ANALYTICAL AND NUMERICAL ANALYSIS OF MELTING ICE SLIDING ALONG INCLINED SUPERHYDROPHOBIC SURFACE WITH AIR SLOT
-
摘要: 文章提出了融冰沿气槽结构超疏水表面顺向下滑过程的物理几何模型. 对融冰层液膜微剪切流进行分析, 利用超疏水壁面“黏-滑”边界条件建立了微剪切流场的双Fourier级数方程, 求得解析数值解, 在此基础上研究了融冰层液膜微剪切流的速度分布及冰层下滑速度与超疏水表面气槽占比(a)、斜面倾角(α)以及融冰层液膜厚度(δ)之间的定量规律. 研究结果表明, 融冰层越薄或空气槽占比越大, 融冰层微剪切流场偏离平板剪切流越显著; 三相接触线处滑移速度梯度发生突变并达到峰值; a, α与δ的增大均会导致冰层超滑速度非线性增加, 融冰层厚度增大到1之后超滑速度趋于渐近解析解函数. 基于所取的参数值, a = 0.95, δ = 0.2以及a = 0.9, δ = 0.1时, 由超疏水壁面结构导致的冰层下滑速度增量相对于总下滑速度的占比超过60%, 此时冰层下滑速度主要来自超滑速度的贡献. 文章的研究为当前超疏水除冰应用中的相关流体物理过程提供了参考.Abstract: A physical and geometric model for the sliding process of an melting ice along superhydrophobic (SH) surfaces with air slot structures in this article. By analyzing the micro-shear flows of molten liquid layers between the ice layer and SH surfaces, a double series equation (DSE) was established by using the "stick-slip" boundary condition of SH surface to obtain the analytical and numerical solutions for the micro-shear flows. Based on this, the velocity fields of the micro-shear flows and the sliding velocties of the ice layer under the different air slot ratios (a), the inclination angles (α) and the thickness of the molten liquid layers (δ) were investigated. The results indicate that the thinner the molten liquid layer or the larger the air slot ratio is, the more significant is the deviation of the micro-shear flow field on the SH surfaces from the planar shear flow. The slip velocity gradients have sudden changes and reach their peaks at triple contact lines. Increases of a, α and δ will lead to non-linear increases in the hyperslip velocities. When δ ≥ 1, the hyperslip velocities tend to the values calculated from the function of asymptotically analytic solutions. Based on the parameter values taken in current study, it is found that the increments in ice sliding velocities account for more than 60% of the total sliding velocities at a = 0.95, δ = 0.2 and a = 0.9, δ = 0.1, which indicate that the ice sliding velocities mainly come from the contributions of hyperslip velocities. This study provides a reference for the fluid physical processes in current SH de-icing applications.
-
引 言
结冰现象广泛存在于自然界、工业生产、军工国防以及人居生活的诸多方面. 结冰会带来许多安全事故, 特别是在航空航天、电力系统以及道路交通等领域存在与之相关的突出问题[1-3]. 因此, 防/除冰技术研究对于生产、生活以及军工国防等具有重要意义. 目前, 国内外已经发展出多种主动和被动防/除冰技术, 其中属于被动防/除冰的超疏水技术因其能通过减少固-液接触面积, 增加传热热阻等途径来增加冻结延迟时间, 有效地达到了防止结冰的效果, 因此被认为是最有发展潜力与应用前景的防/除冰策略. 材料、表面以及热科学等领域的国内外学者对此开展了研究, 试图从技术前端通过延缓结冰解决防冰问题[4-17].
研究表明, 潮湿环境中, 受表面结霜影响, 规则微结构和多级规则微纳结构超疏水表面的冰层黏附强度增大且高于光滑表面的冰层黏附强度, 导致多级微纳米粗糙结构的超疏水表面防冰性能变差, 会促进冰层快速积累产生结冰问题[18]. 因此, 对于防冰问题而言超疏水技术并非一劳永逸, 仍需考虑结冰之后的除冰问题. 除冰机制并不复杂, 通过加热固体表面生成融冰层或用吸湿性高分子材料涂层处理固体表面在冰层与其附着的固体表面之间形成液膜[19], 外部冰层在液膜的润滑作用下受外力产生相对滑动达到除冰目的. 在冰层相对滑动过程中, 液膜受冰层和固壁的剪切作用, 形成平面剪切流. 针对超疏水表面除冰问题, 液膜一侧为冰面固壁, 满足无滑移边界条件, 另一侧为超疏水表面, 满足部分滑移边界条件, 则剪切流特性与超疏水表面的几何结构密切相关, 决定了除冰速度与效率.
研究人员利用荷叶原理设计微气槽结构的超疏水表面, 微气槽能够有效隔断液体与固体之间的接触, 导致一类Cassie态的超疏水流动现象的发生. 近20年来, 超疏水壁面“黏-滑”复合边界条件流动问题引起了国内外学者广泛的理论研究兴趣[20]. 针对超疏水表面流动和传热机理的解析成为微纳尺度流动领域的研究热点, 其中包括超疏水结构减阻与水动力滑移问题[21-31]、液气界面形状影响问题[32-34]以及超疏水壁面的换热问题[33, 35]等. 近期, Kozak[36]针对二维超疏水结构表面上固体融化机制开展了相关理论分析, 给出了融化层液膜的生长规律. 近年来, 大尺度的河流海洋冰工程受到国内力学界的关注, 季顺迎[37]对相关研究进行了概述. 而与液-固间微尺度相互作用关系密切的固壁防/除冰问题蕴含着丰富的流体动力学规律与机制, 当属冰工程研究的重要组成部分. 但到目前为止, 国内针对超疏水表面融冰除冰过程所涉及的流体动力学研究尚未见到.
考虑到冰层去除过程中通常会受到重力作用以达到自主除冰目的, 本文提出冰层在具有周期性气槽结构的倾斜超疏水表面受重力牵引下滑的几何物理模型. 建立并求解满足超疏水壁面“黏-滑”条件的双级数方程组获得融冰层液膜的微剪切流场, 在此基础上开展了超疏水表面微结构与融冰层厚度等几何参数对冰层滑动速度影响规律的研究.
1. 冰层下滑与超疏水壁面模型
本文研究冰层因重力牵引沿超疏水斜面下滑, 并针对冰层的覆盖面积远大于其厚度的情况进行分析, 因此可以将冰层滑动以及融冰层液膜流动简化为平面问题. 在滑动过程中, 冰层对融冰层液膜施加剪切作用, 从而形成上下壁面间的剪切流动. 根据文献[36]所提出的超疏水表面固体融化的几何模型, 图1给出了冰层、融冰层液膜以及具有超疏水表面的固壁在某一倾斜角下的3层结构, 其中图1(a)为3层结构轴侧示意图, 图1(b)给出了超疏水表面冰层顺向下滑的3层微结构及坐标系统.
![]()
图 1 冰层下滑过程的冰层、融冰层以及超疏水表面3层结构模型Figure 1. Three layer model including ice layer, motlen liquid layer and SH surface单位接触面积上冰层重力沿斜面的牵引力分量为$ {\gamma _{{\mathrm{ice}}}}{h^*}\sin \alpha $. 当冰层所受牵引力和所受摩擦阻力平衡时达到匀速下滑状态(假定斜面足够长), 此时$ {\gamma _{{\mathrm{ice}}}}{h^*}\sin \alpha $等价于冰层下表面施加于融冰层液膜上边界的剪切应力$ {{{\tau }}^{{*}}} $. 在该剪切应力作用下融冰层液膜形成稳定的微剪切流动. 根据图1给出的3层结构模型, 微剪切流上壁面为冰层下表面, 满足无滑移条件, 下壁面为超疏水表面, 满足部分滑移条件, 按图1(b)的坐标系写为
$$ {{\boldsymbol{u}}^{\text{*}}}(0) = {\lambda ^{\text{*}}}\frac{{{\text{d}}{{\boldsymbol{u}}^{\text{*}}}(0)}}{{{\text{d}}{y^{\text{*}}}}} $$ (1) 其中, $ {\lambda ^{\text{*}}} $称为有效滑移长度, 与超疏水表面结构和流动空间几何相关, 需要通过对微剪切流场的分析获得.
为简化分析, 本文仅考虑冰层厚度相对于融冰层液膜厚度大得多的情况, 即$ {h^*} \gg {\delta ^*} $, 因此融冰过程冰层减薄所导致的自重减小可以忽略不计. 此外, 由于冰层吸收热量转化为潜热为冰层融化提供能量, 这一过程融冰层液膜温度可近似认为不变, 因此温度对液膜物性的影响忽略不计. 基于上述假定与近似处理, 本文仅讨论冰层下滑诱导的微剪切流动问题而不考虑其传热过程.
2. 微剪切流的控制方程与边界条件
通常融冰层液膜在非常薄的状态下就能够导致冰层滑动, 因此忽略流动惯性, 控制方程由Stokes方程描述, 其量纲形式为
$$ \qquad\qquad\qquad {\nabla ^2}{{\boldsymbol{u}}^ * } = \mu \nabla {p^ * }\tag{2a} $$ $$\qquad\qquad\qquad \nabla \cdot {{\boldsymbol{u}}^ * } = 0 \tag{2b}$$ 考虑流场的对称性, 针对半个周期域($ 0 \leqslant {x^*} < {b^*} $, $ 0 \leqslant {y^*} \leqslant {\delta ^*} $)进行分析. 根据图1(b)的超疏水表面微结构与坐标系, 半周期域内微剪切流边界条件为
$$ \left. \begin{split} & \frac{{\partial {{\boldsymbol{u}}^ * }}}{{\partial {y^ * }}} = {\boldsymbol{0}},\quad 0 \leqslant {x^*} < {a^*},\quad {y^*} = {{0}} \\ & {{\boldsymbol{u}}^ * } = {\boldsymbol{0}},\quad {a^*} < {x^*} \leqslant {b^*},\quad {y^*} = 0 \\ & \frac{{\partial {{\boldsymbol{u}}^ * }}}{{\partial {y^ * }}} = {{{\tau}} ^{\text{*}}}{\boldsymbol{t}},\quad 0 \leqslant {x^*} \leqslant {b^*},\quad {y^*} = {\delta ^*}\end{split} \right\} $$ (3) 其中, t为单位剪切矢量, 对于顺向下滑t = k = [0, 0, 1], k为z轴单位矢量.
令$T^* $为某一特征时间, 半周期宽度$b^* $为特征长度, 特征应力取$ {\tau ^*} = {\mu \mathord{\left/ {\vphantom {\mu {{T^*}}}} \right. } {{T^*}}} $[38]进行无量纲化分析, 则无量纲长度、速度、压力以及剪切应力分别为
$$ a = \frac{{{a^ * }}}{{{b^*}}},\;\delta = \frac{{{\delta ^ * }}}{{{b^*}}},\;{\boldsymbol{u}} = \frac{{{{\boldsymbol{u}}^*}{T^*}}}{{{d^*}}},\;p = \frac{{{p^*}{T^*}}}{\mu },\;{{\tau}} = \frac{{{{{\tau}} ^*}{T^*}}}{\mu } $$ (4) 将以上无量纲量代入Stokes及连续性方程中, 获得方程的无量纲化形式
$$\qquad\qquad\qquad {\nabla ^2}{\boldsymbol{u}} = \nabla p \tag{5a}$$ $$\qquad\qquad\qquad \nabla \cdot {\boldsymbol{u}} = 0 \tag{5b}$$ 由于施加在融冰层的单位表面积压力$ \tilde N $成正比, 即
$$ {{\tau}} = {{\boldsymbol{\gamma}} _{{\mathrm{ice}}}}h\sin \alpha = \tilde N\sin \alpha $$ (6) 则无量纲化的边界条件写为
$$ \left. \begin{split} & \frac{{\partial {\boldsymbol{u}}}}{{\partial y}} = {\boldsymbol{0}},\quad 0 \leqslant x < a,\quad y = 0 \\ & {\boldsymbol{u}} = {\boldsymbol{0}},\quad a < x \leqslant 1,\quad y = 0 \\ & \frac{{\partial {\boldsymbol{u}}}}{{\partial y}} = \tilde N\sin \alpha {\boldsymbol{t}},\quad 0 \leqslant x \leqslant 1,\quad y = \delta \end{split}\right\} $$ (7) 3. 融冰层液膜微剪切流分析
3.1 方程建立
在顺向下滑过程中, 融冰层液膜流动问题为单向剪切流问题, 即速度仅存在流向分量w(x, y), 剪切流的Stokes方程不存在流动方向的压力梯度, 则退化为Laplace方程
$$ {\nabla ^2}w = 0 $$ (8) 边界条件为
$$ \left. \begin{split} & \frac{{\partial w}}{{\partial y}}(x,0) = 0,\quad 0 \leqslant x < a \\ & w(x,0) = 0,\quad a < x \leqslant 1 \\ & \frac{{\partial w}}{{\partial y}}(x,\delta ) = \tilde N\sin \alpha ,\quad 0 \leqslant x \leqslant 1\end{split} \right\} $$ (9) 将速度场分解为周期平均场与超疏水壁面结构对剪切流的扰动场的叠加
$$ w(x,y) = \tilde N\sin (\alpha y) + {c_0} + \tilde w(x,y) $$ (10) 其中, $ {c_0} $为周期平均速度的增量. 扰动速度$ \tilde w(x,y) $亦满足Laplace方程, 即
$$ {\nabla ^2}\tilde w = 0 $$ (11) 扰动速度在微剪切流上边界亦即冰层下表面衰减为0, 则y = δ边界条件写为
$$ \tilde w(x,\delta ) = 0,\quad 0 \leqslant x \leqslant 1 $$ (12) 为求解方程(11), 将$ \tilde w(x,y) $展开为余弦级数
$$ \tilde w(x,y) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\kern 1pt} {f_n}(y)\cos ({k_n}x) $$ (13) 其中, $ {f_n}(y) $为Fourier模, $ {k_n} = n\text{π} \;(n \geqslant 1) $.
将式(13)代入式(11), 分离Fourier模, 获得关于$ {f_n}(y) $的二阶常微分方程
$$ {f''_n}\;(y) - k_n^2{f_n}(y) = 0 $$ (14) 根据边界条件(12)有, $ {f_n}(\delta ) = 0 $, 由此获得方程(14)的通解形式为
$$ {f_n}(y) = {c_n}\left[ \right.\tanh ({k_n}y) - {\text{tanh}}({k_n}\delta )\left. \right]\cosh ({k_n}y) $$ (15) 将式(15)代入式(13)再代入式(10), 获得微剪切流速度通解, 如下
$$ \begin{split} & w(x,y) = \tilde N\sin (\alpha y) + {c_0}+ \\ &\qquad \sum\limits_{n = 1}^\infty {\kern 1pt} {c_n}\left[ \right.\tanh ({k_n}y) - \tanh ({k_n}\delta )\left. \right]\cosh ({k_n}y)\cos ({k_n}x) \end{split} $$ (16) 其中$ {c_0} $与$ {c_n} $为待定系数, 需要利用超疏水表面的边界条件进行确定.
将通解(16)代入超疏水壁面的“黏-滑”边界条件, 即代入式(9a)和式(9b)二式, 得到关于c0与cn的双Fourier级数方程, 如下
$$ {c_0} - \sum\limits_{n = 1}^\infty {c_n}{\text{tanh}}({k_n}\delta )\cos ({k_n}x) = 0,\quad a < x \leqslant 1 \tag{17a}$$ $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\kern 1pt} {c_n}{k_n}\cos ({k_n}x) = - \tilde N\sin \alpha ,\quad 0 \leqslant x < a \tag{17b}$$ 求解双级数方程(17), 即可获得$ {c_0} $与$ {c_n} $的解, 进而求得融冰层液膜微剪切流速度场.
按照有效滑移长度的定义, 微剪切流动的有效滑移长度λ与c0有如下关系
$$ \lambda = \frac{{\left\langle \right.w(x,0)\left. \right\rangle }}{{\left\langle \right.{{\partial w(x,0)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial w(x,0)} {\partial y}}} \right. } {\partial y}}\left. \right\rangle }} = \frac{{{c_0}}}{\tau } = \frac{{{c_0}}}{{\tilde N\sin \alpha }} $$ (18) 则剪切流上边界速度, 即冰层的下滑速度为
$$ w(x,\delta ) = W = (\delta + \lambda )\tilde N\sin \alpha $$ (19) 可以看到, 冰层下滑速度由两部分构成. 其中, $ \delta \tilde N\sin \alpha $由融冰层厚度决定, 为冰层在满足无滑移条件的平板上的下滑速度, 记为W0; $ \lambda \tilde N\sin \alpha $为超疏水壁面有效滑移长度贡献的滑动速度, 本文称之为超滑速度, 记为Wh, 其中下标h表示hydroslip (超滑). 则冰层顺向下滑的超滑速度为
$$ {W_h} = {c_0} $$ (20) 3.2 双级数方程求解
对于双级数方程问题一般参数情况下只能寻求数值解, 但当$ \delta \to \infty $时双级数方程存在精确渐近解, 以下分别给予推导和说明.
3.2.1 数值解
数值求解算法的关键在于消去Fourier级数中的三角函数项, 将其等价转换为待定量的系数. 所采用的方法是给方程组中的每一项乘以正交三角函数后进行积分, 从而将三角函数转换为定积分结果, 构造线性方程组的系数矩阵, 算法如下.
将双级数方程写为通用形式
$$ \left. \begin{split} & \frac{{{A_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty \;{\kern 1pt} {\varGamma _n}{A_n}\cos (n\text{π} x) = 0,\quad a < x \leqslant 1\; \\ & \sum\limits_{n = 1}^\infty {\kern 1pt} \;{\varPsi _n}{A_n}\cos (n\text{π} x) = f(x),\quad 0 \leqslant x < a \end{split} \right\} $$ (21) 其中, $ {\varGamma _n} $和$ {\varPsi _n} $为与n有关的函数, 有如下表达式
$$ {\varGamma _n} = 1,\;{\varPsi _n} = \tanh (n\text{π} \delta ),\;f(x) = \tau $$ (22) 针对通用方程组两端计算正交三角函数积后进行积分, 消去三角函数, 得到形如矩阵表示为$ {\boldsymbol{MA = f}} $的线性方程组
$$ \left. \begin{split} & \frac{1}{2}{P_m}{A_0} + \sum\limits_{n = 1}^N {\kern 1pt} {I_{mn}}{\varGamma _n}{A_n} = 0\; \\ & \sum\limits_{n = 1}^N {\kern 1pt} {J_{mn}}{\varPsi _n}{A_n} = {Q_m}\end{split} \right\} $$ (23) 其中, N为截断数. 矩阵的元素构造如下
$$ \left. \begin{split} & {I_{mn}} = \int_a^1 \cos (n\text{π} x)\cos (m\text{π} x){\text{d}}x \\ & {P_m} = \int_a^1 \cos (m\text{π} x){\text{d}}x \\ & {J_{mn}} = \int_0^a \cos (n\text{π} x)\cos (m\text{π} x){\text{d}}x\; \\ & {Q_m} = \int_0^a f(x)\cos (m\text{π} x){\text{d}}x \end{split} \right\} $$ (24) 对于正交函数的积分项, 需要区别n ≠ m与n = m的不同结果
$$ \begin{split} & \int \cos (n\text{π} x)\cos (m\text{π} x){\text{d}}x= \\ &\qquad \left\{ \begin{aligned} & \frac{1}{{2(m + n)\text{π} }}\sin \left[ \right.(m + n)\text{π} x\left. \right]+ \\ &\qquad \frac{1}{{2(m - n)\text{π} }}\sin \left[ \right.(m - n)\text{π} x\left. \right],\quad n \ne m \\ & \frac{1}{2} + \frac{1}{{4m\text{π} }}\sin (2m\text{π} x),\quad \quad n = m \end{aligned} \right. \end{split} $$ (25) 需要说明的是, 在双级数方程向线性方程组转化过程中, 需要考虑Fourier级数的截断取值问题. 根据本文的数值求解实践, 截断数N = 200能够得到较高精度的解.
3.2.2 $ \delta \to \infty $的渐近解析解
研究表明, 融冰层液膜厚度是一个可变量, 实际应用中会出现$ \delta \gg 1 $的情况, 可以近似看做为$ \delta \to \infty $的极限情况, 此时双级数方程组存在渐近解析解. 注意到当$ \delta \to \infty $时$ \tanh ({k_n}\delta ) \sim 1 + {\text{e}}{\text{.s}}{\text{.t}}{\text{. }} $其中“e.s.t.”表示“exponentially small terms”(即指数级小项)[33], 则微剪切流的渐近解析解写为
$$ w(x,y) \sim \tilde N\sin (\alpha y) + c_0^\infty + {\tilde w^\infty }(x,y) + {\text{e}}{\text{.s}}{\text{.t}}{\text{. }} $$ (26) 其中
$$ \begin{split} & {{\tilde w}^\infty }(x,y) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\kern 1pt} c_n^\infty \left[ \right.\tanh ({k_n}y) - 1\left. \right] \cdot \\ &\qquad \cosh ({k_n}y)\cos ({k_n}x) \end{split} $$ (27) 根据前述推导, 系数通过求解双级数方程获得, $ \delta \to \infty $时方程(17)可以简化为
$$ c_0^\infty + \sum\limits_{n = 1}^\infty \;c_n^\infty \cos (n\text{π} x) = 0,\quad a < x < 1 \tag{28a}$$ $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\kern 1pt} c_n^\infty {k_n}\cos (n\text{π} x) = \tau ,\quad 0 < x < a \tag{28b}$$ 进行坐标变换, 令$ \hat x = \text{π} x $, 则方程(28)变换为标准形式
$$ c_0^\infty + \sum\limits_{n = 1}^\infty \;c_n^\infty \cos (n\hat x) = 0,\quad \text{π} a < \hat x < \text{π} \tag{29a}$$ $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\kern 1pt} c_n^\infty n\cos (n\hat x) = \frac{\tau }{\text{π} },\quad 0 < \hat x < \text{π} a \tag{29b}$$ 引入混合边值问题的数学理论对方程(29)进行求解[39], 得到如下积分形式的解
$$ c_0^\infty = \frac{1}{\text{π} }\left[ {\frac{\text{π} }{{\sqrt 2 }}\int_0^{\text{π} a} {h_1^\infty (\hat t){\text{d}}\hat t} } \right]\tag{30a} $$ $$ c_n^\infty {\text{ = }}\frac{2}{\text{π} }\left\{ {\frac{\text{π} }{{2\sqrt 2 }}\int_0^{\text{π} a} {h_1^\infty (\hat t)[{{\mathrm{P}}_n}(\cos \hat t) + {{\mathrm{P}}_{n - 1}}{\text{(cos}}\hat t)]{\text d }\hat t} } \right\} \tag{30b}$$ 其中Pn为Legendre多项式. 函数为$h_1^\infty (\hat t) $
$$ h_1^\infty (\hat t) = \frac{\tau }{\text{π} }\frac{{\mathrm{d}}}{{{\mathrm{d}}\hat t}}{I^\infty }(\hat t) $$ (31) 其中$ {I^\infty }(\hat t) $由如下参数积分确定
$$ {I^\infty }(\hat t) = \frac{2}{\text{π} }\int_0^{\hat t} {\frac{{\hat x\sin \dfrac{{\hat x}}{2}}}{{\sqrt {\cos \hat x - \cos \hat t} }}{\mathrm{d}}\hat x} $$ (32) 该积分结果为
$$ {I^\infty }(t) = 2\sqrt 2 \ln \left(\sec \frac{{\hat t}}{2}\right) $$ (33) 将式(31)和式(32)代入式(30), 有
$$ c_0^\infty = \frac{2}{\text{π} }\tau \ln \left( {\sec \frac{{\text{π} a}}{2}} \right) $$ (34) 则超滑速度$ W_h^\infty $为
$$ W_h^\infty = c_0^\infty = \frac{2}{\text{π} }\tau \ln \left({\mathrm{sec}} \frac{{\text{π} a}}{2} \right) $$ (35) 式(35)为超滑速度的渐近解析解函数. 当$ \delta $足够大时可以利用该函数与数值解进行一致性比对.
4. 结果与分析
不失一般性, 本文取$ \tilde N = 1 $作为冰层作用于微剪切流的无量纲压力, 因此, 融冰层液膜上壁面所受到的剪切应力退化为$ \tau = \sin \alpha $.
4.1 融冰层液膜微剪切流速度场
图2以斜面倾角α = 15°为例(其他斜面倾角类似), 给出了超疏水表面一个周期内(–1 ≤ x ≤ 1)的顺向速度等值线分布, 该倾角下冰层施加于融冰液体层上边界的无量纲剪切应力为$ \tau \approx 0.17 $. 图2中给出了气槽占比a = 0.1, 0.5和0.9以及融冰层液膜厚度δ = 0.2, 0.6与1共9种组合的速度等值线图, 速度大小可以通过等值线及其对应的颜色进行显示. 从图2中可以看到, 由于融冰层下边界位于中间区域的液气界面为完全滑移区, 剪切应力为0, 其速度值远高于两侧的固壁表面附近的速度, 因此该边界附近速度的等值线斜率相当大, 呈现出显著的“陡峭”特征. 随着远离超疏水表面向冰层方向推进, 速度等值线逐渐趋于平缓, 与完全滑移区与无滑移区在相同x坐标的速度趋于一致, 直至冰层下表面全周期区域的速度达到冰层的速度值. 基于速度等值线数据观察能够看到, 融冰层液膜越薄或空气槽占比越大, 超疏水表面对微剪切速度的影响越大, 其流场偏离平板间分层剪切流越显著. 进一步观察能够看到, 流场在趋于坐标位于( ±0.1, 0), ( ±0.5, 0)和( ±0.9, 0)的固液气三相接触线(triple contact line)过程中等值线逐渐密集, 直到三相接触线处等值线分布密度达到最大. 由于等值线之间的变化率即为该点速度梯度, 由此表明在三相接触线处速度梯度达到整个流场的极值.
为了更清楚理解三相接触线处速度及其梯度特征, 利用图2给出的速度场结果进一步提取超疏水表面的速度及其梯度数据. 由于超疏水表面是无滑移和完全滑移边界条件组合的复合边界, 因此该表面的速度分布亦被称为滑移速度. 图3给出了滑移速度廓线分布, 其中图3(a) ~ 图3(c)分别对应于a = 0.1, 0.5和0.9的结果, 每张子图分别绘制了δ = 0.2, 0.6与1共3个融冰层液膜厚度的情况. 从图3中可以看到, 滑移速度呈现轴对称特征, 速度在三相接触线处发生突变. 两侧固壁满足无滑移条件, 速度为0, 中间空气界面为完全滑移区, 速度廓线呈现类抛物线特征, 在对称轴处达到最大值. 随着空气槽占比增加, 完全滑移区的速度增大. 但随着液膜厚度增大, 速度值无显著增加, 其中δ = 0.6与1值的滑移速度廓线已经接近重合. 当融冰层液膜厚度超过1之后, 滑移速度已经不再发生显著变化.
滑移速度的梯度廓线由图4给出, 其中图4(a) ~ 图4(c)中的曲线对应于图3(a) ~ 图3(c)所取参数值. 从图4中可以看到, 滑移速度梯度呈轴对称和双极值分布特征. 在空气界面的完全滑移区, 梯度值为0, 在固壁区速度梯度大于0. 速度梯度在三相接触线处发生突变并达到峰值, 这也是速度场等值线中所看到的三相接触线处等值线密度达到最大的原因. 此外, 能够注意到相同空气槽占比情况下, 不同的融冰层液膜厚度的梯度几乎落入同一曲线上. 为区分不同曲线, 每个子图针对峰值附近的变化进行了局部放大处理, 分别在对应的图中给出. 但可以看到, 峰值与液膜厚度之间并无明确规律可循.
![]()
图 4 超疏水表面的滑移速度梯度廓线Figure 4. The distributions of slip velocity gradients on SH surfaces4.2 a对Wh的影响
图5给出了气槽占比a对超滑速度Wh的影响规律曲线. 其中, 图5(a)给出了倾角为15°, 融冰层液膜厚度δ分别取0.2 ~ 10中的6个值的Wh随a的变化曲线, 图5(b)给出了δ = 1, a分别取0.1 ~ 0.95共6个值的Wh随倾角α的变化曲线, α取值范围为0 ~ π/2 (对应角度为0° ~ 90°). 从图5(a)中可以看到, Wh曲线随着α的增大呈现非线性的单调递增. 在所取数据范围内(a = 0.05 ~ 0.95), Wh在0 ~ 0.11的范围内变化. 保持δ不变时, Wh对a的变化率亦呈现单调递增规律, 即, 当a→0时, Wh趋于0 (a = 0退化为普通平板剪切流), 而当a→1时, Wh呈快速增长. 此外也可以看到, 随着δ的增加Wh有所增加, 但δ取1后再增加δ将不会对Wh产生明显影响而是逐渐趋于一个稳定值. 从图5(b)中可以看到, 基于本文a和α的取值, Wh跨越了6个数量级, 故纵坐标采用对数坐标表示. 能够注意到小倾角时Wh对α的变化率远大于大倾角的情况, 表现在对数坐标系下的Wh-α曲线随着倾角的增加迅速变得平缓.
4.3 δ对Wh的影响
图6给出了融冰层液膜厚度δ对超滑速度Wh的影响曲线. 其中, 图6(a)为斜面倾角为15°时, Wh在不同a值下随δ的变化曲线, 图6(b)取a = 0.5, Wh在不同α值下随δ的变化曲线. 由于δ的改变对Wh的影响跨越了近4个数量级, 此部分采用对数坐标系对相关曲线规律进行分析. 从两个子图中均能看到一个明确的规律, 即随着δ的增加, Wh呈现递增趋势, 而当δ增加到某一个值后, Wh不再继续增加而趋于某一渐近解. 该特征已经在前文的渐近解析解说明里给出数学解释, 此处不再赘述. 从流体物理角度分析, 在δ较小时, 超疏水表面滑移效应随着δ的增加而变显著, 但随着δ的进一步增加, 在较大的流体体积或者流体层厚度下, 超疏水表面结构很难再对整体融冰层的滑移效应形成更大影响. 从两个子图中可以看到, 其渐近趋势出现在δ = 1的附近. 原因可以从双级数方程的结构中找到, 即当δ = 1时方程(17)中的系数$ \tanh ({k_n}\delta ) = \tanh (n\text{π} ) \to 1 $, 此时方程(17)已经趋近于渐近解方程(28). 由于本文无量纲长度量是以超疏水壁面的半周期为特征尺度, 由此表明融冰层液膜厚度达到超疏水壁面的半个周期时, 超疏水表面结构对冰层的下滑作用不再提供更多贡献.
为了验证渐近解析解的正确性, 图7给出了15°, 30°与60°这3个倾角下, 利用式(35)的Wh渐近函数绘制的Wh-a曲线与δ = 100时数值解所绘曲线之间的比较, 其中连续曲线为利用式(35)给出的结果, 离散标记为数值解. 从图中可以看到, 除了a = 0.01时数值解与渐近解析解出现较大偏差外, 其余取值数值解与渐近解析解几乎完全重合. 该结果一方面相互印证了数值解与渐近解析解函数结果的一致性, 另一方面也说明对于较大的δ可以利用式(35)直接给出较高精度的结果. 虽然融冰层液膜厚度可以控制(如采用增减超疏水表面的热通量, 或增降斜面倾角等措施), 但已有的理论研究表明[36], 实际问题存在δ $\gg $ 1的情况, 此时使用的渐近解函数完全能够满足精度要求. 出现偏差的情况可以从图7中的局部放大图看到, a = 0.01时数值解离散点落在连续曲线之外, 说明当超疏水表面几何尺度趋于极限时数值解计算精度较低, 分析可能的原因是滑移速度相邻的突变点距离过近导致空间分辨率不够.
![]()
图 7 不同倾角下的超滑速度的渐近解析解与数值解的比较Figure 7. Comparations between the asymptotically analytic solutions and the numerical solutions of hyperslip velocity under different inclination angles4.4 冰层下滑速度的进一步讨论
从式(19)和式(20)已知冰层下滑速度由两部分组成, 前者由满足无滑移条件的剪切流得到, 后者是超疏水表面部分滑移条件贡献的增量, 因此可以计算下滑速度增量占比来进一步分析超疏水表面作用下的下滑速度构成比重情况, 为此计算超滑速度与总的下滑速度之比$ r(\text{%} ) $, 如下
$$ r = \frac{{{W_h}}}{{{W_0} + {W_h}}} = \frac{\lambda }{{\delta + \lambda }} \times 100\text{%} $$ (36) 图8给出了速度增量占比与空气槽占比和融冰层液膜厚度的曲线(α = 15°). 其中, 图8(a)给出了δ取0.2 ~ 100共6个液膜厚度下r关于a的变化曲线, 图8(b)给出了a取0.1 ~ 0.9共5个空气槽占比下r关于δ的变化曲线. 从图8(a)中可以看到, r随a值的增大而呈非线性的单调递增规律, 在较大的空气槽占比跨度下(a从0.05跨越至0.95), 超滑速度对冰层总下滑速度的贡献差异显著. 以δ = 0.2为例, 超滑速度的占比从a = 0.05接近0的情况, 达到了到a = 0.95时超过60%的占比, 此时冰层下滑速度主要由超滑速度贡献. 但随着δ的增大, r逐渐减小. δ = 0.6时, 超滑速度在a = 0.95时的占比降至不足50%. 图8(b)给出了r随δ递增而降低的规律, 因δ取值跨度较大, 故横坐标采用对数值. 可以看到, 随着δ的指数级增加, 速度占比先快速递减而后变平缓, 并在趋于δ = 100的过程中趋近于0. 从对a = 0.1 ~ 0.9共5个不同值的曲线比较来看, a = 0.1时超疏水表面接近于无滑移边界, 速度增量占比不足2%, 此时超滑速度对总下滑速度的贡献非常有限. 而当a = 0.9时, 最大速度增量占比略高于60% (δ = 0.1), 此时冰层下滑速度主要来自超滑速度的贡献.
5. 结论
针对冰层沿倾斜超疏水表面下滑过程的融冰层液膜微剪切流建立了双Fourier级数方程, 对微剪切流场进行了分析, 研究了冰层下滑速度与超疏水壁面、倾角和液膜厚度之间的变化规律, 得到结论如下.
(1) 速度等值线数据表明, 融冰层液膜越薄或空气槽占比越大, 超疏水表面对微剪切流速度影响越大, 其流场偏离无滑移条件下的剪切流越显著. 滑移速度在气槽中心处达到最大值, 三相接触线处的速度梯度达到全流场极值.
(2) 冰层超滑速度随着气槽占比、倾角以及融冰层液膜厚度的增大而增大. Wh曲线随着a的增大呈现非线性的单调递增, a越大, Wh增加越快; 小倾角时Wh对α的变化率远大于大倾角的情况; δ的变化对于Wh存在渐近解, 渐近趋势出现在δ = 1附近. 基于本文的分析, δ ≥ 1时可利用渐近解析函数对冰层顺向下滑进行简化分析, 具有较为重要的实际意义.
(3) 分析了冰层下滑速度增量占总下滑速度的百分比情况, 结果表明占比r随a的增大非线性递增, 随δ的增大非线性减小. 在本文所取值范围内, 冰层下滑速度增量的最大占比超过60% (a = 0.95, δ = 0.2与a = 0.9, δ = 0.1), 此时冰层下滑速度主要来自超滑速度的贡献.
-
![]()
图 1 冰层下滑过程的冰层、融冰层以及超疏水表面3层结构模型
Figure 1. Three layer model including ice layer, motlen liquid layer and SH surface
![]()
图 4 超疏水表面的滑移速度梯度廓线
Figure 4. The distributions of slip velocity gradients on SH surfaces
![]()
图 7 不同倾角下的超滑速度的渐近解析解与数值解的比较
Figure 7. Comparations between the asymptotically analytic solutions and the numerical solutions of hyperslip velocity under different inclination angles
-
[1] Sakaue H. Special issue: Deicing and anti-icing of aircrafts. Aerospace, 2021, 8(3): 72 doi: 10.3390/aerospace8030072
[2] 朱永灿. 架空输电线路覆冰生长模型及其关键参数研究. [博士论文]. 西安: 西安电子科技大学, 2017 (Zhu Yongcan. Research on ice-coating growth model and key parameters of overhead transmission lines. [PhD Thesis]. Xi'an: Xidian University, 2017 (in Chinese) Zhu Yongcan. Research on ice-coating growth model and key parameters of overhead transmission lines. [PhD Thesis]. Xi'an: Xidian University, 2017 (in Chinese)
[3] 但汉成, 李亮, 刘扬等. 潮湿山区路面凝冰机理及路面抗滑性研究综述. 武汉理工大学学报(交通科学与工程版), 2014, 38(4): 719-724 (Dan Hancheng, Li Liang, Liu Yang, et al. Review of freezing mechanism of ice on pavement and skid-resistance performance of pavement in moist mountain area. Journal of Wuhan University of Technology (Transportation Science & Engineering), 2014, 38(4): 719-724 (in Chinese) Dan Hancheng, Li Liang, Liu Yang, et al. Review of freezing mechanism of ice on pavement and skid-resistance performance of pavement in moist mountain area. Journal of Wuhan University of Technology (Transportation Science & Engineering), 2014, 38(4): 719-724 (in Chinese)
[4] Tourkine P, Merrer ML, Quere D, et al. Delayed freezing on water repellent materials. Langmuir, 2009, 25(13): 7214-7216 doi: 10.1021/la900929u
[5] Farhadi S, Farzaneh M, Kulinich SA. Anti-icing performance of super- hydrophobic surfaces. Applied Surface Science, 2011, 257: 6264-6269 doi: 10.1016/j.apsusc.2011.02.057
[6] Antonini C, Innocenti M, Horn T. Understanding the effect of superhydrophobic coatings on energy reduction in anti-icing systems. Cold Regions Science and Technology, 2011, 67: 58-67
[7] Heydari G, Thormann E, Jarn M, et al. Hydrophobic surfaces: topography effects on wetting by supercooled water and freezing delay. Journal of Physical Chemistry C, 2013, 117(42): 21752-21762 doi: 10.1021/jp404396m
[8] Eberle P, Tiwari MK, Maitra T, et al. Rational nanostructuring of surfaces for extraordinary icephobicity. Nanoscale, 2014, 6(9): 4874-4881 doi: 10.1039/C3NR06644D
[9] Yeong YH, Milionis A, Loth E, et al. Atmospheric ice adhesion on water-repellent coatings: Wetting and surface topology effects. Langmuir, 2015, 31(48): 13107-13116 doi: 10.1021/acs.langmuir.5b02725
[10] Rahimi M, Afshari A, Thormann E. Effect of aluminum substrate surface modification on wettability and freezing delay of water droplet at subzero temperatures. ACS Applied Materials & Interfaces, 2016, 8(17): 11147-11153
[11] Nguyen TB, Park S, Lim H. Effects of morphology parameters on anti-icing performance in superhydrophobic surfaces. Applied Surface Science, 2018, 435: 585-591 doi: 10.1016/j.apsusc.2017.11.137
[12] Ding B, Wang H, Zhu X, et al. Water droplet impact on superhydrophobic surfaces with various inclinations and supercooling degrees. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2019, 138: 844-851 doi: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2019.04.106
[13] Yang K, Liu Q, Lin ZH, et al. Investigations of interfacial heat transfer and phase change on bioinspired superhydrophobic surface for anti-icing/de-icing. International Communications in Heat and Mass Transfer, 2022, 134: 105994 doi: 10.1016/j.icheatmasstransfer.2022.105994
[14] Wang P, Zhao H, Zheng BY, et al. A Super-robust armoured superhydrophobic surface with excellent anti-icing ability. Journal of Bionic Engineering, 2023, 20: 1891-1904 doi: 10.1007/s42235-023-00381-7
[15] Zhao L, Shen Y, Liu W, et al. Solid-liquid-ice interfaces for anti-icing materials. Surfaces and Interfaces, 2023, 42: 103510 doi: 10.1016/j.surfin.2023.103510
[16] Guo C, Liu K, Ma C, et al. Constructing a hierarchical coating with photothermal superhydrophobic property by spraying and modification on polyurethane foam for anti-icing and deicing. Applied Thermal Engineering, 2024, 236: 121907 doi: 10.1016/j.applthermaleng.2023.121907
[17] 郑海坤, 常士楠, 赵媛媛. 超疏水/超润滑表面的防疏冰原理及其应用. 化学进展, 2017, 29(1): 102-118 (Zheng Haikun, Chang Shinan, Zhao Yuanyuan. Anti-ice dephobic mechanism and application of superhydrophobic/superlubricated surface. Progress in Chemistry, 2017, 29(1): 102-118 (in Chinese) Zheng Haikun, Chang Shinan, Zhao Yuanyuan. Anti-ice dephobic mechanism and application of superhydrophobic/superlubricated surface. Progress in Chemistry, 2017, 29(1): 102-118 (in Chinese)
[18] 高淑蓉, 焦丽丽, 易孟超等. 疏水/超疏水表面防/除冰原理及其研究进展. 空气动力学学报, 2021, 39(2): 151-160 (Gao Shurong, Jiao Lili, Yi Mengchao, et al. Mechanism and research progress of anti/de-icing using hydrophobic/superhydrophobic surfaces. Acta Aerodynamica Sinica, 2021, 39(2): 151-160 (in Chinese) doi: 10.7638/kqdlxxb-2020.0179 Gao Shurong, Jiao Lili, Yi Mengchao, et al. Mechanism and research progress of anti/de-icing using hydrophobic/superhydrophobic surfaces. Acta Aerodynamica Sinica, 2021, 39(2): 151-160 (in Chinese) doi: 10.7638/kqdlxxb-2020.0179
[19] Golovin K, Dhyani A, Thouless MD, et al. Low-interfacial toughness materials for effective large-scale deicing. Science, 2019, 364: 371-375 doi: 10.1126/science.aav1266
[20] Rothstein JP. Slip on superhydrophobic surfaces. Annual Review Fluid Mechanics, 2010, 42: 89-90 doi: 10.1146/annurev-fluid-121108-145558
[21] Laugae E, Howard HA. Effective slip in pressure-driven Stokes flow. Journal of Fluid Mechanics, 2003, 489: 55-77 doi: 10.1017/S0022112003004695
[22] Ou J, Perot B, Rothstein JP. Laminar drag reduction in microchannels using ultrahydrophobic surfaces. Physics of Fluids, 2004, 16: 4635 doi: 10.1063/1.1812011
[23] Priezjev NV, Darhuber AA, Troian SA. Slip behavior in liquid films on surfaces of patterned wettability: Comparison between continuum and molecular dynamics simulations. Physical Review E, 2005, 71: 041608 doi: 10.1103/PhysRevE.71.041608
[24] Sbragaglia M, Prosperetti A. A note on the effective slip properties for microchannel flows with ultrahydrophobic surfaces. Physics of Fluids, 2007, 19: 043603 doi: 10.1063/1.2716438
[25] Bazant MZ, Vinogradova OI. Tensorial hydrodynamic slip. Journal of Fluid Mechanics, 2008, 489: 125-134
[26] Feuillebois F, Bazant MZ, Vinogradova OI. Effective slip over superhydrophobic surfaces in thin channels. Physical Review Letter, 2009, 102: 026001 doi: 10.1103/PhysRevLett.102.026001
[27] Teo CJ, Khoo BC. Analysis of Stokes flow in microchannels with superhydrophobic surfaces containing a periodic array of micro-grooves. Microfluids and Nanofluids, 2009, 7: 353-382 doi: 10.1007/s10404-008-0387-0
[28] Bazant MZ, Vinogradova OI. Effective slip in pressure-driven flow past super-hydrophobic stripes. Journal of Fluid Mechanics, 2010, 652: 489-499
[29] Asmolov ES, Vinogradova OI. Eective slip boundary conditions for arbitrary one-dimensional surfaces. Journal of Fluid Mechanics, 2012, 706: 108-117
[30] Zhang JX, Yao ZH, Hao PF. Drag reductions and the air-water interface stability of superhydrophobic surfaces in rectangular channel flow. Physical Review E, 2016, 94: 053117 doi: 10.1103/PhysRevE.94.053117
[31] Teo CJ, Khoo BC. Flow past superhydrophobic surfaces containing longitudinal grooves: effects of interface curvature. Microfluids and Nanofluids, 2010, 9: 499-511 doi: 10.1007/s10404-010-0566-7
[32] Crowdy DG. Analytical formulae for longitudinal slip lengths over unidirectional superhydrophobic surfaces with curved menisci. Journal of Fluid Mechanics, 2016, 791: R7 doi: 10.1017/jfm.2016.88
[33] Kirk TL, Hodes M, Papageorgiou DT. Nusselt numbers for Poiseuille flow over isoflux parallel ridges accounting for meniscus curvature. Journal of Fluid Mechanics, 2017, 811: 315-349 doi: 10.1017/jfm.2016.760
[34] Crowdy DG. Perturbation analysis of subphase gas and meniscus curvature eects for longitudinal fows over superhydrophobic surfaces. Journal of Fluid Mechanics, 2017, 822: 307-326 doi: 10.1017/jfm.2017.274
[35] Hodes M, Kirk TL, Karamanis G, et al. Effect of thermocapillary stress on slip length for a channel textured with parallel ridges. Journal of Fluid Mechanics, 2017, 814: 301-324 doi: 10.1017/jfm.2017.8
[36] Kozak Y. Theoretical analysis of close-contact melting on surperhydrophobic surfaces. Journal of Fluid Mechanics, 2022, 943: A39 doi: 10.1017/jfm.2022.458
[37] 季顺迎. 冰工程中的关键力学问题专题序. 力学学报, 2021, 53(3): 639-640 (Ji Shunying. Preface for special issure of key mechanical problems in ice engineering. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2021, 53(3): 639-640 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-21-096 Ji Shunying. Preface for special issure of key mechanical problems in ice engineering. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2021, 53(3): 639-640 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-21-096
[38] Kamrine K, Bazant MZ, Howard HA. Effective slip boundary conditions for arbitrary periodic surfaces: The surface mobility tensor. Journal of Fluid Mechanics, 2017, 658: 409-437
[39] Sneddon IN. Mixed Boundary Value Problems in Potential Theory. North-Holland, Amsterdam, 1966
下载:
计量
- 文章访问数: 82
- HTML全文浏览量: 9
- PDF下载量: 54
