CRYSTAL PLASTICITY FINITE CELL SELF-CONSISTENT CLUSTERING ANALYSIS METHOD FOR METAL ADDITIVE MANUFACTURING
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摘要: 金属增材制造是一种先进的数字化制造技术, 在高性能及复杂构件快速制备方面具有独特的优势. 然而, 其成形材料微观组织复杂且存在不可避免的制造缺陷, 导致实际制造材料性能与设计性能存在偏差, 亟需发展考虑真实材料微观组织和缺陷的力学性能高效预测方法. 针对该问题, 发展了晶体塑性有限胞元-自洽聚类分析方法, 包括离线数据准备和在线快速计算两个阶段. 其中, 在离线阶段, 采用晶体塑性有限胞元法和聚类算法建立实际微观组织代表体元离散数据; 在线阶段, 采用基于加权余量-子域法的自洽聚类分析和考虑Hall-Petch效应的晶体塑性模型求解了代表体元问题的Lippmann-Schwinger方程, 进而通过应力应变均匀化获得材料的宏观等效力学性能. 通过理想及含不规则孔隙的多晶算例验证了所提出方法的计算精度及高效性; 进一步, 采用该方法研究了激光选区熔融增材制造IN625合金力学性能, 并揭示了工艺参数对其力学性能的影响. 结果表明, 文章工作为金属增材制造成形材料力学性能预测提供了一种高效的计算方法.Abstract: Metal additive manufacturing (AM) is an advanced digital manufacturing technology with distinctive advantages in the rapid fabrication of intricate and high-performance parts. However, there are deviations between the mechanical properties of the as-built material and their intended design counterparts due to the complex microstructure of the fabricated material and the inevitable defects that occur during the manufacturing process. To accurately predict the material properties, employing an efficient numerical method that considers the actual microstructural features is crucial. In this study, a crystal plasticity finite cell-self-consistent clustering analysis (CPFC-SCA) method is proposed. It consists of two distinct calculation stages: an offline stage for data preparation and an online stage for rapid calculations. During the offline stage, the CPFC and a clustering method are integrated to discretize the representative volume element (RVE) of the as-built material microstructure. Subsequently, during the online stage, the SCA derived from the subdomain weighted residual formulation and crystal plasticity involving the Hall-Patch effect are utilized to solve the Lippmann-Schwinger equation of the RVE, and the numerical results are further utilized to determine the effective mechanical properties through the homogenization of stress and strain. Several numerical examples, RVEs with and without the irregular void, are presented to showcase the accuracy and efficiency of the proposed method. Furthermore, we applied the proposed method to numerically address the as-built mechanical properties of additively manufactured IN625 using selective laser melting, and the numerical results shed light on the relationship between the process parameters and the mechanical properties. It is demonstrated that the proposed method is a promising numerical simulation tool with high efficiency in predicting the mechanical properties of materials fabricated by metal additive manufacturing.
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引 言
金属增材制造(additive manufacturing, AM, 又称3D 打印)技术采用激光、电子束和电弧等高能热源将金属粉末或金属丝熔融, 按照逐层逐道堆积的方式实现构件的快速制造,被誉为一种低成本、短周期和设计制造一体化的变革性制造技术[1-2] . 该技术在制造形状复杂、材料昂贵的金属零部件和小批量定制生产方面具有独特的优势, 因而在航空、航天、核电和医疗等领域有巨大的应用空间和发展前景[3-4] . 然而, AM成形材料具有晶粒形貌和空间分布复杂的微观组织以及难以避免的孔隙等工艺缺陷[5-6], 导致其实际成形材料性能与设计性能存在偏差且不易控制. 因此, 亟待对实际制造材料“微观组织-力学性能”关系这一核心科学问题开展深入系统的研究[7].
金属增材制造过程涉及强非线性多尺度多物理场耦合问题[8-9], 材料凝固微观组织与成形过程工艺参数密切相关, 进而导致材料力学性能迥异[10-11]. 数值模拟是研究上述问题的一种重要且有效的手段[12-13]. 针对不同工艺参数下成形材料力学性能预测问题, 亟需发展能够考虑真实材料微观组织的高效数值模拟方法.
目前考虑材料微观组织的力学性能预测方法主要包括直接数值模拟方法和数据驱动方法. 两类算法通常取材料的代表体元(representative volume elemet, RVE)进行分析, 以预测其宏观等效力学性能. 其中, 直接数值模拟方法主要包括晶体塑性有限元法(crystal plasticity finite element method, CPFEM)和晶体塑性快速傅里叶变换法(crystal plasticity fast Fourier transform, CPFFT). CPFEM可处理具有复杂几何形状问题 [14]. Zhang等[15]采用CPFEM模拟了13Cr4NiMo高强钢拉伸过程中形变诱导马氏体的转变和微观力学行为; 朱继宏等[16]应用CPFEM分析了增材制造316L不锈钢高周疲劳性能; 易敏等[17]采用CPFEM预测了激光选区熔融增材制造316L不锈钢多晶材料的宏观力学响应及其与工艺参数的关联. 然而, CPFEM采用随体网格离散求解时, 在相对边界面上离散时受限于周期性边界条件(periodic boundary condition, PBC)的网格匹配约束, 并且处理具有复杂几何内部缺陷RVE时存在高质量网格离散困难, 若采用体素网格则存在离散规模大、计算耗时的挑战. 相比于CPFEM, CPFFT只能采用规则化网格, 宜于处理具有规则形状的RVE问题. Lebensohn等[18]应用CPFFT分析了铜多晶材料中的微观变形机制, 分析了非各向同性弹塑性行为; Eghtesad等 [19]采用CPFFT并结合位错硬化模型研究了不同晶粒尺寸下的多晶镍材料力学行为. 虽然CPFFT计算效率高于CPFEM, 但是前者需要RVE所包含的微观组织满足周期性空间分布. 数据驱动方法主要以自洽聚类分析方法(self-consistent clustering analysis, SCA)[20]为代表. 该算法主要针对复合材料力学性能分析, 目前在金属增材制造成形材料力学性能分析上有初步的应用[21-22]. SCA分离线和在线两个阶段计算, 其数据驱动属性主要体现在离线阶段的聚类划分. 为此, SCA通常采用FEM进行RVE的线弹性高保真计算以获得高斯点应变集中张量, 进一步通过机器学习聚类算法对单元高斯点进行聚类离散. 相对于另外两种算法, SCA在保证计算精度的同时, 具有较高的计算效率. 然而, 其离线计算也面临CPFEM的同样局限.
综上, 针对考虑微观组织的成形构件力学性能预测问题和已有算法存在的局限性, 本文发展了晶体塑性有限胞元-自洽聚类分析方法. 其中有限胞元法(finite cell method, FCM)是一种嵌入域算法 [23-24], 避免了由结构复杂几何形状或几何特征(例如孔隙和夹杂等)引起的网格划分困难. 将有限胞元法与自洽聚类分析方法相结合, 解决离线阶段耗时且容易出错的边界匹配网格的生成需求; 结合晶体塑性本构, 考虑真实材料微观组织所决定的材料宏观力学性能. 通过一系列数值算例验证了该方法的计算精度和高效性, 进而基于该方法研究了选区激光熔融(selective laser melting, SLM)增材制造IN625合金的力学性能, 揭示了激光功率以及扫描速度对成形材料力学性能的影响.
1. 有限胞元-自洽聚类分析方法
本文所发展的晶体塑性有限胞元-自洽聚类方法(crystal plasticity finite cell-self-consistent clustering analysis method, CPFC-SCAM)的基本框架如图1所示, 包括晶体塑性本构、有限胞元法和自洽聚类分析方法三部分内容. 具体而言, 该方法可划分为离线和在线计算两个阶段. 其中, 离线阶段包括采用FCM对RVE进行高保真线弹性分析, 并基于应变集中张量和聚类算法对材料域聚类离散以获得离线数据 库;在线阶段采用自洽聚类分析方法并结合晶体塑性本构求解Lippmann-Schwinger (L-S)方程以获得待求问题数值解. 本节将主要介绍离线和在线阶段的数值模拟方法.
1.1 有限胞元法
有限胞元法通过虚拟域将真实材料域扩展为一个规则的材料域, 从而采用规则化网格离散求解, 避免了复杂的网格生成过程[24]. 其中, 采用惩罚因子识别真实材料域, 并通过自适应高斯积分方案和高阶形函数保证求解精度, 具体介绍如下.
1.1.1 控制方程
考虑一个具有含有复杂内部孔洞的准静态问题, 如图2所示. 其中, ${\varOmega _e}$为物理域, $\varGamma $为材料域边界. 该问题的控制方程如下
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图 2 有限胞元法基本思想: 采用虚拟域将物理域拓展到规则形状的扩展域, 规则扩展域通过结构化网格离散Figure 2. The basic idea of finite cell method: the physical domain${\text{ }}{\varOmega _{{{e }}}}$is augmented by a fictitious domain${\text{ }}{\varOmega _{{v}}}{\text{ }}$to form a regular domain $\varOmega $that is discretized by a structured mesh$$\left.\begin{split} & {\nabla \cdot {\boldsymbol{\sigma}} + {\boldsymbol{b}} = {\boldsymbol{0}}} \\ & {{\boldsymbol{\varepsilon}} = \frac{1}{2}\left[ {\nabla {\boldsymbol{u}} + {{(\nabla {\boldsymbol{u}})}^{\mathrm{T}}}} \right]} \\ & {{\boldsymbol{\sigma}} = {\boldsymbol{\sigma}} ({\boldsymbol{C}},{\boldsymbol{\varepsilon}} ,{\boldsymbol{\sigma}} ,{\text{etc}}{\text{. }})} \\ & {{{\left. {\boldsymbol{u}} \right|}_{{{{\varGamma }}_{\text{D}}}}} = \hat {\boldsymbol{u}}} \\ & {{{\left. {{\boldsymbol{\sigma}} \cdot {\boldsymbol{n}}} \right|}_{{{{\varGamma }}_{\text{N}}}}} = \hat {\boldsymbol{t}}} \end{split}\right\} $$ (1) 式中, ${{\boldsymbol{\sigma}} }$为应力张量, ${{\boldsymbol{\varepsilon}} }$为应变张量, ${{\boldsymbol{b}}}$为体力, ${{\boldsymbol{C}}}$为材料弹性系数矩阵, ${{\boldsymbol{n}}}$为边界的法向量, ${\hat {\boldsymbol{u}}}$为在Dirichlet边界上(${{{\varGamma }}_{\text{D}}}$)给定的位移, ${\hat t}$为在Neumann边界上(${{{\varGamma }}_{\text{N}}}$)给定的面力.
1.1.2 离散方程
本节以图2所示问题为例推导FCM的离散方程. 通过虚拟域${\varOmega _v}$将具有不规则形状的物理域${\varOmega _{{e}}}$进行拓展, 形成具有规则形状的扩展域$\varOmega $, 从而可采用结构化网格进行离散. 针对引入的虚拟域, 采用指示函数$\alpha (x)$作为其材料属性的乘法因子, 并定义如下
$$ \alpha (x) = \left\{\begin{split} & 1,\quad{\forall x \in {\varOmega _{e}}} \\ & {{{10}^{ - {q}}}},\quad{\forall x \in {\varOmega _{v}}} \end{split} \right. $$ (2) 式中, ${q}$为与问题相关的经验参数, 取值范围为[5,10]以保证$\alpha (x) \ll 1$. 因此, 可通过式(2)将控制方程(1)推广到扩展域上, 进一步采用加权余量-伽辽金法(于本问题而言也是变分法)可得其等效积分弱形式为
$$ {B}({{\boldsymbol{u}}},{{\boldsymbol{v}}}) = {{F}}({{\boldsymbol{v}}}) $$ (3) 其中
$$\qquad {B}({{\boldsymbol{u}}},{{\boldsymbol{v}}}) = {{\displaystyle \int }}_{\varOmega}{({\boldsymbol{Lv}})}^{{\mathrm{T}}}\alpha {{\boldsymbol{C}}}({\boldsymbol{Lu}}){\mathrm{d}}V $$ (4) $$ \qquad {F}({{\boldsymbol{v}}}) = {{\displaystyle \int }}_{\varOmega}{{{\boldsymbol{v}}}}^{{\mathrm{T}}}\alpha {{\boldsymbol{b}}}{\mathrm{d}}V + {{\displaystyle \int }}_{{ \varGamma }_{\text{N}}}{{{\boldsymbol{v}}}}^{\mathrm{T}}{\hat {\boldsymbol{t}}}{\mathrm{d}}A $$ (5) 式中, ${\boldsymbol{L}}$为一阶算子矩阵, ${{\boldsymbol{v}}}$为试探函数. 在扩展域上, 采用曲面积分施加Newman边界条件, 通过罚函数法实现Dirichlet边界条件. 采用具有$n$个节点的阶谱单元离散扩展域, 则单元内任一点位移可近似为
$$ {\boldsymbol{u }}= \sum _{i = 1}^{n}{N}_{i}{{\boldsymbol{u}}}_{i} $$ (6) 式中, 下标$i$表示单元节点, ${{{\boldsymbol{u}}}_i}$为单元结点位移向量, ${N_i}$为基于勒让德多项式的阶谱形函数, 详见附录A.
将式(6)代入式(4)和式(5), 并结合式(3)可得FCM离散方程为
$$ {{\boldsymbol{K}}}{\boldsymbol{U}} = {\boldsymbol{F}} $$ (7) 式中, ${{\boldsymbol{K}}}$为全局刚度矩阵, ${{\boldsymbol{U}}}$为结点位移列向量, ${{\boldsymbol{F}}}$为载荷列向量.
FCM采用两套独立的网格求解方程(7). 其中, 一套是求解网格, 用于构建结点位移列向量, 不解析真实材料域, 如图3中黑线所示; 另一套则是精细积分网格, 如图3中蓝线所示, 以获得精确的刚度矩阵. 针对扩展域离散网格中被真实材料边界划分的单元(称为切割胞元), 该积分网格采用基于二维4叉树(二维问题)或者三维8叉树(三维问题)的自适应积分算法, 形成多级分解组合高斯积分. 以图3中红色虚线圆圈内的单元为例, 各个子单元中含有相应的高斯积分点. 其中, 位于物理域内的高斯积分点标为红色, 位于虚拟域中的则标为蓝色. 另外, $k$表示细分深度, 原始胞元$k = 0$. 对胞元进行是否被边界分割的判断, 若被分割则胞元进一步被细分为大小相同的4个子胞元, 对应细分深度为$k + 1$, 未被分割的胞元则分配相应数量的高斯积分点, 直至达到预设的细分深度. 从而实现真实材料域解析, 并确保积分精度.
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图 3 二维4叉树积分网格, 其中局部放大图中的红点表示域内积分点, 蓝点为虚拟域积分点Figure 3. 2D quadtree integration mesh for FCM and the distribution of the integration points, where the points in red and blue are located in the physical and fictitious domains, respectively1.2 自洽聚类分析方法
自洽聚类分析方法是一种基于RVE问题L-S控制方程的数据驱动算法. 与上述FCM不同, SCA的基本原理是加权余量-子域法, 并采用无监督学习聚类算法对材料域进行子域划分以离散求解L-S方程(这也是其数据驱动属性的由来). 因此, 本节采用加权余量-子域法推导SCA离散方程, 并且下文中“子域”和“聚类”具有相同含义可交互使用.
1.2.1 代表体元问题的控制方程
非均质材料RVE问题的控制方程为
$$ \left.\begin{split} & \nabla \cdot {{\boldsymbol{\sigma}} }({\boldsymbol{x}}) = {\boldsymbol{0}},\quad \forall {{\boldsymbol{x}}} \in {\varOmega } \\ & {\boldsymbol{\sigma}} = {\boldsymbol{\sigma}} ({\boldsymbol{C}},{\boldsymbol{\varepsilon}} ,{\boldsymbol{\sigma}} ,{\text{etc}}{\text{. }}) \\ & {\boldsymbol{\varepsilon}} = \frac{1}{2}\left[ {\nabla {\boldsymbol{u}} + {{(\nabla {\boldsymbol{u}})}^{\mathrm{T}}}} \right] \\ & {{\boldsymbol{u}}^{j + }} - {{\boldsymbol{u}}^{j - }} = {{\boldsymbol{\varepsilon}} ^0} \cdot \Delta {{\boldsymbol{x}}^j} \end{split} \right\} $$ (8) 式中, 上标$ j + $和$ j - $分别表示沿$ j $轴的正方向和负方向的一对平行相对边界面, $ {{\boldsymbol{\varepsilon}} ^0} $为RVE的平均应变(也称远场应变), $ \Delta {{\boldsymbol{x}}^j}{\text{ }} $为沿$ j $轴相对边界面的坐标差值. 为建立L-S方程, 将应力改写为
$$ {{\boldsymbol{\sigma}} }\left( {\boldsymbol{x}} \right) = {{\boldsymbol{C}}^*}:{\boldsymbol{\varepsilon}} \left( {\boldsymbol{x}} \right) {{ + }}{\boldsymbol{p}}({\boldsymbol{x}}) $$ (9) 式中, $ {{{\boldsymbol{C}}}^*} $为一参考的各向同性材料的弹性系数矩阵, $ {\boldsymbol{p}}({\boldsymbol{x}}) $为极化应力, 乃真实应力与参考应力$ {{\boldsymbol{C}}^0}:{{\boldsymbol{\varepsilon}} }\left( {\boldsymbol{x}} \right) $之差. 将式(9)代入式(8), 则可得L-S 方程[20]为
$$ {\boldsymbol{\varepsilon}} ({\boldsymbol{x}}) + {{\displaystyle \int }}_{ \varOmega }{{\boldsymbol{\varPhi}} }^{*}\left({\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{x}}}^{\prime }\right):{\boldsymbol{p}}({{\boldsymbol{x}}}^{\prime }){\mathrm{d}}{{\boldsymbol{x}}}^{\prime }-{ {\boldsymbol{\varepsilon}} }^{0} = {\boldsymbol{0}} $$ (10) 式中, $ {{\boldsymbol{\varPhi }}^*} $为对应于$ {{\boldsymbol{C}}^*} $的RVE问题格林函数, 在傅里叶空间下的表达式为
$$ {{\boldsymbol{\hat \varPhi }}^*}({{\boldsymbol{\xi}} }) = \frac{1}{{4{\mu ^0}}}{{\boldsymbol{\hat \varPhi }}^1_{ijkl}}({{\boldsymbol{\xi}} }) + \frac{{{\lambda ^0} + {\mu ^0}}}{{{\mu ^0}\left( {{\lambda ^0} + 2{\mu ^0}} \right)}}{{\boldsymbol{\hat \varPhi }}^2_{ijkl}}({{\boldsymbol{\xi}} }) $$ (11) 其中
$$ \left.\begin{split} & {\boldsymbol{\hat \varPhi }}_{ijkl}^1({{\boldsymbol{\xi}} }) = \frac{1}{{|{{\boldsymbol{\xi}} }{|^2}}}\left( {{\delta _{ik}}{\xi _j}{\xi _l} + {\delta _{il}}{\xi _j}{\xi _k} + {\delta _{jl}}{\xi _i}{\xi _k} + {\delta _{jk}}{\xi _i}{\xi _l}} \right) \\ & {\boldsymbol{\hat \varPhi }}_{ijkl}^2({{\boldsymbol{\xi}} }) = - \frac{{{\xi _i}{\xi _j}{\xi _k}{\xi _l}}}{{|{{\boldsymbol{\xi}} }{|^4}}} \end{split} \right\}$$ (12) 式中, $ {\boldsymbol{\xi}} $是傅里叶空间中对应时域空间${\boldsymbol{x}}$的坐标, $ {\delta _{ij}} $为克罗内克尔符号, ${\lambda ^0}$和${\mu ^0}$是对应于$ {{\boldsymbol{C}}^*} $的拉梅常数.
为便于离散求解, 将式(9)代入式(10), 进一步给出增量形式的L-S方程
$$ \Delta {\boldsymbol{\varepsilon}} ({\boldsymbol{x}}) + {{\displaystyle \int }}_{ \varOmega }{{\boldsymbol{\varPhi}} }^{*}\left({\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{x}}}^{\prime }\right):[\Delta {\boldsymbol{\sigma}} ({{\boldsymbol{x}}'})-{{\boldsymbol{C}}}^{*}:\Delta \varepsilon ({{\boldsymbol{x}}'})]{\mathrm{d}}{{\boldsymbol{x}}}^{\prime }-\Delta { {\boldsymbol{\varepsilon}} }^{0} = {\boldsymbol{0}} $$ (13) 值得注意的是, L-S积分方程的远场应变是给定值, 从而可通过控制远场应变或应力实现RVE问题的载荷施加, 即
$$ {{\displaystyle \int }}_{ \varOmega }\Delta {\boldsymbol{\varepsilon}} ({\boldsymbol{x}}){\mathrm{d}}{\boldsymbol{x}} = V\Delta {{\boldsymbol{\varepsilon}} }^{0} $$ (14) 式中$ V $为RVE体积.
综上, 通过引入各向同性线弹性参考材料, 将RVE控制方程(8)转换为以应变为未知量且包含格林函数解的L-S方程, 从而有助于降低问题精确求解的离散规模.
1.2.2 离散方程
采用加权余量-子域法对控制方程(10)进行离散求解. 假设采用$ N $个子域离散RVE, 相应的权函数$ {\chi _I}({\boldsymbol{x}}) $ 取为
$$ {\chi _I}({\boldsymbol{x}}) = \left\{ \begin{split} & 1,\quad{{\boldsymbol{x}} \in {{{\varOmega }}_I}} \\ & 0,\quad{{\boldsymbol{x}} \notin {{{\varOmega }}_I}} \end{split} \right. $$ (15) 相应的场变量$ {\boldsymbol{\beta}} ({\boldsymbol{x}}) $(即$ {\boldsymbol{\sigma}} ({\boldsymbol{x}}) $和$ {\boldsymbol{\varepsilon}} ({\boldsymbol{x}}) $)近似函数为
$$ {\boldsymbol{\beta}} ({\boldsymbol{x}}) = \sum _{I = 1}^{N}{{\boldsymbol{\beta}} }_{I}{\chi }_{I}({\boldsymbol{x}}) $$ (16) 式中, $ {{\boldsymbol{\beta}} _I} $表示子域内的局部变量且在该子域内均匀分布. 依据加权余量法, 对式(10)在全域内进行基于式(13)的加权余量积分可得
$$\begin{split} &{{\displaystyle \int }}_{ \varOmega }\text{ }{\chi }_{I}({{\boldsymbol{x}}})\Delta {\boldsymbol{\varepsilon}} ({\boldsymbol{x}}){\mathrm{d}}{{\boldsymbol{x}}}-\Delta { {\boldsymbol{\varepsilon}} }^{0}{V}_{I}+{{\displaystyle \int }}_{ \varOmega }{{\displaystyle \int }}_{ \varOmega }\text{ }{\chi }_{I}({{\boldsymbol{x}}}){{\boldsymbol{\varPhi}} }^{*}\left({\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{x}}}^{\prime }\right):\\ &\qquad [\Delta {\boldsymbol{\sigma}} ({{\boldsymbol{x}}'})-{{\boldsymbol{C}}}^{*}:\Delta {\boldsymbol{\varepsilon}} ({{\boldsymbol{x}} '})]{\mathrm{d}}{{\boldsymbol{x}}}^{\prime }{\mathrm{d}}{{{\boldsymbol{x}}}}_{I} = {\boldsymbol{0}}\end{split} $$ (17) 其中, $ {V_I} $表示子域$ I $的体积. 将近似函数式(16)代入式(17)中, 可得
$$\begin{split} &\Delta { {\boldsymbol{\varepsilon}} }_{I}\text{ }-\Delta { {\boldsymbol{\varepsilon}} }^{0} +{\displaystyle \sum _{J = 1}^{N}\left[\frac{1}{{V}_{I}}{{\displaystyle \int }}_{ \varOmega }{{\displaystyle \int }}_{ \varOmega }\text{ }{\chi }_{I}({{\boldsymbol{x}}}){\chi }_{J}({{\boldsymbol{x}}'}){{\boldsymbol{\varPhi}} }^{*}\left({\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{x}}}^{\prime }\right){\mathrm{d}}{{\boldsymbol{x}}}^{\prime }{\mathrm{d}}{{\boldsymbol{x}}}\right]:} \\ &\qquad \text{ }(\Delta { {\boldsymbol{\sigma}} }_{J}-{{\boldsymbol{C}}}^{*}:\Delta { {\boldsymbol{\varepsilon}} }_{J}) = {\boldsymbol{0}}\end{split}$$ (18) 进一步可简写为
$$ \Delta {{{\boldsymbol{\varepsilon}} }_I}{ } + \sum\limits_{J = 1}^N {{{{\boldsymbol{D}}}_{IJ}}:} {\text{ }}(\Delta {{{\boldsymbol{\sigma}} }_J} - {{\boldsymbol{C}}^*}:\Delta {{{\boldsymbol{\varepsilon}} }_J}) - \Delta {{{\boldsymbol{\varepsilon}} }^0} = {\boldsymbol{0}} $$ (19) 其中, $ {{\boldsymbol{D}}_{IJ}} $为相互作用张量且表达式如下
$$ {{\boldsymbol{D}}}_{IJ} = \frac{1}{{V}_{I}}{{\displaystyle \int }}_{ \varOmega }{{\displaystyle \int }}_{ \varOmega }{\chi }_{I}({\boldsymbol{x}}){\chi }_{J}\left({{\boldsymbol{x}}}^{\prime }\right){{\boldsymbol{\varPhi}} }^{*}\left({\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{x}}}^{\prime }\right){\mathrm{d}}{{\boldsymbol{x}}}^{\prime }{\mathrm{d}}{\boldsymbol{x}} $$ (20) 相应地, 增量形式的宏观应变约束如下
$$ \sum _{I = 1}^{N}{V}_{I}\Delta { \varepsilon }_{I} = V\Delta { \varepsilon }^{0} $$ (21) 式(19)和式(21)为SCA求解的离散方程, 具体包括离线和在线两个计算阶段.
1.2.3 离线阶段计算
离散阶段主要是完成材料域的子域离散和相互作用张量分量计算以形成离线数据库, 从而实现在线阶段的计算. SCA采用材料点应变集中张量${\boldsymbol{A}}({\boldsymbol{x}})$对RVE进行聚类离散, 从而将力学行为相近的材料点聚为一类形成一个空间上不必相连的子域. 为此, 采用FCM获得RVE中各点应变集中张量分量, 通过无监督学习K-means方法对其聚类.
为获得RVE内材料点的应变集中张量, 采用FCM开展其线弹性响应高保真计算. 对于确定的RVE, 其域内各材料点应变集中张量定义如下
$$ {{{\boldsymbol{\varepsilon}} }^{{\text{micro}}}}({\boldsymbol{x}}) = {\boldsymbol{A}}({\boldsymbol{x}}):{{{\boldsymbol{\varepsilon}} }^{{\text{macro}}}} $$ (22) 式中, ${{{\boldsymbol{\varepsilon}} }^{{\mathrm{marco}}}}$为RVE宏观弹性应变, ${{{\boldsymbol{\varepsilon}} }^{{\mathrm{micro}}}}$为指定点的弹性微观应变. 对于三维问题, ${\boldsymbol{A}}({\boldsymbol{x}})$有36个独立分量, 可由正交加载条件下的RVE 6个线弹性响应数值模拟结果确定. 考虑到金属增材制造成形材料可能具有复杂的内部孔隙缺陷, 采用上述FCM求解该6个高保真计算工况. 进一步, 为了确保子域划分的精确性且不显著增加离线阶段弹性分析时间, 采用一套精细格栅点存储求出的应变场. 如图4所示, 首先将FCM积分网格中积分点的值外推得到求解网格各胞元对应结点处的值, 进而内插得到格栅点的应变值. 基于式(22)和6种载荷工况计算, 可获得格栅点所对应的应变集中张量值.
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图 4 离线计算: (a)高保真FCM离散模型; (b)格栅点; (c)聚类结果Figure 4. Calculation of the offline stage calculation, including (a) the high fidelity FCM model, (b) grid points, and (c) the clusters采用无监督学习算法对所获得的格栅点应变集中张量进行聚类, 并计算与子域相关的相互作用张量分量. 本文选用K-means 聚类[25]算法, 通过令每个离散点到聚类中心的距离最小来实现聚类, 其数学表达式为
$$ S = \mathrm{arg}\mathrm{min}\sum _{J = 1}^{N}\sum _{\text{ }n\in {S}^{\prime }}{\Vert {{\boldsymbol{A}}}_{n}-{\bar {{\boldsymbol{A}}}}_{J}\Vert }^{2} $$ (23) 式中, $ {\bar {\boldsymbol{A}}_J} $为第J个类中所有点应变集中张量的平均值, $ {{\boldsymbol{A}}_n} $为该类集合$ S' $中第n个点的应变集中张量. 通过指定子域数目$ N $, 完成RVE的聚类离散, 如图4所示, 以减少其离散规模(也称模型缩减).
由式(12)可知, 相互作用张量分量$ {\boldsymbol{\hat \varPhi }}_{ijkl}^1({{\boldsymbol{\xi}} }) $和$ {\boldsymbol{\hat \varPhi }}_{ijkl}^2({{\boldsymbol{\xi}} }) $仅与子域划分相关, 因此可在离线阶段进行计算存储以备在线计算调用. 依据聚类结果, 计算$ {\boldsymbol{\hat \varPhi }}_{ijkl}^1({{\boldsymbol{\xi}} }) $和$ {\boldsymbol{\hat \varPhi }}_{ijkl}^2({{\boldsymbol{\xi}} }) $, 从而根据${{\mathrm{Lame}}} $常数即可获得相互作用张量; 若参考材料刚度于在线阶段计算中发生改变, 也仅需更新${{\mathrm{Lame}}} $常数.
1.2.4 在线阶段
在线阶段依据聚类结果并根据控制方程开展具体物理问题分析. 如图5所示, 根据施加的应变载荷并结合具体的弹塑性本构模型, 求解式(19)和式(21), 最后通过均匀化方法获得宏观等效应力-应变关系.
对于非线性弹塑性本构关系, 式(19)是非线性方程. 因此, 采用Newton-Raphson (N-R)迭代法求解, 其残差为
$$ {{\boldsymbol{r}}}_{{}_{I}} = \Delta { {\boldsymbol{\varepsilon}} }_{I} + \sum _{J = 1}^{{N}_{c}}{{\boldsymbol{D}}}_{IJ}:\left(\Delta { {\boldsymbol{\sigma }}}_{J}-{{\boldsymbol{C}}}^{*}:\Delta { {\boldsymbol{\varepsilon}} }_{J}\right)-\Delta { {\boldsymbol{\varepsilon }}}^{0} $$ (24) 增量应变的更新为
$$ \{ \delta {{\boldsymbol{\varepsilon}} }\} = - {\{ {\boldsymbol{M}}\} ^{ - 1}}\{ {\boldsymbol{r}}\} $$ (25) 其中, $ {{\boldsymbol{M}}_{IJ}} $为系统雅可比矩阵并计算如下
$$ {{\boldsymbol{M}}}_{IJ} = \frac{\partial {{\boldsymbol{r}}}_{{}_{I}}}{\partial \Delta { {\boldsymbol{\varepsilon}} }_{J}} = {\delta }_{IJ}{\boldsymbol{\varPi}} + \sum _{J = 1}^{N}{{\boldsymbol{D}}}_{IJ}:\left({{\boldsymbol{C}}}_{J}-{{\boldsymbol{C}}}^{*}\right) $$ (26) 式中, $ {\delta _{IJ}} $为克罗内克符号, $ {\boldsymbol{\varPi }} $为4阶单位张量, $ {{\boldsymbol{C}}_J} $为第$J$个子域所属材料的切线刚度矩阵.
此外, 为保证计算精度和快速迭代收敛, 采用自洽方法实时更新参考材料弹性系数矩阵$ {{\boldsymbol{C}}^*} $. 对于各向同性材料, $ {{\boldsymbol{C}}^*} $更新如下
$$ \begin{split} &{{\boldsymbol{C}}}^{*}\to {{\boldsymbol{C}}}_{\text{eff}} = \frac{\partial \Delta {{\boldsymbol{\sigma}} }^{0}}{\partial \Delta {{\boldsymbol{\varepsilon}} }^{0}} = \sum _{I = 1}^{N}\text{ }{c}_{I}\frac{\partial \Delta {{\boldsymbol{\sigma}} }_{I}}{\partial \Delta {{\boldsymbol{\varepsilon}} }^{0}}=\\ &\qquad \sum _{I = 1}^{N}\text{ }{c}_{{}^{I}}\frac{\partial \Delta {{\boldsymbol{\sigma}} }_{I}}{\partial \Delta {{\boldsymbol{\varepsilon}} }_{I}}\frac{\partial \Delta {{\boldsymbol{\varepsilon}} }_{I}}{\partial \Delta {{\boldsymbol{\varepsilon}} }^{0}} = \sum _{I = 1}^{N}\text{ }{c}_{{}^{I}}{{\boldsymbol{C}}}_{I}^{\mathrm{tan}}:{{\boldsymbol{A}}}_{I}\end{split}$$ (27) 式中, ${c_I}$和$ {{\boldsymbol{A}}_I} $分别为第$I$个子域的体积分数以及应变集中张量, $ {\boldsymbol{C}}_I^{\tan } $为第$I$个子域所属材料的一致切线刚度矩阵. 对于各向异性材料, 需将等效刚度矩阵投影为最接近的各向同性刚度矩阵, 即
$$ {{\boldsymbol{C}}^*} = \left( {{\boldsymbol{J}}::{{\boldsymbol{C}}_{{\text{eff}}}}} \right){\boldsymbol{J}} + \frac{1}{5}\left( {{\boldsymbol{K}}::{{\boldsymbol{C}}_{{\text{eff}}}}} \right){\boldsymbol{K}} $$ (28) 式中, 4阶张量${{\boldsymbol{J}}}$和${{\boldsymbol{K}}}$的表达式为
$$ \left. \begin{split} & {{\boldsymbol{J}} = \frac{1}{3}({\boldsymbol{I}} \otimes {\boldsymbol{I}})} \\ & {{\boldsymbol{K}} = {\boldsymbol{\varPi}} - {\boldsymbol{J}}} \end{split} \right\} $$ (29) 其中, ${\boldsymbol{I}}$为二阶单位张量.
综上, 晶体塑性有限胞元-自洽聚类分析方法计算流程如图6所示. 离线阶段, 首先采用FCM对含有复杂内部几何结构的RVE进行线弹性响应求解, 获得分布均匀精细格栅点的应变集中张量; 其次, 采用K-means聚类算法对格栅点按给定数目聚类; 最后, 根据聚类结果计算相互作用张量分量. 在线阶段, 结合晶体塑性本构(见第2节), 采用自洽算法以及离线数据库更新参考材料的弹性系数矩阵和相互作用张量, 通过N-R迭代法求解每一加载步下的L-S离散方程.
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图 6 晶体塑性有限胞元-自洽聚类分析方法在线-离线两阶段求解示意图Figure 6. Schematic diagram of the CPFC-SCAM including the offline and online stages2. 晶体塑性本构模型
本节简要介绍RVE所采用的晶体塑性本构模型.
对于受连续变形梯度${\boldsymbol{F}}$的单晶体, 可将其乘法分解为弹性和塑性部分, 即
$$ {\boldsymbol{F}} = {{\boldsymbol{F}}^e} \cdot {{\boldsymbol{F}}^p} $$ (30) 其中, 塑性部分${{{\boldsymbol{F}}}^p}$将参考构型中的点映射到中间构形上, 中间构形再通过弹性部分${{\boldsymbol{F}}^e}$映射到当前构型上. 塑性变形${{\boldsymbol{F}}^p}$与滑移系上的位错运动相关, 其变化率为
$$ {\dot {\boldsymbol{F}}^p} = {\tilde {\boldsymbol{L}}^p} \cdot {{\boldsymbol{F}}^p} $$ (31) 式中, $ {\tilde {\boldsymbol{L}}^{p} } $为中间构形下的塑性速度梯度, 取决于晶体的滑移系位错, 即
$$ {\tilde{{\boldsymbol{L}}}}^{p} = \sum _{\alpha = 1}^{\text{ }{N}_{\text{slip}}}{\dot{\gamma }}^{(\alpha )}\left({\tilde{{\boldsymbol{s}}}}^{(\alpha )}\otimes \text{ }{\tilde{{\boldsymbol{n}}}}^{(\alpha )}\right) $$ (32) 式中, $ \otimes $表示并积, ${N_{{\mathrm{slip}}}}$为滑移系的数目, $ {\tilde {\boldsymbol{s}}^{(\alpha )}} $和$ {\tilde {\boldsymbol{n}}^{(\alpha )}} $分别为中间构形滑移系$ \alpha $的滑移方向和滑移面法向; $ {\dot \gamma ^{(\alpha )}} $为与滑移系$ \alpha $相关的剪切速率且计算如下
$$ {\dot \gamma ^{(\alpha )}} = {\dot a^{(\alpha )}}\left({\tau ^{(\alpha )}}/{g^{(\alpha )}}\right){\left| {{\tau ^{(\alpha )}}/{g^{(\alpha )}}} \right|^{n - 1}} $$ (33) 式中, ${\dot a^{(\alpha )}}$为滑移系$\alpha $中的参考剪切速率, $n$为应变速率敏感指数, ${g^{(\alpha )}}$为描述当前滑移系硬化的变量, ${\tau ^{(\alpha )}}$为分切应力.
分切应力${\tau ^{(\alpha )}}$可由柯西应力$ {\sigma } $和当前构型下的滑移系所确定, 即
$$ {\tau ^{(\alpha )}} = {{\boldsymbol{\sigma}} }:\left( {{{\boldsymbol{s}}^{(\alpha )}} \otimes {\text{ }}{{\boldsymbol{n}}^{(\alpha )}}} \right) $$ (34) 式中, $ {{\boldsymbol{s}}^{(\alpha )}} $和$ {{\boldsymbol{n}}^{(\alpha )}} $分别为当前构形下滑移系$ \alpha $的滑移方向和滑移面法向, 可由${{\boldsymbol{F}}^e}$确定. 柯西应力则由下式给出
$$ {{\boldsymbol{\sigma}} } = \frac{1}{{{J_e}}}\left[ {{{\boldsymbol{F}}^e} \cdot {{\boldsymbol{S}}^e} \cdot {{\left( {{{\boldsymbol{F}}^e}} \right)}^{\text{T}}}} \right] $$ (35) 式中, $ {{\boldsymbol{S}}^{e} } $为第二Piola-Kirchhoff应力, $ {J_e} $是$ {{\boldsymbol{F}}^e} $的行列式.
描述当前滑移系硬化的变量${g^{(\alpha )}}$的初值假设为滑移系$\alpha $上的初始临界剪应力${\tau _0}$, 其演化方程为
$$ {\dot{g}}^{(\alpha )} = \sum _{\beta = 1}^{{N}_{{\mathrm{slip}}}}{h}_{\alpha \beta }\left|{\dot{\gamma }}^{\beta }\right| $$ (36) 式中$ {h_{\alpha \beta }} $为滑移硬化模量. 其中, $ {h_{\alpha \alpha }} $与$ {h_{\alpha \beta }}\;(\alpha \ne \beta ) $分别为自身以及潜在硬化模量, 依次计算如下
$$ \left.\begin{split} & {h_{\alpha \alpha }} = h(\gamma ) = {h_0}{{\mathrm{sech}}^2}\left( {\left| {\frac{{{h_0}\gamma }}{{{\tau _s} - {\tau _0}}}} \right|} \right)\quad \\ & {h_{\alpha \beta }} = qh(\gamma )\quad (\alpha \ne \beta ) \end{split}\right\} $$ (37) 其中, $ {h_0} $和$ {\tau _s} $为滑移系$\alpha $上的初始硬化模量和饱和剪应力, $ q $为潜在硬化系数, $ \gamma $为所有滑移系上的累积剪切应变且计算如下
$$ \gamma = \sum _{\alpha = 1}^{{N}_{{\mathrm{slip}}}}{\int }_{0}^{t}\left|{\dot{\gamma }}^{\alpha }\right|{\mathrm{d}}t $$ (38) 此外, 为考虑晶粒尺寸效应, 采用Hall-Petch关系来确定初始屈服应力
$$ {\tau _0} = {\tau _\infty } + \frac{{{K_y}}}{{\sqrt d }} $$ (39) 式中, $ {K_y} $是Hall-Petch斜率, $ d $是晶粒等效直径, $ {\tau _\infty } $是与晶粒尺寸无关的常数.
综上, 对于确定的变形梯度${\boldsymbol{F}}$, 首先计算${{\boldsymbol{F}}^p}$, 进一步可计算${{\boldsymbol{F}}^e}$. 最后, 依据中间构型下的弹性刚度矩阵$ {{\tilde {\boldsymbol{C}}}} $, 由${{\boldsymbol{F}}^e}$可获得应力$ {{\boldsymbol{S}}^{e} } $如下
$$ {{\boldsymbol{S}}^{e} } = \frac{1}{2}{{\tilde {\boldsymbol{C}}}} \cdot \left[ {{{\left( {{{\boldsymbol{F}}^e}} \right)}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{F}}^e} - {\boldsymbol{I}}} \right] $$ (40) 3. 数值算例
本节包括两类算例, 分别是验证算例和应用算例. 其中, 验证算例包括理想多晶算例和含不规则孔隙的多晶算例, 以验证CPFC-SCAM高效性和计算精度. 应用算例针对SLM增材制造IN625合金, 分析成形材料微观组织不同加载方向下的力学行为以及工艺参数对其力学性能的影响. 本节所有算例均采用i7-10700K处理器单核计算.
3.1 多晶算例
该理想多晶算例设置如图7所示. 其由8个晶向不同但尺寸均为40 μm × 40 μm × 40 μm的晶粒组成; 各晶粒晶向采用欧拉角($\varphi $,$\theta $,$\psi $)表示, 并列于表1. 令材料为面心立方金属, 包括12个滑移系, 相关材料参数列于表2. 对RVE施加PBC, 并沿x方向上单轴拉伸至远场应变为2%, 以求解其等效的应力应变曲线.
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图 7 立方晶系材料代表体元, 其中数字表示晶粒编号, 颜色表示对应于左下角反极图的晶向Figure 7. A cubic lattice material RVE with eight grains, where the number indicates the grain ID and the color shows the crystallographic orientation corresponding to the lower left inverse pole figure表 1 由欧拉角表示的晶粒取向Table 1. The crystallographic orientation of each grain represented by Euler anglesGrain Euler angle$\varphi $ Euler angle$\theta $ Euler angle$\psi $ 1 71.3 59.8 169.7 2 172.9 68.6 14.7 3 65.2 3.7 24.5 4 122.6 35.4 95.1 5 68.9 38.5 125.1 6 14.1 1.2 87.6 7 1.1 19.4 43.1 8 68.4 42.2 81.1 Parameter Value elastic stiffness component C11/GPa 204.6 elastic stiffness component C22/GPa 137.6 elastic stiffness component C44/GPa 126.2 reference shear rate ${\dot a^{(\alpha )}}$ 50 strain rate sensitivity exponent $n$ 0.0005 initial hardening modulus h0/MPa 500 saturation stress τs/MPa 302 critical resolved shear stress τ0/MPa 180 分别采用CPFEM, CPFCM和CPFC-SCAM进行求解, 增量步数均设为100. 其中, CPFEM采用8节点六面体单元离散, 单元数为20 × 20 × 20, 并通过UMAT子程序在商业有限元软件中进行求解; CPFCM采用规则化网格, 胞元数为10 × 10 × 10, 形函数阶次p = 2, 8叉树细分深度k = 2, 通过自编程序求解. CPFC-SCAM的离线阶段所采用FCM的胞元间距为8 μm, 形函数阶次为2, 格栅点间距为1.6 μm; 图8(a)为离线阶段x方向加载下的弹性应变云图FCM计算结果, 图8(b)为指定每个晶粒划分为4个子域的聚类结果.
以CPFEM和CPFCM计算结果作为参考, 图9对比了不同离散设置下的CPFC-SCAM计算结果. 其中包括每个晶粒聚类为1, 4和32的CPFC-SCAM结果. 结果表明, CPFC-SCAM获得的应力-应变曲线在弹性阶段与参考解吻合一致, 在塑性阶段虽稍有差异但计算误差在5%以内, 如图9(b)所示. 其中, 单个晶粒聚类数为32时计算结果相对误差在2%以内. 然而, CPFEM耗时为910 s, CPFC-SCAM在每个晶粒内部聚类数分别为1, 4和32时的在线耗时依次为2, 6和221 s (离线耗时分别为29, 37和158 s). 针对该算例, 在保证计算精度误差小于5%的前提下, CPFC-SCAM采用总计32个离散子域的在线计算效率约为CPFEM的150倍.
进一步采用纯剪切算例进行算法验证. 对RVE施加xy方向剪切应变至2%, 分别采用CPFEM、CPFCM和CPFC-SCAM进行求解, 参数设置与上文相同. 计算结果如图10所示, 其中${\bar \varepsilon _{12}}$和${\bar \sigma _{12}}$分别代表xy方向上RVE平均应变和应力. 结果表明, 单个晶粒聚类数为32时计算结果相对误差在2%左右, 验证了算法的准确性.
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图 10 多晶材料剪切加载力学性能预测, 其中绿色区域为相对于CPFEM计算结果的5%误差区间Figure 10. Polycrystalline material’s mechanical property prediction under shear loading, where the error bands depicted in green correspond to 5% from the CPFEM result3.2 含不规则孔隙算例
本节考虑了含不规则孔隙的多晶RVE算例, 以验证所发展方法采用FCM相对于常用FEM进行离线阶段计算的优势. 算例具体模型如图11所示, 其中RVE边长为30 μm (不同颜色表示不同的晶粒, 内部黑色部分表示不规则孔隙), 沿x方向单轴拉伸至最大应变为2%, 材料参数如表2所示.
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图 11 含不规则孔隙的多晶RVE: (a)晶粒结构模型(黑色部分为孔隙), (b) CPFEM和(c) CPFCM计算的Mises应力云图Figure 11. RVE with an irregular void: (a) Grain structure model, Mises stress distributions predicted by (b) CPFEM and (c) CPFCM首先, 对比CPFEM和CPFCM求解该RVE线弹性响应的计算精度和效率. 其中, CPFEM采用体素网格, 分辨率为30 × 30 × 30; CPFCM采用规则化网格并进行了收敛性分析, 相关单元尺寸、形函数阶次和细分深度设置如表3所示.
表 3 CPFCM不同工况对应参数设置Table 3. Numerical settings of CPFCM for different casesMesh size Order of shape function Subdivision depth case1 10 × 10 × 10 1 1 case2 10 × 10 × 10 2 2 case3 10 × 10 × 10 2 3 case4 10 × 10 × 10 3 2 case5 15 × 15 × 15 2 2 case6 20 × 20 × 20 2 2 图12对比了两种数值模拟方法的平均应力应变曲线. 在网格数量相同的情况下, 随着形函数阶次及细分深度的增加, CPFCM的结果逐渐收敛于CPFEM; 形函数阶次及细分深度相同的情况下, 随着网格数量的增加, CPFCM的结果同样趋近于CPFEM. 其中case5工况计算结果与CPFEM计算结果差异小于1%, 给出了对应的Mises应力云图如图11所示, 两者采用相同的比例尺, 结果表明其云图相吻合, 计算结果一致. 然而, CPFEM耗时239 s, 而CPFCM耗时仅122 s. 综上表明, 针对该算例, CPFCM在保证计算精度的同时, 计算效率为CPFEM 的近2倍.
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图 12 采用CPFCM和CPFEM计算RVE弹性响应的等效应力应变曲线结果Figure 12. The effective stress-strain curves of the RVE under elastic deformation by CPFCM and CPFEM进一步, 分别采用上述CPFEM、CPFCM离散模型和CPFC-SCAM求解了该RVE的弹塑性响应, 增量步数设置为100. 其中, CPFC-SCAM的离线计算采用CPFCM设置同上case5, 并考虑了单个晶粒内部分别聚类为1, 2和4的工况. 图13给出了指定每个晶粒划分为2个子域的聚类结果. 图14对比分析了上述离散模型求解获得的等效应力应变曲线. 结果表明, 每个晶粒含2个聚类的CPFC-SCAM计算结果相比于CPFEM和CPFCM预测值的计算误差已小于5%; 然而, CPFC-SCAM在线耗时仅为41 s (离线耗时为133 s), CPFCM耗时为2928 s, CPFEM耗时为4578 s, 再次证明了CPFC-SCAM的高效性.
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图 14 含不规则孔隙多晶RVE不同数值模型的等效应力-应变曲线计算结果Figure 14. Effective stress-strain curves of the RVE with irregular void from different numerical models此外, 为验证网格划分数量对计算结果收敛性的影响, 进一步表征了离线阶段CPFCM不同工况下对应在线预测的结果. 分别使用表3中case2、case5和case6设置参数进行离线计算, 控制每个晶粒内部聚类数量均为4, 在线预测结果与直接数值模拟解对比如图15所示. 结果表明, 在相同聚类数目的情况下, 该算例中网格划分数量对最终精度影响不大, 3种条件下误差均小于3%, 目前所采用参数已保证收敛性.
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图 15 离线阶段不同网格划分数目所对应的在线预测等效应力-应变曲线Figure 15. Effective stress-strain curves of the RVE correspond to different number of grid divisions in offline stage3.3 增材制造IN625合金
本节采用CPFC-SCAM分析了SLM增材制造IN625合金力学性能及其与工艺参数之间的关系. 为此, 首先采用实验结果对部分晶体塑性材料进行标定, 其次开展了同一RVE不同加载方向的算例研究, 最后分析不同工艺参数下成形材料微观组织等效力学性能. 其中, SLM工艺参数和实验结果参考AM-Bench[27-28], 材料微观组织采用本课题组建立的经实验验证的元胞自动机有限体积法[29]模拟获得.
3.3.1 实验设置及材料参数标定
AM-Bench中的实验由美国国家技术标准局设计并开展. 其中, SLM增材制造设备选用EOS M270, 令激光在IN625基板上进行单向扫描以获得试样. 实验选用的激光功率为195 W, 扫描速度为800 mm/s, 基板表面激光束直径为100 μm. 实验所得熔池稳定后的横截面形貌尺寸及微观组织和相应的数值模拟结果如图16所示; 对比表明, 两者在熔池宽、深以及微观组织形貌方面相吻合.
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图 16 熔池形貌与材料微观组织的(a)数值模拟结果与(b)实验结果[27]对比, 其中白色虚线表示熔池边界Figure 16. Comparison of melt pool size and grain structure between(a) simulation results and (b) experiment data, where the white dashed lines indicate the melt pool boundary基于所验证的单道扫描材料微观组织三维数值模拟结果, 选取RVE并进行晶体塑性参数校准. 为保证所选取的RVE涵盖熔池内晶粒分布特征, 其尺寸确定为30 μm × 30 μm × 30 μm, 如图17(a)所示. 为校准相应的晶体塑性材料参数, 采用CPFEM进行数值模拟, 并参考了AM-Bench 2022的标准试样拉伸实验结果[28](注: 该试样虽非来源于上述单道扫描区域, 但其取自同一设备及相同工艺参数所制备的块体材料, 如图17(b)所示). 该CPFEM离散模型的单元数为30 × 30 × 30, 所得与实验结果一致的应力-应变曲线如图18所示, 校核的材料参数列于表4. 此外, 基于校核后的晶体塑性参数, 采用CPFCM开展了相同弹塑性计算. 其离散模型胞元数为30 × 30 × 30, 形函数阶数为p = 1, 8叉树细分深度k = 1, 所得等效的应力应变曲线计算结果与CPFEM结果对比于图18. 结果表明, 两者相吻合.
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图 18 基于校准材料参数的数值计算结果与实验数据对比Figure 18. Comparison between numerical results with calibrated material parameters and experiment results表 4 IN625材料参数Table 4. Material parameters for IN625Parameter Value elastic stiffness component C11/GPa 243.3[30] elastic stiffness component C22/GPa 156.7[30] elastic stiffness component C44/GPa 117.8[30] reference shear rate ${\dot a^{(\alpha )}}$ 58.8[30] strain rate sensitivity exponent $n$ 0.00242[30] initial hardening modulus h0/MPa 573.5 (calibrated) saturation stress τs/MPa 400.6 (calibrated) intrinsic initial slip resistance h∞/MPa 42.6 (calibrated) Hall-Petch coefficient ${k_y}/({{\mathrm{MPa}}}\cdot\sqrt{{{\text{μm}}}})$ 750[31] equivalent grain diameter d/μm < 30 进一步, 采用CPFC-SCAM开展了该RVE的弹塑性响应分析. 其中, 离线阶段的CPFCM离散模型同上, 所得指定单个晶粒聚类数为2的聚类结果如图19所示. 图20列出了每个晶粒内部聚类数为1, 2和4时的等效应力应变曲线在线计算结果, 对比表明CPFC-SCAM的计算结果均位于相对于CPFEM计算结果的3%误差范围内. 此外, 该算例中CPFEM耗时6136 s (设置固定步长200), 而CPFC-SCAM对应于每个晶粒聚类数为1, 2和4的在线计算开销依次为8, 27和148 s. 因此, 下面各节CPFC-SCAM算例中, 设置单个晶粒聚类总数为2以综合考虑计算精度和耗时, 采用表4中晶体塑性材料参数, 以及与本节离线阶段相同的FCM离散参数.
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图 20 等效应力应变曲线计算结果, 其中紫色区域为相对于CPFEM计算结果的3%误差区间Figure 20. Numerical results of effective stress-strain curves, where the error band depicted in purple corresponds to 3% deviations from the CPFEM result3.3.2 不同加载方向成形材料力学性能分析
基于上述CPFC-SCAM数值模型和材料参数, 本节研究了激光功率为165 W、扫描速度为800 mm/s成形材料微观组织力学性能的各向异性及其与初始微观组织所决定的力学性能差异. 为此, 分别在未熔融的基板以及熔池内截取材料微观组织代表体元, RVE1和RVE2, 如图21所示; 其尺寸均为30 μm × 30 μm × 30 μm.
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图 21 材料微观组织横截面图及选取的RVE, 其中RVE1位于未熔融的基板内, RVE2位于熔池区域Figure 21. Cross-sectional view of the predicted microstructure and two selected RVEs, where RVE1 located in the un-melted substrate and RVE2 located in the melt pool图22展示了RVE1和RVE2分别在x, y和z 3个方向单轴拉伸至2%应变下等效应力应变曲线. 结果对比表明, 两个代表体元在各加载方向下弹性阶段力学性能均相近, 塑性阶段力学性能存在差异. 其中, RVE1在3个加载方向上的塑性力学行为差异相对较小, 这是由于未熔融的基板区域内以等轴晶为主, 从图21所示RVE微观组织模型可以看出其晶粒大小及分布较为均匀. 相比之下, RVE2选自熔池区域, 其材料凝固时温度分布不均且梯度方向分布呈辐射状, 相应的凝固微观组织以柱状晶为主并也呈辐射状分布. 图22(b)表明RVE2在3个加载方向上的塑性力学行为存在差异, 其中x与y和z方向力学性能差异较大, 而y和z方向力学性能差异较小, 这主要与晶粒空间分布和织构有关.
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图 22 不同加载方向下等效应力应变曲线CPFC-SCAM结果Figure 22. Effective stress-strain curves predicted by CPFC-SCAM for cases with different loading directions3.3.3 不同工艺参数下成形材料力学性能分析
基于上述CPFC-SCAM数值模型和材料参数, 本节进一步研究了激光功率和扫描速度对成形材料力学性能的影响趋势, 并分析其内在机理. 工艺参数设置如表5所示, 其中P表示激光功率, V表示激光扫描速度, 对所选取的熔池内RVE沿建造方向(z方向)施加单轴拉伸载荷至2%应变.
表 5 工况工艺参数Table 5. The process parameters of different casesCase P/W V/(mm·s−1) P165V400 165 400 P165V800 165 800 P165V1200 165 1200 P105V800 105 800 P180V800 180 800 P240V800 240 800 图23和图24分别展示了相同激光功率不同扫描速度和相同扫描速度不同激光功率下成形材料RVE的等效应力应变曲线. 结果对比表明, 在给定的工艺参数范围内, 随着扫描速度增大或者激光功率降低, RVE的屈服强度逐渐增强. 这是由晶粒细化强化所致, 即Hall-Petch效应. 图25给出了不同工艺参数下, 按晶粒大小降序排列的等效晶粒直径分布图. 图25(a)中固定激光功率, 较高的扫描速度导致较大冷却速率, 从而形成较小的晶粒等效直径; 固定扫描速度, 则较低的激光功率对应较大的冷却速率, 从而导致较小的晶粒等效直径, 如图25(b)所示. 综上, 在给定的工艺参数范围内, 所研究的SLM增材制造IN625材料随着扫描速度增大或者激光功率降低, 其力学性能增强.
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图 23 不同扫描速度下成形材料等效应力应变曲线Figure 23. Effective stress-strain curves of the fabricated material between different scan speeds with constant laser power![]()
图 24 不同激光功率下成形材料等效应力-应变曲线Figure 24. Effective stress-strain curves of the fabricated material between different laser powers with constant scan speed![]()
图 25 不同工艺参数下RVE内晶粒尺寸分布直方图Figure 25. Histogram of the grain sizes for different combinations of process parameters4. 总结
针对考虑增材制造金属材料真实微观组织的力学性能高效预测问题, 本文提出了基于数据驱动的晶体塑性有限胞元-自洽聚类分析方法. 与晶体塑性有限元法相比, 该方法在保证RVE求解精度的同时具有较高的计算效率且有数量级的提升. 其中, 离线阶段采用有限胞元法计算进一步提升了自洽聚类分析离线阶段计算效率. 通过理想多晶算例和含不规则孔隙的RVE算例, 证明了所发展算法的计算精度及效率. 进一步, 基于该算法开展了激光选区熔融成形IN625合金力学性能的数值模拟研究, 再现了成形材料力学性能的各向异性, 并揭示了冷却速率与其力学性能增强的内在机制. 本文工作为研究金属增材制造“微观组织-力学性能”关联关系提供了一种高效的数值模拟工具, 为进一步实现成形构件力学行为的高效并发多尺度数值模拟分析奠定了基础.
附录A
有限胞元法中阶谱形函数是由勒让德多项式构造, 其定义如下
$$ {L^P}(\xi ) = \sqrt {\frac{{2P - 1}}{2}} \int_{ - 1}^\xi {{\text{ϕ} ^{P - 1}}(t){{\mathrm{d}}}t} $$ (A1) 式中$ \xi $为自然坐标系下对应坐标, $P$为形函数阶次, $ {\text{ϕ} ^P}(\xi ) $为自然坐标系中标准勒让德多项式
$$ {\text{ϕ} ^P}(\xi ) = \frac{1}{{{2^p}p!}}\frac{{{{\text{d}}^p}}}{{{\text{d}}{\xi ^p}}}\left[ {{{\left( {{\xi ^2} - 1} \right)}^p}} \right] $$ (A2) 一维的阶谱形函数具体定义如下
$$\left. \begin{split} &{N}^{1}(\xi ) =1/2\cdot (1-\xi )\\ &{N}^{2}(\xi ) = 1/2\cdot (1 + \xi )\\ &{N}^{P}(\xi ) = {L}^{P-1}(\xi ){, }\quad P = 3,4,\cdots \end{split}\right\} $$ (A3) 二维和三维问题的形函数则可由其通过乘积形式获得.
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图 2 有限胞元法基本思想: 采用虚拟域将物理域拓展到规则形状的扩展域, 规则扩展域通过结构化网格离散
Figure 2. The basic idea of finite cell method: the physical domain${\text{ }}{\varOmega _{{{e }}}}$is augmented by a fictitious domain${\text{ }}{\varOmega _{{v}}}{\text{ }}$to form a regular domain $\varOmega $that is discretized by a structured mesh
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图 3 二维4叉树积分网格, 其中局部放大图中的红点表示域内积分点, 蓝点为虚拟域积分点
Figure 3. 2D quadtree integration mesh for FCM and the distribution of the integration points, where the points in red and blue are located in the physical and fictitious domains, respectively
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图 4 离线计算: (a)高保真FCM离散模型; (b)格栅点; (c)聚类结果
Figure 4. Calculation of the offline stage calculation, including (a) the high fidelity FCM model, (b) grid points, and (c) the clusters
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图 6 晶体塑性有限胞元-自洽聚类分析方法在线-离线两阶段求解示意图
Figure 6. Schematic diagram of the CPFC-SCAM including the offline and online stages
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图 7 立方晶系材料代表体元, 其中数字表示晶粒编号, 颜色表示对应于左下角反极图的晶向
Figure 7. A cubic lattice material RVE with eight grains, where the number indicates the grain ID and the color shows the crystallographic orientation corresponding to the lower left inverse pole figure
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图 10 多晶材料剪切加载力学性能预测, 其中绿色区域为相对于CPFEM计算结果的5%误差区间
Figure 10. Polycrystalline material’s mechanical property prediction under shear loading, where the error bands depicted in green correspond to 5% from the CPFEM result
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图 11 含不规则孔隙的多晶RVE: (a)晶粒结构模型(黑色部分为孔隙), (b) CPFEM和(c) CPFCM计算的Mises应力云图
Figure 11. RVE with an irregular void: (a) Grain structure model, Mises stress distributions predicted by (b) CPFEM and (c) CPFCM
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图 12 采用CPFCM和CPFEM计算RVE弹性响应的等效应力应变曲线结果
Figure 12. The effective stress-strain curves of the RVE under elastic deformation by CPFCM and CPFEM
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图 14 含不规则孔隙多晶RVE不同数值模型的等效应力-应变曲线计算结果
Figure 14. Effective stress-strain curves of the RVE with irregular void from different numerical models
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图 15 离线阶段不同网格划分数目所对应的在线预测等效应力-应变曲线
Figure 15. Effective stress-strain curves of the RVE correspond to different number of grid divisions in offline stage
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图 16 熔池形貌与材料微观组织的(a)数值模拟结果与(b)实验结果[27]对比, 其中白色虚线表示熔池边界
Figure 16. Comparison of melt pool size and grain structure between(a) simulation results and (b) experiment data, where the white dashed lines indicate the melt pool boundary
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图 18 基于校准材料参数的数值计算结果与实验数据对比
Figure 18. Comparison between numerical results with calibrated material parameters and experiment results
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图 20 等效应力应变曲线计算结果, 其中紫色区域为相对于CPFEM计算结果的3%误差区间
Figure 20. Numerical results of effective stress-strain curves, where the error band depicted in purple corresponds to 3% deviations from the CPFEM result
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图 21 材料微观组织横截面图及选取的RVE, 其中RVE1位于未熔融的基板内, RVE2位于熔池区域
Figure 21. Cross-sectional view of the predicted microstructure and two selected RVEs, where RVE1 located in the un-melted substrate and RVE2 located in the melt pool
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图 22 不同加载方向下等效应力应变曲线CPFC-SCAM结果
Figure 22. Effective stress-strain curves predicted by CPFC-SCAM for cases with different loading directions
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图 23 不同扫描速度下成形材料等效应力应变曲线
Figure 23. Effective stress-strain curves of the fabricated material between different scan speeds with constant laser power
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图 24 不同激光功率下成形材料等效应力-应变曲线
Figure 24. Effective stress-strain curves of the fabricated material between different laser powers with constant scan speed
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图 25 不同工艺参数下RVE内晶粒尺寸分布直方图
Figure 25. Histogram of the grain sizes for different combinations of process parameters
表 1 由欧拉角表示的晶粒取向
Table 1 The crystallographic orientation of each grain represented by Euler angles
Grain Euler angle$\varphi $ Euler angle$\theta $ Euler angle$\psi $ 1 71.3 59.8 169.7 2 172.9 68.6 14.7 3 65.2 3.7 24.5 4 122.6 35.4 95.1 5 68.9 38.5 125.1 6 14.1 1.2 87.6 7 1.1 19.4 43.1 8 68.4 42.2 81.1 
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Parameter Value elastic stiffness component C11/GPa 204.6 elastic stiffness component C22/GPa 137.6 elastic stiffness component C44/GPa 126.2 reference shear rate ${\dot a^{(\alpha )}}$ 50 strain rate sensitivity exponent $n$ 0.0005 initial hardening modulus h0/MPa 500 saturation stress τs/MPa 302 critical resolved shear stress τ0/MPa 180
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表 3 CPFCM不同工况对应参数设置
Table 3 Numerical settings of CPFCM for different cases
Mesh size Order of shape function Subdivision depth case1 10 × 10 × 10 1 1 case2 10 × 10 × 10 2 2 case3 10 × 10 × 10 2 3 case4 10 × 10 × 10 3 2 case5 15 × 15 × 15 2 2 case6 20 × 20 × 20 2 2
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表 4 IN625材料参数
Table 4 Material parameters for IN625
Parameter Value elastic stiffness component C11/GPa 243.3[30] elastic stiffness component C22/GPa 156.7[30] elastic stiffness component C44/GPa 117.8[30] reference shear rate ${\dot a^{(\alpha )}}$ 58.8[30] strain rate sensitivity exponent $n$ 0.00242[30] initial hardening modulus h0/MPa 573.5 (calibrated) saturation stress τs/MPa 400.6 (calibrated) intrinsic initial slip resistance h∞/MPa 42.6 (calibrated) Hall-Petch coefficient ${k_y}/({{\mathrm{MPa}}}\cdot\sqrt{{{\text{μm}}}})$ 750[31] equivalent grain diameter d/μm < 30
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表 5 工况工艺参数
Table 5 The process parameters of different cases
Case P/W V/(mm·s−1) P165V400 165 400 P165V800 165 800 P165V1200 165 1200 P105V800 105 800 P180V800 180 800 P240V800 240 800
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