STUDY ON THE DYNAMIC RESPONSE OF A CONICAL PROJECTILE SUBJECTED TO IMPACT LOADING AT ITS NOSE
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摘要: 近年来, 高超声速武器凭借其打击速度和毁伤效能的优势得到了迅速发展. 为提高武器平台的空间利用率, 采用与平台共形的变截面战斗部成为重要的发展趋势. 然而, 战斗部外形的复杂化和速度的提高导致其载荷环境更加严酷, 结构强度问题突出. 为探究变截面弹体在非正侵彻条件下的结构动力响应规律, 文章基于空间自由梁和结构塑性理论, 建立了头部受冲击载荷作用的锥形弹体结构动力响应模型和轴力-弯矩耦合作用下的结构失效函数, 并借助Abaqus/Explicit非线性数值程序对典型锥形弹体的动力响应进行了仿真, 验证了理论模型的合理性和准确性. 在此基础上, 分析了弹体头部形状系数、锥度、径厚比和长径比等因素对弹体内力分布和失效位置的影响规律. 结果表明, 理论模型能够较准确地预测变截面弹体的内力分布规律; 头部集中质量降低了弹体的内力幅值, 但不影响其分布规律. 在冲击载荷、头部直径及其他无量纲参数相同的条件下, 弹体锥度越大, 危险位置越靠近弹体头部, 而长径比或径厚比增大会使弹体更易发生结构失效.Abstract: In recent years, hypersonic weapons have developed rapidly due to their advantages in attack speed and damage ability. In order to improve the space utilization of the platform, the adoption of variable cross-sectional warheads that have the same shape as the platform becomes an important developing trend. However, the increase in structural shape complexity and velocity results in extreme dynamic loading conditions, which lead to serious structural strength issues for warheads. To investigate the dynamic response of variable cross-sectional projectiles in oblique penetration scenarios, based on the free-free beam and structural plasticity theories, a dynamic response model and structural failure function with the coupling of axial force and bending moment considered were established for the conical projectile subjected to impact loading at its nose. Then, by means of Abaqus/Explicit nonlinear finite element analysis software, the dynamic responses of typical conical projectiles under different impact loadings at the nose were numerically simulated, and the rationality and accuracy of the proposed dynamic response model were verified. Based on the theoretical models, the influences of the structural parameters of projectiles, such as the shape coefficient of the projectile head, semi-conic angle, diameter-to-thickness ratio, as well as the length-to-diameter ratio were analyzed. The results showed that the theoretical model could predict the internal force distribution and failure locations of the conical projectiles very well. The nose mass of the projectile could decrease the magnitude of the internal forces, but does not change their non-dimensional distribution. When the impact loading, the diameter at the front part of the projectile, as well as the other nondimensional parameters keep constant, the increase of the semi-conic angle of the projectile induces a shift of the critical failure section toward the head, and the increase of the length-to-diameter ratio or diameter-to-thickness ratio makes the projectile more prone to structural failure.
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Keywords:
- structural response /
- impact loading /
- free-free beam /
- conical projectiles
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引 言
近年来, 高超声速武器凭借其显著的毁伤威力和作战效能优势, 得到了快速发展[1]. 与传统飞行器相比, 高超声速武器采用独特的乘波体气动外形, 可显著提升其升力特性和机动性. 为了提高该类武器平台的空间利用率和毁伤威力, 采用与平台共形的变截面战斗部成为重要的发展趋势[2]. 随着战斗部结构形状的改变和速度的提高, 其在侵彻过程中面临的载荷环境变得更加复杂和严酷, 会出现头部侵蚀、结构弯曲, 甚至折断等结构强度问题[3-4]. 因此, 掌握变截面战斗部在高速着靶条件下的冲击响应和失效规律, 对弹体结构强度进行合理评估, 对于高超声速武器战斗部的结构设计具有重要意义.
针对高速侵彻混凝土靶过程中弹体的载荷特性, Forrestal等[5-6]开展了大量的试验. 结果表明, 在弹体头部完全嵌入靶板时刻, 其所受的冲击载荷最大. 对于斜侵彻的情况, 如图1所示, 弹体着靶时, 将承受高强度的轴向冲击载荷Fa与横向冲击载荷Ft的共同作用, 使得弹体结构更加危险[7]. 由于弹体触靶前, 处于自由飞行状态, 而在触靶时刻, 除头部受冲击载荷作用外, 弹身未受到任何其他约束, 其载荷环境与端部受冲击的自由梁基本一致. 因此, 可借助空间自由梁理论对弹体侵彻靶标的结构动态响应进行研究.
针对等截面自由梁在不同冲击载荷下的动态响应, 学者们已取得了一系列研究成果. Jones等[8]基于材料刚塑性假设, 给出了三角形分布冲击载荷作用下均匀自由梁变形的理论解和能量耗散. 之后, Yu等[9]针对自由梁在跨中受冲击的工况, 给出了弹塑性分析方法, 并指出刚塑性方法高估了塑性耗散能. Yang等[10]通过刚塑性分析方法研究了自由梁在任意位置受冲击时, 载荷大小和作用位置等因素对自由梁变形模式、塑性铰位置和能量耗散率的影响. Yang等[11-12]和Ahmed等[13-14]则通过弹塑性分析方法, 结合数值计算对该问题进行了研究, 并与刚塑性方法的结果进行了对比, 结果表明, 基于两者得到的自由梁的变形模式相同, 由于刚塑性方法忽略了弹性变形以及弹、塑性波之间的相互作用, 因此在变形模式的定量分析上存在一些差异[12]; 两种方法对于塑性铰瞬时位置的预测也非常接近, 而基于刚塑性方法得到的塑性铰初始速度相对较低[13]. 此外, Ahmed等[14]指出, 当脉冲载荷施加在自由端或跨中时, 自由梁更容易产生弯曲变形. 由以上研究可知, 端部受冲击自由梁的结构动态响应研究已经相对完善, 但是已有研究集中于对等截面自由梁动态响应问题的分析上, 而针对变截面自由梁缺少相关研究分析.
如前所述, 自由梁理论可应用于弹体侵彻过程中的结构动态响应研究, 其中刚塑性分析方法因其可解析性且精度可靠的优势, 已被广泛应用于该领域的研究工作[15]. 皮爱国等[16-17]和王一楠等[18]将动能弹体简化为等截面均匀自由梁, 分别研究了其在斜侵彻和小攻角侵彻初期的结构响应行为, 得到了弹体剪力和弯矩的分布规律以及弹体发生弯曲的临界条件. 王景琛[19]进一步分析了任意位置冲击下等截面弹体的结构响应, 发现弹体头部受冲击时最容易发生弯曲. 针对锥形弹体, 张欣欣等[20]和朱超[21]以端部受载的变截面自由梁结构进行分析, 提出了计算弹体剪力、弯矩的数值积分方法, 并基于此给出了弹性屈服函数的分布规律. 尽管如此, 针对锥形弹体, 现有研究仅给出了数值解, 而在数值仿真和解析方法上缺少相应分析和验证.
另一方面, 侵彻过程中弹体的结构响应也会受到冲击载荷特性和结构振动特性的影响[22]. 在弹体结构的振动特性方面, 刘波等[23]基于波动方程建立了弹体轴向振动固有频率的理论模型, 并以仿真及实测结果验证了模型精度. 在其基础上, 郑卓扬等[24]针对大长径比小直径弹, 给出了弹体弯曲振动的固有频率和模态振型. 郝慧艳等[25]对长径比为5的常规弹体开展了相关研究, 并通过实测信号验证了分析结果. 然而, 上述模型中弹体采用等截面假设, 并未涉及到锥形弹体的相关研究. 在梯度梁振动领域, Shahba等[26]考虑了结构变截面对自由振动特性的影响, 但是所研究梁的边界条件为两端固支、两端简支等, 与自由梁不符.
为建立非正侵彻条件下锥形弹体的结构强度分析方法, 并探究不同弹体结构参数的影响规律, 本文基于变截面自由梁模型, 推导了含头部集中质量的锥形弹体在头部冲击下结构内力分布规律的计算模型, 结合轴力和弯矩共同作用下结构的塑性极限函数给出了弹体结构失效模型, 并通过相关试验结果及数值模拟工况进行验证. 在理论模型的基础上, 进一步分析了弹体头部形状系数、锥度、径厚比和长径比等因素对于结构响应的影响规律, 以期为斜侵彻弹体的结构强度设计提供理论指导.
1. 头部受冲击的锥形弹体结构动力响应模型
1.1 锥形弹体的自由梁简化
相对于等截面自由梁, 将锥形弹体分为头部实心段和锥形弹身两部分考虑. 由于头部实心段长度相对较小, 为了简化分析, 忽略其长度, 将其简化为端部集中质量. 简化后的锥形弹体结构模型如图2(a)所示, 其左端部为集中质量m0, 弹身段长度为L, 半锥角为θ, 弹身质量为m1. 图2(b)给出了弹体的受力和运动状态, 其在左端受到横向冲击载荷Ft和轴向冲击载荷Fa的共同作用, 图中xc代表弹体质心与弹身头部的距离, u0和α分别为弹体头部的横向位移和质心相对于头部的转角.
定义该弹体的头部质量系数为
$$ \mu = \frac{{{m_0}}}{{{m_1} + {m_0}}} $$ (1) 设弹体截面为圆形, 弹身头部外径为D0, 如图2(a)所示, 可得距头部x处的弹身外径为
$$ D = {D_0} + 2x\tan \theta $$ (2) 设弹体由壳体和内部装药组成, 密度分别为ρs和ρp, 壳体沿轴向保持均匀壁厚, 壁厚为h, 则针对图2(a)所示的头部外径为D0、半锥角为θ的圆形截面弹体, 沿轴线方向上弹身任意位置处单位长度弹体的质量, 即线密度为
$$ \begin{split} & \rho (x) = {\rho _{\text{s}}} \cdot \text{π} h \cdot ({D_0} + 2x\tan \theta - h) + \\ &\qquad \frac{1}{4}{\rho _{\text{p}}} \cdot \text{π} {({D_0} + 2x\tan \theta - 2h)^2} \end{split} $$ (3) 根据式(3), 在未装药条件下, 弹体线密度呈线性变化关系; 装药后, 线密度按二次函数变化. 为了考察锥度对弹体线密度的影响, 设壳体密度为ρs = 7.9 g/cm3, 装药密度为ρp = 1.8 g/cm3, 长径比为L/D0 = 5, 径厚比为D0/h = 10. 在弹身头部外径D0相同的条件下, 根据上述弹体结构参数及式(3), 分别计算了θ = 3º和5º时弹体的线密度变化关系, 结果如图3所示. 其中, $ \bar \rho $为无量纲线密度
$$ \bar \rho = \frac{{\rho (x)}}{{{\rho _{\text{s}}} \cdot \text{π} h \cdot ({D_0} - h)}} $$ (4) 图3中同时给出了弹体线密度的线性回归分析结果, 其中R2代表线性回归模型对数据的拟合优度. 可见, 在该参数条件下R2 > 0.99, 表明线性拟合度极佳. 因此, 为了便于理论推导, 将锥型弹体弹身沿轴线方向的线密度简化为以下线性关系
$$ \rho (x) = {\rho _0}(1 + k \cdot x) $$ (5a) 式中, ρ0为弹身头部线密度, k为拟合线密度变化系数. 由图3可得, 弹体锥度越小, 拟合效果越好.
根据式(5a), 当弹体直径D0及其他无量纲结构参数一定时, 不同锥度的弹体线密度的线性简化误差主要受k影响. 为了探究k对弹体内力分布规律的影响, 以θ = 4.5º为例, 其余弹体结构参数同上, 可得在该结构参数下弹体的实际线密度ρr(x). 设在弹身某位置x1处, 有
$$ {\rho _{\text{r}}}({x_1}) = {\rho _0}(1 + {k_{\text{r}}} \cdot {x_1}) $$ (5b) 式中, kr为实际线密度变化系数, 根据0 < x1≤L, 可得2.757≤kr≤3.073. 图4(a)和图4(b)中以线性拟合结果为基准, 分别给出了θ = 4.5º弹体的无量纲弯矩和轴力的分布规律, 同时给出了k介于2.757 ~ 3.073时的误差. 可见, 在弹身跨度内, 弯矩和轴力的最大相对误差分别为2.5%和1.8%, 在可接受范围内.
对弹身线密度进行线性简化后, 可得弹身总质量及弹体头部质量系数分别为
$$ {m_1} = {\rho _0}L \cdot \left(1 + \frac{1}{2}kL\right),\quad {\text{ }}\mu = \frac{{{m_0}}}{{{m_0} + {\rho _0}L(1 + 0.5kL)}} $$ (6) 弹体的质心位置xc和相对质心的转动惯量Jc分别为
$$ {x_{\text{c}}} = \frac{L}{2}(1 - \mu ) \cdot \frac{{1 + \dfrac{2}{3}kL}}{{1 + \dfrac{1}{2}kL}} $$ (7a) $$ {J_{\text{c}}} = \frac{{{\rho _0}{L^3}}}{{12}}\left[ {\frac{{(4 + 3kL)\left(1 + \dfrac{1}{2}kL\right) - 3(1 - \mu ) \cdot {{\left( {1 + \dfrac{2}{3}kL} \right)}^2}}}{{\left(1 + \dfrac{1}{2}kL\right)}}} \right] $$ (7b) 1.2 变截面自由梁结构动力响应模型
如图2(b)所示, 当弹体左端部受到横向冲击载荷Ft时, 假设结构未发生塑性失效, 且忽略弹性变形, 则在小位移范围内, 其动量和动量矩方程为
$$ \left.\begin{aligned} & {F_{\text{t}}} = ({m_0} + {m_1}) \cdot ({{\ddot u}_0} - \ddot \alpha {x_{\text{c}}}) \\ & {F_{\text{t}}}{x_{\text{c}}} = {J_{\text{c}}} \cdot \ddot \alpha \end{aligned}\right\}$$ (8) 由上式可解得
$$ {\ddot u_0} = \frac{{{F_{\text{t}}}}}{{{\rho _0}L}} \cdot A,\quad{\text{ }}\ddot \alpha = \frac{{6{F_{\text{t}}}}}{{{\rho _0}{L^2}}} \cdot B $$ (9a) 式中, A和B为无量纲系数
$$ \left.\begin{aligned} & A = \frac{{(1 - \mu )(4 + 3kL)}}{{(4 + 3kL)\left(1 + \dfrac{1}{2}kL\right) - 3(1 - \mu ){{\left(1 + \dfrac{2}{3}kL\right)}^2}}} \\ & B = \frac{{(1 - \mu )\left(1 + \dfrac{2}{3}kL\right)}}{{(4 + 3kL)\left(1 + \dfrac{1}{2}kL\right) - 3(1 - \mu ){{\left(1 + \dfrac{2}{3}kL\right)}^2}}} \end{aligned}\right\} $$ (9b) 则自由梁任意位置x处的质点加速度为
$$ \ddot u = \frac{{A{F_{\text{t}}}}}{{{\rho _0}L}} - \frac{{6{F_{\text{t}}}}}{{{\rho _0}{L^2}}} \cdot Bx $$ (10) 梁的内力控制方程为
$$ \frac{{{\text{d}}Q}}{{{\text{d}}x}} = - \rho \ddot u,\quad \frac{{{\text{d}}M}}{{{\text{d}}x}} = Q $$ (11) 式中, Q和M分别为x处截面的剪力和弯矩.
边界条件为
$$ x = 0\text{ }时,\begin{array}{cc}& Q = {Q}_{0} = {F}_{\text{t}}-{m}_{0}{\ddot{u}}_{0} = {F}_{\text{t}}\cdot C\end{array} $$ (12a) 式中, C为头部集中质量的弯矩传递系数
$$ C = \dfrac{{(1 - \mu )\left[ {1 + kL + \dfrac{1}{6}{{(kL)}^2}} \right]}}{{(4 + 3kL)\left(1 + \dfrac{1}{2}kL\right) - 3\left(1 - \mu \right){{\left(1 + \dfrac{2}{3}kL\right)}^2}}} $$ (12b) 根据式(11)和式(12), 可得到自由梁的剪力和弯矩分布如下
$$ \dfrac{Q}{{{F_{\text{t}}}}} = C\left[ {1 + \dfrac{{2kL\left(1 + \dfrac{2}{3}kL\right){{\bar x}^3} + \dfrac{{6 - 3{{(kL)}^2}}}{2}{{\bar x}^2} - (4 + 3kL)\bar x}}{{1 + kL + \dfrac{1}{6}{{(kL)}^2}}}} \right] $$ (13a) $$\begin{split} &\dfrac{M}{{{F_{\text{t}}}L}} = \\ &C\left[ {\dfrac{{\dfrac{{kL}}{2}\left(1 + \dfrac{2}{3}kL\right){{\bar x}^4} + \dfrac{{6 - 3{{(kL)}^2}}}{6}{{\bar x}^3} - \dfrac{{(4 + 3kL)}}{2}{{\bar x}^2}}}{{1 + kL + \dfrac{1}{6}{{(kL)}^2}}}{\text{ + }}\bar x} \right]\end{split} $$ (13b) 式中, $ \bar x = x/L $为无量纲截面坐标. 当头部质量系数μ = 0, 线密度拟合参数k = 0时, 上式即可退化为等截面自由梁模型的剪力与弯矩分布, 结果与朱超[21]的研究一致.
当Q = 0时, 弯矩M取极值, 解得此时的根为
$$ \left.\begin{aligned} & {{\bar x}_1} = 1 \\ & {{\bar x}_{2,3}} =\left(\dfrac{1}{6}{K^2} - 2K - 3\right) \pm \\ &\quad \sqrt {\dfrac{{11}}{{12}}{K^4} + 6{K^3} + \dfrac{{49}}{3}{K^2} + 20K + 9} \Big/{{4K\left(1 + \dfrac{2}{3}K\right)}}\end{aligned}\right\} $$ (14) 式中, K = kL, $ {\bar x_2} $取正值. 显然, M($ {\bar x_1} $) = 0, 有效根应满足$ 0 < \bar x < 1 $, 故最大弯矩为M($ {\bar x_2} $).
考虑到该自由梁左端部同时受轴向冲击载荷Fa作用, 根据式(6)得到弹体的质量分布, 进一步得轴力分布如下
$$ \dfrac{N}{{{F_{\text{a}}}}} = (1 - \mu ) \cdot \dfrac{{\left(1 - \dfrac{x}{L}\right)\left[1 + \dfrac{{k(L + x)}}{2}\right]}}{{1 + \dfrac{{kL}}{2}}} $$ (15) 采用上述公式, 计算了ρs = 7.9 g/cm3, ρp = 1.8 g/cm3, L/D0 = 5, D0/h = 10和μ = 0的弹体结构参数下, 不同锥度弹体的无量纲弯矩和轴力分布规律, 结果分别如图4(a)和图4(b)所示. 可见, 随着θ的增大, 弹身跨度内的弯矩与轴力均逐渐增大. 当θ从0°增加到4.5°, 弹体的最大弯矩增大28%, 且最大弯矩位置略往弹体尾部移动. 由图4(b)及式(15)可知, 当θ = 0°时, 弹体的轴力呈线性分布; θ≠0°时, 轴力分布按二次函数形式变化, 且当θ从0°增加到4.5°后, 弹身跨中位置的轴力增大20%.
图4(c)和图4(d)给出了θ = 3°条件下不同头部质量弹体的内力分布规律. 由式(12b)、式(13b)和式(15)可知, 头部集中质量分担了一部分冲击载荷, 降低了弹身的动态响应幅值, 但是不影响弹体的内力分布规律. 因此, 如图4(c)和图4(d)所示, 头部质量占比越大, 弹体各位置的内力越小.
1.3 变截面自由梁结构的失效模型
在真实情况下, 弹体结构的主要承载部分为壳体, 针对圆形截面弹体, 其壳体截面为圆环形. 余同希等[27]基于材料刚塑性假设, 给出了圆环形截面梁在轴力和弯矩共同作用下的完全塑性屈服极限的近似解如下
$$ {\psi _{\text{p}}} = \frac{M}{{{M_{\text{P}}}}} - \cos \left( {\frac{\text{π} }{2}\frac{N}{{{N_{\text{Y}}}}}} \right) $$ (16a) 式中, N和M分别为截面的轴力和弯矩, NY为弹性极限轴力, MP为塑性极限弯矩
$$ \begin{split} & {N_{\text{Y}}} = \text{π} dh{\sigma _{\text{Y}}} \\ & {M_{\text{P}}} = {d^2}h{\sigma _{\text{Y}}} \end{split} $$ (16b) 式中, d为圆环中径, σY为材料屈服强度.
此前基于自由梁模型得到的弹体轴力N与弯矩M是壳体和装药的总和, 而上述屈服函数仅针对壳体结构, 因此, 需要给出排除装药后壳体承担的弯矩Ms和轴力Ns. 在装药条件下, 弹体内部的弯矩主要由壳体部分承担, 因此可认为Ms = M. 与弯矩不同, 弹体内的轴力主要为压力, 需要排除内部装药的承担部分, 在式(15)的基础上, 可得壳体承受的轴力
$$ \dfrac{{{N_{\text{s}}}}}{{{F_{\text{a}}}}} = (1 - \mu )\dfrac{{{\rho _{0 - {\text{s}}}}\left[1 + \dfrac{1}{2}{k_{\text{s}}}L - \bar x\left(1 + \dfrac{1}{2}{k_{\text{s}}}x\right)\right]}}{{{\rho _0}\left(1 + \dfrac{1}{2}kL\right)}} $$ (17a) 式中, ρ0-s为壳体头部线密度, ks为沿轴线方向上壳体线密度的变化系数
$$ {\rho _{0 - {\text{s}}}} = {\rho _{\text{s}}}\text{π} h({D_0} - h),\quad{\text{ }}{k_{\text{s}}} = \frac{{2\tan \theta }}{{{D_0} - h}} $$ (17b) 在上述公式基础上, 设横向载荷和轴向载荷指数分别为
$$ \bar m = \frac{{{F_{\text{t}}}L}}{{{M_{{\text{P0}}}}}},\quad{\text{ }}\bar n = \frac{{{F_{\text{a}}}}}{{{N_{{\text{Y0}}}}}} $$ (18) 式中, NY0和MP0分别为锥形弹体壳体头部截面的弹性极限轴力和塑性极限弯矩, NY0 = π(D0−h)hσY, MP0 = (D0−h)2hσY.
以塑性极限式(16a)为屈服函数, 代入上述分析得到的壳体弯矩Ms和轴力Ns, 得到壳体的屈服函数
$$ {\psi _{\text{p}}}(x) = \bar m \cdot \frac{{{M_{\text{s}}}(x)}}{{{F_{\text{t}}}L}}{\left[\frac{{{D_0} - h}}{{D(x) - h}}\right]^2} - \cos \left[ {\frac{\text{π} }{2} \cdot \bar n\frac{{{N_{\text{s}}}(x)}}{{{F_{\text{a}}}}}\frac{{{D_0} - h}}{{D(x) - h}}} \right] $$ (19) 图5(a)给出了ρs = 7.9 g/cm3, ρp = 1.8 g/cm3, μ = 0.2, θ = 3°, L/D0 = 5和D0/h = 10的弹体结构, 在$\bar m$ = 5时, 不同轴向载荷指数$\bar n$条件下屈服函数的分布情况. 可见, 随着头部轴向冲击载荷的增加, 其屈服函数值不断提高, 且峰值位置会逐渐往头部移动. 图5(b)给出了不同轴向载荷指数$\bar n$下的极限横向载荷指数以及屈服点位置. 可见, 轴力越大, 极限弯矩越小, 且屈服点位置越接近弹身头部.
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图 5 轴向和横向载荷共同作用下结构失效分析Figure 5. Structural failure analysis under axial and transverse impact loads1.4 动力响应模型的试验验证
考虑到目前尚未有锥形弹体高速斜侵彻下结构变形和失效的试验结果报道, 在此仅以等截面小尺寸弹体的相关实验对上述理论分析进行部分验证, 更深入的分析验证将在下节通过仿真进行. 王一楠等[18]开展了小尺寸缩比弹体对混凝土靶的小攻角侵彻试验, 获得了弹体在侵彻过程中的失效情况. 图6给出了其中两发典型弹体的回收照片, 弹体材料为高强钢, 弹体的速度≥1200 m/s, 两发弹体的攻角为0.17° ~ 0.28°. 弹体的断裂失效发生位置位于头部与弹身1/3长度之间. 由图4(a)可知, 等截面弹体的最大弯矩位置位于距离弹身头部L/3处. 而考虑轴力和弯矩的耦合作用, 失效位置将向头部移动. 可见, 回收弹体的断裂位置基本符合理论模型的预测.
2. 头部受集中冲击载荷弹体的仿真研究
2.1 数值仿真模型
为了进一步验证理论模型的合理性和准确性, 并且深入分析弹体结构响应的细节, 利用非线性有限元程序Abaqus/Explicit开展了锥形弹体受头部集中冲击载荷的数值仿真. 考虑结构的对称性, 以弹体的轴向中心剖面为对称面, 采用1/2模型进行计算. 如图7所示, 分别建立了半锥角为0°和2°的圆形截面弹体仿真模型, 代号分别为T0和T2 (T0代表半锥角θ = 0°). 弹体包括壳体、模拟装药和尾盖3部分, 详细结构参数如表1所示, 其中, r0为弹身头部半径, m2为弹体质量. 以C3 D8 R单元划分网格, 单元平均尺寸为2 mm, 并在结构的对称面上施加对称边界条件. 壳体与尾盖均为合金钢材料, 密度为7.85 g/cm3, 采用Johnson-Cook强度模型, 具体参数见表2, 其中E为弹性模量, v为泊松比, έ0为参考应变率, A为准静态屈服强度, B和n为应变硬化常数, C为应变率常数, m为温度软化系数. 根据刘晓明等[29]的研究, 模拟装药可采用线弹性模型, 其中密度为1.8 g/cm3, 弹性模量为10 GPa, 泊松比为0.19.
表 1 仿真模型的结构参数Table 1. Structural parameters of two simulation modelsModel r0/mm h/mm θ/(°) L/mm m0/kg m2/kg T0 43.75 8 0 343 2.30 10.98 T2 2 2.26 13.24 Parameter Value Parameter Value E/GPa 210 n 0.479 v 0.3 m 1 A/MPa 1300 C 0.04 B/MPa 346 έ0/s−1 1 × 10−3 如图7和图8所示, 为了便于分析弹体结构响应, 将弹体头部和弹身分开建模, 且对T0和T2两种弹体模型采取相同的加载方式. 为贴近弹体侵彻时的实际载荷环境, 在仿真模型的弹头曲面上同时施加横向和轴向集中力. 如图8所示, 以“Coupling”的方式将弹头外表面上的全部节点与某一参考点耦合约束, 在参考点上施加轴向集中力Fa. 考虑到弹体受横向冲击载荷时仅有一侧受力, 因此横向集中力Ft的参考点只与弹头外表面上半部分的节点进行耦合. 设两个集中力大小相同, 载荷时间曲线如图9所示, 上升沿时间和下降沿时间相等, 均为tr, 平台段载荷大小为100 kN和1000 μs时开始卸载.
2.2 结果分析
通过研究发现, 弹体的内力时程曲线表现出明显的振荡特征, 根据文献[30], 对于图9所示的斜坡加载方式, 可通过缩小上升段斜率减弱数据的振荡效果. 因此, 在不同tr条件下, 通过数值模拟得到了弹体的内力随时间的变化. 在此方面, T0和T2两种弹体的计算结果表现出的规律相似, 此处仅以T2弹体的结果为例进行说明. 根据理论模型可得, T2弹体在距头部0.34L位置的弯矩最大. 通过数值模拟, 分别得到了不同tr下弹体0.34L处轴力和弯矩随时间的变化规律, 结果如图10所示. 据图可知, 当0 < t < 1000 μs时, 轴力和弯矩均在某一正值附近周期性振荡, 其中, 弯矩的振荡周期较长, 约为500 μs; 当t > 1000 μs时, 两者在0周围振荡. 此外, 加载过程越缓, 内力曲线的振荡越弱, 当载荷上升沿时间增加到tr = 500 μs时, 振荡效果显著减小, 弹体内力随时间的变化趋于稳定, 研究发现这与动态载荷作用下弹体结构振动效应有关. 对T2弹体模型进行了模态分析, 结果表明弹体一阶弯曲振动的固有频率为2 331.7 Hz, 当外部冲击载荷的tr = 500 μs时, 上升段瞬态频率低于2 331.7 Hz, 因此振荡减弱. 通过上述分析可得, 当外部载荷上升/下降沿时间大于弯矩曲线的振荡周期时, 可以得到较为稳定的内力计算结果.
考虑到本文基于刚塑性自由梁理论得到的载荷分布为稳态解, 而由图10可知, 在tr = 500 μs条件下, 当外部载荷到达平台值后, 弹体的内力进入稳定状态. 因此, 为了验证理论模型, 本文以tr = 500 μs时的内力计算结果进行后续分析. 在tr = 500 μs条件下, 通过后处理提取了800 μs内不同时刻下T2弹体各位置的内力, 结果如图11所示. 由图11可知, 从600 μs开始, 弹体内力分布趋于稳定, 仅在理论解附近小幅度变化. 根据以上分析, 600 μs时的内力结果具有很好的代表性.
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图 11 不同时刻下T2弹体内力分布Figure 11. Internal force distribution of T2 projectile at various instants由上述分析可知, 可在tr = 500 μs条件下, 以600 μs时弹体内力的分布结果对理论模型进行验证. 首先, 通过数值模拟, 分别得到了600 μs时T2弹体整个结构和壳体部分的弹身段的弯矩分布, 如图12所示. 可见, 弹体结构弯矩的绝大部分由壳体部分承担, 进一步印证了1.3节中对于壳体弯矩Ms的处理方式的合理性.
图13(a) ~ 图13(b)分别给出了上述条件下T0和T2两种弹体的壳体部分弯矩分布规律, 并与理论模型结果进行了对比. 根据理论模型, 随锥角增大, 最大弯矩值提高, 最大弯矩位置后移, 据图可知, 数值模拟结果也有相同的规律. 此外, 注意到前半段理论模型的预测弯矩较大, 后半段较小, 弯矩分布曲线整体朝头部方向移动, 这是由于理论模型中忽略了弹头的空间尺寸, 因此理论模型给出的最大弯矩位置与数值模拟结果之间存在一定误差. 同时, 由于对弹头的简化考虑, 理论模型中弹身头部为自由端, 弯矩为0. 实际上弹身头部并非自由端, 该位置截面上仍有一定弯矩作用.
表3给出了最大弯矩值、最大弯矩位置的理论模型和数值模拟结果的对比, 其中$ {\bar M_{\max }} $为最大弯矩值, $ {\bar x_M} $为最大弯矩位置. 如表所示, 理论模型可以较为准确地预测壳体的最大弯矩值, 相对误差在11%以内, 对弹体内部最大弯矩位置的预测误差在16%以内.
表 3 弯矩分布规律对比Table 3. Comparison of the distribution of bending momentModel Simulation Theory Relative error/% T0 $ {\bar M_{\max }} $ 0.063 0.068 7.94 $ {\bar x_M} $ 0.388 0.333 −14.18 T2 $ {\bar M_{\max }} $ 0.075 0.083 10.67 $ {\bar x_M} $ 0.408 0.344 −15.69 通过后处理提取了600 μs时时T0弹体和T2弹体壳体部分各位置的轴力, 结果分别如图13(c)和图13(d)所示, 图中同时给出了理论模型的计算结果. 可以看到理论模型给出的轴力分布在弹体头部位置低于数值模拟结果, 并且对于T2弹体, 数值模拟得到的轴力在其尾部位置突然增大, 造成理论值明显低于数值模拟结果. 出现上述误差的原因是壳体装药空腔的头部和尾部为过渡设计, 其中T2模型轴力突增的位置对应弹身段装药空腔与尾盖之间的过渡位置, 如图7(b)所示. 此处壁厚为渐变设计, 而在理论模型中为简化分析以均匀壁厚考虑, 因此对弹身质量的预估偏小, 从而导致头部质量系数的计算结果与实际值相比偏大. 由式(17a)可知, 头部质量系数偏大会使轴力偏小, 因此理论模型在弹身首尾两处对轴力的预测值偏小. 整体来看, 理论模型和数值模拟结果能够较好吻合.
3. 参数影响的分析与讨论
基于上述理论模型, 本节进一步分析了弹体结构的主要设计参数即头部形状系数CRH (caliber-radius-head)、长径比、径厚比和锥度等因素对弹体结构响应的影响规律. 需要注意的是, 理论模型建立在结构小位移的假设下, 而本节参数影响分析的前提是理论模型与数值模拟结果的一致性. 图14给出了tr = 500 μs条件下T2弹体600 μs时的结构位移和转角, 可见弹身头部相对尾部的位移和转角大约为3.2 mm和0.56°, 可以认为满足理论模型的小位移前提. 考虑到弹体位移与载荷作用时间密切相关, 因此外部载荷作用时间不宜过长.
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图 14 600 μs时T2弹体的位移和转角Figure 14. Displacement and rotation angle of T2 model at 600 μs3.1 弹体头部形状系数的影响
在其他参数保持不变的条件下, 弹体头部形状系数CRH会直接影响头部集中质量m0, 进而影响头部质量系数μ, 最终影响弹体的内力分布. 如图15所示, 设弹身头部截面半径为r0, 尖卵形头部为实心截面, 其母线圆弧半径为Rh, 长度为Lh, 弹头与弹身的外表面在过渡处相切. 设CRH = χ, 根据CRH定义[31], 有
$$ \chi = \frac{{{R_{\text{h}}}}}{{2{r_0}}} $$ (20) 根据图15所示的几何关系, 可得
$$ {L_{\text{h}}} = \sqrt {{{({R_{\text{h}}}\sin \theta )}^2} + 2{r_0}{R_{\text{h}}}\cos \theta - {r_0}^2} - {R_{\text{h}}}\sin \theta $$ (21) 则弹体头部集中质量为
$$ {m_0} = {\rho _{\text{s}}}\text{π} \int_0^{{L_{\text{h}}}} {{r_x}^2{\mathrm{d}}x} $$ (22) 式中, rx为弹头在任意位置横截面的半径
$$ {r_x} = \sqrt {{{({R_{\text{h}}}\cos \theta )}^2} - {x^2} - 2x{R_{\text{h}}}\sin \theta } - {R_{\text{h}}}\cos \theta + {r_0} $$ 根据前述分析, 弹体头部集中质量降低了弹体的内力幅值, 但不影响其分布规律. 根据式(13b)和(17a), 头部集中质量对弹体弯矩和轴力分布的影响分别由系数C和kN决定. 其中, C由式(12b)给出; kN为头部集中质量的轴力传递系数
$$ {k_{\text{N}}} = 1 - \mu $$ (23) 为了分析CRH对弹体内力分布的影响规律, 对壳体密度ρs = 7.9 g/cm3, 装药密度ρp = 1.8 g/cm3, θ = 2°, D0/h = 10和L/D0 = 5的弹体结构, 在弹身头部外径D0不变的条件下, 通过上述公式, 计算了不同CRH下的C和kN两个系数, 结果如图16所示. 其中, CRH的范围参考了文献[32]试验, 其范围为0 ~ 6.25, 针对尖卵形弹头, 本文讨论的CRH范围为0.5 ~ 6. 据图, 弹体头部形状系数越大, 传递到结构的内力越小. 其中, 对于弯矩传递系数C, 当CRH < 3时, 内力水平下降迅速; 而当CRH > 4后, 下降速度减缓. 实际上, 弹体设计过程中CRH的选择主要出于对侵彻性能的要求[33], 此处对CRH的探讨可从降低结构内力的角度提供一定参考.
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图 16 不同CRH下的内力传递系数Figure 16. Transfer coefficient of internal force under various CRH3.2 锥度的影响
由1.2节分析可知, 弹体锥度会明显影响其内力分布规律. 对壳体密度ρs = 7.9 g/cm3, 装药密度ρp = 1.8 g/cm3, D0/h = 10, L/D0 = 5和CRH = 3的弹体结构, 设其弹身头部外径D0保持不变, 在不同锥度下对头部质量系数μ和弯矩传递系数C进行了计算, 结果如图17(a)所示. 其中, 锥度的取值范围参考了文献[34]试验, 其弹体的最大半锥角为θ = 4°. 由图可见, 随着θ的增大, 弹身质量增大, 而头部集中质量基本不变, 从而使头部质量系数μ减小, 导致头部集中质量对结构弯矩的传递系数C增大. 设横向载荷指数$ \bar m $ = 5, 轴向载荷指数$ \bar n $ = 0.4, 计算了不同锥度弹体的屈服函数的分布情况, 结果如图17(b)所示. 可见, 当弹体锥度增大时, 最大屈服函数值降低, 结构偏向安全, 危险位置向弹身头部移动. 考虑到在图17(b)中所示的危险位置发生弯曲失效的概率更大, 因此可采取在弹体危险位置加筋并避免截断, 以此来保证弹体的抗弯刚度.
3.3 长径比与径厚比的影响
根据弹体结构动力响应模型, 在外部载荷、弹体直径D0, 以及其他无量纲结构参数保持不变的条件下, 长径比越大, 弹体越易出现塑性弯曲. 万文乾等[35]的研究表明, 从抗弯能力方面考虑, 弹体的长径比不宜超过8. 此处设弹体半锥角θ = 2°, 长径比L/D0范围为5 ~ 8, 其余参数同3.2节, 设横向载荷指数$ \bar m $ = 5, 轴向载荷指数$ \bar n $ = 0.4, 计算了不同长径比弹体的屈服函数分布情况, 结果如图18(a)所示. 可见, 当长径比从5增大为8后, 屈服函数值提高, 结构偏向危险, 但无量纲危险位置基本保持不变, 根据理论模型, 弹体结构偏向危险与内力增大有关. 在弹体直径D0及其他无量纲结构参数保持不变的条件下, 长径比增大即弹身长度增大, 弹身质量增大, 而弹体头部质量不变, 因此头部质量系数减小, 所以传递到结构的内力增大. 另一方面, 根据式(13b), 弹身长度增大会直接增大弹身内部弯矩, 因此弹体更容易发生弯曲.
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图 18 弹体长径比对屈服情况的影响Figure 18. Influence of length-to-diameter ratio on yield condition图18(b)给出了不同轴向载荷下长径比对横向临界载荷Fcr的影响规律, 其中Fcr由式(13b)、(17a)和式(19)联立可得. 可见, 随长径比增大, 横向临界载荷Fcr显著降低, 如$ \bar n $ = 0.4时, 当L/D0从5增加到8后, Fcr降低47%. 这不仅与弹体长径比增大导致弹体内部弯矩增大有关, 而且如前所述, 长径比增大也会导致弹体内部轴力提高, 从而通过屈服函数式(19)影响横向临界载荷.
当弹体直径D0及其他无量纲结构参数保持不变时, 弹体径厚比变化会直接影响弹身质量, 从而影响弹体的无量纲内力分布. 此处, 设弹体半锥角θ = 2°, 除径厚比外其余参数同3.2节, 在不同径厚比条件下计算了弹体无量纲内力的分布情况, 结果如图19所示. 可见, 随径厚比D0/h增大, 弹体各位置的内力水平均有所降低, 其中, 当D0/h从10增大到30后, 最大轴力降低51.8%, 最大弯矩降低21%, 但最大弯矩位置基本不变. 这是因为在其他参数及弹身头部外径D0相同的条件下, 随径厚比D0/h增大, 弹身质量减小, 头部质量系数增大, 从而使传递到结构的内力减小.
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图 19 径厚比对内力分布规律的影响Figure 19. Influence of diameter-to-thickness ratio on internal force distribution同时, 由式(16b)可知, 弹身壳体的弹性极限轴力NY和极限塑性弯矩MP会随壳体壁厚减小而减小. 因此, 为探究径厚比对弹体屈服情况的影响, 针对径厚比为D0/h = 5的弹体, 设其横向载荷指数$ \bar m $ = 5, 轴向载荷指数$ \bar n $ = 0.4, 通过式(19)计算了弹体屈服函数的分布情况, 然后在保证载荷相同的条件下, 对其余径厚比的弹体的屈服函数进行了计算, 结果如图20所示. 可见, 随径厚比增大, 弹体无量纲危险位置基本不变, 但是当D0/h从10增大到30后, 最大屈服函数值明显提高, 表明结构危险程度严重加剧.
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图 20 径厚比对屈服函数分布的影响Figure 20. Influence of diameter-to-thickness ratio on yield function根据以上分析, 长径比或径厚比越大, 弹体在危险位置越易发生塑性弯曲或失效, 为了确保弹体的结构设计安全, 除在弹体危险位置加筋外, 还可采用渐变径厚比设计. 根据图17(b)、图18(a)和图20, 危险位置位于弹身前1/3段, 可增大此段壁厚以增强抗弯刚度, 而弹体尾部的屈服函数值较低, 因此可适当减小弹体尾部的壁厚, 根据图19(a), 此举也可降低惯性载荷.
4. 结论
针对非正侵彻过程中弹体的结构强度问题, 开展了锥形弹体头部受冲击载荷时的结构动力响应模型和失效规律研究, 并进行了数值模拟验证. 在此基础上, 深入分析了弹体头部形状系数、锥度、长径比和径厚比等参数对弹体结构屈服函数和临界载荷的影响规律. 主要结论如下.
(1)基于空间自由梁理论, 建立了头部受轴向和横向冲击载荷耦合作用下锥形弹体的结构内力分布解析模型和塑性极限函数, 可用于对锥形弹体非正侵彻条件下结构动态强度的分析和评估.
(2)数值模拟研究发现弹体内力表现出一定程度的振荡特性, 振荡强弱与外部载荷的上升时间有关: 当载荷上升时间接近弹体内部弯曲振动周期时, 弹体内力会在加载后快速稳定. 此时, 数值模拟获得的内力结果与自由梁模型的计算结果具有较好的一致性.
(3)锥形弹体头部质量的存在降低了弹体受冲击时弹身的内力幅值, 但不影响其分布规律. 在弹体头部直径和其他无量纲参数不变的条件下, 弹体头部形状系数减小、锥度增大、径厚比减小或长径比增大, 都会降低头部质量占比, 使头部集中质量对结构内力的传递系数增大, 造成传递到结构的内力增大.
(4)在轴力和弯矩的耦合作用下, 锥形弹体的危险位置位于弹身前1/3段, 且轴力越大或锥度越大, 危险位置越靠前. 因此, 对于锥形弹体, 要注重加强弹体前1/3段的抗弯刚度, 也可采用渐变径厚比以优化结构设计.
数据可用性声明
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图 5 轴向和横向载荷共同作用下结构失效分析
Figure 5. Structural failure analysis under axial and transverse impact loads
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图 11 不同时刻下T2弹体内力分布
Figure 11. Internal force distribution of T2 projectile at various instants
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图 14 600 μs时T2弹体的位移和转角
Figure 14. Displacement and rotation angle of T2 model at 600 μs
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图 16 不同CRH下的内力传递系数
Figure 16. Transfer coefficient of internal force under various CRH
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图 18 弹体长径比对屈服情况的影响
Figure 18. Influence of length-to-diameter ratio on yield condition
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图 19 径厚比对内力分布规律的影响
Figure 19. Influence of diameter-to-thickness ratio on internal force distribution
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图 20 径厚比对屈服函数分布的影响
Figure 20. Influence of diameter-to-thickness ratio on yield function
表 1 仿真模型的结构参数
Table 1 Structural parameters of two simulation models
Model r0/mm h/mm θ/(°) L/mm m0/kg m2/kg T0 43.75 8 0 343 2.30 10.98 T2 2 2.26 13.24 
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Parameter Value Parameter Value E/GPa 210 n 0.479 v 0.3 m 1 A/MPa 1300 C 0.04 B/MPa 346 έ0/s−1 1 × 10−3
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表 3 弯矩分布规律对比
Table 3 Comparison of the distribution of bending moment
Model Simulation Theory Relative error/% T0 $ {\bar M_{\max }} $ 0.063 0.068 7.94 $ {\bar x_M} $ 0.388 0.333 −14.18 T2 $ {\bar M_{\max }} $ 0.075 0.083 10.67 $ {\bar x_M} $ 0.408 0.344 −15.69
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