STUDY ON THE MECHANISM OF DRAWDOWN MANAGEMENT OF SHALE GAS HORIZONTAL WELL CONSIDERING CREEP EFFECT
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摘要: 页岩储层具有基质渗透率低、天然裂缝发育复杂等特点, 主要采用多段压裂水平井的方式进行开发. 页岩气井的生产分为放压生产和控压生产两种方式, 目前学者们普遍认为控压生产能够增加EUR, 且应力敏感性是控压生产效果优于放压生产效果的主要原因. 文章在考虑基质和裂缝应力敏感的基础上, 进一步考虑基质岩石的蠕变效应, 建立变压蠕变影响的嵌入式离散裂缝模型, 通过数值模拟方法分析应力敏感和蠕变效应对不同生产方式生产效果的影响. 结果表明, 只考虑应力敏感时, 放压生产优于控压生产, 只有考虑蠕变效应时, 控压生产效果才会优于放压生产, 抑制页岩的蠕变效应是控压生产提高气井EUR的机理之一. 随控压时长的增加, 气井EUR呈现先增加后降低的趋势, 控压生产存在一个最优值; 基质蠕变参数越大、人工裂缝导流能力越高、基质渗透率越小、吸附体积越小、控压生产增产的效果越好. 本研究从机理上解释了控压生产的增产机理, 为页岩气井的生产制度优化奠定了基础.Abstract: Considering the characteristics of shale reservoirs such as the low matrix permeability and complex natural fracture development, shale gas is mainly developed by multi-stage fracturing horizontal wells. The production of shale gas wells adopts the two modes: pressure relief production and pressure control production. Currently, scholars generally believe that pressure control production can improve the EUR of shale gas wells, and stress sensitivity is the main reason why the effect of pressure relief production is worse than that of the pressure control production. In this study, besides the stress sensitivity of matrix and fracture, the creep effect of matrix is also considered, and embedded discrete fracture models under the influence of creep are established. The results show that pressure relief production is better than pressure control production when only stress sensitivity is considered, and pressure control production is better than pressure relief production only when creep effect is considered. In addition, inhibiting the creep effect of shale is one of the mechanisms of improving the EUR of shale gas wells through pressure control production. With the increase of pressure control time, the gas well EUR shows a trend of increasing first and then decreasing, and there is an optimal value for pressure control production; The larger the matrix creep parameter, the higher the conductivity of the artificial fracture, the smaller the matrix permeability, the smaller the adsorption volume, and the better the effect of pressure control on gas production This study explains the production increase mechanism through pressure control production, laying a foundation for the optimization of shale gas well production system.
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Keywords:
- shale gas /
- horizontal wells /
- stress sensitivity /
- creep effect /
- production system /
- pressure control production
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引 言
页岩储层通常具有基质渗透率低、天然裂缝发育复杂等特点, 常规的直井和水平井开采无法达到工业生产流量. 目前, 现场主要采用多段压裂水平井的方式对其进行开发[1-3]. 根据井底流压的下降方式, 页岩气井的生产可以分为放压生产和控压生产两种方式[4-6]. 控压生产是近年来提出的一种新的生产方式, 与放压生产相比, 控压生产时气井的井底流压下降速度较慢、早期产能较低, 但是在生产过程中气井会发生“产能反转”现象, 从而延长气井的稳产期, 达到提高气井后期产能、增大最终可采储量(EUR)的效果. 然而, 采用常规理论无法对控压生产的增产机理作出圆满的解释. 现有的技术手段仍然难以有效地模拟出控压生产中的“产能反转”现象. 对控压生产增产机理认识的不足极大地制约了页岩储层开发制度的决策. 最新的研究成果表明, 页岩储层的基质存在大时间尺度上的蠕变特征. 在蠕变作用的影响下, 页岩的孔隙结构和渗透率会发生缓慢的变化. 在不同的降压方式下, 页岩储层的蠕变速率不同, 因此会引起储层物性上的差异, 进而对页岩气井的长期生产造成显著的影响. 蠕变理论为页岩储层控压生产增产机理的解释提供了新的突破口.
近年来, 越来越多的学者们意识到基质岩石的蠕变作用对非常规储层的长期开采影响显著[7-9]. Sone等[10]对美国主要页岩区块的基质岩石进行了蠕变测试. 测试结果显示, 在小时间尺度下页岩的矿物组成比应力加载历史对基质蠕变量的影响更大. 王永岩等[11]采用软岩相似模型制备页岩试样, 并对试样的蠕变特性进行了数值分析. Mighani等[12]利用纳米压痕技术来测量页岩的蠕变现象. 实验结果表明页岩的蠕变程度与其成分密切相关, TOC和黏土矿物成分越高页岩蠕变越明显. 唐建新等[13]对不同层理和含水状态下的页岩蠕变特性进行了详细的实验研究, 揭示了含水率对页岩蠕变特性的影响. Haghighat等[14]根据Perzyna方法建立了页岩蠕变模型, 此模型可以描述应力循环加载过程中的页岩形变动态变化规律.
以上研究拓展了人们对页岩蠕变特性的基本认识. 基于此, 学者们开展了大量蠕变作用下的基质岩石物性变化研究. 以时间尺度划分, 蠕变对基质岩石物性影响的研究可以分为小时间尺度与大时间尺度两个方面. 在小时间尺度下, 可以认为蠕变作用的持续时间较短, 忽略应力加载时间的影响, 将蠕变作用的影响近似归结到应力敏感的模型中, 从而简化对蠕变作用的数学描述[15-18]. 而大时间尺度的蠕变作用是指基质岩石的蠕变作用持续时间较长, 即使保持应力状态不变, 基质物性仍然无法在短时间之内达到稳定. 对于这种大时间尺度上的蠕变作用, 应力加载时间对基质物性的影响不可忽略. Schatz等[19]对基质岩石的蠕变作用进行分析, 他们认为蠕变作用对储层物性的影响可以持续数10年. Kallesten等[20]研究了储层条件下的基质岩石渗透率和形变量的变化, 实验结果显示当应力加载时间持续上百天时基质岩石仍在发生缓慢的蠕变. 近期, An等[21]考虑蠕变作用造成的岩石孔隙收缩, 建立页岩基质渗透率与压力和时间的关系, 初步揭示蠕变作用对页岩渗透率在大时间尺度上的影响. 但是, An等[21]的模型只适用于应力状态恒定的情况, 而在实际生产中储层的应力状态会不断发生变化, 所以An等[21]的模型无法应用于生产实际中. 因此, 需要建立能够用于实际生产的蠕变机理模型.
本文考虑了蠕变理论对于控压生产增产机理影响, 首次考虑蠕变理论的嵌入式离散裂缝网格数值模拟方法[22], 建立变压蠕变影响的机理模型, 研究蠕变作用与控压生产之间的内在联系, 分析了相关因素对蠕变效应的影响规律, 以期为页岩储层的合理开发提供理论指导.
1. 控压生产机理研究
1.1 蠕变理论
蠕变作用指基质岩石的应力状态即使保持不变, 应变仍然会随时间的延长而缓慢增加的现象, 即形变不仅与应力状态相关还与时间相关. 应力越大, 产生相同应变程度所需要的时间越短.
1.2 蠕变作用下的基质渗透率模型
根据文献[21, 23-25]建立考虑变压蠕变的基质渗透率模型和裂缝闭合模型, 开发考虑蠕变作用的离散裂缝网络数值模拟方法, 开展页岩储层控压生产数值模拟研究, 厘清蠕变作用与控压生产之间的内在联系.
考虑蠕变的裂缝渗透率模型, 以Li等[26]提出的天然裂缝宽度变化模型(非蠕变)和Mirani等[23]提出的人工裂缝宽度变化模型(蠕变)为基础, 结合Pang等[25]提出的计算支撑剂孔隙度和渗透率的方法, 由裂缝宽度变化和支撑剂的孔隙度和渗透率计算出天然裂缝和人工裂缝的渗透率.
随着应力的变化, 基质孔隙度半径并不是瞬时改变, 而是在应力变化后快速改变, 随着时间的推移, 变化速度逐渐减慢的缓慢过程. 因此可以将基质孔隙半径的变化量看作是时间和应力差的函数.
如图1(a), 仅考虑单孔隙蠕变时, 应力不变, 基质孔隙半径的蠕变量为
$$ \Delta {r_c} = c{\left| {{\sigma } - {{\sigma }_0}} \right|^m}\Delta {t^n}{R_0} $$ (1) 式中∆rc表示孔隙半径蠕变量, m; σ−σ0表示应力差, MPa; R0表示初始孔隙半径, m; c, m和n均为无量纲常数.
由此可以得出, 当应力发生改变的时候, 如图1(b), 总的蠕变量为
$$ \Delta r_c^n = \mathop \sum \limits_{i = 1}^{ n} c{\left| {{{\sigma }_i} - {{\sigma }_0}} \right|^m}\Delta t_{ei}^n{R_0} $$ (2) 又有, 总的弹性形变量为
$$ \Delta {r_p} = \frac{{{R_0}\left| {{\sigma } - {{\sigma }_0}} \right|}}{E} $$ (3) 式中E表示杨氏模量, MPa.
如图2所示, 当应力保持恒定不变时, 蠕变量为仅在σ条件下计算基质孔隙半径的变化量; 在σ1条件下基质孔隙发生蠕变, 当应力产生改变时, 需要在σ2条件下计算由σ1条件产生相同蠕变量的等效时间t1e, 并在σ2条件下, 进一步计算由等效时间t1e至t2基质空隙由于蠕变现象导致的孔隙半径变化量.
根据Poiseuille公式, 可得出
$$ \frac{{k}_{m}}{{k}_{m0}} = {\left[{R}_{0} - (1 - 2v)\left(\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^{ n}c{\left|{\sigma}_{i} - {\sigma}_{0}\right|}^{m}\Delta {t}_{ei}^{n}{R}_{0} + \frac{{R}_{0}\left|\sigma-{\sigma}_{0}\right|}{E}\right)\right]}^{2}\Biggr/{R}_{0}^{2} $$ (4) 式中km表示基质渗透率, mD; km0表示初始基质渗透率, mD; v表示泊松比, 无量纲.
为了减少不确定参数, 参照应力敏感模型, 进一步简化了考虑蠕变效应下的渗透率表征形式
$$ \frac{{{k_m}}}{{{k_{m0}}}} = {\text{exp}}\left[ {{\lambda _p}\left( {p - {p_i}} \right) + {\lambda _c}\mathop \int \limits_0^t \frac{{p - {p_i}}}{t}{\text{d}}t} \right] $$ (5) 式中
$ {\lambda }_{p}(p-{p}_{i}) $ 为基质弹性形变影响项,${\lambda _c}\displaystyle\int\limits_{0}^{t} \frac{{p - {p_i}}}{t}{\text{d}}t$ 为基质蠕变影响项.利用式(5), 对文献[21]中的蠕变曲线(图3)进行了拟合, 如图4, 拟合效果较好.
1.3 蠕变作用下的人工裂缝渗透率表征
由于人工裂缝中有支撑剂存在, 并且考虑到基质的蠕变对人工裂缝渗透率变化的影响, 人工裂缝的闭合度为支撑剂嵌入、形变和裂缝蠕变的总和. 进而, 可将人工裂缝宽度变化与支撑剂的孔隙度、渗透率结合起来, 共同表示人工裂缝的渗透率, 图5为裂缝宽度变化示意图.
$$ {C_p} = \frac{1}{{{V_p}}}{\left( {\frac{{\partial {V_p}}}{{\partial {P_p}}}} \right)_{{p_c}}} = \frac{1}{\phi }{\left( {\frac{{\partial \phi }}{{\partial {P_p}}}} \right)_{{p_c}}} $$ (6) 式中Cp表示孔隙压缩系数, Pa−1; Vp表示孔隙体积, m3; Pp表示孔隙压力, Pa;
$\phi $ 表示裂缝孔隙度, 无量纲; pc表示围压应力, Pa.根据McKee相关性得出的孔隙度和渗透率乘数表明孔隙度和渗透率随有效应力变化[27,29-31], 进而可得出
$$ \frac{\phi }{{\phi }_{0}} = \frac{{{\rm{e}}}^{-\alpha {C}_{p}\Delta p}}{1-{\phi }_{0}(1-{{\rm{e}}}^{-\alpha {C}_{p}\Delta p})} $$ (7) $$ \frac{k}{{k}_{0}} = \frac{{{\rm{e}}}^{-3\alpha {C}_{p}\Delta p}}{1-{\phi }_{0}(1-{{\rm{e}}}^{-\alpha {C}_{p}\Delta p})} $$ (8) 式中
$\phi $ 表示裂缝孔隙度, 无量纲;${\phi _0}$ 表示原始储层压力下的裂缝孔隙度, 无量纲; α表示Biot常数, 无量纲; ∆p表示孔隙压差, Pa.其次, 对于人工裂缝的宽度变化, 由于支撑剂的嵌入和形变而引起人工裂缝宽度变化的影响项为[32]
$$ {\varDelta _{PE}}{\text{ = }}2{p_c}(1 - v_2^2) {\frac{{MPD}}{2}} {\frac{1}{{{E_1}}}} $$ (9) $$ {\varDelta _{PD}} = 1.04MPD {\frac{{{p_c}(1 - v_1^2)}}{{{E_1}}}} $$ (10) 式中
$\varDelta_{PE}$ 表示支撑剂嵌入引起的裂缝宽度变化量, m;$\varDelta_{PD}$ 表示支撑剂变形引起的裂缝宽度变化量, m; pc表示净围压, Pa; vi表示材料泊松比, 无量纲; MPD表示平均粒径, m; Ei表示杨氏模量, Pa.通过使用Kelvin黏弹性模型对时间相关的蠕变变形进行建模[31], 可得裂缝的蠕变项可以表示为
$$ \varepsilon (t) = \frac{{MPD}}{{2{G_1}}}\left[ {1 + {\frac{{{{(1 - 2v_2^2)}^2}}}{3}} } \right]{p_c}\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \tfrac{t}{\tau }}}} \right) $$ (11) 式中ε(t)表示蠕变引起的裂缝宽度的变化量, m; Gi表示支撑剂剪切模量, Pa; τ表示剪切应力, Pa.
联立式(9) ~ 式(11)可以得出人工裂缝宽度的闭合度为
$$ {\varDelta _{wf}} = {\varDelta _{PE}} + {\varDelta _{PD}} + \varepsilon (t) $$ (12) 式中
${\varDelta _{wf}} $ 为总的裂缝宽度变化量, m.最后结合支撑剂孔隙度、渗透率和裂缝宽度的变化量可以得出人工裂缝渗透率模型为[24]
$$ \begin{split} &{k}_{f} = {k}_{p}\left\{1 + \frac{2}{{w}_{f}}\sqrt{\frac{{k}_{p}}{{\beta }_{2}{\phi }_{p}}}\left[\text{csch}\left(\sqrt{\frac{{\beta}_{2}{\phi }_{p}}{{k}_{p}}}{w}_{f}\right)-\right.\right.\\ &\qquad \left.\left.\text{coth}\left(\sqrt{\frac{{\beta}_{2}{\phi }_{p}}{{k}_{p}}{w}_{f}}\right)\right]\right\}\end{split} $$ (13) 式中kf表示裂缝渗透率, mD; kp表示支撑剂层渗透率, mD; wf表示裂缝宽度, m; ϕp表示支撑剂层孔隙度, 无量纲; β1, β2为单位转换系数.
1.4 页岩气藏渗流模型建立
本节模型中的基本假设为: (a) 基岩和裂缝系统中的流动满足达西渗流定律; (b) 储层流体为单相气, 不考虑气体滑脱效应; (c) 渗流过程中气藏恒温, 忽略温度对流体属性的影响; (d) 二维渗流模型, 不考虑重力的影响; (e) 页岩气吸附−解吸过程遵循朗格缪尔(Langmuir)等温吸附模型; (f) 不考虑气体扩散效应.
(1)页岩气藏渗流数学模型
对于普通气藏, 基质系统物质平衡方程为[33]
$$ \nabla \left[ {\frac{{{k_m}}}{{{\mu _g}{B_g}}}\nabla P} \right] - q_{m,f}^{} = \frac{\partial }{{\Delta t}}\left( {\frac{{{\phi _m}}}{{{B_g}}}} \right) $$ (14) 式中
$ {k}_{m} $ 表示基质渗透率; μg表示气相黏度, mPa·s; Bg表示气体体积系数;$ {q}_{m,f} $ 表示基质与裂缝之间的流量, m3;${\phi }_{m}$ 表示基质孔隙度.由于页岩气藏中, 基质表面含有大量微小孔隙, 其中附着有大量的吸附气, 当气藏压力下降时, 基质表面的吸附气逐渐解吸转化为游离气, 其对气井产能有较大影响, 采用Langmuir等温吸附方程来描述[34]
$$ {q_L} = \frac{{{V_L}P}}{{{P_L} + P}} $$ (15) 式中
$ {q}_{L} $ 表示解吸气体积, m3;$ {V}_{L} $ 表示朗格缪尔体积, m3/t; P表示地层压力, MPa;$ {P}_{L} $ 表示朗格缪尔压力, MPa.因此基质系统的气相物质平衡方程还要考虑页岩气的吸附−解吸作用, 基质系统气相物质平衡方程为
$$ \nabla \left[ {\frac{{{k_m}}}{{{\mu _g}{B_g}}}\nabla P} \right] - \frac{{q_{m,f}^{}}}{{{B_g}}} - \frac{{{q_L}}}{{{B_g}}} = \frac{\partial }{{\Delta t}}\left( {\frac{{{\phi _m}}}{{{B_g}}}} \right) $$ (16) 将其在二维情况下展开, 则有
$$ \frac{{{k_m}}}{{{\mu _g}{B_g}}}\frac{{{\partial ^2}P}}{{\partial {x^2}}}{\text{ + }}\frac{{{k_m}}}{{{\mu _g}{B_g}}}\frac{{{\partial ^2}P}}{{\partial {y^2}}} - \frac{{q_{mf}^{}}}{{{B_g}}} - \frac{{{q_L}}}{{{B_g}}}{\text{ = }}\frac{{{\phi _m}{c_{tm}}}}{{{B_g}}}\frac{{\partial P}}{{\partial t}} $$ (17) 式中ctm表示基质系统综合压缩系数, MPa−1.
裂缝系统物质平衡方程与普通气藏基质物质平衡方程类似, 考虑基质与裂缝、裂缝与裂缝、不同裂缝段间的流动以及裂缝向井的流动, 则有
$$ \frac{{{k_f}}}{{{\mu _g}{B_g}}}\frac{{{\partial ^2}P}}{{\partial {l^2}}}{\text{ + }}\frac{{{q_{mf}}}}{{{B_g}}}{\text{ + }}\frac{{{q_{{\rm{intf}}}}}}{{{B_g}}} - \frac{{{q_w}}}{{{B_g}}}{\text{ = }}\frac{{{\phi _f}{c_{tf}}}}{{{B_g}}}\frac{{\partial P}}{{\partial t}} $$ (18) 式中qmf表示相邻裂缝段之间的流量, m3; qintf表示相交裂缝之间的流量, m3; qw表示裂缝流向井的流量, m3; ϕf表示裂缝孔隙度, 无量纲; kf表示裂缝渗透率, mD; ctf表示裂缝系统综合压缩系数, MPa−1.
模型为外部封闭边界, 内部定压, 有
$$ \left.\begin{split} & {{\left. \frac{\partial P}{\partial x} \right|}_{x=0}}={{\left. \frac{\partial P}{\partial x} \right|}_{x={{x}_{\max }}}}=0 \\ & {{\left. \frac{\partial P}{\partial x} \right|}_{y=0}}={{\left. \frac{\partial P}{\partial x} \right|}_{y={{y}_{\max }}}}=0 \\ & P\left( {{x}_{w}},{{y}_{w}},t \right)={{P}_{w}} \\ & P\left( x,y,0 \right)={{P}_{i}} \end{split} \right\} $$ (19) (2)页岩气藏渗流控制方程有限差分
对于基质物质平衡方程, 将式(17)左右两端同时乘以网格体积Vb, 有
$$ {V_b}\frac{{{k_m}}}{{{\mu _g}{B_g}}}\frac{{{\partial ^2}P}}{{\partial {x^2}}}{\text{ + }}{V_b}\frac{{{k_m}}}{{{\mu _g}{B_g}}}\frac{{{\partial ^2}P}}{{\partial {y^2}}} - \frac{{{q_{mf}}}}{{{B_g}}}{\text{ = }}\frac{{{V_p}_m{c_{tm}}}}{{{B_g}}}\frac{{\partial P}}{{\partial t}} $$ (20) 式中Vpm表示基质孔隙体积, m3.
对于式(20)左侧有
$$ \begin{split} &{V_b}\frac{{{k_m}}}{{{\mu _g}{B_g}}}\frac{{{\partial ^2}P}}{{\partial {x^2}}} \approx {T_{mm,i - \frac{1}{2},j}}\left( {P_{i - 1,j}^{n + 1} - P_{i,j}^{n + 1}} \right) - \\ &\qquad{T_{mm,i + \frac{1}{2},j}}\left( {P_{i,j}^{n + 1} - P_{i + 1,j}^{n + 1}} \right) \end{split}$$ (21) 同理有
$$ \begin{split} &{V_b}\frac{{{k_m}}}{{{\mu _g}{B_g}}}\frac{{{\partial ^2}P}}{{\partial {y^2}}} \approx {T_{mm,i,j - \frac{1}{2}}}\left( {P_{i,j - 1}^{n + 1} - P_{i,j}^{n + 1}} \right) - \\ &\qquad{T_{mm,i,j + \frac{1}{2}}}\left( {P_{i,j}^{n + 1} - P_{i,j + 1}^{n + 1}} \right)\end{split} $$ (22) 其中, 基质网格之间的传导系数为
$$ \left.\begin{aligned} &{T}_{mm,i-\tfrac{1}{2}\text{, }j} = \frac{2{T}_{mx,i-1,j}{T}_{mx,i,j}}{{T}_{mx,i-1,j} + {T}_{mx,i,j}} \\ & {T}_{mm,i + \tfrac{1}{2}\text{, }j} = \frac{2{T}_{mx,i,j}{T}_{mx,i + 1,j}}{{T}_{mx,i,j} + {T}_{mx,i + 1,j}}\end{aligned} \right\} $$ (23) $$ \left.\begin{aligned} &{T_{mm,i,j - \tfrac{1}{2}}} = \frac{{2{T_{my,i,j - 1}}{T_{my,i,j}}}}{{{T_{my,i,j - 1}} + {T_{my,i,j}}}}\\ & {T}_{mm,i\text{, }j + \tfrac{1}{2}} = \frac{2{T}_{my,i,j + 1}{T}_{my,i,j}}{{T}_{my,i,j + 1} + {T}_{my,i,j}} \end{aligned}\right\}$$ (24) 式中, 基质网格传导系数Tmm计算方法为
$$ \left.\begin{split} & {T_{mx,i,j}} = \frac{{{\rm{d}}{y_{i,j}}{\rm{d}}{z_{i,j}}}}{{{\rm{d}}{x_{i,j}}}}\frac{{{k_m}}}{{{{\mu }_g}{B_g}}} = \frac{{{A_{i,j}}}}{{\Delta {x_{i,j}}}}\frac{{{k_m}}}{{{{\mu }_g}{B_g}}} \\ & {T_{my,i,j}} = \frac{{{\rm{d}}{x_{i,j}}{\rm{d}}{z_{i,j}}}}{{{\rm{d}}{y_{i,j}}}}\frac{{{k_m}}}{{{{\mu }_g}{B_g}}} = \frac{{{A_{i,j}}}}{{\Delta {y_{i,j}}}}\frac{{{k_m}}}{{{{\mu }_g}{B_g}}} \end{split} \right\}$$ (25) 当考虑蠕变效应时, 基质渗透率计算方法为
$$ K_m^n = {K_{m0}}\exp \left[ {{\lambda _m}\left( {P_m^n - {P_i}} \right) + {\lambda _t}\sum\limits_{it = 1}^n {\frac{{\left( {P_m^{it} - {P_i}} \right)\Delta {t^{it}}}}{{\displaystyle\sum\limits_{jt = 1}^{it} {\Delta {t^{jt}}} }}} } \right] $$ (26) 式中, n为时间步, 无量纲; Km为基质渗透率, mD; Pi为储层初始压力, Pa; λm为基质应力敏感系数; λt为基质蠕变系数;
$\Delta t$ 为时间步长, d.对于式(20), 右侧有
$$ \frac{{{V_p}_m{c_{tm}}}}{{{B_g}}}\frac{{\partial P}}{{\partial t}} = \frac{{{V_p}_m{c_{tm}}}}{{{B_g}}}\frac{{P_{i,j}^{n + 1} - P_{i,j}^n}}{{\Delta t}} $$ (27) 裂缝和基质间的流量为
$$ {q_{mf}} = {T_{mf}}(P_{i,j}^{n + 1} - P_f^{n + 1}) $$ (28) 式中Tmf表示基质到裂缝的传导系数.
结合式(21) ~ 式(28), 基质物质平衡方程的有限差分离散形式为
$$ \begin{split} & {T_{mm,i - \tfrac{1}{2},j}}\left( {P_{i - 1,j}^{n + 1} - P_{i,j}^{n + 1}} \right) + {T_{mm,i + \tfrac{1}{2},j}}\left( {P_{i + 1,j}^{n + 1} - P_{i,j}^{n + 1}} \right) +\\ &\qquad {T_{mm,i,j - \tfrac{1}{2}}}\left( {P_{i,j - 1}^{n + 1} - P_{i,j}^{n + 1}} \right) +{T_{mm,i,j + \tfrac{1}{2}}}\left( {P_{i,j + 1}^{n + 1} - P_{i,j}^{n + 1}} \right) - \\ &\qquad{T_{mf}}(P_{i,j}^{n + 1} - P_f^{n + 1}) - \frac{{{V_L}}}{{{B_g}}}\left( {\frac{{P_{i,j}^{n + 1}}}{{{P_L} + P_{i,j}^{n + 1}}} - \frac{{P_{i,j}^n}}{{{P_L} + P_{i,j}^n}}} \right) =\\ &\qquad\frac{{{V_p}_m{c_{tm}}}}{{{B_g}}}\frac{{P_{i,j}^{n + 1} - P_{i,j}^n}}{{\Delta t}}\\[-12pt] \end{split} $$ (29) 其中,
$ {q_{mf}} $ 项仅在含有裂缝的基质网格中考虑; 当基质网格中无裂缝嵌入时, 物质平衡方程离散形式为$$ \begin{split} & {T_{mm,i - \tfrac{1}{2},j}}\left( {P_{i - 1,j}^{n + 1} - P_{i,j}^{n + 1}} \right) + {T_{mm,i + \tfrac{1}{2},j}}\left( {P_{i + 1,j}^{n + 1} - P_{i,j}^{n + 1}} \right) + \\ &\qquad{T_{mm,i,j - \tfrac{1}{2}}}\left( {P_{i,j - 1}^{n + 1} - P_{i,j}^{n + 1}} \right) + {T_{mm,i,j + \tfrac{1}{2}}}\left( {P_{i,j + 1}^{n + 1} - P_{i,j}^{n + 1}} \right) - \\ &\qquad\frac{{{V_L}}}{{{B_g}}}\left( {\frac{{P_{i,j}^{n + 1}}}{{{P_L} + P_{i,j}^{n + 1}}} - \frac{{P_{i,j}^n}}{{{P_L} + P_{i,j}^n}}} \right) = \frac{{{V_p}_m{c_{tm}}}}{{{B_g}}}\frac{{P_{i,j}^{n + 1} - P_{i,j}^n}}{{\Delta t}} \end{split} $$ (30) 在裂缝系统中, 对于第i个裂缝段, 其流体交换即属于与其相邻裂缝段和其嵌入的基质网格之间, 只有一维方向上的流动. 可得裂缝系统物质平衡方程的离散形式
$$ \begin{split} &{T}_{ff,i-\tfrac{1}{2}}({P}_{i-1}^{n}-{P}_{i}^{n}) + {T}_{ff,i + \tfrac{1}{2}}({P}_{i + 1}^{n}-{P}_{i}^{n}) + \frac{{q}_{mf}}{{B}_{g}} =\\ &\qquad\frac{{c}_{tf}{V}_{pf}}{B\Delta t}({P}_{i}^{n}-{P}_{i}^{n-1})\end{split} $$ (31) 式中Tff为同一条裂缝相邻裂缝段之间的传导系数
$$ \left.\begin{split} & {T_{ff,i - \tfrac{1}{2}}} = \frac{{2{T_{f,i - 1}}{T_{f,i}}}}{{{T_{f,i - 1}} + {T_{f,i}}}} \\ & {T_{ff,i + \tfrac{1}{2}}} = \frac{{2{T_{f,i + 1}}{T_{f,i}}}}{{{T_{f,i + 1}} + {T_{f,i}}}} \end{split}\right\} $$ (32) 式中裂缝段传导系数为
$$ {T_{ff,i}} = \frac{{{K_f}{w_f}h}}{{{B_g}{\mu _g}{L_i}}} $$ (33) 其中, wf为裂缝宽度, m; h为裂缝高度, m; , Li为裂缝段i的长度, m.
当该段裂缝与其他裂缝段相交, 且穿过井筒时, 有
$$ \begin{split} &{T}_{ff,i-\tfrac{1}{2}}({P}_{i-1}^{n}-{P}_{i}^{n}) + {T}_{ff,i + \tfrac{1}{2}}({P}_{i + 1}^{n}-{P}_{i}^{n}) + \frac{{q}_{mf}}{{B}_{g}}\text{ + }\frac{{q}_{\mathrm{int}{\rm{f}}}}{{B}_{g}}-\\ &\qquad\frac{{q}_{w}}{{B}_{g}} = \frac{{c}_{tf}{V}_{pf}}{B\Delta t}({P}_{i}^{n}-{P}_{i}^{n-1})\\[-12pt]\end{split} $$ (34) 式中qintf为相交裂缝段之间的流量, qw为裂缝流向井筒的流量.
相交裂缝段之间的流量交换为
$$ {q_{{{\rm{int}}} {\rm{f}}}} = {T_{{{\rm{int}}} {\rm{f}}}}\left( {{P_{f1}} - {P_{f2}}} \right) $$ (35) 式中, Tintf为相交裂缝段之间的传导系数
$$ \left.\begin{split} & {T_{{int} f}} = \frac{{2{T_1}{T_2}}}{{{T_1} + {T_2}}} \\ & {T_1} = \frac{{{K_f}{w_{f1}}h}}{{{B_g}{\mu _g}{d_{f1}}}} \\ & {T_2} = \frac{{{K_f}{w_{f2}}h}}{{{B_g}{\mu _g}{d_{f2}}}} \end{split}\right\} $$ (36) 式中, df1和df2分别表示裂缝段至相交点的法向距离.
根据Peaceman方程, 水平井穿过复杂裂缝网络时裂缝流向井中的流量为
$$ {q_w} = \frac{{{P_f} - {P_w}}}{{\dfrac{{B\mu }}{{2\text{π} kh}}\ln \dfrac{{{r_{{\rm{eq}}}}}}{{{r_w}}}}} = {J_w}\left( {{P_f} - {P_w}} \right) $$ (37) 式中Pf表示裂缝压力, MPa; Pw表示井筒压力, MPa; rw表示井筒半径, m; req表示等效半径, m.
等效半径为
$$ {r_{{\rm{eq}}}} = 0.14\sqrt {{{\rm{d}}}{{x}^2} + {{\rm{d}}}{{y}^2}} $$ (38) 联立基质系统方程, 裂缝系统方程与井方程, 构成非线性方程组, 通过不动点迭代方法, 即可求解不同时间步下的压力.
(3)网格划分
页岩气藏中裂缝发育, 并且经过人工水力压裂后, 储层中的裂缝网络更加复杂. 因此对裂缝网络进行精细刻画尤为重要. 在页岩气藏水平井数值模拟储层网格的划分时, 使用传统方法(如局部网格加密方法和非结构网格化方法)存在一定的局限性, 无法在精细刻画表征裂缝网络的同时达到高效的计算. 因此, 本次数值模拟采用了嵌入式离散裂缝模型(EDFM)方法[22], 从而建立复杂几何形状裂缝模型.
使用EDFM方法对储层进行网格划分时, 不需要考虑其中的裂缝几何形状, 仅需采取合适的尺寸, 将基质划分为正交化基质网格, 这种划分方式在很大程度上降低了网格划分的复杂程度. 如图6所示, 在EDFM方法中, 嵌入基质中的裂缝被基质网格边界离散化, 单条裂缝被分割成数条裂缝段, 含有裂缝段的网格为额外的裂缝网格, 另外再添加含有井的井眼网格, 各网格之间的流体交换形成了裂缝渗流系统.
2. 控压生产数值模拟研究
2.1 基础模型参数
本节模型为考虑二维流动上的页岩气藏多段压裂水平井机理模型, 模型尺寸大小为500 m × 800 m, 网格数100 × 50. 模型中只考虑单相气体的流动, 储层条件模拟致密页岩储层, 考虑基质的应力敏感效应. 存在一口多段压裂水平井横向贯穿人工裂缝. 其中, 储层和裂缝的相关参数如下表1和表2.
表 1 储层物性参数表Table 1. Reservoir parameterskm/mD h/m $\phi /\%$ Well spacing/m λm PL/MPa VL/(m3·t−1) 0.0004 20 5.9 300 0.0277 2.7 3 表 2 裂缝基础参数表Table 2. Fracture parametersNumber of natural fractures nnf Conductivity of natural fractures Cnf/(mD·m) Natural fracture stress sensitivity coefficient λnf Artificial number of fractures nhf Conductivity of artificial fractures Chf/(mD·m) Artificial fracture stress sensitivity coefficient λhf Half length of artificial fractrue Xf/m 200 100 0.1842 10 100 0.0921 120 建立同时存在天然裂缝和人工裂缝的基础机理模型, 随机生成200条天然裂缝, 10条等效水力压裂人工裂缝. 裂缝分布位置如图7, 网格划分示意图如图8.
2.2 控压生产数值模拟研究
基于上文建立模型, 对地质参数、工程参数、人工裂缝导流能力、基质渗透率和吸附能力做敏感性分析, 判断以上参数是否为控压增产的主控因素.
2.2.1 不考虑蠕变效应
基质和裂缝的应力敏感效应会造成流体渗流通道导流能力下降, 从而影响气井产能. 本节仅考虑基质和裂缝的应力敏感性, 即蠕变系数为0时, 改变气井的生产制度, 探究气井产能变化, 判断其能否实现控压增产的效果. 在模型中分别设置1, 10和100 mD·m 三种不同的人工裂缝导流能力, 对每一种裂缝导流能力设置放压生产和控压1 ~ 10年不同的生产制度, 气井的生产效果如下图9所示. 图9(a)为气井不同生产制度下井底流压变化曲线, 其中, 放压生产的井底流压设置为从气井投产初期就以废弃压力5 MPa生产, 控压1 ~ 10年代表井底流压从原始地层压力降到废弃压力5 MPa的用时为1 ~ 10年.
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图 9 人工裂缝导流能力对气井生产的影响Figure 9. Influence of hydraulic fracture conductivity on production图9(b) ~ 图9(d)分别为裂缝导流能力等于1, 10和100 mD·m时气井在不同生产制度下日产气量和累产气曲线. 图9(b)可以看出,在生产初期, 放压生产的日产气量最高, 控压生产的日产气量低, 且控压时长越久初期的日产气量越低; 但随着生产的进行, 放压生产的日产气量递减很快, 在1年左右就跌至控压生产以下; 而放压生产的累产气则一直高于控压生产, 没有出现控压生产的累产气高于放压生产的结果. 图9(c)和图9(d)中的日产气和累产气变化规律和图9(b)相同, 均无法得到控压生产的累产高于放压生产的结果.
2.2.2 考虑蠕变效应
当蠕变系数为0时, 并不能得到控压增产的结果. 基于此, 在应力敏感的基础上, 在原有模型上增加了蠕变效应对基质的影响, 从理论上探究在蠕变影响下控压对生产的影响效果. 基于蠕变效应对基质岩石的影响方式, 从基质岩石受蠕变影响时长(控压时长)和基质蠕变程度(基质蠕变系数)大小两个方面开展了敏感性分析, 来探究蠕变效应对生产的影响大小及规律. 取蠕变效应基础参数为0.2, 取值大小为图4拟合结果.
(1) 控压时长
设置放压生产和控压生产1 ~ 10年按年逐渐增加的生产制度, 来探究气井产能变化情况. 图10给出了不同生产制度下气井的生产状况曲线. 图10(a)为不同生产制度下气井的日产气曲线, 可以看出, 放压生产的日产气量在生产初期高, 控压生产的日产气量较低; 随着生产的进行, 放压生产的日产气量很快递减到低于控压生产. 图10(b)为不同生产制度下气井的累产气曲线, 可以看出, 放压生产的累产气量在前期最高, 控压生产较低; 随着生产的进行, 控压生产的累产气逐渐超过放压生产, 出现了产能反转现象.
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图 10 控压时长对气井生产的影响Figure 10. Influence of different pressure control production time on production图10对比了不同生产制度下气井的EUR变化, 可以看出, 随着控压生产的时长增加, EUR前期增长速度较快, 尤其是前3年的增幅非常明显; 控压时长在3 ~ 7年时, EUR继续增加, 但增加速度已经明显放缓, 在控压时长为7年时EUR达到最大值; 控压时长在7年后进一步增加至10年时, EUR增幅反而出现下降趋势, 即控压生产时间过长, 压力下降过于保守时对生产有不利影响, 因此, 后续控压效果分析统一采用控压3年生产制度.
(2) 基质蠕变系数
蠕变系数代表页岩储层发生蠕变的程度, 蠕变系数越大, 储层的蠕变效应越明显, 相同时间基质的渗透率下降更快. 设置在不同基质蠕变系数(λt = 0.05, 0.1, 0.2和0.4), 气井的生产状况如图11. 图11(a)为不同λt下气井的日产气曲线, λt越大, 气井的日产气递减越快. 图11(b)为不同λt下气井的累产气曲线, 4种λt下放压生产的前期累产气高于控压生产, 随着生产进行, 均发生产能反转现象. 从整体来看, λt逐渐增大时, 控压增产的效果越来越好, 即λt越大, 越应该控压生产.
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图 11 基质蠕变系数λt对气井生产的影响Figure 11. Influence of different matrix creep parameters λt on production图12反映随着λt的增大, 储层渗流能力变差, 相同时间内压力传播的更慢, 储层压力下降更慢.
(3) 人工裂缝初始导流能力
设置不同人工裂缝初始无量纲导流能力(Chf0 = 2, 20, 200和2000), 气井生产状况如图13. 图13(a)为不同Chf0下气井的日产气曲线, Chf0越小, 气井日产气量越低. 图13(b)为不同Chf0下气井累产气曲线, 可以看到, 4种Chf0下放压生产的前期累产气高于控压生产, 随着生产进行, 均发生产能反转现象. Chf0逐渐增大时, 控压生产发生产能反转的时间越早, 控压生产提高EUR的幅度越大, 控压生产的增产效果越好.
图14为不同人工裂缝初始导流能力下的储层压力场图, 对比可以看到, 随着人工裂缝导流能力的增大, 相同时间内压力传播更快, 储层压力下降更快.
(4) 基质渗透率
设置不同基质渗透率(km0 = 0.04, 0.004, 0.0004和0.00004 mD), 气井生产状况如图15. 图15(a)为不同km0下气井的日产气曲线, km0越低, 气井前期日产气量越低. 图15(b)为不同km0下气井的累产气曲线, 可以看到, 4种km0下放压生产的前期累产气高于控压生产, 随着生产进行, 均发生产能反转现象, 当km0越小, 产能反转发生的时间越早, 控压生产的增产效果越好. 需要注意的是, 当km0 = 0.04 mD时控压增产效果并不满足规律, 考虑到实际情况中, 页岩基质的渗透率很难达到0.01 mD量级, 因此忽略这一反常情况.
(5) 吸附能力
设置不同Langmuir吸附体积(VL = 1, 3, 6和9 m3/t), 气井生产状况如图16. 图16(a)为不同VL下气井的日产气曲线, 对于放压生产, 吸附体积越小, 气井日产气曲线递减越快. 图16(b)为不同VL下气井的累产气曲线, 可以看到, 吸附体积越小, 气井的累产气量越低. 4种VL下放压生产的前期累产气高于控压生产, 随着生产进行发生产能反转现象. 当吸附体积减小时, 控压生产提高EUR的幅度增大, 即吸附体积越小, 控压生产的增产效果越好.
3. 结论和认识
通过研究嵌入式离散裂缝模型的基本原理, 人工裂缝闭合导流能力、基质应力敏感和页岩气解吸吸附表征方法, 分析了不同参数下生产制度对气井生产效果的影响, 得到如下结论.
(1)基质岩石存在蠕变效应, 即基质岩石的形变不仅与应力状态相关, 也与时间相关. 基质岩石的应力状态不再改变后, 岩石仍在发生非弹性形变.
(2)基于蠕变理论, 对控压生产的增产机理做出新的解释, 即抑制基岩的蠕变效应是控压能够增产的主要原因, 建立了考虑蠕变影响时的基质渗透率和裂缝闭合的动态表征模型.
(3)在只考虑应力敏感的条件下, 考虑人工裂缝导流能力变化, 改变气井生产制度, 放压生产井累产气量均优于控压生产井.
(4)进一步考虑蠕变效应下, 得到了控压生产井累产气量高于放压生产井的结果; 随控压时长的增加, 气井EUR呈现先增加后降低的趋势; 基质蠕变参数越大、人工裂缝导流能力越高、基质渗透率越小且吸附体积越小, 则控压生产增产的效果越好.
(5)关于页岩蠕变效应相关实验所需时间较长, 且国内实验数据较少, 本研究使用的数据为国外前人的实验数据, 未来可以在此基础之上结合国内页岩蠕变实验展开进一步研究.
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图 9 人工裂缝导流能力对气井生产的影响
Figure 9. Influence of hydraulic fracture conductivity on production
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图 10 控压时长对气井生产的影响
Figure 10. Influence of different pressure control production time on production
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图 11 基质蠕变系数λt对气井生产的影响
Figure 11. Influence of different matrix creep parameters λt on production
表 1 储层物性参数表
Table 1 Reservoir parameters
km/mD h/m $\phi /\%$ Well spacing/m λm PL/MPa VL/(m3·t−1) 0.0004 20 5.9 300 0.0277 2.7 3 
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表 2 裂缝基础参数表
Table 2 Fracture parameters
Number of natural fractures nnf Conductivity of natural fractures Cnf/(mD·m) Natural fracture stress sensitivity coefficient λnf Artificial number of fractures nhf Conductivity of artificial fractures Chf/(mD·m) Artificial fracture stress sensitivity coefficient λhf Half length of artificial fractrue Xf/m 200 100 0.1842 10 100 0.0921 120
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