AN EFFICIENT NUMERICAL SIMULATION METHOD FOR HALL ELECTRIC FIELD
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摘要: 针对高超声速飞行器电磁调控分析中霍尔电场高效数值模拟方法的需求, 以磁流体动力学基本原理为基础, 构造了双曲形式的霍尔电场控制方程. 基于自行开发的计算流体力学数值求解框架, 在非结构混合网格上通过格心有限体积方法建立了新的霍尔电场数值模拟方法. 迎风分裂格式基于Rusanov格式, 时间推进基于LU-SGS隐式算法. 以立方体区域泊松方程算例和分段电极流动通道霍尔电势算例为例对文章数值方法的准确性、收敛特性以及计算效率进行了考核和验证. 数值模拟结果表明, 当前数值方法计算结果与传统方法相同, 且具有良好的收敛特性, 对于立方体区域泊松方程算例, 当前方法所需墙上时间为传统方法的28.76%, 而对于分段电极流动通道霍尔电势算例, 当前方法所需墙上时间仅为传统方法的0.61%. 文章提出的新的霍尔电场数值模拟方法具有较高的计算效率.Abstract: Based on the fundamental principles of magnetohydrodynamics, a hyperbolic Hall electric field governing equation is constructed to meet the need of an efficient numerical simulation method for the electromagnetic control analysis of hypersonic vehicles. A new numerical simulation method of Hall electric field on unstructured hybrid grids is established by using the cell-centered finite volume method with in-house CFD numerical solution framework. The Rusanov scheme is used as upwind splitting scheme, and time marching is based on LU-SGS implicit algorithm. The accuracy, convergence characteristics and computational efficiency of the numerical method are evaluated and verified by the two case, and that is Poisson’s equation on cube region and the Hall electric field on segmented electrode flow channel. The numerical simulation shows that the results of the present numerical method are the same as those of the traditional method, and has good convergence characteristics. For the case Poisson’s equation on cube region, the wall time required by the present method is 28.76% of that of the traditional method, while for the Hall electric field on segmented electrode flow channel, the wall time required by the present method is only 0.61% of that of the traditional method. The new numerical simulation method of Hall electric field proposed in this paper has high computational efficiency.
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引 言
磁流体力学是一门研究导电流体与电磁场相互作用规律的交叉科学, 在地球物理、空间物理、可控核聚变以及包括航空航天在内的工程应用领域都有着广泛应用[1-3]. 对于典型高超声速飞行器, 外加电磁场以洛伦兹力形式作用于高速电离导电流体, 改变流体运动状态实现流场电磁调控, 在进气道流动控制、热防护和解决通讯黑障问题等方面都有着广阔的应用前景[4-8]. 数值模拟是研究高超声速飞行器电磁调控问题的可行方法之一. 当前对该问题的研究主要有两种方法, 即全磁流体力学方法和低磁雷诺数近似方法. 全磁流体力学方法对电磁场的求解通过磁感应方程实现, 虽然感生电场在方程中没有显式体现, 但是该方程隐式地包含了电场作用, 在具体物理问题中往往以初始条件和边界条件体现, 该方法可以完整考虑感生电场和感生磁场作用. 然而, 对于高超声速飞行器典型飞行状态, 空气电离度一般比较有限[9], 此时电导率并不大, 该方法存在较大数值刚性, 难以直接用于分析[10-11]. 低磁雷诺数近似方法忽略感生磁场作用, 仅考虑外加磁场对高速导电流体作用, 控制方程和实现均比较简单, 在高超声速飞行器电磁调控分析中取得了广泛应用[4, 12-20].
在低磁雷诺数近似方法典型应用中, 虽然感生磁场相对于外加磁场可以忽略不计, 但是某些情况下感生电场作用却不容忽视[21-22], 比如典型的高超声速飞行器飞行环境, 以飞行高度60 km, 飞行速度6000 m/s为例, 霍尔系数可以达到$10 \sim 100\;{{\text{T}}^{ - 1}}$[22], 此时因霍尔效应导致的霍尔电场可能会显著影响飞行器的激波脱体距离、壁面热流以及阻力等流动特性, 降低电磁调控效果, 且与壁面电磁边界条件关系密切[23-26]. 考虑霍尔效应时, 除求解流场外, 还需求解电场, 此时一般通过求解霍尔电场方程[27]获得. 霍尔电场方程本身为类拉普拉斯方程, 相关数值求解方法主要有: (1)基于步进因子的近似因子分解-交替隐式方法(approximate factor and alternating direction implicit method, AF-ADI)[16, 27-29]; (2)超松弛迭代方法(successive over-relaxation method, SOR)及相关改进方法[30-31]; (3)上下对称高斯-赛德尔迭代(lower-upper symmetric Gauss-Seidel method, LU-SGS)预处理的稳定双共轭梯度(biconjugate gradient stabilized method, BI-CGSTAB)算法[9]; (4) Galerkin有限元方法[32]; (5)引入伪时间推进项的隐式时间推进方法[18, 33]. 一般来讲, 方法1仅能在结构网格上实现, 难以适用于非结构网格. 方法2和方法3都为典型的求解大型稀疏线性方程组的方法, 既适用于结构网格也适用于非结构网格, 但是相对于计算流体力学(computational fluid dynamics, CFD)中广泛采用的龙格-库塔(Runge-Kutta, R-K)方法或LU-SGS等方法来说其算法较为复杂, 不易实现. 方法4依托于有限元方法, 不易与CFD中经常使用的有限差分或有限体积法结合. 方法5是CFD中常用的求解方法, 可使用统一的方法求解定常问题和非定常问题, 且可以组合使用多种伪时间推进方法, 在流场Euler方程和N-S方程求解中有着广泛应用, 也易于在已有的流场求解器上设计和实现. 然而, 由于添加伪时间推进项的拉普拉斯方程仅有扩散项而没有对流项, 进行伪时间推进时, 收敛较慢, 计算效率较低.
综上所述, 霍尔电场求解是高超声速飞行器电磁调控分析中的重要内容之一, 然而, 当前磁流体力学中霍尔电场求解方法仍存在不足. 本文以磁流体力学基本原理为基础, 建立新的霍尔电场控制方程. 新控制方程包含对流项和源项, 而没有扩散项, 为典型的双曲型方程, 与椭圆型的传统方程不同, 该方程非常适合使用基于CFD的伪时间推进方法高效求解. 本文在非结构网格上通过格心有限体积法建立了双曲型霍尔电场控制方程数值模拟方法, 并使用典型算例对数值方法的准确性、收敛性以及计算效率进行了测试和分析.
1. 物理模型与数值模拟方法
1.1 数值方法框架
本文对霍尔电场的数值模拟基于自行开发的F2M框架[34-38]. F2M包含网格运动求解、CFD求解以及CSD求解3个模块. 其CFD求解模块是一个在非结构混合网格使用格心有限体积法对一般形式的对流扩散方程
$$ \frac{{\partial {\boldsymbol{U}}}}{{\partial t}} + \nabla \cdot {{\boldsymbol{F}}_{\text{c}}} = \nabla \cdot {{\boldsymbol{F}}_v}{\text{ + }}{\boldsymbol{S}} $$ (1) 进行求解的数值方法框架. 式(1)中, $t$表示物理时间, ${\boldsymbol{U}}$为守恒变量, ${{\boldsymbol{F}}_{\text{c}}}$为无黏通量, ${{\boldsymbol{F}}_v}$为黏性通量. 此时各项的意义为: ${{\partial {\boldsymbol{U}}}}/{{\partial t}}$为非定常项, $\nabla \cdot {{\boldsymbol{F}}_{\text{c}}}$为对流项, $\nabla \cdot {{\boldsymbol{F}}_v}$为扩散项, ${\boldsymbol{S}}$为源项. F2M对对流通量的求解基于迎风分裂格式, 对黏性通量的求解基于中心格式, 面心量基于分段线性重构方法获得, 为二阶精度. 进行空间离散后, 可以使用显式R-K方法或隐式LU-SGS方法等进行伪时间推进.
1.2 霍尔电场控制方程
磁流体力学中, 导电流体的电流密度可根据广义欧姆定律获得, 即
$$ {\boldsymbol{J}}{\text{ + }}\beta {\boldsymbol{J}} \times {\boldsymbol{b}}{{ - }}\alpha \left( {{\boldsymbol{J}} \times {\boldsymbol{b}} \times {\boldsymbol{b}}} \right) = \sigma \left( {{\boldsymbol{E}} + {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}}} \right) $$ (2) 式中, ${\boldsymbol{J}}$为电流密度, ${\boldsymbol{E}}$为电场强度, ${\boldsymbol{V}}$为导电流体运动速度, ${\boldsymbol{B}}$为磁感应强度, $\sigma $为标量电导率, $\alpha $和$\beta $分别为离子滑移系数和霍尔系数, 为无量纲数. 这里的${\boldsymbol{b}}$表示与磁场${\boldsymbol{B}}$方向相同的单位矢量, 即
$$ {\boldsymbol{b}}\text{ = }{\left[{b}_{x}\text{, }{b}_{y}\text{, }{b}_{z}\right]}^{\text{T}} = {\boldsymbol{B}}/\left|{\boldsymbol{B}}\right| $$ (3) 一般来讲, 相对于霍尔效应, 离子滑移效应较弱. 当忽略离子滑移效应时, 广义欧姆定律可以简化为
$$ {\boldsymbol{J}}{\text{ + }}\beta {\boldsymbol{J}} \times {\boldsymbol{b}} = \sigma \left( {{\boldsymbol{E}} + {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}}} \right) $$ (4) 整理后可以得到
$$ {\boldsymbol{J}} = {\boldsymbol{\sigma }} \cdot \left( {{\boldsymbol{E}} + {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}}} \right) $$ (5) 这里, ${\boldsymbol{\sigma }}$为电导率张量, 包含了霍尔系数和外加磁场的影响, 即
$$ {\boldsymbol{\sigma }}{\text{ = }}\frac{\sigma }{{1 + {\beta ^2}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + {\beta ^2}b_x^2}&{{\beta ^2}{b_x}{b_y} - \beta {b_z}}&{{\beta ^2}{b_x}{b_z} + \beta {b_y}} \\ {{\beta ^2}{b_y}{b_x} + \beta {b_z}}&{1 + {\beta ^2}b_y^2}&{{\beta ^2}{b_y}{b_z} - \beta {b_x}} \\ {{\beta ^2}{b_z}{b_x} - \beta {b_y}}&{{\beta ^2}{b_z}{b_y} + \beta {b_x}}&{1 + {\beta ^2}b_z^2} \end{array}} \right] $$ (6) 此外, 当外加磁场不随时间发生变化时, 根据电磁感应定律, 电场强度满足无旋条件, 存在电势$\phi $, 满足
$$ {\boldsymbol{E}} = - \nabla \phi $$ (7) 另外, 当忽略位移电流, 电流密度还应满足无源条件, 即
$$ \nabla \cdot {\boldsymbol{J}}{\text{ = }}0 $$ (8) 综合式(5)、式(7)以及式(8)可得对于典型磁流体问题, 霍尔电势满足的控制方程为
$$ \nabla \cdot \left[ {{\boldsymbol{\sigma }} \cdot \left( { - \nabla \phi + {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}}} \right)} \right]{\text{ = }}0 $$ (9) 此时, 对霍尔电场${\boldsymbol{E}}$的求解转为对霍尔电势$\phi $的求解. 式(9)完整考虑了流体运动${\boldsymbol{V}}$、磁场${\boldsymbol{B}}$以及空间变化电导率${\boldsymbol{\sigma }}$等因素对霍尔电场的影响. 通过求解该方程, 可以获得霍尔电势, 进而可根据式(7)获得电场强度.
1.3 传统的霍尔电场数值求解方法
式(9)可以采用计算流体力学中经常采用的伪时间推进方法进行求解. 对式(9)添加伪时间推进项$\dfrac{{\partial \phi }}{{\partial \tau }}$, 同时为使得方程完整, 还可以添加源项$f$, 此时方程(9)可以写作
$$ \frac{{\partial \phi }}{{\partial \tau }}{\text{ = }}\nabla \cdot \left[ {{\boldsymbol{\sigma }} \cdot \left( {\nabla \phi - {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}}} \right)} \right] - f $$ (10) 式中, $\tau $为引入的伪时间, 对照方程(1)可得, 守恒变量为$U = \phi $, 无对流通量, 黏性通量为${{\boldsymbol{F}}_v} = {\boldsymbol{\sigma }} \cdot \left( {\nabla \phi {{ - }}{\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}}} \right)$, 源项$S = {{ - }}f = 0$. 方程(10)可基于F2M数值求解框架进行求解, 当电势$\phi $方程残差足够小且不再变化时, 表明方程(10)计算收敛, 此时与原始形式的霍尔电场控制方程(9)等价. 另外, 需要说明的是, 方程(10)仅有扩散项而没有对流项, CFD中典型的隐式时间推进方法, 如LU-SGS等方法, 虽然可用, 但是数值稳定性较差, CFL (Courant-Friedrichs-Lewy condition)数大小受到限制, 计算效率较低.
1.4 一种新的霍尔电场数值求解方法
新的霍尔电场控制方程及求解方法基于原始方程(9)构建, 引入中间变量${\boldsymbol{R}}$, 满足
$$ {\boldsymbol{R}} = {\boldsymbol{\sigma }} \cdot \left( { - \nabla \phi + {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}}} \right) $$ (11) 与广义欧姆定律式(5)比较, 可知矢量${\boldsymbol{R}}$的物理意义就是电流密度. 为避免混淆, 这里仍用${\boldsymbol{R}}$表示. 此时, 方程(9)转化为
$$ \nabla \cdot {\boldsymbol{R}} = 0 $$ (12) 与方程(10)获得方式类似, 对式(12)也添加伪时间推进项$\dfrac{{\partial \phi }}{{\partial \tau }}$和源项$f$
$$ \frac{{\partial \phi }}{{\partial \tau }}{\text{ + }}\nabla \cdot {\boldsymbol{R}} = - f $$ (13) 对式(11)也添加伪时间推进项$\dfrac{{\partial {\boldsymbol{R}}}}{{\partial \tau }}$, 可得
$$ \frac{{\partial {\boldsymbol{R}}}}{{\partial \tau }} = - {\boldsymbol{\sigma }} \cdot \left( {\nabla \phi - {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}}} \right) - {\boldsymbol{R}} $$ (14) 考虑到张量电导率${\boldsymbol{\sigma }}$的大小会影响式(14)的伪时间推进速度, 这里引入无量纲参数${T_{{r}}}$对式(14)伪时间推进速度进行修正, 即
$$ {T_r}\frac{{\partial {\boldsymbol{R}}}}{{\partial \tau }} = - {\boldsymbol{\sigma }} \cdot \left( {\nabla \phi - {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}}} \right) - {\boldsymbol{R}} $$ (15) 进行整理可得
$$ {T_r}\frac{{\partial {\boldsymbol{R}}}}{{\partial \tau }}{\text{ + }}{\boldsymbol{\sigma }} \cdot \nabla \phi = {\boldsymbol{\sigma }} \cdot {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}} - {\boldsymbol{R}} $$ (16) 将方程(16)两端同时乘以张量电导率的逆$ {{\boldsymbol{\sigma }}^{{{ - }}1}} $, 可得
$$ {{\boldsymbol{\sigma }}^{{{ - }}1}}{T_r}\frac{{\partial {\boldsymbol{R}}}}{{\partial \tau }}{\text{ + }}\nabla \phi = {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}} - {{\boldsymbol{\sigma }}^{{{ - }}1}}{\boldsymbol{R}} $$ (17) 若无量纲参数${T_{{r}}}$和张量电导率$ {\boldsymbol{\sigma }} $仅随空间变化而不随伪时间发生变化, 式(17)进一步可以写作
$$ \frac{{\partial {{\boldsymbol{\sigma }}^{{{ - }}1}}{T_r}{\boldsymbol{R}}}}{{\partial \tau }}{\text{ + }}\nabla \phi = {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}} - {{\boldsymbol{\sigma }}^{{{ - }}1}}{\boldsymbol{R}} $$ (18) 结合式(13)和式(18), 便可以得到新的霍尔电场控制方程, 即
$$ \left.\begin{split} & \frac{{\partial {{\boldsymbol{\sigma }}^{{{ - }}1}}{T_r}{\boldsymbol{R}}}}{{\partial \tau }}{\text{ + }}\nabla \phi = {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}} - {{\boldsymbol{\sigma }}^{{{ - }}1}}{\boldsymbol{R}} \\ & \frac{{\partial \phi }}{{\partial \tau }}{\text{ + }}\nabla \cdot {\boldsymbol{R}}{\text{ = }} - f \end{split}\right\} $$ (19) 观察方程(19)可以发现, 其仅有非定常项、对流项和源项, 而没有扩散项. 方程(19)可以写成方程(1)的形式, 其守恒变量、对流通量和源项分别为
$$ {\boldsymbol{U}} = \left[\begin{array}{c}{{\boldsymbol{\sigma}} }^{-1}{T}_{r}{\boldsymbol{R}}\\ \phi \end{array}\right]\text{, }{{\boldsymbol{F}}}_{\text{c}}\text{ = }\left[\begin{array}{c}{\boldsymbol{I}}\phi \\ {{\boldsymbol{R}}}^{\text{T}}\end{array}\right]\text{, }{\boldsymbol{S}} = \left[\begin{array}{c}{\boldsymbol{V}}\times {\boldsymbol{B}}-{{\boldsymbol{\sigma}} }^{-1}{\boldsymbol{R}}\\ -f\end{array}\right] $$ (20) 这里的$ {\boldsymbol{I}} $为二阶单位矩阵. 方程(19)可基于F2M数值求解框架进行求解, 对流通量使用Rusanov迎风分裂格式[39]. 当方程(19)收敛时, 伪时间的非定常项变为0, 方程(19)退化为方程(5)和方程(8), 与方程(9)完全等价. 对方程(19)进行分析可得对流通量雅克比矩阵的4个特征值分别为$ \lambda , - \lambda ,0和0 $, 这里的$ \lambda $满足
$$ {\lambda ^2} = \sum\limits_{i = 1}^3 {\sum\limits_{j = 1}^3 {{T_r}{{\sigma }_{ij}}^{{{ - }}1}{n_i}{n_j}} } $$ (21) 其中, $ {{\sigma }_{ij}} $和$ {n_i} $分别表示张量电导率和单位面法向矢量的各个分量. 可以发现, 特征值为正或者0, 此时方程(19)为双曲型方程. 双曲型方程中特征值大小实际上反应了扰动传播的快慢, 根据式(21)可知, $ {T_r} $可以对扰动传播速度进行调控, 因此$ {T_r} $在数值上的作用其实是一个无量纲的波速调节因子, 本文恒取$ {T_r} = 1 $. 同时, 方程(19)有对流项而没有扩散项, 可以使用隐式时间推进方法高效求解, 数值稳定性好, 可取较大的CFL数, 计算效率较高.
2. 数值模拟结果与分析
对于方程(10)或者等价的方程(19), 当满足特定条件时可以简化, 这里以方程(10)为例进行说明. 比如, 当流体运动速度${\boldsymbol{V}}$为0, 可简化为
$$ \frac{{\partial \phi }}{{\partial \tau }}{\text{ = }}\nabla \cdot \left( {{\boldsymbol{\sigma }} \cdot \nabla \phi } \right) - f $$ (22) 当没有外加磁场时, 张量电导率${\boldsymbol{\sigma }}$退化为标量电导率$\sigma $, 此时${\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}}$项也为0, 方程(10)简化为
$$ \frac{{\partial \phi }}{{\partial \tau }}{\text{ = }}\nabla \cdot \left( {\sigma \nabla \phi } \right) - f $$ (23) 方程(22)或方程(23)实际上都是加了伪时间项的泊松方程, 是方程(10)的不同简化形式, 均可以使用相同的数值方法进行求解. 因此, 本文的数值方法不仅可用于求解霍尔电场方程, 还可用于求解类似形式的泊松方程. 这里先使用一个存在解析解的泊松方程算例对求解方法和计算效率进行测试, 再通过一个霍尔电场算例对本文的数值方程进行全面考核.
2.1 算例1: 立方体区域泊松方程求解
该算例是一个泊松方程求解算例, 用于对数值方法进行初步测试. 计算域是$1\;{\text{m}} \times 1\;{\text{m}} \times 1\;{\text{m}}$的立方体, 在该计算域上求解泊松方程
$$ {\nabla ^2}\phi = x{{\mathrm{e}}^z} $$ (24) 边界条件为Dirichlet边界, 给定边界值$\phi = x{{\mathrm{e}}^z}$, 此时方程解析解为$\phi = x{{\mathrm{e}}^z}$. 对计算域进行均匀网格划分, 网格量为$100 \times 100 \times 100$, 因此每个网格单元尺寸均为$0.01\;{\text{m}} \times 0.01\;{\text{m}} \times 0.01\;{\text{m}}$, 如图1所示. 待求解方程(24)右端项$x{{\mathrm{e}}^z}$可以通过方程(10)或方程(19)中的源项形式引入, 此时$f = x{{\mathrm{e}}^z}$, 速度${\boldsymbol{V}}$和磁感应强度${\boldsymbol{B}}$均为0, 也可以将源项换算成式(10)中的${\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}}$, 此时源项$f = 0$, 速度${\boldsymbol{V}}{\text{ = }}\left[ {x,\;0,\; - {{{x^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{x^2}} 2}} \right. } 2}} \right]$, 磁感应强度${\boldsymbol{B}}{\text{ = }}\left[ {0,\;{{{{\mathrm{e}}^z}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\mathrm{e}}^z}} 2}} \right. } 2}\;,0} \right]$. 两种处理方式求解的方程等价, 计算效率接近, 结果也相同. 为充分考核本文的霍尔电场方程数值方法, 这里使用第二种处理方式进行计算. 使用本文的数值方法对两种形式的霍尔电场控制方程进行求解, 即方程(10)和方程(19), 时间推进都采用LU-SGS隐式时间推进方法. 传统方法(traditional method)数值稳定性较差, CFL数受到限制, 这里取CFL = 0.6, 之所以没有使用更大的CFL数, 主要是因为再增加CFL数计算会发散. 而新方法(present method)数值稳定性较好, 可以使用大的CFL数, 这里取CFL = 100. 该算例在双路Intel(R) Xeon(R) CPU E5-2696 v4上基于OpenMP方法并行运行, 并行数为44. 操作系统为Ubuntu 18.04, 编译器为gfortran 12.1, 编译选项开启-Ofast, 即最大速度优化. 图2给出了两种方法的残差收敛曲线, 可以发现, 传统求解方法收敛步数约为
50000 步, 新方法收敛步数约为6000步. 两种方法的残差均可收敛到$ {10^{ - 16}}$量级以下, 表明两种方法均具有良好的收敛特性. 图3给出了两种方法计算获得的计算域对角线(坐标$(0,0,0)$和$(1,1,1)$连线)上函数值, 可以发现两种方法计算结果均与解析解吻合良好, 表明两种方法均具有良好的准确性. 表1给出了两种方法的计算效率比较. 可以发现新方法每万步所需墙上时间较大, 近似为传统方法的2.397倍, 但是得益于更少的收敛步数, 其总墙上时间仅为传统方法的28.76%, 具有非常高的计算效率, 可大幅提高霍尔电场方程的求解速度.表 1 两种数值方法计算效率比较Table 1. Comparison of the computational efficiency of the two methodsTest indicators Traditional method Present method convergence steps 50000 6000 wall time per 10 000 steps/h 0.5803 1.3906 total wall time/h 2.9015 0.8344 2.2 算例2: 分段电极流动通道霍尔电势
这里以分段电极流动通道算例为例, 对本文的霍尔电场数值求解方法进行全面考核. 分段电极流动通道示意图如图4所示, 其由无穷多对相同的电极组成, 每对电极通过绝缘板连接, 电极和绝缘板组成导电流体流动通道. 每对电极的阳极电势$\phi = 1\;{\text{V}}$, 阴极电势$\phi = 0\;{\text{V}}$, 电极间流动通道宽度为$1\;{\text{m}}$. 每对电极的长度均为$0.5\;{\text{m}}$, 连接的绝缘板长度为$0.5\;{\text{m}}$. 通道内导电流体的标量电导率为$\sigma = 1\;{\text{S}} \cdot {{\text{m}}^{{{ - 1}}}}$, 施加z方向的外加磁场, 磁感应强度为$B = 1\;{\text{T}}$. 当考虑霍尔效应时, 流场电导率不再为标量, 而是二阶张量, 如式(6)所示. 设流场中存在沿x轴方向的流动, 流速满足充分发展的Poiseuille流动, 即
$$ u = {u_{\max }}\left[ {1 - \frac{{{{\left( {y - {h_c}} \right)}^2}}}{{h_c^2}}} \right] $$ (25) 这里的$ {h_c} $为半通道宽度, 即$ {h_c}{\text{ = }}0.5\;{\text{m}} $, $ {u_{\max }} $为最大流速. 考虑到水平方向的周期性, 这里可任取其中某一对电极进行研究, 如图4虚线框所示. 对计算域划分均匀网格, 网格量为$200 \times 200$. 左右两侧使用周期边界, 电极使用Dirichlet边界, 给定各电极电势, 绝缘板使用绝缘边界, 即${\boldsymbol{J}} \cdot {\boldsymbol{n}} = 0$, 即存在切向电流而不存在法向电流.
与算例1相同, 这里都使用隐式LU-SGS时间推进方法, 传统方法(traditional method)计算时CFL数取0.6, 新方法(present Method)计算时CFL数取100. 图5给出了无外加磁场无流动速度时两种霍尔电场数值方法获得的两电极中线上电势分布, 可以发现, 两种方法计算的电势几乎完全相同, 表明当前数值方法的正确性. 图6给出了两种方法的残差收敛曲线(横纵坐标均为对数), 可以发现, 传统方法收敛步数约为55万步, 收敛速度较慢, 而新方法仅需1500步左右即可收敛. 表2给出了两种方法的计算效率比较. 对于该算例, 以每万步使用的墙上时间为例, 传统方法需1.2 min, 新方法需2.7 min, 虽然新方法每万步耗时多, 但是所需的伪迭代步数远小于传统方法, 新方法的总耗时仅为传统方法的0.61%. 由此可见, 在面对复杂问题时, 新方法计算效率更高, 因此后面对该问题的分析仅通过新方法进行.
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图 5 两种方法计算的每对电极中线上电势$\phi $Figure 5. The electric potential $\phi $ along the center line of each pair of electrodes calculated by the two methods表 2 两种方法计算效率比较Table 2. Comparison of the computational efficiency of the two methodsTest indicators Traditional method Present method convergence steps 550000 1500 wall time per 10 000 steps/min 1.2 2.7 total wall time/min 66 0.405 不考虑霍尔效应时, 霍尔系数$\beta = 0.0$, 根据式(6)可得, 电导率退化为标量形式. 如果存在外加磁场, 当存在流速时, 根据欧姆定律(5)可得, 流体运动仍会产生动生电场${\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}}$, 从而影响电势分布. 为对该问题进行分析, 图7 ~ 图9分别给出了不考虑霍尔效应时外加磁场强度$B = 1.0\;{\text{T}}$时不同流速下的电势, 图中黑色等值线表示电势, 带箭头的红色实线表示电流密度. 根据电势与电场强度关系式(7)可知, 等值线的疏密反映了电场强度的大小, 等值线越密, 表示单位距离内电势变化越剧烈, 即电场强度模值越大. 图7给出了流速为0时电势分布, 可以发现, 上下两电极电势分别为$\phi = 1\;{\text{V}}$, $0\;{\text{V}}$, 与设定的边界条件一致. 阳极两侧绝缘板电势略小于阳极电势, 阴极两侧绝缘区域电势略大于阴极电势. 通道中间区域, 电势变化相对比较均匀, 表明电场强度变化较小. 当流速增加到${u_{\max }} = 1\;{\text{m/s}}$, 如图8所示, 通道中间区域电势等值线更稀疏, 表明该位置电场强度降低, 两电极附近电势等值线更密, 表明附近电场强度增加. 而当流动反向时, 即${u_{\max }} = {{ - }}1\;{\text{m/s}}$, 如图9所示, 通道中间位置电场强度增加, 两电极附近电场强度降低. 因此, 可以发现, 当不考虑霍尔效应时, 流速变化会显著改变通道内不同位置的电势分布和电场强度.
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图 7 霍尔系数$\beta = 0.0$速度${u_{\max }} = 0\;{\text{m/s}}$时电势$\phi $云图Figure 7. Electric potential $\phi $ at Hall parameter $\beta = 0.0$ and velocity ${u_{\max }} = 0\;{\text{m/s}}$![]()
图 9 霍尔系数$\beta = 0.0$速度${u_{\max }} = {{ - }}1\;{\text{m/s}}$时电势$\phi $云图Figure 9. Electric potential $\phi $ at Hall parameter $\beta = 0.0$ and velocity ${u_{\max }} = {{ - }}1\;{\text{m/s}}$![]()
图 8 霍尔系数$\beta = 0.0$速度${u_{\max }} = 1\;{\text{m/s}}$时电势$\phi $云图Figure 8. Electric potential $\phi $ at Hall parameter $\beta = 0.0$ and velocity ${u_{\max }} = 1\;{\text{m/s}}$为对速度导致电势分布和电场强度变化的原因进行分析, 图10 ~ 图12给出了不同流动速度下电流密度模值云图. 可以发现, 不同速度下, 电流密度分布类似, 电极两侧电流密度较大, 中间区域电流密度略小, 绝缘区域电流密度几乎为0, 通道中间区域电流密度相对比较均匀. 此外, 由于没有考虑霍尔效应, 电导率为标量, 电流密度矢量整体沿着垂直于电势等值线方向从上到下, 与电场强度方向基本一致. 当流速为正时, 电流密度模值整体增加, 而当流速为负时, 电流密度整体降低. 这主要是由于外加磁场是沿z轴正方向施加的, 当速度沿x轴正方向时, 动生电场$ {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}} $沿y轴负方向, 即从上到下, 与电场强度$ {\boldsymbol{E}} $方向相同, 对总的等效电场起到了加强作用, 而电导率保持不变, 那么电流密度增加. 通道内给定的速度满足Poiseuille流动分布, 通道壁面附近速度较小, 此时动生电场$ {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}} $在壁面附近几乎可以忽略, 造成当总电流密度增加时, 壁面电极附近电场强度$ {\boldsymbol{E}} $增加, 电场等势线更密. 通道中间位置速度较大, 虽然电流密度有所增加, 即总的等效电场$ {\boldsymbol{E}} $与$ {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}} $之和增加, 但是相对来讲, $ {\boldsymbol{V}} \times {\boldsymbol{B}} $增加更多, 造成电场强度$ {\boldsymbol{E}} $降低, 体现为电势等值线在通道中间位置变得稀疏. 当流动反向时, 原因类似.
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图 10 霍尔系数$\beta = 0.0$速度${u_{\max }} = 0\;{\text{m/s}}$时电流密度模值$J$云图Figure 10. Current density magnitude $J$ at Hall parameter $\beta = 0.0$ and velocity ${u_{\max }} = 0\;{\text{m/s}}$![]()
图 11 霍尔系数$\beta = 0.0$速度${u_{\max }} = 1\;{\text{m/s}}$时电流密度模值$J$云图Figure 11. Current density magnitude $J$ at Hall parameter $\beta = 0.0$ and velocity ${u_{\max }} = 1\;{\text{m/s}}$![]()
图 12 霍尔系数$\beta = 0.0$速度${u_{\max }} = {{ - }}1\;{\text{m/s}}$时电流密度模值$J$云图Figure 12. Current density magnitude $J$ at Hall parameter $\beta = 0.0$ and velocity ${u_{\max }} = {{ - }}1\;{\text{m/s}}$考虑霍尔效应时, 霍尔系数$\beta \ne 0.0$, 当存在外加磁场时, 根据式(6)可知, 电导率为二阶张量, 此时电流密度方向与电场强度方向不同. 图13 ~ 图15分别给出了外加磁场强度$B = 1.0\;{\text{T}}$、霍尔系数$\beta = 0.5$时不同流速下的电势. 可以发现, 电势$\phi $和电场强度变化规律基本与不考虑霍尔效应时一致, 正向速度增加电极附近电场强度, 削弱通道中间位置电场强度, 负向速度相反, 原因与不考虑霍尔效应时相同. 观察电流密度方向可知, 不同流速下电流密度方向基本相同, 主方向是从左上方到右下方. 通过比较相同速度、不同霍尔系数下的电势图, 比如图7与图13、图8与图14以及图9与图15可以发现, 相对于不考虑霍尔效应, 考虑霍尔效应时, 电流密度矢量方向发生变化, 不再与电势等值线垂直, 即不再与电场方向相同. 此外, 也可以考虑不同外加磁场强度对电场或者电势的影响, 但是从式(4)可以看出, 改变磁场强度与改变流动速度效果相同, 因此不再赘述.
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图 13 霍尔系数$\beta = 0.5$速度${u_{\max }} = 0\;{\text{m/s}}$时电势$\phi $云图Figure 13. Electric potential $\phi $ at Hall parameter $\beta = 0.5$ and velocity ${u_{\max }} = 0\;{\text{m/s}}$![]()
图 14 霍尔系数$\beta = 0.5$速度${u_{\max }} = 1\;{\text{m/s}}$时电势$\phi $云图Figure 14. Electric potential $\phi $ at Hall parameter $\beta = 0.5$ and velocity ${u_{\max }} = 1\;{\text{m/s}}$![]()
图 15 霍尔系数$\beta = 0.5$速度${u_{\max }} = {{ - }}1\;{\text{m/s}}$时电势$\phi $云图Figure 15. Electric potential $\phi $ at Hall parameter $\beta = 0.5$ and velocity ${u_{\max }} = {{ - }}1\;{\text{m/s}}$3. 总结
本文针对当前高超声速飞行器电磁调控分析中霍尔电场数值模拟方法存在的不足, 以磁流体力学基本原理为基础, 构造了双曲形式的霍尔电场控制方程. 基于自行开发的F2M数值求解框架, 在非结构混合网格上进行空间离散, 迎风分裂格式基于Rusanov格式, 时间推进基于LU-SGS隐式时间推进算法, 建立了高效的霍尔电场数值模拟方法.
为对本文数值方法的计算效率、收敛特性以及计算准确性进行考核和验证, 对立方体区域泊松方程算例和分段电极流动通道霍尔电势算例进行了数值模拟与分析. 结果表明, 新的计算方法数值结果与传统方法结果相同, 均具有良好的准确性和收敛特性, 但是新方法具有更高的计算效率.
本文的数值方法求解的是类泊松方程, 容易推广到其他形式的泊松方程, 在流体力学、传热学以及电磁学等诸多学科中存在一定的应用价值. 本文使用典型的CFD方法对构造的双曲型霍尔电场方程进行求解, 后期便于与流场Euler方程或者N-S方程耦合求解. 然而当前方法尚未考虑湍流流场等复杂流场效应对霍尔电场影响, 也没有考虑霍尔电场对流场的作用, 这也是后续需要进一步开展的工作.
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图 5 两种方法计算的每对电极中线上电势$\phi $
Figure 5. The electric potential $\phi $ along the center line of each pair of electrodes calculated by the two methods
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图 7 霍尔系数$\beta = 0.0$速度${u_{\max }} = 0\;{\text{m/s}}$时电势$\phi $云图
Figure 7. Electric potential $\phi $ at Hall parameter $\beta = 0.0$ and velocity ${u_{\max }} = 0\;{\text{m/s}}$
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图 9 霍尔系数$\beta = 0.0$速度${u_{\max }} = {{ - }}1\;{\text{m/s}}$时电势$\phi $云图
Figure 9. Electric potential $\phi $ at Hall parameter $\beta = 0.0$ and velocity ${u_{\max }} = {{ - }}1\;{\text{m/s}}$
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图 8 霍尔系数$\beta = 0.0$速度${u_{\max }} = 1\;{\text{m/s}}$时电势$\phi $云图
Figure 8. Electric potential $\phi $ at Hall parameter $\beta = 0.0$ and velocity ${u_{\max }} = 1\;{\text{m/s}}$
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图 10 霍尔系数$\beta = 0.0$速度${u_{\max }} = 0\;{\text{m/s}}$时电流密度模值$J$云图
Figure 10. Current density magnitude $J$ at Hall parameter $\beta = 0.0$ and velocity ${u_{\max }} = 0\;{\text{m/s}}$
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图 11 霍尔系数$\beta = 0.0$速度${u_{\max }} = 1\;{\text{m/s}}$时电流密度模值$J$云图
Figure 11. Current density magnitude $J$ at Hall parameter $\beta = 0.0$ and velocity ${u_{\max }} = 1\;{\text{m/s}}$
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图 12 霍尔系数$\beta = 0.0$速度${u_{\max }} = {{ - }}1\;{\text{m/s}}$时电流密度模值$J$云图
Figure 12. Current density magnitude $J$ at Hall parameter $\beta = 0.0$ and velocity ${u_{\max }} = {{ - }}1\;{\text{m/s}}$
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图 13 霍尔系数$\beta = 0.5$速度${u_{\max }} = 0\;{\text{m/s}}$时电势$\phi $云图
Figure 13. Electric potential $\phi $ at Hall parameter $\beta = 0.5$ and velocity ${u_{\max }} = 0\;{\text{m/s}}$
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图 14 霍尔系数$\beta = 0.5$速度${u_{\max }} = 1\;{\text{m/s}}$时电势$\phi $云图
Figure 14. Electric potential $\phi $ at Hall parameter $\beta = 0.5$ and velocity ${u_{\max }} = 1\;{\text{m/s}}$
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图 15 霍尔系数$\beta = 0.5$速度${u_{\max }} = {{ - }}1\;{\text{m/s}}$时电势$\phi $云图
Figure 15. Electric potential $\phi $ at Hall parameter $\beta = 0.5$ and velocity ${u_{\max }} = {{ - }}1\;{\text{m/s}}$
表 1 两种数值方法计算效率比较
Table 1 Comparison of the computational efficiency of the two methods
Test indicators Traditional method Present method convergence steps 50000 6000 wall time per 10 000 steps/h 0.5803 1.3906 total wall time/h 2.9015 0.8344 
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表 2 两种方法计算效率比较
Table 2 Comparison of the computational efficiency of the two methods
Test indicators Traditional method Present method convergence steps 550000 1500 wall time per 10 000 steps/min 1.2 2.7 total wall time/min 66 0.405
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