CHARACTERIZATION SOLVING AND PARAMETRIC STUDY OF THE ACOUSTIC AND ENERGY GENERATION OF STANDING WAVE THERMOACOUSTIC PIEZOELECTRIC HARVESTER WITH GENERAL IMPEDANCE BOUNDARIES
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摘要: 文章为任意阻抗边界条件下热声压电俘能系统的声学特性和俘能特性提供一种新的求解方案. 热声压电俘能系统包含任意阻抗边界、热缓冲管、板叠、谐振管和俘能元件, 当板叠两侧温差达到临界温差时, 工质流体在板叠处发生热声耦合振荡, 进而引起压电薄膜发生形变, 为外接负载提供电能. 振荡频率、声压实部和流速虚部的模态分布称为热声压电俘能系统的声学特性, 负载俘获的当量化能量称为热声压电俘能系统的俘能特性. 文章在验证边界光滑傅里叶级数和Galerkin法稳定性和可靠性基础上, 预报驻波热声压电俘能系统的声学特性和俘能特性, 研究热声管长、外接负载和边界阻抗对声学特性和俘能特性的影响规律. 研究表明, 驻波热声压电系统振荡频率与热声管长呈反比; 外接负载与系统存在阻抗匹配关系, 但过高的负载会使系统失去俘能能力; 且管长和边界阻抗对振荡频率的影响可以分为高敏感区、低敏感区和阻抗失效区, 同时发现边界阻抗范围内存在“声学特性一致阻抗带”, 因此在设计热声压电俘能系统时可根据不同的需求和应用场景选择其工作区带. 本研究可快速预报热声压电俘能系统的声学特性和俘能特性, 并为通过改变结构参数或阻抗边界调控系统声学特性和俘能特性、拓宽压电能量采集频带提供参考.Abstract: Finding a new solution for the acoustic and energy generation characteristics of the thermoacoustic piezoelectric energy harvester with general impedance boundaries is the core task of the paper. The thermoacoustic piezoelectric energy harvester includes a general impedance boundary, the hot buffer, stack, resonant tube, and energy harvester element. When the temperature difference on both sides of the stack reaches the critical temperature difference, the working fluid undergoes thermoacoustic coupling oscillation at the stack, causing deformation of the piezoelectric film and providing electrical energy for the external load. The modal distribution of the oscillation frequency, the real part of the acoustic pressure, and the imaginary part of the flow velocity are called the acoustic characteristics of the thermoacoustic piezoelectric energy harvester, while the equivalent quantized energy captured by the load is called the energy generation characteristic of the thermoacoustic piezoelectric energy harvester. Based on verifying the stability and reliability of the smooth Fourier series and Galerkin method, the paper applies this method to solve the acoustic characteristics and energy generation characteristics of the thermoacoustic piezoelectric energy harvester and explores the law of the effect of pipe length, external load, and boundary impedance on acoustic and energy generation characteristics. The studies show that the oscillation frequency of the thermoacoustic piezoelectric energy harvester is inversely proportional to the length of the tube. There is an impedance-matching relationship between the external load and the system, but excessive external loads will cause the system to lose its energy capture capability. Besides, the influences of pipe length and boundary impedance on the acoustic characteristics of the thermoacoustic piezoelectric energy harvester can be divided into high sensitivity, low sensitivity, and impedance failure zones, and an " acoustic characteristic identical impedance band " is found in the boundary impedance range. Hence the operating region can be chosen according to different demands and applications when designing the thermoacoustic piezoelectric energy harvester. The research achievements of the paper can provide a rapid prediction of the acoustic and energy generation characteristics of the thermoacoustic piezoelectric energy harvester and give a reference for regulating the acoustic and energy generation characteristics of the system by changing structural parameters or impedance boundaries and expanding the frequency band of piezoelectric energy collection.
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引 言
从Rayleigh[1]为“热源在管内激发出声音”的现象给出定性解释开始, 到Rott[2]提出线性热声理论, 再到Swift等[3-5]首次将热声理论应用于热机设计和能量转化, 经过100多年的理论研究及工程实践, 热声学(thermoacoustics)已成为一门涉及热力学、流体动力学、声学和非线性动力学的跨领域学科. 基于热声耦合振荡原理的热声装置可分为热致声的热声发动机(TAEs)和声泵热的热声制冷机(TARs). 根据声压和流速之间的相位差异, 热声发动机可分为驻波热声发动机和行波热声发动机. 与造价较高的行波热声发动机相比, 驻波热声发动机具有体积更小、结构更简单、性价比更高的优点, 因此众多学者致力于低成本驻波热声发动机的研究设计与工程应用[6-16].
热声发动机可将废热、太阳能等能量转化为声能, 具有结构简单、无运动部件和无有害气体等优点; 压电换能器可将声能转化为电能, 具有大带宽信号、高能量转换率和快机电响应等的优点. 热声压电俘能系统(thermoacoustic-piezoelectric energy harvester, TAPEH)将压电换能器引入热声发动机, 兼具两者的优点, 在发电技术朝清洁低碳、安全高效、灵活智能方向发展的今天吸引了众多学者的研究兴趣. Matveev等[17]在忽略板叠黏性和传热损失的前提下探究了压电换能器对TAPEH起振行为的影响, 估算了声电能量转化效率. Nouh等[18-20]在经典TAPEH基础上引入了应变放大器, 用以提升压电单元的俘能特性. Chen等[21]建立了一端开放、一端为压电换能器的TAPEH理论模型, 利用传递矩阵法预报了该模型的起振行为, 并通过实验验证了预测结果, 在此基础上研究了温度分布、系统几何参数和电学参数对系统起振特性的影响. Ahmed等[22] 分别利用根轨迹法和集中参数法确定了TAE的起振条件和动力学响应, 在此基础上采用电网络类比法确定TAPEH的起振特性, 通过实验验证了上述方法的正确性. Zheng等[23]证明了高温环境下PAN纳米纤维膜依然具有稳定的声电转换能力. 与此同时, 文献[24-27]将热声发动机与直线发电机相结合, 利用软件进行参数寻优, 提高了热声发电系统的俘能特性.
上述研究在对TAPEH起振行为、声学特性和俘能特性进行预报时, 往往采用传递矩阵法、电网络类比法等方法, 以上方法本质上是对工质流体进行空间离散的集总参数法, 这种方法原理清晰、推导过程简单, 能够有效预报经典声学边界条件下热声系统的声学特性. 然而, 在工程应用过程中, TAPEH的声学边界较为复杂, 当声学边界变化时, 上述方法须对理论模型进行重构, 不利于TAPEH声学特性和俘能特性的快速预报.
阻抗边界可以通过设定边界阻抗值模拟刚性边界、软边界等经典边界, 具有适用范围广、求解声学特性快等优点, 被广泛应用于结构振动与声学领域. Li[28] 利用边界光滑傅里叶级数对梁位移进行级数展开, 解决了位移导数在边界处不连续的问题, 在此基础上建立了任意阻抗/约束边界条件下梁的动力学响应预报模型. 因为结构振动与声的波动具有相似性, Du等[29-30]利用边界光滑傅里叶级数对声压函数进行展开, 建立了任意阻抗边界条件下三维矩形声腔的声学特性预报模型. 在此研究基础上, 本文对任意阻抗边界条件下驻波TAPEH的声学特性和俘能特性进行快速预报和参数研究. 分别对任意阻抗边界条件下驻波TAPEH内部流场、压电换能器和任意阻抗边界进行理论建模, 利用边界光滑傅里叶级数对声压函数进行展开, 结合Galerkin原理得到TAPEH的特征方程, 对其进行求解即可预报TAPEH系统的声学特性和俘能特性. 在验证本文方法稳定性和正确性的基础上, 研究热声管长、外接负载和阻抗边界等参数对各种工质流体的TAPEH声学特性和俘能特性的影响规律.
1. 理论模型
图1为具有任意阻抗边界的驻波TAPEH物理模型. TAPEH由任意阻抗边界、热缓冲管、板叠、谐振腔、压电薄膜及外接负载构成. 如图1所示, TAPEH总长为L, 阻抗值为Z0的阻抗边界位于x = 0处, 压电薄膜位于x = L处, 外接负载的值为RE. p(x)为TAPEH内声压分布函数, m, ZL分别为压电薄膜的等效质量和等效阻抗, V为外接负载两端电压. 通过设置Z0的值可以模拟包含经典声学边界条件在内的任意阻抗边界条件. 理论上, 当Z0为零时, 表示软边界(声压为0); 当Z0虚部为无穷大时, 表示刚性边界(质点振速为零). 而在数值仿真中, 由于边界阻抗出现在分母中, 无法将其设置为0和虚部无穷大, 因此常设置一个接近于理论值的数值来模拟软边界和刚性边界. 根据Guo等[30]确定经典声学边界阻抗值的原理, 本文通过设置不同的边界阻抗值以观察系统的声学特征. 观察发现, 当Z0的值分别取为Z0 = i × 10−4及更小、Z0 = i × 106及更大时, 系统的声学特征与软边界和刚性边界下系统的声学特征一致并保持不变, 因此本文通过设置Z0 = i × 106和Z0 = i × 10−4模拟刚性边界和软边界. ZL的值由压电薄膜和外接负载的物性参数决定. 由于TAPEH是流体、传热和压电等多物理场耦合系统, 其声学特性以及俘能特性由阻抗边界、TAE系统结构参数、压电薄膜物性参数和外界负载共同决定. 为简化求解步骤, 本文忽略了板叠处的黏性和传热损失, 将压电单元视作附加于系统边界处的单自由度系统.
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图 1 具有任意阻抗边界的驻波热声压电俘能系统物理模型Figure 1. Physical model of the standing-wave TAPEH with arbitrary impedance boundaries1.1 流场模型
本节对TAPEH的内部流场进行建模, 内部工质流体需要满足流体的连续性方程、动量方程和能量方程, 即
$$\qquad\qquad \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \nabla \cdot \left( {\rho {{\boldsymbol{u}}}} \right) = 0 $$ (1) $$\qquad\qquad \rho \frac{{{\rm{D}}{\boldsymbol{u}}}}{{{\rm{D}}t}} = - \nabla p + \mu {\nabla ^2}{\boldsymbol{u}} $$ (2) $$\qquad\qquad \rho {c_{\text{p}}}\frac{{{\rm{D}}T}}{{{\rm{D}}t}} = \frac{{{\rm{D}}p}}{{{\rm{D}}t}} + \nabla \cdot \left( {K\nabla T} \right) $$ (3) 式中, ρ, p, u, μ, cp, K和T分别为流体的密度、声压、流速、动力黏度、定压比热、导热系数和温度; 其中, $\dfrac{{{\rm{D}}{\boldsymbol{u}}}}{{{\rm{D}}t}} = \dfrac{{\partial {\boldsymbol{u}}}}{{\partial t}} + \left( {{\boldsymbol{u}} \cdot \nabla } \right){\boldsymbol{u}}$.
将工质流体视作理想气体, 因此工质流体还应满足理想气体的状态方程
$$ p = \rho RT $$ (4) 式中, R为气体常数.
经由Rott[2]提出的声学近似过程, 将声压、流速和温度等物理量视作平衡量和振荡量之和
$$ p\left( {x,y,z,t} \right) = {p_{\text{m}}} + {{\rm{Re}}} \left( {{p_1}\left( x \right){{\rm{e}}^{{\text{i}}\omega t}}} \right) $$ (5) $$ u\left( {x,y,z,t} \right) = {{\rm{Re}}} \left( {{u_1}\left( x \right){{\rm{e}}^{{\text{i}}\omega t}}} \right) $$ (6) $$ T\left( {x,y,z,t} \right) = {T_{\text{m}}}\left( x \right) + {{\rm{Re}}} \left( {{T_1}\left( x \right){{\rm{e}}^{{\text{i}}\omega t}}} \right) $$ (7) 式中, 下标m和1分别代表平衡量和振荡量, Re为物理量的实部, i为虚数单位, ω为振荡圆频率.
将方程(5) ~ (7)代入方程(1) ~ (4)中, 忽略二阶小量, 将速度u在x方向上的分量u1在横截面上进行积分,得到TAPEH内部流场的热声控制方程
$$ \frac{{{\rm{d}}{p_1}}}{{{\rm{d}}x}} = \frac{{ - {\text{i}}\omega {\rho _{\text{m}}}}}{{S\left( {1 - {f_{\text{v}}}} \right)}}{U_1} $$ (8) $$ \begin{split} & \frac{{{\rm{d}}{U_1}}}{{{\rm{d}}x}} = \frac{{ - {\text{i}}\omega S}}{{\gamma {p_{\text{m}}}}}\left[ {1 + \left( {\gamma - 1} \right){f_{\text{k}}}} \right]{p_1}+ \\ &\qquad \frac{{{f_{\text{k}}} - {f_{\text{v}}}}}{{\left( {1 - {f_{\text{v}}}} \right)\left( {1 - Pr } \right)}}\frac{1}{{{T_{\text{m}}}}}\frac{{{\rm{d}}{T_{\text{m}}}}}{{{\rm{d}}x}}{U_1}\end{split} $$ (9) 式中, S为热缓冲管、板叠、谐振管的横截面积, γ, U1和Pr分别为流体的比热容比、体积流速和普朗特数, fk, fv分别为流体与板叠之间的传热和黏性损失. 忽略传热和黏性损失, 将方程(8)与方程(9)合并, 约去体积流速, 得到流场声压的二阶微分方程
$$ \frac{{{{\rm{d}}^2}{p_1}}}{{{\rm{d}}{x^2}}} + {\varOmega ^2}{p_1} = 0 $$ (10) 式中, Ω为波数.
1.2 压电换能器模型
针对热声压电俘能系统压电单元的建模如下, 压电单元的本构方程为
$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_3}} \\ {{D_3}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {c_{33}^{\text{E}}}}} \right. } {c_{33}^{\text{E}}}}}&{{d_{33}}} \\ {{d_{33}}}&{{\varepsilon ^{\text{T}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_3}} \\ {{E_3}} \end{array}} \right] $$ (11) 式中, S3, D3, T3, E3, $c_{33}^{\text{E}}$和d33分别为x方向的压电应变、电位移、压电应力、电场强度、杨氏模量和压电应变系数, εT为介电常数.
对图1中的压电薄膜建立力平衡方程
$$ m\ddot x + b\dot x - {S_{\text{E}}}P\left( L \right) + {T_3}{S_{\text{E}}} = 0 $$ (12) 式中, m, b和SE分别为压电薄膜的等效质量、等效阻尼和面积.
将方程(12)代入方程(11), 得到
$$ m\ddot x + b\dot x - {S_{\text{E}}}P\left( L \right) + c_{33}^{\text{E}}\left( {{S_3} - {d_{33}}{E_3}} \right){S_{\text{E}}} = 0 $$ (13) 同时, 压电薄膜应变和产生的电场强度可以表示为
$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_3}} \\ {{E_3}} \end{array}} \right] = \frac{1}{{{t_{\text{p}}}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ V \end{array}} \right] $$ (14) 式中, tp为薄膜厚度, V为负载两侧电压.
将方程(14)代入方程(13)中, 可以得到
$$ m\ddot x + b\dot x + sx - {d_{33}}V - {{SP\left( L \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{SP\left( L \right)} {{k_{\text{s}}}}}} \right. } {{k_{\text{s}}}}} = 0 $$ (15) 式中, $s = {{c_{33}^{\text{E}}{S_{\text{E}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{c_{33}^{\text{E}}{S_{\text{E}}}} {{t_{\text{p}}}}}} \right. } {{t_{\text{p}}}}}$, s为压电刚度系数, ks为谐振管横截面积与压电薄膜面积比.
同时, 电位移可以表示为
$$ {D_3} = {q \mathord{\left/ {\vphantom {q {{S_{\text{E}}}}}} \right. } {{S_{\text{E}}}}} $$ (16) 式中, q为电荷量.
将方程(16)代入方程(11)中, 并对时间进行求导可以得到
$$ \frac{{{S_{\text{E}}}c_{33}^{\text{E}}}}{{{t_{\text{p}}}}}{d_{33}}\dot x + \left( {1 - \frac{{d_{33}^2c_{33}^{\text{E}}}}{{{\varepsilon ^{\text{T}}}}}} \right)\frac{{{\varepsilon ^{\text{T}}}{S_{\text{E}}}}}{{{t_{\text{p}}}}}\dot V + \frac{V}{{{R_{\text{E}}}}} = 0 $$ (17) 令$k_{33}^2 = \dfrac{{d_{33}^2 c_{33}^{\text{E}}}}{{{\varepsilon ^{\text{T}}}}}$, $\xi = \left( {1 - k_{33}^2} \right)\dfrac{{{S_{\text{E}}}{\varepsilon ^{\text{T}}}}}{{{t_{\text{p}}}}}$, 则可将方程(17)简化为
$$ s{d_{33}} + \xi \dot V + \frac{V}{{{R_{\text{E}}}}} = 0 $$ (18) 结合方程(15)和方程(18), 针对正弦波, 将V消去, 可以得到以下方程
$$ \frac{{{k_{\text{s}}}}}{S}\left( {{\text{i}}\omega m + b + \frac{s}{{{\text{i}}\omega }} + \frac{{{\psi ^2}{R_{\text{E}}}}}{{1 + {\text{i}}\omega {R_{\text{E}}}\xi }}} \right) = \frac{{P\left( L \right)}}{{\dot x}} $$ (19) 式中, ψ为压电耦合因子的倒数.
方程(19)左侧应和热声管内x = L处的声学阻抗一致
$$ {Z_{\text{L}}} = \frac{{{k_{\text{s}}}}}{S}\left( {{\text{i}}\omega m + b + \frac{s}{{{\text{i}}\omega }} + \frac{{{\psi ^2}{R_{\text{E}}}}}{{1 + {\text{i}}\omega {R_{\text{E}}}\xi }}} \right) $$ (20) 消耗在外接负载的电能为
$$ {\dot E_{\text{L}}} = \frac{1}{2}{{\rm{Re}}} \left[ {\frac{{V_{{{\rm{con}}}j}\left( V \right)}}{{{R_{\text{E}}}}}} \right] $$ (21) 1.3 任意阻抗边界
声压和边界阻抗之间的关系满足
$$ \frac{{{\rm{d}}{p_1}}}{{{\rm{d}}x}} = \frac{{ - {\text{i}}\omega {\rho _{\text{m}}}}}{{{Z_j}}}{p_1} $$ (22) 式中, j = 0或j = L, Z0和ZL表示x = 0和x = L处的声学阻抗. 观察方程(22)可以发现, 当Zj = 0时, 相当于${\left. p \right|_{\text{F}}} = 0$, 可用以表示软边界; 当Zj的虚部为无穷大时, 相当于${\left. {\dfrac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right|_{\text{F}}} = 0$, 可用以表示刚性边界.
将声压利用标准傅里叶级数进行展开
$$\qquad\qquad {p_1}\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{a_k}\cos \left( {{\lambda _k}x} \right)} \tag{23a}$$ $$\qquad\qquad {\lambda _k} = \frac{{k\text{π} }}{L} \tag{23b}$$ 式中, k为傅里叶级数截断数.
将方程(23)代入方程(22), 有
$$ {\left. {\frac{{{\rm{d}}{p_1}}}{{{\rm{d}}x}}} \right|_{x = 0}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty { - {\lambda _k}{a_k}\sin \left( {{\lambda _k}x} \right)} = 0 \tag{24a}$$ $$ {\left. {\frac{{{\rm{d}}{p_1}}}{{{\rm{d}}x}}} \right|_{x = L}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty { - {\lambda _k}{a_k}\sin \left( {{\lambda _k}x} \right)} = 0 \tag{24b}$$ 可以发现, 方程左侧声压的一阶导数在x = 0和x = L边界处均为0, 此时无法将声压和阻抗边界统一表示. 为解决声压导数在边界处不连续这一问题, 本文引入边界辅助函数, 将引入边界辅助函数的标准傅里叶级数称为边界光滑傅里叶级数. 此时再将声压利用边界光滑傅里叶级数展开
$$ {p_1} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{a_k}\cos ({\lambda _k}x) + {b_1}{\varphi _1}\left( x \right)} + {b_2}{\varphi _2}\left( x \right) $$ (25) 式中, φ1和φ2为边界光滑辅助函数, b1和b2为辅助函数系数. 边界光滑辅助函数可以是解决声压导数在边界处不连续的任意函数, 本文采用以下函数
$$ {\varphi _1}\left( x \right) = x{\left( {\frac{x}{L} - 1} \right)^2} \tag{26a}$$ $$ {\varphi _2}\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{L}\left( {\frac{x}{L} - 1} \right) \tag{26b}$$ 该辅助函数满足
$$ {\left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varphi _1}\left( x \right)}&{{\varphi _2}\left( x \right)} \\ {{{\varphi '_1}}\left( x \right)}&{{{\varphi '_2}}\left( x \right)} \end{array}} \right]} \right|_{x = 0}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \\ 1&0 \end{array}} \right] \tag{27a}$$ $$ {\left. {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varphi _1}\left( x \right)}&{{\varphi _2}\left( x \right)} \\ {{{\varphi '_1}}\left( x \right)}&{{{\varphi '_2}}\left( x \right)} \end{array}} \right]} \right|_{x = L}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0 \\ 0&1 \end{array}} \right] \tag{27b}$$ 将方程(25) ~ 方程(27)代入方程(22)中, 得到
$$ {\left. {\frac{{{\rm{d}}{p_1}}}{{{\rm{d}}x}}} \right|_{x = 0}} = \frac{{ - {\text{i}}\omega {\rho _{\text{m}}}}}{{{Z_0}}}{p_1}\left( 0 \right) = \frac{{ - {\text{i}}\omega {\rho _{\text{m}}}}}{{{Z_0}}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {{a_k}} = {b_1}\tag{28a} $$ $$ {\left. {\frac{{{\rm{d}}{p_1}}}{{{\rm{d}}x}}} \right|_{x = L}} = \frac{{ - {\text{i}}\omega {\rho _{\text{m}}}}}{{{Z_{\text{L}}}}}{p_1}\left( L \right) = \frac{{ - {\text{i}}\omega {\rho _{\text{m}}}}}{{{Z_{\text{L}}}}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^k}{a_k}} = {b_2}\tag{28b} $$ 将方程(28)写为矩阵形式
$$ {{\boldsymbol{B}}} = \omega {{\boldsymbol{ZA}}} $$ (29) 其中
$$ {{\boldsymbol{A}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_0}}&{{a_1}}&{. ..}&{{a_k}} \end{array}} \right]^{\text{T}}} $$ (30) $$ {{\boldsymbol{B}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}} \\ {{b_2}} \end{array}} \right] $$ (31) $$ {{\boldsymbol{Z}}} = - {\text{i}}{\rho _{\text{m}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{{{Z_0}}}}&{\dfrac{1}{{{Z_0}}}}&{. ..}&{\dfrac{1}{{{Z_0}}}} \\ {\dfrac{1}{{{Z_{\text{L}}}}}}&{\dfrac{{ - 1}}{{{Z_{\text{L}}}}}}&{. ..}&{\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{Z_{\text{L}}}}}} \end{array}} \right] $$ (32) 2. 模型求解
本节对具有任意阻抗边界的驻波TAPEH的理论模型进行求解, 预报TAPEH的声学特性和俘能特性. 本文将声学系统的声压分布函数展开为边界光滑傅里叶级数形式, 结合Galerkin原理建立了系统的特征值方程, 通过求解上述特征值方程得到系统的声学特性和俘能特性.
对方程(25)进行求导, 得到声压的一阶导数和二阶导数
$$ \frac{{{\rm{d}}{p_1}}}{{{\rm{d}}x}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - {\lambda _k}{a_k}} \right)\sin ({\lambda _k}x)} + {b_1}{{\varphi '_1}}\left( x \right) + {b_2}{{\varphi '_2}}\left( x \right) $$ (33) $$ \frac{{{{\rm{d}}^2}{p_1}}}{{{\rm{d}}{x^2}}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - \lambda _k^2{a_k}} \right)\cos ({\lambda _k}x)} + {b_1}{{\varphi ''_1}}\left( x \right) + {b_2}{{\varphi ''_2}}\left( x \right) $$ (34) 将辅助函数及其导数进行标准傅里叶展开, 联合方程(25), 一同代入方程(10), 得到
$$\begin{split} & {\text{ }}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - \lambda _k^2{a_k} + {b_1}{g_{1k}} + {b_2}{g_{2k}}} \right)} \cos ({\lambda _k}x)- \\ &\qquad \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}}\left[ {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {{a_k} + {b_1}{c_{1k}} + {b_2}{c_{2k}}} \right)\cos ({\lambda _k}x)} } \right] = 0 \end{split} $$ (35) 采用Galerkin法, 将cos(λnx) (n = 0 ~ k)作为权函数, 代入方程(35), 在0 ~ L上进行积分, 得到
$$ {{\boldsymbol{T}}}\left( {{{{\boldsymbol{F}}}_{\text{2}}}{{\boldsymbol{A}}} + {{\boldsymbol{GB}}}} \right) - {\omega ^2}{{\boldsymbol{T}}}\left( {{{\boldsymbol{A}}}{\mathbf{ + }}{{\boldsymbol{CB}}}} \right) = {{\boldsymbol{0}}} $$ (36) 其中, c为声速, T的第k行第n列元素${{{{T}}}^{k,n}} $为
$$ {{{{T}}}^{k,n}} = \int_0^L {\cos \left( {{\lambda _k}x} \right)\cos \left( {{\lambda _n}x} \right){\rm{d}}x} $$ (37) $$ {{{\boldsymbol{F}}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \lambda _0^2}&{}&{{\boldsymbol{0}}}&{} \\ {}&{ - \lambda _1^2}&{}&{} \\ {}&{{\boldsymbol{0}}}&{. ..}&{} \\ {}&{}&{}&{ - \lambda _k^2} \end{array}} \right] $$ (38) $$ {{\boldsymbol{C}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{10}}}&{{c_{11}}}&{. ..}&{{c_{1k}}} \\ {{c_{20}}}&{{c_{21}}}&{. ..}&{{c_{2k}}} \end{array}} \right]^{\rm T}} $$ (39) $$ {{\boldsymbol{D}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_{10}}}&{{d_{11}}}&{. ..}&{{d_{1k}}} \\ {{d_{20}}}&{{d_{21}}}&{. ..}&{{d_{2k}}} \end{array}} \right]^{\rm T}} $$ (40) $$ {\boldsymbol{G}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_{10}}}&{{g_{11}}}&{. ..}&{{g_{1k}}} \\ {{g_{20}}}&{{g_{21}}}&{. ..}&{{g_{2k}}} \end{array}} \right]^{\rm T}} $$ (41) 将方程(29)代入方程(36), 得到
$$ \left( {{\boldsymbol{K}} + \omega {\boldsymbol{X}} + {\omega ^2}{\boldsymbol{M}} + {\omega ^3}{\boldsymbol{Y}}} \right){\boldsymbol{A}} = {\boldsymbol{0}} $$ (42) 其中
$$\qquad\qquad {\boldsymbol{K}} = {\boldsymbol{T}}{{\boldsymbol{F}}_2} $$ (43) $$\qquad\qquad {\boldsymbol{X}} = {\boldsymbol{TGZ}} $$ (44) $$ \qquad\qquad {\boldsymbol{M}} = - \frac{1}{{{c^2}}}{{\boldsymbol{T}}_4} $$ (45) $$ \qquad\qquad {\boldsymbol{Y}} = - \frac{1}{{{c^2}}}{\boldsymbol{TCZ}} $$ (46) 方程(42)不能由传统求解矩阵特征值的方法进行求解, 因此将其转化为状态矩阵方程
$$ \left( {{\boldsymbol{R}} - \omega {\boldsymbol{S}}} \right){\boldsymbol{H}} = {\boldsymbol{0}} $$ (47) 通过求解该方程的特征值, 即可得到表3中的模态频率. 需要注意的是, 矩阵R, S和H同样与振荡频率ω有关. 因此在求解广义特征值方程时, 需要先代入一试频率至系数矩阵中, 求得方程的特征值后, 将该值与试频率进行对比. 若不同, 须将试频率更新为该特征值并重复求解过程; 若相同, 此时的矩阵特征值即为所求的模态频率. 在此基础上, 即可得到声压和流速的模态分布
$$ {p_1}\left( x \right) = {{\boldsymbol{N}}_1}\left( {{\boldsymbol{E}} + \omega {\boldsymbol{CZ}}} \right){\boldsymbol{A}} $$ (48) $$ {U_1}\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{\omega }\left( {{{\boldsymbol{N}}_2}{{\boldsymbol{F}}_1} + \omega {{\boldsymbol{N}}_1}{\boldsymbol{DZ}}} \right){\boldsymbol{A}} $$ (49) 其中
$$ {{\boldsymbol{N}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos ({\lambda _0}x)}&{\cos ({\lambda _1}x)}&{. ..}&{\cos ({\lambda _k}x)} \end{array}} \right] $$ (50) $$ {{\boldsymbol{N}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin ({\lambda _0}x)}&{\sin ({\lambda _1}x)}&{. ..}&{\sin ({\lambda _k}x)} \end{array}} \right] $$ (51) $$ {{\boldsymbol{F}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\lambda _0}}&{}&{{\boldsymbol{0}}}&{} \\ {}&{ - {\lambda _1}}&{}&{} \\ {}&{{\boldsymbol{0}}}&{. ..}&{} \\ {}&{}&{}&{ - {\lambda _k}} \end{array}} \right] $$ (52) 在求得声压和流速分布的基础上, 便可进一步得到外接负载两侧的电压
$$ V = \frac{{ - \psi {R_{\text{E}}}U\left( L \right)}}{{{\text{i}}\omega \xi {R_{\text{E}}} + 1}} $$ (53) 求得电压后将方程(53)代入方程(21)即可求出外接负载所能俘获的电能.
3. 数值结果与分析
根据前文推导结果, 本节采用数值仿真软件对具有任意阻抗边界的TAPEH的声学和俘能特性进行编程仿真. 首先, 研究边界光滑傅里叶级数的截断数对TAPEH声学特性和俘能特性稳定性的影响. 模型验证所使用的TAPEH参数与文献[18]中保持一致, 将本文结果与文献结果进行对比, 验证本文所提方法在预报TAPEH声学特性和俘能特性时的正确性. 在此基础上, 探究热声管长L、外接负载RE和任意阻抗边界Z0对不同工质气体的TAPEH声学特性和俘能特性的影响规律.
3.1 模型验证
本文利用边界光滑傅里叶级数将声压函数进行展开, 理论上声压函数由无穷项级数叠加而成. 而在数值仿真时, 需要对傅里叶级数展开项进行截断. 计算结果对截断数的敏感程度以及计算精度称为稳定性与可靠性. 首先研究截断数对本文方法计算结果的影响, 验证本文方法的稳定性. 然后将本文方法计算结果与文献结果进行对比, 验证本文方法的可靠性.
在本文中, TAPEH的材料参数与几何参数见表1. 不同工质流体的热力特性见表2, He, N2和Ar的热力参数参考文献[7].
表 1 热声压电俘能系统材料参数与几何参数Table 1. Geometric and materials parameters of the TAPEHParameter Variable Value length of tube L/m 0.04 area of tube S/m2 8 × 10−5 mean pressure Pm/Pa 105 temperature Tm/K 500 area ratio Ks 2 effective mass m/kg 3.5 × 10−7 effective damping b/(kg·s−1) 3.85 × 10−5 effective stiffness s/(N·m−1) 580 reciprocal piezoelectric coupling factor Ψ/(kg·m−1·Ω−1) 9.44 × 10−9 piezoelectric clamped capacitance ξ/F 2.76 × 10−8 impedance of electric load RE/Ω 1000 boundary impedance (x = 0) Z0/(Pa·s·m−3) i × 108 表 2 不同工质流体的热力性能Table 2. Thermal properties of different working fluidsGas M/(g·mol−1) Cp/(J·kg·K−1) μ0/(kg·(m·s−1)) nμ k0/(W·(m·K−1)−1) nk H2 2.016 14209 8.41 × 104 0.68 0.168 0.72 He 4.003 5193 1.894 × 105 0.647 0.144 0.71 N2 28.013 1042 1.663 × 105 0.67 0.0242 0.74 Ar 39.948 520 2.125 × 105 0.72 0.0163 0.73 Air 28.96 1006 1.716 × 105 0.666 0.0241 0.81 首先, 研究截断数对边界光滑傅里叶级数法稳定性的影响. TAPEH材料参数与几何参数、工质流体的热力性能见表1和表2. 采取Ar作为工质气体, 任意阻抗边界值与表1保持一致. 通过求解方程(47)的特征值, 得到TAPEH的前5阶模态频率见表3.
从表3的计算结果可以看出, 随着截断数的不断提高, 前5阶模态频率的值有不断变化、直至稳定的趋势. 在截断数k = 35时, 前5阶模态频率已经全部收敛; 在截断数k = 40时, 前5阶模态频率已保持不变. 且TAPEH通常在第一阶振荡频率(起振频率)处运行, 为保证之后的声学和俘能特性求解及参数研究结果的可靠性, 将截断数k取为40.
表 3 不同截断数对应的前五阶模态频率Table 3. The first five modal frequencies with different series truncation numbers kTruncation
number
k1st
/(104·
rad·s−1)2nd
/(104·
rad·s−1)3rd
/(104·
rad·s−1)4th
/(105·
rad·s−1)5th
/(105·
rad·s−1)5 2.279 3 5.554 8 8.841 2 1.215 2 1.552 5 10 2.278 9 5.550 4 8.823 2 1.209 8 1.537 7 15 2.278 8 5.549 8 8.821 3 1.209 3 1.536 6 20 2.278 8 5.549 7 8.820 8 1.209 2 1.536 4 25 2.278 8 5.549 6 8.820 6 1.209 2 1.536 3 30 2.278 8 5.549 6 8.820 5 1.209 2 1.536 3 35 2.278 8 5.549 6 8.820 5 1.209 1 1.536 2 40 2.278 8 5.549 6 8.820 5 1.209 1 1.536 2 在上述研究的基础上, 将本文所提方法的计算结果与文献数据进行对比, 验证本文方法计算TAPEH声学和俘能特性时的正确性. 在进行对比分析时, 数据与文献[18]保持一致, 当量化振荡频率、归一化声压实部和流速虚部以及负载可俘获电能的对比结果见图2 ~ 图4. 图4中之所以用负载俘获的当量化电能而非俘能效率作为衡量TAPEH的性能指标, 是因为TAPEH内的热声振荡涉及多物理场耦合问题, 能量流动情况复杂, 为简化求解往往将板叠处的温度梯度而非高温端的能量输入视作已知条件, 俘能效率较难得出. 与此同时, TAPEH旨在回收常规手段无法利用的能量、提升能量品级, 因此能量俘获效率并非TAPEH的首要指标. 综合考虑理论研究与工程应用中的需求, 本文的理论研究中沿用负载俘获的当量化电能这一指标.
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图 2 本文方法计算的当量化振荡频率与文献结果对比Figure 2. Comparison of the equivalent quantized oscillation frequencies calculated by this paper with respect to the results of reference![]()
图 3 本文方法计算的模态振型分布与文献结果对比Figure 3. Comparison of the modal shape by this paper with respect to the results of reference![]()
图 4 本文方法计算的负载所俘获的能量与文献结果对比Figure 4. Comparison of the energy generated by the load calculated by this paper with respect to the results of reference从图2的对比结果可以看出, 当管长L由0.015 m变化至0.04 m时, 本文方法计算得出的当量化振荡频率与文献结果吻合良好.
由图3可知, 本文方法得到的声压实部和流速虚部的当量化振型与文献结果完全吻合. 由于TAPEH最左侧为刚性边界, 因此最左侧声压最大且流速为0; 最右侧为压电薄膜, 并非单纯的刚性边界和软边界, 而是有一定阻抗值的阻抗边界, 部分能量被薄膜和外界阻抗所俘获, 因此声压在此处并非为最大值, 流速虚部也并非为0. 值得注意的是, 与纯管的声压波节出现于管长的1/2处不同, TAPEH的波节位置因压电薄膜及外接负载的存在发生改变.
由图4可知, 本文方法计算得出的负载所俘获的能量与文献结果吻合良好. 在系统振荡频率仅受管长影响时(外接负载、横截面积及阻抗边界条件保持不变), 负载俘获能量存在最大值, 即存在TAE和压电换能器的阻抗匹配问题.
综上所述, 针对本文的TAPEH, 截断数k取为40可保证边界光滑傅里叶级数法的稳定性. 在此基础上, 本文方法在计算TAPEH的声学和俘能特性时具有良好的稳定性和可靠性.
3.2 热声管长对不同工质流体TAPEH声学和俘能特性的影响
在工程实践中设计TAPEH时, 振荡频率是核心设计参数之一, 其直接关系到之后的阻抗匹配和负载俘能工作. 改变管长是调控系统振荡频率难度最小、调控范围最广的调控手段, 因此探究管长对热声压电俘能系统声学和俘能特性的影响具有重要意义. 同时, 理论研究和工程应用中因建造维护成本、俘能密度、结构材料和应用场景等的不同, 往往采用不同的流体作为工质. 在进行理论研究时, 研究人员往往采用空气作为工质流体, 旨在降低研究成本、控制实验规模; 而在工程应用中, 常采用H2、He和N2等稀有气体作为工质, 为了俘获较为可观的能量, 往往需要对工质流体进行加压, 使用稀有气体作为工质, 将会使得TAPEH的制作和运行成本更高. 因此考虑工质流体对热声压电俘能系统的结构设计和参数研究的影响显得尤为必要.
本节研究热声管长对不同工质流体TAPEH声学和俘能特性的影响. 首先探究管长对不同工质流体热声压电俘能系统振荡频率的影响; 在此基础上, 以空气作为工质流体, 探究不同管长对声压实部和流速虚部振型分布及负载俘能的影响. 计算结果见图5 ~ 图7.
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图 5 管长对不同工质流体TAPEH共振频率的影响Figure 5. Effect of tube length on oscillation frequency of TAPEH with different working fluids![]()
图 6 以空气为工质流体, 管长对TAPEH振型分布的影响Figure 6. Effect of tube length on the modal shape of TAPEH with air as working fluid![]()
图 7 管长对不同工质流体TAPEH值为100 Ω的负载所俘获当量化能量的影响Figure 7. Effect of tube length on dimensionless energy generated by the electric load of 100 Ω of TAPEH with different working fluids由图5可知, TAPEH振荡频率与管长呈反比关系. 同时可以看出, 以Ar, N2和Air为工质流体时, TAPEH的振荡频率处于高频, 且可调控范围较宽, 这一特点决定了使用这3种气体作为工质时, TAPEH对振荡频率精度要求较低, 且调控范围较广, 适用的工业场景更多. 由于空气中N2含量较高, 因此二者的热力性质和相同管长下系统的振荡频率相近. 值得注意的是, 管长L = 0.025 m的TAPEH在以Ar, N2和Air为工质流体时, 三者的振荡频率一致, 这意味着当管长和振荡频率符合要求时, TAPEH对工质流体有更多的选择. 以H2和He为工质流体时, 系统共振频率较低, 可调范围窄, 当TAPEH的运行频率为低频, 且对振荡频率调控精度较高时可使用这两种气体作为工质.
从图6的计算结果不难看出, 管长对TAPEH声压实部和流速虚部的振型分布影响较大. 图6(a)的结果显示, 声压实部的振型分布在不同管长下的波节的相对位置不同, 且管长越长, 波节的相对位置越靠左. 当L = 0.01 m和L = 0.02 m时, 由于管长较短, 声压实部并未出现波节, L = 0.01 m的情况下, 在压电薄膜处尚有相对较大的波动声压; L = 0.03 m和L = 0.04 m时, 出现了声压波节, 且管长越长、声压波节的相对位置越靠左, 声压进一步发展的空间越大, 在压电薄膜处的相对波动声压越高. 图6(b)的结果显示, 管长对流速虚部的振型分布影响较大, 但管长与流速虚部的极值点位置关系无规律, 流速虚部的振型分布与管长和振荡频率间并非简单的线性关系.
图7的结果显示, 当TAPEH的外接负载为RE = 100 Ω时, 各种工质流体下负载的俘能峰值出现的管长不同, H2和He的俘能峰值出现在管长为L = 0.04 m的情况下, N2, Ar和Air的俘能峰值出现在管长为L = 0.015 m的情况下. 可以看出, 以H2和He为工质流体的低频范围内, 负载所俘获的当量化能量随管长的增加和振荡频率的降低而提高; 以N2, Ar和Air为工质流体的高频范围内, 负载所俘获的当量化能量随管长的增加、振荡频率的降低而先提高后降低, 存在极值点, 且均为0.015 m处. 这是因为三者对应的固有频率相近, 且与外接负载达成阻抗匹配关系.
综上所述, TAPEH振荡频率与管长呈反比关系. 利用管长调控振荡频率时, 不同工质流体对振荡频率精度要求和调控范围差别较大. 管长对声压实部的振型分布影响较大, 管长越长, 波节的相对位置越靠左. 各种工质流体下负载的俘能峰值出现说明达成外接负载与TAPEH阻抗匹配.
3.3 外接负载、热声管长对不同工质流体TAPEH俘能特性的影响
外接负载影响着TAPEH的运行效率, 负载俘能大小也是衡量TAPEH的核心参数. 与此同时, 为了达成阻抗匹配, 需要改变外接负载或者系统结构, 但在某些特殊情况下, 系统的结构参数或者外接负载无法改变, 因此探究不同负载下管长对TAPEH的俘能特性具有重要意义.
本节用以研究不同外接负载下, 不同管长对不同工质流体的TAPEH俘获的当量化电能的影响. 不同管长的TAPEH的负载为RE = 10 Ω, RE = 1000 Ω, RE = 10000 Ω时, 俘获的当量化能量如图8所示.
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图 8 管长对不同工质流体TAPEH外接负载所俘获当量化能量的影响Figure 8. Effect of tube length on dimensionless energy generated of TAPEH with different working fluids由图8可知, 随着负载的不断提高, 以Ar, N2和air为工质流体的TAPEH的变化较大, 结合图7中, RE = 100 Ω时, TAPEH的当量化能量大小, 可以看出管长L = 0.015 m时, 外接负载与TAPEH达成阻抗匹配关系的外接负载阻值在10 Ω ~ 1000 Ω之间. 且当外接负载RE = 10000 Ω时, 以上述3种气体作为工质的TAPEH已经失去了俘能能力, 无论管长和振荡频率如何变化, 负载所俘获当量化能量几近于0. 从电网络理论的角度分析, 引入过大的负载相当于电路开路, 此时微弱的声压波动已无法激起压电薄膜的振动, 从而无法产生电能. 因此在接入负载时, 为保护俘能电路安全, 可先接入大额电阻, 然后逐步减小负载电阻, 直至俘能大小满足运行要求.
与之对应的, 以H2和He为工质流体的TAPEH俘能变化并不明显, 虽在个别管长处出现波动, 但保持管长越长、俘能越多的大体趋势. 与此同时, 从图8可以看出, 以空气作为工质流体的TAPEH俘获当量化能量并未占据明显优势, 且提前出现峰值. 这使得设计人员在进行TAPEH的前期设计时, 需要根据具体的应用场景合理选择工质流体和管长. 以空气为工质流体时, TAPEH具有工质流体容易获取、运行成本低的优点, 但其俘获当量化能量并未占据明显优势, 且由于空气中含有氧气, 对金属管、板叠具有一定的侵蚀能力, 使得TAPEH的维护成本较高.
综上所述, 随着负载的不断提高, 以Ar, N2和Air为工质流体的TAPEH在管长L = 0.015 m时, 与其达成阻抗匹配关系的外接负载阻值在10 Ω ~ 1000 Ω之间. 且外接负载RE = 10000Ω时, TAPEH丧失俘能能力. 与此同时, 以H2和He为工质流体的TAPEH, 保持管长越长、俘能越多的大体趋势.
3.4 边界阻抗、热声管长对TAPEH声学特性的影响
除了改变管长, 作为另一种通过改变系统结构进而改变系统俘能特性手段, 改变系统的边界阻抗也可以调控系统的振荡频率和声压及流速分布, 进而影响系统的俘能特性. 在工程实践中, TAPEH无俘能元件的一侧常用固体端板进行封闭, 但此时无法利用阻抗边界改变系统声学和俘能特性. 为拓宽系统应用场景, 增加系统可控手段, 边界可调是TAPEH发展的方向之一. 因此探究管长和边界阻抗对TAPEH声学特性的影响具有重要意义.
本节用以探究阻抗边界和管长对TAPEH声学特性的影响. 首先探究管长从0.005 m变化至0.04 m、边界阻抗从i × 10−6变化至i × 108时对振荡频率的综合性影响, 在此基础上, 缩小边界阻抗范围, 探究管长从0.005 m变化至0.04 m、边界阻抗从i × 10−2变化至i × 104时对振荡频率的综合性影响. 然后选取管长为L = 0.04 m, 探究边界阻抗对声压实部和流速虚部分布的影响. 管长和边界阻抗对振荡频率的影响见图9和图10, 边界阻抗对声压实部和流速虚部沿管长的分布影响见图11.
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图 9 管长和边界阻抗(i × 10-6 ~ i × 108)对以空气为工质流体TAPEH振荡频率的影响Figure 9. Effect of tube length and boundary impedance (i × 10-6 ~ i × 108) on oscillation frequency of TAPEH with air as working fluid![]()
图 10 管长和边界阻抗(i × 10−2 ~ i × 104)对以空气为工质流体TAPEH振荡频率的影响Figure 10. Effect of tube length and boundary impedance (i × 10−2 ~ i × 104) on oscillation frequency of TAPEH with air as working fluid![]()
图 11 以空气为工质流体, 边界阻抗对TAPEH振型分布的影响Figure 11. Effect of tube length and boundary impedance on the modal shape of of the velocity of TAPEH with air as working fluid图9的计算结果显示出, 在以空气为工质时, TAPEH的振荡频率受管长和边界阻抗的影响可分为A低敏感区、B阻抗失效区和C高敏感区. 划分依据为系统频率对管长和边界阻抗的敏感程度. 就图9而言, B阻抗失效区的范围为(0.005 ~ 0.025 m, i × 10−6 ~ i × 10−2), C高敏感区的范围为(0.005 ~ 0.025 m, i × 10−2 ~ i × 106), 其余区域为A低敏感区. 然而, 这种分区方法是一种较为直观粗略的分区手段, 旨在设计前期根据应用的工业场景不同选择相应的管长和边界阻抗. 因此, 针对不同结构尺寸和负载的TAPEH, 其分区界限以及限定数值并不相同. 在区域A中, 振荡频率对管长和阻抗的变化并不敏感, 因此当热声压电俘能系统对环境要求较低、运行频率单一时, 可使热声压电俘能系统工作于区域A; 在区域B中, 振荡频率随管长变化较明显, 但阻抗的变化对振荡频率不能起调控作用, 因此当系统对边界阻抗无要求, 但有调控振荡频率的需要时, 可使TAPEH工作于区域B; 在区域C中, 振荡频率的变化范围较大, 且对管长和边界阻抗较敏感, 因此当系统需要运行的振荡频率范围较宽、想用较小的成本实现振荡频率调控时, 可使TAPEH工作于区域C.
因为区域C具有较高的调控价值, 为了进一步探究高敏感区内管长和边界阻抗对振荡频率的影响, 绘制了较小边界阻抗范围的图10. 图10的结果显示, 在边界阻抗Z0 = i × 103及以上时, 改变管长对振荡频率的影响较小. 在一定的管长范围内, 如L = 0.015 m时, 随边界阻抗的不断增大, 振荡频率先降低后升高. 而在全边界阻抗范围内, 保持边界阻抗不变时, 振荡频率随管长的增加而降低, 这一结论与图5结论一致.
图11中给出了管长不变时, 不同边界阻抗下声压实部和流速虚部的当量化幅值沿管长的分布. 之所以选择 “x/L” 而非管长这一具体的物理量作为其横坐标, 是为了体现边界阻抗对声压实部和流速虚部振型沿某一方向影响的广适性. 从其结果可以看出, 声压实部和流速虚部沿管长的振型分布受边界阻抗影响较大. 随着边界阻抗的不断提高, 左侧边界处的声压实部的当量化幅值不断增大, 且声压实部当量化幅值为零时的位置(波节)不断右移. 与此同时, 声压实部的当量化振幅沿管长的分布在边界阻抗值为i × 10−4 ~ i和i × 104 ~ i × 108之间时一致, 说明当边界阻抗在这两个阻抗带之间时TAPEH的声学特性一致, 这一结论也同样适用于流速虚部的当量化幅值沿管长的分布结果, 因此可将边界阻抗值为 i × 10−4 ~ i 与 i × 104 ~ i × 108 划归为“声学特性一致阻抗带”.
综上所述, 管长和边界阻抗对TAPEH振荡频率的影响分为低敏感区、阻抗失效区和高敏感区, 在设计系统时可根据不同的需求选择工作区域. 同时, 边界阻抗范围内存在“声学特性一致阻抗带”, 在“声学特性一致阻抗带”内, 系统的声学特性表现一致.
4. 结 论
本文建立了基于任意阻抗边界的驻波TAPEH声学和俘能特性的预报模型. 采用边界光滑傅里叶级数对声压分布函数进行级数展开, 结合 Galerkin原理得到TAPEH的特征方程, 通过求解该方程得到系统振荡频率、声压实部与流速虚部的振型分布以及负载俘能等核心参数. 研究了截断数对边界光滑傅里叶级数稳定性的影响, 在保证其计算精度的基础上, 将计算结果与文献结果进行对比, 验证了本文所提方法求解任意阻抗边界条件下TAPEH声学特性和俘能特性的准确性. 在上述研究的基础上, 研究了热声管长、外接负载和边界阻抗对系统振荡频率、声压实部及流速虚部振型分布和负载俘能的影响. 本文得到主要结论如下.
(1)结合边界光滑傅里叶级数和Galerkin原理能够在模态域上准确预报具有任意阻抗边界条件的TAPEH的声学和俘能特性. 当截断数为40时, TAPEH的前5阶振荡频率收敛.
(2) TAPEH振荡频率与管长呈反比关系. 在利用管长调控振荡频率时, 若系统对振荡频率精度要求较低且调控范围较广时, 可采用N2, Ar和空气作为工质流体; 相反, 若TAPEH对振荡频率精度要求较高、调控范围较窄时, 可采用H2和He为工质流体. 各种工质流体下TAPEH在俘能极大值处与外接负载达成阻抗匹配关系.
(3) 以Ar, N2和空气为工质流体的TAPEH在管长L = 0.015 m时, 与其达成阻抗匹配关系的外接负载阻值在10 Ω ~ 1000 Ω之间, 且外接负载RE = 10000 Ω时, TAPEH失去俘能能力; 以H2和He为工质流体的TAPEH管长与俘能能力间的变化趋势与负载无关.
(4) 管长和边界阻抗对TAPEH振荡频率的影响分为低敏感区、阻抗失效区和高敏感区, 在设计TAPEH时可根据不同的需求和应用场景选择其工作区域. 边界阻抗范围内存在“声学特性一致阻抗带”, 在阻抗带内, TAPEH的声学特性表现一致.
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图 1 具有任意阻抗边界的驻波热声压电俘能系统物理模型
Figure 1. Physical model of the standing-wave TAPEH with arbitrary impedance boundaries
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图 2 本文方法计算的当量化振荡频率与文献结果对比
Figure 2. Comparison of the equivalent quantized oscillation frequencies calculated by this paper with respect to the results of reference
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图 3 本文方法计算的模态振型分布与文献结果对比
Figure 3. Comparison of the modal shape by this paper with respect to the results of reference
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图 4 本文方法计算的负载所俘获的能量与文献结果对比
Figure 4. Comparison of the energy generated by the load calculated by this paper with respect to the results of reference
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图 5 管长对不同工质流体TAPEH共振频率的影响
Figure 5. Effect of tube length on oscillation frequency of TAPEH with different working fluids
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图 6 以空气为工质流体, 管长对TAPEH振型分布的影响
Figure 6. Effect of tube length on the modal shape of TAPEH with air as working fluid
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图 7 管长对不同工质流体TAPEH值为100 Ω的负载所俘获当量化能量的影响
Figure 7. Effect of tube length on dimensionless energy generated by the electric load of 100 Ω of TAPEH with different working fluids
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图 8 管长对不同工质流体TAPEH外接负载所俘获当量化能量的影响
Figure 8. Effect of tube length on dimensionless energy generated of TAPEH with different working fluids
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图 9 管长和边界阻抗(i × 10-6 ~ i × 108)对以空气为工质流体TAPEH振荡频率的影响
Figure 9. Effect of tube length and boundary impedance (i × 10-6 ~ i × 108) on oscillation frequency of TAPEH with air as working fluid
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图 10 管长和边界阻抗(i × 10−2 ~ i × 104)对以空气为工质流体TAPEH振荡频率的影响
Figure 10. Effect of tube length and boundary impedance (i × 10−2 ~ i × 104) on oscillation frequency of TAPEH with air as working fluid
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图 11 以空气为工质流体, 边界阻抗对TAPEH振型分布的影响
Figure 11. Effect of tube length and boundary impedance on the modal shape of of the velocity of TAPEH with air as working fluid
表 1 热声压电俘能系统材料参数与几何参数
Table 1 Geometric and materials parameters of the TAPEH
Parameter Variable Value length of tube L/m 0.04 area of tube S/m2 8 × 10−5 mean pressure Pm/Pa 105 temperature Tm/K 500 area ratio Ks 2 effective mass m/kg 3.5 × 10−7 effective damping b/(kg·s−1) 3.85 × 10−5 effective stiffness s/(N·m−1) 580 reciprocal piezoelectric coupling factor Ψ/(kg·m−1·Ω−1) 9.44 × 10−9 piezoelectric clamped capacitance ξ/F 2.76 × 10−8 impedance of electric load RE/Ω 1000 boundary impedance (x = 0) Z0/(Pa·s·m−3) i × 108 
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表 2 不同工质流体的热力性能
Table 2 Thermal properties of different working fluids
Gas M/(g·mol−1) Cp/(J·kg·K−1) μ0/(kg·(m·s−1)) nμ k0/(W·(m·K−1)−1) nk H2 2.016 14209 8.41 × 104 0.68 0.168 0.72 He 4.003 5193 1.894 × 105 0.647 0.144 0.71 N2 28.013 1042 1.663 × 105 0.67 0.0242 0.74 Ar 39.948 520 2.125 × 105 0.72 0.0163 0.73 Air 28.96 1006 1.716 × 105 0.666 0.0241 0.81
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表 3 不同截断数对应的前五阶模态频率
Table 3 The first five modal frequencies with different series truncation numbers k
Truncation
number
k1st
/(104·
rad·s−1)2nd
/(104·
rad·s−1)3rd
/(104·
rad·s−1)4th
/(105·
rad·s−1)5th
/(105·
rad·s−1)5 2.279 3 5.554 8 8.841 2 1.215 2 1.552 5 10 2.278 9 5.550 4 8.823 2 1.209 8 1.537 7 15 2.278 8 5.549 8 8.821 3 1.209 3 1.536 6 20 2.278 8 5.549 7 8.820 8 1.209 2 1.536 4 25 2.278 8 5.549 6 8.820 6 1.209 2 1.536 3 30 2.278 8 5.549 6 8.820 5 1.209 2 1.536 3 35 2.278 8 5.549 6 8.820 5 1.209 1 1.536 2 40 2.278 8 5.549 6 8.820 5 1.209 1 1.536 2
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[1] Rayleigh L. The explanation of certain acoustical phenomena. Nature, 1878, 18(455): 319-321 doi: 10.1038/018319a0
[2] Rott N. Thermoacoustics. Advances in Applied Mechanics, 1980, 20: 135-175
[3] Swift GW. Thermoacoustic engines. The Journal of the Acoustical Society of America, 1988, 84(4): 1145-1180 doi: 10.1121/1.396617
[4] Swift GW, Spoor PS. Thermal diffusion and mixture separation in the acoustic boundary layer. Journal of the Acoustical Society of America, 1999, 106: 1794-1800
[5] Backhaus S, Swift GW. A thermoacoustic-stirling heat engine: Detailed study. The Journal of the Acoustical Society of America, 2000, 107(6): 3148-3166 doi: 10.1121/1.429343
[6] Qiu LM, Lai BH, Zhao YT, et al. Study on the onset temperature of a standing-wave thermoacoustic engine based on circuit network theory. Science China Technological Sciences, 2012, 55(10): 2864-2868 doi: 10.1007/s11431-012-4971-x
[7] Boroujerdi AA, Ziabasharhagh M. Analytical determination of oscillating frequencies and onset temperatures of standing wave thermoacoustic heat engines. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2016, 98: 401-414 doi: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2016.03.028
[8] Ding X, Chen Z, Kang H, et al. Research on thermoacoustic refrigeration system driven by waste heat of industrial buildings. Sustainable Energy Technologies and Assessments, 2023, 55(8): 102971
[9] Ja'fari M, Jaworski AJ. On the nonlinear behaviour of oscillatory flow in a high pressure amplitude standing-wave thermoacoustic heat engine. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2023, 201(9): 123595
[10] Luo J, Chen Y, Zhang L, et al. Numerical simulation of regenerative heat-driven cryocoolers for zero boil-off storage of liquid hydrogen. Journal of Engineering Thermophysics, 2023, 44(1): 38-46
[11] Luo J, Zhou Q, Jin T. Investigation on transient process of thermoacoustic oscillation in a gas-liquid standing-wave thermoacoustic engine. Journal of Applied Physics, 2023, 133(5): 054901
[12] 鄂青, 吴锋, 雷霆. 广义一维势热声发动机微循环的性能分析. 中南大学学报, 2021, 52: 1883-1891 E Qing, Wu Feng, Lei Ting. Performance analysis of microcirculation in a generalised one-dimensional potential thermoacoustic engine. Journal of Central South University, 2021, 52: 1883-1891 (in Chinese)
[13] 王海涛, 罗靖, 张丽敏等. 热声发动机中的交变流动换热器特性研究. 西安交通大学学报, 2023, (5): 1-12 Wang Haitao, Luo Jing, Zhang Liming, et al. Characterizations of an alternating flow heat exchanger in a thermoacoustic engine. Journal of Xi'an Jiaotong University, 2023, (5): 1-12 (in Chinese)
[14] 雷霆. 热声热机热力学优化. [硕士论文]. 武汉: 武汉工程大学, 2022 Lei Ting. Thermodynamic optimisation of thermoacoustic heaters. [Master Thesis]. Wuhan: Wuhan Institute of Technology, 2022 (in Chinese)
[15] 李伟康. 基于船舶余热型热声发动机模拟研究. [硕士论文]. 镇江: 江苏科技大学, 2022 Li Weikang. Ship waste heat-based thermoacoustic engine simulation study. [Master Thesis]. Zhenjiang: Jiangsu University of Science and Technology, 2022 (in Chinese)
[16] 刘俊彦, 王健儒, 许团委等. 燃烧室声腔结构对固体火箭发动机热声振荡影响的实验研究. 固体火箭技术, 2023, 46(1): 41-49 Liu Junyan, Wang Jianru, Xu Tuanwei, et al. Experimental study of the effect of combustion chamber acoustic cavity structure on thermoacoustic oscillations in solid rocket motors. Journal of Solid Rocket Technology, 2023, 46(1): 41-49 (in Chinese)
[17] Matveev KI, Wekin A, Richards CD, et al. On the Coupling between standing-wave thermoacoustic engine and piezoelectric transducer//ASME 2007 International Mechanical Engineering Congress and Exposition, 2007: 765-769
[18] Nouh M, Aldraihem O, Baz A. Energy harvesting of thermoacoustic-piezo systems with a dynamic magnifier. Journal of Vibration and Acoustics, 2012, 134(6): 67-75
[19] Smoker J, Nouh M, Aldraihem O, et al. Energy harvesting from a standing wave thermoacoustic-piezoelectric resonator. Journal of Applied Physics, 2012, 111(10): 104901 doi: 10.1063/1.4712630
[20] Nouh M, Aldraihem O, Baz A. Theoretical modeling and experimental realization of dynamically magnified thermoacoustic-piezoelectric energy harvesters. Journal of Sound Vibration, 2014, 333(14): 3138-3152
[21] Chen G, Tang LH, Mace BR. Modelling and analysis of a thermoacoustic-piezoelectric energy harvester. Applied Thermal Engineering, 2019, 150: 532-544
[22] Ahmed F, Yu GY, Luo EC. Multi-method modeling to predict the onset conditions and resonance of the piezo coupled thermoacoustic engine. Journal of the Acoustical Society of America, 2022, 151(6): 4180-4195
[23] Zheng YD, Wang WY, Niu JR, et al. Thermoacoustic energy harvesting using thermally-stabilized polyacrylonitrile nanofibers. Nano Energy, 2022, 95: 106995
[24] Somu S, Lacoste D, Saxena S, et al. Design optimization and performance analysis of a multi-kilowatt thermoacoustic electric generator using deltaec model. Journal of Energy Resources Technology, Transactions of the ASME, 2021, 143(10): 1-19
[25] 王宇琛. 热声系统15 kW直线发电机的设计与优化. [硕士论文]. 沈阳: 沈阳工业大学, 2021 Wang Yuchen. Design and optimisation of a 15 kW linear generator for thermoacoustic systems. [Master Thesis]. Shenyang: Shenyang University of Technology, 2021 (in Chinese)
[26] 张健, 夏加宽, 王雪等. 热声发电系统最大声功捕获特性分析. 沈阳工业大学学报, 2021, 43: 132-137 Zhang Jian, Xia Jiakuan, Wang Xue, et al. Characterizations of the loudest power capture in thermoacoustic power systems. Journal of Shenyang University of Technology, 2021, 43: 132-137 (in Chinese)
[27] 张健, 夏加宽, 何新等. 热声发电系统自主协同起振控制策略. 电工技术学报, 2021, 36: 1169-1178 Zhang Jian, Xia Jiakuan, He Xin, et al. Autonomous cooperative vibration control strategy for thermoacoustic power systems. Transactions of China Electrotechnical Society, 2021, 36: 1169-1178 (in Chinese)
[28] Li WL. Free vibrations of beams with general boundary conditions. Journal of Sound and Vibration, 2000, 237(4): 709-725
[29] Du JT, Li WL, Liu ZG, et al. Acoustic analysis of a rectangular cavity with general impedance boundary conditions. Journal of the Acoustical Society of America, 2011, 130(2): 807-817
[30] Du JT, Li WL, Xu HA, et al. Vibro-acoustic analysis of a rectangular cavity bounded by a flexible panel with elastically restrained edges. Journal of the Acoustical Society of America, 2012, 131(4): 2799-2810
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