摘要: 工程材料或多或少地含有某些缺陷,如位错,夹杂物,裂纹等等。这些缺陷的存存,往往严重地影响材料的物理性质。关于缺陷对材料机械性质的影响的专门研究可以追溯到1934年Taylor关于位错的工作,1961年Eshelby处理非均匀夹质物的巧妙方法,1960年Bristow关于含有微观裂纹的弹性体的研究以及1962年Hashin和Shtrikman处理非均匀弹性材料的变分原理。我们知道这些非统计的方法确实能对某些含有缺陷的材料的有效机械性质给出合理的估计,但是在另外一些情形它们却不适用。这是由于在这些方法中所使用的缺陷的周期分布或均匀随机分布的假定并不真实地反映了材料的微观结构。因此有必要研究某种能考虑到材料微观结构的模型。此外,在实际材料中,不同类型的缺陷往往同时存在。可是以往处理不同的缺陷却要使用不同的方法。因此寻找出一种统一处理的方法可以使问题得以简化。本文的目的就是要试图解决这两个问题。使用由Siems,Kovacs以及Zhou和Hsieh等发展起来的模拟缺陷的弹性多极子方法,对应地我们发展一个基于微观力学分析的统计理论。这个理论使我们有可能在缺陷的离散微观结构与宏观的连续近似之间建立起一座桥梁,并且可以使我们从一个共同的基础上导出各种类型的缺陷体的宏观性质。作为这个理论的具体应用,文中将给出两个例子。前一个例子是研究弹性体中微观裂纹群与一个宏观裂纹相互作用的问题。在这个问题中,由于宏观裂纹的存在,使得在裂纹尖端处的应力场发生急剧的变化。因此通常用于处理微观裂纹群的均匀有效应力场的假定(Hill,Budjansky)不再适用。1983年Chudnovsky和Kachanov注意到了这个事实。他们用一个推广了的自洽方法研究了二维的宏观裂纹与微观裂纹群的相互作用问题。Zhou和Hsieh则考虑了三维宏观裂纹与微观缺陷群的相互作用问题。可是,正如对一切离散的微观结构系统进行分析所导致的结果一样,这个适用于非均匀有效应力场的广义自洽方法给出了一组用于确定大量的微观缺陷“中心”处的未知的有效应力的线性代数方程,尽管原则上可以求解这组方程。运用本文所发展的弹性多极子统计理论,这组离散的线性代数方程可以被简化成一个用于确定平均有效应力场的自洽的线性积分方程。这个积分方程可以较容易地被求解。文中给出的第二个例子是关于确定含有非均匀随机分布的微观缺陷的弹性体的有效弹性模量。