DYNAMIC CHARACTERISTICS OF MULTI-VEHICLE-BRIDGE COUPLING SYSTEM BASED ON INTELLIGENT DRIVING ELECTRIC VEHICLE
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摘要: 迫于能源和环保问题的压力, 电动汽车及智能驾驶受到了各国高度重视. 轮毂电机驱动电动汽车车轮振动剧烈, 与桥梁路面动力学相互作用更加突出, 现有研究主要针对传统汽车, 关于电动车轮与公路桥梁接触动力学相互作用及智能驾驶车队的多车−桥梁耦合作用研究尚不多见. 本文以轮毂电机驱动电动汽车为研究对象, 考虑车轮和桥面多点接触关系, 研究了两个智能驾驶汽车过桥时的车桥耦合动力学特性. 分析了电机质量、电机激励、轮胎悬架刚度非线性、车距、车速对系统振动特性的影响, 以及桥面不平顺激励、三重耦合激励对电动汽车平顺性的影响. 研究表明: 车距和车速是影响车−桥系统振动特性的重要因素, 在车−桥耦合动态设计中, 车距和车速的影响应重点关注; 桥面越平坦, 电机激励及桥面二次激励对车辆平顺性和道路友好性影响越加显著, 当汽车行驶在平坦桥面时两种激励对轮毂电机驱动电动汽车的影响不容忽视. 所建模型有望为智能驾驶电动汽车与桥梁的耦合作用研究提供理论参考.Abstract: Under the pressure of energy and environmental protection, the electric vehicle and intelligent driving have been attached great attention in recent years. The wheel vibration of the electric vehicle driven by hub motors is severe, which has the more interaction with the bridge pavement. Current studies are mainly aimed at traditional vehicles, while there are few works on the dynamic interaction between the electric wheels with highway bridge and the vibration of multi-vehicle-bridge coupling system based on intelligent driving fleets. In this paper, the researches are carried out based on the electric vehicle driven by hub motors. Considering the multi-point contact relationship between the wheel and bridge deck, the vehicle-bridge coupling dynamic characteristics of two intelligent driving electric vehicles driven by hub motors crossing the bridge are studied. The influences of motor mass, motor excitation, tire and suspension stiffness nonlinearity, vehicle distance and vehicle speed on vibration response of the coupling system, as well as the influences of bridge irregularities excitation and triple coupling excitation on ride comfort of the electric vehicle are analyzed. The results show that, the vehicle distance and vehicle speed are important factors which affecting the vibration characteristics of the vehicle-bridge coupling system. In the dynamic design of the vehicle-bridge coupling system, the influence of the vehicle distance and vehicle speed should be pay more attention. The more flat the bridge deck is, the more significant of influence of motor excitation and bridge deck secondary excitation on vehicle ride comfort and road friendliness are. When the vehicle is driving on a flat bridge deck, the influence of the two kinds of excitation on the hub motors electric vehicle should not be ignored. The proposed model in this paper is expected to provide a theoretical reference for the study of coupling vibration of the intelligent driving electric vehicles and bridge.
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引 言
面对全球气候变暖、能源危机、空气污染等现状, 迫于能源和环保问题的压力, 在新一轮科技革命下, 电动汽车及智能驾驶受到了各国的高度重视[1-4]. 轮毂电机分布式独立驱动电动汽车取消了传动系统, 使其控制灵活、空间大、效率高, 是目前电动汽车发展的大方向, 得到了行业内和学术界的极大关注[5-6]. 由于独特的构造特性, 独立驱动电动汽车的动力学研究也同样面临诸多新挑战: 轮毂电机直接安装在车轴上, 导致轮胎动载荷增加, 影响车辆平顺性; 电机电磁力和转矩波动会对车轮造成电机激励, 继而加剧车轮振动; 轮胎垂向动载会引起轮胎纵向力、横向力及力矩的波动, 影响轮胎地面附着特性.
针对独立驱动电动汽车的机电耦合振动特性, 学者们开展了相关研究. Wang等[7]研究发现, 当垂向电磁力直接施加在车轮上, 将导致轮胎负载显著变化. Zhao等[8]分析了轮毂电机电动车在道路影响和电机振动下, 悬架阻尼对垂向特性的影响. Li等[9]提出了一种主动悬架的多目标优化控制方法, 可有效减少轮毂电机的机电耦合负效应. 陈辛波等[10]设计了带有吸振器的三自由度车模型, 改善了电动汽车运行的平顺性. Shao等[11]建立了1/4汽车主动悬架与开关磁阻电机模型, 数值模拟发现路面不平度与电机气隙偏心率和不平衡残余力间存在高度耦合. 李哲等[12]提出了电磁主动悬架多目标粒子群优化方法, 改善了电动汽车垂向动力学响应. 冯桂珍等[13-14]考虑了电动汽车−路面系统机电耦合振动特性, 研究了多种因素对电动汽车平顺性的影响. 李韶华等[15]考虑了电机电磁激励、地基非线性和胎路多点接触, 建立了电动汽车−路面系统机电耦合动力学模型, 分析了不同因素对汽车和路面响应的影响. 以上对电动汽车机电耦合振动的研究中, 未涉及电动汽车在桥上行驶的工况, 未考虑车−桥耦合振动对车辆动力学特性的影响.
此外, 在智能驾驶电动汽车的研究中, 其重要关注点之一是协同式多车队列控制, 即车辆编队行驶[16-19]. 现有关于智能驾驶车队的研究多针对于控制策略方面, 车辆编队行驶时的动力学问题同样值得关注, 如多辆电动汽车编队过桥时的动力学行为.
关于车桥耦合作用问题, 近年来一直是交通运输领域研究热点之一[20]. 在应用梁、板理论建立桥梁模型进行处理时, 伽辽金法是一种常用分析方法, 可将控制方程离散得到常微分模态方程组[21-22]. Sheng等[23]考虑了桥梁几何非线性效应, 得到了车−桥耦合非线性振动模型, 数值分析了多种因素对桥梁和车辆振动特性的影响. Li等[24]应用达朗贝尔原理和伽辽金法, 考虑曲线梁“弯−扭耦合作用”[25], 对三向耦合力作用下曲线梁桥振动响应进行了理论分析. Ma等[26]采用三轴11自由度HS20-44卡车模型建立了车−桥耦合振动系统, 分析了15座连续梁桥的动力放大系数, 发现运动速度对共振有重要影响. 邓露等[27]建立了13座常见中小跨径公路混凝土简支梁桥的实体有限元模型, 结合能表征中国设计车辆荷载动力特性的三维车辆数值模型, 研究了不同因素对动力冲击系数的影响. Zhang等[28]在研究车−桥相互作用问题时提出了一种非线性多弹簧轮胎力模型, 基于此模型分析了路面不平顺和车辆跳离路面时的系统动力学特性. 当前研究中, 主要研究传统汽车的车桥耦合作用问题, 关于电动汽车与桥梁的动力相互作用分析, 还未见报道.
独立驱动电动汽车簧下质量大, 车轮振动剧烈, 相对于道路来说, 与桥梁的动力相互作用更加明显. 本文在此背景下, 考虑桥面不平顺激励、电机激励及车轮耦合激励的综合影响, 研究独立驱动电动汽车−桥梁耦合动力学行为, 建模时考虑了汽车轮胎和悬架的非线性刚度特性以及轮胎与路面的胎−路多点接触关系[29]. 本文的创新点主要在于: (1)考虑了独立驱动电动汽车和桥梁耦合振动的相互影响; (2)尝试分析了桥面上多辆独立驱动电动汽车同时行驶的情况(两车和三车). 所建模型有望为智能驾驶电动汽车与桥梁的耦合动力学研究及智能驾驶车队过桥时的工况参数设定提供一定的理论参考.
1. 基于四分之一电动汽车模型的多车−桥梁耦合系统建模
考虑车身和车轮的垂向振动, 建立了二自由度四分之一车辆模型, 轮毂电机与车轮固连. 桥梁采用两端简支欧拉−伯努利梁模型, 车、桥的接触采用轮胎与桥面的多点接触关系. 考虑了两辆参数相同的轮毂电机驱动电动汽车以间距l在跨度为L的桥上行驶, 电车悬架具有刚度平方、立方非线性特性, 轮胎具有刚度平方非线性特性. 车−桥耦合系统分析模型如图1所示.
考虑两车自左向右行驶, 应用达朗贝尔原理和欧拉−伯努利梁理论[30-31], 可推导出图1中独立驱动电动汽车和桥面的垂向振动控制方程为
$$ \begin{split} & {m_2}{{\ddot z}_2} + {k_2}\left( {{z_2} - {z_1}} \right) + {\beta _1}{k_2}{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)^2}+ \\ &\qquad {\beta _2}{k_2}{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)^3} + {c_2}\left( {{{\dot z}_2} - {{\dot z}_1}} \right) = 0 \end{split} $$ (1) $$ \begin{split} & \left( {{m_1} + {m_{\text{d}}}} \right){{\ddot z}_1} + \frac{{{c_1}}}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{{\dot z}_1} - {{\dot w}_{1i}} - {{\dot r}_{1i}}} \right)} + {c_2}\left( {{{\dot z}_1} - {{\dot z}_2}} \right) + \\ & \qquad \frac{{{k_1}}}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{z_1} - {w_{1i}} - {r_{1i}}} \right)} + {k_2}\left( {{z_1} - {z_2}} \right) + {\beta _1}{k_2}{\left( {{z_1} - {z_2}} \right)^2}+ \\ &\qquad {\beta _2}{k_2}{\left( {{z_1} - {z_2}} \right)^3} + {\beta _3}{k_1}{\left( {{z_1} - {w_1} - {r_1}} \right)^2} = {F_{1{\text{d}}}} \end{split}$$ (2) $$ \begin{split} & {m_2}{{\ddot z}_4} + {k_2}\left( {{z_4} - {z_3}} \right) + {\beta _1}{k_2}{\left( {{z_4} - {z_3}} \right)^2}+ \\ &\qquad {\beta _2}{k_2}{\left( {{z_4} - {z_3}} \right)^3} + {c_2}\left( {{{\dot z}_4} - {{\dot z}_3}} \right) = 0 \end{split} $$ (3) $$ \begin{split} & \left( {{m_1} + {m_{\text{d}}}} \right){{\ddot z}_3} + \frac{{{c_1}}}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{{\dot z}_3} - {{\dot w}_{2i}} - {{\dot r}_{2i}}} \right)} + {c_2}\left( {{{\dot z}_3} - {{\dot z}_4}} \right) + \\ &\qquad \frac{{{k_1}}}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{z_3} - {w_{2i}} - {r_{2i}}} \right)} + {k_2}\left( {{z_3} - {z_4}} \right) + {\beta _1}{k_2}{\left( {{z_3} - {z_4}} \right)^2} + \\ &\qquad {\beta _2}{k_2}{\left( {{z_3} - {z_4}} \right)^3} + {\beta _3}{k_1}{\left( {{z_3} - {w_2} - {r_2}} \right)^2} = {F_{2{\text{d}}}} \end{split} $$ (4) $$ EI\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {x^4}}} + m\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {t^2}}} = {F_1}\delta \left( {x - {x_{1t}}} \right) + {F_2}\delta \left( {x - {x_{2t}}} \right) $$ (5) 其中式(1)~式(4)分别表示前车和后车的动力学方程,
$ {z_1} $ 和$ {z_3} $ 为非簧载质量位移,$ {z_2} $ 和$ {z_4} $ 为簧载质量位移,$ {m_1},{m_2} $ 分别为非簧载质量、簧载质量,$ {m_{\text{d}}} $ 为电机及减速机构质量,$ {k_1},{k_2} $ 分别为轮胎和悬架刚度系数,$ {c_1},{c_2} $ 分别为轮胎和悬架阻尼系数,$ n $ 为轮胎与路面的多点接触数目,$ {\beta _1},\;{\beta _2} $ 和$ {\beta _3} $ 分别为电车悬架刚度的平方、立方非线性和轮胎刚度的平方非线性系数,$ {F_{1{\text{d}}}},{F_{2{\text{d}}}} $ 分别为电机垂向激励的合力.$ E $ 为梁材料的弹性模量,$ I $ 为梁截面对中性轴的惯性矩,$ m $ 为单位长度桥梁的质量,$ {F_1},{F_2} $ 分别为前、后电动汽车与桥面的相互作用力,$ \delta $ 为狄拉克函数,$ r $ 为桥面不平顺激励,$ x $ 为汽车行驶方向的位移,${x_{1 t}},{x_{2 t}}$ 分别为前车和后车在t时刻所在的位置.$ w $ 为桥梁的垂向振动位移,${w_1},{w_2}$ 分别为车桥耦合振动引起的前车和后车下方桥面二次位移激励.本文中考虑轮胎与桥面的多点接触关系, 即假设轮胎模型与桥面的接触是由多个接触点组成的线接触. 线接触纵向跨度为0.25 m, 接触点在纵向均匀分布, 选取6个等分点进行计算, 即取
$n = 6$ .考虑前后两电动汽车以速度v匀速行驶, 间距为l, 则式(5)中
${x_{1 t}},{x_{2 t}}$ 可表示为$$ {x_{1t}} = vt,\quad {x_{2t}} = vt - l $$ (6) 桥面不平顺幅值采用正弦激励的形式, 表示为
$$ r\left( t \right) = {B_0}\sin \left( {\frac{{2\text{π} v}}{{{L_0}}}t} \right) = {B_0}\sin \left( {\varOmega t} \right) $$ (7) 其中,
$ \varOmega = 2\text{π} v/{L_0} $ 为路面激励频率;$ {B_0},{L_0} $ 表示路面不平顺幅值及波长.文中电机选用开关磁阻电机, 其具有结构简单、启动性好、效率高、调速范围宽等优点, 适合在电动汽车上应用. 参照文献[13, 32-33], 电机垂向激励合力形式可表述为
$$ \left.{\begin{array}{l} {F_d} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{A_1} - {A_2},\quad nT \leqslant t \leqslant \left( {n + \dfrac{7}{{20}}} \right)T} \\ {0,\quad \quad \left( {n + \dfrac{7}{{20}}} \right)T < t \leqslant \left( {n + 1} \right)T} \end{array}} \right. \\ {A_1} = \dfrac{{{T_e}}}{R}\cos \left( {\dfrac{{a\text{π} }}{{30}}t} \right) \\ {A_2} = \dfrac{{{i^2}\left[ {{L_{\min }} + \dfrac{{a\text{π} {K_\theta }}}{{30}}(t - nT)} \right]}}{{2\sqrt {{b^2} + {{\left( {\dfrac{{a\text{π} r}}{{30}}} \right)}^2}{{\left[ {\dfrac{{7T}}{{20}} - \left( {t - nT} \right)} \right]}^2}} }}\sin \left( {\dfrac{{a\text{π} }}{{30}}t} \right) \end{array}}\right\} $$ (8) 其中,
$ T = 60/(a{N_r}) $ 为周期,$ a = 1500\;{\text{r}}/\min $ 为电机转速,$ {N_r} = 6 $ 为定子级数,$R = 0.05\;{\text{m}}$ 为定子半径,${T_e} = 165\;{\text{N}} \cdot {\text{m}}$ 为电磁转矩,$b = 0.001\;{\text{m}}$ 为定转子极间最短距离,$i = 1\;{\text{A}}$ 为额定电流,$ {K_\theta } = 82.5 $ 为$ L,\theta $ 关系曲线斜率,${L_{\min }} = 4.95\;{\text{H}}$ 为最小电感,$r = 0.047\;{\text{m}}$ 为转子半径.式(5)中, 前、后电动汽车与桥面的相互作用力
$ {F_1},{F_2} $ , 即动态轮胎力可表述为$$ \begin{split} & {F_1} = \frac{{{k_1}}}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{z_1} - {w_{1i}} - {r_{1i}}} \right)} + \frac{{{c_1}}}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{{\dot z}_1} - {{\dot w}_{1i}} - {{\dot r}_{1i}}} \right)}+ \\ &\qquad {\beta _3}{k_1}{\left( {{z_1} - {w_{1i}} - {r_{1i}}} \right)^2} - \left( {{m_1} + {m_2} + {m_d}} \right)g \end{split} $$ (9) $$ \begin{split} & {F_2} = \frac{{{k_1}}}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{z_3} - {w_{2i}} - {r_{2i}}} \right)} + \frac{{{c_1}}}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{{\dot z}_3} - {{\dot w}_{2i}} - {{\dot r}_{2i}}} \right)}+ \\ &\qquad {\beta _3}{k_1}{\left( {{z_3} - {w_{2i}} - {r_{2i}}} \right)^2} - \left( {{m_1} + {m_2} + {m_d}} \right)g \end{split} $$ (10) 与单车相比, 两车过桥存在前后车和桥梁间的振动耦合, 受车距影响较大. 当研究更多车同时行驶过桥时, 其建模方法与以上两车的方法相同, 只需将系统方程增加相应个汽车的自由度, 将式(9)和式(10)所示的车桥相互作用力扩展到多个并代入式(5)即可. 因此本文方法同样适用于更多车同时行驶过桥的情况.
2. 耦合模型的求解方法
描述桥梁振动的动力学方程式(5)为偏微分方程, 在计算时可采用假设模态法进行处理. 利用假设模态法, 将式中的时间和空间项分离, 转化为常微分方程, 进而应用伽辽金截断方法进行近似计算. 桥梁垂向振动位移可表示为
$$ w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{q_i}} \left( t \right){X_i}\left( x \right) $$ (11) 其中,
${q_i}\left( t \right)$ 表示桥梁垂向第i阶模态的广义坐标;${X_i}\left( x \right)$ 表示第i阶振型函数. 在简支边界条件下, 梁的第i阶振型可表示为$$ {X_i}\left( x \right) = \sin \frac{{{\rm{i}}\text{π} x}}{L} $$ (12) 其中L表示桥梁的长度.
本文计算时考虑了桥梁的前5阶模态函数近似, 即桥梁垂向振动位移为
$$ w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{i = 1}^5 {{q_i}} \left( t \right){X_i}\left( x \right) $$ (13) 将式(13)代入式(5), 应用伽辽金方法将方程乘以相应振型函数并沿梁长
$\left[ {0,L} \right]$ 进行积分. 考虑振型函数的正交性以及狄拉克函数的性质$$ \int_0^L {f\left( x \right)} \delta \left( {x - {x_0}} \right){\text{d}}x = f\left( {{x_0}} \right) $$ (14) 通过代数运算, 可得到电动汽车−桥梁耦合系统受迫振动的时变动力学方程组, 表示为
$$ {\boldsymbol{M}} { {{\boldsymbol{\ddot X}}} } + {\boldsymbol{C}} {{\boldsymbol{\dot X}}} + {\boldsymbol{K}} { {\boldsymbol{X}} } = { {\boldsymbol{F}} } $$ (15) 其中,
${\boldsymbol{X}}$ 为位移向量,${\boldsymbol{M}}$ 为质量矩阵,${\boldsymbol{C}}$ 为阻尼矩阵,${\boldsymbol{K}}$ 为刚度矩阵,${\boldsymbol{F}}$ 为荷载向量. 为了便于编程计算, 由悬架和轮胎刚度非线性引起的非线性力项写入${\boldsymbol{F}}$ 列阵中.由于电动汽车在桥梁上不断运动, 式(15)中系数矩阵
${\boldsymbol{M}},{\boldsymbol{C}},{\boldsymbol{K}},{\boldsymbol{F}}$ 的参数在不断变化, 动力学方程组为时变系数的二阶微分方程组, 本文采用Newmark-$\;\beta $ 方法编制程序求解. 根据数值积分计算出的桥梁垂向位移时程曲线, 由不同时刻两车所处位置, 可提取出汽车行驶过程中路面对车辆的二次位移激励.在求得每个振动响应量值后, 可采用均方根值作为振动性能指标, 响应量均方根值表示如下
$$ x = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} } $$ (16) 其中
$ {x_i} $ 为振动响应在各时刻的数值.3. 算例分析
电动汽车参数选取为: 非簧载质量
${m_1} = 40\;{\text{kg}}$ , 簧载质量${m_2} = 337.5\;{\text{kg}}$ , 减速机构和电机质量${m_{\text{d}}} = 30\;{\text{kg}}$ , 轮胎刚度系数${k_1} = 250\;000\;{\text{kN/m}}$ , 悬架刚度系数${k_2} = 196\;00\;{\text{kN/m}}$ , 轮胎阻尼系数${c_1} = 375\;{\text{N}}\cdot{\text{s/m}}$ , 悬架阻尼系数${c_2} = 1450\;{\text{N}}\cdot{\text{s/m}}$ , 悬架平方非线性刚度系数${\beta _1} = 0.1$ , 悬架立方非线性刚度系数${\beta _2} = 0.6$ , 轮胎平方非线性刚度系数${\beta _3} = 0.01$ , 两车间距$l = 10\;{\text{m}}$ , 车速$v = 10\;{\text{m/s}}$ . 桥梁系统参数选取为: 桥长$L = 30\;{\text{m}}$ , 单位长度质量$m = 1500\;{\text{kg/m}}$ , 抗弯刚度$EI = 6.72 \times {10^8}\;{\text{N}}{\cdot}{{\text{m}}^2}$ , 不平顺幅值${B_0} = 0.01\;{\text{m}}$ , 不平顺波长${L_0} = 10\;{\text{m}}$ .3.1 有效性验证
首先, 研究了桥梁振动选取不同模态截断阶数的收敛性, 分析了桥梁模态截断阶数对桥梁动力响应的影响. 考虑桥面不平顺幅值
${B_0} = 0.01\;{\text{m}}$ 、不平顺波长${L_0} = 10\;{\text{m}}$ , 两个电动汽车以车速$v = 10\;{\text{m/s}}$ 、车距$l = 10\;{\text{m}}$ 通过桥梁, 分别选取前1~5阶模态数, 得到了不同时刻全桥不同位置的挠度曲线和桥梁跨中挠度时程曲线如图2和图3所示. 表1给出了选取不同阶模态数时桥梁跨中挠度均方根值(root mean square value, RMSV)及相邻阶数均方根值差别.![]()
图 2 t = 1, 3 s时, 选取不同阶模态时全桥挠度曲线Figure 2. The deflection curves of the bridge with different modes at t = 1,3 s由图2、图3及表1可以看出: 当模态截断阶数选取2以上时, 不同时刻全桥的挠度曲线基本重合; 不同阶模态情况下, 桥梁跨中的位移时程曲线及均方根值相差非常小. 图3和表1中, 桥梁前1和2阶模态数和前3和4阶模态数跨中位移重合以及均方根值相等是由于偶数阶模态在跨中的位移为0. 实际上, 车辆荷载在桥上运行时间较短, 主要激发起桥梁的低阶振动模态, 因此本文选取前5阶模态进行计算, 能够很好地满足精度需求.
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图 3 选取不同阶模态时桥梁跨中挠度时程曲线Figure 3. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with different modes表 1 选取不同阶模态时桥梁跨中挠度均方根值及相邻阶数均方根值差别Table 1. The root mean square values of mid-span deflection of bridge with different modes and relative differences of adjacent modesMode RMSV Difference/% 1 0.0037723 0 2 0.0037723 0 3 0.0037672 0.1352 4 0.0037672 0 5 0.0037645 0.0716 3.2 电机质量、电机激励、非线性因素、车距、车速对桥面振动特性的影响
图4和图5分别给出了考虑不同电机质量时, 前车(first vehicle, FV)和后车(second vehicle, SV)的桥面二次位移激励以及桥面跨中垂向位移响应时程曲线.
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图 4 选取不同电机质量时桥面二次位移激励时程曲线Figure 4. The time history curves of bridge deck secondary excitation with different motor masses![]()
图 5 选取不同电机质量时桥梁跨中挠度时程曲线Figure 5. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with different motor masses由图4和图5可以看出: 随着电机质量的增加, 桥面的振动加剧, 桥面二次位移激励和桥跨中位移响应都增大. 当电机质量取15 kg和30 kg时, 桥面二次激励均方根值分别增加3.97%和7.94%(前车)、3.85%和7.71%(后车). 寻求轮毂电机的轻量化, 可以在一定程度上提高对桥梁、道路的友好性.
为了研究电机工作状态对桥梁振动的影响, 图6和图7给出了不考虑电机激励和考虑电机激励并且电机转速不同时, 前车和后车的桥面二次位移激励以及桥面跨中垂向位移响应的时程曲线.
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图 6 选取不同电机激励时桥面二次位移激励时程曲线Figure 6. The time history curves of bridge deck secondary excitation with different motor excitations![]()
图 7 选取不同电机激励时桥梁跨中挠度时程曲线Figure 7. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with different motor excitations从图6和图7中可以看出, 不考虑电机激励以及考虑电机激励且当电机转速为1500, 1000 r/min时对桥面二次位移和跨中挠度的影响不大. 当电机转速为500 r/min时, 由于激励周期改变引起振动曲线的波动, 表明此时车桥耦合效应更明显. 总体来说, 几种工况下桥面二次位移激励均方根值相差很小, 电机激励对桥梁的振动特性影响较小.
进一步, 考虑了电动车辆轮胎和悬架非线性刚度系数对桥面振动的影响. 图8中给出了考虑和不考虑非线性因素时, 桥梁跨中挠度时程曲线. 从图8中可以看出, 考虑和不考虑电动汽车非线性因素时, 桥梁振动位移曲线几乎重合.
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图 8 考虑和不考虑非线性因素时桥梁跨中挠度时程曲线Figure 8. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with consider and disregard nonlinearity表2给出了车辆非线性刚度系数取不同值时的两车桥面二次位移激励均方根值, 从表中可以看出, 选取较大非线性系数时, 两车的桥面二次位移激励均方根值仍差别不大. 由于刚度非线性引起的相互作用力与垂向相对位移的2次和3次方成比例, 当电动汽车和桥梁垂向位移较小时, 非线性因素引起的作用力更小, 因此, 文中汽车的悬架和轮胎刚度非线性对桥梁振动特性以及路面二次激励影响很小.
表 2 非线性系数取不同值时桥面二次位移激励均方根值Table 2. The root mean square values of bridge deck secondary excitation with different nonlinear coefficients${\beta _1}$ 0 10 20 FV 0.00334639 0.00332113 0.00329550 SV 0.00340481 0.00337996 0.00335843 ${\beta _2}$ 0 50 100 FV 0.00334614 0.00334614 0.00334614 SV 0.00340455 0.00340426 0.00340397 ${\beta _3}$ 0 5 10 FV 0.00334614 0.00334149 0.00333659 SV 0.00340458 0.00339322 0.00338858 图9和图10中分别给出了选取不同的两车间距对桥梁跨中位移和路面二次位移激励的影响情况. 从图9和图10中可以看出, 车距对桥梁振动和二次位移激励有较大影响, 随着车距的减小, 桥梁振动加剧, 两车的桥面二次位移激励明显增大. 相比于15 m的车距, 车距选取10 m和5 m时, 桥面二次激励均方根值分别增加了25.6%和53.4%(前车)、25.9%和51.1%(后车), 桥梁跨中挠度峰值分别增加了13.35%和20.40%.
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图 9 选取不同车距时桥面二次位移激励时程曲线Figure 9. The time history curves of bridge deck secondary excitation with different vehicle distances![]()
图 10 选取不同车距时桥梁跨中挠度时程曲线Figure 10. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with different vehicle distances图11进一步给出了三车过桥情况下不同车距对桥梁跨中位移的影响情况. 从图11中同样可以看出, 车距对多车过桥时振动特性的影响非常明显, 相比于15 m的车距, 车距选取10 m和5 m时, 桥梁跨中挠度峰值分别增加了17.12%和44.46%. 因此, 当多个车辆同时通过桥梁时, 车距是影响系统振动特性的一个重要因素. 近年来, 随着智能驾驶技术的发展, 智能车队通过桥梁的情况越来越多, 在车队过桥前应根据多车−桥梁耦合动力学分析结果合理设定车距, 以保证车辆行驶的平顺性和桥梁的耐久性、安全性.
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图 11 三车过桥不同车距时桥梁跨中挠度时程曲线Figure 11. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with different vehicle distances for three vehicles图12和图13中给出了电动汽车不同行驶车速对桥梁跨中位移和路面二次位移激励的影响情况.
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图 12 选取不同车速时桥面二次位移激励时程曲线Figure 12. The time history curves of bridge deck secondary excitation with different vehicle speeds![]()
图 13 选取不同车速时桥梁跨中挠度时程曲线Figure 13. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with different vehicle speeds从图12和图13中可以看出, 车速对桥梁振动和二次位移影响较明显, 车速的提升, 出现位移峰值的时间缩短, 位移峰值并非随车速的增加单调增大. 相比于车速为10 m/s, 当车速取为15 m/s和20 m/s时, 桥面二次激励均方根值分别增加1.9%和4.4%(前车)、4.7%和5.7%(后车). 图14进一步给出了三车过桥时不同车速对桥梁跨中位移的影响情况. 从图14同样可以看出, 随着车速提升, 桥梁跨中挠度出现峰值的时间缩短, 且峰值并非随车速增加而单调增大, 这与两车情况类似. 因此, 当多个车辆经过桥梁时, 车速对车桥耦合系统振动的影响也是不容忽视的, 在智能驾驶车队过桥前, 应根据多车−桥梁耦合动力学分析结果合理设定车速.
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图 14 三车过桥不同车速时桥梁跨中挠度时程曲线Figure 14. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with different vehicle speeds for three vehicles3.3 电机激励、车速、桥面不平顺激励、车距、三重耦合激励对车辆行驶平顺性的影响
针对于文中电动汽车−桥梁耦合系统, 进一步分析了不同工况对电动汽车行驶平顺性的影响情况. 车辆的行驶平顺性指标主要为: 车身加速度、悬架动挠度、轮胎相对动载. 本文研究的独立驱动电动汽车, 由于簧下质量振动剧烈, 补充了车轮加速度为评价指标之一.
考虑第一辆电动汽车, 其车身垂向加速度指标表示为
$ {\ddot z_2} $ , 车轮垂向加速度指标表示为$ {\ddot z_1} $ , 悬架动挠度指标表示为$ {z_2} - {z_1} $ , 轮胎相对动载表示为$$ {F_{1r}} = \frac{{\dfrac{{{k_1}}}{6}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{z_1} - {w_i} - {r_i}} \right)} + \frac{{{c_1}}}{6}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{{\dot z}_1} - {{\dot w}_i} - {{\dot r}_i}} \right)} + {\beta _3}{k_1}{{\left( {{z_1} - w - r} \right)}^2}}}{{\left( {{m_1} + {m_2} + {m_d}} \right)g}} $$ (17) 类似地, 第二辆电动汽车的车身垂向加速度指标表示为
$ {\ddot z_4} $ , 车轮垂向加速度指标表示为$ {\ddot z_3} $ , 悬架动挠度指标表示为$ {z_4} - {z_3} $ , 轮胎相对动载表示为$$ {F_{2r}} = \dfrac{{\dfrac{{{k_1}}}{6}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{z_3} - {w_i} - {r_i}} \right)} + \frac{{{c_1}}}{6}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{{\dot z}_3} - {{\dot w}_i} - {{\dot r}_i}} \right)} + {\beta _3}{k_1}{{\left( {{z_3} - w - r} \right)}^2}}}{{\left( {{m_1} + {m_2} + {m_d}} \right)g}} $$ (18) 在后文研究中, 定义指标1为车身垂向加速度, 指标2为悬架动挠度, 指标3为车轮垂向加速度, 指标4为轮胎相对动载. 图15给出了前车4个平顺性指标的位移时程曲线. 可以看出由于电机激励的存在, 导致车轮垂向加速度值增大.
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图 15 前车4个平顺性指标时程曲线Figure 15. The time history curves of four ride comfort indexes of first vehicle类似3.2节, 悬架和轮胎刚度非线性对电动汽车振动特性影响很小, 因此在算例分析中并未给出结果.
首先研究了电机激励对电动汽车振动特性的影响情况. 表3给出了不同电机激励工况下两车的4个平顺性指标均方根值, 其中电机激励(motor excitation, ME)和无激励(no motor excitation, NME)考虑电机质量, 无电机(no motor, NM)不考虑电机质量和激励.
表 3 不同电机激励情况下平顺性指标均方根值Table 3. The root mean square values of ride comfort indexes with different motor excitationsME Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.7512637 0.0086458 36.0152089 0.0926743 SV 0.7603110 0.0088057 36.1252287 0.0950474 NME Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.5656559 0.0086142 0.4664723 0.0797586 SV 0.5780783 0.0087935 0.4595906 0.0820047 NM Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.5608293 0.0085426 0.4954468 0.0839643 SV 0.5728288 0.0087151 0.4899481 0.0862821 从表3中可以看出: 电机激励使车身垂向加速度增大明显, 这降低了车辆的乘坐舒适性; 悬架动挠度值略有增加, 这对悬架行程限度的要求变大; 轮胎相对动载增大, 略微增大了轮胎、地面附着能力并降低了道路友好性; 电机激励对车轮垂向加速度影响非常明显, 有无电机激励, 车轮垂向加速度差距显著. 综合来看, 电机激励在一定程度上降低了车辆平顺性和道路友好性.
进一步分析了车速对电动汽车振动特性的影响, 表4给出了不同车速工况下两车的4个平顺性指标均方根值. 表4中的数据表明: 车速增加使车身垂向加速度增大较明显, 降低了车辆的乘坐舒适性; 车速对车轮垂向加速度影响不大, 车轮垂向加速度主要受电机激励影响; 轮胎相对动载增大, 增大了轮胎、地面附着能力并降低了道路友好性. 可以看出, 车速对车辆平顺性和道路友好性也有较大影响.
表 4 不同车速情况下平顺性指标均方根值Table 4. The root mean square values of ride comfort indexes with different vehicle speedsv = 10 m/s Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.7512637 0.0086458 36.0152089 0.0926743 SV 0.7603110 0.0088057 36.1252287 0.0950474 v = 20 m/s Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.8911322 0.0092226 35.9892211 0.1087254 SV 0.9157432 0.0098392 36.0233338 0.1091283 v = 40 m/s Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 1.1557695 0.0084153 36.4536057 0.1598099 SV 1.1938592 0.0094305 36.3471981 0.1625517 桥面不平顺激励是影响汽车振动特性的主要激励形式之一. 表5给出了考虑不同桥面不平整度时的电动汽车平顺性指标均方根值. 由表5中可以看出: 和车速工况类似, 桥面不平顺度对车轮垂向加速度影响不大, 其主要受电机激励影响; 当不平顺幅值
$ {B_0} $ 越大、不平顺波长$ {L_0} $ 越小, 即桥面越不平坦时, 车身垂向加速度、悬架动挠度和轮胎相对动载的值越大; 且当$ {B_0} $ 越大时, 随着$ {L_0} $ 的改变, 车身垂向加速度、悬架动挠度和轮胎相对动载的值变化越大. 表5中数据表明桥面不平顺激励是影响车辆平顺性和道路友好性的重要因素.表 5 不同桥面不平顺情况下平顺性指标均方根值Table 5. The root mean square values of ride comfort indexes with different bridge irregularities${B_0}=0.01\;{\text{m} },$
${L_0}=10\;{\text{m} }$Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.751264 0.008646 36.015209 0.092674 SV 0.760311 0.008806 36.125229 0.095047 ${B_0}=0.01\;{\text{m} },$
${L_0}=5\;{\text{m} }$Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.903971 0.009573 36.038672 0.139675 SV 0.910145 0.009663 36.149850 0.140616 ${B_0}=0.001\;{\text{m} },$
${L_0}=10\;{\text{m} }$Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.500517 0.001395 36.009985 0.047929 SV 0.498587 0.001182 36.119231 0.047630 ${B_0}=0.001\;{\text{m} },$
${L_0}=5\;{\text{m} }$Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.502619 0.001403 36.010475 0.049373 SV 0.503057 0.001408 36.119823 0.049226 表6给出了考虑不同车距时的电动汽车平顺性指标均方根值. 由表6中可以看出: 车距的改变对第一辆车4个指标的影响并不大; 相较而言, 车距的改变对第二辆车产生了较大的影响, 除车轮垂向加速度外其余指标均发生了较明显变化.
表 6 不同车距情况下平顺性指标均方根值Table 6. The root mean square values of ride comfort indexes with different vehicle distancesl = 5 m Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.7455626 0.0085276 36.0164544 0.0923293 SV 0.6275483 0.0059638 36.0373885 0.1330738 l = 10 m Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.7512637 0.0086458 36.0152089 0.0926743 SV 0.7603110 0.0088057 36.1252287 0.0950474 l = 15 m Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.7418674 0.0084425 36.0156214 0.0921129 SV 0.6097439 0.0054968 36.0894158 0.1358966 进一步给出了不同车距下车身垂向加速度、悬架动挠度和轮胎相对动载的变化情况, 如图16所示. 从图16中可以清晰看出, 车距的改变对前车的车身垂向加速度、悬架动挠度和轮胎相对动载几乎无影响, 而对后车的车身垂向加速度、悬架动挠度和轮胎相对动载产生明显影响, 其中对轮胎相对动载影响最显著. 在车距为7 m和17 m时, 后车相对动载达到峰值, 而在车距为10 m时, 后车相对动载与前车几乎无变化. 后车车身垂向加速度和悬架动挠度变化幅值不及相对动载, 但趋势类似, 均在车距为5 m和17 m达到最小值, 在车距为11 m时达到峰值(略大于前车数值). 车身垂向加速度、悬架动挠度和轮胎相对动载的变化会影响车辆乘坐舒适性、悬架行程限度、胎路附着能力以及道路友好性, 因此在研究多车辆过桥问题时, 车辆行驶间距的影响不容忽视.
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图 16 不同车距情况下两车指标均方根值Figure 16. The root mean square values of the ride comfort indexes with different vehicle distances进一步, 综合考虑了电动汽车(electric vehicle, EV)平顺性指标(ride comfort index, RCI)在三重激励耦合作用下相比于单一激励的差别. 三重激励为桥面不平顺激励(bridge irregularity, BI)、电机激励以及桥面二次位移激励(secondary excitation, SE). 由于车轮垂向加速度显著受电机激励控制, 表7中未列出其指标值的变化.
表 7 三重激励相较于桥面不平顺单一激励的平顺性指标均方根值对比Table 7. The comparison of root mean square values of ride comfort indexes between different excitationsRCI EV BI SE ME ${B_0}/{\rm{m} }$ 0.01 0.001 Index 1 FV √ √ −0.66% 34.5% √ √ √ 31.9% 778.9% SV √ √ 1.52% 6.7% √ √ √ 33.5% 775.6% Index 2 FV √ √ −1.04% 35.2% √ √ √ −0.67% 60.2% SV √ √ 1.02% 7.43% √ √ √ 1.16% 35.8% Index 4 FV √ √ 51.1% 72.2% √ √ √ 75.6% 807.8% SV √ √ 55.3% 44.6% √ √ √ 80% 802.2% 由表7可以看出: 综合考虑3种激励(桥面不平顺激励, 电机激励, 桥面二次位移激励)与考虑2种激励(桥面不平顺激励, 桥面二次位移激励)及只考虑单一激励(桥面不平顺激励)的对比, 考虑三重激励时指标幅值明显增加; 当桥面越平坦时(即不平顺幅值
$ {B_0} $ 越小), 平顺性指标增加越明显, 对电动汽车的影响越显著.4. 结 论
本文建立了独立驱动电动汽车−桥梁耦合系统动力学模型, 应用假设模态法和伽辽金方法将描述桥梁振动的偏微分方程转化为常微分方程并与车辆振动方程联立, 利用Newmark-
$\beta $ 法进行数值积分求解. 分析计算了多车−桥梁耦合系统的动力学响应, 研究了不同因素对桥梁和电动汽车动力学响应的影响情况, 得出的主要结论如下.(1)电机质量主要对桥面振动有影响, 电机激励对电动汽车加速度指标影响较大.
(2)在电动汽车垂向相对位移较小时, 汽车刚度非线性因素对桥梁和汽车振动特性影响很小, 为简化计算可考虑线性模型建模.
(3)当考虑多车过桥时, 车距和车速对桥梁振动特性和电动汽车平顺性指标影响都很大. 在智能驾驶车队过桥前, 应对多车−桥梁耦合系统进行动态设计, 以合理设定车距和车速, 从而保证车辆的平顺性和桥梁的耐久性、安全性.
(4)桥面不平顺激励是影响车辆振动特性的重要因素. 当综合考虑耦合激励影响时, 桥面越平坦, 电机激励及桥面二次激励对车辆平顺性和道路友好性的影响越加显著. 当汽车行驶在平坦桥面时, 电机激励及桥面二次激励对独立驱动电动汽车的影响不容忽视.
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图 2 t = 1, 3 s时, 选取不同阶模态时全桥挠度曲线
Figure 2. The deflection curves of the bridge with different modes at t = 1,3 s
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图 3 选取不同阶模态时桥梁跨中挠度时程曲线
Figure 3. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with different modes
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图 4 选取不同电机质量时桥面二次位移激励时程曲线
Figure 4. The time history curves of bridge deck secondary excitation with different motor masses
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图 5 选取不同电机质量时桥梁跨中挠度时程曲线
Figure 5. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with different motor masses
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图 6 选取不同电机激励时桥面二次位移激励时程曲线
Figure 6. The time history curves of bridge deck secondary excitation with different motor excitations
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图 7 选取不同电机激励时桥梁跨中挠度时程曲线
Figure 7. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with different motor excitations
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图 8 考虑和不考虑非线性因素时桥梁跨中挠度时程曲线
Figure 8. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with consider and disregard nonlinearity
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图 9 选取不同车距时桥面二次位移激励时程曲线
Figure 9. The time history curves of bridge deck secondary excitation with different vehicle distances
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图 10 选取不同车距时桥梁跨中挠度时程曲线
Figure 10. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with different vehicle distances
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图 11 三车过桥不同车距时桥梁跨中挠度时程曲线
Figure 11. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with different vehicle distances for three vehicles
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图 12 选取不同车速时桥面二次位移激励时程曲线
Figure 12. The time history curves of bridge deck secondary excitation with different vehicle speeds
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图 13 选取不同车速时桥梁跨中挠度时程曲线
Figure 13. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with different vehicle speeds
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图 14 三车过桥不同车速时桥梁跨中挠度时程曲线
Figure 14. The time-history curves of mid-span deflection of bridge with different vehicle speeds for three vehicles
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图 15 前车4个平顺性指标时程曲线
Figure 15. The time history curves of four ride comfort indexes of first vehicle
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图 16 不同车距情况下两车指标均方根值
Figure 16. The root mean square values of the ride comfort indexes with different vehicle distances
表 1 选取不同阶模态时桥梁跨中挠度均方根值及相邻阶数均方根值差别
Table 1 The root mean square values of mid-span deflection of bridge with different modes and relative differences of adjacent modes
Mode RMSV Difference/% 1 0.0037723 0 2 0.0037723 0 3 0.0037672 0.1352 4 0.0037672 0 5 0.0037645 0.0716 
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表 2 非线性系数取不同值时桥面二次位移激励均方根值
Table 2 The root mean square values of bridge deck secondary excitation with different nonlinear coefficients
${\beta _1}$ 0 10 20 FV 0.00334639 0.00332113 0.00329550 SV 0.00340481 0.00337996 0.00335843 ${\beta _2}$ 0 50 100 FV 0.00334614 0.00334614 0.00334614 SV 0.00340455 0.00340426 0.00340397 ${\beta _3}$ 0 5 10 FV 0.00334614 0.00334149 0.00333659 SV 0.00340458 0.00339322 0.00338858
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表 3 不同电机激励情况下平顺性指标均方根值
Table 3 The root mean square values of ride comfort indexes with different motor excitations
ME Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.7512637 0.0086458 36.0152089 0.0926743 SV 0.7603110 0.0088057 36.1252287 0.0950474 NME Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.5656559 0.0086142 0.4664723 0.0797586 SV 0.5780783 0.0087935 0.4595906 0.0820047 NM Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.5608293 0.0085426 0.4954468 0.0839643 SV 0.5728288 0.0087151 0.4899481 0.0862821
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表 4 不同车速情况下平顺性指标均方根值
Table 4 The root mean square values of ride comfort indexes with different vehicle speeds
v = 10 m/s Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.7512637 0.0086458 36.0152089 0.0926743 SV 0.7603110 0.0088057 36.1252287 0.0950474 v = 20 m/s Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.8911322 0.0092226 35.9892211 0.1087254 SV 0.9157432 0.0098392 36.0233338 0.1091283 v = 40 m/s Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 1.1557695 0.0084153 36.4536057 0.1598099 SV 1.1938592 0.0094305 36.3471981 0.1625517
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表 5 不同桥面不平顺情况下平顺性指标均方根值
Table 5 The root mean square values of ride comfort indexes with different bridge irregularities
${B_0}=0.01\;{\text{m} },$
${L_0}=10\;{\text{m} }$Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.751264 0.008646 36.015209 0.092674 SV 0.760311 0.008806 36.125229 0.095047 ${B_0}=0.01\;{\text{m} },$
${L_0}=5\;{\text{m} }$Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.903971 0.009573 36.038672 0.139675 SV 0.910145 0.009663 36.149850 0.140616 ${B_0}=0.001\;{\text{m} },$
${L_0}=10\;{\text{m} }$Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.500517 0.001395 36.009985 0.047929 SV 0.498587 0.001182 36.119231 0.047630 ${B_0}=0.001\;{\text{m} },$
${L_0}=5\;{\text{m} }$Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.502619 0.001403 36.010475 0.049373 SV 0.503057 0.001408 36.119823 0.049226
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表 6 不同车距情况下平顺性指标均方根值
Table 6 The root mean square values of ride comfort indexes with different vehicle distances
l = 5 m Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.7455626 0.0085276 36.0164544 0.0923293 SV 0.6275483 0.0059638 36.0373885 0.1330738 l = 10 m Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.7512637 0.0086458 36.0152089 0.0926743 SV 0.7603110 0.0088057 36.1252287 0.0950474 l = 15 m Index 1 Index 2 Index 3 Index 4 FV 0.7418674 0.0084425 36.0156214 0.0921129 SV 0.6097439 0.0054968 36.0894158 0.1358966
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表 7 三重激励相较于桥面不平顺单一激励的平顺性指标均方根值对比
Table 7 The comparison of root mean square values of ride comfort indexes between different excitations
RCI EV BI SE ME ${B_0}/{\rm{m} }$ 0.01 0.001 Index 1 FV √ √ −0.66% 34.5% √ √ √ 31.9% 778.9% SV √ √ 1.52% 6.7% √ √ √ 33.5% 775.6% Index 2 FV √ √ −1.04% 35.2% √ √ √ −0.67% 60.2% SV √ √ 1.02% 7.43% √ √ √ 1.16% 35.8% Index 4 FV √ √ 51.1% 72.2% √ √ √ 75.6% 807.8% SV √ √ 55.3% 44.6% √ √ √ 80% 802.2%
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