧机上工作辊与轧件之间的等效阻尼为c1, 线性等效刚度为k1, 非线性等效刚度为k′1; 上工作辊与TMD间的等效阻尼为c2, 等效刚度为k2; TMD和机架之间的等效阻尼为c3, 等效刚度为k3; x1, $ \dot{x} $1和$ \ddot{x} $1分别表示轧机上辊系的振动位移、振动速度和振动加速度; x2, $ \dot{x} $2和$ \ddot{x} $2分别表示质量阻尼器的振动位移、振动速度和振动加速度; F*为上工作辊与机架间的MRFD的阻尼力; 相较于上工作辊而言, 机架振动可以忽略不计, 近似认为轧辊受到周期性的外部激振力Fcos(ωt). 建立两自由度系统的振动方程如下
$$\left.\begin{split} & {m_1}{{\ddot x}_1} + {c_1}{{\dot x}_1} + {c_2}({{\dot x}_1} - {{\dot x}_2}) + {k_1}{x_1} + {k'_1}x_1^3 + \\ &\qquad {k_2}({x_1} - {x_2}) + F^* - F\cos (\omega t) = 0 \\ & {m_2}{{\ddot x}_2} - {c_2}({{\dot x}_1} - {{\dot x}_2}) + {c_3}{{\dot x}_2} - \\ &\qquad {k_2}({x_1} - {x_2}) + {k_3}{x_2} = 0 \end{split} \right\} $$ (1) 根据剪切阀式磁流变阻尼器结构, 利用平板计算模型可简化得到如下计算公式[38]
$$ F^* = {F_\eta } + {F_\upsilon } = \frac{{12\delta LA_p^2}}{{\text{π} d{h^3}}}v + \frac{{3L{\upsilon _y}{A_p}}}{h}{{\mathrm{sgn}}} v $$ (2) 式中, Fυ 为库伦力, Fη 为零磁场下黏滞力; δ 为 MR流体的0场黏度; υy 为MR流体的剪切屈服强度; v 为活塞运动速度, 即 v = D(1)x; L 为活塞有效长度, 即有效磁级宽度; Ap 为活塞面积; h 为阻尼通道(工作间隙); d 为活塞外径.
式(2)的分数阶形式算式表示为
$$ F^* = \frac{{12\delta LA_p^2}}{{\text{π} d{h^3}}}{D^{(p)}}x + \frac{{3L{\upsilon _y}{A_p}}}{h}{{\mathrm{sgn}}} [{D^{(p)}}x] $$ (3) 式中, 0 < p < 1.
由式(3)可知, 零磁场下黏滞力为固定值, 随着磁场的增大, MR流体的剪切屈服强度υy随之增大, 从而使MRFD的阻尼力连续增大, 且为了便于计算, 可将式(3)简化为
$$ F^* = \eta ^* \cdot {D^{(p)}}x + \rho^* \cdot {{\mathrm{sgn}}} [{D^{(p)}}x] $$ (4) 式中, η*为零场阻尼系数, ρ*为固有阻尼力.
由于MRFD为半主动控制系统, 振动控制时的延时会对轧辊振动系统本身产生影响, 从而引入时滞因素的影响, 同时将式(4)代入式(1)中, 则系统的振动方程可写为
$$ \left. \begin{split} & {m_1}{{\ddot x}_1} + {c_1}{{\dot x}_1} + {c_2}({{\dot x}_1} - {{\dot x}_2}) + {k_1}{x_1} + {k'_1}x_1^3 + \\ &\qquad {k_2}({x_1} - {x_2}) + \eta^* \cdot {D^p}({x_{1\tau }}) + \\ &\qquad \rho^* \cdot {{\mathrm{sgn}}} [{D^p}({x_{1\tau }})] - F\cos (\omega t) = 0 \\ & {m_2}{{\ddot x}_2} - {c_2}({{\dot x}_1} - {{\dot x}_2}) + {c_3}{{\dot x}_2} - {k_2}({x_1} - {x_2}) + \\ &\qquad {k_3}{x_2} = 0 \end{split} \right\} $$ (5) 2.2 稳定性分析
这一小节将分析系统0平衡点的稳定性. 0平衡是指在所控制的系统中, 当系统的输出信号等于0时, 系统的输入信号也等于0. 也就是说, 输入和输出都处于0值状态, 这种状态被称为系统的稳定状态. 系统在该状态下可以保持平衡, 不会发生过度振荡或不稳定的情况.
由于时间延迟可能会使系统不稳定, 因此控制参数应固定在零平衡稳定的范围内, 以避免不稳定的平衡和不希望的振动[39]. 因此, 基本参数范围受到零平衡稳定条件的限制.
对于非线性振动方程, 只有极少数的方程可以求得精确解, 大多数情况下只能通过近似方法进行求解. 常用的近似解法包括谐波平衡法、正规摄动法、林滋泰德-庞加莱法、平均法、多尺度法和渐进法等[40-41]. 本文采用多尺度法对振动系统进行求解.
根据结构对称性原理, c2 = c3, k2 = k3, 将式(5)进行化简, 得到
$$ \left. \begin{split} & {{\ddot x}_1} + {\omega _{10}}^2{x_1} = - {\alpha _1}{{\dot x}_1} - {\beta _1}({{\dot x}_1} - {{\dot x}_2}) + {\gamma _1}{x_2} - {\mu _1}{x_1}^3 - \\ &\qquad {\eta _1} \cdot {D^p}({x_{1\tau }}) - {\rho _1} \cdot {{\mathrm{sgn}}} [{D^p}({x_{1\tau }})] + {F_0}\cos (\omega t) \\ & {{\ddot x}_2} + {\omega _{20}}^2{x_2} = {\beta _2}({{\dot x}_1} - 2{{\dot x}_2}) + {\gamma _2}{x_1} \end{split}\right\} $$ (6) 式中
$$\begin{split} & {\omega _{10}} = \sqrt {\frac{{{k_1} + {k_2}}}{{{m_1}}}} ,\;{\omega _{20}} = \sqrt {\frac{{2{k_2}}}{{{m_2}}}} ,\;{\alpha _1} = \frac{{{c_1}}}{{{m_1}}},\;{\beta _1} = \frac{{{c_2}}}{{{m_1}}} \\ & {\beta _2} = \frac{{{c_2}}}{{{m_2}}},\;{\gamma _1} = \frac{{{k_2}}}{{{m_1}}},\;{\gamma _2} = \frac{{{k_2}}}{{{m_2}}},\;{\mu _1} = \frac{{{{k'}_1}}}{{{m_1}}},\;{\eta _1} = \frac{{\eta *}}{{{m_1}}} \\ & {\rho _1} = \frac{{\rho *}}{{{m_1}}},\;{F_0} = \frac{F}{{{m_1}}} \end{split} $$ 令$ {\dot x_1} = {y_1} $, $ {\dot x_2} = {y_2} $, 则式(6)的一般形式为
$$ \left. \begin{split} & {{\dot x}_1} = {y_1} \\ & {{\dot y}_1} = - {\omega _{10}}^2{x_1} - {\alpha _1}{y_1} - {\beta _1}({y_1} - {y_2}) + {\gamma _1}{x_2} - {\mu _1}x_1^3 - \\ &\qquad {\eta _1} \cdot {D^p}({x_{1\tau }}) - {\rho _1} \cdot {{\mathrm{sgn}}} [{D^p}({x_{1\tau }})] + {F_0}\cos (\omega t) \\ & {{\dot x}_2} = {y_2} \\ & {{\dot y}_2} = - {\omega _{20}}^2{x_2} + {\beta _2}({y_1} - 2{y_2}) + {\gamma _2}{x_1} \end{split} \right\} $$ (7) 方程(7)的线性化矩阵的特征方程如下
$$ \det ( - s{\boldsymbol{I}} + {{\bar {\boldsymbol{C}}}} + {{\bar {\boldsymbol{D}}}}{{\mathrm{e}}^{ - s\tau }}) = 0 $$ (8) 式中, $ {\boldsymbol{I}} $为单位矩阵, $ {{\bar {\boldsymbol{C}}}} $为常数矩阵, $ {{\bar {\boldsymbol{D}}}} $为反馈增益矩阵, 且
$$ \begin{split} & {{\bar {\boldsymbol{C}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial {x_1}}}{{\partial {x_1}}}}&{\dfrac{{\partial {x_1}}}{{\partial {y_1}}}}&{\dfrac{{\partial {x_1}}}{{\partial {x_2}}}}&{\dfrac{{\partial {x_1}}}{{\partial {y_2}}}} \\ {\dfrac{{\partial {y_1}}}{{\partial {x_1}}}}&{\dfrac{{\partial {y_1}}}{{\partial {y_1}}}}&{\dfrac{{\partial {y_1}}}{{\partial {x_2}}}}&{\dfrac{{\partial {y_1}}}{{\partial {y_2}}}} \\ {\dfrac{{\partial {x_2}}}{{\partial {x_1}}}}&{\dfrac{{\partial {x_2}}}{{\partial {y_1}}}}&{\dfrac{{\partial {x_2}}}{{\partial {x_2}}}}&{\dfrac{{\partial {x_2}}}{{\partial {y_2}}}} \\ {\dfrac{{\partial {y_2}}}{{\partial {x_1}}}}&{\dfrac{{\partial {y_2}}}{{\partial {y_1}}}}&{\dfrac{{\partial {y_2}}}{{\partial {x_2}}}}&{\dfrac{{\partial {y_2}}}{{\partial {y_2}}}} \end{array}} \right) = \\ &\qquad \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0&0 \\ { - \omega _{10}^2}&{ - {\alpha _1} - {\beta _1}}&{{\gamma _1}}&{{\beta _1}} \\ 0&0&0&1 \\ {{\gamma _2}}&{{\beta _2}}&{ - \omega _{20}^2}&{ - 2{\beta _2}} \end{array}} \right) \end{split} $$ $$\begin{split} &{{\bar {\boldsymbol{D}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial {x_1}}}{{\partial {x_{1\tau }}}}}&{\dfrac{{\partial {x_1}}}{{\partial {{\dot x}_{1\tau }}}}}&{\dfrac{{\partial {x_1}}}{{\partial {x_{2\tau }}}}}&{\dfrac{{\partial {x_1}}}{{\partial {{\dot x}_{2\tau }}}}} \\ {\dfrac{{\partial {y_1}}}{{\partial {x_{1\tau }}}}}&{\dfrac{{\partial {y_1}}}{{\partial {{\dot x}_{1\tau }}}}}&{\dfrac{{\partial {y_1}}}{{\partial {x_{2\tau }}}}}&{\dfrac{{\partial {y_1}}}{{\partial {{\dot x}_{2\tau }}}}} \\ {\dfrac{{\partial {x_2}}}{{\partial {x_{1\tau }}}}}&{\dfrac{{\partial {x_2}}}{{\partial {{\dot x}_{1\tau }}}}}&{\dfrac{{\partial {x_2}}}{{\partial {x_{2\tau }}}}}&{\dfrac{{\partial {x_2}}}{{\partial {{\dot x}_{2\tau }}}}} \\ {\dfrac{{\partial {y_2}}}{{\partial {x_{1\tau }}}}}&{\dfrac{{\partial {y_2}}}{{\partial {{\dot x}_{1\tau }}}}}&{\dfrac{{\partial {y_2}}}{{\partial {x_{2\tau }}}}}&{\dfrac{{\partial {y_2}}}{{\partial {{\dot x}_{2\tau }}}}} \end{array}} \right) =\\ &\qquad \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0 \\ { - {\eta _1}}&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{array}} \right) \end{split}$$ 可以得到
$$\begin{split} & {s^2}(s + {\alpha _1} + {\beta _1})(s + 2{\beta _2}) + {\gamma _1}{\gamma _2} - {s^2}{\beta _1}{\beta _2} - \\ &\qquad \omega _{20}^2(\omega _{10}^2 + {\eta _1}{{\mathrm{e}}^{ - s\tau }}) = 0 \end{split} $$ (9) 将s = ±iωc(临界频率)代入特征方程式(9)中, 分离实部和虚部, 可以得到
$$ \left.\begin{split} & \omega _c^4 - 2{\alpha _1}{\beta _2}\omega _c^2 - {\beta _1}{\beta _2}\omega _c^2 - \omega _{20}^2\omega _{10}^2 + \\ &\qquad {\gamma _1}{\gamma _2} = {\eta _1}\omega _{20}^2\cos ({\omega _c}\tau ) \\ & ({\alpha _1} + {\beta _1} + 2{\beta _2})\omega _c^3 = {\eta _1}\omega _{20}^2\sin ({\omega _c}\tau ) \end{split} \right\} $$ (10) 根据$ {{\mathrm{cos}}}^{2}\left({\omega }_{c}\tau \right) + {{\mathrm{sin}}}^{2}\left({\omega }_{c}\tau \right) = 1 $,则式(10)的两个式子可简化为
$$\begin{split} & {(\omega _c^4 - 2{\alpha _1}{\beta _2}\omega _c^2 - {\beta _1}{\beta _2}\omega _c^2 - \omega _{20}^2\omega _{10}^2 + {\gamma _1}{\gamma _2})^2} + \\ &\qquad {({\alpha _1} + {\beta _1} + 2{\beta _2})^2}\omega _c^6 = \eta _1^2\omega _{20}^4 \end{split} $$ (11) 通过仿真分析, 得到所设计MRFD的临界稳定条件. 由于时滞为减振器系统带有的固定时滞, MRFD的零场阻尼系数具有实际的物理意义, 相当于正反馈, 因此要满足η1 > 0.
如图6所示, 曲线的下侧部分是稳定区域, 此时的零平衡是稳定的; 曲线的上侧部分就是不稳定区域, 此时的零平衡是不稳定的, 因为存在具有正实部的特征值. 值得注意的是, 当临界频率为112 Hz左右时, 零场阻尼系数为0, 即不存在适配的MRFD. 当临界频率 ωc = 280 Hz左右时, 零场阻尼系数η1实际取值在40 N·s/m左右, 由图6可知, 振动系统处于稳定区域内.
2.3 带有减振器的轧机上工作辊主共振响应分析
2.3.1 系统主共振响应求解
将式(6)右边的项冠以小参数ε, 化简得到
$$ \left. \begin{split} & {{\ddot x}_1} + {\omega _{10}}^2{x_1} = \varepsilon \{ - {\alpha _{10}}{{\dot x}_1} - {\beta _{10}}({{\dot x}_1} - {{\dot x}_2}) + {\gamma _{10}}{x_2} - {\mu _{10}}{x_1}^3 - \\ &\qquad {\eta _{10}} \cdot {D^p}({x_{1\tau }}) - {\rho _{10}} \cdot {{\mathrm{sgn}}} [{D^p}({x_{1\tau }})] + {F_{10}}\cos (\omega t)\} \\ & {{\ddot x}_2} + {\omega _{20}}^2{x_2} = \varepsilon [ {\beta _{20}}({{\dot x}_1} - 2{{\dot x}_2}) + {\gamma _{20}}{x_1}] \end{split} \right\} $$ (12) 这里, α1 = εα10, β1 = εβ10, β2 = εβ20, γ1 = εγ10, γ2 = εγ20, μ1 = εμ10, η1 = εη10, ρ1 = ερ10, F0 = εF10.
采用多尺度法求解: 引入不同时间尺度T0=t和T1=εt, 对时间t求导可写为 $ {\mathrm{d}}/{\mathrm{d}}t = {D}_{0} + \varepsilon {D}_{1} + \cdots $ 和$ {{\mathrm{d}}}^{2}/{{\mathrm{d}}t}^{2} = {D}_{0}^{2} + 2\varepsilon {D}_{0}{D}_{1} + \cdots $. 其中, $ {D}_{n} = \partial /\partial {T}_{n} $ (n = 0, 1), 令
$$ \left. \begin{split} & {x_1} = {x_{10}}({T_0},{T_1}) + \varepsilon {x_{11}}({T_0},{T_1}) \\ & {x_2} = {x_{20}}({T_0},{T_1}) + \varepsilon {x_{21}}({T_0},{T_1}) \end{split} \right\}$$ (13) 将方程式(13)代入式(12), 展开后令方程两端ε的同次幂系数相等, 得到各阶近似方程
$$ \left. \begin{aligned} & {D_0}^2{x_{10}} + {\omega _{10}}^2{x_{10}} = 0 \\ & {D_0}^2{x_{20}} + {\omega _{20}}^2{x_{20}} = 0 \end{aligned} \right\} $$ (14) $$ \left.\begin{aligned} & D{{}_0^2}{x_{11}} + {\omega _{10}}^2{x_{11}} = - 2{D_0}{D_1}{x_{10}} - {\alpha _1}{D_0}{x_{10}} - \\ &\qquad {\beta _1}{D_0}({x_{10}} - {x_{20}}) + {\gamma _1}{x_{20}} - {\mu _1}{x_{10}}^3 - \\ &\qquad {\eta _1}{D^p}({x_{10\tau }}) - {\rho _1}{{\mathrm{sgn}}} [{D^p}({x_{10\tau }})] + {F_0}\cos (\omega t) \\ & D{{}_0^2}{x_{21}} + {\omega _{20}}^2{x_{21}} = - 2{D_0}{D_1}{x_{20}} + \\ &\qquad {\beta _2}{D_0}({x_{10}} - 2{x_{20}}) + {\gamma _2}{x_{10}}\end{aligned} \right\} $$ (15) 将零次近似方程组(14)的解表示为复指数形式
$$\left. \begin{split} & {x_{10}} = A({T_1}){{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _0}{T_0}}} + \bar A ({T_1}){{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}{\omega _0}{T_0}}} \\ & {x_{20}} = B({T_1}){{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _0}{T_0}}} + \bar B ({T_1}){{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}{\omega _0}{T_0}}} \\ & {x_{10\tau }} = A({T_1}){{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _0}({T_0} - \tau )}} + \bar A ({T_1}){{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}{\omega _0}({T_0} - \tau )}} \end{split} \right\} $$ (16) 分数阶的计算采用 Gerasimov-Caputo 定义[42], 分数阶微分项可以表示为
$$ {D^p}(x) = \left\{ \begin{split} & \frac{1}{{\Gamma (z)(1 - p)}}\int \nolimits_0^t \frac{{\dot x(u)}}{{{{(t - u)}^p}}}{\mathrm{d}}u,0 < p < 1 \\ & \frac{{{\mathrm{d}}x}}{{{\mathrm{d}}t}},p = 1 \end{split} \right. $$ (17) 其中, Г(z)为Gamma函数, 满足Г(z + 1) = Г(z).
将式(16)和式(17)代入一次近似方程组(15)的右边, 得到
$$ \left.\begin{split} & D{{}_0^2}{x_{11}} + {\omega _{10}}^2{x_{11}} = - (2{D_1} + {\alpha _1} + {\beta _1}){\mathrm{i}}{\omega _{10}}A{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{10}}{T_0}}} + \\ &\qquad ({\mathrm{i}}{\omega _{20}}{\beta _1} + {\gamma _1})B{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{20}}{T_0}}} - {\eta _1}\omega _{10}^p{{\mathrm{e}}^{0.5{\mathrm{i}}p\text{π} }}A{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{10}}({T_0} - \tau )}} - \\ &\qquad {\rho _1}{{\mathrm{sgn}}} [\omega _{10}^p{{\mathrm{e}}^{0.5{\mathrm{i}}p\text{π} }}A{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{10}}({T_0} - \tau )}}] - {\mu _1}{A^3}{{\mathrm{e}}^{3{\mathrm{i}}{\omega _{10}}{T_0}}} - \\ &\qquad 3{\mu _1}{A^2}\bar A {{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{10}}{T_0}}} + 0.5{F_0}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\omega {T_0}}} + cc \\ & D{{}_0^2}{x_{21}} + {\omega _{20}}^2{x_{21}} = ({\mathrm{i}}{\omega _{10}}{\beta _2} + {\gamma _2})A{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{10}}{T_0}}} - \\ &\qquad (2{D_1} + 2{\beta _2}){\mathrm{i}}{\omega _{20}}B{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{20}}{T_0}}} + cc \end{split}\right\}$$ (18) 其中, cc代表前一项的共轭复数.
考虑到系统主共振情况, ω10接近ω, ω10远离ω20, 假设ω = ω10 + εσ, 其中σ表示轧机上工作辊的频率调谐因子. 代入式(18)中, 消除系统中的久期项, 可以得到
$$ \left.\begin{split} & - (2{D_1} + {\alpha _1} + {\beta _1}){\mathrm{i}}{\omega _{10}}A - 3{\mu _1}{A^2}\bar A- \\ &\qquad {\eta _1}\omega _{10}^pA{{\mathrm{e}}^{0.5{\mathrm{i}}p\text{π} }}{{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}{\omega _{10}}\tau }} + 0.5{F_0}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\varepsilon \sigma {T_0}}} = 0 \\ & (2{D_1} + 2{\beta _2}){\mathrm{i}}{\omega _{20}}B = 0 \end{split} \right\} $$ (19) 引入复函数$ A = 0.5 a{{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{i}}{\theta }_{1}} $, $ B = 0.5 b{{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{i}}{\theta }_{2}} $, 其中a, b, $ {\theta }_{1} $和$ {\theta }_{2} $都是时间T1的函数, 引入中间变量$ {\phi }_{1} = \sigma {T}_{1}- {\theta }_{1} $, $ {\phi }_{2} = {{\sigma }_{1}T}_{1}-{\theta }_{2} $将A1, A2, $ \phi $1和$ \phi $2代入式(19), 令等式两边的实部和虚部相等, 可得
$$ \left.\begin{split} & \frac{1}{2}{F_0}\cos \phi + {\omega _{10}}a{{\dot \theta }_1} - \frac{3}{8}{\mu _1}{a^3} - \\ &\qquad \frac{1}{2}{\eta _1}\omega _{10}^pa\cos (0.5p\text{π} )\cos ({\omega _{10}}\tau ) - \\ &\qquad \frac{1}{2}{\eta _1}\omega _{10}^pa\sin (0.5p\text{π} )\sin ({\omega _{10}}\tau ) = 0 \\ & \frac{1}{2}{F_0}\sin \phi - {\omega _{10}}\dot a - \frac{1}{2}{\omega _{10}}({\alpha _1} + {\beta _1})a + \\ &\qquad \frac{1}{2}{\eta _1}\omega _{10}^pa\cos (0.5p\text{π} )\sin ({\omega _{10}}\tau ) - \\ &\qquad \frac{1}{2}{\eta _1}\omega _{10}^pa\sin (0.5p\text{π} )\cos ({\omega _{10}}\tau ) = 0 \\ & {\omega _{20}}b{{\dot \theta }_2} = 0 \\ & {\omega _{20}}{\beta _2}b - {\omega _{20}}\dot b = 0 \end{split}\right\} $$ (20) 考虑轧机辊系的振动处于稳态周期运动时, $ \dot{a} $ = $ \dot{b} $ = 0, $ \dot{\phi } $1 = 0, $ \dot{\phi } $2 = 0, 从而有$ \dot{\theta } $1 = $ \sigma $, $ \dot{\theta } $2 = 0. 消去式(20)中$ \phi $1和$ \phi $2, 即得到系统主共振幅频方程组
$$ \left.\begin{split} & [0.5{\eta _1}\omega _{10}^pa\cos (0.5p\text{π} )\cos ({\omega _{10}}\tau ) + \\ &\qquad 0.5{\eta _1}\omega _{10}^pa\sin (0.5p\text{π} )\sin ({\omega _{10}}\tau ) - \\ &\qquad {\omega _{10}}a\sigma + \frac{3}{8}{\mu _1}{a^3}{]^2} + \\ &\qquad [0.5{\eta _1}\omega _{10}^pa\sin (0.5p\text{π} )\cos ({\omega _{10}}\tau ) - \\ &\qquad 0.5{\eta _1}\omega _{10}^pa\cos (0.5p\text{π} )\sin ({\omega _{10}}\tau ) + \\ &\qquad 0.5{\alpha _1}{\omega _{10}}a + 0.5{\beta _1}{\omega _{10}}a{]^2} = \frac{{F_0^2}}{4} \\ & {\omega _{20}}{\beta _2}b = 0 \end{split}\right\}$$ (21) 2.3.2 仿真分析
在无时滞情况下进行拓扑优化, 令τ = 0, 则式(21)可化简为
$$ \begin{split} & {\left[0.5{\eta _1}\omega _{10}^\lambda a\cos (0.5p\text{π} ) - {\omega _{10}}a\sigma + \frac{3}{8}{\mu _1}{a^3}\right]^2} + \\ &\qquad [0.5{\eta _1}\omega _{10}^\lambda a\sin (0.5p\text{π} ) + 0.5{\alpha _1}{\omega _{10}}a + \\ &\qquad 0.5{\beta _1}{\omega _{10}}a{]^2} = \frac{{F_0^2}}{4}\end{split}$$ (22) 将式(22)转化为
$$ {z^3} + \lambda {z^2} + \mu z + \rho = 0 $$ (23) 式中, μ为分岔参数, λ和ρ为开折参数
$$ z = {a^2} \text{, } \rho = \frac{{16F_0^2}}{{9\mu _1^2}} $$ $$ \lambda = \frac{{8[{\eta _1}{\mu _1}\omega _{10}^p\sigma \cos (0.5p\text{π} ) - 2{\mu _1}{\omega _{10}}\sigma ]}}{{3\mu _1^2}} $$ $$\begin{split} &\mu = \left\{ 16[\eta _1^2\omega _{10}^{2p} + 2{\eta _1}({\alpha _1} + {\beta _1})\omega _{10}^{1 + p}\sin (0.5p\text{π} ) - 4{\eta _1}\omega _{10}^{1 + p}\right.\cdot \\ &\qquad \left.\sigma \cos (0.5p\text{π} ) + {({\alpha _1} + {\beta _1})^2}\omega _{10}^2 + 4\omega _{10}^2{\sigma ^2} ]\right\}/({{9\mu _1^2}})\end{split} $$ 将式(23)写为如下形式
$$ {G(z,\mu ,\lambda ,\rho ) = z}^{3} + \lambda {z}^{2} + \mu z + \rho $$ (24) 根据奇异性理论, 戈鲁比茨基-沙弗范式(GS范式)的识别条件, 上述简化式符合GS范式εx3 + δμx的形式. 根据普适开折的识别条件: $\Delta A $ = 2 ≠ 0, 则式(24)为GS范式εx3 + δμx的普适开折表达式, 根据奇异点分类, 奇异点为余维二的岔形点, 则系统的歧点集: $ B = \{\rho = 0\} $; 系统的滞后点集: $ H = \left\{\rho = \dfrac{5{\lambda }^{3}}{27}\right\} $; 系统的双极限点集: $ D = \varnothing $; 系统的转迁集: $ \sum = B\cup H\cup D $.
在MATLAB环境下进行仿真分析, 得到如图7所示的转迁集区域. 图中曲线将系统的开折平面分割成了4个区域(Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ和Ⅳ), 仿真得到不同区域和临界点的拓扑结构图如图8所示.
通过分析图8中的局部分岔性态, 则可以得到系统全局分岔性态, 控制开折参数落在较稳定的区域, 从而提高轧制过程的稳定性. 当开折参数落在原点O及分岔集B+ 和B−时, 系统不稳定区域较大(即一个分岔参数 μ 对应多个z的多值区域较大), 当开折参数落在滞后集H+ 和H−时, 分岔参数处于−1.0到−0.6之间时系统将发生跳跃现象, 当开折参数落在区域Ⅰ至区域Ⅳ时, 并未发生跳跃或滞后现象, 相比较而言, 当开折参数落在区域Ⅱ和区域Ⅳ时, 系统的稳定区域更大, 因此要控制各个参数使开折参数 λ和ρ 落在区域Ⅱ和区域Ⅳ中, 以提高轧机轧制过程稳定性.
为了明确MRFD-TMD的抑振效果, 对未装减振器与装加减振器之后的轧机上工作辊振动的时域曲线、相图以及频谱曲线进行仿真分析. 振动系统各参数的仿真取值如表1 所示.
Parameter Value Parameter Value F/kN 150.0 k′3/(N·m−1) 100.0 ω/(rad·s−1) 280.0 c1/(N·s·m−1) 10.0 m1/kg 23.5 c2/(N·s·m−1) 20.0 m2/kg 8.0 c′2/(N·s·m−1) 5.0 k1/(N·m−1) 7.0 × 106 c3/(N·s·m−1) 10.0 k′1/(N·m−1) 100.0 p 0.85 k2/(N·m−1) 2.0 × 103 η1/(N·s·m−1) 50.0 k3/(N·m−1) 2.0 × 103 图9为振动系统的时域图, 如图所示: 在未加减振器时, 系统在9 s左右达到稳定; 当加入减振器后, 系统在4 s左右达到稳定, 且轧辊振动理论分析值降低了18.3%左右.
图10为安装减振器前后振动系统相图, 可以看出: 安装减振器前系统的相轨迹簇较为散乱, 尤其在轧辊达到临界位移值时, 稳定状态区域较宽; 安装减振器后系统的相轨迹簇更加集中, 稳定状态区域更为收敛, 且振动位移及振动速度都相对减小. 因此MRFD-TMD能够抑制轧机上工作辊的垂直振动, 从而提高轧机轧制过程的稳定性.
图11为振动系统的频谱图, 通过对比可以发现: 振动系统包含两个共振频率, 分别为280 Hz左右的主共振频率及外力作用频率与系统固有振荡频率接近时所引起的75 Hz左右的谐振频率, 安装MRFD-TMD之后系统的主共振峰值及谐振峰值都有明显降低. 进一步证明了MRFD-TMD对静定轧机上工作辊具有良好的抑振效果.
通过改变TMD的等效阻尼系数β1、MRFD的零场阻尼系数η1、激励力F0、轧机上工作辊非线性刚度系数μ1、分数阶次p以及时滞τ等参数, 可以得到各参数对主共振幅频响应的影响, 如图12所示.
由图12(a)可知, 当TMD的等效阻尼系数 β1增大时, 轧机上工作辊主共振响应与磁流变阻尼器工作时近似, 而效果相对差一点; 由图12(b)可知, 随着MRFD的零场阻尼系数 η1逐渐增大, 将会增加MRFD能够输出的最大阻尼力, 从而使轧机上工作辊的振幅逐渐减小, 共振域也随之减小, 非线性的影响削弱, 共振峰也逐渐回偏; 图12(c)可知, 随着激励力F0的增加, 系统的主共振峰峰值迅速增加, 且共振域也明显增加; 由图12(d)可知, 分数阶次的增大, 能够使上工作辊振幅大幅降低, 共振峰回偏明显; 由图12(e)可知, 由于轧机非线性刚度 μ1 的存在, 会引起主共振峰偏移, 随着非线性刚度系数的增加, 偏移量也逐渐增加; 由图12(f)可知, 时滞的存在会引起共振峰的偏移以及非线性的影响增大, 同时工作辊振幅增加, 共振区域随之增加; 由图12(g)可知, 随着时滞量的继续增加, 在 τ = 30 ms 左右, 非线性因素的影响急剧增加, 工作辊振幅也急剧增加. 因此, 在实际轧制过程中应尽量避免产生过大的轧制力, 选用MRFD时, 应在合理范围内选择黏度和分数阶次较大的MR液体以及较大的TMD等效阻尼系数 β1, 从而有效地降低轧机主共振的振动幅值.
3. 带有MRFD-TMD的轧机辊系次共振特性分析
轧机是一个复杂的非线性振动系统, 在轧制的过程中可能导致多种共振现象, 如: 主共振、内共振和倍共振. 当轧机轧辊的固有频率 ω10 接近外部激励频率 ω 的整数倍或者分数倍时, 出现的共振现象, 分别称为超谐波共振和亚谐波共振, 统称为次共振[43]. 下面主要讨论静定轧机上工作辊的超谐波共振和亚谐波共振[44-45].
将式(12)中的 εF cos (ωt)以 Fcos (ωt) 代替, 只讨论一次近似解, 将 $ {\mathrm{d}}/{\mathrm{d}}t = {D}_{0} + \varepsilon {D}_{1} + \cdots $ 和$ {{\mathrm{d}}}^{2}/{{\mathrm{d}}t}^{2} = {D}_{0}^{2} + 2\varepsilon {D}_{0}{D}_{1} + \cdots $代入式(12), 仅对工作辊进行分析, 得到
$$ \left.\begin{aligned} & {D_0}^2{x_{10}} + {\omega _0}^2{x_{10}} = {F_0}\cos (\omega t) \\ & {D_0}^2{x_{20}} + {\omega _0}^2{x_{20}} = {F_0}\cos (\omega t) \end{aligned}\right\} $$ (25) $$ \begin{split} & D{{}_0^2}{x_{11}} + {\omega _{10}}^2{x_{11}} = - 2{D_0}{D_1}{x_{10}} - {\alpha _1}{D_0}{x_{10}} - \\ & \qquad {\beta _1}{D_0}({x_{10}} - {x_{20}}) + {\gamma _1}{x_{20}} - {\mu _1}{x_{10}}^3- \\ & \qquad {\eta _1}{D^p}({x_{10\tau }}) - {\rho _1}{{\mathrm{sgn}}} [{D^p}({x_{10\tau }})] \end{split} $$ (26) 设近似方程(25)的解为
$$ \left.\begin{split} & {x_{10}} = A({T_1}){{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{10}}{T_0}}} + \bar A ({T_1}){{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}{\omega _{10}}{T_0}}} + \\ &\qquad C{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\omega {T_0}}} + \bar C {{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}\omega {T_0}}} \end{split} \right\} $$ $$ \left.\begin{split} & {x_{20}} = B({T_1}){{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{20}}{T_0}}} + \bar B ({T_1}){{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}{\omega _{20}}{T_0}}} + \\ &\qquad C{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\omega {T_0}}} + \bar C {{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}\omega {T_0}}} \\ & {x_{10\tau }} = A({T_1}){{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{10}}({T_0} - \tau )}} + \bar A ({T_1}){{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}{\omega _{10}}({T_0} - \tau )}} + \\ &\qquad C{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\omega ({T_0} - \tau )}} + \bar C {{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}\omega ({T_0} - \tau )}}\end{split} \right\} $$ (27) 其中
$$ C = \frac{{{F_0}}}{{2(\omega _{10}^2 - {\omega ^2})}} $$ 将式(27)代入式(26)中得到
$$\begin{split} & D{{}_0^2}{x_{11}} + {\omega _0}^2{x_{11}} = - {\mu _1}{A^3}{{\mathrm{e}}^{3{\mathrm{i}}{\omega _{10}}{T_0}}} - {\mu _1}{C^3}{{\mathrm{e}}^{3{\mathrm{i}}\omega {T_0}}} - \\ &\quad 3{\mu _1}[\bar A {C^2}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}(2\omega - {\omega _{10}}){T_0}}} + A{C^2}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}(2\omega + {\omega _{10}}){T_0}}} + \\ &\quad {\bar A ^2}C{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}(\omega - 2{\omega _{10}}){T_0}}} + {A^2}C{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}(\omega + 2{\omega _{10}}){T_0}}}] - [2{\mathrm{i}}{\omega _{10}}{D_1} + \\ &\quad {\mathrm{i}}{\omega _{10}}({\alpha _1} + {\beta _1}) + 3{\mu _1}{A^2} + 6{\mu _1}{C^2}]A{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{10}}{T_0}}} - \\ &\quad [{\mathrm{i}}\omega ({\alpha _1} + 2{D_1}) + 3{\mu _1}(2{A^2} + {C^2}) - {\gamma _1}]C{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\omega {T_0}}} - \\ &\quad {\eta _1}\omega _{10}^pA{{\mathrm{e}}^{0.5{\mathrm{i}}p\text{π} }}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{10}}({T_0} - \tau )}} - {\rho _1}{{\mathrm{sgn}}} [\omega _{10}^pA{{\mathrm{e}}^{0.5{\mathrm{i}}p\text{π} }}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{10}}({T_0} - \tau )}}] - \\ &\quad {\eta _1}{\omega ^p}C{{\mathrm{e}}^{0.5{\mathrm{i}}p\text{π} }}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\omega ({T_0} - \tau )}} - {\rho _1}{{\mathrm{sgn}}} [{\omega ^p}C{{\mathrm{e}}^{0.5{\mathrm{i}}p\text{π} }}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\omega ({T_0} - \tau )}}] + \\ &\quad ({\mathrm{i}}{\omega _{20}}{\beta _1} + {\gamma _1})B{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{20}}{T_0}}} + cc \\[-1pt]\end{split} $$ (28) 3.1 超谐波共振响应求解
当 ω 接近 $ {{\omega }_{10}}/{3} $时, 系统发生超谐波共振响应, 设 3ω 与 ω10 的差别为 ε 的同阶小量, 则3ω = ω10 + εσ, 代入到式(28)中, 并消除久期项, 得
$$\begin{split} & - [2{\mathrm{i}}{\omega _{10}}{D_1} + {\mathrm{i}}{\omega _{10}}({\alpha _1} + {\beta _1}) + 3{\mu _1}{A^2} + \\ &\qquad 6{\mu _1}{C^2}]A{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{10}}{T_0}}} - {\eta _1}\omega _{10}^pA{{\mathrm{e}}^{0.5{\mathrm{i}}p\text{π} }}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{10}}({T_0} - \tau )}} - \\ &\qquad {\mu _1}{C^3}{{\mathrm{e}}^{3{\mathrm{i}}\omega {T_0}}} = 0 \end{split}$$ (29) 将A表示为复指数形式, 令$ A = 0.5 a{{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{i}}{\theta }_{1}} $, 其中$ a $和$ {\theta }_{1} $均为时间的函数, 将A代入式(29)中, $ \phi = \sigma {T}_{1}-{\theta }_{1} $, 分离实部虚部, 得到
$$ \left.\begin{split} & - 2{\omega _0}a\frac{{{\mathrm{d}}{\theta _1}}}{{{\mathrm{d}}{T_1}}} + {\eta _1}\omega _{10}^pa\cos (0.5p\text{π} )\cos ({\omega _{10}}\tau ) + \\ &\qquad {\eta _1}\omega _{10}^pa\sin (0.5p\text{π} )\sin ({\omega _{10}}\tau ) + \frac{3}{4}{\mu _1}a{}^3 + \\ &\qquad 6{\mu _1}a{C^2} = - 2{\mu _1}{C^3}\cos \phi \\ & 2{\omega _{10}}\frac{{{\mathrm{d}}a}}{{{\mathrm{d}}{T_1}}} + {\eta _1}\omega _{10}^pa\sin (0.5p\text{π} )\cos {\omega _{10}}\tau - \\ &\qquad {\eta _1}\omega _{10}^pa\cos (0.5p\text{π} )\sin ({\omega _{10}}\tau ) + \\ &\qquad ({\alpha _1} + {\beta _1}){\omega _0}a = - 2{\mu _1}{C^3}\sin \phi \end{split}\right\} $$ (30) 当系统处于稳定状态时, 有$ \dot{a} $ = 0, $ \dot{\phi } $ = 0, 则有$ \dot{\theta } $ = σ, 从而得到超谐波共振的幅频特性曲线方程
$$ \begin{split} & [ - 2{\omega _0}a\sigma + {\eta _1}\omega _{10}^pa\cos (0.5p\text{π} )\cos ({\omega _{10}}\tau ) + \\ &\qquad {\eta _1}\omega _{10}^pa\sin (0.5p\text{π} )\sin ({\omega _{10}}\tau ) + \frac{3}{4}{\mu _1}a{}^3 + \end{split} $$ $$ \begin{split} &\qquad 6{\mu _1}a{C^2}{]^2} + [{\eta _1}\omega _{10}^pa\sin (0.5p\text{π} )\cos ({\omega _{10}}\tau ) - \\ &\qquad {\eta _1}\omega _{10}^pa\cos (0.5p\text{π} )\sin ({\omega _{10}}\tau ) + \\ &\qquad({\alpha _1} + {\beta _1}){\omega _0}a{]^2} = 4\mu _1^2{C^6} \end{split} $$ (31) 对超谐波共振的幅频特性曲线方程在不同参数下进行仿真分析, 仿真结果如图13所示.
3.2 亚谐波共振响应求解
当ω接近 $ 3{\omega }_{10} $ 时, 系统发生亚谐波共振响应, 设 ω 与 3ω10 的差别为 ε 的同阶小量, 设 ω = 3ω10 + εσ, 代入到式(28)中, 并消除久期项, 得
$$ \begin{split} & [2{\mathrm{i}}{\omega _{10}}{D_1} + {\mathrm{i}}{\omega _{10}}({\alpha _1} + {\beta _1}) + 3{\mu _1}{A^2} + 6{\mu _1}{C^2}]A{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{10}}{T_0}}} + \\ &\qquad {\eta _1}\omega _{10}^pA{{\mathrm{e}}^{0.5{\mathrm{i}}p\text{π} }}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}{\omega _{10}}({T_0} - \tau )}} + 3{\mu _1}{\bar A ^2}C{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}(\omega - 2{\omega _{10}}){T_0}}} = 0 \end{split} $$ (32) 将A表示为复指数形式, 令$ A = 0.5 a{{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{i}}{\theta }_{1}} $, 其中$ a $和$ {\theta }_{1} $均为时间的函数, 将A代入式(32)中, $ \phi = \sigma {T}_{1}-{\theta }_{1} $, 分离实部虚部, 得到
$$ \left.\begin{split} & - 2{\omega _{10}}a\frac{{{\mathrm{d}}{\theta _1}}}{{{\mathrm{d}}{T_1}}} + {\eta _1}\omega _{10}^pa\cos (0.5p\text{π} )\cos ({\omega _{10}}\tau ) + \\ &\qquad {\eta _1}\omega _{10}^pa\sin (0.5p\text{π} )\sin ({\omega _{10}}\tau ) + \frac{3}{4}{\mu _1}a{}^3 + \\ &\qquad 6{\mu _1}a{C^2} = - \frac{{3{\mu _1}{a^2}C\cos \phi }}{2} \\ & 2{\omega _{10}}\frac{{{\mathrm{d}}a}}{{{\mathrm{d}}{T_1}}} + {\eta _1}\omega _{10}^pa\sin (0.5p\text{π} )\cos ({\omega _{10}}\tau ) - \\ &\qquad {\eta _1}\omega _{10}^pa\cos (0.5p\text{π} )\sin ({\omega _{10}}\tau ) + \\ &\qquad ({\alpha _1} + {\beta _1}){\omega _{10}}a = - \frac{{3{\mu _1}{a^2}C\sin \phi }}{2} \end{split} \right\} $$ (33) 当系统处于稳定状态时, 有$ \dot{a} $ = 0, $ \dot{\phi } $ = 0, 则有$ \dot{\theta } $ = σ, 从而得到超谐波共振的幅频特性曲线方程
$$ \left.\begin{split} & [ - 2{\omega _{10}}a\sigma + {\eta _1}\omega _{10}^pa\cos (0.5p\text{π} )\cos ({\omega _{10}}\tau ) + \\ &\qquad {\eta _1}\omega _{10}^pa\sin (0.5p\text{π} )\sin ({\omega _{10}}\tau ) + \frac{3}{4}{\mu _1}a{}^3 + \\ &\qquad 6{\mu _1}a{C^2}{]^2} + [{\eta _1}\omega _{10}^pa\sin (0.5p\text{π} )\cos ({\omega _{10}}\tau ) - \\ &\qquad {\eta _1}\omega _{10}^pa\cos (0.5p\text{π} )\sin ({\omega _{10}}\tau ) + \\ &\qquad ({\alpha _1} + {\beta _1}){\omega _{10}}a{]^2} = \frac{{9\mu _1^2{a^4}{C^2}}}{4} \end{split}\right\}$$ (34) 对亚谐波共振的幅频特性曲线方程在不同参数下进行仿真分析, 仿真结果如图14所示.
将超谐波共振与亚谐波共振综合起来进行分析, 由图13与图14可知, 随着MRFD-TMD的引入, 会使振动系统中非线性因素对于次共振的影响极小, 从而使振动系统近乎于线性系统; 由图13(a)、图13(b)、图14(a)与图14(b)可知, MRFD的零场阻尼系数 η1 与分数阶 p 的增大, 会引起振动系统次共振的共振区域减小, 共振峰向左轻微偏移; 由图13(c)、图13(d)、图14(c)与图14(d)可知, 随着非线性刚度和激振力的增加, 振动系统的共振区域增加, 共振峰向右偏移; 由图13(e)和图14(e)可知, 随着时滞量的增加, 振动系统的共振区域增加, 当 τ 增加到30 ms时, 共振峰值的增加量开始加剧; 由图13(f)与图14(f)可知, 在时滞量 τ = 40 ms 时, 减振器与轧辊发生共振, 轧辊振动幅值急剧增大, 且引起超谐波共振非线性因素的显现.
同时, 由图13和图14可知, 时滞量的不断增大并不意味着振动系统的振幅一直处于增加的状态, 而是又回到抑振状态, 从式(31)和式(34)可知, 时滞量位于三角函数内, 因此系统的振动幅值会随时滞量的增加周期性变化. 因此, 为避免时滞量在特定区间内对振动系统带来不利影响, 需要对其进行反馈控制.
4. 时滞反馈控制
由于系统的固有时滞是系统本身电信号传输、电磁转化和磁流变效应等因素造成的, 具有不可调节的性质, 因此为将系统的固有时滞控制在一定范围内, 保证振动系统的稳定性, 降低固有时滞带来的不利影响, 从而引进了可调节的时滞反馈控制器. 通过引入一种线性时滞作用下的反馈控制器[46]来对静定轧机辊系的振动响应进行控制, 消除轧机轧辊的跳跃及滞后现象, 同时运用数值仿真得到最优的反馈控制系数和反馈控制时滞.
将时滞量转嫁到统一的反馈控制系统中, 令 τ 作为工作辊固定时滞, 同时引入线性反馈控制器, g作为线性反馈控制系数, τ* 作为可控时滞, 则含有线性时滞作用反馈控制器的方程如下
$$\left.\begin{split} & {m_1}{{\ddot x}_1} + {c_1}{{\dot x}_1} + {c_2}({{\dot x}_1} - {{\dot x}_2}) + {k_1}{x_1} + {{k'}_1}{x_1}^3 + {k_2}({x_1} - {x_2}) + \\ &\qquad \eta^* \cdot {D^p}({x_{1\tau }}) + \rho^* \cdot {{\mathrm{sgn}}} [{D^p}({x_{1\tau }})] + \\ &\qquad g \cdot ({x_{1\tau *}} - {x_{1\tau }}) - F\cos (\omega t) = 0 \\ & {m_2}{{\ddot x}_2} - {c_2}({{\dot x}_1} - {{\dot x}_2}) + {c_3}{{\dot x}_2} - {k_2}({x_1} - {x_2}) + {k_3}{x_2} = 0 \end{split}\right\} $$ (35) 由之前的主共振和次共振分析可知, 对于振动系统非线性方面的影响主要有非线性刚度及固有时滞. 为明确固有时滞对于非线性方面的影响, 从而更准确地控制固有时滞的范围, 得到最优的反馈控制系数和最优的反馈控制时滞, 因此忽略掉振动系统中非线性因素的影响, 将方程退化为线性方程[39]如下
$$ \left.\begin{split} & {m_1}{{\ddot x}_1} + {c_1}{{\dot x}_1} + {c_2}({{\dot x}_1} - {{\dot x}_2}) + {k_1}{x_1} + {k_2}({x_1} - {x_2}) + \\ &\qquad \eta^* \cdot {D^p}({x_{1\tau }}) + g ({x_{1\tau *}} - {x_{1\tau }}) - F\cos (\omega t) = 0 \\ & {m_2}{{\ddot x}_2} - {c_2}({{\dot x}_1} - {{\dot x}_2}) + {c_3}{{\dot x}_2} - {k_2}({x_1} - {x_2}) + {k_3}{x_2} = 0 \end{split}\right\} $$ (36) 通过将激振力Fcos(ωt)替换为Fe−iωt, 则可以得到退化线性方程的解为
$$ \left( \begin{gathered} {x_1} \\ {x_2} \\ \end{gathered} \right) = \left( \begin{gathered} {z_1} \\ {z_2} \\ \end{gathered} \right){{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{i}}\omega t}} $$ (37) 其中, z1和z2是复振幅. 将式(37)代入式(36)中, 得到
$$ \begin{split} & {z_1} = \frac{F}{\varDelta }[{k_1} + {k_2} - {m_1}{\omega ^2} + {\mathrm{i}}\omega ({c_1} + {c_2}) + \eta^* + \\ &\qquad g ({{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\omega \tau *}} - {{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\omega \tau }}) ] \end{split} $$ (38) 其中, k1 = k3, c1 = c3, $\varDelta = [{k_1} + {k_2} - {m_1}{\omega ^2} + {\mathrm{i}}\omega ({c_1} + {c_2}) + \eta^* \cdot {{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\omega \tau }} + g \cdot {{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\omega \tau *}}] $ · $[{k_2} + {k_3} - {m_2}{\omega ^2} + {\mathrm{i}}\omega ({c_2} + {c_3})] - ({\mathrm{i}}\omega {c_2} + {k_2})^2 $.
主质量的位移传递比定义为
$$ {X_1} = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{{x_0}}} $$ (39) 式中, x0是主系统在力幅值作用下的静态位移.
根据等式(39), 主质量的位移传递比可以简单地表示为
$$ {X_1} = {X_1}(\omega ,g,\tau^*) $$ (40) 从式(40)中发现, 当
$$ {k_1} + {k_2} - {m_1}{\omega ^2} + {\mathrm{i}}\omega ({c_1} + {c_2}) + \eta^* + g ({{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\omega \tau *}} - {{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\omega \tau }}) = 0 $$ (41) X1 = 0, 因此, 当选择不同控制参数时, 主结构的振幅可以减小到0. 然后, 通过分离等式(41)的实部和虚部, 可以得出
$$ \left.\begin{split} & {k_1} + {k_2} - {m_1}{\omega ^2} + \eta^* - g\cos (\omega \tau ) = - g\cos (\omega \tau^*) \\ & \omega ({c_1} + {c_2}) + g\sin (\omega \tau ) = g\sin (\omega \tau^*) \end{split}\right\} $$ (42) 通过式(42)可以分别得到最优控制增益与固有时滞之间的关系和最优控制时滞与固有时滞之间的关系, 即
最佳控制增益g为
$$ g = \frac{{{{({k_1} + {k_2} - {m_1}{\omega ^2} + \eta^*)}^2} + {\omega ^2}{{({c_1} + {c_2})}^2}}}{{2[({k_1} + {k_2} - {m_1}{\omega ^2} + \eta^*)\cos (\omega \tau ) - \omega ({c_1} + {c_2})\sin (\omega \tau )]}} $$ (43) 最佳控制时滞 τ* 为
$$\begin{split} & \tau^* = \frac{1}{\omega }\Biggr\{ \pm \arccos \left[\frac{{{k_1} + {k_2} - {m_1}{\omega ^2} + \eta * - g\cos (\omega \tau )}}{g}\right] + \\ &\qquad\qquad\qquad 2n\text{π} \Biggr\} ,\;\;n = 0,1,2,\cdots\end{split} $$ (44) 最佳控制增益和控制时滞与固有时滞之间的关系分别如图15和图16所示. 根据实际情况, 振动系统的固有时滞不会超过50 ms, 因此选取50 ms范围内的固有时滞进行仿真.
图15(a)为最优控制系数的三维图, 为了便于观察, 将图15(a)投影到零平面, 如图15(b)蓝色曲线所示. 从图15(b)可以看出, 不同固有时滞的最优控制增益可能具有不同的符号, 当固有时滞在0 ~ 9 ms和28 ~ 46 ms范围时, 最优控制系数为正; 当固有时滞在10 ~ 27 ms和47 ~ 50 ms范围时, 最优控制系数为负; 而固有时滞处于9 ~ 10 ms, 27 ~ 28 ms和46 ~ 47 ms特殊范围内时, 则不存在最优反馈控制增益.
从图16可以看出最佳控制时滞是如何随着固有时滞而变化的. 根据等式(39), 存在许多不同的最佳控制时滞组. 如图16(a)所示, 各个不同的最佳控制时滞随着n的增加而增加, 当n = 0时, 所需要的控制时滞量最小, 从而所需控制能量也是最小的, 因此对n = 0时单独进行分析. 图16(b)为当n = 0时最优控制时滞的三维图, 将其与零平衡面相交得到图16(c)所示的平面图, 从图中可以看出, 当固有时滞在0 ~ 6 ms, 15 ~ 29 ms和38 ~ 50 ms范围时, 最优控制时滞存在, 且最优控制时滞量小于7 ms; 而当固有时滞位于6 ~ 15 ms和29 ~ 38 ms的区间时, 则不存在最优控制时滞.
5. MRFD-TMD的实验研究
5.1 实验参数及装置
根据2.2节中0平衡稳定性分析与2.3.2节中拓扑优化结果的各参数对系统的影响, 同时考虑振动控制目标结构、安装位置及安装空间等因素, 所加工的MRFD-TMD样机及配套装置如图17所示.
利用磁吸式三向加速度传感器、东华DH5922D动态信号测试分析系统、东华DHDAS软件平台、静定轧机以及MRFD-TMD样机搭建实验平台, 实验平台如图18所示. 为了更加精确地获取实验数据, 本次实验使用3个通道的加速度传感器, 分布位置如图19所示, 同时在有减振器装置下进行3次实验, 对所获得的9组数据进行对应、平均处理, 得到最终的一组加吸振器下的实验数据. 本次实验静定轧机及轧制板材等参数如表2所示.
Parameter Value input voltage of MRFD U/V 24 maximum output current of MRFD I/A 3 rolling frequency f/Hz 2 roll gap y1/μm 3.0 × 103 plate thickness y2/μm 5.0 × 103 reduction rate 40% 5.2 实验结果及分析
由图20 可以看出, 在加装MRFD-TMD样机之后, 综合比较轧机上工作辊振幅的正值与负值, 轧机上工作辊振幅降低 20% 左右, 理论分析值为 18.3% 左右, 结果基本吻合. 存在的较小误差考虑是MRFD的耗能机理比较复杂, 其实际耗能比理论分析值更多. 同时, 控制器设定阈值为 0.1 mm, 当工作辊振动幅值超过设定阈值时, MRFD才会进行工作, 在图20 中表现为轧机上工作辊振幅负值减振效果明显, 说明轧制过程中轧辊以平衡位置为基准的上下振动幅值并不是对称的, 如图21 实验轧制后的板材所示, 其原因为板材在轧制过程中发生弯曲, 即板材上下两面的延展率不同, 导致轧辊轧制过程中平衡位置上下振动幅值的不同以及传感器发生零点漂移现象等多种因素.
综上所述, 本文设计的MRFD-TMD能有效降低轧机上工作辊的振动幅值, 并使振动系统更加稳定.
6. 结论
本文基于主被动阻尼减振器对轧机辊系的振动特性及减振进行了研究, 结论如下.
(1)本文考虑了轧机轧制界面间的非线性阻尼和非线性刚度, 同时考虑了磁流变阻尼控制效应中的分数阶和时滞因素, 建立了带有主被动阻尼减振器的分数阶时滞垂直非线性振动方程, 采用多尺度法求解得到了轧机辊系主共振与次共振的幅频响应方程. 同时, 对于建立的时滞振动系统进行稳定性分析, 得到了对于振动系统固有时滞的控制目标.
(2)本文将磁流变阻尼减振器应用于轧机辊系减振方向, 通过 MATLAB 仿真分析得到系统的时域曲线、相图以及频谱曲线, 找到了振动系统主共振频率以及谐振频率. 通过搭建实验平台, 对主被动阻尼减振器的减振效果进行实验, 结果与理论分析结果基本吻合.
(3)综合主共振分析以及次共振分析可以发现, 主被动阻尼减振器中的磁流变阻尼器是耗能主体部分, 在设计磁流变阻尼器时, 应在合理范围内选择合适的MR流体, 确保较大的0场阻尼系数、较高的分数阶阶次, 从而使磁流变阻尼器有良好的抑振效果.
(4)对振动系统进行了时滞反馈控制, 计算并仿真得到最优的反馈控制增益和控制时滞, 且结果表明将振动系统的固有时滞控制在6 ms范围内, 能够使振动系统振幅、不规则振动及能量消耗达到最优.
主动阻尼减振器在抑振过程中效果明显, 对于主动抑振器的研究将有广阔的发展前景; 同时, 由于磁流变阻尼器为半主动控制装置, 在精密仪器中, 固有时滞的存在往往不可忽略. 因此, 如何建立起一个更合理和更全面的带有磁流变阻尼器的等效理论模型, 如何改进减振器结构和安装方式, 以及如何分析磁流变阻尼器的滞回特性在减振控制中产生的影响等是下一步的工作重点.
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表 1 带有减振器的振动系统仿真参数表
Table 1 Simulation parameters of vibration system with shock absorber
Parameter Value Parameter Value F/kN 150.0 k′3/(N·m−1) 100.0 ω/(rad·s−1) 280.0 c1/(N·s·m−1) 10.0 m1/kg 23.5 c2/(N·s·m−1) 20.0 m2/kg 8.0 c′2/(N·s·m−1) 5.0 k1/(N·m−1) 7.0 × 106 c3/(N·s·m−1) 10.0 k′1/(N·m−1) 100.0 p 0.85 k2/(N·m−1) 2.0 × 103 η1/(N·s·m−1) 50.0 k3/(N·m−1) 2.0 × 103 表 2 实验平台参数
Table 2 Experimental platform parameter
Parameter Value input voltage of MRFD U/V 24 maximum output current of MRFD I/A 3 rolling frequency f/Hz 2 roll gap y1/μm 3.0 × 103 plate thickness y2/μm 5.0 × 103 reduction rate 40% -
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