引 言

金属材料的力学性能是其应用于机械装备、航空航天及加工成型等技术领域时的重要评价指标及相关结构设计的主要参考标准^[1], 传统的拉伸、压缩、弯曲及扭转等力学测试方法已提供了多种金属材料力学参数表征手段, 但该类测试方法均需提供满足一定形状尺寸的标准试样, 难以实现特定工程结构中及应用场景下金属材料的力学性能表征^[2]; 相比于传统的材料力学性能评价方法, 压入法具有试样加工方便及可实现原位测试等优点, 可通过对工程材料与结构特定表面区域的局部压入加载测试得到其相关力学性能, 已受到众多研究者的青睐并具有广泛的应用前景^[3].

关于如何通过压入测试有效获取金属材料的力学性能参数, 目前国内外学者已围绕压入曲线正/反向分析^[4-6]、压入能量标度^[7-9]、量纲分析^[10-11]及多种压头法^[12-14]等开展了较为系统的研究, 这类压入表征法均依赖于所采集的压入载荷-深度曲线; 而作为压入测试后试样的直观特征, 残余压痕形貌是材料塑性力学性能的综合响应, 通过其有效获取金属材料的相关塑性力学参数可从另一个角度提供一种新的压入表征方法; 随着机器学习技术及算法在工程与科研中的不断应用^[15-19], 结合相关算法及残余压痕形貌来开展研究将是获取金属塑性力学参数的一个有力手段, 在目前众多算法中Nelder-Mead算法对函数的要求不高, 不需要函数可导即可进行收敛计算、效率相对较高, 受到了科研工作者的青睐^[20]; 但传统的Nelder-Mead算法也存在一定局限性: 作为一种无约束化算法其无法避免参与寻优的材料参数出现小于0的区域, 同时作为一种局部寻优算法, 随着寻优参数的增加参数间的相互影响不断增大, 并受制于所给定的参数初始值范围及寻优步长等因素^[21].

为此, 本研究采用改进的Nelder-Mead算法结合Abaqus数值模拟及经球形压头压入后的金属试样(以紫铜与AZ31B镁合金为例)残余压痕形貌进行金属塑性参数的寻优计算, 在传统的Nelder-Mead算法基础上, 添加参数进入Abaqus前的判断条件以筛除小于0的数据, 并在算法寻优之前进行材料参数的预处理以确定初始值范围, 同时设置寻优参数的重复性判断条件及相应的收敛条件以提高计算效率; 进一步通过传统拉伸测试表征获取金属的塑性参数值, 将经算法寻优所得塑性参数值与其进行对比, 对所提出的基于改进的Nelder-Mead算法获取金属塑性参数的有效性予以验证.

1.   压入与拉伸测试及表征

1.1   球形压入与拉伸测试

在已有通过压入测试表征金属力学性能参数的研究中, 锥形压头由于其几何自相似性, 单一锥角压头作用下材料的应力-应变分布特征不受压入深度的影响, 需至少采用两种不同锥角压头才可有效获取相关力学参数^[12-14]; 而球形压头则不会出现锥形压头压入时的应力奇点, 可跟踪材料从弹性到塑性起始及完全塑性的压入变形演化过程, 理论上通过单一球形压头压入可获取材料的相关力学参数^[22-23].

本文以紫铜与镁合金为代表开展相应的测试表征, 压头选取半径为2.5 mm的碳化钨硬质合金(YG60)半球, 其弹性模量与泊松比分别为635 GPa和0.21, 用于球形压入测试的紫铜/镁合金柱状试样的直径与高度均为20 mm; 用于拉伸测试的紫铜/镁合金哑铃状试样相关具体尺寸如图1所示, 其标距段的直径与长度分别为6 mm与36 mm; 采用Instron 68TM-50TAO万能材料试验机开展相应的压入与拉伸测试, 将半径为2.5 mm半球形压头的平整面通过高强度胶粘贴在试验机的上压盘中心, 压入加/卸载速率分别为1和0.5 mm/min, 为了避免压入过程中上压盘与被测金属可能发生压入凸起部分的接触, 经预测试将紫铜与镁合金的最大压深分别设置为1.7和1.8 mm (小于球形压头的半径); 该压入深度已超过微纳米压入测试时压入尺度效应的影响范围^[24-25], 能反映材料的宏观力学行为, 同时鉴于半球形压头的几何特征, 不同压入深度及压头半径下所引起的金属塑性变形的径向梯度分布特征是相似的(只是压头下方发生塑性变形的材料区域大小不一样), 本文所采用的压入深度及压头半径可有效表征金属材料的宏观塑性行为; 此外结合引伸计进行紫铜/镁合金的拉伸测试, 加载速率为2 mm/min, 如图2所示. 虽然单轴拉伸测试与压入测试时被测材料的应力状态不一样(前者为单轴应力状态, 后者处于复杂应力状态), 但在本文偏于宏观的压入测试情况下及被测金属各向同性假设的前提下, 可通过压入测试反演获取与单轴拉伸测试表征结果等效的金属塑性力学参数.

图  1  拉伸试样相关尺寸示意图

Figure  1.  Diagram of relevant dimensions of tensile specimen

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图  2  拉伸测试实验图

Figure  2.  Diagram of tensile test

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1.2   球形压入与拉伸结果表征

采用基于三维重建技术的轮廓形态系统(Keyence VK-X1000)对经球形压头压入后的紫铜/镁合金残余压痕进行扫描(图3(a)和图3(b)), 在此基础上沿压痕表面径向方向获取相应的残余压痕轮廓, 由图4(b)可知紫铜出现了一定的压入凸起现象, 考虑到球形压头压入的对称性及压入凸起的不可控性, 选取图4(b)中试样原始表面以下一半的残余压痕轮廓作为后续紫铜塑性参数表征获取的数据基础, 由图4(d)可知镁合金经球形压入后未出现压入凸起现象, 残余压痕形貌都在原始表面以下, 同样选取图4(d)对称轴一侧残余压痕数据作为后续研究的数据基础; 进一步在试样原始表面与一半的残余压痕轮廓之间沿径向方向等间距获取一系列球形压入测试所得残余压痕深度(图5(a))以作为后续通过算法寻优所得塑性参数结果优劣判断的数值依据, 图5(b)和图5(c)中一半的残余压痕轮廓曲线拟合方程则分别用于定量获取紫铜/镁合金沿径向方向的任一残余压痕深度.

图  3  残余压痕形貌轮廓形态系统扫描图

Figure  3.  Residual Indentation morphology scanned by the contour morphology system

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图  4  紫铜/镁合金沿径向的(a), (c)残余压痕深度获取及(b), (d)相应数据

Figure  4.  (a), (c) Residual indentation depth acquisition of Cu/Mg along the radial direction and (b), (d) corresponding data

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图  5  不同径向位移下(a)残余压痕深度提取示意图及(b)紫铜/(c)镁合金径向残余压痕轮廓曲线方程

Figure  5.  (a) Schematic diagram of residual indentation depth extraction under different radial displacements and curve equations of radial residual indentation contour of (b) Cu/(c) Mg

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结合引伸计与拉伸测试所得初始线弹性段数据得到紫铜与镁合金的弹性模量分别为106.8和44.7 GPa, 通过试验机所记录的实时拉伸载荷与位移及试样标距段的初始横截面积与长度可得拉伸时的名义应力${\sigma _{\text{N}}}$与名义应变${\varepsilon _{\text{N}}}$, 在此基础上可由式(1)和式(2)得到紫铜与镁合金的拉伸真应力与真应变曲线(图6(a)和图6(c)); 所得紫铜/镁合金拉伸应力-应变曲线没有明显的屈服阶段, 对此先将产生0.2%塑性应变所对应的应力值作为屈服参考值, 分析该值之后的紫铜拉伸应力-应变数据(图6(a)插图), 将红色虚框内的强化段数据作为获取紫铜塑性参数的数据基础, 同理分析该值之后的镁合金拉伸应力-应变数据(图6(c)黑色虚框内), 由于镁合金拉伸时没有颈缩段, 则将黑色虚框内的强化段数据作为获取镁合金塑性参数的数据基础

图  6  紫铜/镁合金(a), (c)拉伸应力-应变曲线及(b), (d)相关塑性参数的获取

Figure  6.  (a), (c) Tensile stress-strain curves and (b), (d) acquisition of related plastic parameters of Cu/Mg

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常见金属材料的塑性力学行为可用如下方程来描述^[26]

式中, ${\sigma _{\text{y}}}$为屈服应力, $K$和$n$分别为塑性强化系数与强化指数, ${\varepsilon _{\text{P}}}$为等效塑性应变; 进一步结合图6(a)插图中的塑性强化段数据及方程(3)通过非线性拟合可得紫铜的屈服应力、塑性强化系数及强化指数分别为: ${\sigma _{\text{y}}} = 313.3{\text{ MPa}}$, $K = 72.5{\text{ MPa}}$ 及 $n = 0.34$(图6(b)), 结合图6(c)黑色虚框中的塑性强化段数据及方程(3)通过非线性拟合可得镁合金的屈服应力、塑性强化系数及强化指数分别为: ${\sigma _{\text{y}}} = 145.0{\text{ MPa}}$, $K = 200.8{\text{ MPa}}$及$n = 0.31$(图6(d)).

2.   算法模型构造与改进的Nelder-Mead算法

2.1   算法模型构造

本研究的算法寻优是为了寻找合适的塑性参数(屈服应力、塑性强化系数及强化指数)使得数值模拟得到的残余压痕形貌与压入测试后的残余压痕形貌相近, 以达到反演金属塑性参数的目的, 为此采用下式作为寻优的目标函数, 寻优的目的是最小化目标函数, 其是两者残余压痕形貌相近的量化标准, 也称为拟合优度; 实验得到的残余压痕形貌和数值模型所得残余压痕形貌之间的拟合优度在这里通过一个无量纲参数$ {S_{{\text{red}}}} $来描述^[27], 残差的简化平方和$ {S_{{\text{red}}}} $如下式所示

式中, ${\delta _{{\text{av,E}}}}$表示基于实验结果等间距获取的残余压痕深度中最大值与最小值的平均值.

残差的平方和$ S $如下式所示

其中, ${\delta _{i,{\text{M}}}}$表示模型残余压痕深度的第$i$个值, 在本文中为模型表面单元节点经球形压入数值模拟后的竖直位移, ${\delta _{i,{\text{E}}}}$表示与模型表面单元节点具有相同径向位移的由实验所得的残余压痕深度(图5), ${{N}}$为等间距获取的残余压痕深度的数量, 综合考虑收敛算法的计算精度与效率, 本文中的${{N}}$值取10.

金属的塑性参数是优化目标, 优化目标的数量为3, 构成了三维向量空间, 因此构成单纯型的顶点为${x_1} = ({\sigma _{{\text{y1}}}},{K_1},{n_1})$, ${x_2} = ({\sigma _{{\text{y2}}}},{K_2},{n_2})$, ${x_3} = ({\sigma _{{\text{y3}}}},{K_3},{n_3})$和 ${x_{\text{4}}} = ({\sigma _{{\text{y4}}}},{K_{\text{4}}},{n_{\text{4}}})$. 由于目标函数与优化目标之间没有直接函数关系, 这也是反演问题上的难点, 于是采用不需要求导的Nelder-Mead算法. 金属的塑性参数在其定义上具有实际物理意义, 代表金属的塑性力学行为, 以屈服应力为例, 其代表材料在受外力作用时从弹性状态过渡到塑性状态的临界应力. 为了让优化目标具有现实意义, 约束条件为屈服应力与塑性强化系数大于0 (${\sigma _{\text{y}}}$ > 0, $K$ > 0), 塑性强化指数的取值范围为0 ~ 1 (0 < $n$ < 1).

2.2   改进的Nelder-Mead算法

Nelder-Mead算法最早由Nelder等^[28]提出, 是一种求解多元函数局部最小值无约束优化问题的直接搜索方法, 其类似于常见的遗传算法和粒子群算法, 通过人为设计的一些规则即可从函数自变量空间中的多个初始点出发以寻找到局部区间的最小值^[20]. 传统的Nelder-Mead算法对于${{n}}$维优化问题, 初始构造一个${{n}} + 1$维的单纯形, 计算单纯形顶点的函数值然后分析比较, 构造新的顶点和单纯形直至达到收敛条件^[29], 通过设定精度条件或循环次数去控制算法里循环是否退出的判断条件, 但该算法的无约束化及局部性使得寻优结果的客观性和最优性无法得到保证, 对此需要作出相应的改进.

首先, Nelder-Mead算法寻优对于自变量区域是无约束的, 而对于金属材料来说参与算法寻优的力学参数是具有一定物理意义的, 各参数的区域均不可小于0. 对此, 本研究在传统Nelder-Mead算法中添加了每一步得到的新单纯形顶点参数进入数值模拟计算的判断条件, 当检测到相关参数有小于0的情况时, 会为寻优参数的拟合优度自动填充一个较大的数并跳过数值模拟计算, 自动填充的数的大小应保证在下一次算法计算时这个不满足判断条件的单纯形顶点会作为最坏值被抛弃, 这样处理的好处是不仅避免了因参数小于零所带来的模拟计算报错而使算法终止, 还减少了算法运行时间进而提高了计算效率.

此外, 针对传统Nelder-Mead算法的局部性和高维下寻优效果变差的特点^[21], 即算法在高维情况下寻优参数间会相互影响从而致使算法无法优化到每个参数, 本研究在进行算法寻优之前对金属力学参数范围进行提前划分及预处理以缩小算法寻优范围并保证结果的准确性, 即把3个要参与寻优的塑性力学参数范围进行了划分并各自在范围内选取一系列值. 预处理过程就是把各参数所取的值组合成不同的金属塑性参数组, 将每组塑性参数都用于压入数值模拟计算, 提取残余压痕的深度数据并结合实验所得相应残余压痕深度数据算出简化平方和, 并使用Matplotlib库编写数据处理代码来绘制以屈服应力、塑性强化系数及强化指数为自变量、简化平方和为函数的关系图, 分析其趋势以缩小寻优范围.

进一步, 本研究还对收敛条件的判断进行了改进, 在保证数据精度的条件下, 判断参与寻优的单纯形顶点是否有相等值, 当参与寻优的单纯形顶点等于曾经进行过数值计算的单纯形顶点时, 则跳过计算直接获取前面与之相等的单纯形顶点计算得到的拟合优度, 当参与寻优的单纯形顶点都相等时, 则判断满足收敛条件, 停止寻优. 这样处理的好处是不仅较大程度上节省了寻优时间, 还可以在不熟悉函数值分布的情况下设置合理的收敛条件.

Nelder-Mead算法中参与优化的点均由初始点生成, 且数量由需要优化的自变量数量决定, 参与优化的点的数量等于需要优化的自变量数量加1, 本研究中参与寻优的参数为屈服应力、塑性强化系数及强化指数3个自变量. 改进的Nelder-Mead算法的整体逻辑流程如图7所示(加粗部分为改进之处), 以下通过假设需要优化的自变量个数为n来对改进的Nelder-Mead算法的具体步骤作一简要介绍.

图  7  改进的Nelder-Mead算法的整体逻辑流程

Figure  7.  Overall logical flow of the improved Nelder-Mead algorithm

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(1)经过预处理后, 在拟合优度最低点对应的单纯形顶点数值附近随机选取1个寻优初值点, 在该最初初值点基础上生成另外${{n}}$个初值点, 另外生成的${{n}}$个初始点中第$i$个初始点即把最初初值点的第$i$个分量增大, 其他分量保持不变; 将初始生成的${{n + 1}}$个初始点经数值计算得到相应的拟合优度, 以下用$f(x)$表示, 其中$x$表示单纯形顶点.

(2)对单纯形顶点的自变量进行重复性判断, 如果在满足精度条件下判定为全部重复的点, 则认为达到收敛条件并退出循环, 否则按照目标函数$f(x)$对${{n + 1}}$个点进行从好到坏的排序, 如式(6)所示

并计算排序里前${{n}}$个点的中心点, 为

(3)计算反射点$ {x}_{\mathrm{r}} $, 如式(8)所示, 关于反射点是否进入数值计算及其重复性的判断, 如果不满足进入数值计算的条件或满足重复性条件则填充目标函数值并回到第(2)步, 否则进行数值计算并比较$ f({x}_{\text{r}}),f({x}_{\text{1}}),f({x}_{{n}}),f({x}_{{n}}{}_{{ + 1}}) $, 如果 $f({x_{\text{1}}}) \leqslant f({x_{\text{r}}}) \lt f({x_{{n}}})$, 则反射点${x_{\text{r}}}$替换点${x_{{{n + 1}}}}$并回到第(2)步; 如果$ {{f}}{\left({{x}}_{\mathrm{r}}\right)} < {{f}}{\left({{x}}_{1}\right)} $, 则进行第(4)步; 如果$f({x_{{n}}}) \leqslant f({x_{\text{r}}}) \lt f({x_{{{n + 1}}}})$, 进行第(5)步; 如果$f({x_{\text{r}}}) \geqslant f({x_{{{n + 1}}}})$, 则进行第(6)步

式中$ \alpha $为反射系数, 一般取1.

(4)计算扩张点${x_{\text{e}}}$, 如式(9)所示, 关于扩张点是否进入数值计算及其重复性的判断, 如果不满足进入数值计算的条件或满足重复性条件则填充目标函数值并回到第(2)步, 否则进行数值计算并比较$f({x_{\text{e}}})$与$f({x_{\text{r}}})$, 如果$f({x_{\text{e}}}) \lt f({x_{\text{r}}})$, 则用扩张点${x_{\text{e}}}$替换点${x_{{{n + 1}}}}$并回到第(2)步, 否则用反射点${x_{\text{r}}}$替换点${x_{{{n + 1}}}}$并回到第(2)步

式中$ \mathrm{\beta } $为扩张系数, 一般取2.

(5)计算外部收缩点${x_{{\text{oc}}}}$, 如式(10)所示, 关于外部收缩点是否进入数值计算及其重复性的判断, 如果不满足进入数值计算的条件或满足重复性条件则填充目标函数值并回到第(2)步, 否则进行数值计算并比较$f({x_{{\text{oc}}}})$与$f({x_{\text{r}}})$, 如果$f({x_{{\text{oc}}}}) \leqslant f({x_{\text{r}}})$, 则用外部收缩点${x_{{\text{oc}}}}$替换点${x_{{{n + 1}}}}$并回到第(2)步, 否则进行第(7)步

式中$ {{\gamma }_{\text{o}}} $为外部收缩系数, 一般取0.5.

(6)计算内部收缩点${x_{{\text{ic}}}}$, 如式(11)所示, 关于内部收缩点是否进入数值计算及其重复性的判断, 如果不满足进入数值计算的条件或满足重复性条件则填充目标函数值并回到第(2)步, 否则进行数值计算并比较$f({x_{{\text{ic}}}})$与$f({x_{{{n + 1}}}})$, 如果$f({x_{{\text{ic}}}}) \lt f({x_{{n}}}_{{\text{ + 1}}})$, 则用内部收缩点${x_{{\text{ic}}}}$替换${x_{{{n + 1}}}}$并回到第(2)步, 否则进行第(7)步

式中$ {{\gamma}_{\text{i}}} $为内部收缩系数, 一般取0.5.

(7)计算紧缩点, 如式(12)所示, 除${x_{\text{1}}}$之外的每个点朝${x_{\text{1}}}$的方向移动一定距离得到对应的紧缩点, 关于每个紧缩点是否进入数值计算及其重复性的判断, 如果不满足进入数值计算的条件或满足重复性条件则填充目标函数值并回到第(2)步, 否则进行数值计算并用得到的新的紧缩点替换相应的之前的点, 回到第(2)步

式中, $\delta $为紧缩系数, 一般取0.5.

3.   算法代码实现及寻优结果

3.1   改进的Nelder-Mead算法与数值模拟计算的代码实现

改进的Nelder-Mead算法相关代码的编写就是对图7算法逻辑流程的代码实现过程. 首先把每一个方框内的功能进行模块化函数编写, 然后调用函数实现流程图逻辑. 以计算反射点为例, 反射点函数的功能就是根据入口参数所传入的行数去数据表内提取相应的数据, 计算出新的数据并放入数据表. 当对每个方框功能函数进行模块化编写后, 根据算法逻辑流程在主函数里调用相应的模块函数进行算法计算. 由于算法进行过程中会对模型材料参数进行多次修改, 且算法的实现也是一个机器化过程, 对此将整个建模过程进行Python脚本化, 且为了便于后续更多方面的尝试, 采取了参数化建模, 以方便对模型尺寸、网格划分和材料参数等进行修改. 同时Python语言作为一种解释性编程语言, 允许在各个平台参与二次开发, 目前已有相关利用Python脚本实现Abaqus参数化/随机建模及自适应网格划分等的研究^[30-32]. 本研究基于Abaqus2021软件开展金属的压入数值模拟分析, 并在Abaqus计算与算法代码交互处对标志性文件(锁文件)进行识别, 直到没有锁文件时便进行数据提取.

考虑到球形压头压入金属材料的轴对称性, 压入数值模拟时采用二维轴对称模型(图8), 球形压头以2.5 mm半径的1/4圆代替, 试样尺寸为10 mm(x方向) × 20 mm(y方向), 紫铜的弹性模量为106.8 GPa、泊松比设为0.3, 镁合金的弹性模量为44.7 GPa、泊松比设为0.35, 压头的弹性模量与泊松比分别为635 GPa和0.21, 采用式(3)所示方程表征试样的塑性性能, 相关参数(屈服应力、塑性强化系数及强化指数)随着寻优进程不断自动更新. 采用CAX4 R四边形轴对称单元对压头及试样进行网格划分, 同时对压头下方的试样进行网格细分, 网格过渡区域采用CAX3三角形轴对称单元与CAX4R四边形轴对称单元, 压头与试样的网格数分别为75与316. 模拟时限制试样最左侧节点x方向的位移, 并对试样底部施加x和y向的位移约束, 压头与试样表面定义为法向硬接触且接触摩擦系数设置为0.15^[33], 采用与球形压头压入测试相一致的位移加载控制方式进行数值模拟, 即紫铜/镁合金的最大压入深度为1.7 mm/1.8 mm.

图  8  球形压入的二维轴对称有限元模型

Figure  8.  Two-dimensional axisymmetric finite element model for spherical indentation

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3.2   主函数的代码实现及寻优结果

编写主函数前需进行第三方模块的导入, 第三方模块包含已有的第三方模块库(如XlsxWriter和NumPy库等)^[34]及本研究所编写的改进的算法函数模块和用于Abaqus建模的模块. 本研究在Abaqus里运行主函数, 查询Abaqus对应的Python版本, 并使用Anaconda软件下载此Python环境下对应的第三方库, 将下载后的第三方库复制到本研究工程路径的第三方库文件夹site-packages下, 并将编写好的经改进的Nelder-Mead算法函数模块和相应的Abaqus建模模块代码分别放入工程路径的Improved-NelderMead和Python-simulation文件夹下.

基于上述用于模拟寻优的相关准备工作, 在主函数里调用Abaqus建模模块函数建立相应的球形压入有限元模型, 根据改进的Nelder-Mead算法流程图调用相应的函数进行计算并设置死循环弹出条件. 由图9(a)、图10(a)及图11(a)可知, 当固定屈服应力$ {\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{y}} $、塑性强化系数$K$及塑性强化指数$n$三者之中的任意两个参量并改变其余一个参量, 经一系列预处理后, 紫铜的简化平方和$ {\mathrm{S}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}} $的最小值分别出现在${\sigma _{\text{y}}} = 310{\text{ MPa}}$, $K = 70{\text{ MPa}}$及$n = 0.3$附近, 同理由图9(b)、图10(b)及图11(b)可知镁合金的简化平方和$ {S_{{\text{red}}}} $的最小值分别出现在${\sigma _{\text{y}}} = 140{\text{ MPa}}$, $K = 210{\text{ MPa}}$及$n = 0.3$附近.

图  9  紫铜/镁合金的拟合优度与屈服应力关系(K/MPa)

Figure  9.  Relation between goodness of fit and yield stress of Cu/Mg (K/MPa)

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图  10  紫铜/镁合金拟合优度与塑性强化系数关系$({\sigma _{\text{y}}}{\text{/MPa}})$

Figure  10.  Relation between goodness of fit and plastic strengthening coefficient of Cu/Mg $({\sigma _{\text{y}}}{\text{/MPa}})$

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图  11  紫铜/镁合金拟合优度与塑性强化指数关系$({\sigma _{\text{y}}}{\text{/MPa}},$$K{\text{/MPa}})$

Figure  11.  Relation between goodness of fit and plastic strengthening index of Cu/Mg $({\sigma _{\text{y}}}{\text{/MPa}},$$K{\text{/MPa}})$

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基于上述预处理结果进一步开展改进的Nelder-Mead算法的寻优, 图12为紫铜寻优过程中出现的部分点, 第一个表格为依据预处理结果自动生成的最初的4个点, 第一个箭头上方表格为第一次计算产生的中心点和反射点, 由于该反射点对应的拟合优度处于最好的点与第二坏的点之间, 用反射点去替换最差点并进入第一次寻优循环; 第二个箭头上方表格为第一次循环中产生的中心点和反射点, 该反射点对应的拟合优度大于最坏点对应的拟合优度, 进一步计算内部收缩点, 而内部收缩点对应的拟合优度依旧大于最坏点, 因此计算紧缩点, 在第二次循环时用新产生的紧缩点代替原来相应的点, 图中表格背景颜色一致的行代表相邻两次循环中相同的点. 经过多次寻优循环并满足收敛条件后得到紫铜的相关塑性参数分别为: 屈服应力${\sigma _{\text{y}}} = 309.4{\text{ MPa}}$、塑性强化系数$K = 71.2{\text{ MPa}}$、塑性强化指数$n = 0.33$. 同理, 经过多次寻优循环并满足收敛条件后得到镁合金的相关塑性参数分别为: 屈服应力${\sigma _{\text{y}}} = 142.2{\text{ MPa}}$、塑性强化系数$K = 205.4{\text{ MPa}}$、塑性强化指数$n = 0.31$(如图13). 将紫铜/镁合金的塑性参数反演结果与拉伸测试表征结果予以对比(表1), 相对误差的绝对值均小于3%, 表明本文所提出的基于优化算法结合残余压痕形貌获取金属塑性参数方法的有效性.

图  12  紫铜塑性参数的算法寻优过程

Figure  12.  Optimization process of plastic parameters of Cu based on algorithm

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图  13  镁合金塑性参数的算法寻优过程

Figure  13.  Optimization process of plastic parameters of Mg based on algorithm

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表  1  算法寻优与拉伸测试所得紫铜/镁合金的塑性参数及相对误差

Table  1.  Plastic parameters of Cu/Mg obtained from optimization algorithm/tensile test and the relative error

		${\sigma _{\text{y}}}{\text{/MPa}}$	$K{\text{/MPa}}$	$n$
Cu	optimization result from algorithm	309.4	71.2	0.33
	tensile test result	313.3	72.5	0.34
	relative error/%	−1.24	−1.79	−2.94
Mg	optimization result from algorithm	142.2	205.4	0.31
	tensile test result	145.0	200.8	0.31
	relative error/%	−1.93	2.29	0

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4.   结论

本文基于改进的Nelder-Mead算法与球形压入残余压痕形貌开展了紫铜/镁合金的塑性力学参数寻优研究, 主要结论如下.

(1)通过轮廓形态系统获取了紫铜/镁合金的球形压入残余压痕形貌特征, 将压入测试与数值模拟的残余压痕深度作为拟合优度的数据基础. 针对传统Nelder-Mead算法添加参数进入Abaqus前的判断条件以筛除小于0的数据, 保证了寻优数据的有效性且避免了因数据不合理报错而使寻优中断, 算法寻优之前进行材料参数的预处理以确定初始值范围, 在一定程度上降低了传统Nelder-Mead算法寻优的局限性及高维下因参数相互影响而导致的低效性, 设置寻优参数的重复性判断条件及相应的收敛条件提高了计算效率, 在不熟悉拟合优度值分布的情况下也可寻到合理的收敛点以结束寻优循环.

(2)经算法寻优得到紫铜的屈服应力、塑性强化系数及强化指数分别为: ${\sigma _{\text{y}}} = 309.4{\text{ MPa}}$, $K = 71.2{\text{ MPa}}$及$n = 0.33$, 镁合金的屈服应力、塑性强化系数及强化指数分别为: ${\sigma _{\text{y}}} = 142.2{\text{ MPa}}$, $K = 205.4{\text{ MPa}}$及$n = 0.31$; 与传统拉伸测试表征所得相应塑性参数(Cu:${\sigma _{\text{y}}} = 313.3{\text{ MPa}}$, $K = 72.5{\text{ MPa}}$和$n = 0.34$; Mg:${\sigma _{\text{y}}} = 145.0{\text{ MPa}}$, $K = 200.8{\text{ MPa}}$和$n = 0.31$)的相对误差的绝对值均小于3%, 表明所提出的基于优化算法结合残余压痕形貌获取紫铜/镁合金塑性参数方法的有效性. 该方法可推广到其他金属材料的力学性能表征及塑性参数获取研究中.