ISOTROPICALLY TRANSFORMED STRESS METHOD FOR THE ANISOTROPY OF SOILS
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摘要: 在不同方向的力学参数、结构特性及应力应变关系的不同为材料的各向异性, 建立能够反映这种复杂特性的强度准则、本构模型, 对于材料本构关系的研究具有重要的理论意义. 但材料的各向异性一直是其力学特性描述的难点, 对此, 郑泉水院士提出了各向同性化定理, 为后续研究解决材料的各向异性问题提供了方向及思路. 作者等针对土的应力诱导各向异性提出了变换应力方法, 这种方法同样遵循对材料进行各向异性问题各向同性化处理的思路, 与郑泉水院士的各向同性化定理是一脉相承的, 也是对各向同性化定理的发展. 本文旨在通过分析各向同性化定理与变换应力方法明确两者间的内在联系, 并以土材料的应力诱导各向异性处理为例, 说明在具体材料的各向异性处理过程中面临的现实问题以及变换应力方法是如何解决这些问题的. 分析并给出了变换应力方法应用时的三个合理假设, 推导出了具体的变换应力数学公式, 阐明了在考虑土的应力诱导各向异性的具体函数已经给出的情况下, 在构造土的弹塑性本构模型中采用变换应力方法的必要性.Abstract: The anisotropy of the material refers to the differences in mechanical parameters, structural characteristics and stress-strain relationships of different directions. Establishment of proper strength criteria and reasonable constitutive models which can accurately illustrate this complex characteristic of materials is a huge contribution to the theoretical studies of constitutive relations of materials. However, the anisotropy of materials has always been a major difficulty for researchers in determining the mechanical properties of materials. In order to demonstrate the abstract affection of the materials’ anisotropy, professor Quanshui Zheng proposed the isotropicization theorem, providing valuable thoughts and referential ideas for subsequent researchers to deal with the anisotropy problem. Building on these ideas, the authors proposed the transformed stress (TS) method. The TS method focused on the stress-induced anisotropy of granular geotechnical materials, introduced another train of thought to describe the anisotropy of materials. The TS method followed the theory of professor Zheng about isotopicizing the anisotropy of the materials, which can be considered as a development of the isotropicization theorem. The aim of this article is to clarify the internal connection between the isotropicization theorem and the transformed stress method through the analysis of the deduction progress of transformed stress method. Also, the practical problems faced in the anisotropy treatment process of specific materials and how these problems can be solved with TS method was illustrated with an example of the stress-induced anisotropy treatment of soil materials. In this paper, three reasonable assumptions in practical application of the TS method have been raised, and the specific stress transformation formula is deduced. Also, the significance of applying the TS method even when knowing the specific functions considering the anisotropy of geotechnical materials has been delivered, and the necessity of application of TS method in the progress of constructing soil elastic-plastic constitutive models has also been proved.
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Keywords:
- anisotropy /
- geotechnical materials /
- stress transformation /
- isotropicization method
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引 言
各向异性是指材料在不同方向上的物理力学性质不同, 是普遍存在的. 但材料的各向异性一直是其力学特性描述的难点, 不同材料的各向异性表现形式是不同的, 因此在很多情况下很难给出材料相应的各向异性函数形式. 针对这一问题, Zheng[1]提出了各向同性化定理, 即各向异性材料的物理和本构定律中的张量函数, 都可以通过引入表征该材料各向异性的结构张量作为附加变量而表示成为各向同性张量函数. 该定理给出了对材料各向异性问题进行各向同性化处理的思想.
对于常规的岩土工程问题, 设计时可适当忽略各向异性的影响. 但随着岩土工程技术的不断发展, 面临的工程问题也愈加复杂, 对于一些处于二维或三维应力状态的大型工程, 例如土石坝蓄水[2]、边坡稳定性分析[3-4]、深基坑开挖[5]和路堤填筑[6]、挡土墙土压力的计算[7]以及隧道开挖地表沉降计算等, 单纯的对称简化已无法满足实际工程的需要. 在上述工程情况中, 有的是因为土体自身的沉积历史形成了较为稳定的排列结构, 这些稳定的结构使得土在不同方向上力学特性的不同, 由此产生的各向异性的影响贯穿从加载到破坏的始终; 有的则是因为应力状态的改变而不断产生新的排列结构, 新的结构随着应力的变化又不断破坏重构, 此类各向异性则是随着应力状态的变化而变化. 可见, 对于土材料, 各向异性产生的原因也各有其不同. 根据成因和力学表现[8], 岩土材料的各向异性[9]可分为原生各向异性[10-11]和应力诱导各向异性[12-14]. 其中, 应力诱导各向异性是指岩土材料在π平面上表现出的屈服和破坏的非对称性. 针对岩土材料所特有的应力诱导各向异性, 姚仰平等[15-20]提出了变换应力(transformed stress, TS)方法. TS方法可以将具有应力诱导各向异性的真应力空间变换为各向同性的变换应力空间, 并利用变换应力空间进行其力学特性的描述. 这种将各向异性问题进行各向同性化处理的TS方法与郑泉水的各向同性化定理的思想是一致的.
本文针对TS方法与各向同性化定理间的内在联系及其特殊性, 将深入探讨以下三个问题: (1)TS方法中的公式是如何在各向异性问题各向同性化处理的思想下建立的？(2)TS方法和各向同性化定理之间的关系是什么？(3)TS方法在土的弹塑性本构模型三维化中的必要性. 对于以上三个问题进行了以下工作: (1)借助已有的土的各向异性强度准则公式, 提出了TS方法在建立过程中的三个合理假设; (2)对所得TS方法中的应力变换公式进行代数变换, 使一般化的各向同性化定理与具体化的变换应力公式在形式上统一起来, 对两式相应的部分进行对照, 明确两者的内在联系; (3)分别将直接与各向异性函数结合实现三维化、利用TS方法实现三维化所描述的应力应变力学特性与系列试验所归纳的规律作对比, 阐明TS方法在构造土的弹塑性本构模型三维化过程中的必要性.
1. 各向同性化定理
郑泉水针对各向异性材料的各向同性化处理提出了各向同性化定理:
二维或三维空间中任意有限数目张量变量相应一个紧点群的各向异性张量函数, 都可以表示成为原张量自变量再附加结构张量为新增自变量的各向同性张量函数.
数学上, 记
$ \psi \left( {{{\boldsymbol{S}}_{\text{a}}}} \right) $ 是一个以${{\boldsymbol{S}}_1},{{\boldsymbol{S}}_2}, \cdots,{{\boldsymbol{S}}_{\text{A}}}$ 为张量变量的各向异性张量函数, 其对称群由${\xi _1}, {\xi _2}, \cdots,{\xi _S}$ 表征. 则存在一个以${{\boldsymbol{S}}_1},{{\boldsymbol{S}}_2}, \cdots,{{\boldsymbol{S}}_{\text{A}}},{\xi _1},{\xi _2}, \cdots,{\xi _{\text{S}}}$ 为张量自变量的各向同性张量函数$ {\psi _{{\text{iso}}}}\left( {{{\boldsymbol{S}}_{\text{a}}},{{\boldsymbol{\xi }}_{\text{γ }}}} \right) $ ,使得$$ \psi \left( {{{\boldsymbol{S}}_{\text{a}}}} \right) = {\psi _{{\text{iso}}}}\left( {{{\boldsymbol{S}}_{\text{a}}},{{\boldsymbol{\xi }}_{\text{γ }}}} \right) $$ (1) 式中，
$ \psi $ 为各向异性张量函数,$ {\psi _{{\text{iso}}}} $ 为各向同性张量函数;$ {{\boldsymbol{S}}_{\text{a}}} $ 为原张量自变量,$ {{\boldsymbol{\xi }}_{\text{γ }}} $ 为结构张量.式(1)中各向异性材料的张量函数, 如果只用原张量自变量
$ {{\boldsymbol{S}}_{\text{a}}} $ 作自变量, 构成的是一个各向异性张量函数$ \psi $ ; 如果引入结构张量$ {{\boldsymbol{\xi }}_{\text{γ }}} $ , 则各向异性张量函数可以转换为各向同性张量函数$ {\psi _{{\text{iso}}}} $ . 对式(1)做进一步引申: 如果将原张量自变量与结构张量看作是一个新的张量自变量$ {{\boldsymbol{\tilde S}}_{\text{a}}} $ , 则可构成以$ {{\boldsymbol{\tilde S}}_{\text{a}}} $ 为张量自变量的各向同性张量函数$ {\psi _{{\text{iso}}}} $ , 即$$ \psi \left( {{{\boldsymbol{S}}_{\text{a}}}} \right) = {\psi _{{\text{iso}}}}\left( {{{\boldsymbol{S}}_{\text{a}}},{{\boldsymbol{\xi }}_{\text{γ }}}} \right) = {\psi _{{\text{iso}}}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde S}}}_{\text{a}}}} \right) $$ (2) 本文也称
$ {{\boldsymbol{\tilde S}}_{\text{a}}} $ 为耦合张量自变量.各向同性化定理为材料各向异性问题的研究提供了方向, 式(2)也是对各向异性问题进行各向同性化处理的一个一般化数学表达.
$ \psi $ 作为各向异性张量函数, 会随着实际材料和所研究的具体问题的不同而相异, 例如岩土材料中的强度问题和屈服问题等. 在对土材料各向异性力学特性的研究中, 可通过构造结构张量$ {{\boldsymbol{\xi }}_{\text{γ }}} $ 或耦合应力张量$ {{\boldsymbol{\tilde S}}_{\text{a}}} $ , 借用已有的各向同性张量函数$ {\psi _{{\text{iso}}}} $ , 达到对各向异性力学特性进行描述的目的, 取得与采用各向异性张量函数$ \psi $ 进行表达的相同效果.2. TS方法
2.1 应力诱导各向异性
土材料作为一种碎散的孔隙材料, 具有应力诱导各向异性[21-25]. 土的应力诱导各向异性是指其力学特性因加载时的应力状态的不同而相异, 具体体现为: 在π平面上, 土的强度和屈服特性随应力洛德角的改变而改变. 现已有许多能够反映应力诱导各向异性的强度准则, SMP准则[26]就是其中的代表
$$\;\;\;\; f\left( {\boldsymbol{\sigma }} \right) = \frac{{{I_{\text{1}}}{I_2}}}{{{I_3}}} = {C_{\text{1}}} $$ (3) $$ \left. \begin{array}{l} {I_{\text{1}}} = {\sigma _{\text{1}}} + {\sigma _2} + {\sigma _3}{\text{ }} \hfill \\ {I_{\text{2}}} = {\sigma _{\text{1}}}{\sigma _2} + {\sigma _{\text{2}}}{\sigma _3} + {\sigma _3}{\sigma _1}{\text{ }} \hfill \\ {I_{\text{3}}} = {\sigma _{\text{1}}}{\sigma _2}{\sigma _3}{\text{ }} \end{array} \right\} $$ (4) 式中，I1，I2，I3分别为第一、二、三应力张量不变量, C1为强度参数, 取其他值时也可以用其表示屈服.
式(3)所表达的SMP准则绘制在π平面上如图1所示.
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图 1 SMP准则在π平面上的屈服线/破坏线(真应力空间)Figure 1. Yield locus/failure loci of SMP criterion in π-plane (original stress space)由图1可知, 随着剪切应力水平的提高, π平面上的SMP屈服线由近圆形趋向于光滑的曲边外凸三角形, 各向异性逐渐增强, 这就是应力诱导各向异性的具体表现.
对照式(2), 式(3)中的真应力自变量σ对应着原张量自变量
$ {{\boldsymbol{S}}_{\text{a}}} $ , SMP准则f对应着各向异性函数$ \psi $ .2.2 两应力空间对应关系的建立
SMP准则即为各向异性函数
$ f\left( {\boldsymbol{\sigma }} \right) $ , 其自变量σ对应的空间为真应力空间. 设各向同性化后的应力自变量为$ {\boldsymbol{\tilde \sigma }} $ , 其对应于式(2)中的耦合张量自变量$ {{\boldsymbol{\tilde S}}_{\text{a}}} $ , 新的应力自变量$ {\boldsymbol{\tilde \sigma }} $ 也称为变换应力,$ {\boldsymbol{\tilde \sigma }} $ 构成的空间为变换应力空间. 设$ \tilde f\left( {{\boldsymbol{\tilde \sigma }}} \right) $ 为对应于式(2)中${\psi _{{\text{iso}}}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde S}}}_{\rm{a}}}} \right)$ 的各向同性函数, 反映在${{\tilde {\text{π}} }}$ 平面上相应的屈服线为一组同心圆. 设各向同性函数$ \tilde f\left( {{\boldsymbol{\tilde \sigma }}} \right) $ 的表达式为$$ \tilde f\left( {{\boldsymbol{\tilde \sigma }}} \right) = \frac{{\sqrt {\tilde I_{\text{1}}^{\text{2}} - 3{{\tilde I}_{\text{2}}}} }}{{\sqrt 3 {{\tilde I}_{\text{1}}}}} = {C_{\text{2}}} $$ (5) $$ \left.\begin{array}{l}{\tilde{I}}_{\text{1}}={\tilde{\sigma }}_{\text{1}} + {\tilde{\sigma }}_{2} + {\tilde{\sigma }}_{3}\text{ }\\ {\tilde{I}}_{\text{2}}={\tilde{\sigma }}_{\text{1}}{\tilde{\sigma }}_{2} + {\tilde{\sigma }}_{\text{2}}{\tilde{\sigma }}_{3} + {\tilde{\sigma }}_{3}{\tilde{\sigma }}_{1} \end{array}\right\} $$ (6) 式中,
$ {\tilde I_{\text{1}}} $ ，$ {\tilde I_2} $ 分别为变换应力空间中第一、第二应力张量不变量. C2为强度参数, 取其他值时也可以表示其屈服.式(5)所表达的准则绘制在
${{\tilde {\text{π}} }}$ 平面上如图2所示.![]()
图 2 SMP准则在$ {{\tilde {\text{π}} }} $ 平面上的屈服线/破坏线(变换应力空间)Figure 2. Yield locus/failure loci of SMP criterion in$ {{\tilde {\text{π}} }} $ -plane (transformed stress space)在以上分析的针对SMP准则的数学描述中, 式(3)是关于真应力σ的各向异性函数, 式(5)是关于变换应力
$ {\boldsymbol{\tilde \sigma }} $ 的各向同性函数. 由此, 可以根据SMP准则在两个π平面上的几何关系建立σ和$ {\boldsymbol{\tilde \sigma }} $ 之间的关系, 并间接地推导出结构张量$ {{\boldsymbol{\xi }}_{\text{γ }}} $ 的表达式.2.2.1 等向压缩路径
如前所述, 应力诱导各向异性就是剪切诱导各向异性, 而在等向压缩路径下, 剪应力始终为零, 不存在各向异性, 因此假定变换应力中的平均主应力和真应力中的平均主应力相等, 即
$ \tilde p = p $ .2.2.2 剪切路径
天然的地基大多数处于K0固结状态[27], 其中K0固结是指土体在轴对称侧向约束下的垂直压缩. 而大量的地基在加荷过程中也是轴对称的. 若从天然地基中取一个土单元, 土单元的受力状态如图3所示.
大量的工程活动是在天然地基土上进行的, 由此发展的试验手段和土工试验仪也是基于此种轴对称受力而发明设计的. 在这样的背景下, 人们进行了大量的三轴试验[28-31], 特别是操作简单、条件易得的三轴压缩试验, 并基于此获得了许多强度参数. 这些参数有的被用于指导工程实践, 有的是很多经典的强度准则如摩尔−库伦强度准则, 广义米塞斯强度准则等所选用的强度指标. 而土的弹塑性本构模型中最为经典的剑桥模型[32]就是从大量的三轴试验总结所得的规律中发展而来的. 综上所述, 对于应力的变换考虑以三轴压缩这一点为基准, 因此假设变换后的应力与不变换的应力在三轴压缩处重合, 重合的条件是
$$ \begin{gathered} \tilde q = {q_c}\; ,\;\tilde \theta = \theta {\text{ }} \end{gathered} $$ (7) 式中,
$ \tilde q $ 是变换应力空间中SMP准则的广义剪应力,$ {q_{\text{c}}} $ 是真应力空间中三轴压缩处的广义剪应力, 在π平面上,$ \tilde q = {q_{\text{c}}} $ 等同于$ \tilde r = {r_c} $ ;$ \tilde \theta $ 和$ \theta $ 分别是变换应力空间和真应力空间π平面上任意应力点所对应的应力洛德角.2.3 各向同性化过程中应力对应关系的求解
在变换应力空间中的SMP准则, 呈现在π平面上应是一组同心圆. 让变换应力空间及真应力空间的主应力轴重合, 在满足前述三个假定的前提下, 绘制在π平面上的两个空间相应的SMP准则. SMP准则在两个空间中的屈服线/破坏线的具体的几何对应关系如图4所示.
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图 4 SMP准则在真应力空间和变换应力空间中在π平面上的对应关系Figure 4. The relation of original stress space and transformed space of SMP criterion in π-plane在图4中, 点A′是变换应力空间中满足三个假定条件与真应力空间中点A对应的点, 两点间对应的应力关系为
$$ \left. \begin{gathered} \tilde p = p{\text{ }} \hfill \\ \tilde r = {r_{\text{c}}} = \sqrt {\frac{2}{3}} {q_c}{\text{ }} \hfill \\ \tilde \theta = \theta {\text{ }} \hfill \\ \end{gathered} \right\} $$ (8) 将式(8)进一步展开为
$$ \left. {\begin{array}{l} {\dfrac{{{{\tilde \sigma }_1} + {{\tilde \sigma }_2} + {{\tilde \sigma }_3}}}{3} = p{\text{ }} } \\ \sqrt {{{\left( {{{\tilde \sigma }_1} - {{\tilde \sigma }_2}} \right)}^2} + {{\left( {{{\tilde \sigma }_2} - {{\tilde \sigma }_3}} \right)}^2} + {{\left( {{{\tilde \sigma }_3} - {{\tilde \sigma }_1}} \right)}^2}} = \sqrt 2 {q_c}{\text{ }} \hfill \\ {\tan ^{ - 1}}\left[ {\dfrac{{\sqrt 3 \left( {{{\tilde \sigma }_2} - {{\tilde \sigma }_3}} \right)}}{{2{{\tilde \sigma }_1} - {{\tilde \sigma }_2} - {{\tilde \sigma }_3}}}} \right] = \theta {\text{ }} \end{array}} \right\} $$ (9) 解方程组(9)可得到在主应力状态下的变换应力为
$$ {\tilde \sigma _i} = p + \frac{{{q_c}}}{q}\left( {{\sigma _i} - p} \right) $$ (10) 式中qc是根据SMP准则(3)得到的三轴压缩条件下的剪应力
$$ {q_c} = \frac{{2{I_1}}}{{3\sqrt {\left( {{I_1}{I_2} - {I_3}} \right)/\left( {{I_1}{I_2} - 9{I_3}} \right)} - 1}} $$ (11) 进一步推广到一般应力状态下的变化应力张量为
$$ {\tilde \sigma _{ij}} = p{\delta _{ij}} + \frac{{{q_c}}}{q}\left( {{\sigma _{ij}} - p{\delta _{ij}}} \right) $$ (12) 式(12)把真应力空间的应力张量和变换应力空间中的应力张量一一对应了起来.
2.4 TS方法与各向同性化定理的对照
对照式(2), 将真应力空间中的SMP准则和变换应力空间中的SMP准则之间的关系, 按照各向同性化定理表述如下
$$ f\left( {\boldsymbol{\sigma }} \right) = \tilde f\left( {{\boldsymbol{\sigma }},{{\boldsymbol{\xi }}_{\text{γ }}}} \right) = \tilde f\left( {{\boldsymbol{\tilde \sigma }}} \right) $$ (13) 如前所述, SMP准则f对应于式(2)中的各向异性函数
$ \psi $ ,$ \tilde f $ 对应于式(2)中的各向同性函数$ {\psi _{{\text{iso}}}} $ . 前文已经给出了各向同性化后的耦合张量自变量$ {\boldsymbol{\tilde \sigma }} $ 的具体表达式, 但结构张量$ {{\boldsymbol{\xi }}_{\text{γ }}} $ 的具体数学表达式仍不明确. 现对式(12)进行变换$$ {\tilde \sigma _{ij}} = {\sigma _{ij}} + {\frac{{{q_c} - q}}{q}}\left( {{\sigma _{ij}} - p{\delta _{ij}}} \right) $$ (14) 式中的第二项可视为各向同性化定理中的结构张量
$ {{\boldsymbol{\xi }}_{\text{γ }}} $ , 表达式为$$ {\xi _{ij}} = {\frac{{{q_{\text{c}}} - q}}{q}} \left( {{\sigma _{ij}} - p{\delta _{ij}}} \right) $$ (15) 式(15)给出了结构张量
$ {{\boldsymbol{\xi }}_{\text{γ }}} $ 的具体形式$ {\xi _{ij}} $ , 且原应力自变量张量$ {\sigma _{ij}} $ 与结构张量$ {\xi _{ij}} $ 以加和的方式构成了变换应力张量$ {\tilde \sigma _{ij}} $ . 分析以上变换应力公式, 可知不能从中分离出与应力无关的结构张量$ {{\boldsymbol{\xi }}_{\text{γ }}} $ , 说明该结构张量$ {{\boldsymbol{\xi }}_{\text{γ }}} $ 与应力相关, 也即所谓的应力诱导各向异性.式(15)中相乘的两项, 左项为变换后三轴压缩条件下的广义剪应力
$ {q_{\text{c}}} $ ($ = \tilde q $ )相较于一般广义剪应力q的差率. 如前文所述, 岩土材料的应力诱导各向异性是指不同应力洛德角对应的强度不同, 左项中随着洛德角变化的q和不随洛德角变化的qc($ = \tilde q $ )之间的差率, 反映了应力诱导各向异性对结构张量$ {\xi _{ij}} $ 的影响程度.右项为应力张量相较于平均主应力的偏应力. 随着应力水平的提高, 应力诱导各向异性增强, 偏应力增大, 对应应力状态各方向的差异扩大, 表征应力诱导各向异性的结构张量
$ {\xi _{ij}} $ 受到的影响增加.对应力诱导各向异性结构张量
$ {\xi _{ij}} $ 的构造进行的分析表明, 表征土的应力诱导各向异性的结构张量一定要反映应力变化的影响.3. TS方法在土的弹塑性本构模型中应用的必要性
对于土体的破坏而言, 已经提出了许多如SMP准则这类应力诱导各向异性的准则来描述其破坏或屈服时的各向异性力学特性, 并不需要对其进行各向同性化处理. 但对于土的弹塑性本构模型的构造来说, 则涉及到屈服和正交流动两个方面的问题, 在此过程中是否需要各向同性化方法来处理其应力诱导各向异性问题还有待探讨. 下面将结合具体试验结果进行深入分析.
Miura[33-34]在20世纪80年代进行了一系列土的三轴压缩和三轴伸长试验, 这些试验主要涉及到对土的屈服和塑性流动规律的探究. 图5[33]为其系列试验数据的整理归纳结果.
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在图5中, σa为三轴试验条件下的轴向应力, σr为径向应力.
图5中的红色虚线和蓝色实线分别为根据试验趋势过点B归纳出的三轴压缩和三轴伸长的屈服线. 下面对于在屈服线上的具有代表性的4个特征点E, E′, F和B作如下分析.
(1) 点B对应的是等向压缩的应力状态(
$ q = 0 $ ). 在点B处加载, 只产生塑性体积应变, 不产生塑性剪应变. 此时塑性应变流动方向和p轴一致, 与归纳出的屈服线正交.(2) 点E既是三轴压缩屈服线上的顶点, 也是三轴压缩条件下的临界状态应力点(
$q/p = {M_{\rm{c}}}$ ). 在点E处加载, 不产生塑性体积应变, 只产生塑性剪应变. 相应的塑性应变竖向流动恰好与归纳的三轴压缩屈服线正交.(3)点E′为三轴伸长屈服线上的临界状态特征点(
$q/p = {M_{\rm{e}}}$ ). 在点E′处加载, 不产生塑性体积应变, 只产生塑性剪应变. 点E′处的塑性应变竖向流动, 并不与归纳的三轴伸长屈服线正交.(4) 点F是三轴伸长屈服线上的顶点. 在点F处加载, 既产生塑性剪切应变也产生塑性体积应变. 其塑性应变流动方向如图5所示, 可见并不正交于三轴伸长屈服线.
(5) 由图5可知, 试验中的三轴压缩条件下的临界状态应力比Mc = 1.3, 三轴伸长条件下的临界状态应力比Me = 0.9, Me和Mc之间的关系基本符合根据SMP准则所得的相应关系
$$ {M_{\text{e}}} = \frac{{3{M_{\text{c}}}}}{{{M_{\text{c}}} + 3}} \leqslant {M_{\text{c}}} $$ (16) 大量土的三轴试验规律也与上述屈服、塑性应变流动规律一致. 所以, 在构造土的本构模型时, 如何既能描述屈服特性, 又能描述4个特征点(见图5)的塑性应变流动方向: 在点B和点E处正交流动, 在点F和点E′处非正交流动？这是一个挑战.
3.1 真应力空间的本构模型
修正剑桥模型[35](modified cam-clay, MCC)是描述土体力学特性最经典的本构模型, 其屈服函数为
$$ f = {c_{\text{p}}}\ln \frac{p}{{{p_0}}} + {c_{\text{p}}}\ln \left( {1 + \frac{{{q^2}}}{{{M^2}{p^2}}}} \right) - \varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} = 0 $$ (17) 式中, cp为弹塑性参数,
$ p_{0} $ 为初始屈服面与p轴的交点,$ \varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} $ 是塑性体应变, M是临界状态应力比, 取三轴压缩条件下的Mc值.式(17)是p-q面上, 以三轴压缩试验为基础所构造的屈服方程. 为了描述在其他应力状态下的屈服特性, 考虑三维空间中土的应力诱导各向异性, 以与SMP准则结合为例, 将式(17)进一步推广到三维应力空间, 即
$$ f = {c_{\text{p}}}\ln \frac{p}{{{p_0}}} + {c_{\text{p}}}\ln \left( {1 + \frac{{q_{\text{c}}^2}}{{{M^2}{p^2}}}} \right) - \varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} = 0 $$ (18) 在图6的
$p \text{-} \left( {{\sigma _a} - {\sigma _r}} \right)$ 平面上, 绘制出了由式(18)所得的三轴压缩和三轴伸长条件下的屈服线, 同时还绘出了在4个特征点处与屈服线正交的方向.![]()
图 6 MCC模型在$p \text{-} \left( {{\sigma _{\text{a}}} - {\sigma _{\text{r}}}} \right)$ 面上的屈服线及正交方向Figure 6. Yield locus of generalized MCC model and the orthogonal directions in$p \text{-} \left( {{\sigma _{\text{a}}} - {\sigma _{\text{r}}}} \right)$ plane图6中所绘得的屈服线与图5中归纳的三轴压缩和三轴伸长条件下的屈服线形状均基本吻合, 可见式(18)所构造的屈服方程是合理的.
下面分析在屈服线上的4个特征点B, E, E′和F处相应的正交方向是否与试验规律一致.
图6中点B和点E的正交方向和图5中相应点的塑性应变流动方向一致, 说明在三轴压缩条件下采用式(18)及基于其的正交流动是既能满足屈服特性又能满足塑性应变流动方向的.
在图6中的三轴伸长屈服线上的点E′(临界状态点)和点F(屈服线上的顶点)处的正交方向均与图5中相应点的塑性应变流动方向不符. 说明尽管式(18)能满足三轴伸长条件下的屈服特性, 但是基于其的正交方向并不能满足三轴伸长条件下的塑性应变流动方向.
基于以上分析可知, 直接在真应力空间中建立土的弹塑性本构模型, 选用屈服函数
$ f $ 及基于其的正交流动方向存在问题. 下面尝试着在变换应力空间建立土的弹塑性本构模型的可能性.3.2 在变换应力空间建立本构模型
用式(12)中的变换应力
$ {\tilde \sigma _{ij}} $ 构成的$ \tilde p $ ,$ \tilde q $ ,$ {\tilde p_0} $ 替换式(17)中相应的真应力p, q和p0,就得到了变换应力空间中MCC模型的屈服函数$$ \tilde f = {c_{\text{p}}}\ln \frac{{\tilde p}}{{{{\tilde p}_0}}} + {c_{\text{p}}}\ln \left( {1 + \frac{{{{\tilde q}^2}}}{{{M^2}{{\tilde p}^2}}}} \right) - \varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} = 0 $$ (19) 在图7的
$\tilde p \text{-} \left( {{{\tilde \sigma }_{\text{a}}} - {{\tilde \sigma }_{\text{r}}}} \right)$ 平面上, 绘制出了由式(19)所得的在变换应力空间中的三轴压缩和三轴伸长条件下的屈服线, 同时还绘出了在3个特征点B、E和点E′处与屈服线正交的方向. 此外, 还给出了点F及其正交方向, 关于点F的特征分析见后.![]()
图 7 MCC模型在$\tilde p \text{-} \left( {{{\tilde \sigma }_{\text{a}}} - {{\tilde \sigma }_{\text{r}}}} \right)$ 面上的屈服线及其对应的正交方向Figure 7. Yield locus of generalized MCC model and the orthogonal directions in$\tilde p \text{-} \left( {{{\tilde \sigma }_{\text{a}}} - {{\tilde \sigma }_{\text{r}}}} \right)$ plane为了更好地与图5 (在真应力空间)中所归纳的试验规律对比, 特将图7 (在变换应力空间)中的屈服线通过TS方法中的应力对应关系表示至
$p\text{-}\left(\sigma_{\boldsymbol{z}}-\sigma_{t}\right)$ 面(在真应力空间)上. 同时, 基于变换应力空间与真应力空间的共轴条件, 再利用变换应力与真应力的对应关系, 把在图7中$\tilde p \text{-} \left( {{{\tilde \sigma }_{\text{a}}} - {{\tilde \sigma }_{\text{r}}}} \right)$ 面上的4个特征点处的正交方向直接平移绘制到图8中$p \text{-}\left( {{\sigma _{\text{a}}} - {\sigma _{\text{r}}}} \right)$ 面上的相应位置. 需要特别指出的是, 图7中的点F实际上是图8中三轴伸长屈服线上顶点的对应点.![]()
图 8 变换应力三维化的MCC模型在$p \text{-} \left( {{\sigma _{\text{a}}} - {\sigma _{\text{r}}}} \right)$ 面上的屈服线及流动方向Figure 8. Yield locus and plastic strain flow directions of generalized MCC model using TS method in$p \text{-} \left( {{\sigma _{\text{a}}} - {\sigma _{\text{r}}}} \right)$ plane通过比较图8与图5可知, 图8中所表示的三轴压缩和三轴伸长的屈服线均与图5中归纳的屈服线特性一致; 非常有趣的是, 图8中4个特征点处的流动方向也均与图5中绘出的塑性应变流动方向一致.
下面把在上述不同应力空间平面上的MCC模型的屈服面绘制在相应的三维空间中.
图9是根据式(19)绘制的与图7相对应的变换应力三维空间中的屈服面.
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图 9 三维化MCC模型在变换应力空间内屈服面Figure 9. Yield surface of generalized MCC model in transformed stress space基于两空间的应力变换式(12), 将式(19)中的变换应力自变量张量变换成真应力自变量张量, 可得到真应力空间中各向异性的屈服函数, 同式(18). 将相应的屈服面绘制在真应力三维空间中, 见图10.
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图 10 三维化MCC模型在真应力空间内屈服面Figure 10. Yield surface of generalized MCC model in real stress space图10是与图8相对应的三维真应力空间中的屈服面, 其屈服面既可以由各向同性函数式(19)通过应力变换后得到, 也可以直接由真应力空间中的各向异性函数式(18)绘出.
下面继续在两个三维应力空间中探讨塑性应变的流动方向.
如前所述, 塑性应变的流动方向即通过在变换应力空间中采用正交流动法则确定,
$$ {\rm{d}}\varepsilon _{ij}^{\text{p}} = \varLambda \frac{{\partial \tilde f}}{{\partial {{\tilde \sigma }_{ij}}}} $$ (20) 式中,
$\varLambda$ 为表示塑性应变增量大小的一个标量, 称之为塑性标量因子, 由$ \partial \tilde f/\partial {\tilde \sigma _{ij}} $ 所给出的塑性应变的增量方向与变换应力空间中的屈服面正交.将变换应力空间中的屈服函数式(19)一般化表达为
$$ \tilde f = {\tilde f_{\tilde \sigma }}\left( {{{\tilde \sigma }_{ij}}} \right) - \varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} = 0 $$ (21) 式中
$ f_{e} $ 为各向同性的屈服函数的应力项.在变换应力空间中, 根据式(21)所得的相容方程为
$$ {\rm{d}}\tilde f = \frac{{\partial \tilde f}}{{\partial {{\tilde \sigma }_{ij}}}}{\rm{d}}{\tilde \sigma _{ij}} + \frac{{\partial \tilde f}}{{\partial \varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}}}}{\rm{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} = 0 $$ (22) 联立式(20)和式(22)得
$$ {\rm{d}}\tilde f = \frac{{\partial \tilde f}}{{\partial {{\tilde \sigma }_{ij}}}}{\rm{d}}{\tilde \sigma _{ij}} + \frac{{\partial \tilde f}}{{\partial \varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}}}}\varLambda \frac{{\partial \tilde f}}{{\partial {{\tilde \sigma }_{ii}}}} = 0 $$ (23) 式(23)可进一步写为
$$ {\text{ }}{\rm{d}}\tilde f = \frac{{\partial \tilde f}}{{\partial {{\tilde \sigma }_{ij}}}}{\rm{d}}{\tilde \sigma _{ij}} - \varLambda \frac{{\partial \tilde f}}{{\partial {{\tilde \sigma }_{ii}}}} = 0 $$ (24) 相容条件(24)隐含了关于屈服以及塑性应变增量分配的两层内含, 式(24)中的第一项是关于变换应力空间中屈服面的相关计算, 第二项是基于变换应力空间中满足正交条件的塑性应变增量的计算. 图11中给出的变换应力空间的屈服面及相应的正交的塑性应变流动方向就是其几何描述.
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图 11 三维化MCC模型的屈服面及其相应的塑性应变流动方向Figure 11. Yield surface of generalized MCC model with corresponding plastic strain directions利用变换应力关系(12), 对式(21)进一步变换得
$$ \tilde f = {\tilde f_{\tilde \sigma }}\left( {{{\tilde \sigma }_{ij}}} \right) - \varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} = {f_\sigma }\left( {{\sigma _{ij}}} \right) - \varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} = 0 $$ (25) 式中
$ {f_\sigma } $ 为各向异性的屈服函数的应力项.对式(25)进行全微分可得
$$ {\rm{d}}\tilde f = \frac{{\partial f}}{{\partial {\sigma _{ij}}}}{\rm{d}}{\sigma _{ij}} + \frac{{\partial \tilde f}}{{\partial \varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}}}}{\rm{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} = 0 $$ (26) $$ {\rm{d}}\tilde f = \frac{{\partial f}}{{\partial {\sigma _{ij}}}}{\rm{d}}{\sigma _{ij}} - \varLambda \frac{{\partial \tilde f}}{{\partial {{\tilde \sigma }_{ii}}}} = 0 $$ (27) 式(27)中的第一项是关于真应力空间中屈服面的相关计算, 第二项则保留了基于变换应力空间中满足正交条件的塑性应变增量的计算. 与式(24)不同, 式(27)同时隐含了真应力空间中的屈服以及变换应力空间中的塑性应变流动方向这两个空间中的两种关系. 通过TS方法中应力关系的桥梁, 可将由变换应力空间正交得到的塑性应变流动方向平移至真应力空间中相应的应力点上. 因此, 以变换应力空间中的塑性应变流动方向所表示的真应力空间中的流动方向与试验规律一致, 但并不与真应力空间中的屈服面正交.
需要强调的是, 在图11中真应力空间屈服面上只有三轴压缩的子午线上的塑性应变流动方向是正交的, 其他全不正交. 但变换应力空间屈服面上的塑性应变流动方向全部正交.
4. 结论
(1) TS方法是郑泉水院士的各向同性化定理的发展和具体表达. 在各向异性问题各向同性化处理的过程中, TS方法通过搭建一个应力间关系的桥梁, 构造了一个能与真应力空间互相转换的各向同性的变换应力空间, 并在此空间中讨论土的屈服特性和塑性流动. 对于土的应力诱导各向异性的描述, TS方法直接给出了各向同性的变换应力张量, 避免了构造相应的结构张量的困难.
(2)在变换应力空间与屈服面的正交, 给出了塑性应变的合理流动方向, 退回到真应力空间的屈服特性又与试验规律一致. 因此, TS方法充分地发挥了两个应力空间的优势, 既达到了对屈服特性正确描述的目的, 又解决了塑性应变的合理流动方向.
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图 1 SMP准则在π平面上的屈服线/破坏线(真应力空间)
Figure 1. Yield locus/failure loci of SMP criterion in π-plane (original stress space)
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图 2 SMP准则在
$ {{\tilde {\text{π}} }} $ 平面上的屈服线/破坏线(变换应力空间)Figure 2. Yield locus/failure loci of SMP criterion in
$ {{\tilde {\text{π}} }} $ -plane (transformed stress space)![]()
图 4 SMP准则在真应力空间和变换应力空间中在π平面上的对应关系
Figure 4. The relation of original stress space and transformed space of SMP criterion in π-plane
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图 6 MCC模型在
$p \text{-} \left( {{\sigma _{\text{a}}} - {\sigma _{\text{r}}}} \right)$ 面上的屈服线及正交方向Figure 6. Yield locus of generalized MCC model and the orthogonal directions in
$p \text{-} \left( {{\sigma _{\text{a}}} - {\sigma _{\text{r}}}} \right)$ plane![]()
图 7 MCC模型在
$\tilde p \text{-} \left( {{{\tilde \sigma }_{\text{a}}} - {{\tilde \sigma }_{\text{r}}}} \right)$ 面上的屈服线及其对应的正交方向Figure 7. Yield locus of generalized MCC model and the orthogonal directions in
$\tilde p \text{-} \left( {{{\tilde \sigma }_{\text{a}}} - {{\tilde \sigma }_{\text{r}}}} \right)$ plane![]()
图 8 变换应力三维化的MCC模型在
$p \text{-} \left( {{\sigma _{\text{a}}} - {\sigma _{\text{r}}}} \right)$ 面上的屈服线及流动方向Figure 8. Yield locus and plastic strain flow directions of generalized MCC model using TS method in
$p \text{-} \left( {{\sigma _{\text{a}}} - {\sigma _{\text{r}}}} \right)$ plane![]()
图 9 三维化MCC模型在变换应力空间内屈服面
Figure 9. Yield surface of generalized MCC model in transformed stress space
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图 10 三维化MCC模型在真应力空间内屈服面
Figure 10. Yield surface of generalized MCC model in real stress space
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[1] Zheng QS. Theory of representations for tensor functions-a unified invariant approach to constitutive equations. Applied Mechanics Reviews, 1994, 47(11): 545-587 doi: 10.1115/1.3111066
[2] 王刚, 韦林邑, 魏星等. 高土石坝心墙水力破坏机制研究进展. 水利水电技术, 2019, 50(8): 55-68 (Wang Gang, Wei Linyi, Wei Xing, et al. Progress of study on hydraulic failure mechanism of clay core-wall in high earth-rockfill dam. Water Resources and Hydropower Engineering, 2019, 50(8): 55-68 (in Chinese) Wang Gang, Wei Linyi, Wei Xing, et al. Progress of study on hydraulic failure mechanism of clay core-wall in high earth-rockfill dam. Water Resources and Hydropower Engineering, 2019, 50(8): 55-68 (in Chinese)
[3] Chen Y, Lin H, Cao R, et al. Slope stability analysis considering different contributions of shear strength parameters. International Journal of Geomechanics, 2021, 21(3): 04020265 doi: 10.1061/(ASCE)GM.1943-5622.0001937
[4] Stockton E, Leshchinsky BA, Olsen MJ, et al. Influence of both anisotropic friction and cohesion on the formation of tension cracks and stability of slopes. Engineering Geology, 2019, 249: 31-44 doi: 10.1016/j.enggeo.2018.12.016
[5] Bovolenta R, Brencich A. Effect of deep excavations and deformable retaining structures on neighboring buildings: A case study. Engineering Failure Analysis, 2021, 122: 105269 doi: 10.1016/j.engfailanal.2021.105269
[6] Zhang J, Li F, Zeng L, et al. Numerical simulation of the moisture migration of unsaturated clay embankments in southern China considering stress state. Bulletin of Engineering Geology and the Environment, 2021, 80(1): 11-24 doi: 10.1007/s10064-020-01916-6
[7] Zhang R, Goh ATC, Li Y, et al. Assessment of apparent earth pressure for braced excavations in anisotropic clay. Acta Geotechnica, 2021, 16(5): 1615-1626 doi: 10.1007/s11440-020-01129-x
[8] 田雨. 基于各向异性变换应力法的UH模型及其应用. [博士论文]. 北京: 北京航空航天大学, 2018 Tian Yu. UH model based on the anisotropic transformed stress method and its application. [PhD Thesis]. Beijing: Beihang University, 2018 (in Chinese)
[9] 张坤勇, 殷宗泽, 梅国雄. 土体各向异性研究进展. 岩土力学, 2004, 25(9): 1503-1509 (Zhang Kunyong, Yin Zongze, Mei Guoxiong. Development of soil’s anisotropy study. Rock and Soil Mechanics, 2004, 25(9): 1503-1509 (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1000-7598.2004.09.033 Zhang Kunyong, Yin Zongze, Mei Guoxiong. Development of soil’s anisotropy study. Rock and Soil Mechanics, 2004, 25(9): 1503-1509 (in Chinese)) doi: 10.3969/j.issn.1000-7598.2004.09.033
[10] Yamada Y, Ishihara K. Anisotropic deformation characteristics of sand under three dimensional stress conditions. Soils and Foundations, 1979, 19(2): 79-94 doi: 10.3208/sandf1972.19.2_79
[11] Xiao Y, Zhang Z, Wang J. Granular hyperelasticity with inherent and stress-induced anisotropy. Acta Geotechnica, 2020, 15(3): 671-680 doi: 10.1007/s11440-019-00768-z
[12] Oda M, Koishikawa I, Higuchi T. Experimental study of anisotropic shear strength of sand by plane strain test. Soils and Foundations, 1978, 18(1): 25-38 doi: 10.3208/sandf1972.18.25
[13] Borja RI, Yin Q, Zhao Y. Cam-clay plasticity Part IX: On the anisotropy, heterogeneity, and viscoplasticity of shale. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2020, 360: 112695
[14] Fakharian K, Kaviani-Hamedani F, Imam SMR. Influences of initial anisotropy and principal stress rotation on the undrained monotonic behavior of a loose silica sand. Canadian Geotechnical Journal, 2020, 857: 417-430
[15] Matsuoka H, Yao YP, Sun DA. The cam-clay models revised by the SMP criterion. Soils and Foundations, 1999, 39(1): 81-95 doi: 10.3208/sandf.39.81
[16] Yao YP, Zhou AN, Lu DC. Extended transformed stress space for geomaterials and its application. Journal of Engineering Mechanics, 2007, 133(10): 1115-1123 doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2007)133:10(1115)
[17] Yao YP, Wang ND. Transformed stress method for generalizing soil constitutive models. Journal of Engineering Mechanics, 2014, 140(3): 614-629 doi: 10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0000685
[18] Yao YP, Hou W, Zhou AN. UH model: three-dimensional unified hardening model for overconsolidated clays. Géotechnique, 2009, 59(5): 451-469
[19] 罗汀, 姚仰平, 侯伟. 土的本构关系. 北京: 人民交通出版社, 2010 Luo Ting, Yao Yangping, Hou Wei. Soil Constitutive Models. Beijing: China Communication Press, 2010 (in Chinese)
[20] 姚仰平. UH模型系列研究. 岩土工程学报, 2015, 37(2): 193-217 (Yao Yangping. Advanced UH models for soils. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2015, 37(2): 193-217 (in Chinese) doi: 10.11779/CJGE201502001 Yao Yangping. Advanced UH models for soils. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2015, 37(2): 193-217 (in Chinese)) doi: 10.11779/CJGE201502001
[21] Casagrande A, Carillo N. Shear failure of anisotropic materials. Journal of Boston Society of Civil Engineers, 1944, 31(4): 74-81
[22] Arthur JRF, Chua KS, Dunstan T. Induced anisotropy in a sand. Géotechnique, 1977, 27(1): 13-30
[23] Vaid YP, Sayao A. Proportional loading behaviour of sand under multiaxial stresses. Journal of the Japanese Geotechnical Society Soils & Foundation, 2008, 35(3): 23-29
[24] Al-Sharrad MA, Gallipoli D, Wheeler SJ. Experimental investigation of evolving anisotropy in unsaturated soils. Géotechnique, 2017, 67(12): 1033-1049
[25] Zhou H, Liu HL, Zha YH, et al. Influence of stress anisotropy on the cylindrical cavity expansion in undrained elastic-perfectly plastic soil. Science China Technological Sciences, 2018, 61(3): 370-380 doi: 10.1007/s11431-017-9127-7
[26] Matsuoka H, Nakai T. Stress deformation and Strength characteristics of soil under three different principal stresses. Proceedings of the Japan Society of Civil Engineers, 1974, 232: 59-70
[27] Graham J, Li E. Comparison of natural and remolded plastic clay. Journal of Geotechnical Engineering, 1985, 111(7): 865-881 doi: 10.1061/(ASCE)0733-9410(1985)111:7(865)
[28] Henkel DJ. The shear strength of saturated remolded clays//Research Conference on Shear Strength of Cohesive Soils, Colorado, American, 533-554, 1960
[29] Hettler A, Vardoulakis I. Behaviour of dry sand tested in a large triaxial apparatus. Géotechnique, 1984, 34(2): 183-197
[30] Drescher A, Vardoulakis I. Geometric softening in triaxial tests on granular material. Géotechnique, 1982, 32(4): 291-304
[31] Cater JP. Predictions of the nonhomogeneous behaviour of clay in the triaxial test. Géotechnique, 1982, 32(1): 55-58
[32] Roscoe KH, Thurairajah A, Schofield AN. Yielding of clays in states wetter than critical. Géotechnique, 1963, 13(3): 211-240
[33] 三浦哲彦, 山本紀之. 粒子破砕領域における砂の降伏曲線について. 土木学会論文報告集, 1982, 1982(326): 83-90 Miura N, Yamamoto N. On the yield curve of sand in a particle-crushing region. Proceedings of the Japan Society of Civil Engineers, 1982, 1982(326): 83-90 (in Japanese))
[34] Miura N, Murata H, Yasufuku N. Stress-strain characteristics of sand in a particle-crushing region. Soils and Foundations, 1984, 24(1): 77-89 doi: 10.3208/sandf1972.24.77
[35] Roscoe KH, Burland JB. On the generalized stress-strain behaviour of ‘wet’ clay. Géotechnique, 1968, 7(2): 535-609
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