RESEARCH ON DYNAMIC MECHANICAL RESPONSE AND CONSTITUTIVE MODEL OF PORCINE LIVER
-
摘要: 在交通事故中，腹部器官常因冲击载荷作用而受到伤害，严重时甚至危及生命.肝损伤是腹部损伤中最为常见的一种，致死率很高，了解肝脏的动态力学性能对于事故中肝脏的损伤评估及防护设计有着重要的意义.从新鲜的猪肝组织中取肝实质部分制作试样，利用英斯特朗材料试验机对其进行两种加载率（0.004 s-1，0.04 s-1）和两种加载方向（垂直肝脏表面和平行于肝脏表面）的准静态压缩试验，并压缩至破坏.利用改进的分离式霍普金森压杆（split Hopkinson pressure bar，SHPB）实验装置沿平行于肝脏表面方向进行三种高应变率（1 300 s-1，2 400 s-1，4 500 s-1）的动态压缩试验.结果表明：所有应变率下的猪肝压缩应力应变曲线都呈非线性凹向上特征，初始阶段应力值很低，应变约30%后应力幅值显著增大；准静态压缩时，两种应变率（0.004 s-1，0.04 s-1）和两种加载方向下肝脏组织破坏应力和破坏应变等力学性能无显著不同，平均破坏应变为48%，平均破坏应力为0.45 MPa.高应变率下肝脏组织的流动应力明显高于准静态下的流动应力，表现出一定的率敏感性.采用Yeoh型超弹性本构模型描述猪肝组织准静态力学性能，基于黏超弹性模型理论，提出了一个能描述肝脏组织从低应变率到高应变率范围力学性能的率相关本构模型，该模型与实验结果有很好的一致性.Abstract: Impact-induced injuries to the abdominal organs appear frequently in traffic accidents and even cause serious life-threatening. The liver is one of the most vulnerable abdominal organs, leading to high mortality rate. An understanding of the dynamic mechanical behaviors of the liver could aid in the design of the safety equipment to effectively reduce the occurrence of liver injury. The specimens of liver parenchyma were harvested from the fresh porcine livers. The Instron material testing machine was used to obtain the quasi-static responses up to the point of failure at the two strain rates (0.004 s-1 and 0.04 s-1) and two loading directions (perpendicular and parallel directions to the liver surface). The high strain rate (1 300 s-1, 2 400 s-1, 4 500 s-1) experiments were performed using the modified SHPB equipment along the liver surface. The results show that all stress-strain curves are nonlinear and concave upward. Stress level of curves is very low at the initial stage up to about 30% strain, and then increases steeply. No significant differences in the failure stress (about 0.45 MPa) and strain (about 48%) were observed for two loading rates and directions at quasi-static tests. However, it was found that the liver tissue became much stiffer at high strain rates than at quasi-static rates, indicating the strain rate dependence. The Yeoh hyperelastic material model was used to characterize the mechanical behaviors of the liver at quasi-static loading. Based on an improved visco-hyperelastic model, a rate-dependent constitutive model was proposed to describe the responses of the liver from the low strain rates to high strain rates. The model is found to be in excellent agreement with the experimental results.
-
Keywords:
- liver /
- dynamic mechanical response /
- SHPB /
- constitutive model /
- high strain rate
-
引言
交通事故无时无刻不在威胁着人类的生命安全.在交通事故中，人体的组织和器官往往会因冲击载荷的作用而受到损伤，进而危及生命.据Lamielle等[1]对法国交通事故的统计发现：1980---1999年间的交通伤以头颈损伤为主，然而，随着汽车防护装置的改善，头颈损伤比例大幅降低，腹部损伤反而占据极高的比例，保护腹部器官免受损伤变得非常重要.而且由于腹部器官所处的特殊位置，周围较少有硬组织保护，损伤往往非常严重，给人类生命带来严重威胁.腹部器官中，肝损伤是其中最为常见的一种，且致死率很高，保护肝脏在冲击中免受伤害尤为重要.有限元数值仿真是安全防护设计的一个重要手段，通过数值模拟[2-3]，可以分析组织器官在冲击时的受力和变形情况.但要得到有效的仿真结果，需要了解组织器官真实的力学性能以提供准确的材料本构模型，因此，充分的了解肝脏组织在冲击载荷作用下的力学性能并发展相应的材料本构模型具有极其重要的意义.
Yamada[4]和Melvin等[5]较早便关注腹部组织器官的力学性能，分别以兔和猕猴为研究对象研究了腹脏器官的力学性能.但之后数年相关研究较少，直到近二十年来，交通安全问题越来越受关注，人体各类组织器官的力学性能也越来越受重视，使用的试验手段也越来越多样.一些研究者们利用压缩试验[6-8]、压痕实验[9-10]、拉伸实验[11-12]、各种低频黏弹性实验等方法[13-16]对肝脏的力学性能展开了研究.此外，一些非创伤性的影像技术，如磁共振弹性成像技术(MRE)[17]及超声成像技术[18]等也被应用来研究肝脏的力学性能，但是这些试验大多是在较低应变率下进行的.
在汽车碰撞及其他冲击事件中，人体的组织器官所经受的应变率通常远超准静态的应变率范围，有时会高达10 $^{3}$ s $^{-1}$ 量级，这就要求必须对其在高应变率下的力学性能有所了解. Sparks等[19]曾对人尸的肝脏进行落锤冲击实验，研究其动力学性能，但应变率范围也仅为19.7 s $^{-1}$ ~62.5 s $^{-1}$ .近些年，一些研究者开始尝试利用分离式霍普金森压杆(split Hopkings pressure bar, SHPB)实验装置来测试各类动物软组织如皮肤[20]、肌肉[21-24]、脑组织[25]及其他器官[26]的冲击力学性能，Clemmer等[27]利用高聚物霍普金森压杆技术获得了猪肝在应变率为550 s $^{-1}$ 时的应力应变曲线. Pervin等[28]以牛的肝脏为研究对象，通过改进的SHPB实验技术获得了应变率高达10 $^{3}$ s $^{-1}$ 量级下牛肝的动态压缩应力应变曲线.
由于伦理等方面的限制，通常采用动物组织和器官作为替代品来近似研究人类组织器官的力学性能.而组织器官的力学性能会受动物种类的影响[13]，选择与人体组织器官力学性能更接近的动物为研究对象，其参考意义会越大. Brunon等[11]在单轴拉伸试验条件下，研究发现，未经冷冻的新鲜猪肝组织与人类肝脏的力学性能较为接近.因而，猪肝可作为一种理想的替代品，用于研究人体肝脏组织的动态力学性能.
由于肝脏组织的动态力学性能实验数据较为缺乏，目前查到的肝脏本构模型大多是基于准静态实验发展而来的，他们通常将肝脏组织看作超弹性材料，采用不同形式的应变能函数得到一个率无关的超弹性本构模型.即使一些研究者考虑了肝脏组织的黏弹性特征，但其黏弹性本构模型也仅是基于较低应变率实验所得到的参数，只能描述低应变率下的黏弹性现象. Sparks等[19]基于非晶高聚物有限变形理论，发展了人类肝脏率相关本构模型，但其描述的应变率范围为19.7 s $^{-1}$ ~62.5 s $^{-1}$ ，仅属中应变率范围.而因高应变率下肝脏的实验数据较为缺乏，目前还没有查阅到与试验结果相比较的高应变率下的率型本构模型.
本文通过英斯特朗(Instron)材料试验机对猪肝组织的准静态力学性能进行了研究，分别考察准静态下应变率和加载方向对猪肝组织力学性能的影响，应变率分别为0.004 s $^{-1}$ 和0.04 s $^{-1}$ ，加载方向分别为平行肝脏表面和垂直表面的准静态试验，并一直压缩至破坏，以获得压缩时的破坏应力和破坏应变.利用改进的SHPB实验装置对猪肝组织在高应变率下(1 300 s $^{-1}$ ，2 400 s $^{-1}$ ，4 500 s $^{-1}$ )的力学性能进行了研究.基于橡胶类材料的黏超弹性本构模型理论，发展出了能描述猪肝在很宽应变率范围力学性能的率型本构模型.
1. 材料和方法
1.1 试样准备
试验所用肝脏均取自生猪，生猪宰后切割出肝脏部分，约3 h后送入实验室.为了保持器官组织的水分，送入试验室后，在准备试样及实验前的过程中，定时喷洒生理盐溶液.为尽量减少死后时间对组织力学性能的影响，每次实验控制在死后8 h以内.
1.2 猪肝准静态压缩实验
从结构上看，肝脏的表面有一薄层致密的结缔组织构成的被膜.被膜深入肝内形成网状支架，将肝实质分隔为许多具有相似形态和相同功能的被称为肝小叶的基本单元.本次猪肝压缩试验的试样均取自肝实质部分，首先用手术刀小心剔除外层薄薄的被膜，再用锋利的陶瓷刀沿着垂直于猪肝表面和平行于猪肝表面的方向仔细切出厚度约6 mm的片状试样，然后用打磨锋利的环形钻具，尽量避开大的脉管，钻取直径约为12 mm的圆柱形试样，最终的试样尺寸由游标卡尺三次测量取平均值确定.压缩载荷沿着圆柱形试样的轴向施加，如图 1所示，P方向代表试样加载的轴线方向垂直于猪肝的表面，L方向代表试样加载的轴线方向平行于猪肝的表面.实验过程中对等待检测的圆柱形试样喷洒生理溶液保持湿度.所有准静态压缩试验均在Instron材料试验机上进行，使用250 N量程的小载荷传感器，载荷控制精度为示值的0.5%，加载应变率分别控制为0.004 s $^{-1}$ 和0.04 s $^{-1}$ .
1.3 猪肝动态压缩实验
SHPB实验技术已被广泛用于各类材料的动态力学性能测试，该实验技术建立在两个基本假定的基础上，即杆中的一维应力波假定和试样中的应力均匀假定.对于生物软组织材料，由于其强度及波阻抗极低，在进行SHPB试验时，会遇到透射信号小、均匀性假定难满足、试样径向惯性效应引起的轴向应力附加值影响较大等困难.一些研究者为此提出了许多改进的方法，例如选用低广义波阻抗的高聚物杆[27]或中空铝杆[25]作为透射杆，以及利用高灵敏度传感器等方法来获取高信噪比的透射信号[22]；通过波形整形技术及减小试样厚度的方法使得试样尽快满足均匀假定[21, 24]；选用中空环形试样代替传统的圆形试样的方法[21]，或利用数值修正方法来减小径向惯性效应的影响[22].
本次SHPB实验所用杆件均为超硬铝，杆件直径均为14.5 mm，入射杆和透射杆长度均为1 500 mm，子弹长为600 mm，试验时采用了如下的改进技术.
(1) 采用长子弹加载及多层医用橡皮膏对入射波进行整形，得到有一定升时及加载平台的梯形入射波.
(2) 考虑到猪肝试样尺寸较小且极为柔软，形状不易保持稳定，制作环形试样易破坏组织，且内外径的测量会带来误差，故试样仍设计为圆柱形. Yang等[29]研究表明，应力波需要在试样中传播数个来回，试样才能达到应力均匀.由于软组织波速较低，为尽快使得试样达到均匀，必须尽量减小试样的厚度，故选用的圆柱形试样厚度约为2 mm，直径约为10 mm，试样的加工方法与准静态实验相同.
(3) 试样两端涂抹植物油以减小试样两端的摩擦.
(4) 入射杆上粘贴电阻应变片用来采集入射应变信号 $\varepsilon _{\rm I} (t)$ 和反射应变信号 $\varepsilon _{\rm R} (t)$ .试样两端各置一片直径为14.5 mm，厚度为0.2 mm的 $X$ 切石英压电片来检测试样与入射杆交界面处的压力信号 $P_1 (t )$ 及试样与透射杆交界面的压力信号 $P_2 (t )$ .为保护石英片及便于引线，石英片的两面用导电胶各粘贴一个同直径的薄铝片(厚度为1.2 mm).肌肉材料有一定的导电性，试样与铝垫片之间用绝缘胶布隔离.作者曾在研究肌肉软组织的SHPB实验技术时[22]，通过对比透射杆上的半导体应变片得到的透射应变，及后端面石英片压力信号计算出的透射应变，发现两者具有很好的一致性，但半导体应变片噪音信号较大.故这里后端面的石英片同时用于对透射信号的检测.透射应变可用下式计算
$$ \varepsilon _{\rm T} ( t) = P_2 ( t) / \left( {EA} \right) $$ (1) 其中 $E$ , $A$ 分别为透射杆的弹性模量和截面积.
在两个基本假定满足的条件下，试样的应变率、应变、应力可用下式来计算
$$\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\dot \varepsilon = \frac{{2{C_0}}}{{{l_{\rm{s}}}}}\left( {{\varepsilon _{\rm{I}}}(t) - \frac{{{P_2}(t)}}{{EA}}} \right)}\\ {\varepsilon (t) = \frac{{2{C_0}}}{{{l_{\rm{s}}}}}\int_0^t {\left( {{\varepsilon _{\rm{I}}}(t) - \frac{{{P_2}(t)}}{{EA}}} \right){\rm{ d}}t} }\\ {\sigma (t) = {P_2}(t)/{A_{\rm{s}}}} \end{array}} \right\}$$ (2) 改进后的SHPB实验装置如图 2所示，利用该装置对猪肝组织进行动态试验，所得的典型波形如图 3所示(应变率为4 500 s $^{-1}$ 时).
对比图 3中两石英片的信号，发现入射加载波处于上升阶段，前端面的石英片信号明显大于后端面，曲线表现出一个凸起的尖峰信号.平台加载阶段两者大小基本一致.进入卸载阶段，前端面石英片信号又明显小于后端面. Casem等[30]曾对这一现象进行了分析，并提出了修正垫片惯性力影响的方法.利用该方法对前端面石英片的力信号进行修正，与后端面石英片的力信号进行对比，如图 4所示.这说明试样两端的应力在加载的大部分时间重合较好，能够满足均匀假定.
![]()
图 4 修正后前端面的压力曲线与后端面压力曲线Figure 4. Modified force curve at front end and force curve at back end为了使试样尽快进入应力均匀状态，采用了薄片试样的方法，但是，当试样的长径比过小时，径向惯性效应会引起轴向应力附加，对于强度很低的软材料，径向惯性引起的轴向应力附加值很可能与材料力学性能的应力值在同一个量级. Song等[21]为此提出了环形试样的设计方法，Pervin等[25]在牛肝组织的动态测试也应用了该方法，但是肝组织极软，其形状不易稳定，环形试样加工困难，尺寸测量的误差也会对试样结果造成一定的影响.作者等曾在猪后腿肌肉试验中，利用Kolsky提出的径向惯性效应引起的轴向应力附加值公式对这一影响进行了数值修正[22]
$$ \sigma _{zz} = \dfrac{1}{8}\rho \upsilon ^2a^2\ddot {\varepsilon } = k\ddot {\varepsilon } $$ (3) 其中， ρ， $\upsilon $ ， $a$ ， $\ddot {\varepsilon }$ 分别表示试样的密度，泊松比、半径及应变加速度.由于轴向应力附加值与应变加速度成正比，故试验时，采用梯形波加载，在较长的平台段， $\ddot {\varepsilon } \approx 0$ ，径向惯性效应引起的轴向应力较小.试样径向惯性效应主要在加载的初始阶段对透射应力信号造成较大影响，即在小应变时对试验结果造成影响.因生物软组织开始阶段应力幅值极小，假定测得的透射应力信号主要由径向惯性效应引起，即令 $\sigma _{zz} (\Delta t) = \sigma (\Delta t)$ ，得到 $k$ 值，从而避免测定每个试样的密度和泊松比.由此，对得到的透射应力信号进行修正，如图 5所示.
![]()
图 5 试验透射应力及消除径向惯性效应后的透射应力Figure 5. Stress measured and stress by radial inertial correction2. 实验结果和讨论
2.1 准静态实验
通过准静态实验，可以得到猪肝组织在两种应变率(0.004 s $^{-1}$ ，0.04 s $^{-1}$ )、两种加载方向下( $P$ 向和 $L$ 向)的应力应变曲线，每条曲线均由9次实验曲线平均得到，如图 6所示.可以看出，猪肝组织的应力应变曲线在破坏之前呈现出凹向上非线性特征，初始阶段应力幅值极低，当应变超过30%后，肝脏组织逐渐被压实，应力迅速增大，直至达到最大的压缩强度.将此时的应力定义为破坏应力，相应的应变定义为破坏应变.每种条件下的破坏应力和破坏应变结果如表 1所示.在这之后，应力出现了一个小幅波动的平台段，最终应力迅速下降.
![]()
图 6 猪肝准静态下的压缩应力应变曲线Figure 6. The stress-strain curves for porcine liver at quasi-static compression表 1 肝脏组织压缩破坏应力和破坏应变Table 1. Failure stress an failure strain for porcine liver compression
从图 6可以看出，应变率从0.004 s $^{-1}$ 提高到0.04 s $^{-1}$ ，猪肝组织的力学性能无显著变化. Hu等[31]对猪肝组织的研究中也发现应变率在0.001~0.01 s $^{-1}$ 范围，其力-位移曲线几乎没有变化.但应变率继续增大，量级从10 $^{ -2}$ s $^{-1}$ 提高到10 $^{0}$ s $^{-1}$ ，Hu等[32]发现，应变率对猪肝的力学性能影响不可忽略.从图 3还可以发现，两种加载方向下，猪肝组织的平均应力应变曲线也十分接近，这说明，在实验所用试样的尺度来看，猪肝组织可看作各向同性材料. Pervin等[25]对牛肝在不同加载方向的实验中，也得出了相同的结论.
基于单因素方差分析法(ANOVA)分别分析应变率和加载方向对破坏应力和破坏应变的影响，发现两种应变率下和两种加载方向下破坏应力和破坏应变无显著差别.若将所有条件下的破坏应力和破坏应变取平均值，则可得到肝脏组织的平均破坏应力为0.45 MPa，破坏应变为48%.
2.2 动态实验结果
通过改进的SHPB实验装置沿L方向对猪肝组织进行了动态压缩实验，共有三组应变率，分别为1 300 s $^{-1}$ ，2 400 s $^{-1}$ ，4 500 s $^{-1}$ .每条曲线均由九次实验曲线平均得到，应力应变曲线如图 7所示.为对比，图中增加了L向应变率为0.04 s $^{-1}$ 时的应力应变曲线.可以发现，高应变率时的应力应变曲线的形状与准静态时相似，也表现出凹向上的非线性特征，开始时应力幅值较低，应变约为30%后，应力幅值迅速增大.但动态实验未能给出猪肝组织的破坏性能，高应变率时应力应变曲线中的应力最大值对应的是载荷结束时刻的应力值，而非破坏应力.
![]()
图 7 猪肝高应变率下的压缩应力应变曲线Figure 7. Dynamic compressive stress-strain curves for porcine liver高应变率条件下，猪肝组织的力学性能体现出一定的率敏感性.当应变为30%时，应变率从1 300 s $^{-1}$ 变化到4 500 s $^{-1}$ 时，应力从0.08 MPa变化到0.19 MPa.对比高应变率和准静态时的应力应变曲线，可以发现，高应变率时的流动应力相比准静态显著增加. Sparks等[19]发现，在钝冲击条件下(应变率为19.7 s $^{-1}$ ~62.5 s $^{-1}$ )人死后肝脏组织的力学性能具有明显的应变率效应. Pervin等[25]发现牛肝组织在中应变率和高应变率范围也表现出明显的应变率效应.将Sparks和Pervin等的实验结果与本研究结果进行对比，如图 8所示.本文和Pervin等得到的肝脏应力应变曲线形状相似，初始应力水平很低，而Sparks等则存在一个较大的初始模量.这很可能是由于落锤试验在加载开始阶段，试样的惯性所导致的尖峰，而并非试样本身的力学性能.对比Pervin等的实验结果，发现和本文得到的应力幅值在同一量级.但是本文得到的应力应变曲线在应力迅速上升阶段，上升的速度更快.这有可能是因为试样所取研究对象不同所导致.
3. 猪肝的率型本构模型
由前文中的准静态试验结果可知，在低应变率下，猪肝组织的力学性能受应变率和加载方向的影响很小，可近似把猪肝组织看成各向同性均匀材料.考虑到肝组织的高含水量，可以将其看作不可压材料[8].且从准静态应力应变曲线形状来看，猪肝的应力应变曲线表现出橡胶类超弹性材料的非线性凹向上特征.一种基于应变能函数的唯象本构模型常用来描述橡胶类材料的超弹性性能[33]，一些有限元软件中也提供了几种常用的应变能密度函数如：Mooney-Rivlin函数[34]、Odgen函数[35]，Yeoh函数[36-37]等.一些研究者基于这些常用的应变能密度函数，或进行适当修正，发展了描述各类生物软组织等材料超弹性特征的本构模型[7-8].这里也将通过选用合适的应变能密度函数，来发展低应变率条件下肝组织的超弹性本构模型.
由SHPB实验结果可知，高应变率时肝脏组织的强度相比准静态时有所提高，表现出明显的应变率效应.为了完整描述猪肝组织从准静态到高应变率条件下的力学性能，将本构模型通过两部分简单相加得到，其中一部分用来表示准静态时的超弹性力学性能，一部分用来表示高应变率下的应变率效应，该方法在发展橡胶和肌肉等材料的率型本构时也常被应用[38-40]，即
$$ {\pmb \sigma }\left( {{\pmb \varepsilon }, \dot{\pmb\varepsilon }} \right) = {\pmb \sigma }^{\rm e}\left( {\pmb \varepsilon } \right) + {\pmb \sigma }^{\rm v}\left( {{\pmb \varepsilon }, \dot{\pmb\varepsilon }} \right) $$ (4) 式中， ${\pmb \sigma}^{\rm e}\left( {\pmb \varepsilon }\right)$ 表示准静态时的超弹性性能， ${\pmb \sigma }^{\rm v}\left( {{\pmb \varepsilon }, \dot {\pmb\varepsilon }} \right)$ 表示高应变率时的率相关黏弹性性能.
3.1 超弹性本构模型
根据有限变形理论，一个材料点变形前位于 ${\pmb X}$ ，变形后位于 ${\pmb x}$ ，那么变形梯度为 ${\pmb F} = \partial {\pmb x}/ \partial {\pmb X}$ ，右Cauchy-Green张量用 ${\pmb C} = {\pmb F}^{\rm T}{\pmb F}$ 来表示. ${\pmb C}$ 的三个不变量可记为
$$\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{I_1} = {\rm{tr}}(\mathit{\boldsymbol{C}}) = \lambda _1^2 + \lambda _2^2 + \lambda _3^2}\\ {{I_2} = \frac{1}{2}\left[ {I_1^2 - {\rm{tr}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{C}}^2}} \right)} \right] = \lambda _1^2\lambda _2^2 + \lambda _2^2\lambda _3^2 + \lambda _3^2\lambda _1^2}\\ {{I_3} = \det (\mathit{\boldsymbol{C}}) = \lambda _1^2\lambda _2^2\lambda _3^2} \end{array}} \right\}$$ (5) 式中， $\lambda _1 $ ， $\lambda _2 $ ， $\lambda _3 $ 表示三个主伸长率.当材料不可压时， $I_3 = 1$ .对不可压各向同性材料，应变能密度函数通常为应变不变量 $I_1 $ 和 $I_2 $ 的函数.
利用ANSYS有限元软件提供的超弹性模型拟合功能，用几种常见的超弹性模型对肝组织准静态应力应变曲线进行拟合发现，二参数和三参数的Mooney模型及Odgen模型在描述大应变时(应变超过25%)与试验结果相差较大.五参数的Mooney模型及Yeoh模型能较好地描述肝组织准静态力学性能，考虑到尽量减少模型参数，因此选用Yeoh模型来表示，该模型只包含不变量 $I_1 $ ，应变能密度函数为
$$ W = C_{10} (I_1 - 3) + C_{20} (I_1 - 3)^2 + C_{30} (I_1 - 3)^3 $$ (6) 其中， $C_{10} $ ， $C_{20} $ ， $C_{30} $ 为材料参数.
对不可压超弹性材料，主Cauchy应力通常可由下式来确定
$$ \sigma _i ^{\rm e} = \lambda _i \dfrac{\partial W}{\partial \lambda _i } - p^{\rm e} \ \ \left( {i = 1, 2, 3} \right) $$ (7) 这里 $p^{\rm e}$ 为超弹性材料的静水压力.
将式(5)和式(6)代入式(7)可得
$$ \sigma _i ^{\rm e} = 2\lambda _i ^2\left[{C_{10} + 2C_{20} \left( {I_1-3} \right) + 3C_{30} \left( {I_1- 3} \right)^2} \right] - p^{\rm e} $$ (8) 对单轴压缩实验，令 $\lambda _1 = \lambda $ 表示加载方向的伸长率， $\sigma _1 ^{\rm e} = \sigma ^{\rm e}$ 表示第一主Cauchy应力，在不可压假定下，有 $\lambda _2 = \lambda _3 = \lambda ^{ - 1/2}$ ，另两个主应力为 $\sigma _2 ^{\rm e} = \sigma _3 ^{\rm e} = 0$ ，则有
$$\sigma ^e = 2\lambda^2\left[{C_{10} + 2C_{20} \left( {I_1-3} \right) + 3C_{30} \left( {I_1 -3} \right)^2} \right] - p^{\rm e}$$ (9) $$0 = 2\lambda ^{ - 1}\left[{C_{10} + 2C_{20} \left( {I_1-3} \right) + 3C_{30} \left( {I_1- 3} \right)^2} \right] - p^{\rm e} $$ (10) 联立式(9)、式(10)可得
$$\begin{array}{l} {\sigma ^{\rm{e}}} = 2\left( {{\lambda ^2} - {\lambda ^{ - 1}}} \right)\left[ {{C_{10}} + 2{C_{20}}({\lambda ^2} + 2{\lambda ^{ - 1}} - 3)} \right. + \qquad \\ \quad \quad \left. {3{C_{30}}{{({\lambda ^2} + 2{\lambda ^{ - 1}} - 3)}^2}} \right] \end{array}$$ (11) 主伸长率 $\lambda = 1 + \varepsilon $ ， $\varepsilon $ 为工程应变，压缩时为负.主Cauchy应力 $\sigma ^e = T^e\lambda $ ， $T^e$ 为工程应力，压缩为负.
因准静态条件下，不同应变率和不同加载方向下的平均应力应变曲线十分接近，这里选用应变率为0.04 s $^{-1}$ 沿着肝脏表面加载方向下得到的工程应力应变曲线来进行拟合，可以得到参数 $C_{10} $ , $C_{20}$ , $C_{30} $ ，如表 1所示.
3.2 黏弹性材料模型
黏弹性材料的力学行为与之前的变形历史有关，对均匀各向同性不可压黏弹性材料，其本构关系可由下式来表示[41]
$$ {\pmb \sigma }^{\rm v} = - p^{\rm v}{\pmb I } + {\pmb F}(t) \cdot \mathop {\pmb \varOmega }\limits_{\tau = - \infty }^t \left\{ {{\pmb C }(\tau )} \right\} \cdot {\pmb F }^{\rm T}(t) $$ (12) 式中， ${\pmb \sigma }^v$ 为黏弹性部分的主Cauchy应力张量， $p^v$ 是黏弹性材料的静水压力.函数 ${\pmb \varOmega }$ 反映应变历史对应力的影响，对此前人已经提出了多种形式的近似表达式，例如BKZ模型[42]中函数 $ {\pmb \varOmega}$ 采用单积分形式来表示
$$ {\pmb \varOmega }_{\rm BKZ} = {\pmb I}\int_{ - \infty }^t {} {A(t - \tau )} \dfrac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}\tau }{\rm tr}({\pmb E}(\tau )){\rm{d}}\tau +\\ \qquad 2\int_{ - \infty }^t {} B(t - \tau ) \dot {\pmb E} (\tau ){\rm{d}}\tau $$ (13) 式中, $A\left( {t - \tau } \right)$ 和 $B\left( {t - \tau } \right)$ 表示与时间或应变率相关的函数， ${\pmb E}$ 为Green应变张量， $ {\pmb E} = \left( {{\pmb C} - {\pmb I}} \right) / 2$ ， $ \dot {\pmb E} = \dot {\pmb C} / 2$ .
若忽略式(13)中第一个积分项的影响，令
$$ A(t - \tau ) = 0 , \ \ B(t) = B_1 m(t) $$ (14) 这里 $B_1 $ 为材料参数， $m(t)$ 为随时间递减的松弛函数，通常松弛函数 $m\left( t \right)$ 可表示为
$$ m(t) = \sum\limits_{i = 1}^N {} \exp \left( { - \dfrac{t - \tau }{\theta _i }} \right) $$ (15) 为了尽量减少模型参数，取 $N = 1$ .则应变历史相关的矩阵函数 ${\pmb \varOmega }$ 可表示为
$$ \mathop {\pmb \varOmega }\limits_{\tau = - \infty }^t \left\{ { {\pmb C}(\tau )} \right\} = \int_0^t {} B_1 \exp \left( { - \dfrac{t - \tau }{\theta }} \right) \dot {\pmb C}(\tau ){\rm{d}}\tau $$ (16) 通过分析应力应变曲线，发现同一应变处应力并非随着应变率线性增大，若 $B_1 $ 用常数表示，则无法描述这一现象.因而，这里将 $B_1 $ 表示为右Cauchy-Green张量 ${\pmb C}$ 的不变量及不变量的时间导数的函数，令
$$ B_1 = \left( {1 + A_1 \dot {I}_2^{\rm C} } \right)\left[{\bar {C}_{10} + 2\bar {C}_{20} (I_1-3)} \right] $$ (17) 式中， $A_1 $ , $\bar {C}_{10} $ , $\bar {C}_{20} $ 为材料常数.将式(16)和式(17)代入式(12)，可得
$$\begin{align} & {\mathit{\boldsymbol{\sigma }}^{\rm{v}}} = - {p^{\rm{v}}}\mathit{\boldsymbol{I}} + \mathit{\boldsymbol{F}}(t)\cdot \left\{ \int_{0}^{t}{\left( 1+{{A}_{1}}\dot{I}_{2}^{\rm{C}} \right)}\left[ {{{\bar{C}}}_{10}} \right. \right.+ \\ & \quad \quad \left. \left. 2{{{\bar{C}}}_{20}}({{I}_{1}}-3) \right]\overset{.}{\mathop{\mathit{\boldsymbol{C}}}}\,\exp \left( -\frac{t-\tau }{\theta } \right)\rm{d}\tau \right\}\cdot {{\mathit{\boldsymbol{F}}}^{\rm{T}}}(t)\rm{ } \\ \end{align}$$ (18) 3.3 黏超弹性模型
将式(18)代入式(3)可得近似表达式，例如BKZ模型[42]中函数 ${\pmb\varOmega}$ 采用单积分
$$\begin{align} & \mathit{\boldsymbol{\sigma }} = {\mathit{\boldsymbol{\sigma }}^{\rm{e}}} - {p^{\rm{v}}}\mathit{\boldsymbol{I}} + \mathit{\boldsymbol{F}}(t)\cdot \left\{ \int_{0}^{\tau }{\left( 1+{{A}_{1}}\dot{I}_{2}^{\rm{C}} \right)\left[ {{{\bar{C}}}_{10}}+ \right.} \right.\rm{ }\qquad \\ & \quad \quad \left. \left. 2{{{\bar{C}}}_{20}}({{I}_{1}}-3) \right]\overset{.}{\mathop{\mathit{\boldsymbol{C}}}}\,\exp \left( -\frac{t-\tau }{\theta } \right)\rm{d}\tau \right\}\cdot {{\mathit{\boldsymbol{F}}}^{\rm{T}}}(t)\rm{ } \\ \end{align}$$ (19) 对单轴压缩应力状态，在不可压假定下， ${\pmb F}$ 和 ${\pmb C}$ 的表达式如下
$$ {\pmb F} = \left[\!\!\begin{array}{ccc} \lambda && \\ &{\lambda ^{-1 / 2}} & \\ & &{\lambda ^{-1 / 2}} \end{array}\!\! \right] , \ \ {\pmb C} = \left[\!\! \begin{array}{ccc} {\lambda ^2} & & \\ &{\lambda ^{-1}} & \\ & &{\lambda ^{-1}} \end{array}\!\! \right] $$ (20) 由 $\sigma _1 = \sigma $ 可得
$$\begin{array}{l} \sigma = - {p^v} + {\sigma ^e} + {\lambda ^2}\int_0^t {2\left( {1 + {A_1}\dot I_2^{\rm{C}}} \right)\left[ {{{\bar C}_{10}} + } \right.} \\ \quad \quad \left. {2{{\bar C}_{20}}({I_1} - 3)} \right]\lambda \dot \lambda \exp \left( { - \frac{{t - \tau }}{\theta }} \right){\rm{d}}\tau {\rm{ }} \end{array}$$ (21) 由 $\sigma _2 = \sigma _3 = 0$ 可得到
$$\begin{array}{l} {p^v} = - {\lambda ^{ - 1}}\int_0^t {\left( {1 + {A_1}\dot I_2^{\rm{C}}} \right)} \left[ {{{\bar C}_{10}} + } \right.{\rm{ }}\\ \quad \left. {2{{\bar C}_{20}}({I_1} - 3)} \right]{\lambda ^{ - 2}}\dot \lambda \exp \left( { - \frac{{t - \tau }}{\theta }} \right){\rm{d}}\tau {\rm{ }} \end{array}$$ (22) 因 $I_1 = \lambda ^2 + 2\lambda ^{ - 1}$ ， $\dot {I}_2^C = 2\left( {1 - \lambda ^{ - 3}} \right)\dot {\lambda }$ ，可得
$$ \sigma = \sigma ^e + \left( {2\lambda ^3 + \lambda ^{ - 3}} \right)\left[ {1 + 2A_1 \left( {1-\lambda ^{-3}} \right)\dot {\lambda }} \right]\cdot \\ \qquad \left[{\bar {C}_{10} + 2\bar {C}_{20} (\lambda ^2 + 2\lambda ^{-1}-3)} \right]\theta \dot {\lambda }\left[{1-\exp \left( {-\dfrac{\lambda- 1}{\theta \dot {\lambda }}} \right)} \right] $$ (23) 这里 $\sigma ^e$ 由式(11)确定， $A_1 $ , $\bar {C}_{10} $ , $\bar {C}_{20} $ 和θ为材料参数， $\lambda = 1 + \varepsilon = 1 + \dot {\lambda }t$ ， $\dot {\lambda } = \dot {\varepsilon }$ ， $\varepsilon $ 与 $\dot {\varepsilon }$ 分别表示工程应变和工程应变率，应力应变以压缩为负.通过拟合高应变率下的工程应力应变曲线，可得到各参数值， $C_{10}, C_{20}, C_{30}, \bar C_{10}, \bar C_{20}$ 分别为9.668 $\times$ 10 $^5$ , 0.0026, 0.0232, 0.3359, 0.0675 MPa, $A_1$ 为0.906 $\times$ 10 $^{-5}$ MPa, $\theta$ 为18.485 μs.拟合的结果如图 9所示，发现拟合结果与实验数据重复较好，这一模型参数将为肝脏器官在冲击下的损伤评估及防护设计提供重要的材料依据.
![]()
图 9 肝脏应力应变曲线与本构拟合Figure 9. Comparison between predicted and experimental stress-strain curves4. 结论
利用Instron材料试验机和改进的SHPB实验装置对新鲜猪肝组织进行了两种低应变率(0.004 s $^{-1}$ ，0.04 s $^{-1}$ )和三种高应变率(1 300 s $^{-1}$ , 2 400 s $^{-1}$ , 4 500 s $^{-1}$ )的单轴压缩实验，并在低应变率条件下进行了两种加载方向的压缩试验，研究了应变率和加载方向对猪肝组织力学性能的影响.结果发现猪肝组织表现出明显的应变率效应，高应变率时猪肝组织的强度相比低应变率时有了明显的提高.但加载方向对猪肝组织的力学性能无明显影响，因而可将其看作各向同性材料.准静态条件下，还研究了猪肝组织的破坏性能，发现两种应变率和加载方向下其破坏应力和破坏应变无显著差别，破坏应力约为0.45 MPa，破坏应变约为48%.
为描述准静态时猪肝组织的力学性能，将其看作不可压各向同性超弹性材料，采用Yeoh应变能密度函数，发展猪肝组织准静态低应变率下的超弹性本构模型.基于黏弹性理论，考虑高应变率时的应变率效应，提出了能描述很宽应变率范围猪肝组织的率型本构模型，该模型可为肝脏器官在冲击下的损伤评估及防护设计提供重要的材料依据.
-
![]()
图 4 修正后前端面的压力曲线与后端面压力曲线
Figure 4. Modified force curve at front end and force curve at back end
![]()
图 5 试验透射应力及消除径向惯性效应后的透射应力
Figure 5. Stress measured and stress by radial inertial correction
![]()
图 6 猪肝准静态下的压缩应力应变曲线
Figure 6. The stress-strain curves for porcine liver at quasi-static compression
![]()
图 7 猪肝高应变率下的压缩应力应变曲线
Figure 7. Dynamic compressive stress-strain curves for porcine liver
![]()
图 9 肝脏应力应变曲线与本构拟合
Figure 9. Comparison between predicted and experimental stress-strain curves
表 1 肝脏组织压缩破坏应力和破坏应变
Table 1 Failure stress an failure strain for porcine liver compression
下载: 导出CSV
-
[1] Lamielle S, Cuny S, Foret-Bruno J, et al. Abdominal injury patterns in real frontal crashes:influence of crash conditions, occupant seat and restraint systems//50th Annual proceedings/Association for the Advancement of Automotive Medicine. 2006, 50:109-124
[2] Pachera P, Pavan PG, Todros S, et al. A numerical investigation of the healthy abdominal wall structures. Journal of Biomechanics, 2016, 49(9):1818-1823 doi: 10.1016/j.jbiomech.2016.04.019
[3] Cheng L, Hannaford B. Finite element analysis for evaluating liver tissue damage due to mechanical compression. Journal of Biomechanics, 2015, 48(6):948-955 doi: 10.1016/j.jbiomech.2015.02.014
[4] Yamada H. Strength of Biological Materials. Baltimore:Williams and Wilkins, 1970 http://agris.fao.org/agris-search/search.do?recordID=US201300469409
[5] Melvin J, Stalnaker R, Roberts V, et al. Impact injury mechanism in abdominal organs//Proceedings of the 17th Stapp Car Crash Conference. Society of Automotive Engineers, Warrendale, PA:1973, 115-126
[6] Kemper AR, Santago AC, Stitzel JD, et al. Effect of strain rate on the material properties of human liver parenchyma in unconfined compression. Journal of Biomechanical Engineering, 2013, 135:104503-104508 doi: 10.1115/1.4024821
[7] Umale S, Deck C, Bourdet N, et al. Experimental mechanical characterization of abdominal organs:Liver, kidney & spleen. Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, 2013, 17:22-33 doi: 10.1016/j.jmbbm.2012.07.010
[8] Gao Z, Lister K, Desai JP. Constitutive modeling of liver tissue experiment and theory. Annals of Biomedical Engineering, 2010, 38(2):505-516 doi: 10.1007/s10439-009-9812-0
[9] Yarpuzlu B, Ayyildiz M, Tok OE, et al. Correlation between the mechanical and histological properties of liver tissue. Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, 2014, 29(SI):403-416 https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/24184864?format=text
[10] Kugler M, Hostettler A, Soler L, et al. Numerical simulation and identification of macroscopic vascularised liver behaviour:Case of indentation tests. Bio-Medical Materials and Engineering, 2017, 28(s1):S107-S111 doi: 10.3233/BME-171631
[11] Lu Y, Kemper AR, Untaroiu CD. Effect of storage on tensile material properties of bovine liver. Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, 2014, 29(SI):339-349 http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/24148876
[12] Untaroiu CD, Lu YC, Siripurapu SK, et al. Modeling the biomechanical and injury response of human liver parenchyma under tensile loading. Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, 2015, 41:280-291 doi: 10.1016/j.jmbbm.2014.07.006
[13] Mattei G, Ahluwalia A. Sample, testing and analysis variables affecting liver mechanical properties:A review. Acta Biomaterialia, 2016, 45:60-71 doi: 10.1016/j.actbio.2016.08.055
[14] Mattei G, Tirella A, Gallone G, et al. Viscoelastic characterisation of pig liver in unconfined compression. Journal of Biomechanics, 2014, 47(11):2641-2646 doi: 10.1016/j.jbiomech.2014.05.017
[15] Ayyildiz M, Cinoglu S, Basdogan C. Effect of normal compression on the shear modulus of soft tissue in rheological measurements. Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, 2015, 49:235-243 doi: 10.1016/j.jmbbm.2015.05.011
[16] Zhu Y, Chen X, Zhang X, et al. Modeling the mechanical properties of liver fibrosis in rats. Journal of Biomechanics, 2016, 49(9):1461-1467 doi: 10.1016/j.jbiomech.2016.03.013
[17] Brinker S, Klatt D. Demonstration of concurrent tensile testing and magnetic resonance elastography. Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, 2016, 63:232-243 doi: 10.1016/j.jmbbm.2016.06.020
[18] Lin H, Shen Y, Chen X, et al. Viscoelastic properties of normal rat liver measured by ultrasound elastography:Comparison with oscillatory rheometry. Biorheology, 2016, 53(5-6):193-207 http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/27858670
[19] Sparks JL, Dupaix RB. Constitutive modeling of rate-dependent stress-strain behavior of human liver in blunt impact loading. Annals of Biomedical Engineering, 2008, 36(11):1883-1981 doi: 10.1007/s10439-008-9555-3
[20] 王志超. 猪皮生物材料的力学特性研究. [硕士论文]. 宁波: 宁波大学, 2014 Wang Zhichao. Research on mechanical properties of pig skins as biological materials.[Master's Thesis]. Ningbo, Ningbo University, 2014 (in Chinese)
[21] Song B, Chen W, Ge Y, et al. Dynamic and quasi-static compressive response of porcine muscle. Journal of Biomechanics, 2007, 40(13):2999-3005 doi: 10.1016/j.jbiomech.2007.02.001
[22] 王宝珍, 胡时胜.猪后腿肌肉的冲击压缩特性实验.爆炸与冲击, 2010, 30(1):33-38 doi: 10.11883/1001-1455(2010)01-0033-06 Wang Baozhen, Hu Shisheng. Dynamic compression experiments of porcine ham muscle. Explosion and Shock Waves, 2010, 30(1):33-38 (in Chinese) doi: 10.11883/1001-1455(2010)01-0033-06
[23] 王宝珍, 郑宇轩, 胡时胜.猪后腿肌肉的动态拉伸性能.爆炸与冲击, 2010, 30(5):449-455 doi: 10.11883/1001-1455(2010)05-0449-07 [24] Chen WW. Experimental methods for characterizing dynamic response of soft materials. Journal of Dynamic Behavior of Materials, 2016, 2(1):2-14 doi: 10.1007/s40870-016-0047-5
[25] Pervin, F, Chen WW. Effect of inter-species, gender, and breeding on the mechanical behavior of brain tissue. Neuroimage, 2011, 541:S98-S102 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1053811910003642
[26] Saraf H, Ramesh KT, Lennon AM, et al. Mechanical properties of soft human tissues under dynamic loading. Journal of Biomechanics, 2007, 40(9):1960-1967 doi: 10.1016/j.jbiomech.2006.09.021
[27] Clemmer J, Prabhu R, Chen J, et al. Experimental observation of high strain rate responses of porcine brain, liver, and tendon. Journal of Mechanics in Medicine and Biology. 2016, 16(3):1650032 doi: 10.1142/S0219519416500329
[28] Pervin F, Chen WW, Weerasooriya T. Dynamic Compressive response of Bovine liver tissues. Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, 2011, 4(1):76-84 doi: 10.1016/j.jmbbm.2010.09.007
[29] Yang L M, Shim V. An analysis of stress uniformity in split Hopkinson bar test specimens. International Journal of Impact Engineering, 2005, 31(2):129-150 doi: 10.1016/j.ijimpeng.2003.09.002
[30] Casem D, Weerasooriya T, Moy P. Inertial effects of quartz force transducers embedded in a split Hopkinson pressure bar. Experimental Mechanics, 2005, 45(4):368-376 doi: 10.1007/BF02428167
[31] Hu T, Desai JP. A Biomechanical model of the liver for reality-based haptic feedback//Ellis, RE, Peters PM. (Eds.).Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention-Miccai 2003, International Conference, Montréal, Canada, 2003, Proceedings. DBLP, 2003:75-82
[32] Hu T, Desai JP. Soft-tissue material properties under large deformation:strain rate effect//Engineering in Medicine and Biology Society, 2004. Iembs' 04. International Conference of the IEEE. IEEE, 2004:2758-2761
[33] 孟令凯, 周长东, 郭坤鹏等.一类新的超弹性-循环塑性本构模型.力学学报, 2016, 48(3):660-674 http://manu61.magtech.com.cn/lxxb/CN/abstract/abstract145838.shtml Meng Lingkai, Zhou Changdong, Guo Kunpeng, et al. A new formulation of constitutive model for hyperelastic-cyclic plasticity. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2016, 48(3):660-674 (in Chinese) http://manu61.magtech.com.cn/lxxb/CN/abstract/abstract145838.shtml
[34] Mooney MJ. A theory of large elastic deformation. Journal of Applied Physics, 1940, 11(6):582-592 doi: 10.1063/1.1712836
[35] Ogden RW. Large deformation isotropic elasticity-on the correlation of theory and experiment for incompressible rubberlike solids//Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences, 1972, 326(1567):565-584
[36] Yeoh OH. Some forms of the strain energy for rubber. Rubber Chemistry and Technology, 1993, 66 (5):754-771 doi: 10.5254/1.3538343
[37] 谈炳东, 许进升, 贾云飞等.短纤维增强EPDM包覆薄膜超弹性本构模型.力学学报, 2017, 49(2):317-323 http://manu61.magtech.com.cn/lxxb/CN/abstract/abstract146320.shtml Tan Bingdong, Xu Jinsheng, Jia Yunfei, et al. Hyperelastic constitutive model for short fiber reinforced EPDM inhibitor film. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2017, 49(2):317-323 (in Chinese) http://manu61.magtech.com.cn/lxxb/CN/abstract/abstract146320.shtml
[38] Shim V, Yang LM, Lim CT, et al. A visco-hyperelastic constitutive model to characterize both tensile and compressive behavior of rubber. Journal of Applied Polymer Science, 2004, 92(1):523-531 doi: 10.1002/(ISSN)1097-4628
[39] 王宝珍, 胡时胜.冲击载荷下猪后腿肌肉的横向同性本构模型.爆炸与冲击, 2011, 31(6):567-572 http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical/bzycj201106002 Wang Baozhen, Hu Shisheng. A transversely isotropic constitutive model for porcine ham muscle under impact loading. Explosion and Shock Waves, 2011, 31(6):567-572 (in Chinese) http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical/bzycj201106002
[40] 黄小双, 彭雄奇, 张必超.帘线/橡胶复合材料各向异性黏-超弹性本构模型.力学学报, 2016, 48(1):140-145 doi: 10.6052/0459-1879-15-189 Huang Xiaoshuang, Peng Xiongqi, Zhang Bichao. An anisotropic visco-hyperelastic constitutive model for cord-rubber composites. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2016, 48(1):140-145 (in Chinese) doi: 10.6052/0459-1879-15-189
[41] Lockett FJ. Nonlinear Viscoelastic Solids. New York:Academic Press, 1972
[42] Bernstein B, Kearsley A, Zapas LJ. A study of stress relaxation with finite strain. Rubber Chemistry and Technology, 1965, 38:76-89 doi: 10.5254/1.3535640
-
期刊类型引用(7)
1. 康巍，徐鹏，卜伟平，岳艳鲜，王丽珍，樊瑜波. 生物软组织力学测试及相关理论研究. 兵工学报. 2022(09): 2164-2171 . 
百度学术
2. 李毅，苗春贺，徐松林，张金咏，王鹏飞. 梯度密度黏弹性材料的波传播研究. 爆炸与冲击. 2021(01): 66-76 . 百度学术
3. 陈业，温垚珂，闫文敏，刘荣华，董方栋. 基于PVDF薄膜传感器的猪肝动态压缩力学性能测试. 实验力学. 2021(02): 269-278 . 百度学术
4. 雷经发，许孟，刘涛，宣言，孙虹，魏展. 聚氯乙烯弹性体静动态力学性能及本构模型. 爆炸与冲击. 2020(10): 66-73 . 百度学术
5. 王晓明，吴荣兴，肖衡. 显式模拟类橡胶材料Mullins效应滞回圈. 力学学报. 2019(02): 484-493 . 本站查看
6. 朱卓，李宏胜. 虚拟手术中人体软组织超粘弹性建模及穿刺仿真. 应用力学学报. 2019(02): 304-309+503 . 百度学术
7. 武智慧，牛公杰，玉风，钱建平，刘荣忠. HTPB复合底排药压缩屈服应力模型研究. 力学学报. 2019(06): 1810-1819 . 本站查看
其他类型引用(19)
计量
- 文章访问数: 1637
- HTML全文浏览量: 339
- PDF下载量: 346
- 被引次数: 26
