RESEARCH AND OPTIMIZATION OF IMPACT RESISTANCE OF NOVEL GRADIENT CONTINUOUS CONTROLLABLE SANDWICH PANELS
-
摘要: 研究了一种基于空间填充设计方法与二维泰森多边形方法的梯度连续可控夹层结构的设计方法. 通过控制形核点的分布函数, 实现夹层结构面内相对密度的径向梯度分布且环向均匀分布, 进而对结构的抗冲击性能进行调控设计. 利用6061O铝合金加工制备了不同面板厚度的梯度夹层板进行落锤冲击实验, 并采用Abaqus/Explicit软件建立了三维有限元分析模型, 实验结果和数值模拟结果有较好的一致性. 通过实验观测与数值模拟得到梯度夹层板在低速局部冲击载荷作用下的变形机制, 基于理想刚塑性金属材料本构建立了低速局部冲击载荷作用下面内梯度夹层板动态响应的理论分析模型, 分析了面板与芯层的变形模式与吸能机理. 对形核点分布函数特征参数进行了分析, 得到了形核点分布函数对梯度夹层板抗冲击性能的影响规律, 阐明了特征参数对力学性能的调控机制. 以特征参数为设计变量, 以低速局部冲击载荷作用下梯度夹层板的抗冲击性能为优化目标, 建立多目标优化问题, 利用试验设计方法、代理模型技术及多目标遗传算法求解得到Pareto解集, 并利用最小距离选择法得到了综合最优解. 验证了梯度连续可控夹层结构的设计方法是可行且有效的.Abstract: In this paper, a novel method based on the space-filling design method and the 2D-Voronoi method was studied to design the in-plane gradient continuous controllable sandwich structures. In this method, the radial gradient distribution of the relative density in the sandwich structure plane was realized by controlling the distribution function of the sites, and the impact resistance of the sandwich structure was designed. The gradient sandwich panels with different face sheet thicknesses were fabricated by the 6061O Aluminum alloy for drop weight impact experiments, and a 3D finite element analysis model was established by Abaqus/Explicit, and the numerical simulation results were in good agreement with the experimental results. Based on the deformation mechanism of the gradient sandwich panels under low-velocity localized impact loading obtained by experiments and simulations, a theoretical analysis model of the dynamic response of the gradient sandwich panel under low-velocity localized impact loading was established based on the ideal rigid plastic metal material, and the deformation mode and energy absorption mechanism of the panel and core layer were analyzed. The parameters of the distribution function of the sites were analyzed, the influence of the distribution function on the impact resistance of the gradient sandwich panel was obtained, and the regulation mechanism of the distribution function parameters on the mechanical properties was clarified. To establish the multi-objective optimization problem, the site distribution function parameters were selected as the design variables, and the impact resistance of the gradient sandwich panel under low-velocity localized impact loading as the optimization goal. Utilized the design of the experiment method, surrogate model technology, and multi-objective genetic algorithm, the Pareto set was obtained, and the optimal design was obtained by the minimum distance selection method. It was verified that the design method of gradient continuous controllable sandwich structure studied in this paper is feasible and effective.
-
Keywords:
- sandwich panel /
- gradient cellular core /
- deformation mode /
- energy absorption /
- localized impact
-
引 言
近年来, 夹层结构作为低成本、轻量化的结构, 被广泛应用于交通和建筑领域, 也广泛存在于天然生物材料中[1]. 夹层结构是典型的复合结构, 一般由两块薄的硬面板和相对厚的芯层组成. 金属材料、复合材料和天然植物材料等几种典型的夹层结构材料引起了人们的关注[2-5].
根据不同的设计要求, 芯层有着不同的结构形式, 如泡沫、多胞结构、波纹结构、格栅/点阵结构和功能梯度结构等[6-11]. 其中, 多胞结构因其出色的性能被广泛研究与应用, 如负泊松比、负刚度等力学性能, 以及隔热、隔声和隔振等功能[12]. 研究表明, 通过引入具有合适设计的梯度结构, 可以提高多胞结构的抗冲击性能[13]. Hou等[9]研究了具有规则排列、交错排列和交叉排列3种不同结构的多层瓦楞夹层板. Wang等[14]在王莲结构的基础上, 设计了一种圆形仿生面内梯度芯层的圆形夹层板. 基于实验与数值模拟, 研究者们建立了许多解析模型来分析梯度夹层结构的力学性能[15-20].
由于芯层的强度以及面板的弯曲刚度相对较低, 因此夹层结构在运输碰撞、路面沙石、沙尘暴、冰雹和鸟撞等集中载荷作用下容易产生局部压痕变形甚至破坏. 已有研究表明, 夹层板在局部载荷作用下的变形特性主要受面板和芯层性能、面板厚度和压头尺寸的影响[21]. 针对局部载荷作用下夹层板的力学响应, 国内外学者们开展了大量的仿真及实验研究[22-25]. 与均匀分布的夹层结构相比, 梯度夹层结构具有更丰富的设计空间来提高结构的力学性能, Zhang等[26]针对低速冲击载荷作用下的梯度泡沫夹层结构的动态破坏行为进行了研究, 对比研究了不同厚度方向上正负梯度排布形式对整体破坏模式及抗冲击性能的影响.
研究者们提出了许多理论分析模型来预测局部载荷作用下夹层板的响应过程[27-29]. Xie等[21,30]利用虚速度原理(the principle of virtual velocities)[30]和最小势能原理(the principle of minimum potential energy)[21]分析了平面与球面压头作用下金属泡沫芯夹层板的局部压入响应. Apetre等[31]分析了具有功能梯度芯层的夹层梁的低速冲击响应, 其芯层的密度沿夹层结构的面外方向(即厚度方向)而变化. 这些理论分析模型大致可以分为3类: (1)芯层为均质结构; (2)载荷为面外方向且芯层梯度方向亦为面外方向; (3)芯层为面内梯度结构但载荷作用方向亦为面内. 目前, 针对面外方向低速局部冲击载荷作用下的面内梯度夹层结构的动力学响应理论分析研究相对较少. 为此, 作者所在的课题组近期针对局部冲击载荷作用下的面内梯度夹层板开展了理论建模分析工作[32]. 但芯层的梯度结构排布形式对夹层结构整体的力学性能影响规律尚不明晰, 芯层梯度函数特征参数对整体夹层结构抗冲击性能的调控机制亟待研究.
为解决上述问题, 本工作在前期工作的基础上, 基于空间填充设计方法(space-filling design)与二维泰森多边形方法(2D-Voronoi method), 研究了一种梯度连续可控夹层结构的设计方法. 本方法拟通过控制梯度芯层的设计特征参数, 调控梯度夹层结构整体的力学性能, 进而得到满足抗冲击性能需求的设计方案. 基于实验与数值模拟结果, 建立局部冲击载荷作用下的面内梯度夹层结构的动力学响应理论分析模型, 探索芯层梯度分布函数的特征参数对结构抗冲击性能的影响机制. 利用试验设计方法、代理模型技术以及多目标遗传算法, 以梯度分布特征参数为设计变量, 以低速局部冲击载荷作用下夹层结构的抗冲击性能为优化目标, 对梯度夹层结构进行多目标优化设计, 以验证本文研究的设计方法的可行性及有效性.
1. 材料与实验
1.1 梯度连续可控夹层结构的设计方法
本文研究了一种基于空间填充设计方法与二维泰森多边形方法的梯度连续可控夹层结构的设计方法. 本方法通过控制芯层形核点(sites)的数目n与分布函数l(n), 实现夹层结构面内相对密度的径向梯度、环向均匀分布, 进而对结构的抗冲击性能进行调控设计. 设计流程如图1所示[32].
第1步, 初始化. 选择n与l(n), 确定芯层形核点初始排布, 记作Dinitial. 形核点沿环向均匀分布; 同时, 为实现芯层结构相对密度的梯度连续可控, 形核点沿径向的分布函数为
$$ \frac{{{l_i}}}{{{R_0}}} = \frac{{1 - n{l_{\min }}}}{{\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^n {({j^\alpha } - 1)} }}({i^\alpha } - 1) + {l_{\min }} $$ (1) 式中, li为第i对相邻形核点沿径向的间距, R0为圆形设计区域半径, lmin为形核点沿径向的最小间距与设计区域半径比值, α为分布函数特征参数. 本文中, n, R0, lmin与α分别为50, 75, 0.01 mm与2.
第2步, 扰动. 随机选择两个形核点, 交换其径向坐标, 记作Dtry.
第3步, 空间填充设计. 为实现形核点的环向均匀分布, 利用最大距离拉丁超立方(maximin Latin hypercube, MmLh)空间填充设计方法对形核点排布进行优化, 避免形核点局部聚集. 空间设计准则φ可利用如下公式计算[33]
$$ {\varphi _p}(D) = {\left\{ {\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\sum\limits_{j = i + 1}^n {{{\left[ {{{({x_i} - {x_j})}^2} + {{({y_i} - {y_j})}^2}} \right]}^{ - \tfrac{p}{2}}}} } } \right\}^{\tfrac{1}{p}}} $$ (2) 式中, xi和yi为直角坐标系下形核点的横纵坐标值, p为大于0正整数, 本文中p = 100[33].
比较φ(Dinitial)与φ(Dtry), 当扰动设计的空间均匀性较差(即更大的φ值)时, Dtry会被舍弃并重新返回第2步; 但为了加速初期的迭代过程, 让Dinitial中的点尽早分散, 仍有一定的概率λ会接受空间均匀性较差的Dtry, 接受概率λ由下式计算得到[33]
$$ \lambda = {{\text{e}}^{{{ - \left[ {{\varphi _p}({D_{{\text{try}}}}) - {\varphi _p}(D)} \right]} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \left[ {{\varphi _p}({D_{{\text{try}}}}) - {\varphi _p}(D)} \right]} t}} \right. } t}}} $$ (3) 式中, t为温度参数, 用于表征Dtry被接受的次数, 初始值为1. 当扰动设计有着更好的空间均匀性时, 接受Dtry, 并将Dtry分别记作Dinitial和Dbest, 返回第2步. 每当Dtry被接受时, 温度参数t会减小5%, 因此随着循环次数的增加, t不断减小; 相应的接受概率λ也减小, 即在迭代过程后期, 空间均匀性较差的Dtry几乎不会被接受.
重复第2和3步, 直至φ(Dinitial)与φ(Dtry)差值达到许可, 或单次扰动循环迭代次数达到上限, 则停止循环. 输出Dbest作为形核点排布的最终设计.
第4步, 绘制二维泰森多边形. 基于第3步得到的形核点排布, 绘制二维泰森多边形, 修剪超出设计区域的边(edges).
第5步, 拉伸. 将第4步获得的泰森多边形作为梯度芯层的横截面设计, 通过偏置tc厚度及拉伸Hc高度得到梯度多胞芯层.
第6步, 制作梯度夹层结构. 根据设计边界大小制作相应的面板, 厚度为tf. 利用结构胶将面板与芯层黏接, 得到梯度连续可控夹层结构.
1.2 梯度夹层板试件制备
本文使用线切割机加工制作夹层结构的面板与芯层, 材料均为6061O铝合金. 芯层厚度tc与高度Hc分别为0.5 mm和20 mm; 为研究面板厚度对梯度夹层结构抗冲击性能的影响, 加工制作了3种不同厚度的面板, 分别为1, 1.5与2 mm. 面板与芯层使用抗冲击结构胶(3M™ impact resistant structural adhesive PNs 07333)粘接, 固化温度与时间分别为80 °C与30 min.
1.3 局部低速冲击实验
本文利用落锤冲击试验机(instron dynatup 9250HV)对梯度夹层结构在局部冲击载荷作用下的抗冲击性能进行了研究, 如图2所示. 锤头为半球形, 半径R = 8 mm. 冲击质量为5.6 kg, 初始高度为0.5 m, 试样底部置于刚性基础上.
![]()
图 2 梯度夹层结构试件及落锤试验机Figure 2. Gradient sandwich panel specimen and the drop hammer impact testing machine2. 理论模型
2.1 问题描述
如图3所示, 为面内梯度夹层结构低速冲击理论分析模型示意图. 其中, 球形锤头的半径为R; 上面板在落锤冲击下的中心压溃变形位移为δ; r为径向坐标; 上层面板与芯层的厚度分别为tf和tc. 由于在低速冲击过程中, 下层面板几乎没有受力变形, 对整体结构的吸能性能没有贡献, 因此忽略下层面板的影响. 此外, 假定在落锤冲击夹层结构直至速度减为零的过程中, 球形落锤与上层面板是黏着在一起, 两者在接触区域的位移始终相等. 同时, 本模型仅考虑结构的变形吸能, 忽略落锤的变形、重力以及结构之间摩擦等因素的影响. 假设面板与芯层材料均为理想刚塑性材料, 其流动应力可由其平均应力近似表示为$ \dfrac{1}{{{\varepsilon _u}}}\displaystyle\int_0^{{\varepsilon _u}} {\sigma {\text{d}}\varepsilon } $[34].
2.2 面内梯度夹层板低速冲击响应模型
本文中, 梯度夹层结构上层面板的位移场利用幂函数模型描述, 其位移场d(r)可表示为
$$ d(r) = \delta {\left( {1 - {{{r^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{r^2}} {r_0^2}}} \right. } {r_0^2}}} \right)^3} $$ (4) 式中r0为上层面板压溃变形区域的半径, 为3(Rδtf)1/3.
由于上层面板在冲击作用下产生局部纵向大变形, 因此忽略其剪力、环向膜力、径向弯矩以及环向弯矩的影响, 仅考虑其径向膜力的作用[35]. 则上层面板的应变能Ef可以近似表示为[36]
$$ {E_f} = \int_0^{{r_0}} {{\sigma _f}{\varepsilon _r}{t_f} \cdot 2{\text{π}}r} {\text{d}}r = \int_0^{{r_0}} {{\sigma _f}\frac{1}{2}{{\left( {\frac{{\partial d}}{{\partial r}}} \right)}^2}{t_f} \cdot 2{\text{π}}r} {\text{d}}r $$ (5) 式中, σf为上层面板的平均应力. 将式(4)代入上式可得
$$ {E_f} = \frac{3}{5}{\text{π}} {\sigma _f}{t_f}{\delta ^2} $$ (6) 芯层在局部冲击载荷的作用下产生压缩变形, 其应变能可以表示为如下形式[21]
$$ {E_c} = \int_0^{{r_0}} {{\sigma _c}(r)d(r) \cdot 2{\text{π}} r{\text{d}}r} $$ (7) 式中, σc(r)为芯层的平均压溃应力, 通过分析仿真结果, 当α = 2时, σc(r)沿径向迅速减小, 可近似表示为如下形式
$$ {\sigma _c}(r) = {\sigma _{c0}}{\left( {{{1 - r} \mathord{\left/ {\vphantom {{1 - r} {{R_0}}}} \right. } {{R_0}}}} \right)^5} $$ (8) 式中, σc0为芯层圆心处(即冲击位置)的平均压溃应力. 将上式代入式(7)可得
$$ {E_c} = {\text{π}}{\sigma _{c{\text{0}}}}r_0^2\delta \left( {\frac{{ - 32}}{{3003}}\bar r_0^5 + \frac{1}{{12}}\bar r_0^4 - \frac{{64}}{{231}}\bar r_0^3 + \frac{1}{2}\bar r_0^2 - \frac{{32}}{{63}}{{\bar r}_0} + \frac{1}{4}} \right) $$ (9) 式中, $ {\bar r_0} $为无量纲参数r0/R0.
由功能原理可知, 外力功W与应变能有如下关系
$$ W = \int_0^\delta {F{\text{d}}\delta } = {E_f} + {E_c} $$ (10) 式中, F为落锤对上层面板的压力. 令上式对δ求导, 可得
$$ \begin{split} & {F = {\text{π}} {\sigma _{c0}}r_0^2\left( { - \frac{{320}}{{9009}}\bar r_0^5 + \frac{1}{4}\bar r_0^4 - \frac{{512}}{{693}}\bar r_0^3} \right.}+ \\ &\qquad {\left. { \frac{7}{6}\bar r_0^2 - \frac{{64}}{{63}}{{\bar r}_0} + \frac{5}{{12}}} \right) + \frac{6}{5}{\text{π}} {\sigma _f}{t_f}\delta } \end{split} $$ (11) 3. 有限元模型
为了分析梯度夹层结构在局部冲击载荷作用下的动力学响应, 利用Abaqus/Explicit软件建立有限元模型进行数值模拟, 如图4(a)所示.
夹层板的上、下面板均采用实体单元(C3D8R), 厚度方向划分3个单元; 梯度芯层采用壳单元(S4R); 为兼顾计算精度及效率, 对冲击区域的面板与芯层采取网格细化处理, 远离部分网格尺寸稍大, 分别为0.5和2.5 mm. 冲头采用尺寸为1 mm的C3D8R单元, 施加Rigidbody约束. 由于冲击实验中未发现明显的胶层失效, 因此忽略胶层的建模, 利用Tie约束模拟面板与芯层的胶接. 对下面板施加整体位移约束, 模拟冲击实验中的刚性基础. 考虑冲头、面板与芯层之间的接触, 采用hard contact, 摩擦系数为0.3. 面板与芯层铝合金的密度、杨氏模量、泊松比分别为2.68 kg/m3, 65.19 GPa, 0.33; 采用Johnson-Cook (JC)模型模拟其塑性性能, 具体参数如表1所示; 材料本构参数由轴向拉伸实验数据拟合得到, 如图4(b)所示.
表 1 6061O铝合金的材料参数Table 1. The parameters of AA6061OA/MPa B/MPa n m 314.15 478.32 0.87 0 4. 结果与讨论
4.1 低速冲击下梯度夹层板的响应特性
图5给出了不同tf的梯度夹层板的力-位移曲线, tf分别为1, 1.5与2 mm. 可以看出, 整体的冲击过程可以分为压缩与回弹两个阶段. 随着压缩位移的增大, 夹层板所受冲击力逐渐增大; 且tf越大, 曲线越陡, 这是由于增加面板厚度提高了整体的刚度, 与式(11)结论相同.
图6给出了梯度夹层板的变形模式与上层面板位移场. 可以看出, 由于约束了下层面板, 因此下层面板几乎没有变形. 上层面板与芯层发生明显变形, 芯层冲击区域的胞元壁发生明显屈曲褶皱(图6(a)中红圈所示); 且随着tf增加, 整体刚度增加, 上层面板最大位移减小. 在半径方向上, 越靠近中心冲击区域, 上层面板与芯层的变形越明显; 在环向上, 变形相对均匀. 由图5与图6可知, 理论结果、有限元仿真结果与实验结果吻合较好, 验证了理论模型和有限元模型的有效性.
4.2 形核点数目n的影响
本文研究的梯度芯层, 作为轻质多孔材料, 相对密度与平均应力是其重要的性能参数. 由1.1节的设计流程可知, n是影响梯度芯层力学性能的重要因素. 因此, 本文针对n对梯度芯层相对密度及平均应力沿径向的分布进行了研究. 将梯度芯层横截面沿半径方向平均分为15份, 分别计算每个圆环内芯层的相对密度, 如图7(a)左图所示. 由于本文研究的梯度芯层为薄壁多胞结构, 圆环部分的归一化相对密度可由下式近似计算
![]()
图 7 不同n的梯度芯层相对密度特点Figure 7. Characteristics of relative density of gradient cores with different n$$ {\bar \rho _{r,i}} = \frac{{{\rho _0}{{\tilde V}_i}}}{{{\rho _0}{V_i}}} = \frac{{{t_c}{L_i}}}{{{A_i}}} $$ (12) 式中, $ {\bar \rho _{r,i}} $为第i个圆环区域内芯层的归一化相对密度, ρ0为基体材料密度, Ṽi为圆环区域内基体材料体积, Vi为圆环区域体积, Li为圆环区域内胞元壁横截面边长的总长度, Ai为圆环区域横截面面积.
同理, 为研究梯度芯层相对密度沿环向的分布规律, 将其沿环向平均分为16份, 分别计算每个扇形内芯层的相对密度, 如图7(a)右图所示. 特征参数n, lmin及α的具体数值如表2所列, 为提高数据可靠性, 每组设计方案均利用1.1小节中的设计程序生成20个芯层以计算平均值. 选取表2中第1, 2, 6, 11及12组设计方案对n的影响进行研究.
表 2 设计特征参数及变异系数Table 2. Design parameters and coefficient of variationNo. n lmin α cvr/% cvθ/% 1 30 0.01 2 18.50 2.29 2 40 0.01 2 18.30 1.33 3 50 0.01 0 13.08 1.00 4 50 0.01 −0.5 4.88 0.62 5 50 0.01 −1 7.15 0.53 6 50 0.01 2 17.51 1.38 7 50 0.0085 2 18.53 1.30 8 50 0.015 2 14.77 1.11 9 50 0.007 2 19.95 0.94 10 50 0.01 4 17.40 2.10 11 60 0.01 2 16.65 1.69 12 70 0.01 2 15.66 1.00 由图7(b)可知, 当lmin及α不变时, 形核点在径向上分布梯度相同, 但相同圆环区域内的形核点数目会随着总体n的增大而增大. 图7(c)给出了形核点数目n对梯度芯层相对密度的影响. 可以看出, 随着半径的增大, 径向$ {\bar \rho _r} $迅速减小, 而环向$ {\bar \rho _r} $变化很小. 这表明材料沿径向梯度分布, 沿环向近似均有分布, 即形核点的分布可以影响材料的分布. 此外, 当lmin及α不变时, $ {\bar \rho _r} $随着n增大而增大. 这是由于随着n增大, 相同区域(即Ai相同)内形核点数目与胞元壁长度Li增大, 由式(12)可知, 相应的$ {\bar \rho _{r,i}} $会增大.
利用变异系数cv对梯度芯层在径向与环向上等效密度的离散程度进行比较, cv可由下式计算[37]
$$ cv = \frac{{\sqrt {\dfrac{1}{{{n_\rho }}}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{{n_\rho }} {{{\left( {{{\bar \rho }_{r,i}} - {{\bar \rho }_{r,{\text{mean}}}}} \right)}^2}} } }}{{{{\bar \rho }_{r,{\text{mean}}}}}} \times 100\% $$ (13) 式中, $ {n_\rho } $与$ {\bar \rho _{r,{\text{mean}}}} $分别为$ {\bar \rho _{r,i}} $的个数及平均值. 表2给出了$ {\bar \rho _r} $在径向与环向的变异系数cvr及cvθ, 可以看出, $ {\bar \rho _r} $在径向上离散程度受特征参数影响明显, 而$ {\bar \rho _r} $在环向上分布相对均匀(cvθ始终小于3%).
为研究形核点数目对梯度夹层板抗冲击性能的影响, 本文选择上层面板的最大位移δ及最大冲击力F来考察梯度夹层板的抗冲击性能; 选用比吸能(specific energy absorption, SEA)衡量结构的轻量化吸能性能, 即单位质量的吸能能力, 可由下式计算[38]
$$ SEA = \frac{E}{m} $$ (14) 式中, E为结构吸收的总能量, m为结构总体质量.
利用Abaqus/Explicit软件对梯度夹层板的力学性能进行有限元模拟研究, 图8(a)给出了梯度芯层平均应力分布曲线. 可以看出, 平均应力沿径向的分布与相对密度的分布有着相似规律: 随着半径增加而迅速减小; 当lmin及α不变时, σc随着n增大而增大. 此外, 对第6组设计方案, 式(8)的σc(r)分布函数与仿真结果吻合良好.
![]()
图 8 不同形核点数目梯度夹层结构力学性能Figure 8. Mechanical properties of gradient structures with different n图8(b)给出了SEA, δ及F随n的变化曲线. 可以看出, 当lmin及α不变时, 随着n的增加, SEA与δ减小, 而F增大. 这是由于n越大则胞元壁越多, 相应的m会增大, 故SEA减小; 同时, 中心冲击区域的n与胞元壁增大, 使得冲击区域刚度提高, 故δ减小而F增大. 这表明形核点分布可以影响材料的分布进而影响梯度夹层板整体的抗冲击性能.
4.3 形核点分布参数α的影响
选取表2中第5, 4, 3, 6及10组设计方案对α的影响进行研究. 由图9(a)可以看出, 当α > 0时, 形核点在径向上梯度分布, 越靠近中心冲击区域间距越小, 分布相对密集; 当α < 0时, 形核点在径向上仍然梯度分布, 但越靠近中心冲击区域间距越大, 分布相对稀疏; 当α = 0时, 径向上任意相邻两点距离相等, 因此在径向上均匀分布.
![]()
图 9 不同α的梯度芯层相对密度特点Figure 9. Characteristics of relative density of gradient cores with different α图9(b)给出了不同α的梯度芯层相对密度分布曲线, 可以看出, α通过控制形核点在径向上的分布梯度进而对径向$ {\bar \rho _r} $梯度产生影响. 同时, 由于形核点在环向上均匀分布, 因此环向$ {\bar \rho _r} $依然近似均匀分布. 此外, 值得注意的是, 当α = 0时, 虽然形核点在径向上均匀分布, 但由于径向上Ai在增大, 因此径向$ {\bar \rho _r} $依然呈现出递减的梯度分布形式. 同理, 当α < 0时, 虽然形核点的径向间距在递减, 但$ {\bar \rho _r} $呈现出先增后减的分布形式.
由图10(a)可知, 在径向上, σc与$ {\bar \rho _r} $有着相似的分布规律. 图10(b)给出了不同α的梯度夹层板抗冲击性能. 可以看出, 当n及lmin不变时, 随着α增加, SEA与F增大, 而δ减小. 这是由于α越大则形核点径向分布梯度越大, 中心冲击区域的n与胞元壁增大, 使得冲击区域刚度提高, 故δ减小而F增大. 同时, 当α增大时, 由于中心冲击区域面积相对较小, 因此形核点的分布越集中, 则整体的胞元壁长度越小, 导致m减小而SEA增大.
![]()
图 10 不同α的梯度夹层结构力学性能Figure 10. Mechanical properties of gradient structures with different α4.4 最小间距lmin的影响
选取表2中第9, 7, 6, 8及3组设计方案对lmin的影响进行研究. 显然tc/R ≤ lmin ≤ 1/n, 因此对于n = 50的设计方案, lmin ≤ 0.02. 当n及α不变时, 随着lmin增加, 径向上相邻两点的距离增加, 分布更均匀, 但增减方向不变. 且当lmin = 0.02时, 径向上任意相邻两点的距离均为最小值, 因此径向上呈现均匀分布(即为第3组α = 0时的情况), 如图11(a)所示.
![]()
图 11 不同lmin的梯度芯层相对密度特点Figure 11. Characteristics of relative density of gradient cores with different lmin图11(b)给出了不同lmin的梯度芯层相对密度分布曲线, 依然呈现出径向梯度分布而环向近似均匀分布. 当n及α不变时, 随着lmin增加, 径向上形核点分布越均匀, 形核点从中心冲击区域向外侧移动. 因此, 当lmin增加时, 不同设计方案的中心区域$ {\bar \rho _r} $减小, 而外侧$ {\bar \rho _r} $增加. 同时, σc与$ {\bar \rho _r} $有着相似的分布规律, 如图12(a)所示.
![]()
图 12 不同lmin的梯度夹层结构力学性能Figure 12. Mechanical properties of gradient structures with different lmin图12(b)给出了不同lmin的梯度夹层板抗冲击性能. 可以看出, 随着lmin增加, SEA与F减小, 而δ增加. 这是由于lmin增加, 中心冲击区域的n减少, 使得冲击区域刚度降低, 故F减小而δ增大. 同时, 随着lmin增加, 形核点的分布越分散, 则整体的胞元壁长度越大, 导致m增大而SEA减小.
4.5 低速冲击下梯度夹层板抗冲击性能优化设计
通过前面章节的讨论与分析可知, 通过调整n, lmin与α可以对梯度芯层的相对密度及平均应力分布进行控制, 进而实现对梯度夹层板的抗冲击性能进行设计优化. 为验证该方法的有效性, 本文以形核点径向分布函数的参数α与lmin为设计变量, 以梯度夹层板的比吸能SEA、上层面板位移δ与最大冲击力F为优化目标, 建立多目标优化问题, 对局部冲击载荷作用下梯度夹层板的抗冲击性能进行优化设计, 其数学模型可表示为如下形式
$$ \left. \begin{split} & {{\text{find:}}}\;\;{{\boldsymbol{x}} = \left\{ {{{\bar \alpha }_i},{{\bar l}_i}} \right\}} \\ & {{\text{min:}}}\;\;{F({\boldsymbol{x}}) = F(\bar S ,\bar \delta ,\bar F )} \\ & {{\text{s}}{\text{.t}}{\text{.:}}}\;\;{0 < \bar S ,{\text{ }}\bar \delta ,{\text{ }}\bar F ,{\text{ }}\bar \alpha ,{\text{ }}\bar l \leqslant 1} \end{split} \right\} $$ (15) 式中, $ \bar \alpha $, $ \bar l $, $ \bar S $, $ \bar \delta $与$ \bar F $均为无量纲参数, 可分别由如下公式计算
$$ \left. \begin{split} & {\bar \alpha = \frac{{\alpha - \min (\alpha )}}{{\max (\alpha ) - \min (\alpha )}},}\;\;{\bar l = \frac{{{l_{\min }} - \min ({l_{\min }})}}{{\max ({l_{\min }}) - \min ({l_{\min }})}}} \\ & {\bar S = \frac{{SE{A^{ - 1}}}}{{\max (SE{A^{ - 1}})}},}\;\;{\bar \delta = \frac{\delta }{{\max (\delta )}},}\;\;{\bar F = \frac{F}{{\max (F)}}} \end{split} \right\} $$ (16) 式中, α与lmin即为设计变量, 取值范围分别为[−1, 4]与[0.007, 0.02]; SEA, δ与F的取值范围根据样本点仿真结果确定; tf, tc与n分别为1和0.5 mm与50, 落锤质量、尺寸及速度与1.3小节中实验条件相同. 为提高数据可靠性, 每组设计方案均利用1.1小节中的设计程序生成20个芯层以计算平均值. 本文的具体优化流程如图13所示.
优化流程主要包括建立优化问题、试验设计、有限元模拟、建立代理模型以及多目标优化等步骤, 具体如下:
(1) 选取设计变量和优化目标;
(2) 利用最优拉丁方试验设计(optimal Latin hypercube design, OLHD)[33]选取N0个样本点, 本文共选取21组样本点(表3中8 ~ 28组数据), 结合4.2 ~ 4.4小节的7组数据(表3中1 ~ 7组数据), 共计N = 28组样本点用以构建初始的代理模型(surrogate model);
(3) 根据有限元模拟结果建立代理模型;
(4) 利用OLHD选取5组检测点(表3中29 ~ 33组数据)以校核代理模型的预测精度;
(5) 若精度不满足要求则返回(2), 重新选取N0组样本点, 将检测点与N0同时加入N, 以提高代理模型的预测精度; 若满足要求则继续;
(6) 利用遗传算法对多目标优化问题进行求解, 得到Pareto解集;
(7) 求解knee point作为综合最优解(utopia point);
(8) 根据优化得到的设计变量建立有限元模型并校核代理模型预测精度;
(9) 若精度不满足要求则返回(2), 重新选取N0组样本点以增加样本点数量N, 进而提高代理模型的预测精度; 若满足要求, 则输出优化结果, 优化流程结束.
表 3 28组样本点及5组检测点的仿真与代理模型预测结果Table 3. Simulation and surrogate model prediction results of 28 samples and 5 test pointsNo. α lmin/10−2 SEA/(J·kg−1) δ/mm F/kN sim. RBF-L error/% sim. RBF-L error/% sim. RBF-L error/% 1 −1.00 1.00 127.87 127.87 0.00 4.87 4.87 0.00 8.48 8.48 0.00 2 −0.50 1.00 136.12 136.12 0.00 4.40 4.40 0.00 8.96 8.96 0.00 3 2.00 0.70 170.13 170.13 0.00 2.48 2.48 0.00 14.22 14.22 0.00 4 2.00 0.85 169.03 169.03 0.00 2.58 2.58 0.00 13.61 13.61 0.00 5 2.00 1.00 169.31 169.31 0.00 2.65 2.65 0.00 12.60 12.60 0.00 6 2.00 1.50 163.72 163.72 0.00 2.92 2.92 0.00 11.62 11.62 0.00 7 4.00 1.00 169.56 169.56 0.00 2.73 2.73 0.00 13.04 13.04 0.00 8 −0.50 0.83 131.45 131.45 0.00 4.50 4.50 0.00 8.73 8.73 0.00 9 −1.00 1.16 128.24 128.24 0.00 4.71 4.71 0.00 8.68 8.68 0.00 10 3.50 1.29 165.71 165.71 0.00 2.82 2.82 0.00 12.06 12.06 0.00 11 3.75 1.61 163.10 163.10 0.00 3.00 3.00 0.00 11.40 11.40 0.00 12 2.25 1.35 164.26 164.26 0.00 2.84 2.84 0.00 11.90 11.90 0.00 13 2.75 1.03 166.68 166.68 0.00 2.67 2.67 0.00 13.09 13.09 0.00 14 3.25 1.87 160.21 160.21 0.00 3.10 3.10 0.00 10.79 10.79 0.00 15 2.50 1.68 162.46 162.46 0.00 3.03 3.03 0.00 11.20 11.20 0.00 16 0.00 2.00 158.55 158.55 0.00 3.15 3.15 0.00 10.60 10.60 0.00 17 −0.75 1.48 143.26 143.26 0.00 4.04 4.04 0.00 9.32 9.32 0.00 18 0.50 1.42 162.44 162.44 0.00 2.95 2.95 0.00 11.33 11.33 0.00 19 0.25 1.09 161.56 161.56 0.00 2.84 2.84 0.00 11.64 11.64 0.00 20 4.00 0.96 169.61 169.61 0.00 2.71 2.71 0.00 13.12 13.12 0.00 21 1.25 1.22 165.07 165.07 0.00 2.80 2.80 0.00 11.78 11.78 0.00 22 3.00 0.70 169.66 169.66 0.00 2.48 2.48 0.00 14.81 14.81 0.00 23 −0.25 1.74 153.69 153.69 0.00 3.43 3.43 0.00 10.14 10.14 0.00 24 1.50 1.55 162.68 162.68 0.00 2.95 2.95 0.00 11.16 11.16 0.00 25 1.00 1.81 158.93 158.93 0.00 3.08 3.08 0.00 11.06 11.06 0.00 26 0.75 0.77 168.26 168.26 0.00 2.61 2.61 0.00 12.54 12.54 0.00 27 2.00 1.94 157.80 157.80 0.00 3.15 3.15 0.00 10.92 10.92 0.00 28 1.75 0.90 168.23 168.23 0.00 2.60 2.60 0.00 13.00 13.00 0.00 29 4.00 1.22 165.49 168.01 1.52 2.84 2.80 −1.13 12.26 12.44 1.49 30 3.00 1.74 160.04 161.25 0.76 3.05 3.07 0.76 11.15 10.97 −1.58 31 2.00 0.70 171.09 170.13 −0.56 2.46 2.48 0.63 13.95 14.22 1.94 32 −1.00 0.96 124.86 127.22 1.89 4.91 4.89 −0.51 8.50 8.43 −0.75 33 1.00 1.48 161.79 163.24 0.90 2.92 2.94 0.69 11.34 11.12 −1.93 RMAE/% 1.89 1.13 1.94 RAAE/% 1.13 0.75 1.54 代理模型技术是一种运用已知样本点信息来计算未知设计点响应值的回归方法, 在工程优化设计中应用广泛, 常见的代理模型方法有响应面法(response surface method, RSM)、径向基函数模型(radial basis function, RBF)及径向基耦合多项式函数模型(RBF model augmented with the linear polynomials, RBF-L)[39]. 为兼顾线性响应与非线性响应的拟合精度, 本文选用径向基耦合一次多项式函数代理模型对优化目标与设计变量之间的关系进行建模, 其数学模型可表示为如下形式[40]
$$ f({\boldsymbol{x}}) \approx \dot f({\boldsymbol{x}}) = \sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}\phi (\left\| {{\boldsymbol{x}} - {{\boldsymbol{x}}_i}} \right\|)} + \sum\limits_{j = 1}^q {{c_j}{g_j}({\boldsymbol{x}})} $$ (17) 式中, x为设计变量, f (x)为真实响应值, ḟ (x)为代理模型预测值, n为样本点个数, λi为第i个径向基函数的系数, ϕ为径向基函数, q为耦合多项式函数的个数, gj为第j个多项式函数, cj为其系数.
为评价构建的代理模型预测精度, 本文采用的误差分析指标为相对最大误差绝对值(relative maximum absolute error, RMAE)及相对平均误差绝对值(relative average absolute error, RAAE), 分别可由如下公式计算[41]
$$ {{{RMAE}} = \mathop {\max (R{E_i})}\limits_{i = 1}^{{N_{{\text{check}}}}} ,}\quad {{{RAAE}} = \dfrac{1}{{{N_{{\text{check}}}}}}\sum\limits_{i = 1}^{{N_{{\text{check}}}}} {\left| {R{E_i}} \right|} } $$ (18) 式中, Ncheck为待检测点个数, REi为第i个检测点的相对误差.
有限元结果与代理模型预测结果如图14所示, 本文建立的RBF-L模型对5组检测点SEA, δ与F的RMAE分别为1.89%, 1.13%及1.94%, RAAE分别为1.13%, 0.75%及1.54%, 满足精度要求.
![]()
图 14 仿真结果与代理模型预测结果对比Figure 14. Comparison between FE results and surrogate model predicted results本文利用非支配排序遗传算法(non-dominated sorting genetic algorithm, NSGA)的改进优化算法NSGA-II对式(15)进行求解. 经过10000步迭代得到3419组解, 如图15所示, 为多目标优化问题的Pareto解集. 为得到综合最优解, 采用最小距离选择法(the minimum distance selection method, TMDSM), 该法可表示为如下形式[42]
$$ {D_{\min }} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\bar S({\boldsymbol{x}})}}{{{{\bar S}_{\min }}}} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\bar \delta ({\boldsymbol{x}})}}{{{{\bar \delta }_{\min }}}} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\bar F({\boldsymbol{x}})}}{{{{\bar F}_{\min }}}} - 1} \right)}^2}} $$ (19) 经过TMDSM法求解得到knee point, 作为多目标优化问题的综合最优解, 即Pareto解集第2977组解, SEA, δ与F分别为161.28 J/kg, 2.97 mm与10.97 kN, 对应的设计变量α与lmin分别为1.08与0.016. 利用有限元仿真对优化结果进行验证, 分别建立了10组不同芯层结构的有限元模型, 仿真得到的SEA, δ与F平均值分别为163.26 J/kg, 3.00 mm与11.28 kN, 相对误差分别为−1.22%, −0.70%与−2.72%, 代理模型精度满足要求.
通过以上分析可知, 通过选取合适的形核点分布函数特征参数, 可以调控形核点的分布形式, 进而获得满足抗冲击性能要求的最优设计方案. 这表明了本文研究的梯度连续可控夹层结构的设计方法是可行且有效的.
5. 结 论
本文研究了一种梯度连续可控夹层结构的设计方法. 利用实验、理论与数值模拟相结合的方法, 研究了梯度夹层板在低速局部冲击载荷作用下的动力学响应. 分别建立了理论分析与有限元模型对梯度夹层板的动力学行为、变形机理和能量吸收特点进行了研究. 详细分析讨论了形核点分布函数关键特征参数对夹层结构抗冲击性能的影响. 本文得到主要结论如下.
(1) 本文研究了一种基于空间填充设计方法与二维泰森多边形方法的梯度连续可控夹层结构的设计方法. 通过控制形核点的分布形式, 可以调控梯度夹层结构的抗冲击性能, 进而得到满足设计要求的最优设计方案.
(2) 建立了低速局部冲击载荷作用下梯度夹层板的理论分析模型, 并根据实验及有限元模拟数据对其进行验证, 吻合良好.
(3) 分析讨论了形核点分布函数特征参数n, α及lmin对夹层结构抗冲击性能的影响, 阐明了特征参数对夹层结构相对密度、平均应力、比吸能、最大位移及最大冲击力等抗冲击性能的影响机制.
(4) 以形核点分布函数特征参数为优化变量, 梯度夹层板的抗冲击性能为优化目标, 建立多目标优化问题. 利用OLHD试验设计方法、RBF-L代理模型技术、NSGA-II多目标遗传算法及TMDSM方法对多目标优化问题进行求解, 得到了Pareto解集及综合最优解. 验证了本文研究的梯度连续可控夹层结构设计方法的可行性及有效性.
-
![]()
图 2 梯度夹层结构试件及落锤试验机
Figure 2. Gradient sandwich panel specimen and the drop hammer impact testing machine
![]()
图 7 不同n的梯度芯层相对密度特点
Figure 7. Characteristics of relative density of gradient cores with different n
![]()
图 8 不同形核点数目梯度夹层结构力学性能
Figure 8. Mechanical properties of gradient structures with different n
![]()
图 9 不同α的梯度芯层相对密度特点
Figure 9. Characteristics of relative density of gradient cores with different α
![]()
图 10 不同α的梯度夹层结构力学性能
Figure 10. Mechanical properties of gradient structures with different α
![]()
图 11 不同lmin的梯度芯层相对密度特点
Figure 11. Characteristics of relative density of gradient cores with different lmin
![]()
图 12 不同lmin的梯度夹层结构力学性能
Figure 12. Mechanical properties of gradient structures with different lmin
![]()
图 14 仿真结果与代理模型预测结果对比
Figure 14. Comparison between FE results and surrogate model predicted results
表 2 设计特征参数及变异系数
Table 2 Design parameters and coefficient of variation
No. n lmin α cvr/% cvθ/% 1 30 0.01 2 18.50 2.29 2 40 0.01 2 18.30 1.33 3 50 0.01 0 13.08 1.00 4 50 0.01 −0.5 4.88 0.62 5 50 0.01 −1 7.15 0.53 6 50 0.01 2 17.51 1.38 7 50 0.0085 2 18.53 1.30 8 50 0.015 2 14.77 1.11 9 50 0.007 2 19.95 0.94 10 50 0.01 4 17.40 2.10 11 60 0.01 2 16.65 1.69 12 70 0.01 2 15.66 1.00 
下载: 导出CSV
表 3 28组样本点及5组检测点的仿真与代理模型预测结果
Table 3 Simulation and surrogate model prediction results of 28 samples and 5 test points
No. α lmin/10−2 SEA/(J·kg−1) δ/mm F/kN sim. RBF-L error/% sim. RBF-L error/% sim. RBF-L error/% 1 −1.00 1.00 127.87 127.87 0.00 4.87 4.87 0.00 8.48 8.48 0.00 2 −0.50 1.00 136.12 136.12 0.00 4.40 4.40 0.00 8.96 8.96 0.00 3 2.00 0.70 170.13 170.13 0.00 2.48 2.48 0.00 14.22 14.22 0.00 4 2.00 0.85 169.03 169.03 0.00 2.58 2.58 0.00 13.61 13.61 0.00 5 2.00 1.00 169.31 169.31 0.00 2.65 2.65 0.00 12.60 12.60 0.00 6 2.00 1.50 163.72 163.72 0.00 2.92 2.92 0.00 11.62 11.62 0.00 7 4.00 1.00 169.56 169.56 0.00 2.73 2.73 0.00 13.04 13.04 0.00 8 −0.50 0.83 131.45 131.45 0.00 4.50 4.50 0.00 8.73 8.73 0.00 9 −1.00 1.16 128.24 128.24 0.00 4.71 4.71 0.00 8.68 8.68 0.00 10 3.50 1.29 165.71 165.71 0.00 2.82 2.82 0.00 12.06 12.06 0.00 11 3.75 1.61 163.10 163.10 0.00 3.00 3.00 0.00 11.40 11.40 0.00 12 2.25 1.35 164.26 164.26 0.00 2.84 2.84 0.00 11.90 11.90 0.00 13 2.75 1.03 166.68 166.68 0.00 2.67 2.67 0.00 13.09 13.09 0.00 14 3.25 1.87 160.21 160.21 0.00 3.10 3.10 0.00 10.79 10.79 0.00 15 2.50 1.68 162.46 162.46 0.00 3.03 3.03 0.00 11.20 11.20 0.00 16 0.00 2.00 158.55 158.55 0.00 3.15 3.15 0.00 10.60 10.60 0.00 17 −0.75 1.48 143.26 143.26 0.00 4.04 4.04 0.00 9.32 9.32 0.00 18 0.50 1.42 162.44 162.44 0.00 2.95 2.95 0.00 11.33 11.33 0.00 19 0.25 1.09 161.56 161.56 0.00 2.84 2.84 0.00 11.64 11.64 0.00 20 4.00 0.96 169.61 169.61 0.00 2.71 2.71 0.00 13.12 13.12 0.00 21 1.25 1.22 165.07 165.07 0.00 2.80 2.80 0.00 11.78 11.78 0.00 22 3.00 0.70 169.66 169.66 0.00 2.48 2.48 0.00 14.81 14.81 0.00 23 −0.25 1.74 153.69 153.69 0.00 3.43 3.43 0.00 10.14 10.14 0.00 24 1.50 1.55 162.68 162.68 0.00 2.95 2.95 0.00 11.16 11.16 0.00 25 1.00 1.81 158.93 158.93 0.00 3.08 3.08 0.00 11.06 11.06 0.00 26 0.75 0.77 168.26 168.26 0.00 2.61 2.61 0.00 12.54 12.54 0.00 27 2.00 1.94 157.80 157.80 0.00 3.15 3.15 0.00 10.92 10.92 0.00 28 1.75 0.90 168.23 168.23 0.00 2.60 2.60 0.00 13.00 13.00 0.00 29 4.00 1.22 165.49 168.01 1.52 2.84 2.80 −1.13 12.26 12.44 1.49 30 3.00 1.74 160.04 161.25 0.76 3.05 3.07 0.76 11.15 10.97 −1.58 31 2.00 0.70 171.09 170.13 −0.56 2.46 2.48 0.63 13.95 14.22 1.94 32 −1.00 0.96 124.86 127.22 1.89 4.91 4.89 −0.51 8.50 8.43 −0.75 33 1.00 1.48 161.79 163.24 0.90 2.92 2.94 0.69 11.34 11.12 −1.93 RMAE/% 1.89 1.13 1.94 RAAE/% 1.13 0.75 1.54
下载: 导出CSV
-
[1] Wu YH, Liu Q, Fu J, et al. Dynamic crash responses of bio-inspired aluminum honeycomb sandwich structures with CFRP panels. Composites Part B: Engineering, 2017, 121: 122-133 doi: 10.1016/j.compositesb.2017.03.030
[2] Qin QH, Wang TJ. Plastic analysis of metal foam core sandwich beam transversely loaded by a flat punch: combined local denting and overall deformation. Journal of Applied Mechanics, 2012, 79(4): 041010-041021
[3] Qin QH, Chen SJ, Bai CY, et al. On influence of face sheet distributions on low-velocity impact failure of metal honeycomb core sandwich plates. Thin-Walled Structures, 2023, 182: 110202 doi: 10.1016/j.tws.2022.110202
[4] Zhang JX, Zhu YQ, Yuan H, et al. Failure behavior of sandwich beams with glass fiber-reinforced epoxy/aluminum laminates face-sheets and aluminum honeycomb core under three-point bending. Thin-Walled Structures, 2022, 177: 109476 doi: 10.1016/j.tws.2022.109476
[5] Liu TQ, Hou SJ, Nguyen X, et al. Energy absorption characteristics of sandwich structures with composite sheets and bio coconut core. Composites Part B: Engineering, 2017, 114: 328-338 doi: 10.1016/j.compositesb.2017.01.035
[6] Wang HH, Song XD, Zhao MK, et al. Low velocity impact penetration response of foam core sandwich panels with face sheets. International Journal of Impact Engineering, 2023, 173: 104461 doi: 10.1016/j.ijimpeng.2022.104461
[7] Wang GD, Liu JF, Lu ZJ. Local impact resistance of curved sandwich panels with coaxial and concentric honeycombs. Composite Structures, 2022, 299: 116092 doi: 10.1016/j.compstruct.2022.116092
[8] Hou SJ, Zhao SY, Ren LL, et al. Crashworthiness optimization of corrugated sandwich panels. Materials & Design, 2013, 51: 1071-1084
[9] Hou SJ, Shu CF, Zhao SY, et al. Experimental and numerical studies on multi-layered corrugated sandwich panels under crushing loading. Composite Structures, 2015, 126: 371-385 doi: 10.1016/j.compstruct.2015.02.039
[10] Zhang Y, Cai DA, Peng JF, et al. On low-velocity impact behavior of sandwich composites with negative Poisson’s ratio lattice cores. Composite Structures, 2022, 299: 116078 doi: 10.1016/j.compstruct.2022.116078
[11] Qin QH, Wang TJ. Low-velocity impact response of fully clamped metal foam core sandwich beam incorporating local denting effect. Composite Structures, 2013, 96: 346-356 doi: 10.1016/j.compstruct.2012.09.024
[12] 薛潇, 张君华, 孙莹等. 曲壁蜂窝夹层悬臂板的振动特性研究. 力学学报, 2022, 54(11): 3169-3180 (Xue Xiao, Zhang Junhua, Sun Ying, et al. Vibrational characteristics of honeycomb sandwich cantilever plate with curved-wall core. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2022, 54(11): 3169-3180 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-22-305 Xue Xiao, Zhang Junhua, Sun Ying, et al. Vibrational characteristics of honeycomb sandwich cantilever plate with curved-wall core. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2022, 54(11): 3169-3180 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-22-305
[13] Chang BX, Zheng ZJ, Zhang YR, et al. Crashworthiness design of graded cellular materials: Experimental verification of the backward design strategy. International Journal of Impact Engineering, 2023, 171: 104366 doi: 10.1016/j.ijimpeng.2022.104366
[14] Wang HR, Li SQ, Liu ZF, et al. Investigation on the dynamic response of circular sandwich panels with the bio-inspired gradient core. Thin-Walled Structures, 2020, 149: 106667 doi: 10.1016/j.tws.2020.106667
[15] Sun Y, Guo LC, Wang TS, et al. Bending behavior of composite sandwich structures with graded corrugated truss cores. Composite Structures, 2018, 185: 446-454 doi: 10.1016/j.compstruct.2017.11.043
[16] Xu GD, Zeng T, Cheng S, et al. Free vibration of composite sandwich beam with graded corrugated lattice core. Composite Structures, 2019, 229: 111466 doi: 10.1016/j.compstruct.2019.111466
[17] Quan TQ, Ha DTT, Duc ND. Analytical solutions for nonlinear vibration of porous functionally graded sandwich plate subjected to blast loading. Thin-Walled Structures, 2022, 170: 108606 doi: 10.1016/j.tws.2021.108606
[18] 张天辉, 刘志芳, 雷建银等. 内爆炸载荷下泡沫铝夹芯圆管塑性动力响应及能量耗散机理. 力学学报, 2023, 55(10): 2344-2353 (Zhang Tianhui, Liu Zhifang, Lei Jianyin, et al. Plastic dynamic response and energy dissipation mechanism of aluminum foam sandwich circular tube under internal blast loading. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2023, 55(10): 2344-2353 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-23-165 Zhang Tianhui, Liu Zhifang, Lei Jianyin, et al. Plastic dynamic response and energy dissipation mechanism of aluminum foam sandwich circular tube under internal blast loading. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2023, 55(10): 2344-2353 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-23-165
[19] 范东宇, 苏彬豪, 彭辉等. 多孔泡沫牺牲层的动态压溃及缓冲吸能机理研究. 力学学报, 2022, 54(6): 1630-1640 (Fan Dongyu, Su Binhao, Peng Hui, et al. Research on dynamic crushing and mechanism of mitigation and energy absorption of cellular sacrificial layers. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2022, 54(6): 1630-1640 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-22-047 Fan Dongyu, Su Binhao, Peng Hui, et al. Research on dynamic crushing and mechanism of mitigation and energy absorption of cellular sacrificial layers. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2022, 54(6): 1630-1640 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-22-047
[20] 黄垲轩, 丁喆, 张严等. 高承载梯度分层点阵结构的拓扑优化设计方法. 力学学报, 2023, 55(2): 433-444 (Huang Kaixuan, Ding Zhe, Zhang Yan, et al. Topological optimization design method of layer-wise graded lattice structures with high load-bearing. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2023, 55(2): 433-444 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-22-363 Huang Kaixuan, Ding Zhe, Zhang Yan, et al. Topological optimization design method of layer-wise graded lattice structures with high load-bearing. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2023, 55(2): 433-444 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-22-363
[21] Xie ZY, Zheng ZJ, Yu JL. Localized indentation of sandwich panels with metallic foam core: Analytical models for two types of indenters. Composites Part B: Engineering, 2013, 44(1): 212-217 doi: 10.1016/j.compositesb.2012.05.046
[22] Rizov V, Shipsha A, Zenkert D. Indentation study of foam core sandwich composite panels. Composite Structures, 2005, 69(1): 95-102 doi: 10.1016/j.compstruct.2004.05.013
[23] Du L, Jiao GQ. Indentation study of Z-pin reinforced polymer foam core sandwich structures. Composites Part A: Applied Science and Manufacturing, 2009, 40(6-7): 822-829 doi: 10.1016/j.compositesa.2009.04.004
[24] Ruan D, Lu GX, Wong YC. Quasi-static indentation tests on aluminium foam sandwich panels. Composite Structures, 2010, 92(9): 2039-2046 doi: 10.1016/j.compstruct.2009.11.014
[25] Zhang DH, Jiang D, Fei QG, et al. Experimental and numerical investigation on indentation and energy absorption of a honeycomb sandwich panel under low-velocity impact. Finite Elements in Analysis and Design, 2016, 117-118: 21-30 doi: 10.1016/j.finel.2016.04.003
[26] Zhang W, Qin QH, Li KK, et al. Effect of stepwise gradient on dynamic failure of composite sandwich beams with metal foam core subject to low-velocity impact. International Journal of Solids and Structures, 2021, 228: 111125 doi: 10.1016/j.ijsolstr.2021.111125
[27] Soden PD. Indentation of composite sandwich beams. Journal of Strain Analysis for Engineering Design, 1996, 31(5): 353-360 doi: 10.1243/03093247V315353
[28] Venkataraman S, Sankar BV. Elasticity solution for stresses in a sandwich beam with functionally graded core. AIAA Journal, 2003, 41(12): 2501-2505 doi: 10.2514/2.6853
[29] Navarro P, Abrate S, Aubry J, et al. Analytical modeling of indentation of composite sandwich beam. Composite Structures, 2013, 100: 79-88 doi: 10.1016/j.compstruct.2012.12.017
[30] Xie ZY, Yu JL, Zheng ZJ. A plastic indentation model for sandwich beams with metallic foam cores. Acta Mechanica Sinica, 2011, 27(6): 963-966 doi: 10.1007/s10409-011-0534-9
[31] Apetre NA, Sankar BV, Ambur DR. Low-velocity impact response of sandwich beams with functionally graded core. International Journal of Solids and Structures, 2006, 43(9): 2479-2496 doi: 10.1016/j.ijsolstr.2005.06.003
[32] Lu CH, Cao Y, Wu WC, et al. A novel design method of circular sandwich panels with gradient continuous controllable core based on space-filling design and 2D-Voronoi method. Materials Today Communications, 2023: 106750
[33] Morris MD, Mitchell TJ. Exploratory designs for computational experiments. Journal of Statistical Planning and Inference, 1995, 43(3): 381-402 doi: 10.1016/0378-3758(94)00035-T
[34] Chen WG, Wierzbicki T. Relative merits of single-cell, multi-cell and foam-filled thin-walled structures in energy absorption. Thin-Walled Structures, 2001, 39(4): 287-306 doi: 10.1016/S0263-8231(01)00006-4
[35] Griffith JE, Vanzant H. Large deformation of circular membranes under static and dynamic loads//Proceedings of the First International Congress on Experimental Mechanics, 1961: 99-109
[36] Zaera R, Arias A, Navarro C. Analytical modelling of metallic circular plates subjected to impulsive loads. International Journal of Solids and Structures, 2002, 39(3): 659-672 doi: 10.1016/S0020-7683(01)00101-9
[37] 刘杰, 郑伟芸, 刘庆宽等. 小波包能量传递率变异系数的斜拉桥损伤识别. 土木工程学报, 2023, 56(8): 37-46 (Liu Jie, Zheng Weiyu, Liu Qingkuan, et al. Damage identification of cable-stayed bridge based on wavelet packet energy transfer rate variation coefficient. China Civil Engineering Journal, 2023, 56(8): 37-46 (in Chinese) Liu Jie, Zheng Weiyu, Liu Qingkuan, et al. Damage identification of cable-stayed bridge based on wavelet packet energy transfer rate variation coefficient. China Civil Engineering Journal, 2023, 56(8): 37-46 (in Chinese)
[38] 陈耀, 叶王杰, 史佳遥等. 三浦折纸超材料结构数字化设计与模型验证. 力学学报, 2022, 54(7): 2019-2029 (Chen Yao, Ye Wangjie, Shi Jiayao, et al. Digital design and model verification of Miura origami metamaterial structures. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2022, 54(7): 2019-2029 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-22-080 Chen Yao, Ye Wangjie, Shi Jiayao, et al. Digital design and model verification of Miura origami metamaterial structures. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2022, 54(7): 2019-2029 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-22-080
[39] Lu CH, Zhang ZY, Tan W, et al. Optimization design of highway cable barriers based on collision safety consideration. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2020, 62: 3507-3520 doi: 10.1007/s00158-020-02662-9
[40] Fang HB, Horstemeyer MF. Global response approximation with radial basis functions. Engineering Optimization, 2006, 38(4): 407-424 doi: 10.1080/03052150500422294
[41] Hou SJ, Li Q, Long SY, et al. Design optimization of regular hexagonal thin-walled columns with crashworthiness criteria. Finite Elements in Analysis and Design, 2007, 43(6-7): 555-565 doi: 10.1016/j.finel.2006.12.008
[42] Sun GY, Li GY, Gong ZH, et al. Multiobjective robust optimization method for drawbead design in sheet metal forming. Materials & Design, 2010, 31(4): 1917-1929
-
期刊类型引用(0)
其他类型引用(2)
计量
- 文章访问数: 202
- HTML全文浏览量: 39
- PDF下载量: 65
- 被引次数: 2
