EFFICIENT STOCHASTIC DYNAMIC RESPONSE ANALYSIS OF UNDERWATER VEHICLE VIA DPIM
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摘要: 海洋是人类的资源宝库, 随着海洋资源的不断发掘, 海洋资源的探测与合理开发成为了当今世界各国广泛关注的热点, 水下航行器的勘测活动也随之逐渐增多. 然而, 海洋环境具有极强的随机不确定性, 给水下航行器的操作及轨迹规划带来了巨大影响. 因此, 准确预测随机海洋环境中水下航行器的随机响应特性具有重要意义. 以无舵桨的新型水下航行器为研究对象, 基于概率守恒原理, 从随机积分的全新视角, 建立了随机海洋环境中水下航行器的概率密度积分方程. 在此基础上, 提出了一种基于分块并行计算的直接概率积分法, 该方法将水下航行器系统的控制方程与概率密度积分方程解耦, 通过分块并行计算, 实现了随机波浪激励下新型水下航行器的随机动力响应高效分析. 此外, 还将提出方法的计算结果与原直接概率积分法及蒙特卡洛模拟方法的计算结果进行了比较, 进一步验证了提出方法的精确性和高效性. 最终研究结果表明, 海浪的有义波高和流动速度是影响水下航行器响应的主要随机因素. 海浪有义波高和流动速度的增加会造成水下航行器偏离预定轨迹的概率显著提高. 此外, 较大的海浪流动速度还会引发随机跳跃现象, 从而降低水下航行器的航行安全性.Abstract: The ocean is a treasure trove of resources for humanity. With the continuous exploration of ocean resources, the detection and rational development of these resources has become a hot topic of widespread concern for countries around the world. Consequently, the exploration activities of underwater vehicles have been gradually increasing. However, the ocean environment is characterized by strong stochastic uncertainty, posing significant challenges for the operation and trajectory planning of underwater vehicles. Therefore, it is crucial to accurately predict the stochastic response characteristics of underwater vehicles in random ocean environments. In this paper, a new type of underwater vehicle, equipped with a rudderless paddle, is adopted as the research object. Based on the principle of probability conservation, a probability density integral equation of the underwater vehicle in a random ocean environment is established from a new perspective of stochastic integration. Then, a direct probability integral method (DPIM) based on block parallel computing is proposed in this paper. This method decouples the control equations of the underwater vehicle system from the probability density integral equation, and utilizes block-parallel computations, enabling the efficient stochastic dynamic response analysis of the new type of underwater vehicle under the random sea wave excitation. Furthermore, the computational results of the proposed method are compared with those of the original DPIM and Monte Carlo simulation method to further validate its accuracy and efficiency. The final research results reveal that sea wave significant height and flow velocity are the primary stochastic factors affecting the response of underwater vehicles. An increase in the sea wave's significant height and flow velocity will significantly raise the probability of deviation from the predetermined trajectory of underwater vehicles. In addition, it can be found that the higher sea wave flow velocity may induce the random jumping phenomena, thereby reducing the navigation safety of the underwater vehicle.
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引 言
水下航行器作为勘测和开发海洋资源最有效的工具之一备受各国重视[1-2], 其中, 自主水下航行器 (autonomous underwater vehicle, AUV) 能够到达人类无法接近的区域, 并可自动完成复杂的任务. AUV可以根据环境变化及时调整其运动, 因此合理的路径规划决定着AUV执行任务的效率和安全性[3]. 研究者们对该类问题进行了广泛研究, 如邢炜[4]采用局部占用栅格法, 将栅格法建立在AUV的随体坐标系下, 实现了障碍物的精准定位. 栅格类方法简单易行, 但其存储的数据量较大, 在全局规划时较为耗时. 因此, 朱佳莹等[5]在改进蚁群算法的基础上引入粒子群算法, 以实现AUV全局路径规划, 该算法有效提高了全局搜索能力. 此外, Hadi等[6]通过结合双延迟深度确定性策略梯度算法, 提出了一种基于深度强化学习的自适应运动规划和避障技术, 实现了服从Markov运动过程条件的水下航行器全局路径规划.
然而, 由于海洋环境的复杂性, AUV在执行任务过程中难免会受到海浪等随机因素干扰, 这对水下航行器的运动轨迹产生了巨大的影响. 尽管随着随机分析方法的不断发展[7-8], 已有研究开始关注AUV轨迹的不确定性量化问题, 但相关研究仍然较少[9-11]. 了解随机波浪等海洋环境随机因素对水下航行器运动的影响, 有助于水下航行器的轨迹规划, 提高其在复杂海况下的任务执行能力. 因此, 实现随机激励下AUV系统随机响应分析具有十分重要的研究意义.
在白噪声激励作用情况下, 系统满足Markov性质, 其随机响应的概率密度函数由一系列不同的概率密度微分方程控制[12]. 例如, 在高斯白噪声激励下, 系统随机响应的概率密度函数满足Fokker-Planck-Kolmogorov方程[13], 在泊松白噪声激励下, 概率密度函数则由Kolmogorov-Feller方程控制[14]. 解析求解这些偏微分方程成为一个具有挑战性的难题[15]. 因此, 研究者提出了一系列的近似解析求解方法, 如路径积分法[16-17]和随机平均法[18-19]等. 然而, 随机波浪激励下的AUV系统为多自由度非线性随机系统, 对于这类系统仍然缺乏有效且精确的分析方法. 蒙特卡罗模拟方法是一种通用性较强的随机分析方法[20-21], 但由于其计算量较大, 通常只被用作问题的验证方法. 因此, 需要进一步研究和发展适用于该类问题的高效、精确的随机分析方法.
为了解决上述问题, 本文以具有X形布置的四螺旋桨推进器的无舵桨新型AUV系统为研究对象, 基于概率守恒原理, 建立了AUV系统的概率密度积分方程, 表征输入和输出概率密度函数之间的显示关系. 随后, 在概率积分框架[22-23]下, 将系统的确定性物理映射和概率密度积分方程联立求解, 提出一种基于分块并行计算的直接概率积分法, 实现了随机波浪激励下水下航行器多自由度非线性系统运动轨迹不确定性的高效分析.
1. 随机海洋环境中AUV运动模型
1.1 AUV运动方程
本文研究对象是一款新型的无人水下航行器[24], 其机体尾部采用X型布置, 配备4个螺旋桨作为推进系统而无舵桨 (如图1所示), 可通过改变转速来控制驱动. 相较于其他AUV, 该航行器的最显著特点在于成功减小了水下运行的阻力, 弥补了转弯半径大的缺点. 表1列出了该AUV的相关参数指标.
表 1 无舵桨AUV主要参数Table 1. Principal dimensions of AUV carrier rudderless paddleParameter Value weight/kg 320 length/m 3.3 radius/mm 323 AUV speed/kn 1 ~ 5 maximum diving depth/m 500 以水下航行器的几何中心为原点OU, X轴沿轴线指向航行器艏部, Y轴指向右侧, Z轴指向下方, 建立水下航行器的载体坐标系. 此外, 在水平面或者空间中任取一点作为原点O, 建立地面坐标系. AUV运动主要通过两种坐标系进行动力分析, 如图2所示. 其中, 载体坐标系用于描述AUV的运动状态和姿态, 地面坐标系用于描述AUV在水平面或空间中的运动轨迹和位置.
自主水下航行器的运动状态可分为直线及旋转运动. 本文将AUV位移分别记为x, y和z, 速度记为u, v和w, 角度记为ϕ, α和ψ, 角速度记为η, q和ε, 力记为FX, FY和FZ, 力矩记为Kx, Ky和Kz. 取AUV的重心点bG坐标原点为载体坐标系原点, 考虑地面坐标系和载体坐标系转换关系, 并考虑对角惯性张量
$$ {{\boldsymbol{I}}_{\text{0}}}{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_{xx}}}&0&0 \\ 0&{{I_{yy}}}&0 \\ 0&0&{{I_{zz}}} \end{array}} \right] $$ (1) 同时, 令AUV的质量为m, 建立AUV六自由度的运动方程[25], 分别为
轴向方程
$$ \begin{split} & m\left[ {\dot u - v\varepsilon + wq - {x_g}({q^2} + {\varepsilon ^2})} \right. + \\ &\qquad \left. { {y_g}(\eta q - \dot \varepsilon ) + {z_g}(\eta \varepsilon + \dot q)} \right] = {F_X} \end{split} $$ (2) 横向方程
$$ \begin{split} & m\left[ {\dot v + u\varepsilon - wq - {y_g}({q^2} + {\varepsilon ^2})} \right.+ \\ &\qquad \left. { {z_g}(\varepsilon q - \dot \eta ) + {x_g}(\eta q + \dot \varepsilon )} \right] = {F_Y} \end{split}$$ (3) 垂向方程
$$ \begin{split} & m\left[ {\dot w - uq + vq - {z_g}({\eta ^2} + {q^2})} \right.+ \\ &\qquad \left. { {x_g}(\varepsilon q - \dot q) + {y_g}(\varepsilon q + \dot \eta )} \right] = {F_Z} \end{split} $$ (4) 横倾方程
$$ \begin{split} &{I_{xx}}\dot \eta + ({I_{xx}} - {I_{yy}})q\varepsilon + m\left[ {{y_g}(\dot w - uq + v\eta )} \right.- \\ &\qquad \left. {{z_g}(\dot v - w\eta + u\varepsilon )} \right] = {K_x} \end{split} $$ (5) 纵倾方程
$$ \begin{split} & {I_{yy}}\dot q + ({I_{xx}} - {I_{zz}})\eta \varepsilon + m\left[ {{z_g}(\dot u - v\varepsilon + wq)} \right. - \\ &\qquad \left. {{x_g}(\dot w - uq + v\eta )} \right] = {K_y} \end{split} $$ (6) 偏航方程
$$ \begin{split} & {I_{zz}}\dot \varepsilon + ({I_{yy}} - {I_{xx}})q\eta + m\left[ {{x_g}(\dot v - w\eta + u\varepsilon )} \right.- \\ &\qquad \left. {{y_g}(\dot u - v\varepsilon + wq)} \right] = {K_z} \end{split} $$ (7) 式(2) ~ 式(7)可进一步表示为如下矩阵向量形式
$$ {\boldsymbol{M}}\dot {\boldsymbol{\varphi}} + {\boldsymbol{C}}({\boldsymbol{\varphi}} ){\boldsymbol{\varphi}} + {\boldsymbol{D}}({\boldsymbol{\varphi}} ){\boldsymbol{\varphi}} + {\boldsymbol{g}}({\boldsymbol{\gamma}} ) = {\boldsymbol{F}} $$ (8) 其中, φ = [u, v, w, η, q, ε]为AUV在地面坐标系下的速度矢量; γ = [x, y, z, $\phi $, α, ψ]为AUV在载体坐标系下的位移和角度矢量; M为惯性矩阵; C(φ)为科氏向心力矩阵; D(φ)是流体阻尼; g(γ)是恢复力向量, 它由重力G和浮力B共同决定; F代表推进力和力矩, 及海洋环境随机扰动带来的力和力矩.
1.2 海洋环境随机波浪力
AUV在近水面航行过程中不可避免地会受到随机海浪的影响, 导致AUV产生六自由度的摇荡运动[26]. 由于海浪具备形状多样、运动不规则、随机变化、相互作用和边界无限等特性, 因此通常将海浪视为随机过程. 研究者根据对海浪的长期观测和统计, 提出了不同的频谱函数以近似模拟海浪[27], 如P-M谱、ITTC谱和Jonswap谱等. 其中ITTC双参数海浪谱可较为准确地描述成长期和成熟期海浪[28], 相应表达式为
$$ {S_I}(\omega ) = \frac{A}{{{\omega ^5}}}\exp \left( - \frac{B}{{{\omega ^4}}}\right) $$ (9) 其中, ω为波浪角频率; A = 8.1 × l0−3g2; B = 3.11$H_s^{ - 2}$; 重力加速度 g = 9.8 m/s2; Hs为有义波高.
然而, 实际上AUV遇到海浪的遭遇周期与观测的海浪周期并不相等. AUV的遭遇周期会随着遭遇角的变化而改变. AUV在不同的遭遇角下受到的波浪力和力矩也是不同的. 因此, 为了更准确地描述AUV在海浪中的运动状态, 需考虑遭遇角的影响. 遭遇角频率ωe和海浪角频ω之间的关系式为
$$ {\omega _e} = \omega \left(1 - \frac{{\omega {U_s}}}{g}{\mathrm{cos}}{\beta _\omega }\right) $$ (10) 式中, Us为海浪流动速度; βω为遭遇角; 顶浪时遭遇角βω = 180°; 顺浪时遭遇角 βω = 0°. 将式(10)代入海浪频谱(式(9)), 并考虑波倾角的作用, 遭遇角频率对应的海浪频谱可表示为
$$ {S_E}({\omega _e}) = \frac{{{\omega ^4}}}{{{g^2}}}\frac{{{S_I}(\omega )}}{{1 - \left( {2\omega /g} \right){U_s}{\beta _\omega }}} $$ (11) 当潜行器在近水面运动时, 波浪力会对其产生作用, 施加波动压力. 由于次波面是等压力面且倾斜于潜行器, 因此潜行器所受的压力是不对称的, 从而引发波浪扰动力 (力矩). 根据船舶流体力学中的势流理论, 可以使用奇点分布法来模拟对流场对潜行器的干扰[29], 即
$$ {F_P} = \rho \frac{{\partial {\chi ^{(1)}}}}{{\partial t}} $$ (12) 式中, FP为一阶压力; χ(1) 为流场的一阶速度势.
随后, 采用三维面元分布法计算AUV在不规则海浪中所受的波浪干扰力和力矩. 首先, 通过测量航行器的型值, 将结构表面分成许多小的单元. 然后, 使用式(12)计算每个小单元上的压力, 并沿整个船体表面积分, 得到在海浪单位波幅作用下航行器所受到的在各个频率点上的波浪干扰力FS和力矩MS. 将这些值代入不规则海浪作用下潜行器所受力的公式中, 有
$$ {F_\omega }(t) = \sum\limits_{i = 1}^{{N_\omega }} {F_S^{}\sqrt {2\int_i^{i + 1} {{s_E}(\omega ){\text{d}}\omega } } } \cos ({\omega _i}t - {\kappa _i}) $$ (13) 式中, SE(ω)为海浪频谱; Nω表示频率点个数; κi为相互独立的在[0, 2π]内服从均匀分布的随机相位角. 代入力矩公式, 则有
$$ {M_\omega }(t) = \sum\limits_{i = 1}^{{N_\omega }} {M_S^{}\sqrt {2\int_i^{i + 1} {{s_E}(\omega ){\text{d}}\omega } } } \cos ({\omega _i}t - {\kappa _i}) $$ (14) 通过式(13)和式(14)即可拟合出随时间变化的随机波浪力和力矩.
2. 基于分块并行计算的直接概率积分法
式(8)中随机波浪激励下AUV系统随机微分方程可进一步表示为如下形式
$$ {\text{d}}{\boldsymbol{Y}}(t) = {\boldsymbol{f}}({\boldsymbol{Y}},t){\mathrm{d}}t + {\text{d}}{\boldsymbol{B}}({\boldsymbol{\theta}} ,t) $$ (15) 式中, Y(t)为AUV系统的动力响应向量; f(Y, t)为确定性非线性函数; B(θ, t) = (B1(θ, t),B2(θ, t),···, Bn(θ, t))代表了Wiener过程向量, 为高斯白噪声的形式导数, 其均值为0, 协方差矩阵满足E[dB(θ,t), dBT(θ,t)] = qδ(τ), 其中δ(·)为狄拉克函数, q为Wiener过程强度. θ为AUV系统中所需考虑的基本随机变量.
2.1 概率密度积分方程
概率守恒原理是随机系统的基本特性之一. 对于保守的随机系统, 该原理可以描述为: 系统在状态演化过程中概率守恒[30]. 在这里, 随机系统的保守意味着在演化过程中, 没有随机因素消失, 也没有新的随机因素产生. 对于受到随机波浪激励的AUV多自由度非线性系统, 假定系统所有随机源都来源于θ, 则概率守恒可以表示为
$$ \int_{{\varOmega _{\boldsymbol{Y}}}} {{p_{\boldsymbol{Y}}}} ({\boldsymbol{y}},t){\text{d}}{\boldsymbol{y}} = \int_{{{{\varOmega}} _{{{{\boldsymbol{\theta}}}} {,}0}}} {{{{p}}_{\boldsymbol{\theta}} }} ({\boldsymbol{\theta}} ,{t_0}){\text{d}}{\boldsymbol{\theta}} $$ (16) 式中, y = [y1, y2, …, yn]表示AUV多自由度系统的动力响应向量; pY(y, t)和pθ(θ, t0)分别表示了输出向量y和输入向量θ在t和t0时刻的联合概率密度函数; ΩY和 Ωθ,0分别为输出和输入向量的样本空间. 式(16)可理解为AUV系统在随时间演化过程中, 其总的输出概率测度恒等于总的输入概率测度. 在式(16)中, AUV响应向量Y的物理演化过程由系统的运动方程控制(即式(15)), 可表示为如下确定性映射
$$ \mathcal{G}:{\boldsymbol{Y}}(t) = {\boldsymbol{g}}({\boldsymbol{\theta}} ,t) $$ (17) 结合式(16)和式(17), AUV系统输出向量联合概率密度函数pY(y, t)可由输入联合概率密度函数表达
$$ {p_{\boldsymbol{Y}}}({\boldsymbol{y}},t) = \frac{1}{{\left| {{{\boldsymbol{J}}_{\boldsymbol{g}}}({\boldsymbol{\theta}} )} \right|}}{p_{\boldsymbol{\theta}} }\left[ {{\boldsymbol{\theta}} = {{\boldsymbol{g}}^{ - 1}}({\boldsymbol{y}},t)} \right] $$ (18) 其中, $ \left| {{{\boldsymbol{J}}_{\boldsymbol{g}}}({\boldsymbol{\theta}} )} \right| $为雅可比矩阵的行列式.
2.2 分块并行计算的直接概率积分法数值实现
通过联立AUV系统的物理映射与概率密度积分方程, 可以实现对系统随机不确定性的传播分析. 随机系统的物理映射可以是显式的, 也可以是隐式的. 在显式情况下, 输出响应yℓ可通过解析方法获得, 将其代入概率密度积分方程中, 即可得到输出响应的概率密度函数. 然而, AUV系统的物理映射很难获得解析解, 因此数值求解方法成为必然选择. 无论采用解析法还是数值方法, 我们将系统的物理映射与概率密度积分方程联立求解, 以进行系统随机不确定性的传播分析. 这种方法被称为直接概率积分法. 该数值方法主要基于两个关键技术: (1) 概率空间剖分[31]; (2) 狄拉克函数光滑化技术[32], 相应的概率密度积分方程的数值计算公式如下
$$ \begin{split} & {p_{{Y_\ell }}}({y_\ell },t) = \sum\limits_{q = 1}^N {\left\{ {\frac{1}{{\sqrt {2{\text{π }}} \sigma }}{{\text{e}}^{ - {{\left[ {{y_\ell } - {g_\ell }({{\boldsymbol{\theta}} _q},t)} \right]}^2}/(2{\sigma ^2})}}{P_q}} \right\}}= \\ &\qquad \frac{1}{{\sqrt {2{\text{π }}} \sigma }}{{\text{e}}^{ - {{\left[ {{y_\ell } - {{\boldsymbol{g}}_\ell }({\boldsymbol{\theta}} ,t)} \right]}^2}/(2{\sigma ^2})}}{{\boldsymbol{P}}^{\rm T}} \end{split} $$ (19) 式中, gℓ(θq, t)表示第q个积分点的代表性响应; Pq为第q个积分点所对应的积分权重或赋得概率; gℓ 和P为AUV系统代表性响应矩阵和赋得概率矩阵, 且有gℓ(θ, t) = [gℓ(θ1, t), gℓ(θ2, t),···, gℓ(θN, t)]; P = [P1, P2,···, PN]; T为矩阵转置符号; σ为光滑化参数.
如式(19)所示, 直接概率积分法需获得N个代表性响应, 并对其进行加权求和, 以获得系统响应的概率密度函数. 然而, 对于AUV多自由度非线性系统, 求解系统的N个代表性响应往往十分耗时, 因此进一步提升直接概率积分法的效率具有十分重要的意义. 值得指出的是, 由于各个输入向量θ相互独立, 彼此之间不需要交换信息, 因此, 为了提升计算效率, 对式(19)中AUV系统物理响应矩阵gℓ(θ, t)进行分块处理
$$ {p_{{Y_\ell }}}({y_\ell },t) = \frac{1}{{\sqrt {2{\text{π }}} \sigma }}{{\text{e}}^{ - {{\left\{ {{{{y}}_\ell } - \left[ {{{\boldsymbol{g}}_\ell }({{\boldsymbol{\theta}} _{11}},t),\cdots,{{\boldsymbol{g}}_\ell }({{\boldsymbol{\theta}} _{1R}},t)} \right]} \right\}}^2}/(2{\sigma ^2})}}{{\boldsymbol{P}}^{\rm T}} $$ (20) 其中, R为分块数. 对于分块矩阵[gℓ(θ11, t),…, gℓ (θ1R, t)]可采用并行技术计算, 每个线程生成一个数据文件, 最后整合代入式(20). 此时, 通过并行计算, 可极大提升方法的计算效率.
此外, 光滑化参数σ采用自适应的加权核密度估计方法来确定[33], 即通过求解如下的非线性方程获得不同时刻的σ(t)
$$ \sigma (t) = \xi {\alpha ^{[k]}}(\sigma (t)) = \xi {\alpha _1}( \cdots {\alpha _l}(\sigma (t))) $$ (21) 式中, α[k](σ(t))可由不同的物理响应分块矩阵gℓ (θ1i, t)离散余弦变换[34]分别计算得到; $ \xi = \left(\dfrac{3}{2 \sqrt{2} + 1}\right)^{-2 / 5} $且k可设为7. 本文提出方法的数值求解流程图可见图3.
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图 3 基于分块并行计算的直接概率积分法数值求解流程图Figure 3. Flowchart of numerical procedure for DPIM based on block parallel computing3. 随机波浪激励下无舵桨水下航行器结构随机响应分析
水下航行器在近水面航行过程中, 不可避免地会受到随机海浪影响, 产生大幅度横摇运动, 使得水下航行器偏离航线, 甚至失去控制. 因此, 实现随机波浪激励下水下航行器的不确定性量化分析, 对保障水下航行器航行安全性具有十分重要的意义[35].
本文主要考虑水下航行器在一定下潜深度时的水平面运动, 即考虑OU-XUYU平面的运动及绕OUZU轴的转动, 因此有速度矢量φ = [u, v, 0, 0, ε] 和 位移矢量γ = [x, y, z, 0, 0, x]. 由于式(8)中同时考虑了地面坐标系和载体坐标系两种坐标系, 需引入如下坐标变换
$$ \left. \begin{gathered} \dot x = u\cos \psi - v\sin \psi \\ \dot y = u\sin \psi + v\sin \psi \\ \dot \psi = \varepsilon \\ \end{gathered} \right\} $$ (22) 本文以尾部4螺旋桨X形布置的新型AUV为研究对象, 相应的模型参数见文献[24]. 确定性AUV系统的水平面轨迹及偏航角位移如图4中蓝线所示, 由图4可得确定性AUV偏航角振荡较小, 且在200 s后趋于平稳. 此外, 图4给出了在较小有义波高Hs = 0.5 m和海浪流动速度Us = 1 m/s下AUV系统的随机轨迹及偏航角位移. 结果表明, 即便在较小的随机海浪扰动下, 系统轨迹也可能出现较大的偏移, 且偏航角会出现较大的振荡.
为进一步研究随机海浪扰动对水下航行器航行过程的影响, 基于分块并行计算的直接概率积分法, 以确定性AUV系统的运动轨迹为预设轨迹, 在配置为i7-13700 K 3.4 GHz CPU 和 32 GB RAM的个人计算机上, 通过MATLAB软件, 采用3个线程进行并行计算, 给出了t = 500 s时不同海浪流动速度Us 和有义波高Hs下AUV位移偏差相对值的概率密度函数(见图5 ~ 图8). 其中, 图5将分块并行计算的直接概率积分法(direct probability integral method based on block parallel computing, DPIM-BPC)与原有直接概率积分法 (direct probability integral method, DPIM)及蒙特卡洛模拟 (Monte Carlo simulation, MCS)方法进行了对比. 此外, 库尔贝克–莱布勒(Kullback-Leibler, K-L)散度[22]被用于评估计算方法的误差(以蒙特卡洛模拟方法的结果作为基准解), 详细结果见表2. 通过图5和表2可以发现三者结果吻合良好, 表明基于分块并行计算的直接概率积分法处理随机波浪激励下水下航行器结构随机动力学问题的精度. 特别地, 可以发现本文提出方法的精度要略高于原直接概率积分法, 这是由于在并行计算同时, 对光滑化参数也进行了分块计算. 另外, 表3中给出了3种方法的计算时间比较, 由表可得本文提出方法计算时间约为原有直接概率积分法计算时间的1/3, 蒙特卡洛模拟方法的1/30, 极大地提升了计算效率.
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图 5 海浪流动速度Us = 5 m/s 时不同方法下AUV轨迹位移偏差概率密度函数曲线比较Figure 5. Comparison of PDF curves of AUV trajectory displacement deviation under different methods with sea wave flow velocity Us = 5 m/s![]()
图 6 不同海浪流动速度Us 和有义波高Hs下AUV横向位移偏差概率密度函数Figure 6. PDF of lateral displacement deviation of AUV under different sea wave flow velocities Us and significant heights Hs![]()
图 7 不同海浪流动速度Us 和有义波高Hs下AUV纵向位移误差概率密度函数Figure 7. PDF of longitudinal displacement deviation of AUV under different sea wave flow velocities Us and significant heights Hs![]()
图 8 不同海浪流动速度Us 和有义波高Hs下AUV偏航角位移偏差概率密度函数Figure 8. PDF of yaw angle displacement deviation of AUV under different sea wave flow velocities Us and significant heights Hs表 2 不同方法下AUV轨迹位移偏差概率密度函数的计算误差Table 2. Calculation errors of PDF for AUV trajectory displacement deviation using different methodsDisplacements Methods HK-L lateral displacement DPIM-BPC 0.043 DPIM 0.059 MCS 0 longitudinal displacement DPIM-BPC 0.040 DPIM 0.056 MCS 0 yaw angle displacement DPIM-BPC 0.054 DPIM 0.063 MCS 0 Note: HK-L means K-L divergence. 表 3 不同方法计算时间比较Table 3. Computation time comparison of different methodsMethods CPU time/s DPIM-BPC 1127.23 DPIM 4211.25 MCS 36950.98 通过图6 ~ 图8可以发现, 随着有义波高Hs及海浪流动速度Us的增加, AUV系统随机响应偏差的概率密度较小处的峰值显著降低, 尤其是对于系统横向位移及偏向角位移, 其响应偏差概率密度较大处的峰值显著增高, 表明AUV的运动轨迹发生较大偏差或者系统振荡的概率急剧增加. 此外, 比较有义波高Hs和海浪流动Us速度的影响, 可得相比于有义波高, 海浪流动速度增加会对AUV运动响应造成更大影响.
为深入研究高海浪流动速度下AUV随机系统的运动特性, 图9和图10分别给出了在Us = 10 m/s 时AUV轨迹位移偏差响应的自相关函数和概率密度演化曲面. 由这些图可以发现, 在较高的海浪流动速度下航行时, AUV横向位移发生较大偏差的概率不断变大, 纵向位移出现较大偏差的概率较小, 但会发生小幅度振荡. 值得指出的是, 偏航角位移可能会出现小幅度振荡或大幅度振荡两种情况, 导致结构在两种振荡之间来回摆动, 从而发生随机跳跃现象, 致使水下航行器在航行过程中难以控制, 降低航行器运动稳定性.
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图 9 海浪流动速度Us = 10 m/s 时AUV时域内轨迹位移偏差的自相关函数Figure 9. Autocorrelation function of trajectory displacement deviation in the time domain for AUV with sea wave flow velocity Us = 10 m/s![]()
图 10 海浪流动速度Us = 10 m/s 时AUV轨迹位移偏差概率密度演化曲面Figure 10. PDF evolution surface of AUV trajectory displacement deviation with sea wave flow velocity Us = 10 m/s此外, 为了进一步展现海浪流动速度的影响, 图11给出了不同海浪流动速度Us下AUV横向位移和纵向位移偏差的联合概率密度函数等高线图. 通过图11可以发现, 当海浪流动速度Us较小时, 系统位移发生大偏差或剧烈振荡概率较小, 主要出现小的偏差. 随着海浪流动速度Us增加到10 m/s时, 绿色等高线区域显著变大, 这表明大偏差或剧烈振荡发生概率急剧增加, 此时, 水下航行器易发生大幅度振荡或脱离控制, 偏离预定轨迹.
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图 11 不同海浪流动速度Us下AUV横向位移和纵向位移偏差联合概率密度函数等高线图Figure 11. The contour plots of joint PDFs of lateral and longitudinal displacement deviation for AUV under different sea wave flow velocities Us4. 结论
本文在概率积分框架下, 借助直接概率积分法中各代表性响应可独立计算的优势, 提出了基于分块并行计算的直接概率积分法, 以实现水下航行器随机动力响应的高效分析. 通过与原直接概率积分法及蒙特卡洛模拟方法计算结果比较, 验证了本文提出方法的精确性, 并发现本文提出方法计算时间约为原直接概率积分法计算时间的1/3, 蒙特卡洛模拟方法的1/30, 极大地提升了计算效率.
此外, 研究结果表明, 随着海浪流动速度和有效波高的增加, 水下航行器随机响应的概率密度函数在小概率处的峰值下降, 系统运动轨迹发生偏差或出现振荡的概率增加, 从而降低了航行器的运动稳定性. 此外, 相比于有义波高, 海浪流动速度的增加更易导致水下航行器发生大位移偏差或大幅度振荡的概率增加, 并可能引起随机跳跃现象, 极大地降低了水下航行器的航行安全性. 因此, 在水下航行器的运动轨迹规划中, 应优先考虑规避开海浪流动速度较大的区域, 以提高水下航行器的航行安全性.
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图 3 基于分块并行计算的直接概率积分法数值求解流程图
Figure 3. Flowchart of numerical procedure for DPIM based on block parallel computing
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图 5 海浪流动速度Us = 5 m/s 时不同方法下AUV轨迹位移偏差概率密度函数曲线比较
Figure 5. Comparison of PDF curves of AUV trajectory displacement deviation under different methods with sea wave flow velocity Us = 5 m/s
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图 6 不同海浪流动速度Us 和有义波高Hs下AUV横向位移偏差概率密度函数
Figure 6. PDF of lateral displacement deviation of AUV under different sea wave flow velocities Us and significant heights Hs
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图 7 不同海浪流动速度Us 和有义波高Hs下AUV纵向位移误差概率密度函数
Figure 7. PDF of longitudinal displacement deviation of AUV under different sea wave flow velocities Us and significant heights Hs
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图 8 不同海浪流动速度Us 和有义波高Hs下AUV偏航角位移偏差概率密度函数
Figure 8. PDF of yaw angle displacement deviation of AUV under different sea wave flow velocities Us and significant heights Hs
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图 9 海浪流动速度Us = 10 m/s 时AUV时域内轨迹位移偏差的自相关函数
Figure 9. Autocorrelation function of trajectory displacement deviation in the time domain for AUV with sea wave flow velocity Us = 10 m/s
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图 10 海浪流动速度Us = 10 m/s 时AUV轨迹位移偏差概率密度演化曲面
Figure 10. PDF evolution surface of AUV trajectory displacement deviation with sea wave flow velocity Us = 10 m/s
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图 11 不同海浪流动速度Us下AUV横向位移和纵向位移偏差联合概率密度函数等高线图
Figure 11. The contour plots of joint PDFs of lateral and longitudinal displacement deviation for AUV under different sea wave flow velocities Us
表 1 无舵桨AUV主要参数
Table 1 Principal dimensions of AUV carrier rudderless paddle
Parameter Value weight/kg 320 length/m 3.3 radius/mm 323 AUV speed/kn 1 ~ 5 maximum diving depth/m 500 
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表 2 不同方法下AUV轨迹位移偏差概率密度函数的计算误差
Table 2 Calculation errors of PDF for AUV trajectory displacement deviation using different methods
Displacements Methods HK-L lateral displacement DPIM-BPC 0.043 DPIM 0.059 MCS 0 longitudinal displacement DPIM-BPC 0.040 DPIM 0.056 MCS 0 yaw angle displacement DPIM-BPC 0.054 DPIM 0.063 MCS 0 Note: HK-L means K-L divergence.
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表 3 不同方法计算时间比较
Table 3 Computation time comparison of different methods
Methods CPU time/s DPIM-BPC 1127.23 DPIM 4211.25 MCS 36950.98
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