PERFORMANCE ANALYSIS AND STABILITY STUDY OF DIFFERENT TYPES OF NONLINEAR VIBRATION ABSORBERS WITH COMBINED STIFFNESS OF HORIZONTAL SPRINGS
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摘要: 动力吸振器作为一种振动控制单元被广泛运用于各种工程场合, 但传统的线性吸振器只能实现窄带振动控制. 文章在线性吸振器的基础上引入对称水平弹簧构建线性刚度与非线性刚度相结合的组合刚度非线性吸振器, 以提升吸振器的吸振性能. 考虑实际工程中可能的安装方式, 分别建立水平弹簧接地安装和不接地安装的组合刚度非线性吸振器模型, 利用谐波平衡法结合弧长延拓法解析求解动力学响应, 并与数值结果相互验证, 证明了求解结果的准确性. 随后分析比较两种组合刚度非线性吸振器与线性吸振器以及非线性能量阱之间的吸振性能, 发现水平弹簧接地安装类型的组合刚度非线性吸振器在保留线性吸振器优势的同时又改善其吸振频带窄的缺点, 且与非线性能量阱相比在主共振频率附近的较宽频内吸振性能更优. 在此基础上, 讨论了水平弹簧参数以及吸振器阻尼对主结构振动幅频响应和稳定性的影响, 最后观察分析主结构幅频响应曲线不稳定区内的复杂动力学行为. 研究结果表明合适的设计参数能够使得主结构振动峰值较低的同时, 频响曲线不稳定运动区域的范围也较小.Abstract: As a kind of vibration control unit, dynamic vibration absorber is widely used in various engineering situations, but the traditional linear vibration absorber can only achieve narrow band vibration control. On the basis of the linear vibration absorber, this paper introduces symmetrical horizontal springs to build a combined stiffness nonlinear vibration absorber with linear stiffness and nonlinear stiffness to improve the vibration absorption performance of the absorber. Considering the possible installation modes in actual projects, the combined stiffness nonlinear vibration absorber models of horizontal spring with grounding and without grounding are established respectively. The dynamic response is solved analytically by the harmonic balance method combined with the arc length continuation method, and the results are mutually verified with the numerical results, which proves the accuracy of the solution results. Then, the vibration absorption performance between two kinds of combined stiffness nonlinear vibration absorbers, the linear vibration absorber, and the nonlinear energy sink is analyzed and compared. It is found that the combined stiffness nonlinear vibration absorbers with horizontal spring grounding installation type not only retain the advantages of the linear vibration absorber, but also improve the shortcomings of its narrow vibration absorption frequency band. In addition, the combined stiffness nonlinear vibration absorber of horizontal springs grounding installation type has better vibration absorption performance in a wider frequency band near the main resonance frequency than the nonlinear energy sink. On this basis, the effects of horizontal spring parameters and absorber damping on the amplitude-frequency response and stability of the main structure are discussed. Finally, the complex dynamic behavior in the unstable region of the amplitude-frequency response curve of the main structure is observed and analyzed. The research results show that the appropriate design parameters can make the vibration peak value of the main structure low, and the unstable movement area of the frequency response curve is also small.
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引 言
动力吸振器DVA从最早被提出到现在已有一个世纪, 研究人员对其进行了系统全面的研究, 目前DVA已是一种趋于成熟的振动控制手段并得到了广泛的工程应用. 传统的DVA能够有效抑制主系统的窄带响应, 但对于宽带振动的抑制效果却不尽人意. 为了拓宽DVA的有效吸振频带, 多种改进措施被提出, 例如: 离散分布式DVA[1-2]、主动式DVA[3-4]、可调频机构[5]等. 但通常这些措施会导致系统质量的增加或者系统结构的复杂化, 而非线性吸振器因其附加质量小、减振频带宽和鲁棒性好等优点受到专家学者们的广泛关注.
非线性吸振器的理论研究经过多年的发展, 已经获得了丰富的成果. Arnold[6]研究非线性吸振器的稳态振动响应, 发现其能够在较宽的频带范围内有效地吸收并通过阻尼耗散受控质量的振动能量. Vakakis[7]将能够使振动能量从主体结构单向传递至耗能元件的吸振器命名为非线性能量阱(nonlinear energy sink, NES), 并尝试用于振动控制. Gendelman等[8]研究了非线性能量阱靶向能量传递的形成机理. Ding等[9]综述非线性能量阱的设计、分析、应用以及重要的振动控制特性, 并强调结构附加非线性能量阱后可能导致的复杂动力学行为. 张文勇等[10]采用具有二级串联结构的等质量非线性能量汇装置, 分析结果表明引入串联非线性能量汇结构较单级结构在冲击激励下能获得更好的减振效果. 李晨等[11]提出一种杠杆型并联非线性能量阱的吸振系统,基于谐波平衡法和伪弧长延伸法得到了系统的幅频响应曲线并分析了参数变化对其的影响. 王国旭等[12]研究简谐激励下双弹簧非线性能量阱的优化问题, 采用差分进化算法和参数分析方法优化了NES的参数.
值得注意的是, 目前大量关于非线性吸振器的文献所研究模型均为本质非线性吸振器(吸振器的线性刚度为零), 即使存在线性刚度[7-9,13-18]其刚度值也比较小, 起到吸振器与主系统之间弱耦合或者平衡重力等作用, 对主系统实际振动响应的影响较弱. Chang等[19]设计了一种准零刚度非线性吸振器, 采用对称水平弹簧和竖直支撑弹簧构造准零刚度机构, 吸振器刚度包括残余线性刚度与非线性刚度, 取得了很好的超低频振动抑制效果. 目前关于较大线性刚度和非线性刚度结合的组合刚度吸振器的研究报道较少, 尚未见到针对组合刚度吸振器进行安装形式影响研究方面的工作. 虽然与线性吸振器相比, 本质非线性吸振器即非线性能量阱展现出了卓越的减振性能, 但其也有一定的应用局限性. 在共振频率附近, 线性吸振器相比NES可以实现更优的减振效果[13]. 因此, 本文在设计中将线性刚度与非线性刚度相结合, 并且考虑实际工程中吸振器的不同安装形式, 希望保留线性吸振器在主共振频率附近的优良减振效果的同时又拓宽其减振频带, 从而扩大非线性吸振器的适用范围.
在工程实际和振动实验中, 有许多非线性弹性元件的具体实现形式被提出, 这些元件引入的非线性恢复力大多都是立方非线性的形式. 例如, 欧拉屈曲梁[16]、柔性索[20-21]、圆形钳定薄板[22]等, 其中非常典型的一种引入立方非线性刚度的元件是对称水平弹簧[9,13,23]. Hao等[24]研究由一个竖直弹簧和对称水平弹簧所构成准零刚度机构的复杂动力学行为, 通过局部和全局分岔分析揭示了系统的复杂动态现象, 并展示了参数空间中系统各种响应的拓扑结构. Gourdon等[25]利用对称水平弹簧构建了本质非线性吸振器, 将其附加在建筑模型上进行了理论和实验研究, 得到线性吸振器会在系统共振频率两侧产生新的共振峰, 而本质非线性吸振器能够在较宽的频带内吸收主系统的振动能量. Zhao等[26]研究两种水平弹簧构建的非线性吸振器对一般约束梁结构动力学特性的影响. 对称水平弹簧具有便于安装、方便调节结构参数等优点, 因此本文采用对称水平弹簧在线性吸振器的基础上进行线性刚度和非线性刚度的组合.
综上, 目前关于组合刚度非线性吸振器不同安装形式影响研究方面的工作尚处于初步阶段. 本文在线性吸振器的基础上, 利用水平预压缩弹簧引入立方非线性刚度构成组合刚度非线性吸振器. 考虑水平弹簧的实际安装形式, 分别建立水平弹簧接地安装、水平弹簧不接地安装的非线性吸振器系统模型. 利用谐波平衡法结合弧长延拓法预报非线性吸振器系统的稳态动力学响应, 比较分析不同安装类型非线性吸振器的吸振性能, 重点分析吸振器参数对接地类型组合刚度非线性吸振器幅频响应及稳定性的影响, 最后研究不稳定区的复杂动力学响应.
1. 组合刚度非线性吸振器
如图1所示, 在线性吸振器两端安装对称水平弹簧进行线性刚度与非线性刚度的组合. 水平弹簧的两个连接端带有滑套, 使得水平弹簧两端能够自由旋转, 从而防止弹簧弯曲产生扭矩.
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图 1 线性吸振器两端安装水平弹簧Figure 1. Horizontal springs are installed at both ends of the linear vibration absorber对称水平弹簧的刚度为k3, 原长度为l0, 安装后的预压缩长度为l, 竖直弹簧的刚度为k2, 集中质量m的位移为x. 系统沿x方向的弹性恢复力和非线性刚度的表达式为
$$ F = {k_2}x + 2{k_3}x\left(1 - {l_0}/\sqrt {{x^2} + {l^2}} \right)\tag{1a} $$ $$ {k_x} = {k_2} + 2{k_3}\left[1 - {l_0}{l^2}/{({x^2} + {l^2})^{\tfrac{3}{2}}}\right] \tag{1b}$$ 在系统位移较小的情况下[13], 弹性恢复力F可以近似等效为以下形式
$$ F = {k_{\rm{L}}}x + {k_{\rm{N}}}{x^3} $$ (2) 其中, kL为吸振器的等效线性刚度, kN为吸振器的等效非线性刚度, 其具体形式为
$$ \qquad\qquad{k_{\rm{L}}} = {k_2} + 2{k_3}\left(1 - \frac{{{l_0}}}{l}\right) \tag{3a} $$ $$\qquad\qquad {k_{\rm{N}}} = \frac{{{k_3}{l_0}}}{{{l^3}}} \tag{3b} $$ 当等效线性刚度kL = 0时, 吸振器只含立方非线性刚度项, 此时吸振器为本质非线性吸振器. 值得注意的是, 本文研究吸振器的等效线性刚度kL大小由线性吸振理论确定, 即
$$ {k_{\rm{L}}}/m = {k_1}/{m_1} \tag{4}$$ 式中, k1和m1分别为主系统的刚度和质量.
根据式(1) ~ 式(4)以及表1中的参数将非线性恢复力和非线性刚度特性绘制如图2所示. 由图2(a)可以看出非线性恢复力近似公式(2)与精确公式(1a)吻合良好. 由图2(b)可以看出吸振器在静平衡位置(x = 0 mm)处有较大的线性刚度, 其大小实际上等于吸振器等效线性刚度kL. kL的大小由线性吸振理论确定, 目的是保留与线性吸振器类似的在受控结构共振频率处的优良吸振效果. 在此基础上, 非线性刚度特性以及吸振器的安装形式被用来拓宽吸振频带.
表 1 系统模型参数表Table 1. Table of model system parametersParameter Variable Value main mass m1/ kg 100 main structure stiffness k1/(N·m−1) 4 × 105 main structure damping c1/(N·s·m−1) 253 mass of vibration absorber m2/ kg 10 vertical spring stiffness k2/(N·m−1) 1.47 × 105 vibration absorber damping c2/(N·s·m−1) 50 horizontal spring stiffness k3/(N·m−1) 4.8 × 105 original length l0/m 0.04 precompression length l/m 0.036 external excitation amplitude F0/N 140 ![]()
图 2 非线性恢复力与刚度特性: (a)非线性恢复力曲线和(b)非线性刚度特性曲线Figure 2. Nonlinear restoring force and stiffness characteristics. (a) Nonlinear restoring force curve and (b) nonlinear stiffness characteristic curve2. 水平弹簧的两种不同安装形式
考虑实际工程中水平弹簧可能的安装方式, 构建两种安装形式不同的二自由度非线性系统. 模型A中吸振器的水平弹簧与固结在地面上的支撑装置相连, 如图3(a)所示. 模型B中吸振器的水平弹簧与固结在受控质量m1上的支撑装置相连, 如图3(b)所示.
受控质量的线性刚度和黏性阻尼分别为k1和c1. 吸振器质量为m2, 水平弹簧的刚度为k3, 原长度为l0, 预压缩长度为l. 吸振器质量通过竖直弹簧和黏性阻尼与受控质量连接在一起, 刚度值和阻尼值分别为k2, c2. 作用在主系统上的外激励的幅值为F0, x1和x2分别是受控质量的位移和吸振器的位移.
根据牛顿第二定理得到模型A和模型B的运动微分方程.
模型A: 水平弹簧接地安装
$$ \left.\begin{split} & {m_1}{{\ddot x}_1} + {c_1}{{\dot x}_1} + {k_1}{x_1} + {c_2}({{\dot x}_1} - {{\dot x}_2}) + \\ &\qquad{k_2}({x_1} - {x_2}) = {F_0}\sin (\omega t) \\ & {m_2}{{\ddot x}_2} + {c_2}({{\dot x}_2} - {{\dot x}_1}) + {k_2}({x_2} - {x_1}){\text{ + }}\\ &\qquad2{k_3}\left(1 - \frac{{{l_0}}}{{\sqrt {{x_2}^2 + {l^2}} }}\right){x_2} = 0 \end{split}\right\}$$ (4) 模型B: 水平弹簧不接地安装
$$ \left.\begin{split} & {m_1}{{\ddot x}_1} + {c_1}{{\dot x}_1} + {k_1}{x_1} + {c_2}({{\dot x}_1} - {{\dot x}_2}) + \\ &\qquad 2{k_3}\left(1 - \frac{{{l_0}}}{{\sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {l^2}} }}\right)({x_1} - {x_2})+ \\ &\qquad {k_2}({x_1} - {x_2}) = {F_0}\sin (\omega t) \\ & {m_2}{{\ddot x}_2} + {c_2}({{\dot x}_2} - {{\dot x}_1}) + {k_2}({x_2} - {x_1}){\text{ + }}\\ &\qquad 2{k_3}\left(1 - \frac{{{l_0}}}{{\sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {l^2}} }}\right)({x_2} - {x_1}) = 0\end{split} \right\} $$ (5) 在系统振动位移幅值较小时, 将对称水平弹簧的恢复力等效后, 对式(4)和式(5)进行无量纲化处理, 得到无量纲控制方程.
模型A: 水平弹簧接地
$$ \left.\begin{split} & {{\hat x''}_1} + 2{\zeta _1}{{\hat x'}_1} + {x_1} + 2\mu {\zeta _2}({{\hat x'}_1} - {{\hat x'}_2}) + \\ &\qquad{{\hat k}_2}({{\hat x}_1} - {{\hat x}_2}) = {{\hat F}_e}\sin ({{\varOmega}} \tau ) \\ & \mu {{\hat x''}_2} + 2\mu {\zeta _2}({{\hat x'}_2} - {{\hat x'}_1}) + {{\hat k}_2}({{\hat x}_2} - {{\hat x}_1}){\text{ + }}\\ &\qquad 2{{\hat k}_3}\left(1 - \frac{1}{{\hat l}}\right){x_2} +{{\hat k}_3}\frac{{1 - {{\hat l}^2}}}{{{{\hat l}^3}}}{{\hat x}_2}^3 = 0 \end{split}\right\} $$ (6) 模型B: 水平弹簧不接地
$$ \left.\begin{split} & {{\hat x''}_1} + 2{\zeta _1}{{\hat x'}_1} + {x_1} + 2\mu {\zeta _2}({{\hat x'}_1} - {{\hat x'}_2}) + {{\hat k}_2}({{\hat x}_1} - {{\hat x}_2}) + \\ &\qquad2{{\hat k}_3}\left(1 - \frac{1}{{\hat l}}\right)({{\hat x}_1} - {{\hat x}_2})+ {{\hat k}_3}\frac{{1 - {{\hat l}^2}}}{{{{\hat l}^3}}}{({{\hat x}_1} - {{\hat x}_2})^3} - \\ &\qquad{{\hat F}_e}\sin ({{\varOmega}} \tau ) = 0 \\ & \mu {{\hat x''}_2} + 2\mu {\zeta _2}({{\hat x'}_2} - {{\hat x'}_1}) + {{\hat k}_2}({{\hat x}_2} - {{\hat x}_1}){{ - }}2{{\hat k}_3}\left(1 - \frac{1}{{\hat l}}\right) \\ &\qquad ({{\hat x}_1} -{{\hat x}_2}) -{{\hat k}_3}\frac{{1 - {{\hat l}^2}}}{{{{\hat l}^3}}}{({{\hat x}_1} - {{\hat x}_2})^3} = 0 \\[-12pt]\end{split} \right\} $$ (7) 其中的无量纲化参数为
$$ \left.\begin{split} &{\zeta }_{2} = {c}_{2}/(2{m}_{2}{\omega }_{n}),{\zeta }_{1} = {c}_{1}/(2{m}_{1}{\omega }_{n}),{\omega }_{n} = \sqrt{{k}_{1}/{m}_{1}}\\ &\tau = {\omega }_{n}t,{\varOmega} = \omega /{\omega }_{n},{\widehat{k}}_{2} = {k}_{2}/{k}_{1},\widehat{l} = l/{l}_{0},{\widehat{k}}_{3} = {k}_{3}/{k}_{1}\\ &{\widehat{x}}_{1} = {x}_{1}/{x}_{0},{x}_{0} = \sqrt{{l}_{0}{}^{2}-{l}^{2}},{\widehat{x}}_{2} = {x}_{2}/{x}_{0}\\ &{\widehat{F}}_{e} = {F}_{0}/\left({k}_{1}{x}_{0}\right),\mu = {m}_{2}/{m}_{1},(\cdot{)}^{\prime } = {\rm{d}}(\cdot)/{\rm{d}}\tau\\ \end{split}\right\} $$ (8) 3. 稳态响应的求解与验证
采用谐波平衡法[27-28]结合弧长延拓法[29-30]对无量纲化之后的方程式(6)和方程式(7)进行稳态响应的求解, 利用Floquet理论[31]结合改进的龙格库塔法[32]计算一个周期末端的转移矩阵, 并由其特征值的性质判断解的稳定性, 值得注意的是, 这种方法具有较快的收敛速度, 但通常其报告的边界比较保守[32]. 根据谐波平衡法, 将
$ {\widehat{x}}_{1} $ (t)和$ {\widehat{x}}_{2} $ (t)傅里叶展开为如下形式$$ \left.\begin{split} &{\hat{x}}_{1}(t) = \sum _{k = \text{0}\text{, }1,\text{2},\dots }^{n}{a}_{k}\mathrm{sin}(k{\varOmega} \tau)+ {b}_{k}\mathrm{cos}(k{\varOmega} \tau )\\ &{\hat{x}}_{2}(t) = \sum _{k = 0,1,2\dots }^{n}{c}_{k}\mathrm{sin}(k{\varOmega} \tau) + {d}_{k}\mathrm{cos}(k{\varOmega} \tau) \end{split}\right\} $$ (9) 将方程(9)代入无量纲化方程(6)和式(7), 令相同谐波前的系数相等, 可以得到包含相应模型幅频关系的非线性代数方程组, 具体形式如附录所示. 随后利用弧长延拓法进行求解获得幅频特性曲线. 求得解析结果后, 利用数值积分方法来进行结果验证. 验证参数为表1所对应的无量纲参数, 验证结果如图4所示. 可以看出当n = 3时, 0 ~ 3阶谐波解析结果与正反向扫频数值解结果吻合良好, 因此, 在接下来的求解当中, 考虑将方程谐波解的形式设定为0 ~ 3阶.
此外, 如图4所示, 安装水平弹簧后, 系统为非线性系统, 出现共振峰弯曲以及不稳定解等非线性特征.
4. 不同类型吸振器的性能分析
参考文献[16,17]中主系统和吸振器的设计参数, 本文的系统模型参数取值如表1所示. 表1中的弹簧参数均能够在工程中实现, 并且弹簧参数之间的关系满足式(4). 表1所对应的无量纲参数为μ = 0.1, ξ1 = 0.02, ξ2 = 0.04,
${\hat{k}}_{2}$ = 0.367,$\hat{k}_3$ = 1.2,$\hat{l}$ = 0.9,$\hat{F}_e$ = 0.02. 模型A和模型B的系统参数取值相同, 本文后续研究中均采用无量纲化参数进行分析.代入系统参数, 水平弹簧不同安装形式下受控质量的幅频特性曲线如图5所示. 可以看出, 模型A与模型B相比, 其幅频曲线的第一阶共振峰处于更加低频的位置且峰值更低, 同时第二阶共振峰向高频移动, 由此在主共振区的吸振性能更优. 模型B仅在主共振频率处有较好的吸振效果, 在略低于主共振频率处会产生较高的峰值, 导致吸振效果不佳.
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图 5 两种安装形式的幅频特性曲线比较Figure 5. Comparison of amplitude-frequency characteristic curves of two installation forms图6为与线性吸振器的比较, 线性吸振器的刚度大小与组合刚度吸振器的等效线性刚度kL相等. 可见相比线性吸振器, 模型A的第一、二阶共振峰分别向低频、高频方向移动, 且峰值与线性吸振器接近, 极大的拓宽了主共振频率附近的吸振带宽, 提升了吸振器的鲁棒性. 此外, 模型A在主共振区附近的有效吸振频带内具有比线性吸振器更好的振动抑制效果, 在保留了线性吸振器优势的同时又改善了其吸振频带窄的缺点. 而模型B与线性吸振器相比, 第一阶共振峰向主共振频率处移动且峰值显著升高, 第二阶共振峰略有降低, 整体吸振性能较差.
图7为模型A与本质非线性吸振器NES的效果比较. 通过调整竖直弹簧刚度k2的大小使得NES的等效线性刚度kL = 0, NES的其他参数选取与模型A一致. NES没有固有频率, 其谐振频率随主振系变化, 不会引入额外的共振峰, 仅会使原共振峰峰值大幅降低, 具有优良的宽频吸振效果. 模型A与本质非线性吸振器相比, 因具有线性刚度, 所以会引入额外的共振峰,但引入的峰值相比原结构峰值有很大程度的减小, 且在受控结构共振频率附近的较宽频带内(无量纲频率0.53 ~ 1.40), 模型A能够将受控结构的振动抑制在很低的水平上, 其吸振性能优于本质非线性吸振器. 因此与本质非线性吸振器相比, 模型A更加适用于外激励频率分布于主共振频率附近(中频段)情况下的设备不利振动控制.
由以上分析可以得出, 模型A与模型B以及线性吸振器相比总体上有更好的吸振效果, 模型A与本质非线性吸相比, 在主共振频率附近的较宽中频段内吸振性能更优. 因此后续重点对模型A展开研究.
5. 参数变化分析
相比线性吸振器, 水平弹簧引入了两个额外的设计参数, 水平弹簧刚度以及预压缩长度. 此外, 阻尼参数对非线性吸振器的振动控制效果有重要影响, 过小的非线性吸振器阻尼可能反而导致原结构的振动更加剧烈[18]. 因此本节研究水平弹簧刚度、水平弹簧预压缩长度以及阻尼变化对模型A受控质量幅频曲线以及稳定性的影响.
图8为水平弹簧刚度变化的影响, 无量纲水平弹簧刚度变化范围为[0, 2], 变化间隔为0.2. 由图可以看出, 当
$\hat{k}_3$ = 0时, 模型A幅频曲线与线性吸振器一致, 且不存在不稳定区, 验证了求解的正确性. 随着水平弹簧刚度的增大, 幅频曲线第一阶共振峰向低频方向移动, 同时峰值有先升高后降低再升高的现象, 直至最后系统响应趋于不稳定. 第二阶共振峰随着水平弹簧刚度的增大逐渐向高频方向移动, 峰值基本不变, 当刚度增大到一定程度后, 系统响应同样趋于不稳定. 随着水平弹簧刚度的增加, 幅频曲线的不稳定区域逐渐增多, 在不稳定区间内, 存在跳跃、对称和非对称周期解以及准周期运动和混沌运动等复杂动力学行为, 这些复杂动力学行为会给系统带来问题, 因此最好从系统响应中消除[33]. 综合以上分析, 理论上可以选取合适的水平弹簧刚度, 使得系统振动共振峰峰值较低的同时, 频响曲线不稳定运动区域的范围也较小, 例如图8中$\widehat{k}_3$ = 1.2时所示的频响曲线.图9为水平弹簧预压缩长度变化的影响, 无量纲水平弹簧预压缩长度变化范围为[0.8,1]. 从图中可以看出, 水平弹簧预压缩长度减小对受控结构幅频曲线的影响与水平弹簧刚度增大的影响效果十分相似, 这可以由第一节中的式(3b)和式(4)得到解释: 等效线性刚度kL的大小由式(4)决定在参数变化过程中保持不变, 而水平弹簧预压缩长度减小与水平弹簧刚度增大都会导致等效非线性刚度kN增大, 因此对系统响应会产生类似的影响, 且因为式(3b)中预压缩长度项为三次方, 所以系统响应对水平弹簧预压缩长度大小的变化更加敏感.
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图 9 水平弹簧预压缩长度变化的影响Figure 9. Influence of horizontal spring pre-compression length change图10为吸振器阻尼变化对受控质量幅频响应曲线的影响, 无量纲阻尼ξ2的变化范围为[0.01,1]. 由图10(a)可以看出, 吸振器阻尼增大, 会使模型A受控质量幅频曲线的第一阶共振峰降低, 第二阶共振峰也迅速降低直至消失. 当吸振器阻尼非常大时, 在靠近零频率附近的低频处仍有一定的幅值, 但其大小较小. 此外, 随着阻尼的增大, 幅频曲线的不稳定区间越来越少, 最后完全消失. 图10(b)为安装线性吸振器时阻尼变化的影响, 可以看出与模型A有很大区别, 当阻尼增大时, 其最大峰值会先降低后升高, 当阻尼设置合适时(调谐阻尼), 会使峰值最小. 而模型A的最大峰值随着阻尼增大持续降低, 直至最后几乎稳定.
6. 复杂动力学响应分析
第5节从频域角度分析了参数变化对系统受控质量幅频曲线以及稳定性的影响. 但从频域角度无法揭示不稳定区域存在的各种复杂动力学行为, 为了对非线性系统(模型A)有更加深刻的认识, 本节利用4阶龙格库塔法从时域角度对非线性系统进行稳态周期响应的求解, 从而研究系统的各种复杂动力学响应. 其结果可作为谐波平衡法求解结果的补充, 以体现非线性振动系统在观测频率下可能出现的稳态振动行为.
研究的无量纲参数
$\hat{k}_3$ = 1.3,$\hat{k}_2$ 由式(4)决定, 其余参数与表1所对应的无量纲参数一致. 得到模型A频响曲线如图11所示, 在不稳定区选取如图所示的5个频域观测点, 待其振动稳定后进行时域图、相轨迹以及庞加莱点的绘制, 结果如图12所示.![]()
图 12 不同观测点下的时域图、相轨迹和庞加莱点Figure 12. Time domain diagram, phase trajectory and Poincare point under different observation points由图12可以看出, Ω = 0.18时相图上有3个独立的庞加莱点且相轨迹、时域波形均稳定, 说明模型A稳态响应曲线呈现3周期运动状态. 当Ω = 0.23时, 由相图与时域图结果可知, 庞加莱点呈现无序状态且相轨迹、时域波形均不稳定, 上述现象说明模型A稳态响应曲线呈现混沌振动状态. Ω = 0.63时相图上有两个独立的庞加莱点, 说明模型A稳态响应曲线呈现二周期运动状态, 同时由时域波形可以看出在此频率下出现了对称性破坏[18], 存在非对称周期响应. Ω = 1.0时相图上有一个独立的庞加莱点, 说明由龙格库塔方法求出的模型A稳态响应曲线呈现单周期运动状态, 由时域图看出在此频率下也存在非对称周期响应. 当Ω = 1.63时, 由相图与时域图结果可知, 庞加莱点组成一条闭合曲线且相轨迹趋于稳定. 上述现象说明模型A稳态响应曲线呈现准周期振动状态. 需要注意的是, 准周期振动状态介于多周期振动状态与混沌振动状态之间, 准周期振动状态易在外界扰动的作用下转换为混沌振动状态.
综上, 在不稳定区内, 主结构的振动存在多种复杂动力学行为, 选取合适的水平弹簧参数可以使不稳定运动区域的范围较小从而抑制这些复杂动力学行为的产生, 对振动控制产生有益效果.
7. 结论
本文在线性吸振器的基础上, 利用水平预压缩弹簧的对称排布引入立方非线性刚度构成组合刚度非线性吸振器, 在保留线性吸振器优势的同时改善其吸振频带窄的缺点. 考虑水平弹簧的实际安装形式, 分别建立水平弹簧接地安装、水平弹簧不接地安装的非线性吸振器系统模型. 采用谐波平衡法结合弧长延拓法等方法预报不同模型的幅频响应特性以及稳定性, 并与数值结果进行对比, 验证了本文方法的正确性与可靠性.
在上述基础上, 开展了吸振性能分析、参数变化分析以及稳定性分析, 具体结论如下.
(1)模型A与模型B以及线性吸振器相比总体上有更好的吸振效果, 模型A与本质非线性吸振器相比, 在主共振频率附近的较宽中频段内吸振性能更优.
(2)水平弹簧预压缩长度减小对受控结构幅频曲线的影响与水平弹簧刚度增大的影响效果十分相似, 合适的水平弹簧参数能够使得系统振动共振峰峰值较低的同时, 频响曲线不稳定区域的范围也较小.
(3)模型A吸振器阻尼变化的影响与线性吸振器有很大区别. 模型A的最大峰值随着阻尼增大持续降低, 直至最后几乎稳定, 而线性吸振器的阻尼增大时, 其最大峰值会先降低后升高.
(4)不稳定区内存在倍周期响应、非对称周期响应、准周期运动、混沌振动等复杂动力学行为, 选取合适的水平弹簧参数可以抑制这些复杂动力学行为的产生, 从而对振动控制产生有益效果.
附录
附录中的参数均为无量纲参数, 限于篇幅, 这里仅列出模型A式(6)中第一个方程所对应的非线性方程组, 第二个方程对应非线性方程组的推导过程与其完全相同
$\; $ $$ {b_0} + {b_0}{k_2} - {d_0}{k_2}{\text{ = }}0 $$ $$ - 2{{\varOmega }}\mu {b_1}{\xi _2} + 2{{\varOmega }}\mu {d_1}{\xi _2} - {{{\varOmega }}^2}{a_1} - 2{{\varOmega}}{b_1}{\xi _1} + {a_1}{k_2} - {c_1}{k_2} - F + {a_1} = 0 $$ $$ 2{{\varOmega}}\mu {a_1}{\xi _2} - 2{{\varOmega }}\mu {c_1}{\xi _2} - {{{\varOmega }}^2}{b_1} + 2{{\varOmega }}{a_1}{\xi _1} + {b_1}{k_2} - {d_1}{k_2} + {b_1} = 0 $$ $$ - 4{{\varOmega }}\mu {b_2}{\xi _2} + 4{{\varOmega }}\mu {d_2}{\xi _2} - 4{{{\varOmega }}^2}{a_2} - 4{{\varOmega }}{b_2}{\xi _1} + {a_2}{k_2} - {c_2}{k_2} + {a_2}{\text{ = }}0 $$ $$ 4{{\varOmega }}\mu {a_2}{\xi _2} - 4{{\varOmega }}\mu {c_2}{\xi _2} - 4{{{\varOmega }}^2}{b_2} + 4{{\varOmega}}{a_2}{\xi _1} + {b_2}{k_2} - {d_2}{k_2} + {b_2}{\text{ = }}0 $$ $$ - 6{{\varOmega }}\mu {b_3}{\xi _2} + 6{{\varOmega }}\mu {d_3}{\xi _2} - 9{{{\varOmega }}^2}{a_3} - 6{{\varOmega }}{b_3}{\xi _1} + {a_3}{k_2} - {c_3}{k_2} + {a_3} = 0 $$ $$ 6{{\varOmega }}\mu {a_3}{\xi _2} - 6{{\varOmega }}\mu {c_3}{\xi _2} - 9{{{\varOmega }}^2}{b_3} + 6{{\varOmega }}{a_3}{\xi _1} + {b_3}{k_2} - {d_3}{k_2} + {b_3} = 0 $$ 模型B方程组比较复杂, 这里列出式(7)中第一个方程中谐波分量cos(3Ωτ)对应的非线性方程
$$ \begin{split} & 24{{\varOmega}}\mu {a_3}{\xi _2} - 24{{\varOmega }}\mu {c_3}{\xi _2} - 3a_1^2{b_1}{k_N} + 6a_1^2{b_3}{k_N} + 3a_1^2{d_1}{k_N} - 6a_1^2{d_3}{k_N} - 12{a_1}{a_2}{b_0}{k_N} + 6{a_1}{a_2}{b_2}{k_N} + 12{a_1}{a_2}{d_0}{k_N} - \\ &\qquad 6{a_1}{a_2}{d_2}{k_N} + 12{a_1}{b_0}{c_2}{k_N} + 6{a_1}{b_1}{c_1}{k_N} - 6{a_1}{b_2}{c_2}{k_N} - 12{a_1}{b_3}{c_1}{k_N} - 6{a_1}{c_1}{d_1}{k_N} + 12{a_1}{c_1}{d_3}{k_N} - 12{a_1}{c_2}{d_0}{k_N}+ \\ &\qquad 6{a_1}{c_2}{d_2}{k_N} - 3a_2^2{b_1}{k_N} + 6a_2^2{b_3}{k_N} + 3a_2^2{d_1}{k_N} - 6a_2^2{d_3}{k_N} + 12{a_2}{b_0}{c_1}{k_N} + 6{a_2}{b_1}{c_2}{k_N} - 6{a_2}{b_2}{c_1}{k_N} - 12{a_2}{b_3}{c_2}{k_N}- \\ &\qquad 12{a_2}{c_1}{d_0}{k_N} + 6{a_2}{c_1}{d_2}{k_N} - 6{a_2}{c_2}{d_1}{k_N} + 12{a_2}{c_2}{d_3}{k_N} + 3a_3^2{b_3}{k_N} - 3a_3^2{d_3}{k_N} - 6{a_3}{b_3}{c_3}{k_N} + 6{a_3}{c_3}{d_3}{k_N} + 12b_0^2{b_3}{k_N}+ \\ &\qquad 12{b_0}{d_1}{d_2}{k_N} + b_1^3{k_N} + 6b_1^2{b_3}{k_N} - 3b_1^2{d_1}{k_N} - 6b_1^2{d_3}{k_N} + 3{b_1}b_2^2{k_N} - 12{b_1}{b_2}{d_0}{k_N} - 6{b_1}{b_2}{d_2}{k_N} - 12{b_1}{b_3}{d_1}{k_N}- \\ &\qquad 3{b_1}c_1^2{k_N} - 3{b_1}c_2^2{k_N} - 12b_0^2{d_3}{k_N} + 12{b_0}{b_1}{b_2}{k_N} - 12{b_0}{b_1}{d_2}{k_N} - 12{b_0}{b_2}{d_1}{k_N} - 24{b_0}{b_3}{d_0}{k_N} - 12{b_0}{c_1}{c_2}{k_N}+ \\ &\qquad 24{b_0}{d_0}{d_3}{k_N} + 12{b_1}{d_0}{d_2}{k_N} + 3{b_1}d_1^2{k_N} + 12{b_1}{d_1}{d_3}{k_N} + 3{b_1}d_2^2{k_N} + 6b_2^2{b_3}{k_N} - 3b_2^2{d_1}{k_N} - 6b_2^2{d_3}{k_N} - 12{b_2}{b_3}{d_2}{k_N} + \\ &\qquad 6{b_2}{c_1}{c_2}{k_N} + 12{b_2}{d_0}{d_1}{k_N} + 6{b_2}{d_1}{d_2}{k_N} + 12{b_2}{d_2}{d_3}{k_N} + 3b_3^3{k_N} - 9b_3^2{d_3}{k_N} + 6{b_3}c_1^2{k_N} + 6{b_3}c_2^2{k_N} + 3{b_3}c_3^2{k_N}+ \\ &\qquad 12{b_3}d_0^2{k_N} + 6{b_3}d_1^2{k_N} + 6{b_3}d_2^2{k_N} + 9{b_3}d_3^2{k_N} + 3c_1^2{d_1}{k_N} - 6c_1^2{d_3}{k_N} + 12{c_1}{c_2}{d_0}{k_N} - 6{c_1}{c_2}{d_2}{k_N} + 3c_2^2{d_1}{k_N}- \\ &\qquad 6c_2^2{d_3}{k_N} - 3c_3^2{d_3}{k_N} - 12d_0^2{d_3}{k_N} - 12{d_0}{d_1}{d_2}{k_N} - d_1^3{k_N} - 6d_1^2{d_3}{k_N} - 3{d_1}d_2^2{k_N} - 6d_2^2{d_3}{k_N} - 3d_3^3{k_N} - 36{{{\Omega }}^2}{b_3}+ \\ &\qquad 24{{\Omega }}{a_3}{\xi _1} + 4{b_3}{k_L} - 4{d_3}{k_L} + 4{b_3}{\text{ = }}0 \end{split} $$ 其中, kL和kN分别代表无量纲化后的等效线性刚度和等效非线性刚度.
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图 1 线性吸振器两端安装水平弹簧
Figure 1. Horizontal springs are installed at both ends of the linear vibration absorber
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图 2 非线性恢复力与刚度特性: (a)非线性恢复力曲线和(b)非线性刚度特性曲线
Figure 2. Nonlinear restoring force and stiffness characteristics. (a) Nonlinear restoring force curve and (b) nonlinear stiffness characteristic curve
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图 5 两种安装形式的幅频特性曲线比较
Figure 5. Comparison of amplitude-frequency characteristic curves of two installation forms
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图 9 水平弹簧预压缩长度变化的影响
Figure 9. Influence of horizontal spring pre-compression length change
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图 12 不同观测点下的时域图、相轨迹和庞加莱点
Figure 12. Time domain diagram, phase trajectory and Poincare point under different observation points
表 1 系统模型参数表
Table 1 Table of model system parameters
Parameter Variable Value main mass m1/ kg 100 main structure stiffness k1/(N·m−1) 4 × 105 main structure damping c1/(N·s·m−1) 253 mass of vibration absorber m2/ kg 10 vertical spring stiffness k2/(N·m−1) 1.47 × 105 vibration absorber damping c2/(N·s·m−1) 50 horizontal spring stiffness k3/(N·m−1) 4.8 × 105 original length l0/m 0.04 precompression length l/m 0.036 external excitation amplitude F0/N 140 
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