引言

近年来，由于国防工程、地震工程、防风工程以及海洋工程建设的需求，混凝土材料动态力学特性的研究得到广泛关注.研究混凝土材料动态力学特性的方法主要包括试验研究^[1-8]、理论研究^[9-11] (动态强度准则和率相关本构模型)和数值模拟^[12-13].这些成果大多是在零初始应力状态假设下，研究应变率对混凝土材料变形和强度的影响规律取得的.实际工程中的混凝土结构首先受到静载荷的作用，然后再遭受动载荷的作用.利用现有的研究成果进行混凝土结构设计，因没有考虑初始静载荷对动态强度的影响，计算得到的混凝土材料动态强度偏高，使结构设计偏于危险.为了得到混凝土的真实动态强度，必须综合考虑应变率和初始应力状态对混凝土动态力学特性的影响.

目前考虑初始静载荷对混凝土动态力学特性影响的研究较少，主要集中在初始静载荷下混凝土的动态强度试验.例如，Grote等^[14]开展了不同围压下的动态压缩霍普金森杆(SHPB)试验，该试验中的初始静载荷是静水压力，试验结果表明混凝土动态强度随初始围压的增大而增大.宋玉普等^[15]进行了不同侧压力下混凝土的动态劈拉试验，分析了侧压力和应变率对混凝土劈拉强度的影响规律，通过拟合试验结果建立了考虑侧压和应变率的破坏准则.对于上述两个有初始静载荷的动态强度试验，其共同特点是初始静水压力较大.试验结果表明，在该类初始静应力状态下，动态强度随初始静载荷(静水压力)的增大而增大. Kaplan^[16]利用Losenhausen通用试验机进行了19组动态单轴强度试验，研究了混凝土材料在初始静载荷和应变率联合作用下的强度特性，试验中的初始静载荷为单轴载荷，试验结果发现混凝土的动态强度随初始静载荷的增大而减小.闫东明等^[17]通过不同初始静载荷的动态单轴压缩试验发现，混凝土材料的动态强度(峰值应力)在应变率不变时，随初始单轴静载荷的增大而减小；在初始静载荷不变时，随应变率的增大而增大. Akutagawa等^[18]和Bailly等^[19]也通过动态试验，对静动组合载荷下混凝土材料的力学特性进行了研究.上述试验的初始静载荷均为单轴载荷，结果表明动态强度随初始静载荷的增大而减小.马怀发等^[20]通过数值方法模拟了不同初始静载荷条件下梁的动态弯拉破坏过程，得到了不同初始静载荷下混凝土的动态弯拉强度，模拟结果表明，混凝土极限弯拉强度随初始静载荷的增大先增大后减小，分析认为是初始静载荷对混凝土产生的初始损伤使得实际的应变率比直接承受动力载荷时的应变率大所导致.郑丹等^[21]模拟了含裂纹混凝土在不同初始静载荷下的动力响应，分析了不同初始静载荷对混凝土动态力学特性的影响规律，提出了混凝土强度与初始静载荷以及加载速率的关系式.

通过总结前人的试验结果发现，不同试验条件下混凝土动态强度随初始静载荷的变化规律是不同的.部分试验规律表明, 混凝土的动态强度在应变率不变时，随初始静载荷的增大而增大.另外的试验规律表明, 动态强度在应变率不变时，随初始静载荷的增大而降低.两类试验的结论完全相反，其原因就是目前对初始静载荷的认识不清楚，所采用的初始静载荷的定义不统一所导致的.另一方面，目前已有的对混凝土初始静载荷和应变率联合影响的研究主要集中在试验和数值模拟方面，缺乏对静动组合强度规律的理论分析，并且已有的静动强度理论公式多是通过拟合试验或模拟结果建立的，尚未通过分析混凝土静动力破坏的物理机制，建立混凝土材料的静动态强度准则.

本文首先给出了初始静载荷的定义，并在此基础上，通过分析混凝土在静动组合载荷作用下的物理机制，提出了建立静动组合多轴强度准则的一般方法，通过与混凝土材料非线性动态多轴强度准则相结合，得到了静动组合多轴强度准则的一般表达式.建立的强度面在相同初始静载荷下随应变率的增大向外扩张，在相同应变率下随初始静载荷的增大向里收缩，即混凝土的强度在相同初始静载荷下随应变率的增大而增大，在相同应变率下随初始静载荷的增大而减小.最后利用多组混凝土材料静动组合强度试验结果对建立的准则进行了验证.

1.   混凝土在静动组合载荷下的率效应机理

1.1   零初始应力状态下的动力特性

混凝土是一种静水压力相关的材料，其抗剪强度是由黏聚强度和摩擦强度两部分组成. 图 1所示为无初始静载作用时三轴压缩子午面上混凝土的动态强度规律，图中 $q_{\rm c} $ 为静态纯剪强度(黏聚强度)， $f_{\rm c} $ 为静态单轴强度， $q_{\rm c}^{\rm d} $ 为动态纯剪强度， $f_{\rm d} $ 为动态单轴强度，1线为与破坏应力比相同的等应力比路径，2线为静态强度线，3线为动态强度线.如果沿着等应力比路径1加载时，混凝土材料不会发生破坏，表现为单纯的静水压力效应.对于纯剪切加载(路径 $OC$ )，其静水压力的变化等于零( ${\rm{d}} p =0$ )，因此纯剪强度(黏聚强度)是与静水压力无关的.将图中的静态单轴抗压强度( $f_{\rm c} $ )分解为与静水压力无关的黏聚强度( $q_{\rm c} $ )和与静水压力相关的摩擦强度( $q_{\rm p1}$ )，即 $f_{\rm c} = q_{\rm p1} + q_{\rm c} $ ；类似地，动态单轴加载路径( $OB$ )也可以分解为等应力比加载( $OA$ )和纯剪加载( $AB$ )，动态单轴强度分为摩擦强度( $q_{\rm p2} $ )和动态黏聚强度( $q_{\rm c}^{\rm d} $ )，即 $f_{\rm d} = q_{{\rm p2}} + q_{\rm c}^{\rm d} $ .式中摩擦强度和黏聚强度与应变率的关系将在下面讨论.

图  1  无初始静载荷的混凝土静态和动态强度规律

Figure  1.  Static and dynamic strength rules of concrete without initial static loads

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Zhao^[22]的研究表明, 应变率对混凝土内摩擦角的影响很小，可以忽略不计.张艳萍等^[23]通过干砂的动态强度试验结果证明，干砂土的抗剪强度与应变率无关，干砂土是一种纯静水压力相关的材料，其强度线通过原点，即黏聚强度等于零.由此可以得出，应变率对混凝土摩擦强度的影响很小，可以忽略不计.由于子午面上强度线的斜率主要由摩擦规律来控制，因此不考虑摩擦强度的应变率效应时，图 1中的3条线是平行的.混凝土材料动态强度较静态强度的提高主要是由于黏聚强度(纯剪强度)的提高所导致的，其提高的程度可以表示为 $q_{\rm c}^{\rm d} = f\left( {\dot {\varepsilon }, q_{\rm c} } \right)$ .笔者在文献[24]中对应变率相关黏聚强度的物理机制进行了系统的研究发现，混凝土材料的率相关强度主要由3个物理机制来控制，分别为热活化机制、黏性机制和惯性机制.

子午面上非线性强度曲线可以通过应力变换的方法^[25-26]转化为直线，如图 1所示，动态强度与静态强度和应变率的关系可以表示为 $q_{\rm c}^{\rm d} = D\left( \dot {\varepsilon } \right)q_{\rm c} $ ，利用三角形的相似性可得 ${f_{\rm d} } / {f_{\rm c} } = {OB} /{OE}$ 和 ${q_{\rm c}^{\rm d} }/{q_{\rm c} } = {OB}/ {OE}$ ，联立两式得 ${f_{\rm d} }/{f_{\rm c} } = {q^{\rm d}_{\rm c} }/{q_{\rm c} }$ .目前 ${f_{\rm d} } /{f_{\rm c} } = { DIF}$ (dynamic increase factor)已有大量的研究成果，可以利用已有的公式来表示动态黏聚强度与静态黏聚强度的规律，即 ${q_{\rm c}^{\rm d} } / {q_{\rm c} } = { DIF}$ ， $DIF$ 为动态增长因子.子午面上的强度线采用线性关系，不考虑应变率对摩擦强度的影响，动态强度面与静态强度面平行，其斜率相同

求解式(1)，得

式中， $\sigma _0 $ 为混凝土的静态三向拉伸强度； $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ 为混凝土的动态三向拉伸强度； $DIF$ 为应变率的函数.

1.2   初始等向约束条件下的率效应机理

图 2中的加载过程为:混凝土首先承受初始静水压力作用，再受到动态单轴载荷作用，然后发生破坏.图中 $A$ 点为初始静水压力，即初始静载荷，该点之后为动态加载. $OA$ 路径为单独静水压力加载，表现为全部的静水压力效应，由该静水压力提供的剪应力为 $q_{{\rm p1}} $ ； $AC$ 路径为动态单轴加载路径，与无初始静水压力的单轴加载类似，可以分解为等应力比加载路径 $AB$ 和纯剪加载路径 $BC$ .由无初始静载荷的强度规律分析可知， $AB$ 路径也是静水压力效应，产生的剪应力为 $q_{{\rm p2}} $ ，因此静水压力效应产生的总剪应力为 $q_{\rm p} = q_{{\rm p1}} + q_{{\rm p2}} $ .纯剪加载产生的动态黏聚强度 $q_{\rm d} $ 与图 1的相同，也可表示为 $q_{\rm c}^{\rm d} = f\left( {\dot {\varepsilon }, q_{\rm c} } \right)$ ，其动态强度参数也可表示为 $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} = { DIF} \cdot \sigma _0 $ .由以上分析可知，当初始静载荷位于静水压力轴上时，混凝土材料的静态黏聚强度与动态黏聚强度的关系不会受到初始静载荷的影响，初始静载荷只是增大了混凝土材料的静水压力效应，从而导致混凝土的单轴动态强度相比于无初始静载荷时有所提高，提高的部分仅仅是由于静水压力效应导致的.

图  2  初始静水压力作用下混凝土的动态强度规律

Figure  2.  Dynamic strength rules of concrete with initial hydrostatic pressure

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1.3   混凝土在初始静载荷作用下的率效应机理

综合图 1和图 2的动态强度规律可知，当初始静载荷位于过原点的等应力比线上或者线下方时，混凝土材料的纯剪强度(黏聚强度)均不受初始静载荷的影响，即图中 $q_{\rm c} $ 不变，那么应变率相关部分的剪应力 $q_{\rm c}^{\rm d} = { DIF} \cdot q_{\rm c} $ 也不变，初始静载荷的位置只会影响静水压力效应的大小.当初始静载荷位于过原点的等应力比线上方时，混凝土的动态强度规律可用图 3来表示.图中的应力状态可分为3个区域，其中，区域Ⅰ为静水压力效应区，区域Ⅱ为黏聚强度区域，区域Ⅲ为动态强度放大区域.当初始静载荷位于区域Ⅰ时，初始静载荷对混凝土的应变率相关强度无影响，只影响混凝土的摩擦强度(静水压力相关强度). 图 3中点 $A\left( {p_0, q_0 } \right)$ 为初始静载荷，位于区域Ⅱ，AC为从初始静载荷处进行单轴压缩加载路径，同样地， $AC$ 路径可以分解为 $AB$ 路径和BC路径，AB路径为静水压力效应，提供的摩擦强度为 $q_{{\rm p2}} $ ；BC路径为黏聚效应，产生的动态黏聚强度为 ${q}'^{\rm d}_{\rm c} = f\left( {\dot {\varepsilon }, {q}'_{\rm c} } \right)$ .在这种情况下，混凝土材料的潜在静态黏聚强度 ${q}'_{\rm c} $ 小于原始静态黏聚强度 $q_{\rm c} $ ，而潜在黏聚强度 ${q}'_{\rm c} $ 是与应变率相关的，此时得到的动态黏聚强度 ${q}'^{\rm d}_{\rm c} $ 会小于图 1和图 2中的 $q_{\rm c}^{\rm d} $ .图中初始静载荷既有静水压力又有剪应力，由初始静水压力产生的剪应力为 $q_{{\rm p1}} $ ；初始剪应力值 $q_{\rm 0} $ 大于初始静水压力产生的剪应力 $q_{{\rm p1}} $ ，相差的值为 ${q}'_{\rm 0} $ ，该值是导致潜在黏聚强度小于原始黏聚强度的原因，即 ${q}'_{\rm c} = q_{\rm c} - {q}'_{\rm 0} $ .因此，定义 ${q}'_{\rm 0} $ 为有效初始静载荷，其大小为

图  3  混凝土材料的静动组合强度规律

Figure  3.  Static-dynamic coupled strength rules of concrete

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用初始静水压力和破坏应力比来表示有效初始静载荷为

式中， $M_{\rm f}$ 为破坏应力比，可通过文献[22]的方法确定.由于这里的 $M_{\rm f}$ 与应变率无关，因此式(4) 适用于内摩擦角不随应变率变化的混凝土材料，或内摩擦角随应变率变化较小的混凝土材料.

2.   静动组合载荷下的多轴动态强度准则

2.1   静动组合强度参数

从图 3中可以发现，混凝土的动态单轴强度 $q^{\rm d}$ 包括4部分，分别为初始静水压力产生的剪应力 $q_{{\rm p1}} $ 、初始有效剪应力 ${q}'_{\rm 0} $ 、动态加载过程中静水压力产生的摩擦强度 $q_{{\rm p2}} $ 和潜在黏聚强度 ${q}'_{\rm c} $ 产生的动态黏聚强度 ${q}'^{\rm d}_{\rm c} $ .因此， $q^{\rm d} $ 可表示为

其中

用强度参数来表示动态强度面与静态强度面的关系为

求解式(7)，得

式(8) 表示的静动组合强度参数是通过三轴压缩子午面上初始静载荷得到的，利用变化应力方法^[25-26]将其扩展到真三轴应力状态，得到任意中主应力系数 $b$ 下混凝土的静动组合强度参数，表达式为

式中， $q_0^\ast $ 为任意中主应力系数 $b$ 下的初始剪应力.对式(9) 变形，得

从式(10) 可以看出，无初始静载荷时，式(10) 可以退化为式(2) 无初始静载荷的动态强度参数；当初始剪应力为常数时，随着初始静水压力的增大，静水压力效应越显著，静动组合强度参数逐渐增大；当初始静水压力为常数时，随着初始剪应力的增大，初始静水压力效应首先减小，当初始剪应力增大到图 1中1线时，初始静水压力效应完全消失，继续增大初始剪应力，静动组合强度参数与无初始静载荷下的动态强度参数相比逐渐减小.

2.2   静动组合载荷作用下的多轴强度准则

式(9) 或式(10) 确定了静动组合强度参数的一般表达式，即在静态强度准则的材料参数中分别考虑了初始应力状态和应变率的影响.初始静载荷主要影响混凝土材料的摩擦强度和潜在黏聚强度，应变率主要影响混凝土的动态黏聚强度，其中，静水压力效应与应变率效应对混凝土材料动态强度的影响是相互独立的.若要建立混凝土的静动强度准则，需结合某一确定的多轴静态强度准则，如Mohr-Coulomb强度理论，Drucker-Prager强度理论，Matsuoka-Nakai强度理论，Lade-Duncan强度理论^[27]以及非线性统一强度准则等^[28-29].该准则已经被笔者作为屈服函数建立了混凝土的三维弹塑性本构模型^[30-32]，本文将其与静动组合强度参数相结合，来建立混凝土材料的静动组合强度准则.广义非线性强度理论^[29]表达式为

式中， $M_{\rm f} $ 为参考应力 $p_{\rm r} $ 处破坏应力比，用来控制混凝土的摩擦特性

式中， $\alpha $ 为参考应力 $p_{\rm r} $ 处三轴拉压强度比； $\sigma _0 $ 为三向拉伸强度； $n$ 为静水压力效应指数； $\bar {I}_1 $ , $\bar {I}_2 $ , $\bar {I}_3 $ 分别为过渡应力空间的应力不变量，表达式为

过渡应力空间的应力张量为

广义非线性强度理论包含4个强度参数，分别为三向拉伸强度 $\sigma _0 $ ，破坏应力比 $M_{\rm f}$ ，三轴拉压强度比 $\alpha $ 和静水压力效应指数 $n$ . 1.2节给出了三向拉伸强度 $\sigma_{\rm 0}^{\rm d} $ 与应变率和初始静载荷的关系，式(9) 的推导过程表明, 参数 $M_{\rm f}$ 和 $n$ 均与初始静载荷无关，参数 $\alpha $ 控制偏平面的强度规律，目前初始静载荷对偏平面强度规律影响的研究较少，本文也暂不考虑初始静载荷对其的影响.文献[33]给出了广义非线性强度理论中强度参数与应变率的关系，将静动组合强度参数 $\sigma_{\rm 0}^{\rm d} $ 和其他3个应变率相关的参数代入广义非线性强度理论式(12)，得

式中，参数 $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ 可通过式(9) 确定，参数 $\alpha $ , $M_{\rm f}$ 和 $n$ 可通过混凝土材料非线性多轴动态强度准则^[33]中提供的方法确定.

2.3   应变率相关的动态强度动力增长因数

建立混凝土材料静动强度准则的关键是确定静动组合材料参数，即式(9) 的表达式.本文将混凝土材料非线性动态单轴S准则^{[24, 34]}作为静动组合强度准则的动力增长因子，其表达式如下

式中， $F_{0}$ 为对数应变率等于 $u_{0}$ 时的混凝土材料强度增长幅值的动力增长因数，一般可取拟静应力状态，即 $u_{0} =-5$ ； $\xi $ 为材料参数，反映混凝土强度随应变率增大而增长的程度； $F_{\max}$ 为强度增长幅值的动力增长因子 $F$ 的极限值，反映混凝土材料动态强度的极限值； $u = \lg \dot {\varepsilon } $ 为对数剪应变率， $\dot {\varepsilon }$ 为应变率.

式(19) 表示的应变率相关动力增长因子随参数 $\xi $ 和 $F_{\max}$ 的变化规律, 如图 4和图 5所示. 图 4表明，随着参数 $\xi $ 的增大，在参考点 $A$ 处S曲线的斜率越大，混凝土材料的动力增长因子 $DIF$ 随对数应变率 $u$ 增加的速率越大. 图 5表明，随着参数 $F_{\max}$ 的增大， $DIF$ 不断增大，混凝土的动态强度也逐渐增大.

图  4  参数 $\xi $ 对 $DIF$ 的影响规律

Figure  4.  Influence of the parameter $\xi $ on the $DIF$

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图  5  参数 $F_{\max}$ 对 $DIF$ 的影响规律

Figure  5.  Influence of the parameter $F_{\max}$ on the $DIF$

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3.   静动组合强度规律分析

静动组合强度参数表明混凝土材料的动态强度面位置与初始静载荷和应变率相关，不同加载路径下混凝土材料的抗剪强度也不同.

3.1   加载路径对静动组合强度的影响

当其他因素不变时，只分析加载路径对混凝土静动组合强度的影响，可以用图 6来表示.图中 $AB$ 和 $AC$ 为两条不同的加载路径，两条路径的初始静载荷相同，均为 $A$ 点.当两条路径的加载速率相同时，动力增长因子 $DIF$ 相同，通过式(8) 可以发现, 两条路径的静动组合强度参数也相同，即不同路径的强度点在相同的强度面上，但二者最终所能达到的强度值不同.在加载过程中，每一步加载都可以将上一步的应力状态作为初始静载荷，那么从初始点 $A$ 到静态强度线之间可以作任意一条应力比等于破坏应力比的线，作为初始静载荷相同的线，如图中线1.由图 3分析可知，等应力比线到静态强度线之间的纯剪应力是与应变率相关的，即图 6中 ${q}'_{{\rm c1}} $ 和 ${q}'_{{\rm c2}} $ 与应变率相关，从图中可以发现二者的值相等，因此加载过程中通过两条路径的任意点得到的静动组合强度面都是相同的.通过以上分析得出，当初始静载荷相同，加载速率相同时，混凝土材料的静动组合强度面是固定不变的，但不同加载路径下的抗剪强度大小不同，这是由于不同加载路径的静水压力效应不同所导致的.

图  6  任意加载路径下子午面上强度规律

Figure  6.  The strength rule on the meridian plane under the arbitrary loading path

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3.2   初始静载荷对静动组合强度的影响

2.1节的分析表明，加载路径不影响静动组合强度面的位置，因此用单轴加载路径来分析初始静载荷对混凝土静动组合强度的影响.如图 7所示， $A_{1}C_{1}$ 和 $A_{2}C_{2}$ 分别为不同初始静载荷下的单轴加载路径，初始静载荷分别为 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ ，它们的静水压力相等，剪应力为 $q_{01} < q_{02} $ ，两条路径的加载速率相等.从图中可以发现， $A_{1}C_{1}$ 和 $A_{2}C_{2}$ 路径下与应变率相关的潜在黏聚强度分别为 ${q}'_{{\rm c1}} $ 和 ${q}'_{{\rm c2}} $ ，并且 ${q}'_{{\rm c1}} > {q}'_{{\rm c2}} $ .通过式(8) 计算得到的静动组合强度参数 $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ ，在初始静载荷 $A_{1}$ 处的值大于初始静载荷 $A_{2}$ 处的值，即初始静载荷 $A_{1}$ 处的静动组合强度面高于初始静载荷 $A_{2}$ 处的强度面.图中单轴静动组合强度 $f^{\rm d}_{1} $ 明显大于 $f^{\rm d}_{2} $ ，一方面是由于 $A_{1}C_{1}$ 路径的静水压力效应大于 $A_{2}C_{2}$ 路径的静水压力效应；另一方面是由于 $A_{1}C_{1}$ 路径的初始剪应力小于 $A_{2}C_{2}$ 路径的初始剪应力，其应变率相关的潜在黏聚强度 ${q}'_{{\rm c1}} > {q}'_{{\rm c2}} $ ，得到的动态黏聚强度 ${q}'^{\rm d}_{{\rm c1}} > {q}'^{\rm d}_{{\rm c2}} $ ，两部分相结合得到静动组合强度 $q_1^{\rm d} > q_2^{\rm d} $ .通过以上分析可得，当应变率和加载路径不变时，在相同初始静水压力下随着初始剪应力的增大，静动组合强度面向里收缩，静动组合抗剪强度逐渐减小.其原因是初始静载荷的增大，使得潜在黏聚强度的降低，进而降低了动态黏聚强度，从而导致静动组合强度面随初始静载荷的增大而收缩.

图  7  不同初始静载荷下子午面上的强度规律

Figure  7.  The strength rule on the meridian plane under different initial static loadings

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3.3   加载速率对静动组合强度的影响

当初始静载荷相同，加载路径相同时，分析不同加载速率下混凝土的静动组合强度规律，如图 8所示.图中路径 $AC_{1}$ 对应的加载速率为 $\dot {\varepsilon }_1 $ ，路径 $AC_{2}$ 所对应的加载速率为 $\dot {\varepsilon }_2 $ ，应变率的大小关系为 $\dot {\varepsilon }_1 < \dot {\varepsilon }_2 $ ，为简单起见，各路径在加载过程中应变率保持为常数.如图所示，两个加载速率的加载路径相同，初始静载荷也相同，因此应变率相关的潜在黏聚强度 ${q}'_{{\rm c1}} = {q}'_{{\rm c2}} $ .由于加载速率不同，由式(6) 得到的动态黏聚强度 $q_{\rm d} $ 不同，应变率越大，动态黏聚强度越大， ${q}'^{\rm d}_{{\rm c1}} > {q}'^{\rm d}_{{\rm c2}} $ .由式(8) 可得，静动组合强度参数关系为 $\sigma _{{\rm 02}}^{\rm d} > \sigma _{{\rm 01}}^{\rm d} $ ，由式(5) 可得，静动组合单轴强度大小关系为 $q_{\rm c2}^{\rm d} > q_{\rm c1}^{\rm d} $ .导致静动组合单轴强度大小不同的原因，一方面是由应变率引起的，另一方面是由静水压力效应不同导致的.通过以上分析可得，当初始静载荷和加载路径相同时，随着应变率的增大，混凝土的静动组合强度参数逐渐增大，混凝土的静动组合强度面逐渐向外扩张，静动组合抗剪强度逐渐增大.其原因是应变率的增大使得动态增长因子 $DIF$ 的增大，进而增大了动态黏聚强度的大小，从而导致静动组合强度面随应变率的增大向外扩张.

图  8  不同应变率下子午面上的强度规律

Figure  8.  The strength rule on the meridian plane under different strain rates

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综上所述，在其他影响因素不变时，不同加载路径下，混凝土材料的静动组合强度大小是不同的，但各路径下的静动组合强度均位于相同的强度面上，即静动组合强度面位置与加载路径无关.初始静载荷和加载速率对混凝土的静动组合强度面位置均有影响，从式(9) 确定的强度参数 $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ 也可以发现相同的规律.当加载路径和加载速率不变时，静动组合强度面随初始静载荷的增大向里收缩，静动组合强度随初始静载荷的增大而减小.当加载路径和初始静载荷不变时，静动组合强度面随应变率的增大向外扩张，静动组合强度随应变率的增大而增大.

4.   主应力空间中的静动组合强度准则

通过将静动组合强度参数与广义非线性强度理论相结合，建立了本文的静动组合多轴强度准则.分析该准则在不同加载条件下，子午面、偏平面以及主应力空间中的强度规律.分析中所用的强度参数采用文献[31]的建议值，分别为 $\xi =0.94$ , $F_{\max} =2.12$ ，静动组合强度准则的参数 $M_{\rm f}$ , $n$ 和 $\alpha $ 仅与应变率相关，其确定方法与混凝土材料非线性多轴动态强度准则相同， $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ 既与应变率相关，又与初始静载荷相关，通过式(8) 确定.

4.1   单轴应力条件下的静动组合强度线

单轴应力条件下，参考宫凤强等^[35]进行的砂岩静动组合强度试验结果计算强度准则的材料参数，分析静动组合单轴强度规律.理论计算中，取混凝土的单轴抗压强度为115 MPa，初始静载荷分别为 $f_{0}= 0$ MPa, $f_{0}= 30$ MPa, $f_{0}= 60$ MPa, $f_{0}= 80$ MPa和 $f_{0}= 90$ MPa，对数应变率分别为 $u= 1.89$ , $u= 1.97$ , $u= 2.06$ , $u= 2.12$ 和 $u= 2.14$ .由试验结果求得材料参数分别为 $\xi =10.08$ , $F_{\max} =0.69$ , $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ 取值见表 1，图 9所示为理论计算的动态单轴强度随初始静载荷的变化规律，同一应变率下，动态单轴强度随初始静载荷的增大而降低，对于不同的应变率，动态单轴强度随初始静载荷降低的速率不同. 图 10为动态单轴强度随应变率的变化规律，当初始静载荷为常数时，动态单轴强度随应变率的增大而增大，在不同初始静载荷下，动态单轴强度随应变率增大的速率不同，但相差不大.此外，图 10也表明，动态单轴强度随应变率的增大都存在极限强度，这一特性与混凝土材料非线性动态单轴S准则相同，但该准则的动态极限强度随初始静载荷的增大而降低.

表  1  不同初始静载荷和应变率下参数 $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ 的取值

Table  1.  Value of parameter $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ at different initial static stress and strain rates

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图  9  不同应变率下初始静载与动态强度关系

Figure  9.  The relationship between initial static load and dynamic strength under different strain rates

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图  10  不同初始静载下应变率与动态强度关系

Figure  10.  The relationship between strain rate and dynamic strength under different initial static load

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4.2   子午面上的静动组合强度线

本文建立的静动组合多轴强度准则在子午面上的强度线为幂函数，通过变换应力方法^[25-26]，将子午面上的非线性曲线变换为线性，从而将混凝土静动组合强度参数 $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ 代入变换应力公式中，即可得到初始静载荷和应变率对三轴压缩子午面上静动组合强度的影响规律.取C20混凝土为例来分析静动组合强度准则在子午面上的强度规律，混凝土的抗压强度取 $f_{\rm c}=20.1$ MPa，初始静载荷分别取 $p_0 = 50$ ， $q_0^ * = 5$ 和 $p_0 = 50$ ， $q_0^ * = 15$ ，对数应变率分别取 $u = - 5$ 和 $u = - 2$ ，计算得到的材料参数见表 2.如图 11(a)和图 11 (b)分别为动态强度在不同应变率和不同初始静载荷下的子午面强度曲线.从图 11(a)中可以发现，当初始静载荷为常数时，强度曲线随着应变率的增大向外扩张，表明静动组合多轴强度随着应变率增大而增大.从图 11(b)中可以看出，当应变率为常数时，强度线随初始静载荷的增加而收缩，说明静动组合多轴强度随着初始静载荷增大而降低.并且，初始静载荷越大，静动组合强度降低的趋势越明显.

表  2  静动多轴强度准则的材料参数取值

Table  2.  The value of material parameters in static-dynamic combined multiaxial strength criterion

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图  11  静动组合强度准则在子午面上的强度曲线

Figure  11.  Dynamic strength curve of static-dynamic coupled strength criterion on the meridian plane

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4.3   偏平面上的静动组合强度线

与子午面的分析相对应，在静水压力 $p =50$ MPa处给出不同初始静载荷和应变率下静动组合强度准则在偏平面上的强度曲线，如图 12所示. 图 12(a)为在 $q_0^* = 0$ MPa下， $u = - 5$ 和 $u = - 2$ 时的强度曲线，从图中可以看出，当初始静载荷为常数时，随着应变率的提高，强度曲线向外扩张，并且随着应变率的增大，强度曲线有向Mises圆过渡的趋势. 图 12(b)为在 $u = - 2$ 时， $q_0^ * = 5$ MPa和 $q_0^ * = 15$ MPa下的强度曲线，从图中可发现，当应变率为常数时，随着初始静载荷的提高，强度曲线逐渐向内收缩，并且随着初始静载荷的增大, 强度曲线有向SMP曲线过渡的趋势.

图  12  静动组合强度准则在偏平面上的强度曲线

Figure  12.  The dynamic strength curve of static-dynamic coupled strength criterion on the deviatory plane

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4.4   主应力空间中的静动组合强度面

采用与上面相同的强度参数，分别给出对数应变率 $u = - 5$ 和 $u = - 2$ ，以及初始静载 $q_0^ * = 5$ MPa和 $q_0^ * = 15$ MPa下的静动组合强度准则在主应力空间中的强度面，如图 13和图 14所示，图中(a)和(b)为相同强度面的不同角度.从图中可以发现，不同应变率及不同初始静载下的强度曲面在主应力空间中汇聚于静水压力轴的一端，另一端为开口，并且曲面处处连续光滑.主应力空间中强度曲面随应变率和初始静载的变化规律综合了子午面和偏平面上强度曲线的规律，即在相同初始静载荷下，主应力空间的强度面随应变率的增大向外扩张，在相同应变率下，随初始静载荷的增大主应力空间的强度面向里收缩.

图  13  静动组合强度准则在主应力空间中的强度面

Figure  13.  Strength surfaces of the static-dynamic coupled strength criterion in the principle stress space

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图  14  静动组合强度准则在主应力空间中的强度面

Figure  14.  Strength surfaces of the static-dynamic coupled strength criterion in the principle stress space

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5.   动态强度准则与试验结果的对比分析

目前在混凝土静动组合强度方面的试验较少，尤其缺乏真三轴静动组合强度的试验.本文利用2组混凝土静动组合单轴试验和1组砂岩的静动组合单轴强度试验结果，验证了混凝土材料静动组合强度准则的合理性.准则中材料参数 $\xi $ 和 $F_{\max}$ 均通过试验中 $f_{0} =0$ MPa条件下的试验结果确定.

5.1   单轴压缩试验

徐超^[36]开展了混凝土材料的单轴压缩静动组合强度试验，所用混凝土材料的实测单轴抗压强度 $f_{\rm c} =41.36$ MPa，试验过程中，对混凝土试样首先施加0%, 40%, 60%, 75%和85%抗压强度的初始静载荷，保持初始静载荷不变，再施加动载荷使混凝土试样发生破坏，动载荷的对数应变率分别为 $u= -5$ , $u= -4$ 和 $u= -3$ ，试验结果如图 15中的点所示.由试验结果计算得到准则的材料参数 $F_{\max} =2$ ， $\xi =0.5$ ，不同初始静载荷和应变率下的 $\sigma_{\rm 0}^{\rm d}$ 见表 3，静动组合强度准则的计算结果如图 15中的曲线所示.从图中可以看出，静动组合强度准则的预测曲线较好地描述了试验结果.预测曲线反映的静动组合强度随应变率及初始静载变化的规律，与试验结果一致.

表  3  不同初始静载荷和应变率下参数 $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ 的取值

Table  3.  The value of parameter $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ at different initial static loadings and strain rates

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图  15  理论计算与单轴静动组合试验结果的比较

Figure  15.  Comparison between calculated and test results under uniaxial static-dynamic coupled

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宫凤强等^[35]进行了砂岩的单轴压缩静动组合试验，所用砂岩的单轴抗压强度 $f_{\rm c} =115$ MPa，加载过程中先施加一轴向静载，分别为60MPa，80MPa和90MPa，相当于静态抗压强度的52%，70%和78%，之后在相同初始静载下，再施加动载荷使砂岩发生破坏，动载荷的对数应变率分别为 $u= 1.89$ , $u= 1.97$ , $u= 2.06$ , $u= 2.12$ 和 $u= 2.14$ ，试验结果如图 16中的点所示.由试验结果计算得到准则的材料参数 $F_{\max} =6.5$ ， $\xi =4.7$ ，不同初始静载荷和应变率下的 $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ 见表 4，静动组合强度准则的计算结果如图 16中的曲线所示.从图中可以看出，静动组合强度准则的预测曲线较好地描述了试验结果.同一初始静载下，预测曲线与实验结果均随着应变率的提高而提高，应变率不变时，预测曲线与实验结果均随初始静载的提高而降低.

表  4  不同初始静载荷和应变率下参数 $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ 的取值

Table  4.  The value of parameter $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ at different initial static loadings and strain rates

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图  16  理论计算与单轴静动组合试验结果的比较

Figure  16.  Comparison between calculated and test results under uniaxial static-dynamic coupled

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5.2   单轴拉伸试验

Xiao等^[37]开展了混凝土材料的单轴拉伸静动组合试验，混凝土材料的单轴抗拉强度 $f_{\rm t} =3.95$ MPa, 试验过程中，对混凝土试样首先施加0%，45%，60%和75%抗拉强度的初始静载荷，保持初始静载荷不变，再施加动载荷使混凝土试样发生破坏，动载荷的对数应变率分别为 $u= -5$ , $u= -4$ , $u= -3$ 和 $u= -2$ ，试验结果如图 17中的点所示.由试验结果计算得到准则的材料参数 $F_{\max} =1$ ， $\xi =0.6$ ，不同初始静载荷和应变率下的 $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ 见表 5，静动组合强度准则的计算结果如图 17中的曲线所示.从图中可以发现，静动组合强度准则的预测曲线较好地描述了试验结果.预测曲线反映的静动组合强度随应变率及初始静载变化的规律，与试验结果一致.

表  5  不同初始静载荷和应变率下参数 $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ 的取值

Table  5.  The value of parameter $\sigma _{\rm 0}^{\rm d} $ at different initial static loadings and strain rates

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图  17  理论计算与单轴静动组合试验结果的比较

Figure  17.  Comparison between calculated and test results under uniaxial static-dynamic coupled

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6.   结论

通过分析混凝土材料在静动组合载荷下的强度规律，揭示了应变率对混凝土材料黏聚强度和摩擦强度的影响机理，给出了初始静载荷的定义，提出了建立静动组合强度准则的一般方法.通过强度参数反映初始静载荷与应变率的联合影响，得到的混凝土静动组合强度由初始有效静载荷、动态黏聚强度和摩擦强度共同组成.

本文将利用得到的静动组合强度参数，将广义非线性强度理论发展为静动组合多轴强度准则.通过分析加载路径、初始静载荷和应变率对混凝土静动组合强度的影响，以及建立的静动组合强度准则在单轴应力条件下、偏平面、子午面上的强度曲线和主应力空间中的强度面规律，得到如下结论：建立的强度面在相同初始静载荷下随应变率的增加向外扩张，在相同应变率下随初始静载荷的增加向里收缩，即混凝土的强度在相同初始静载荷下随应变率的增大而增大，在相同应变率下随初始静载荷的增大而减小.此外，当初始静载荷和应变率不变时，加载路径对混凝土材料的应变率效应无影响，但会影响混凝土材料的静水压力效应.即当初始静载荷和应变率固定不变时，就确定了静动组合强度面的位置和大小，不同加载路径下强度的不同是由于静水压力效应所导致.目前在混凝土静动组合强度方面的试验较少，尤其缺乏真三轴静动组合强度的试验.本文利用2组混凝土静动组合单轴试验和1组砂岩的静动组合单轴强度试验，验证了混凝土材料静动组合强度准则的合理性.