DISCONTINUOUS BIFURCATIONS OF COEXISTING ATTRACTORS FOR A GEAR TRANSMISSION SYSTEM
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摘要: 大量的多吸引子共存是引起齿轮传动系统具有丰富动力学行为的一个重要因素. 多吸引子共存时, 运动工况的变化以及不可避免的扰动都可能导致齿轮传动系统在不同运动行为之间跳跃变换, 对整个机器产生不良的影响. 目前, 一些隐藏的吸引子没有被发现, 共存吸引子的分岔演化规律没有被完全揭示. 考虑单自由度直齿圆柱齿轮传动系统, 构建由局部映射复合的Poincaré映射, 给出Jacobi矩阵特征值计算的半解析法. 应用数值仿真、延拓打靶法和Floquet特征乘子求解共存吸引子的稳定性与分岔, 应用胞映射法计算共存吸引子的吸引域, 讨论啮合频率、阻尼比和时变激励幅值对系统动力学的影响, 揭示齿轮传动系统倍周期型擦边分岔、亚临界倍周期分岔诱导的鞍结分岔和边界激变等不连续分岔行为. 倍周期分岔诱导的鞍结分岔引起相邻周期吸引子相互转迁的跳跃与迟滞, 使倍周期分岔呈现亚临界特性. 鞍结分岔是共存周期吸引子出现或消失的主要原因. 边界激变引起混沌吸引子及其吸引域突然消失, 对应周期吸引子的分岔终止.Abstract: An important factor of rich dynamics in the gear transmission system is that there are a large number of various types of co-existing attractors. When multiple attractors coexist, the change of motion conditions and the inevitable disturbance may cause the gear transmission system to jump between different motion behaviors. As a result, the whole machine is adversely affected, and sometimes, the system structure will be destroyed. At present, some hidden attractors have not been found, and the bifurcation evolution characteristics of coexisting attractors have not been fully revealed. A single-degree-of-freedom spur gear system is considered. The Poincaré mapping compounded by local maps is constructed, and semi-analytic calculation method of eigenvalues of Jacobi matrix is presented. The stability and bifurcations of coexisting attractors are studied by applying numerical simulation, continuation shooting method and Floquet multipliers, and the basins of attraction of coexisting attractors are calculated by using cell mapping method. The influence of the meshing frequency, damping ratio and amplitude of time-varying excitation on the system dynamics is analyzed, and the discontinuous bifurcation behaviors including PD-type grazing bifurcation, saddle-node bifurcation induced by subcritical period-doubling bifurcation and boundary crisis are revealed in the gear transmission system. The saddle-node bifurcation induced by period-doubling bifurcation leads to the jump and hysteresis in the transition between adjacent periodic attractors, resulting in that the period-doubling bifurcation presents subcritical feature. The saddle-node bifurcation is a major factor for the appearance and disappearance of coexisting periodic attractors. The boundary crisis leads the chaotic attractor and its basin of attraction to disappear, and the bifurcation of corresponding periodic attractor terminates.
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Keywords:
- non-smooth system /
- gear /
- continuation shooting method /
- coexisting attractors /
- bifurcation
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引 言
齿轮传动是机械设备中广泛使用的动力传动装置, 其工作性能对整个机器有着重要的影响. 因此, 齿轮系统动力学的研究引起了许多学者的关注. 由于轮齿之间不可避免地存在啮合侧隙, 使齿轮传动系统的动态特性表现出典型的非光滑特征[1-3]. 随着振动理论的发展, 研究者又在齿轮系统动力学模型中探索齿面摩擦、时变啮合刚度、时变啮合侧隙和综合传递误差等各种非线性因素[4-10], 使齿轮传动系统成为一类分段非线性的参数振动系统, 具有非常丰富的动力学行为.
多吸引子共存是引起非光滑系统具有丰富动力学行为的一个重要因素. 文献[11-13]提出了计算齿轮系统共存吸引子吸引域的有效方法. 新的共存吸引子的出现改变了旧吸引子的全局特性. 多吸引子共存时, 运动工况的变化以及不可避免的扰动都可能导致齿轮传动系统在不同运动行为之间跳跃变换, 对整个机器产生不良的影响, 有时还会引起系统结构的毁坏. 因此, 非常有必要研究齿轮传动系统的全局动力学, 揭示共存吸引子出现和消失的机制, 为齿轮副参数设计与优化、故障预警等提供参考.
在齿轮系统动力学研究领域, 单自由度直齿圆柱齿轮传动系统的动力学模型一直受到国内外学者的广泛关注, 形成了齿轮系统动力学研究的理论体系和分析方法, 主要包括多尺度法[14]、增量谐波平衡法[15]、A-算符法[16]和伪不动点追踪法[17]等. Wei等[18]改进区间谐波平衡法, 解决了齿隙非线性和不确定时变啮合刚度齿轮系统的动力学问题. 陈思雨等[19]研究了不同的啮合间隙模型对齿轮系统动力学的影响. 苟向锋等[20-21]研究了齿轮系统在两参数空间的运动形式及其存在的参数区域. Yang等[22]研究了含非线性间隙单自由度齿轮副的动力学.
在非线性动力系统中, 混沌激变是一种常见的不连续分岔行为, 包括内部激变和边界激变. 近年来, 关于非线性系统的激变研究取得了一些成果[23-25], 而对于齿轮传动系统激变行为的研究很少.
综合已有的研究论文可发现, 单自由度直齿圆柱齿轮传动系统具有大量的多吸引子共存现象. 然而, 传统的单参数分岔分析不能揭示系统的全局动力学. 随着计算机技术的发展, 研究者开始运用胞映射的思想研究齿轮系统在参数耦合和状态空间耦合下的多稳态行为[26-27], 但这些研究没有考虑共存的不稳定吸引子, 一些小参数区间存在的稳定吸引子信息没有被发现, 共存吸引子出现和消灭的机制没有被完全揭示. 打靶法是一种求解非线性系统周期解及稳定性的常用方法[28]. Chong等[23]和Jiang等[29]结合延续算法和直接数值仿真在非光滑系统动力学领域取得了许多有价值的成果. 本文应用延拓打靶法和数值仿真两种方法求解单自由度直齿圆柱齿轮传动系统共存吸引子的稳定性与分岔, 应用胞映射法计算共存吸引子的吸引域, 试图去发现一些新的动力学行为, 揭示共存吸引子(包括稳定和不稳定)出现和消灭的机制以及可能发生的不连续分岔.
1. 力学模型及Poincaré映射
单自由度直齿圆柱齿轮传动系统的动力学模型如图1所示. 图中,
$ I_{i} $ ,$ r_{bi} $ 和$ \theta_{i} $ ($ i = 1,2 $ ) 分别表示主、从动齿轮的转动惯量、基圆半径和扭转角位移,$ C_{g} $ 表示啮合阻尼,$ k(t) $ 表示啮合刚度,$e(t) = e_{a} \cos \left(\omega t + \phi_{e}\right)$ 表示综合传递误差, 2D为啮合侧隙. 根据文献[17], 系统的无量纲运动微分方程为$$ \ddot{x} + 2 \xi \dot{x} + [1 + \varepsilon \cos (\omega t)] g(x) = P_m + P_a \cos (\omega t) $$ (1) 式中, x为无量纲相对位移, ξ为阻尼比, ε为时变啮合刚度幅值, ω为啮合频率,
$ P_{m} $ 为静态啮合力,$ P_{a} $ 为时变激励幅值. g(x)为侧隙非线性函数$$ g(x) = \left\{\begin{array}{lc} x-d, & x > d \\ 0, & |x| \leqslant d \\ x + d, & x < -d \end{array}\right. $$ (2) 其中, d为无量纲啮合侧隙的一半.
在不同的系统参数条件下, 齿轮系统可能出现三种不同的冲击状态: 齿面接触无碰撞、脱啮单边碰撞和齿背接触双边碰撞. 令
$ {\boldsymbol{u}}:\; = {(x,\dot x)^{\text{T}}} \in {{\boldsymbol{R}}^2} $ , 定义边界函数:${h_1}({\boldsymbol{u}}) = x - d$ ,${h_2}({\boldsymbol{u}}) = x + d$ , 则非光滑界面${\varSigma _1}{\text{ = }}\left\{ {{\boldsymbol{u}}:{h_1}({\boldsymbol{u}}) = 0} \right\}$ 和${\varSigma _2}{\text{ = }}\left\{ {{\boldsymbol{u}}:{h_2}({\boldsymbol{u}}) = 0} \right\}$ 把系统的状态空间划分为${G_1}{\text{ = }}\left\{ {{\boldsymbol{u}}:{h_1}({\boldsymbol{u}}) > 0} \right\}$ ,${G_2}{\text{ = }}\left\{ {\boldsymbol{u}}:{h_1}({\boldsymbol{u}}) < 0 \cap {h_2}({\boldsymbol{u}}) > 0 \right\}$ 和${G_3}{\text{ = }}\left\{ {{\boldsymbol{u}}:{h_2}({\boldsymbol{u}}) < 0} \right\}$ . 方程(1)和(2)写成如下规范形式$$ {\boldsymbol{u'}} = f({\boldsymbol{u}},t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}({\boldsymbol{u}},t)} \\ {{f_2}({\boldsymbol{u}},t)} \\ {{f_3}({\boldsymbol{u}},t)} \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}} { {\boldsymbol{u}} \in {G_1}} \\ {{\text{ }}{\boldsymbol{u}} \in {G_2}} \\ {{\text{ }}{\boldsymbol{u}} \in {G_3}} \end{array} $$ (3) 为了研究齿轮系统的周期运动稳定性, 选择Poincaré截面
${\varPi _0} = \left\{ {({\boldsymbol{u}},t) \in {{\boldsymbol{R}}^2} \times {\boldsymbol{S}}|\bmod ({{t,2\text{π} } \mathord{\left/ {\vphantom {{t,2\text{π} } \omega }} \right. } \omega }) = 0} \right\}$ 构建Poincaré映射$P: \varPi_{0} \rightarrow \varPi_{0}$ . 映射P可分为以下几个阶段: P1:$ {\boldsymbol{u}} \in {G_1} $ 阶段; P2:$ {\boldsymbol{u}} \in {G_2} $ 阶段; P3:$ {\boldsymbol{u}} \in {G_3} $ 阶段; P12:${h_1}({\boldsymbol{u}}) = 0$ 且$\dot x < 0$ 阶段; P21:${h_1}({\boldsymbol{u}}) = 0$ 且$\dot x > 0$ 阶段; P23:${h_2}({\boldsymbol{u}}) = 0$ 且$\dot x < 0$ 阶段; P32:${h_2}({\boldsymbol{u}}) = 0$ 且$\dot x > 0$ 阶段. 每个阶段或瞬间代表一个局部映射. 分界面$\varSigma_{1}$ 的法向量${{\boldsymbol{h}}_1}{({\boldsymbol{u}})_{\boldsymbol{u}}} = {[1,0]^{\text{T}}}$ , 则映射P12的Jacobi矩阵为[30]$$ {\text{D}}{P_{12}} = {\boldsymbol{I}} + \frac{{({f_1}({{\boldsymbol{u}}_1},{t_1}) - {f_2}({{\boldsymbol{u}}_1},{t_1})){{\boldsymbol{h}}_{\boldsymbol{u}}}^{\text{T}}}}{{{{\boldsymbol{h}}_{\boldsymbol{u}}}^{\text{T}}{f_1}}} = {\boldsymbol{I}} $$ (4) 同理,
$ {\text{D}}{P_{21}} = {\text{D}}{P_{23}} = {\text{D}}{P_{32}} = {\boldsymbol{I}} $ . 因此, Poincaré映射为映射P1, P2和P3的复合, 但是复合形式取决于一个运动周期内系统在各子空间运动的轨迹. 若周期1运动的轨线由点$ {{\boldsymbol{u}}_0} \in {G_1} $ 出发经过时间$T = 2 \text{π} / \omega$ 后返回$ {{\boldsymbol{u}}_0} $ 点, 其间穿越非光滑界面$\varSigma_{1}$ 和$\varSigma_{2}$ 各2次, 则Poincaré映射及其Jacobi矩阵分别为$$ P_{\varPi_{0} \rightarrow \varPi_{6}} = P_{1}^{\prime} \circ P_{2}^{\prime} \circ P_{3} \circ P_{2} \circ P_{1} $$ (5) $$ {\text{D}}P = {\text{D}}{P'_1} \times {\text{D}}{P_2}^\prime \times {\text{D}}{P_3} \times {\text{D}}{P_2} \times {\text{D}}{P_1} $$ (6) 由于系统(3)在各子空间的向量场光滑, 因此映射Pi (
$ i = 1,2,3 $ )是光滑的同胚映射, 其Jacobi矩阵DPi的求解可转换为以下矩阵微分方程初值问题$$ \left. \begin{gathered} \left[\frac{{\partial {\boldsymbol{u}}(t)}}{{\partial {{\boldsymbol{u}}_{0i}}}}\right]' = \frac{{\partial {f_i}({\boldsymbol{u}},t)}}{{\partial {\boldsymbol{u}}}}\frac{{\partial {\boldsymbol{u}}(t)}}{{\partial {{\boldsymbol{u}}_{0i}}}} \\ \frac{{\partial {\boldsymbol{u}}(t)}}{{\partial {{\boldsymbol{u}}_{0i}}}}{\Biggr|_{t = {t_{0i}}}} = \frac{{\partial {\boldsymbol{u}}({t_{0i}})}}{{\partial {{\boldsymbol{u}}_{0i}}}} = {\boldsymbol{I}} \\ \end{gathered} \right\} $$ (7) 式中,
$ {{\boldsymbol{u}}_{0 i}} $ 和$ {t_{0 i}} $ 为轨线在子空间Gi的初值.2. 延拓打靶法
本文应用基于Poincaré映射的打靶法求解系统(3)可能共存的周期吸引子. 周期n运动在Poincaré截面的点满足
$$ {\boldsymbol{u}}(0) = {\boldsymbol{u}}(nT) $$ (8) 式中,
$T = 2 \text{π} / \omega, \;n = 1,2,3.$ 因此, 周期吸引子求解问题可转化为映射P的不动点问题, 即$$ Q({{\boldsymbol{u}}_0}) = {\boldsymbol{u}}(nT;{{\boldsymbol{u}}_0}) - {\boldsymbol{u}}(0;{{\boldsymbol{u}}_0}) = P({{\boldsymbol{u}}_0}) - {{\boldsymbol{u}}_0} = 0 $$ (9) 式中,
$ {{\boldsymbol{u}}_0} $ 为初始不动点.$ {\boldsymbol{u}}(nT;{{\boldsymbol{u}}_0}) = P({{\boldsymbol{u}}_0}) $ 由方程(3)以$ {{\boldsymbol{u}}_0} $ 为初值积分n个周期T得到. 若$ Q({{\boldsymbol{u}}_0}) \ne 0 $ , 则采用Newton-Raphson迭代法改进${\boldsymbol{u}}_{0}$ $$ {\boldsymbol{u}}_0^{i + 1} = {\boldsymbol{u}}_0^i - {[{\text{D}}P({\boldsymbol{u}}_0^i) - {\boldsymbol{I}}]^{ - 1}}[P({\boldsymbol{u}}_0^i) - {\boldsymbol{u}}_0^i] $$ (10) 式中, i为迭代次数,
$ {\text{D}}P({\boldsymbol{u}}_0^i) $ 由式(3)、式(6)和式(7)联立求解. 当$ Q({\boldsymbol{u}}_0^i) = \left| {P({\boldsymbol{u}}_0^i) - {\boldsymbol{u}}_0^i} \right| < \varepsilon $ 时, 迭代终止,$ {\boldsymbol{u}}_0^i $ 为周期n吸引子的一个不动点, 其稳定性由Jacobi矩阵$ {\text{D}}P({\boldsymbol{u}}_0^i) $ 的特征值确定.设分岔参数为v, 考察区间
$ v \in\left[v_{1}, v_{2}\right] $ , 延拓打靶法追踪共存周期吸引子的方法描述如下.(1) 在Poincaré截面上选择一个考察区域
$ H = \left\{ {{x_1} < x < {x_2},{{\dot x}_1} < \dot x < {{\dot x}_2}} \right\} $ . 将区域H划分为$ m \times m = M $ 个小网格, 以每个小网格中心点的值作为一个初始不动点$ {{\boldsymbol{u}}_0} $ , 应用打靶法计算$ v = v_{0}\left(v_{1} < v_{0} < v_{2}\right) $ 时的周期n吸引子, 根据 Floquet 理论判断其稳定性. 待M个初始不动点考察完毕, 便可得到$ v = v_{0} $ 时的共存吸引子.(2) 以
$ \Delta v $ 为步长递增递减变化参数v, 应用延拓打靶法依次追踪每个共存的周期吸引子在$ v \in\left[v_{1}, v_{2}\right] $ 的稳定性与分岔. 为了提高计算效率, 在追踪过程中对初始不动点先用Euler法进行预估, 然后用打靶法迭代校正. 设$ v = v_{k} $ 时的周期解为$ {{\boldsymbol{u}}_k} $ , 则预估$v = v_{k + 1} = v_{k} + \Delta v$ 时的初始不动点为$$ {\boldsymbol{u}}_{k + 1}^0 = {{\boldsymbol{u}}_k} - {\left( {\frac{{\partial Q({v_k},{{\boldsymbol{u}}_k})}}{{\partial {\boldsymbol{u}}}}} \right)^{ - 1}}\left( {\frac{{\partial Q({v_k},{{\boldsymbol{u}}_k})}}{{\partial v}}} \right)\Delta v $$ (11) 式中,
$Q({v_k},{{\boldsymbol{u}}_k}) = P({v_k},{{\boldsymbol{u}}_k}) - {{\boldsymbol{u}}_k}$ ,$\partial Q({v_k},{{\boldsymbol{u}}_k}){\text{/}}\partial {\boldsymbol{u}} = {\text{D}}P({v_k},{{\boldsymbol{u}}_k}) - {\boldsymbol{I}}$ .$ \partial Q({v_k},{{\boldsymbol{u}}_k}){\text{/}}\partial v $ 可由式(12)以$[{{\boldsymbol{u}}_k},0]$ 为初始值积分n个周期T得到$$ {\left( {\frac{{\partial Q(v,{\boldsymbol{u}})}}{{\partial v}}} \right)^*} = \frac{{\partial f({\boldsymbol{u}},v,t)}}{{\partial {\boldsymbol{u}}}} \frac{{\partial Q(v,{\boldsymbol{u}})}}{{\partial v}} + \frac{{\partial f({\boldsymbol{u}},v,t)}}{{\partial v}} $$ (12) 3. 全局动力学分析
3.1 共存周期吸引子的分岔
取系统参数(1):
$ \varepsilon = $ 0.1,$ \xi = $ 0.06,$ P_{m} = $ 0.1,$ P_{a} = 0.15 \omega^{2} $ 和$ d = $ 1.0, 应用延拓打靶法求解系统在$ \omega \in $ [0.4,1.2]的响应如图2所示. 图中, 实线和虚线分别表示稳定和不稳定的周期吸引子; PD和SNi分别表示倍周期和鞍结分岔点, 下标i表示鞍结分岔的发生次序; Pn和UPn分别表示稳定和不稳定的周期n吸引子, 用下标a, b, c区分周期n行为的不同分支.![]()
图 2 延拓打靶法计算的分岔图Figure 2. Bifurcation diagram calculated by continuation shooting method由图2可见, 系统在多处发生鞍结分岔, 引起共存周期吸引子的出现或消失. 增大ω, 在
${\omega} =$ 0.60424242(SN1)时, 系统经鞍结分岔出现一对新的周期1吸引子, 分别用P1b和UP1a表示. 此后, 3个周期1吸引子共存. 取${\omega} =$ 0.62, 共存周期运动的相图、Poincaré映射和吸引域见图3(a)和图3(b). 图中, 相图与Poincaré映射的颜色与图2对应周期吸引子的颜色相同, 实线为稳定周期运动的相轨迹, 虚线为不稳定周期运动的相轨迹. 在吸引域图中, “●”和“ + ”表示稳定周期吸引子, “▲”表示不稳定周期吸引子, 青色和黄色区域分别为P1a和P1b吸引子的吸引域. 可见, 共存的三个周期吸引子均表现为单边碰撞状态, P1b运动(蓝色实线)对应的幅值明显大于P1a运动(红色实线)的幅值, UP1a吸引子位于吸引域边界. 继续增大ω, P1b吸引子的吸引域逐渐扩大压缩P1a吸引子的吸引域, 同时, P1a吸引子与UP1吸引子相互靠近, 见图3(c). 当${\omega} =$ 0.65406587(SN2)时, 系统再次发生鞍结分岔, P1a与UP1a吸引子碰撞并消失. 鞍结分岔SN1和SN2在P1a与P1b吸引子的转迁过程中产生迟滞现象, 形成迟滞区.P1b运动在
${\omega} =$ 0.97007516(PD)处通过倍周期分岔失稳. 当${\omega} =$ 1.0614534(SN3)时, 系统发生鞍结分岔出现一对新的周期2吸引子P2a和UP2. 此后, 3个周期2吸引子与1个不稳定周期1吸引子共存. 共存周期运动的相图、Poincaré映射和吸引域见图3(d)~图3(f). 进一步增大ω, P2b与UP2吸引子在${\omega} =$ 1.1509583(SN4)处碰撞并消失. 分岔点SN3和SN4之间形成迟滞区. 由图3可见, 鞍结分岔引起共存吸引子的吸引域较为集中分布, 且边界线光滑, 说明系统的终态对初始条件的敏感性较弱, 周期吸引子只在局部范围内不稳定.3.2 不连续分岔
取ξ = 0.01, 其余参数保持参数(1)不变, 系统在
$ \omega \in $ [0.4,1.2]的响应如图4(a)所示. 图中, GRi, PDi和SNi分别表示擦边、倍周期和鞍结分岔点. 采用4阶变步长Runge-Kutta法的数值仿真只能求解系统的稳定周期解和混沌响应. 采用延拓打靶法可追踪稳定和不稳定的周期解及其演化, 并确定分岔值和分岔类型, 但前提是给定周期数n. 图4(a)的计算过程描述如下: 首先数值仿真计算ω递增和递减变化的分岔图, 得到系统的稳定周期解及混沌响应; 然后应用打靶法计算可能存在的共存吸引子及其稳定性; 最后应用延拓打靶法追踪共存的周期1和周期2吸引子的分岔. 所有计算结果的合成分岔图如图4(a) 所示. 图中, 延拓打靶法和数值仿真两种方法计算得到的稳定周期吸引子P1a, P1b, P2a和P2b分支完全重合, 相互验证了两种计算方法的正确性; 其余稳定的周期吸引子及混沌由数值仿真方法计算得到, 不稳定周期吸引子由延拓打靶法计算得到. 图4(b)为图4(a)①处的放大.对比图2和图4可知, 减小ξ使系统的动力学行为更加复杂, 主要体现在以下几个方面: 首先, 减小ξ, 分岔点SN1~SN4对应的ω值减小, 使得在相同的ω区间出现了由P2a吸引子的倍周期序列产生的混沌响应; 其次, 两个迟滞区内出现了倍周期分岔, 使得共存周期吸引子的类型更加丰富; 最后, 迟滞区内发生了擦边及亚临界倍周期诱导的分岔, 进一步丰富了齿轮系统的动力学.
由图4(a)可见, 增大ω当
$\omega =$ 0.5875851(GR1)时, 系统发生擦边分岔引起P1a行为由齿面接触无碰撞状态转迁为啮合轮齿接触、脱离、再接触的单边碰撞状态. GR1点处共存周期运动的相图和Poincaré映射见图5(a). P1a运动在GR1点的擦边分岔是连续的, 但是紧接着发生的倍周期分岔PD1($\omega =$ 0.61180134)使P1a吸引子失稳. GR1点与PD1点之间的距离$\Delta {\omega} =$ 0.02421624, 产生于GR1点的对应单边碰撞状态的稳定周期1运动存在的区间很窄, 因此, 倍周期分岔PD1是擦边GR1诱导的分岔, 可称为倍周期型擦边分岔(GR1-PD1). 继续增大ω, 不稳定的周期1吸引子经倍周期分岔PD2 ($\omega =$ 0.62573255)恢复稳定. 文献[29]研究了碰撞振子擦边诱导的倍周期分岔和鞍结分岔, 但是关于齿轮传动系统擦边诱导的分岔研究还未见报道.在分岔点SN3和SN4之间的迟滞区内, 系统发生了周期2吸引子P2b的倍周期分岔. 增大ω当
$\omega =$ 1.00325965(PD4)时, Floquet特征乘子为${\lambda _1}{\text{ = }} - {\text{1}}{\text{.0,}}\;{\lambda _2} = - {\text{0}}{{.221\;83}}$ , 由Floquet理论可知, 系统发生倍周期分岔, P2b运动失稳. 然后在$\omega =$ 1.05091356(PD5)时, Floquet特征乘子为${\lambda _1} = - 0.999\;96,\; {\lambda _2} = - 0.238\;27$ , 系统再次发生倍周期分岔, 不稳定的周期2吸引子UP2b恢复为P2b.在PD4点, 系统终态由P2b运动跳跃为P4a运动, 因此, 分岔PD4为亚临界倍周期分岔. P2b与P4a吸引子的转迁细节由图4(b)描述. 应用延拓打靶法详细计算可知, 倍周期分岔PD4是连续的, P2b运动连续地转迁为周期4运动P4b. 但是, P4b吸引子存在的ω区间非常窄,
$ \Delta \omega = $ 0.000 001 3. 当$\omega =$ 1.00326095(SN5)时, Floquet特征乘子为${\lambda _1}{\text{ = 1}}{{.0,}} {\lambda _2} = 0.057\;71$ , 系统发生鞍结分岔, P4b吸引子失稳发出朝后弯曲的不稳定分支UP4. 此后, 减小ω当$\omega =$ 1.00288072(SN6)时, Floquet特征乘子为${\lambda _1}{\text{ = 1}}{{.000\;03,}}\;{\lambda _2} = {\text{0}}{{.049\;45}}$ , 系统再次发生鞍结分岔使UP4吸引子变为向ω增大方向延伸的稳定周期4吸引子P4a. UP4运动的相图和Poincaré映射见图5(b), 共存的P4a运动由图5(c)描述. 增大ω, P4a运动在$\omega =$ 1.048915(GR2)处发生擦边分岔, 随后经倍周期分岔PD5返回P2b运动. P4a擦边运动的相图和Poincaré映射见图5(d).由于SN5点距离PD4点非常近, 因此, 鞍结分岔SN5是由倍周期分岔PD4诱导的分岔, 分岔PD4可定义为鞍结型亚临界倍周期分岔(PD4-SN5). 分岔SN5的发生引起P2b与P4a吸引子转迁的跳跃与迟滞, 使倍周期分岔PD4呈现亚临界特性, 这个分岔行为与光滑动力系统的亚临界倍周期分岔明显不同. 目前, 关于倍周期分岔诱导的分岔研究还未见报道.
如图4(a)所示, 系统在
$\omega =$ 0.89451253(SN3)处因鞍结分岔出现P2a和UP2a吸引子, 与已有的P1b吸引子共存. 在PD3($\omega =$ 0.89730321)点, P1b运动变为P2b运动. 图5(e)和5(f)表明, P2a和UP2a运动的幅值大于P2b运动的幅值.文献[21,31]应用幅值波动云图和安全盆的方法研究了系统参数对图1所示系统扭转振幅、冲击状态及运行稳定性的影响. 由图2~图5可知, 随着啮合频率ω的递增变化, 因鞍结分岔出现的稳定周期吸引子的幅值大于已有周期运动的幅值, 使得系统在一部分初值条件下的运动可能变得不安全, 从而影响齿轮运行的稳定性. 或者, 齿轮传动系统因工况变化或扰动从一种周期运动跳跃到另一种周期运动, 同时伴有运动幅值的跳跃, 这种跳跃直接影响齿轮系统的安全稳定运行, 甚至引起系统结构的毁坏.
4. 时变激励幅值的影响
取
$\omega =$ 0.4, 其余参数与参数(1)相同, 计算系统随时变激励幅值$P_{a}$ 变化的分岔图如图6(a)所示. 开始于$P_{a} =$ 0.02的周期1吸引子用P1a表示. 在$ P_{a} = $ 0.04034294(SN1)和$ P_{a} = $ 0.05442717(SN2)处, 两次鞍结分岔使系统出现2对新的周期1吸引子, 用P1b和UP1b及P1c和UP1a表示. 3个稳定周期1吸引子的分岔细节见图6(b). 随着$P_{a}$ 的增大, P1a与UP1a吸引子在$ P_{a} = $ 0.06011385(SN3)处相遇并消失; P1c吸引子经开始于$ P_{a} = $ 0.06233423(PD1)处的倍周期序列变为混沌吸引子, 然后经边界激变消失, P1c吸引子的稳态分岔分支终止.![]()
图 6 随Pa变化的分岔图和相图Figure 6. Bifurcation diagram of displacement as a function of Pa and trajectories增大
$ P_{a} $ 追踪在PD1点失稳的不稳定周期1吸引子UP1c. 当$ P_{a} = $ 0.09149646(PD2)时, UP1c吸引子经倍周期分岔恢复稳定, 用P1d表示. 由图6(c)可知, P1d吸引子存在的区间非常窄, 在$ P_{a} = $ 0.09151304(SN4)处与UP1b吸引子相遇并消失.P1b吸引子在
$ P_{a} = $ 0.07022021(PD3)时经倍周期分岔产生一个稳定吸引子P2a的分岔分支和一个不稳定吸引子UP1e的分岔分支. 首先追踪UP1e吸引子分支的分岔. 当$ P_{a} = $ 0.12330612(PD4)时, 倍周期分岔使UP1e吸引子变为稳定, 然后一直持续到$ P_{a} = $ 0.2, 用P1e表示. 特别强调的是, 分岔PD4为P1e吸引子的鞍结型亚临界倍周期分岔. 当参数$P_{a}$ 减小时, P1e吸引子在PD4点发生倍周期分岔产生稳定的周期2运动(存在的区间太窄$\Delta {{P}_{a}} $ = 0.0000024, 图中没有显示). 随后在$P_a $ = 0.12330588处经鞍结分岔发出朝$P_a $ 增大方向延续的不稳定周期2吸引子UP2e, 一直到$P_a $ = 0.2.增大
$P_{a}$ 追踪P2a吸引子分支的分岔. 当$ P_{a} = $ 0.09102000(PD5)时, P2a吸引子失稳产生一个稳定周期4吸引子分支和一个不稳定周期2吸引子UP2a分支. 稳定周期4吸引子经倍周期序列变为混沌吸引子(蓝色), 然后经边界激变消失. UP2a吸引子在$ P_{a} = $ 0.11809877(PD6)处经倍周期分岔恢复稳定, 用P2b表示. P2b吸引子的分岔细节由图6(d)描述. 可见, P2b吸引子由两个倍周期分岔点PD6和PD7限制. 分岔PD6为鞍结型亚临界倍周期分岔, 而分岔PD7为超临界倍周期分岔. 减小$P_{a}$ , 开始于PD6点的稳定周期4运动在SN5点失稳发出朝$P_{a}$ 增大方向延续的不稳定周期4吸引子UP4. 此后, 增大$P_{a}$ , UP4吸引子与产生于$ P_{a} = $ 0.14453066(PD7)处的稳定周期4运动在SN6点相遇, 系统终态经鞍结分岔变为混沌响应. 继续增大$P_{a}$ , 在$ P_{a} = $ 0.15877421(SN7)处, 系统经鞍结分岔出现一对新的周期2吸引子. 稳定周期2吸引子经开始于$ P_{a} = $ 0.16210200(PD8)处的倍周期序列通向混沌, 而不稳定周期2吸引子在$ P_{a} = $ 0.16448391(SN8)处经鞍结分岔消失.图6显示系统存在大量的多吸引子共存现象. 鞍结分岔是周期吸引子出现或消失的主要原因, 混沌边界激变是周期吸引子的分岔终止的一个重要因素. 图7计算了共存吸引子的吸引域演化以揭示鞍结分岔和边界激变的分岔结构. 图7(a)中, P1a和P1b吸引子分别用“●”和“ + ”表示, 其吸引域分别用青色和黄色表示, UP1b吸引子位于吸引域边界. 共存周期运动的相图和Poincaré映射见图6(e). 可见, P1a运动表现为齿面接触无碰撞状态, UP1b运动表现为单边碰撞状态, 而P1b运动表现为双边碰撞状态. 增大
$P_{a}$ , P1b吸引子的吸引域逐渐扩大, 而P1a吸引子的吸引域逐渐缩小. SN2点后, 共存的吸引子增加了P1c和UP1a. 稳定周期1吸引子P1c的出现破坏了P1a吸引子的吸引域结构, 使得系统在一部分初值下的P1a响应跳跃为P1c响应, 见图7(b). P1c吸引子的吸引域用粉红色表示. P1a与P1c吸引子的吸引域边界呈现一定的自相似分形结构. 继续增大$P_{a}$ , P1b和P1c吸引子的吸引域逐渐扩大, 压缩P1a吸引子的吸引域. P1a与UP1a吸引子在SN3点相遇并消失. P1c吸引子经倍周期序列通向混沌. 此后, 系统的终态为P1b与混沌吸引子共存. 图7(c)中红色表示的混沌吸引子很小, 其吸引域用灰色表示, 共存的UP1b吸引子仍然位于吸引域边界, 而UP1c吸引子位于灰色吸引域内. 由图7(c)~图7(e)可见, 其中图7(d1)为图7(d)的局部放大, 进一步增大$P_{a}$ , 混沌吸引子逐渐长大, 混沌的吸引域逐渐减小, 混沌与UP1b吸引子相互靠近. 在PD2点, P1b吸引子分岔为P2a吸引子, 系统的终态变为P2a与混沌吸引子共存. 当$ P_{a} = $ 0.073963时, 混沌吸引子与UP1b吸引子碰撞, 系统发生边界激变导致混沌吸引子及其吸引域突然消失, 系统终态只表现为P2a运动.图7(f)、图7(f1)和图7(g)描述了系统终态为周期1运动P1e与混沌共存的吸引域演化. 用紫色表示的混沌吸引子由开始于PD8点的倍周期序列产生, 吸引域用黄色表示. P1e吸引子的吸引域用青色表示, UP2e吸引子位于吸引域边界. 增大
$P_{a}$ , 混沌吸引子与UP2e吸引子相互靠近. 当$P_{a} =$ 0.172925时, 混沌吸引子与UP2e吸引子碰撞, 同时与吸引域边界相切, 系统发生边界激变导致混沌吸引子及其吸引域突然消失, 系统终态只表现为P1e运动.5. 结 论
本文考虑单自由度直齿圆柱齿轮传动系统, 构建由局部映射复合的Poincaré映射, 推导了Jacobi矩阵特征值计算的半解析解. 应用数值仿真、延拓打靶法和Floquet特征乘子求解共存吸引子的稳定性与分岔, 应用胞映射法计算分析了共存吸引子的吸引域演化, 讨论了啮合频率、阻尼比和时变激励幅值对系统动力学的影响, 揭示了倍周期型擦边分岔、亚临界倍周期分岔诱导的鞍结分岔和边界激变等不连续分岔行为.
倍周期分岔诱导的鞍结分岔引起相邻周期吸引子相互转迁的跳跃与迟滞, 使倍周期分岔呈现亚临界特性, 这个分岔行为与光滑动力系统的亚临界倍周期分岔明显不同. 鞍结型亚临界倍周期分岔的发现和定义将进一步丰富非光滑系统的动力学.
鞍结分岔是共存周期吸引子出现或消失的主要原因, 边界激变是周期吸引子的分岔终止的一个重要因素. 擦边分岔和倍周期分岔对吸引域结构没有影响, 不影响系统的全局特性, 而鞍结分岔由于产生了新的稳定周期吸引子, 改变了旧吸引子的吸引域结构. 鞍结分岔产生的不稳定周期吸引子位于稳态吸引子的吸引域边界. 当分岔参数变化时, 混沌吸引子与位于吸引域边界的不稳定周期行为发生碰撞使系统发生边界激变, 混沌吸引子及其吸引域突然消失, 对应周期吸引子的分岔终止.
为了保证齿轮传动系统的运行安全, 其运转过程中的振动幅值必须控制在合理的范围内. 当鞍结分岔引起新的周期吸引子出现时, 其运动的幅值可能远大于已有周期运动的幅值. 此时, 扰动会使系统终态及振动幅值发生跳跃, 影响齿轮系统的安全稳定运行, 甚至引起系统结构的毁坏.
单自由度直齿轮传动系统表现出非常丰富的动力学行为, 本文以新的视角发现了许多复杂的新现象, 对进一步揭示齿轮传动系统的振动特性具有重要的意义.
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图 2 延拓打靶法计算的分岔图
Figure 2. Bifurcation diagram calculated by continuation shooting method
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图 6 随Pa变化的分岔图和相图
Figure 6. Bifurcation diagram of displacement as a function of Pa and trajectories
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