碳纤维平纹织物增强增韧碳化硅基体叠层复合材料, 即2D-C/SiC, 具备低密度、高比强度以及较高的损伤容限等显著优势, 已经在航空航天防热结构、喷管和燃烧室等多个关键领域中展现出了重要的应用价值^[1-4]. 然而, 2D-C/SiC复合材料的内部结构极其复杂, 将其应用于耐热结构时, 会面临多种形式的应力状态, 包括轴向压缩、面内剪切以及压缩-剪切耦合作用等, 其力学行为将会表现出显著的各向异性和非线性特征. 目前, 描述材料非线性本构响应的多个模型主要涉及宏观唯象和细观力学方法^[5]. 尽管如此, 关于2D-C/SiC复合材料压-剪耦合力学行为的研究却相对较少.

在分析2D-C/SiC复合材料的本构关系时, 传统的线性本构模型已无法提供准确的描述^[6], 通常难以表征复合材料的损伤形式和机理. 2D-C/SiC复合材料在压缩和拉伸载荷作用下的响应机制不同, 具有拉/压非对称性^[7]; 且在多应力耦合作用下, 材料的线性响应载荷很低, 若仅仅利用材料的比例极限应力^[8-9]作为许用值, 则是对材料性能的极大浪费, 也不利于结构的轻量化. 这一认识是建立2D-C/SiC复合材料非线性本构理论的基础, 对于充分发挥其性能潜力具有重要意义.

建立2D-C/SiC复合材料本构关系的关键在于开发一个能够准确描述该材料应力应变关系的数学模型^[5-6]. 国内外学者针对多样化的陶瓷基复合材料体系, 已成功构建了多个本构关系模型, 以精确描述这些材料在外载作用下的损伤与变形行为. 现有的连续介质损伤力学模型大多都深受Ladeveze开创性研究的启发^[10]. Camus^[11]基于SiC/SiC复合材料的力学特性, 构建了一个反映柔度演化的本构模型, 实现了复杂应力下SiC/SiC复合材料非线性力学行为的准确模拟. Siron等^[12]和Pailhes等^[13]将塑性应变相关理论引入残余应变的描述中, 对2.5D-C/C和3D-C/C复合材料的复杂应力应变响应进行了建模分析. 而Maire等^[14]和Chaboche等^[15]则进一步发展了2阶和4阶张量型损伤本构模型, 这些模型在模拟C/SiC与SiC/SiC复合材料的力学行为时展现出了较高的准确性. Rajan等^[16]基于连续介质损伤力学进行了模型改进, 摒弃了传统的损伤变量, 转而构建了一个唯象的弹塑性本构模型. Flores等^[17]针对3D-SiC/SiC复合材料, 采用塑性理论建立了一个宏观本构模型, 用以描述材料的非线性应变行为. 李俊等^[18]根据2D-C/SiC复合材料的基础力学性能实验结果, 构建了一个宏观正交各向异性非线性损伤本构模型, 实现了结构变形的精确仿真计算. 薛建刚等^[19-20]针对CMCs (ceramic matrix composites)提出了一个连续损伤本构模型, 描述了材料内部损伤演化与其力学响应之间的数学关系. Yang等^[21-22]利用弹塑性理论框架建立了本构模型, 准确表征了热冲击CMCs在离轴拉伸载荷下的非线性力学响应, 该模型捕捉了热冲击温度对材料响应的影响等主要特征. 杨成鹏等^[9]基于损伤解耦方法, 考虑损伤耦合效应、材料非线性和正交各向异性, 建立了热力耦合损伤本构模型, 分析预测了2D-C/SiC复合材料在高温偏轴拉伸下的应力-应变行为. Du等^[23]采用纤维束复合材料的非线性本构模型, 基于编织单胞模型探讨了平纹编织陶瓷基复合材料的拉伸行为. 目前, 陶瓷基复合材料本构模型的研究主要聚焦于唯象方法, 这种方法在工程应用中表现出较高的便捷性, 因为其不依赖于复杂的微观机制, 而是直接基于宏观力学性能和损伤行为来建立模型; 但是, 这种方法也面临数据拟合难度较大的挑战, 因为需要准确捕捉材料在不同应力状态下的复杂响应, 并进行合理的数学描述.

本文将针对2D-C/SiC复合材料, 在连续介质损伤力学的框架内, 对其轴向压缩、面内剪切和偏轴压缩力学行为进行实验和理论研究. 为了实现压-剪耦合应力应变行为的模拟, 本工作将提出适用于偏轴压缩情形的损伤演化和本构关系模型, 并借助偏轴压缩实验结果初步验证模型的准确性、合理性与适用性, 最终实现对2D-C/SiC复合材料压-剪耦合损伤及力学特性的表征与模拟.

1.   实验材料及方法

实验所采用的2D-C/SiC复合材料试样均通过化学气相渗透(CVI)工艺制备, 并由西北工业大学超高温结构复合材料重点实验室提供. 该材料的纤维与基体之间包含厚度约为200 nm的热解碳界面层, 纤维整体体积分数约占40%, 理论孔隙率约为19%, 平均密度则达到约2.0 g/cm³.

对于单轴压缩实验, 依据标准ASTM C1358-05, 采用矩形板条实验件, 其形状如图1所示, 设计尺寸为120 mm × 10 mm × 3 mm. 为了确保实验过程中试件夹持部分不会因局部压力过大而破损, 在所有实验件的两端黏贴铝制加强片. 轴向压缩时, 材料的1轴与外载方向x轴一致; 偏轴压缩时, 角度θ取值为15°, 30°和45°. 为了同步测量材料在加载过程中的应变数据, 在试件标距段的对称表面分别黏贴了型号为BE120-4BC的双向应变花, 同时监测材料主方向(1-2)和整体坐标方向(x-y)的应变数据. 对于面内剪切实验, 依据标准ASTM C1292-05选用了Iosipescu双边V型缺口试件, 其基本尺寸为80 mm × 20 mm × 3 mm, 缺口角度设计为90°. 为了实时监测剪切变形, 在试件中部粘贴了与压缩实验同型号的 +45°/−45°双向应变花, 如图2所示^[24].

图  1  标准压缩试件几何尺寸图(单位: mm)

Figure  1.  Standard compression specimen geometry size diagram (unit: mm)

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图  2  剪切试件尺寸应变花粘贴位置示意图(单位: mm)

Figure  2.  Schematic diagram of shear specimen size and strain rosette pasting location (unit: mm)

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力学测试时, 轴向压缩实验在Instron 8801液压伺服实验机上进行. 面内剪切和偏轴压缩实验均在Instron 5567电子万能实验机上进行, 试样均通过专用实验夹具进行夹持, 以实现加载测试. 3种实验均采用位移控制加载模式, 实验机加载端的移动速率为0.2 mm/min; 材料主方向和参考方向的应变数据均通过DH3815静态测试仪进行实时采集.

2.   实验结果与分析

2.1   轴向压缩

在轴向压缩载荷下, 2D-C/SiC复合材料的纵向和横向应变随着外加应力的变化关系曲线如图3所示, 可以看出其应力应变响应整体上呈现线弹性规律, 主泊松比$ {\text{ν}}_{\text{12}} $约为0.06, 强度约为350 MPa.

图  3  轴向压缩应力-应变曲线

Figure  3.  Axial compressive stress-strain curves

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通过对曲线斜率的观测, 可以明显看出: 在实验初始阶段(外加应力低于150 MPa), 试件的轴向压缩应力应变曲线为线性; 然而, 随着载荷的持续增大, 材料的压缩模量会出现轻微增加, 这一现象主要归因于材料内部裂隙的压缩闭合效应.

2.2   面内剪切

在循环加卸载条件下, 2D-C/SiC复合材料的典型面内剪切应力-应变曲线如图4所示, 曲线整体上呈现强的非线性.

图  4  典型面内剪切应力-应变曲线

Figure  4.  Typical in-plane shear stress-strain curve

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在面内剪切载荷的作用下, 2D-C/SiC复合材料会经历一系列复杂的损伤过程, 包括基体开裂、界面脱黏滑移以及纤维桥连等现象^[9]. 这些损伤形式使得材料呈现出一定的循环迟滞和非线性行为. 进一步观察发现, 随着卸载应力的不断增大, 迟滞回环的宽度以及残余应变的数值均呈现增长趋势, 这一变化直接反映了材料内部剪切损伤的逐步累积以及承载性能的衰减. 损伤演化现象对于表征和预测2D-C/SiC复合材料在剪切载荷作用下的力学特性具有参考意义.

图5给出了循环加卸载的应力-应变示意图及其力学行为表征参数, 由图可知, 2D-C/SiC复合材料在面内剪切应力$ {\tau }_{\text{12}} $作用下, 其工程剪应变$ {\gamma}_{\text{12}} $为

图  5  总应变的分割以及损伤模量的定义

Figure  5.  Partition of total strain and definition of damaged modulus

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其中, $ {{ \varepsilon }}_{\text{6}}^{\text{e}} = {\gamma}_{\text{12}}^{\text{e}} $和$ {\tilde {\varepsilon }}_{\text{6}}^{\text{r}} = {\gamma}_{\text{12}}^{\text{r}} $分别为弹性应变和残余应变, $ {\bar {{E}}}_{\text{6}} $为卸载模量. 因此, 只要确定残余应变和卸载模量, 便可得到材料的剪切应力-应变关系.

2.3   偏轴压缩

本研究将偏轴角度$ \theta $ = 15°, 30°和45°的3组压缩试件进行了单调加载与循环加卸载实验, 其应力应变关系均在下文进行分析讨论.

2.3.1   单调加载

(1) $ {x\text{-}y} $方向的应力-应变行为

不同偏轴角度下, 2D-C/SiC复合材料沿加载纵向和横向的典型应力-应变曲线如图6所示.

图  6  不同偏轴角度压缩应力-应变关系

Figure  6.  Compressive stress-strain relationships under different off-axis angles

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图6显示, 2D-C/SiC复合材料的应力-应变行为随偏轴角度的变化表现出显著差异. 当偏轴角度$ \theta $ = 15°时, 材料沿整体坐标方向($ {x\text{-}y} $)的应力-应变行为呈现出近似线弹性特征. 然而, 当偏轴角度$ \theta $ = 30°时, 应力-应变曲线在高应力阶段出现了非线性响应行为, 这表明材料在该角度下的剪切损伤效应已经得到一定程度的体现. 而且, 当偏轴角度$ \theta $ = 45°时, 这种非线性区域变得更加显著, 非线性程度也进一步增强.

与此同时, 随着偏轴角度的增加, 2D-C/SiC复合材料沿加载方向的初始压缩模量和极限强度均呈现减小的趋势. 这表明偏轴角度对材料的力学性能具有显著影响, 特别是在大的偏轴角度下, 材料模量和强度的平均值均大幅度降低^[25].

(2) 1-2方向的应力-应变行为

在对2D-C/SiC复合材料进行偏轴压缩时, 所施加的压缩应力等价于在该材料的1-2方向上施加线性变化的双轴压缩和剪切应力分量. 根据应力转轴公式可得材料主方向应力分量与偏轴角度$ \theta $以及外加应力$ {\sigma }_{{x}} $的对应关系, 即

由上述关系, 结合材料主方向的应变测量数据, 可以给出材料主方向的应力-应变关系曲线.

材料主方向的典型应力应变曲线如图7所示. 当偏轴角度$ \theta $ = 15°时, 材料1方向上的压缩应力-应变关系呈线性特征, 类似于轴向压缩加载下的力学响应; 然而, 其1-2平面内的剪切应力-应变关系同样显示出线性特征; 但在2方向上, 压缩应变分量$ {\varepsilon}_{\text{2}} $的增长速率随着压缩应力分量$ {\sigma }_{\text{2}} $的增加而有所变化, 这表明在2方向上材料的行为呈现出一定的非线性特性. 在较大偏轴角度下, 随着剪应力$ {\tau }_{\text{12}} $增大, 剪切损伤效应增强, 剪切应变$ {\gamma}_{\text{12}} $在材料断裂前的增长率也显著增大. 必须指出的是, 材料在1和2方向上的压缩应变分量最初会随着压缩应力的增加而增大, 但后续会出现减小的情况, 这表明2D-C/SiC复合材料在受到偏轴压缩时其材料主方向应变响应的复杂性. 当偏轴角度$ \theta $ = 45°时, 材料在1和2方向上的压缩应力应变曲线几乎一致, 这一现象归因于材料结构关于加载方向的对称性, 以及1和2方向应力的等同性. 实验结果表明, 材料应力-应变行为的变化主要受3个应力分量(即$ {\sigma }_{\text{1}} $, $ {\sigma }_{\text{2}} $和$ {\sigma }_{\text{6}} $)之间的数值比例的影响; 此外, 压-剪损伤耦合效应起着重要作用, 即压缩应力和剪切应力之间的相互作用会显著影响材料的整体应力-应变响应.

图  7  材料主方向应力-应变曲线

Figure  7.  Stress-strain curves in principal material directions

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2.3.2   循环加卸载

循环加卸载实验主要是为了揭示2D-C/SiC复合材料在不同载荷水平下的损伤演化规律和特性. 对于不同偏轴角度的压缩加载情形, 2D-C/SiC复合材料沿加载纵向和横向的迟滞应力-应变曲线如图8所示. 与单调压缩的力学响应类似, 加卸载模式下材料应力-应变曲线的非线性程度和迟滞效应同样随着偏轴角度的增大而增强, 迟滞回环的宽度在偏轴角度$ \theta $ = 45°时达到最大. 而当偏轴角度$ \theta $ = 15°时, 应力应变曲线的非线性和迟滞现象均不明显, 见图8(a). 此外, 从图8可以看出, 当偏轴角度较大时, 材料在卸载后会有残余应变产生, 且残余应变随着偏轴角度的增大有增大趋势; 同一偏轴角度下, 材料的残余应变随着载荷的增大而增大, 但是卸载模量逐渐减小. 残余应变和卸载模量的变化均表明材料内部产生了微细观损伤, 这归因于剪切应力$ {\tau }_{\text{12}} $的存在, 见式(2).

图  8  偏轴压缩加卸载材料参考方向迟滞应力-应变曲线

Figure  8.  Off-axis compressive loading-unloading hysteresis stress-strain curves in global x-y directions

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不同偏轴角度下, 2D-C/SiC材料主方向的压缩加卸载应变响应历程如图9所示. 可以看出, 材料的应力应变曲线非常复杂, 其中$ {\tau }_{\text{12}}{\text{-}}{\gamma}_{\text{12}} $曲线中的残余应变均为正值, 且随着偏轴角度的增大而增大. 与此同时, 材料的$ {\sigma }_{\text{1}}{\text{-}}{{ \varepsilon }}_{\text{1}} $和$ {\sigma }_{\text{2}}{\text{-}}{{ \varepsilon }}_{\text{2}} $行为与一般行为相悖, 参见图9(d)、图9(e)、图9(g)和图9(h), 受压缩应力作用的两个主方向的残余应变均为正值, 并非压缩负应变. 引起该现象的原因可能有两个: 一是在偏轴纵向载荷作用下, 纤维束发生了偏转, 导致试样的横向膨胀变形较大(见图6), 且卸载后纤维束不能恢复到初始方位; 二是材料发生损伤后, 内部热残余应力会被释放, 导致纤维束产生沿纤维长度方向的膨胀变形^[26], 最终体现在了残余应变中.

图  9  偏轴压缩加卸载材料主方向迟滞应力应变曲线

Figure  9.  Off-axis compression loading and unloading stress-strain hysteresis curves in principal material directions

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整体而言, 在偏轴压缩过程中2D-C/SiC复合材料的力学行为受到多种因素的共同影响, 这些因素显著地改变了该材料的应力-应变关系. 首先, 纤维与基体体积模量贡献占比的下降, 意味着材料在承受偏轴压缩时, 其刚度特性会发生变化. 其次, 剪切应力分量的增加导致基体裂纹增多, 这是材料在偏轴应力状态下常见的损伤模式, 进一步削弱了材料的承载能力. 此外, 压剪损伤耦合效应的出现, 即压缩应力和剪切应力之间的相互作用, 加剧了材料的损伤进程. 这些复杂因素的作用使得2D-C/SiC复合材料在偏轴压缩载荷下的力学行为表现出显著的差异性和复杂性. 随着偏轴角度的增加, 材料各方向上的应力应变迟滞行为愈发明显. 这种迟滞行为是由材料内部的界面脱黏和滑移引起的, 反映了材料在承受循环载荷时, 其内部结构的摩擦响应和损伤累积. 在加载过程中, 迟滞回环的宽度与残余应变的大小均随着卸载应力的增大而增大, 这进一步证明了材料损伤的不断加剧. 在不同偏轴角度或加载路径下各组曲线之间的差异则揭示了材料的损伤演化程度和模式有所不同.

值得注意的是, 图8和图9各组曲线的迟滞回环外包络线的变化趋势和整体规律均与偏轴单调压缩下的图6和图7对应一致, 这将为理解和预测材料在复杂应力状态下的力学行为提供重要参考. 综上所述, 2D-C/SiC复合材料在偏轴压缩过程中的力学行为是一个复杂而多变的过程, 需要综合考虑多种因素的耦合影响.

2.4   卸载模量与残余应变

2.4.1   材料主方向卸载模量和残余应变

为了能更好地揭示2D-C/SiC复合材料的偏轴压缩本构规律, 基于卸载迟滞应力应变曲线, 给出其循环加卸载模式下材料主方向名义卸载模量与残余应变随卸载应力的变化曲线, 分别如图10和图11所示. 其中, 卸载模量的定义见图5.

图  10  偏轴压缩材料主方向名义卸载模量随卸载应力的变化曲线

Figure  10.  The variation curves of nominal unloading moduli with unloading stress in principal material directions

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图  11  材料主方向残余应变随卸载应力的变化曲线

Figure  11.  The variation curve of residual strain with unloading stress in principal material directions

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从图10可以看出, 2D-C/SiC复合材料1, 2主方向的名义卸载模量随卸载应力的增大并没有单调下降, 而是在加载中后期显著提高. 这与该类材料的偏轴拉伸情形截然不同^[6,25,27]. 但图10(c)显示, 材料的剪切卸载模量随卸载应力的增大具有下降趋势, 符合剪切损伤效应的一般规律.

图11表明, 整体上2D-C/SiC复合材料主方向上的残余应变随卸载应力的增大具有增大趋势, 剪切残余应变的变化规律完全如此. 应该指出, 随着偏轴角度的增加, 材料的残余应变幅值有所增大. 但是, 材料2方向残余应变的变化行为较为复杂, 其原因是2方向应变受泊松膨胀效应和纤维束偏转效应的影响显著. 当偏轴角度$ \theta $ = 15°时, 材料1, 2方向的残余应变为负值, 此时剪切损伤和纤维束偏转效应均没有凸显出来.

2.4.2   非材料主方向卸载模量和残余应变

2D-C/SiC复合材料沿加载方向的卸载模量与残余应变随卸载应力的变化曲线见图12和图13. 可以看出: 当偏轴角度$ \theta $ = 15°时, 卸载模量和残余应变基本保持不变; 而当偏轴角度$ \theta $ = 30°, 45°时, 卸载模量随着卸载应力的增加持续减小, 同时残余应变随着卸载应力的增大而增大, 该变化趋势与偏轴拉伸时相似^[27], 体现了损伤效应.

图  12  偏轴压缩x方向卸载模量随卸载应力的变化曲线

Figure  12.  The variation curve of unloading modulus with unloading stress in x direction under off-axis compression

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图  13  残余应变随卸载应力的变化曲线

Figure  13.  The variation curve of residual strain with applied stress in(a) longitudinal and (b) transverse directions

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3.   偏轴压缩力学行为模拟

3.1   损伤演化表征

3.1.1   轴向压缩损伤

2D-C/SiC复合材料的结构具有对称性, 其1和2方向的压缩性能相同, 单调压缩应力-应变曲线如图3所示, 曲线呈线弹性, 故其本构关系可表达为

其中, $ {{E}}_{{1}} $和$ {{E}}_{{2}} $分别为1, 2轴向的压缩弹性模量.

采用卸载模量的变化量定义损伤因子, 此时材料1和2主方向的单轴压缩损伤恒为0, 即

由于轴向压缩加卸载几乎不存在残余应变, 即

式(3) ~ 式(5)表征了简单的轴向压缩力学特性.

3.1.2   面内剪切损伤

2D-C/SiC复合材料的面内剪切加卸载表征参数已经在图5中给出, 其中弹性应变$ {\varepsilon}_{\text{6}}^{\text{e}} $和残余应变$ {\tilde {\varepsilon }}_{\text{6}}^{\text{r}} $构成总剪切应变$ {\varepsilon}_{\text{6}} $; 材料起始剪切模量为$ {{E}}_{{6}} $, 卸载剪切模量为$ {\bar {{E}}}_{\text{6}} $.

材料卸载后重新加载至卸载点的曲线近似为线性^[25], 故弹性应变$ {\varepsilon}_{\text{6}}^{\text{e}} $和外加剪切应力$ {\sigma }_{\text{6}} $之间的关系可以表达为

式中, 剪切卸载模量$ {\bar {{E}}}_{\text{6}} $是本构方程中需要确定的一个关键参数, 对于描述材料的非线性行为和损伤累积效应至关重要. 根据2D-C/SiC复合材料的结构特征, 其剪切卸载模量可由下式计算^[28]

其中, $ {{G}}_{{{\mathrm{L}}}} $和$ {{G}}_{\text{T}} $分别为纤维束的纵向和横向剪切损伤模量. 其中, $ {{G}}_{\text{T}} $由下式给出^[29]

式中, $ {{E}}_{{12}} $为纤维束1-2面的剪切模量; $ {{G}}_{{12 {\mathrm{f}}}} $为纤维剪切模量, $ {{V}}_{{{\mathrm{f}}}} $为纤维体积分数, $ {{G}}_{{{\mathrm{m}}}} $为基体剪切模量, 其中$ {{G}}_{{{\mathrm{m}}}}{ = }{{E}}_{{{\mathrm{m}}}}/\left[{2}\left({1 + }{{\nu}}_{{{\mathrm{m}}}}\right)\right] $, $ {{E}}_{{{\mathrm{m}}}} $和$ {{\nu}}_{{{\mathrm{m}}}} $分别为基体的弹性模量和泊松比; 而$ {{\eta}}_{{1}} $为修正系数, 对于2D-C/SiC复合材料取值约为0.65; 此外, 参数$ {k} $的表达式为

式中, $ {{L}}_{\text{s}} $为平均裂纹间距, 参数$ { \omega } $的表达式为

式中, $ {h} $为平纹织物单层的半厚; $ {{E}}_{{13}} $和$ {{E}}_{{23}} $分别为纤维束1-3面和2-3面的剪切模量, 其中$ {{E}}_{{13}} = {{E}}_{{12}} $, 而$ {{E}}_{{23}} $的估算式为

式中, $ {{E}}_{{2 {\mathrm{f}}}} $和$ {{\nu}}_{{23 {\mathrm{f}}}} $分别为纤维的径向模量和横向泊松比.

式(7)中同时包含纤维束纵向剪切损伤模量, 其解析表达式为^[28]

式中, 参数$ {\delta}_{\text{1}} $和$ {\delta}_{\text{2}} $的表达式为

式中, $ {{m}}_{\text{s}} $为界面脱黏长度, $ {\tau }_{\text{s}} $为界面滑移应力, $ \eta $为界面脱黏率, $ {\sigma }_{\text{1f}}^{\text{res}} $为纤维的轴向热残余应力.

除了弹性应变, 面内剪切应力-应变关系中还涉及残余应变, 参见式(1), 其计算表达式为^[28]

式中, 比例系数$ {\eta}_{\text{2}} $对于2D-C/SiC复合材料的取值约为0.1.

为了表征面内剪切载荷作用下2D-C/SiC复合材料的损伤特性, 定义主损伤分量为

结合式(7) ~ 式(13), 即可对材料的面内剪切损伤演化行为进行描述. 同时将残余应变假设为损伤相关的函数, 即

以便于复杂应力损伤本构关系的表征.

3.1.3   偏轴压缩损伤

在偏轴压缩条件下, 2D-C/SiC复合材料的宏观损伤耦合演化特性可通过一个特定的损伤矩阵进行表征^[27], 即

式中, $ {{{\boldsymbol{D}}}}_{{ij}} $表示应力$ {\sigma }_{{j}} $导致的材料$ {i} $方向的损伤量. 损伤矩阵主对角线的元素称为主损伤分量, 可分别记为$ {{D}}_{{1}} $, $ {{D}}_{{2}} $和$ {{D}}_{{6}} $; 其他元素为解耦损伤分量, 用于表征损伤耦合效应. 损伤分量可表示为

式中, $ {\Delta }{{E}}_{{i}}\left({\sigma }_{{j}}\right) $为应力$ {\sigma }_{{j}} $导致的$ {i} $方向的模量变化量, 既可为正值也可为负值; $ {{E}}_{{i}} $为材料$ {i} $方向的初始弹性模量.

考虑复杂应力的损伤耦合效应, 将材料主方向的损伤演化行为用有效损伤变量$ {\varphi }_{{i}} $来表达, 则

式中, $ {\bar {{E}}}_{{i}} $为材料$ {i} $方向的名义损伤模量. 根据式(17)关于损伤分量的表达, 有效损伤变量又可以表示为

考虑应力的相互作用, 上式可展开为

式中, 引入了损伤解耦系数$ {{ \omega }}_{{ij}}\text{(∙)} $和损伤强化/钝化系数$ {{ \lambda }}_{{ij}}\text{(∙)} $. 针对偏轴压缩情形, 应力参数为

式中, $ {{S}}_{{1}}^{-} $, $ {{S}}_{{2}}^{-} $和$ {{S}}_{{6}} $分别为材料主轴向的压缩强度和面内剪切强度.

考虑到面内剪切损伤对材料1, 2主方向刚度演化的影响, 以及轴向压缩应力对剪切损伤的钝化效应, 式(21)进一步改写为

对平纹织物增强复合材料或2D-C/SiC而言, 由于结构对称性, $ {{ \omega }}_{\text{16}} $与$ {{ \omega }}_{\text{26}} $的函数形式相同, 同时$ {{ \lambda }}_{\text{6}\text{1}} $与$ {{ \lambda }}_{\text{6}\text{2}} $的函数形式也相同, 故仅需确定2个解耦函数表达式即可描述损伤演化行为.

3.2   应力-应变关系模型

在偏轴压缩载荷下, 基于应变分割法, 2D-C/SiC复合材料在主方向坐标系下的应变-应力关系为

式中, $ {{ \varepsilon }}_{{i}} $, $ {{ \varepsilon }}_{{i}}^{\text{e}} $和$ {{ \varepsilon }}_{{i}}^{\text{r}} $分别为工程应变、弹性应变和残余应变, $ {\sigma }_{{i}} $为应力分量; $ {{{\boldsymbol{S}}}}^{\text{d}} $为损伤柔度矩阵

式中, $ {\bar {\nu}}_{12} $表示损伤材料的泊松比, 此参数与损伤状态有关, 可通过实验测试或理论推导得到; 而轴向损伤模量可由式(19)确定.

在复杂应力状态下, 各轴向的残余应变分量函数可通过下式进行确定^[30]

式(26)考虑了泊松效应, 其中

如果残余应变与损伤量直接相关, 则$ {\tilde{\varepsilon}}_{{i}}^{\text{r}}\left({\varphi }_{{i}}\right) $与式(16)中$ {\tilde{\varepsilon}}_{{i}}^{\text{r}}\left({\text{D}}_{{i}}\right) $等价, 即具有相同的函数表达形式.

为确定2D-C/SiC复合材料主方向坐标系(O12)下的应力应变关系, 可先给出任意参考坐标系(Oxy)下的该材料的本构关系, 即

式中, $ {\bar {{{\boldsymbol{S}}}}}^{\text{d}} $是非材料主方向损伤柔度矩阵, 该矩阵展开为

式中, $ {\bar {{E}}}_{{x}} $, $ {\bar {{E}}}_{{y}} $和$ {\bar {{G}}}_{{xy}} $为损伤材料的非材料主方向工程弹性常数.

引入坐标转换矩阵$ \boldsymbol{M} $

式中, $ \theta $表示从$ {x} $轴逆时针转至1轴的角度. 材料应力-应变关系在不同坐标系下的转换关系为

同时, 应变-应力坐标转换关系为

基于式(31)和式(32), 便可对材料的各向异性应力应变关系进行表征.

4.   模型应用与验证

在应用偏轴压缩应力-应变关系模型时, 首先要对材料的轴向力学特性进行深入的分析和表征. 在轴向压缩载荷作用下, 2D-C/SiC复合材料的弹性模量$ {{E}}_{{1}} $和$ {{E}}_{{2}} $约为120 GPa; 卸载残余应变为0, 见式(5). 而在面内剪切载荷作用下, 2D-C/SiC材料的初始剪切模量$ {{E}}_{{6}} $约为55 GPa, 卸载模量随卸载应力的演变规律可由式(7)进行预测, 残余应变则可由式(14)进行模拟计算. 2D-C/SiC面内剪切模型的准确性和有效性已在前期研究中得以验证^[28], 其中涉及的参数及其数值如表1所示.

表  1  材料和模型参数

Table  1.  Parameters of material and model

Parameter	Value
thickness of half layer h/μm	100 [31]
modulus of SiC matrix $ {{E}}_{{{\mathrm{m}}}} $/GPa	350[9]
Poisson ratio of SiC matrix νm	0.2 [27]
Poisson ratio of carbon fiber ν23f	0.4 [32]
Poisson ratio of carbon fiber ν13f	0.2 [9]
Poisson ratio of carbon fiber ν12f	0.2 [9]
shear modulus of fiber G12f/GPa	15 [33]
shear modulus of fiber G13f/GPa	15 [33]
axial modulus of fiber E1f/GPa	230 [33]
transverse modulus of fiber E2f/GPa	15[33]
modification coefficient η1	65%[28]
scaling factor η2	10%[28]
matrix crack spacing Ls/μm	160[28]
axial thermal residual stress $ {\sigma }_{{{\mathrm{1f}}}}^{{{\mathrm{res}}}}/{\mathrm{MPa}} $	−558[26]

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偏轴压缩情形下, 2D-C/SiC复合材料的轴向和非轴向卸载模量及残余应变随卸载应力的演变关系已在2.4节中给出, 基于此实验数据并结合最小二乘法可进行最优数据拟合进而识别出式(23)所示的损伤解耦系数和钝化系数^[27]. 由于压缩应力对于面内剪切损伤具有抑制作用, 所以钝化系数$ {{ \lambda }}_{\text{61}} $和$ {{ \lambda }}_{62} $为负值; 而剪切应力对1轴和2轴向的损伤具有促进作用, 因此耦合系数$ {{ \omega }}_{\text{16}} $和$ {{ \omega }}_{\text{26}} $为正值. 最终给出的损伤耦合系数和钝化系数分别为

应变-应力关系中涉及的残余应变可根据式(26)进行计算. 最后可根据式(24)和式(32)对2D-C/SiC复合材料偏轴压缩应变响应行为进行模拟预测.

4.1   材料主方向应力-应变关系模拟

基于上述解耦结果给出不同偏轴角度下材料1方向应力-应变曲线的预测结果如图14所示. 可以看出: 当偏轴角度$ \theta $ = 15°和30°时材料1方向的应力-应变关系预测曲线与实验值偏差较小, 最大误差分别为16.7%和12.9%; 但是, 当偏轴角度$ \theta $ = 45°时, 虽然预测曲线的线性阶段较为准确, 但加载后期的预测值失效. 究其原因主要有两方面: 其一, 本工作给出的本构关系理论模型并未考虑纤维束的偏转以及热残余应力的释放效应, 因此其表征能力受限; 其二, 材料主方向的应变响应具有一定的复杂性, 这要求本构理论对纤维束间以及束内变形机制具有强的表征能力. 这将在后续的理论和模型研究中予以考虑.

图  14  材料主方向应力-应变关系预测值与实验值对比

Figure  14.  Comparison of the predicted stress-strain relationships with the experimental data in principal material directions

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4.2   非材料主方向应力-应变关系模拟

基于3.2节的本构理论, 给出不同偏轴角度压缩载荷下材料$ {x} $方向的模型预测曲线如图15所示. 可以看出预测值与实验曲线变化趋势基本一致, 二者吻合较好且误差满足工程精度, 各个角度下失效应力对应的应变预测值最大误差不超过23%. 这一结果表明, 式(33)给出的压剪损伤解耦参数是准确的, 基本上符合材料的真实损伤耦合机理, 同时也证明了偏轴压缩应力应变模型的预测能力及其准确性与合理性.

图  15  加载方向应力-应变关系预测值与实验值对比

Figure  15.  Comparison of the predicted stress-strain relationships with the experimental data in loading directions

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5.   结论

针对2D-C/SiC复合材料在偏轴压缩载荷下的应变响应和损伤特性, 开展了轴向和偏轴加载测试与表征, 同时考虑各向异性损伤耦合效应以及材料的非线性、单边效应和损伤钝化效应, 并结合细观力学和连续介质损伤力学理论, 实现了损伤演化规律和应变响应行为的模拟预测. 本文得到主要结论如下.

(1) 2D-C/SiC复合材料的偏轴压缩非线性随着偏轴角度的增大而增强, 体现了面内剪应力的损伤强化效应; 同时, 由于纤维偏转和热残余应力的释放, 其材料主轴向的应变响应、名义卸载模量以及残余应变随卸载应力的变化行为具有复杂性和特殊性, 不符合一般规律.

(2) 2D-C/SiC复合材料呈现拉-压不等特性, 其主方向单轴压缩应力应变曲线为线性, 断裂前材料几乎不发生损伤; 同时, 轴向压缩应力具有损伤钝化效应, 不利于剪切裂纹的演化扩展; 因此, 仅通过损伤解耦系数不足以表征材料的压-剪耦合影响效应, 其损伤演化模型中还需要引入损伤钝化系数.

(3) 2D-C/SiC复合材料的压-剪损伤耦合系数和钝化系数具有明确的物理意义、容易识别确定, 因此, 所提出的应力-应变模型可表征材料的损伤机理和应力的交互作用, 在应用方面具有简捷性, 而且预测结果与实验数据吻合较好, 体现出了一定的准确性、合理性和适用性.