引言

因其优异的高温力学性能，单晶镍基高温合金被广泛用作航空发动机和燃气轮机叶片等重要热端部件的首选材料^[1].该合金主要由两相组成：单晶Ni为主的基体相( $\gamma $ 相)和以Ni₃Al颗粒为主的强化相( $\gamma'$ 相).经过一系列热处理后，镍基高温合金内部的Ni₃Al颗粒会较为有序地排布在Ni基体中，形成一种独特的“砖-灰”两相微结构^[2].伴随着这一微结构的形成， $\gamma / \gamma '$ 两相间会形成共格两相界面.这些界面约束了基体相中的位错运动，使得单晶镍基高温合金具有独特且良好的高温力学性能^[3].

由于独特的两相微结构，镍基高温合金中的塑性变形模式及屈服行为与传统金属材料存在显著的差异.因为 $\gamma $ 和 $\gamma '$ 两相晶格常数存在一定差异，所以在 $\gamma $ 基体通道内会产生一个100 MPa量级的错配应力^[4-6].在外加应力和错配应力的共同作用下，基体中的位错通常会在 $\gamma '$ 沉淀相之间的基体通道内首先形核，随后以“弯弓”(bow-out)的形式沿八面体滑移面在基体通道内向前运动^[7].伴随着基体位错的“弯弓”运动，基体通道内的位错会不断增殖，其中一部分位错会逐渐塞积在两相界面上并发生反应，形成界面位错网；在合适的外载条件下，一部分界面位错会发生交滑移并以锯齿形在基体通道中运动^[8-10].在一定的温度条件下，同一个滑移系上的两条位错会两两结合形成 $a\left( {110} \right)$ 型超位错并“切割” $\gamma '$ 沉淀相^[11-14].在切割 $\gamma '$ 相颗粒这一过程中，超位错的运动通常由连续的Kear-Wilsdolf (K-W)锁的形成和解锁过程构成^[15-16].在温度较高时，K-W锁更容易形成，这使得Ni₃Al沉淀相及镍基高温合金在一定温度范围内呈现出温度越高屈服应力越高的反常屈服行为^[17-19].不仅如此，K-W锁的形成和解锁还与所施加外载的方向密切相关，这使得镍基高温合金的塑性流动呈现出拉压不对称特征^[19-21].此外，在高温环境下，位错攀移的发生较为频繁，它们对蠕变变形的贡献变得不可忽略^{[14, 22-24]}.由此可见，要合理地模拟镍基高温合金在不同温度、载荷条件下复杂、独特的力学行为，需要在本构关系中合理地引入基体中的位错弓出、位错攀移、位错交滑移，以及颗粒中的超位错K-W锁的形成和解锁等多种位错动态演化机制.

镍基高温合金的使用环境恶劣，需承受单调塑性、循环塑性、蠕变等复杂的热-力耦合载荷.为了满足镍基高温合金在复杂载荷环境下强度分析的需要，急需发展在不同温度、不同载荷下适用的单晶镍基高温合金本构模型.在过去数十年间，众多学者经过不懈的努力，相继提出了一系列连续介质力学框架下的本构模型.这些镍基高温合金本构模型可粗略分为三大类.第一类是唯象的统一黏塑性本构模型^[25-28].这类模型最早由Bonder和Partom等^[29]提出后经众多学者发展，被广泛用于描述材料的高温黏塑性及蠕变行为，其特点是：模型中弹性变形和各种非弹性变形耦合在一起，无需加卸载准则，并且能“统一地”描述材料的单调塑性、蠕变、循环塑性等多种行为，因此便于工程应用.然而，这类本构模型的缺点也很明显：其一，物理基础不够坚实，无法反映镍基高温合金力学行为的微结构相关性；其二，唯象本构参数的选取较随意，物理意义也不够明确.第二类是基于晶体塑性理论的镍基高温合金本构模型^[30-35].这类模型认为：滑移系的开动和滑移是镍基高温合金塑性变形的基本机制.相比第一类唯象模型，其物理意义较为明确.但是，该类本构模型大多基于镍基高温合金的均匀化假设，忽略了其独特的 $\gamma / \gamma'$ 两相微结构，也没有考虑多种载荷条件下的镍基高温合金中存在的复杂位错动力学机制，其模拟能力比较有限，在工程中应用还不够广泛.近几年来，一些学者借鉴细观力学中的“代表体积单元(RVE)”模型，提出了包含基体通道( $\gamma $ 相)和沉淀颗粒( $\gamma'$ 相)的代表性体积胞元.在此代表性体积胞元中，通过对高温合金中丰富的位错演化行为和变形机理进行细致的描述和合理的均匀化，建立了包含高温合金两相微结构特征的第三类本构模型^[36-40].然而，这一类模型目前也存在一些不足：它们不能很好地反应镍基高温合金优良的高温反常屈服行为及拉压不对称等非施密特效应.基于以上考虑，本文借鉴Fedelich及其后来者的系列工作^[36-40]，在代表性体胞和晶体塑性本构的框架下，通过引入位错弓出、位错攀移、位错交滑移、位错K-W锁等多种位错微结构演化机制，建立了适用于较宽温度范围、不同加载方式并能刻画多种非施密特效应的单晶镍基高温合金本构模型.

本文内容组织如下：第1节对含微结构信息的单晶镍基高温合金本构模型进行了详细的介绍；第2节将本文本构模型计算结果与实验结果进行了对比，验证了本构模型的描述能力；第3节讨论了本文本构模型对单晶镍基高温合金反常屈服、拉压不对称等非施密特行为的描述能力以及对多晶镍基高温合金力学行为的预测能力；第4节对本文进行总结和展望.

1.   含两相微结构及位错演化信息的单晶镍基高温合金晶体塑性本构模型

1.1   代表性体胞的建立及分解

在镍基高温合金中，由于 $\gamma $ 和 $\gamma '$ 相的变形机制各不相同，两相内的应力及应变分布差异较大，即使在 $\gamma $ 相内部，不同取向的基体通道内的应力和应变也存在很大不同^{[10, 41]}.为了在本构模型中体现这一点，一种可行的方法是：借助于“代表性体胞”这一细观力学的基本模型，在代表性体胞中不仅区分 $\gamma $ 和 $\gamma '$ 相，而且还区分不同取向的 $\gamma $ 相基体通道；在此基础上，通过对各子区内的物理量进行合理平均，建立包含材料微结构信息的本构关系^[36-40].参考Fedelich的工作^[36-37]，取由立方体 $\gamma '$ 相颗粒及周围基体 $\gamma $ 相组成的代表性胞元(如图 1所示)，其中沉淀相颗粒的直径为 $d$ ，基体通道宽度为 $w$ ，体胞的总宽度为 $L = d + w$ .考虑到体胞中各处的应力应变差异，该胞元又被细分为8个子块，其中，子块1是 $\gamma '$ 相颗粒，子块2~ 4是夹在 $\gamma '$ 相颗粒间的基体通道，它们的外法线分别平行于 $x, y, z$ 轴.为了更好地描述不同取向基体通道中的位错运动演化以及不同取向基体通道相交区域的变形集中，不同于Fedelich的模型，这里特别考虑了 $\gamma $ 相基体通道之间的相交区域，这些相交区域用子块5~8独立表示.对于每个子块 $K$ ，其内部应力、应变及塑性应变的平均值分别定义为 ${\pmb \sigma }_K $ ， ${\pmb \varepsilon }_K $ 和 ${\pmb \varepsilon }_K^{\rm p} $ ，同时体胞整体应力、应变和塑性应变的平均值分别定义为 ${\pmb \varSigma }$ ， ${\pmb E}$ 和 ${\pmb E}^{\rm p}$ .体胞整体应力、应变与其内部各子块的应力、应变之间的满足如下关系^[36-37]

图  1  代表性胞元结构及分块示意图，图中浅色分块是 $\gamma $ 相，深色分块是 $\gamma'$ 相

Figure  1.  The decomposition of an representative unit cell, where the light blocks are the $\gamma $ phase and the dark block is the $\gamma '$ phase

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其中 $f_K $ 是子块 $K$ 在整个体胞中所占的体积分数.

考虑到 $\gamma '$ 相和 $\gamma $ 相的弹性常数十分接近，本文中假设二者近似相等.根据广义胡克定律，体胞子块及体胞整体的应力与应变关系可以表示为

其中 ${\pmb C}$ 表示两相内的弹性常数张量.

对于体胞模型的各子块，根据其成分及所处位置的不同，本文将分别考虑不同的位错演化机制，并计算相应的塑性应变 ${\pmb \varepsilon }_K^{\rm p} $ .这些可能的位错变形机制及其所能影响的体胞子块分别为：(1) 子块2~8中， $\gamma $ 相基体通道内的位错弯弓运动；(2) 子块2~4中，界面位错在 $\gamma $ 相基体通道内的交滑移；(3) 子块1中，超位错切割 ${\gamma }'$ 沉淀相；(4) 子块2~8中，位错沿两相界面攀移运动.

在有限元应用中，体胞整体的应变 ${\pmb E}$ 往往是已知的，此时需要求解各子块的应变 ${\pmb \varepsilon}_K $ 及应力 ${\pmb \sigma }_K $ .为求解这一问题，借鉴Fedelich等的方法^[36-37]，对各子块内的应力及应变进行了傅里叶级数展开，并通过求解界面上的平衡方程得到了各子块内应变 ${\pmb \varepsilon }_K $ 与塑性应变 ${\pmb \varepsilon }_K^{\rm p} $ 间的关系.通过这一方法，体胞内第 $K$ 个子块中的平均应力 ${\pmb \sigma }_K $ 可以表示为^[36-37]

对于不同的 $K$ 或 $J$ (体胞子块编号)，式(3) 中四阶张量 ${\pmb \varOmega }_{KJ} $ 的取值可以通过傅里叶级数求和得到

其中, $V$ 是体胞的总体积， $V_K $ 是第 $K$ 个子块的体积，波矢量 ${\pmb \xi }$ 可表示为 ${\pmb \xi } = {\pmb \xi } \left( {p, q, r} \right) = \left( { {{\rm{ \mathsf{ π} }} p}/{L}, {{\rm{ \mathsf{ π} }} q}/{L}, {{\rm{ \mathsf{ π} }} r}/{L}} \right)$ .更多细节参见文献[36-37].

1.2   $\gamma $ 相基体通道内的位错“弯弓”滑移

根据实验观察，镍基高温合金中的位错通常在 $\gamma $ 基体相中首先形核，然后沿着狭窄的基体通道以弯弓形式向前运动，导致塑性变形的发生^[7].在这一过程中，位错运动的驱动力来自于其所在滑移系上的分切应力，阻力则来自于“弯弓”过程中所受到的Orowan阻力.根据热激活滑移理论，位错弯弓运动的速度 $v_{gK}^{\rm glide}$ 与驱动力的关系可以表示为^[42]

式中， $v_0^{\rm glide} $ 是位错运动的参考速度； $F^{\rm glide}$ 是位错运动所需要克服的总激活能； $V^{\rm glide}$ 是位错线的激活体积；κ 是Boltzmann常数； $T$ 是当前环境下的绝对温度； ${\rm sign} \left( \right)$ 是符号函数； $\left\langle \right\rangle $ 是Mac-Cauley括号, 当 $x > 0$ 时， $\left\langle x \right\rangle = x$ ，当 $x \leqslant 0$ 时， $\left\langle x \right\rangle = 0$ ；下标 $g$ 和 $K$ 分别表示位错所在滑移系和体胞子块的编号； $\tau _{gK}^{\rm glide} = {\pmb \sigma }_K :\left( {{\pmb s}_g \otimes {\pmb n}_g } \right)$ 是子块 $K$ 内，位错所在滑移系 $g$ 上的分切应力， $\tau _{gK}^{\rm oro} $ 是Orowan阻力.附录1列出了面心立方晶体(FCC)中全部八面体滑移系的滑移方向 ${\pmb s}_g $ 和滑移面法向 ${\pmb n}_g $ .为了后续分析的方便，这里将滑移方向为 ${\pmb s}_g $ 和 $ - {\pmb s}_g $ 的滑移系分别定义为两个独立的滑移系，此时，FCC材料中一共有24个可能的滑移系.

如图 2所示，当位错在 $\gamma $ 相基体通道中以弯弓形式向前运动时，由于两相界面的阻挡，新的位错段会不断形成并沉积在两相界面附近.在这一过程中，位错线的总长度不断增大，总位错能也随之不断增大，这正是“弯弓”运动过程中Orowan阻力的来源.对于第5~8子块，考虑到位错在其中没有受到两相界面的直接约束，因此可取 $\tau _{gK}^{\rm oro} = 0$ .对于第2~4子块，其中的Orowan应力 $\tau _{gK}^{\rm oro} $ 可以通过新形成位错段所需要的能量求出，它可以表示为^[37]

图  2  位错在基体通道中的“弯弓”运动，图中浅色段表示弓出过程中形成的界面位错段

Figure  2.  A schematic diagram of dislocation bowing in the $\gamma $ matrix channel, where the light lines represent those new generated dislocation segments depositing on $\gamma / \gamma '$ interface

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式中， $b$ 是柏氏矢量的模， $W$ 是单位长度位错的自能，其形式为

式中， $\alpha _1 '$ 是拟合参数， $K_{\rm en}$ 是能量因数，它与材料的弹性常数以及位错线与Burgers矢量的夹角有关.在两相界面上，该夹角 $\vartheta $ 的可能取值为0 $^\circ$ 或60 $^\circ$ ，对应的 $K_{\rm en} $ 的取值可通过以下公式求得^[43]

其中

这里

式中， $\left\{ {c_{11}, c_{12}, c_{44} } \right\}$ 为晶体独立弹性常数.将式(7) 代入式(6)，并取 $\alpha _1 = \sqrt {2/3} \alpha _1 '$ ，可得到子块2~4内的Orowan应力

利用Orowan公式 $\dot {\gamma } = \rho vb$ 和式(5)，可得位错“弯弓”导致的基体相滑移率

式中 $N_{gK}^{\rm matx} $ 定义为在子块 $K$ 内第 $g$ 个滑移系上弓出的位错段数， $\sqrt {3/2} w$ 是每段位错线的“弯弓”部分的曲率半径的两倍， $V_K $ 是子块 $K$ 的体积.由此可知， $ {\sqrt {3/2} wN_{gK}^{\rm matx} }/{V_K }$ 正是子块 $K$ 内的平均可动位错密度.

1.3   $\gamma $ 相基体通道内的位错交滑移

在单晶镍基高温合金中，伴随着 $\gamma $ 相基体通道内位错的“弯弓”运动，沉积在两相界面上的界面位错会不断增加.实验观察发现，在合适的外加载荷下，部分纯螺型界面位错能够交滑移到其他八面体滑移面上，从而摆脱两相界面的阻碍^[8-10].这些位错通过不断地交滑移，能够沿着一种如图 3所示锯齿形路线在基体通道中向前运动，它在宏观上等效于位错线在水平立方滑移面上滑移^[8-10].

图  3  位错在基体通道中的交滑移运动路径示意图，图中 $g_1$ 和 $g_2$ 表示附录2的一对交滑移相关联的八面体滑移系

Figure  3.  A schematic diagram of the trace of dislocation cross slip in the $\gamma $ matrix channels, where $g_1$ and $g_2$ represent a pair of the associated octahedral slip systems in Appendix 2

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为描述这一过程，参考Fedelich^[37]和Tinga等^[39]的工作，本文模型也考虑了12个虚拟的立方滑移系，这些滑移系的取向及对应的两个八面体滑移系 $g_{1} $ 和 $g_2 $ 间的编号如附录2所示.根据滑移系间的取向关系，位错在任一立方滑移系 $c$ 上的等效速度 $v_{cK}^{\rm cross}$ 可表示为

其中， $v_{g_1 K}^{{\rm screw}} $ 与 $v_{g_2 K}^{{\rm screw}} $ 分别是与立方滑移系 ${\rm c}$ 相关联的两个八面体滑移系 $g_1$ 和 $g_2$ 上的位错速度，它们可以通过如下公式求出

该式与式(5) 具有类似的形式，其中 $v_0^{\rm screw}$ , $F^{\rm screw}$ 和 $V^{\rm screw}$ 分别是与螺位错交滑移相对应的参考速度，总激活能和激活体积； $\tau _{gK}^{\rm forest} $ 是交滑移位错与通道内弓出位错发生交割时所受到的林位错阻力，其一般形式可表达为

式中， $\alpha _2 $ 是拟合参数， $ l/\sqrt {\sum\limits_{i = 1}^{24} {N_{iK}^{{\rm{matx}}}} } $ 是交滑移位错的平均自由程.

类似式(11)，对于子块 $2\sim 4$ ， $N_{gK}^{\rm face}$ 为与 $K$ 子块相邻的两相界面上的位错段数，考虑到这些位错段平均长度为 ${\sqrt 2 }/ 2l$ ，因此交滑移过程所产生的滑移率可表示为

1.4   ${\gamma }'$ 相内位错K-W锁的形成

在镍基高温合金中， $\gamma $ 相中的 $\dfrac{a}{2}\left[{110} \right]$ 型位错通常会以超位错对的形态“成双成对”地切割 $\gamma'$ 相； $\gamma'$ 相中两个 $\dfrac{a}{2}\left[{110} \right]$ 位错之间存在一个反相畴界(anti-phase boundary, APB)，它们通过如下位错反应形成一个“ $a\left[{110} \right]$ 超位错”^[39]

由于 $\gamma '$ 相Ni₃Al的层错能较低，进入其中的 $a\left[{110} \right]$ 超位错会进一步分解为若干不全位错，其中一种典型的分解方式为^[44-45]

其中CSF(complex stacking fault)表示Ni₃Al中的复杂堆垛层错.

在一定的温度范围内， $\gamma '$ 相Ni₃Al颗粒的屈服行为表现出两个与众不同的特征：一是屈服应力随温度的升高而升高；二是材料的拉伸强度和压缩强度存在明显的差异，呈现出所谓的“拉压不对称”. Kear等^[15-16]的研究指出：Ni₃Al的这些特性来源于其内部位错的交滑移现象.在温度及外力的驱动下，螺位错段由 $\left\{ {111} \right\}$ 滑移面交滑移到 $\left\{ {100} \right\}$ 滑移面，由于交滑移后的位错在 $\left\{ {100} \right\}$ 面上难以继续运动，因此会在“超位错对”上的某个局部位置形成锁结构，即K-W锁.在过去几十年里，众多学者对K-W锁的形成及其对材料变形行为的影响进行了一系列研究，并提出了多个理论模型描述这一现象^[46-48].参考Demura等^[49]和Yang等^[50]的模型，第 $K$ 子块中第 $g$ 个滑移系上K-W锁解锁阻力 $\tau _{gK}^{\rm KW}$ (K-W锁强度)可以表达为

其中， $G_{\rm KP} $ 是超位错对发生交滑移所需的激活能， $B$ 是位错拖拽系数， $f_{\rm D} $ 是Debye频率.考虑到 $\tau _{gK}^{\rm KW} $ 通常远小于材料的弹性常数 $c_{44} $ ，可以近似地用 $\sqrt {\dfrac{\tau _{gK}^{\rm KW} }{6c_{44} }} $ 代替 $\sqrt {\dfrac{\tau _{gK}^{\rm KW} }{6c_{44} - \tau _{gK}^{\rm KW} }} $ ，因此 $\tau _{gK}^{\rm KW} $ 可进一步表述为

此处的激活能 $G_{\rm KP} $ 可表达为“超位错对”中两条位错线的束集能及相互作用能^[51]

其中， $U_{\rm c} $ 为单条位错线的束集能； $\tau _{gK}^{{\rm cs}} $ 是位错在 $\left\{ {100} \right\}$ 面上的总驱动力； $\alpha'$ 和 $r$ 分别是线张力系数和复合能系数； $u_1 $ 是无量纲参数， $u_2 $ , $u_3 $ 和 $u_4 $ 是 $\gamma '$ 相的非施密特效应系数； $\varGamma _{{\rm CSF}} $ 是 $\gamma '$ 相复杂堆垛层错的层错能； $\varGamma _{111} $ 和 $\varGamma _{100} $ 分别是八面体滑移系和立方滑移系上反相畴界能； $A$ 是 $\gamma'$ 相的Zener各向异性比率，其取值为 $A = {c_{44} } /{\left( {c_{11} - c_{12} } \right)}$ ； $\tau _{gK}^{{\rm pe}} $ , $\tau _{gK}^{\rm se} $ 和 $\tau _{gK}^{\rm cb} $ 分别是位错主滑移面上刃位错线方向、次滑移系上刃位错线方向和立方滑移系上沿柏氏矢量方向上的分切应力，它们所对应的滑移方向及面法向见附录1.

考虑到只有超位错对才能顺利由 $\gamma $ 相进入 $\gamma '$ 相，本文引入参数 $N_{gK}^{\rm pair} $ 来表示 $\gamma '$ 相内第 $g$ 个滑移系上超位错对的数目，并假设这些超位错对的平均长度为 ${\sqrt 2 } /2l$ .超位错对中，由于头位错(leading dislocation)在切割 $\gamma'$ 相时将受到反相畴界的阻碍作用，因此在模型中引入了反相畴界能的阻力项 $\tau ^{\rm APB} = \dfrac{\varGamma _{111} }{b}$ ，将它作为位错切入 $\gamma'$ 相所需的门槛应力.因此，超位错对在沉淀相内的运动速度及相应的滑移率可以表示为

和

式中， $F^{\rm cutting}$ , $V^{\rm cutting}$ 和 $v_0^{\rm cutting} $ 分别是 $\gamma '$ 相中位错滑移所对应的总激活能、激活体积和参考速度.

1.5   基体位错沿两相界面的攀移

在高温下，位错攀移是一种不可忽略的塑性变形机制，它常常与材料的蠕变性能密切相关.在镍基高温合金中，实验观察到位错攀移主要发生于 $\gamma / \gamma '$ 两相界面附近.如图 4所示，位错攀移可能存在两种形式，一种形式是单根基体位错以一条长直位错段的形式沿相界面攀移^[52]，另一种形式是存在于多个通道内的位错环沿相界面攀移直至消失于沉淀相颗粒的角点^[53].在以往的研究中^{[37, 39]}， $\gamma / \gamma'$ 两相界面上的位错攀移往往认为是通过第2种方式实现.考虑到整个界面位错环在不同通道内由混合型位错和纯螺位错段组成，通过第2种方式攀移一般难以实现.因此，本文不考虑位错环攀移机制，而仅考虑长直位错段沿相界面的攀移，即上述第一种攀移形式.如图 4(c)所示，位错的攀移方向通常沿滑移面法向，它与相界面的法向间存在着一个夹角，因此在攀移过程中，局部区域内的位错实际上是以一种“攀移-滑移组合”的形式向前运动，总体上等价于沿两相界面的运动^[54-57].考虑到位错的滑移速度通常远大于其攀移速度，因此位错沿相界面运动的速度主要由攀移过程控制.位错沿两相界面上运动的速度 $v_{gK}^{\rm face}$ 与其攀移方向上的速度分量 $v_{gK}^{\rm climb}$ 间的关系可以近似表示为

图  4  位错在两相界面上的两种可能的攀移方式：(a), (c)单条长直位错段沿两相界面攀移加滑移组合的运动形式, (b)位错环沿两相界面向角点处攀移

Figure  4.  A schematic diagram for two climb modes: (a) and (c) A long dislocation segment travels along the interface by combination of glide and climb; (b) A dislocation loop climbs and shrinks when it reaches the corner of the precipitate phase

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其中 $v_{gK}^{\rm climb} $ 可表示为^[58]

其中， $U_{\rm sd} $ 是空位的自扩散能， $V^\ast $ 是原子体积，通常取为 $V^\ast = b^3$ ， $R$ 是空位浓度达到平衡值时的截断半径， $x$ 是位错线上扭折的平均间距， $n$ 是晶体材料的最近邻原子数(对于面心立方晶体，取 $n = 12$ ).实际情况下， $R$ 和 $x$ 的取值一般难以精确获得，为了简化，这里将其视为常数，令 $C_3=\dfrac{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}{\ln \left( {R / b} \right)} \Big (1 + \dfrac{x}{nb}\Big)^{-1}$ ，式(24) 可进一步简化为

这里，攀移驱动力 $\tau _{gK}^{\rm climb}$ 来自于位错线上Peach-Koehler力在攀移方向 ${\pmb c}_{gK} $ 上的分切应力，即 $\tau _{gK}^{\rm climb} = {\pmb \sigma }_K :\left( {{\pmb c}_{gK} \otimes {\pmb s}_g } \right)$ .每一个八面体滑移系 $g$ 所对应的攀移方向 ${\pmb c}_{gK} $ 见附录3.

最终，子块 $K$ 内由于滑移系 $g$ 上的位错攀移所导致的滑移率 $\dot {\gamma }_{gK}^{\rm climb}$ 可以表示为

1.6   位错密度演化

为了描述体胞模型内的滑移量和塑性变形，本文引入了三组表征位错密度的物理量，分别为基体相子块 $K$ 内的位错段数 $N_{gK}^{\rm matx} $ ，两相界面上的位错段数 $N_{gK}^{\rm face} $ ，以及 $\gamma'$ 相中“超位错对”数 $N_{gK}^{\rm pair} $ .随着塑性变形的发生和位错的演化，位错数和位错密度会不断地演化，下面分别针对每种变形机制对位错密度的演化及其影响进行描述和分析.

1.6.1   弓出机制对位错密度演化的影响

伴随着位错在 $\gamma $ 相基体通道内的弓出，新的位错段会不断地在弓出位错段的后方生成并沉积在两相界面上，由此导致的界面位错的增殖率 $\dot {N}_{gK}^{\rm face, gen}$ 可以表示为

如果有两条属于同一滑移系但符号相反的位错靠得足够近，它们可能会互相湮灭，导致总位错数减少，为此，假设滑移面间距在临界距离 $d^{\rm ann} $ 内的两条反号位错能够发生湮灭.考虑到 $\gamma $ 相基体通道内单条位错段在时间增量 ${\rm{d}} t$ 内所扫过并可能导致其中位错湮灭的体积可表示为 $2d^{\rm ann} \cdot \sqrt {3 /2} w \cdot v_{gK}^{\rm glide} {\rm{d}} t$ ，因此，单条位错段在 ${\rm{d}} t$ 时间内可能发生湮灭的概率可以表述为 $\dfrac{2d^{\rm ann} \sqrt {3/2} w v_{gK}^{\rm glide} {\rm{d}} t}{V_K } \dfrac{1}{2}N_{gK}^{\rm matx} $ ，由此，基体相子块内位错的湮灭率 $\dot {N}_{gK}^{\rm matx, ann} $ 可表示为

随着位错的运动，体胞各子块内的位错可能脱离现有子块而进入相邻子块，导致位错的迁移.如图 5所示，当位错在 $\gamma $ 相基体通道交界处的子块(分块5~8) 内运动时，除了运动中的位错发生迁移外，还会在相邻的子块内生成新的位错段.对比图 5(a)和图 5(b)易知，新生成位错段的“去向”将取决于原位错的运动方向.为描述这一过程，将子块5~8(边角子块)内的位错数量 $N_{\rm gK}^{\rm matx} $ 按照其所处基体通道的法线方向( $x, y$ 或 $z$ )作进一步拆分，分别表示为

图  5  基体通道内的位错增殖示意图.图中虚线是运动前的位错，深色实线是运动后的位错，浅色实线是新生成的位错段

Figure  5.  Schematic diagrams of dislocation generation in the $\gamma $ phase matrix channels, where the light solid lines are the newly generated dislocations, dash line and dark solid line are the mobile dislocations before and after dislocation generation

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综上， $\gamma $ 基体相中位错数量的迁移可表述为如下形式

其中，等式右侧第一项表征子块 $K$ 内位错的流出项，第二项表征来自其他分块 $J$ 的流入项； $L_K^{ \rm tran} $ 是位错段迁移出子块 $K$ 所需前进的平均距离，对于子块2~4、子块5~7和子块8，其取值分别为 $\dfrac{\sqrt 2 }{2}l$ ， $\dfrac{\sqrt 2 }{2}\dfrac{lw}{l + w}$ 和 $\dfrac{\sqrt 2 }{4}w$ ； $c_{J, K}^{{\rm tran}} $ 是分配系数，表示子块 $J$ 内流出的位错进入子块 $K$ 的概率，由守恒性可知 $\sum\limits_K {c_{J, K}^{\rm tran} = 1} $ ； $c_{J, K}^{\rm gen} $ 是增殖系数，表示位错迁移过程中所引起的位错增殖； $c_{J, K}^{\rm tran}$ 和 $c_{J, K}^{\rm gen} $ 的取值与子块 $J$ 和 $K$ 的共面面积在位错运动方向上的投影成正比，它们的取值如下

1.6.2   $\gamma $ 相基体通道内位错“立方滑移”对位错密度演化的影响

如图 2所示，螺位错在基体通道内以交滑移的形式向前运动时，将获得一个平行于两相界面的等效速度 $v_{cK}^{{\rm cross}} $ .在这一作用下，位错段将会逐渐脱离当前基体通道并进入其他基体通道，从而导致界面位错 $N_{gK}^{\rm face} $ 的减少

这部分位错的减少将平均分配到另外两个通道中的可能滑移系上，它们各自可表示为

此外，考虑到交滑移过程中的界面位错同样可能与反号位错发生湮灭，因此引入位错湮灭项 $\dot {N}_{gK}^{{\rm face, ann}} $

1.6.3   位错切割 ${\gamma }'$ 颗粒相对位错密度演化的影响

在新生成的界面位错中，有一部分可能会与原有的位错一起形成“超位错对”并切割 ${\gamma }'$ 颗粒相.假设在同一滑移面内间距在临界距离 $d^{\rm pair}$ 内的两条位错能够形成“超位错对”，并且界面位错在两相界面上是均匀分布的，那么“超位错对”的增殖率 $\dot {N}_{gK}^{{\rm pair, gen}} $ 与界面位错的增殖率 $\dot {N}_{gK}^{{\rm face, gen}} $ 间的关系可以表示为

在这一过程中，界面位错由于“超位错对”切入沉淀相造成的减少率 $\dot {N}_{gK}^{{\rm face, pair}} $ 可表达为

当“超位错对”穿过沉淀相到达另一侧相界面时，此时“位错对”中的位错有可能与相界面上的反号位错发生湮灭，由此造成“超位错对”的湮灭率 $\dot {N}_{gK}^{{\rm pair, ann}} $ 可表达为

式中， $L^{{\rm cut}} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}l$ 为超位错对切过沉淀相所需要运动的平均距离.

对于图 4(a)所示的长直位错段的攀移，位错段长度在攀移过程中是不发生变化的.结合式(27)~式(37)，代表性体胞模型内各类位错数量的总演化率可分别表示为

2.   晶体塑性本构模型参数确定及描述能力验证

为了实现对镍基高温合金的有限元计算模拟，在有限元软件ABAQUS的框架下，针对上述晶体塑性本构模型编制了用户材料子程序(UMAT).通过模拟镍基高温合金单晶体在不同载荷、不同温度和不同取向上的力学行为并拟合已有实验结果，可以确定相关本构参数，具体确定方法如下.

2.1   本构模型参数确定

2.1.1   不同温度下的弹性常数

本文所用本构参数部分来源于第二代高温合金CMSX-4的相关实验数据^[39]，其在不同温度下的取值如表 1所示.

表  1  高温合金CMSX-4在不同温度下的弹性模量^[39]

Table  1.  The elastic modules of CMSX-4 at various temperatures^[39]

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2.1.2   不同温度下的 $\gamma '$ 相的体积分数及胞元尺寸

在CMSX-4高温合金中， $\gamma '$ 相颗粒的体积分数大约为70%，其尺寸约^[59] 450~500 nm.为此，本文中代表性胞元的尺寸 $L$ 取为600 nm， $\gamma'$ 相体积分数 $f_{\gamma '} $ 随温度变化而改变.根据几何关系，代表性胞元内基体通道的宽度为 $w = L \left( {1 - \sqrt[3]{f_{\gamma '} }} \right)$ ，沉淀相颗粒的尺寸为 $l = L \sqrt[3]{f_{\gamma '} }$ .不同温度下， $\gamma '$ 相的体积分数 $f_{\gamma'} $ 可通过Roebuck等^[60]给出的拟合公式得到

式中 $T$ 是绝对温度， $R$ 是理想气体常数.

2.1.3   位错运动热激活体积的计算

一般地讲，当位错以热激活的形式越过障碍时，位错的激活体积与障碍的宽度及间距成正比^[58].在本文中，位错弓出时的热激活障碍间距 $l^{\rm glide}$ 与基体通道的宽度密切相关，锯齿形交滑移的热激活障碍间距 $l^{\rm screw}$ 与通道内的林位错间距紧密联系，位错切割沉淀相时的热激活障碍间距 $l^{\rm cutting}$ 可根据K-W锁阻力 $\tau _{gK}^{\rm KW} $ 求得，因此有

相应的位错运动热激活体积可分别表示为

其中 $c^{\rm glide}$ , $c^{{\rm screw}}$ 和 $c^{\rm cutting}$ 为拟合系数.

2.1.4   两相晶格错配度

在单晶镍基高温合金的两相微结构中，两相的晶格常数存在差异，由此导致基体通道内高达100 MPa量级的错配应力.为体现这一特征，在 $\gamma'$ 沉淀相子块中引入了一个初始应变 ${\pmb \varepsilon }^{{\rm misfit}} = \delta ^{{\rm misfit}} \cdot {\pmb 1} $ ，其中 $\delta^{{\rm misfit}} = \dfrac{2\left( {a_{\gamma '} - a_\gamma } \right)}{a_{\gamma '} + a_\gamma }$ 是两相间的错配度.对于CMSX-4高温合金，其 $\gamma $ 和 $\gamma '$ 两相在850℃下的晶格常数分别为^[39] $a_\gamma = 0.359 0$ nm和 $a_{\gamma '} = 0.358 6$ nm，由此可得错配度 $\delta ^{{\rm misfit}} = - 0.001 1$ .

2.1.5   描述位错运动及微结构演化的参数

为了考虑镍基高温合金中多种塑性变形机制，本文的本构模型中引入了一系列与位错微结构演化相关的参数.按照变形微观机制进行划分，这些参数可分为3组：第1组与 $\gamma $ 相中位错滑移机制有关；第2组与 $\gamma'$ 相中超位错对的切割机制有关；第3组与 $\gamma / {\gamma }'$ 相界面上位错攀移机制有关.这些参数大都具有明确的物理意义，其取值如表 2所示，对其取值分别介绍如下.

表  2  模型参数及取值

Table  2.  A list of the model parameters and their values

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参考速度 $v_0^{\rm glide} $ 及 $v_0^{\rm cutting} $ 是材料中位错运动所能达到的极限速度.考虑到这一速度应当与材料中的应力波速具有同样的量级( $10^3$ 量级)，将两者粗略取为 $v_0^{\rm glide} = v_0^{\rm cutting} = 1 000$ m/s. Debye频率 $f_{\rm D} $ 反映了材料中原子自震的固有频率，将其取为^[49] $f_{\rm D} = 10^{13}$ Hz.在式(20) 中，激活能 $G_{\rm KP} $ 的计算依赖于较多的参数，这部分参数的取值一部分( $\varGamma _{111} $ , $\varGamma _{100} $ , $\varGamma _{{\rm CSF}} $ , $\alpha'$ , $r$ )直接来自文献[51]，另一部分( $u_1 $ , $u_2 $ , $u_3 $ , $u_4 $ )同样参考了文献[51]中的取值，但进行了适当修正以适应本文模型.位错湮灭半径 $d^{{\rm ann}}$ 及成对半径 $d^{\rm pair}$ 为经验性的参数.这里将 $d^{{\rm ann}}$ 取为^[39-40] $40b$ ， $d^{\rm pair}$ 近似取为位错芯宽度 $3b$ .

其他11个参数 $F^{\rm glide}$ , $c^{\rm glide}$ , $\alpha _1 $ , $F^{\rm screw}$ , $c^{\rm screw}$ , $\alpha _2 $ , $F^{\rm cutting}$ , $c^{\rm cutting}$ , $B$ , $c_3 $ , $U_{{\rm sd}} $ 可通过拟合实验数据得到.拟合过程按照如下所述的顺序进行：首先，利用材料在 $\langle 111\rangle $ 方向的单轴拉伸实验数据确定第一组中的未知参数，这是因为单轴拉伸实验所需时间较短，此时与蠕变有关的变形可以忽略，并且在 $\langle 111\rangle $ 方向上实验观测到 $\gamma '$ 沉淀相中几乎没有位错切割现象，因此，此时镍基高温合金的变形仅受第一组参数的控制；然后，利用已确定的第一组参数和 $\langle 001 \rangle $ 方向的单轴拉伸实验结果确定第二组中的未知参数，在确定上述两组参数的过程中，与热激活体积相关的参数 $c^{\rm glide}$ , $c^{\rm screw}$ 和 $c^{\rm cutting}$ 可以通过拟合不同加载率下的实验结果得到，激活焓 $F^{\rm glide}$ , $F^{\rm screw}$ , $F^{\rm cutting}$ 以及控制滑移阻力的参数 $\alpha _1 $ , $\alpha _2 $ , $B$ 则通过拟合不同温度下的实验结果得到.为了简单起见，我们认为在 $\gamma $ 相基体通道中，弓出位错与交滑移的螺位错具有相同的激活能，即 $F^{\rm glide} = F^{\rm screw}$ ；最后，在第一、二组参数已确定的情况下，利用材料在不同温度及应力下的蠕变实验结果，可以拟合得到表 2中的第三组参数.

2.2   本构模型预测结果及其与实验结果的对比

为检验本文本构模型的描述能力，利用开发的UMAT用户子程序，对不同外载作用下镍基高温合金的多种变形行为进行了有限元计算模拟，并与现有的实验结果进行了比较.

图 6中给出了镍基单晶高温合金CMSX-4在不同加载速率、不同加载方向和不同加载温度下的单轴拉伸应力-应变曲线，其中离散点是文献公布的实验数据^[39-40]，实线是本文本构模型的计算结果.从图中可以看出: (1) 在不同加载率和加载方向下, CMSX-4的拉伸曲线差异较大，应力与应变行为呈现出很强的取向相关性和加载速率敏感性；(2) 无论是图 6(a)所示 $\langle 001 \rangle $ 加载方向上，还是图 6(c)所示 $\langle 111\rangle $ 加载方向上，本文本构模型的计算结果与实验数据均符合良好；(3)图 6(b)的实验数据显示出CMSX-4在不同温度下呈现出反常屈服行为(即随着服役温度的升高，材料的流动应力随之增大而不是减小)，由于引入了位错切割 $\gamma '$ 相的K-W锁机制，本文本构模型不仅较好地描述了这种反常行为，而且在趋势上与实验数据符合较好.

图  6  镍基单晶高温合金CMSX-4的单轴拉伸应力-应变曲线

Figure  6.  The stress-strain curves of CMSX-4

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图 7给出的是不同温度及外载作用下镍基单晶高温合金CMSX-4的蠕变应变-时间曲线.图中的离散点为文献公布的实验数据^[39-40]，实线是本文本构模型的预测结果.从图可以看出：随着温度和载荷水平的提高，镍基高温合金的蠕变速率显著加快；在401 MPa, 450 MPa, 470 MPa, 520 MPa四种载荷水平下，本文模型计算结果与实验数据基本吻合；当载荷为580 MPa时，两者的初始值虽有差异，但后续变化趋势基本一致.

图  7  镍基单晶高温合金CMSX-4的蠕变曲线

Figure  7.  The creep deformation curves of CMSX-4

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图 8给出的是镍基单晶高温合金CMSX-4在850℃，加载率为 $10^{-3}$ s $^{-1}$ 下，沿 $\langle 001 \rangle$ 和 $\langle 111 \rangle$ 两个不同方向的循环应力-应变曲线.在图 8中，圆点是实验测得的循环稳定时的应力-应变曲线^[40]，实线是本文本构模型计算得到的前10圈循环变形结果.从图 8可以看出：在所考虑的 $\langle 001 \rangle$ 和 $\langle 111 \rangle$ 两个加载方向上，计算得到的循环应力-应变曲线均很快趋于稳定，没有表现出明显的循环强化或软化；循环稳定后，本文模型计算得到的循环应力-应变曲线与实验结果吻合良好.

图  8  镍基单晶高温合金CMSX-4的循环响应曲线

Figure  8.  The cyclic stress-strain curves of CMSX-4

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3.   分析与讨论

3.1   代表性体胞内的应力与应变分布

在镍基单晶高温合金中，由于两相微结构的存在，其内部微观应力、应变分布不均匀.在代表性体胞各个子块中，主导塑性变形的机制也有一定差异.为了对此进行深入分析，对代表性体胞中每一个子块内的塑性应变进行了分析. 图 9给出的是 $\langle 001 \rangle$ , $\langle 011 \rangle$ 和 $\langle 111 \rangle$ 三种典型加载方向下代表性胞元中各子块中平均塑性应变的演化情况.从图 9可以看到：(1) 当沿 $\langle 111 \rangle$ 方向加载时，塑性应变几乎全部由 $\gamma $ 相基体通道承担，而 ${\gamma }'$ 相沉淀相内几乎不发生塑性变形；(2) 当沿 $\langle 001 \rangle$ 或 $\langle 011 \rangle$ 方向加载时, 由于负错配度所带来的错配应力的影响，塑性变形将首先在垂直于加载方向的 $\gamma $ 相基体通道内中产生，随后扩展至其它方向基体通道，最后延伸至 ${\gamma }'$ 相沉淀相内部；(3) 在多个基体通道相交的区域(子块5~8)，由于具有较低的滑移阻力，滑移系较易开动^[61]，导致这部分区域内的塑性变形比其他区域高，因此，本文体胞模型分块方案(见图 1)优于Fedelich等^[36-37]的分块方案.

图  9  代表性胞元的各子块内塑性应变的演化

Figure  9.  The evolution of plastic strain in different blocks of the unit cell

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3.2   镍基单晶高温合金的反常屈服行为及拉压不对称性

如上所述，为了更好地模拟“超位错对”切割沉淀相( ${\gamma }'$ 相)，我们在本构关系中考虑了由K-W锁所导致的切割阻力项 $\tau ^{\rm KW}$ ，借此来刻画镍基高温合金的反常屈服行为. 图 6(b)的模拟结果显示：当加载温度升高时，高温合金材料的流动应力也随之升高，计算结果与实验数据基本符合，可见这一处理方法是有效的.为了对此进行进一步的分析，图 10给出了镍基高温合金在塑性应变为1%时的流动应力随温度的变化曲线，其加载方式为单轴拉伸，加载率为 $10^{ - 3}$ s $^{-1}$ ，加载方向包括 $\langle 001 \rangle$ , $\langle 011 \rangle$ 和 $\langle 111 \rangle$ 三个典型方向.从图 10可以看出：镍基高温合金的流动强度受温度影响较大，并且在不同加载方向上，流动强度随温度的变化不同.在 $\langle 001 \rangle$ 和 $\langle 011 \rangle$ 加载方向上，随着温度的升高，材料的流动应力先上升，达到峰值后再逐渐下降；但在 $\langle 111 \rangle$ 加载方向上，温度越高，材料的流动强度越低，表明本文模型具有较强的预测镍基高温单晶合金“屈服应力反常”的能力.

图  10  高温合金CMSX-4塑性应变等于1%时流动应力随温度的变化曲线

Figure  10.  The flow stress at $\varepsilon = 1\% $ of CMSX-4 under different temperatures

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镍基高温合金的强度和温度的关系通常受多种机制的影响.本文本构模型主要考虑了以下3点：(1) 随着温度的升高，K-W锁更容易在超位错对上形成，导致对应的解锁应力 $\tau _{ gK }^{\rm KW} $ 升高， $\gamma '$ 相的流动应力相应提高；(2) 随着温度的升高，热激活对位错运动的影响变强，使得 $\gamma $ 相和 $\gamma '$ 相内的位错更容易滑移或攀移；(3) 随着温度的升高，材料的弹性模量下降，同时 $\gamma '$ 体积分数也下降，导致基体相内的弓出应力 $\tau _{ gK }^{\rm oro} $ 随之下降，基体通道内的位错更容易“弯弓”滑移，从而降低材料的流动应力.

根据上述几种机制，图 10中的镍基高温合金流动强度与温度的关系可以解释如下：对于 $\langle 111 \rangle$ 加载方向，塑性变形全部来源于 $\gamma $ 基体相(如图 9(c)所示)，因此，此时合金的屈服强度仅取决于 $\gamma $ 相的强度.随着温度的升高，上述基体相中(2) 及(3) 机制均使位错在 $\gamma $ 相内的运动变得更加容易，从而导致材料整体的强度呈现出随温度增加而单调下降的趋势.但是，在 $\langle 001 \rangle$ 及 $\langle 011 \rangle$ 加载方向，塑性变形同时来源于 $\gamma $ 相及 $\gamma '$ 相(见图 9(a)和(b))，因此，上述三种机制会共同对合金的流动强度产生影响.在550~850℃这一范围内，K-W锁所造成的 $\gamma '$ 相强化效果起主导作用，此时镍基高温合金的整体强度随温度升高呈现出上升的趋势；但是，当温度高于850℃时，材料内 $\gamma '$ 相所占的体积分数显著下降，此时虽然 $\gamma '$ 相的强度仍在提高，但基体通道中的位错运动机制(2) 和(3) 逐渐起主导作用，镍基高温合金的整体强度随温度的进一步升高反而出现降低，呈现出所谓的“强度反常”现象.由此可见，由于比较全面地考虑了这些机制，本文模型具有较强的刻画镍基高温合金“流动强度反常”的能力.

镍基单晶高温合金的另一个重要特性是其“拉压强度不对称性”.我们采用本文本构模型对这一现象进行有限元计算模拟，所得结果如图 11所示，图中实线对应于拉伸加载情形，虚线对应于压缩加载情形，而黑、红、绿色线条分别对应于 $\langle 001 \rangle$ , $\langle 011 \rangle$ 和 $\langle 111 \rangle$ 三个不同加载方向.计算时，加载方式为单轴拉伸/压缩，加载率为 $10^{ - 3}$ s $^{-1}$ ，环境温度设定为850℃.从图 11可以看出：由于本文本构关系包含了K-W锁形成和解锁机制，它不仅成功地捕捉了镍基高温合金的强度拉压不对称性，并且还能够成功地刻画加载方向对“拉压强度不对称”的影响.在 $\langle 001 \rangle$ 加载方向，材料的拉伸强度略高于其压缩强度；但是，在 $\langle 011 \rangle$ 加载方向则相反，材料的压缩强度明显高于其拉伸强度；有趣的是，在 $\langle 111 \rangle$ 加载方向，由于材料内塑性变形几乎全部来自于 $\gamma $ 相，所以拉伸曲线和压缩曲线几乎重合，即不存在明显的强度拉压不对称性.与已有的实验结果^{[19-20, 59]}比较，本文计算结果不仅在趋势上与实验结果基本一致，表明本文模型具有较强的刻画镍基高温合金“拉压强度不对称性”的能力.

图  11  镍基高温合金CMSX-4在850℃不同加载方向下的拉-压应力应变曲线

Figure  11.  The stress-strain curves of CMSX-4 under tensile and compression loads

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3.3   含微结构信息晶体塑性本构模型在多晶镍基高温合金中的应用

为了进一步测试本文本构模型的适用性，利用该本构关系对多晶镍基高温合金的力学行为进行了有限元计算模拟.计算时采用的多晶有限元计算模型如图 12所示，该代表性胞元模型由128个14面体晶粒组成，其中每一个晶粒形状虽相同，但具有不同的晶体取向.考虑到该多晶代表性胞元模型几何上的周期性，计算中，在三个方向上采用周期性边界条件进行加载.

图  12  多晶镍基高温合金有限元模型图

Figure  12.  The FE model of polycrystalline superalloy

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图 13给出了多晶镍基高温合金在拉、压单调荷载和循环荷载下的应力-应变曲线. 图 13(a)表明：多晶模型的流动应力同样显现出“屈服应力反常”现象，其屈服应力达到峰值时的温度约为750℃ (见图 13(a)). 图 13(b)给出了计算得到的多晶模型在850℃及 $10^{ - 3}$ s $^{-1}$ 加载率下的拉伸和压缩应力-应变曲线，结果表明：与 $\langle 011 \rangle$ 取向单晶的响应类似，多晶镍基高温合金的压缩强度高于其拉伸强度，显示出“拉压不对称性”. 图 13(c)给出的是多晶在850℃及 $10^{ - 3}$ s $^{-1}$ 加载率下的循环应力-应变曲线，结果表明：多晶在循环加载下仅存在微弱的软化，并且在第3圈循环后其屈服强度就趋于稳定饱和.

图  13  多晶高温镍基合金的应力-应变曲线

Figure  13.  The computationally obtained stress-strain curves of polycrystalline superalloy

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4.   总结

本文建立了一个基于两相微结构和位错演化信息的镍基单晶高温合金晶体塑性本构模型.该模型包含了如下多种重要的位错运动和演化机制：(1) 在 $\gamma $ 相基体通道中，考虑了位错“弯弓”运动、位错交滑移导致的“锯齿形”运动；(2) 在 $\gamma'$ 相沉淀颗粒中，考虑了位错以“超位错对”的形式切割沉淀相、K-W锁的形成机制；(3) 在 $\gamma / \gamma '$ 两相界面上，考虑了长直位错段沿相界面的攀移.由于多种位错运动机制的引入，本文模型能较全面地描述镍基单晶高温合金的加载方向相关性、温度相关性、蠕变、循环塑性、“流动应力反常”及“拉压不对称”等多种行为.

本文模型虽包含较多的参数，但大部分参数的物理意义是明确的，只有小部分参数需要通过拟合实验结果得到.需要特别指出的是：这些模型参数一旦确定，本文模型就能较好地刻画镍基高温合金在较宽温度范围内的“单调塑性”、“循环塑性”、“蠕变”三种重要的变形行为.也就是说，采用一套本构参数，本文模型能“统一地”描述不同温度、不同加载方向下的镍基单晶高温合金的多种变形行为，其主要原因是该本构模型在介观尺度上综合考虑了上述多种位错运动及动力学演化机制.

还需要指出的是，本文模型也存在如下不足：首先，实验中观察到在达到某一临界温度后， $\gamma'$ 相中的位错运动将变得更加容易进行，使得 $\gamma'$ 相的屈服强度随温度升高而下降，这一实验现象在本模型中并没有考虑，这可以通过考虑K-W锁的解锁实现^[50]；其次，在一定的环境温度下，镍基高温合金材料内的 $\gamma '$ 相筏化(粗化)将逐渐变得重要，本文模型没有考虑它们.

表  附录1  高温合金中的24个可能的八面体滑移系

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表  附录2  基体通道中的12个``立方滑移系''及相关联的八面体滑移系

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表  附录3  位错沿不同取向相界面攀移时的攀移面法向

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