RESEARCH ON REUSABLE PROPERTIES OF MULTISTABLE METAMATERIAL OF HIERARCHICAL CURVED BEAMS
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摘要: 多稳态超材料凭借其出色的力学性能而广受关注和应用. 然而, 现有研究主要集中在单曲梁结构, 对于由多层级曲梁单胞构建的复杂拓扑结构的可重复吸能特性缺乏深入探讨. 此外, 与传统材料相比, 多稳态超材料在循环加载下的疲劳性能也鲜有研究. 文章以两端固支直梁一阶屈曲模态为初始构型构造曲梁单胞, 并通过3D打印技术制备双材料双稳态单元. 进而建立多层级曲梁结构, 并给出预测多层级曲梁正则化的力和势能随位移变化的5次、6次多项式经验公式, 相比于以往3次、4次多项式结果更为准确. 以双曲梁单胞为基本单元, 通过中心旋转的方式设计三维点状多稳态超材料, 研究其稳态性能和力学特性. 并通过参数化分析研究单元几何参数和模块化拓扑构型对结构力学响应的影响, 最后通过疲劳实验验证了该类多稳态超材料的疲劳寿命. 该结构能够在小变形和大变形范围内实现正负刚度的转变, 同时变形是弹性稳定的, 即杨氏模量基本保持不变, 且具有多稳态和可重复吸能特性. 随着双曲梁几何参数Q (高厚比)的增大, 其有效压溃距离和能量吸收效率随之增加. 提出的设计策略为制造多稳态多步可逆变形的力学超材料开辟了新路径, 并为设计材料-结构-功能一体化的工程材料提供了一种新思路.Abstract: Multistable metamaterials have garnered widespread research and application due to their excellent mechanical properties. However, existing literature has primarily focused on single curved beam structures, while the study of the repeatable energy absorption characteristics of multistable metamaterials constructed from hierarchical curved beam unit cells remains limited. Furthermore, compared to conventional materials, the fatigue performance of multistable metamaterials under cyclic loading has been relatively unexplored. In this paper, a curved beam unit cell was constructed using the first-order buckling mode of a straight beam with fixed ends as the initial configuration. This unit cell was then employed to create a bi-material bistable unit through 3D printing technology. Subsequently, a hierarchical curved beam structure was established, and empirical formulas yielded more precies results compared to the previous third-order and fourth-order polynomial formulations. By employing the double-curved beam unit cell as the fundamental building block, a three-dimensional DOT multistable metamaterial was designed through center rotation, and its steady state performance and mechanical characteristics were thoroughly investigated. The structural mechanical response was investigated by conducting parametric analyses to examine the influence of unit geometric parameters and modular topology configuration. Finally, fatigue experiments were performed to demonstrate the reusability of this type of multistable metamaterial. The proposed structure enables the transition between positive and negative stiffness within the small and large deformation range. Moreover, the deformation exhibits elastic stability, indicating that the Young's modulus remains relatively constant. The structure also possesses multi-stable, programmable, and repeatable energy absorption characteristics. The effective crushing distance and energy absorption efficiency of the double curved beam increase with the geometric parameter Q. The design strategy presented in this study opens up new avenues for fabricating mechanical metamaterials capable of multi-step reversible deformation, thereby offering a novel approach for engineering materials design that integrates material properties, structural behavior, and functional attributes.
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引言
能量吸收结构和材料被广泛用于保护人类和物体免受冲击或碰撞, 例如航天器着陆缓冲装置、汽车保险杠、防弹玻璃、头盔和易碎物品的包装等[1-4]. 大量关于提高材料和结构能量吸收特性的方法已经被提出[5-11]. 以往的研究主要集中在金属材料的塑性大变形吸能, 以及复合材料或陶瓷碎裂时的断裂能量吸收. 比如, Jin等[5] 受到马尾草结构特点的启发, 结合植物茎的生物学特性和薄壁结构的力学特性, 提出了一种新型的能量吸收仿生薄壁结构, 采用实验、数值和理论相结合的方法对新型仿生多边形多胞(BPMC)薄壁管的塑性大变形吸能特性进行了研究. Sun等[6]总结了复合材料和结构在耐撞性和吸能特性方面的研究进展, 并对碳纤维增强塑料(CFRP)、玻璃纤维增强塑料(GFRP)、铝/钢及金属泡沫/蜂窝/晶格等多种复合材料的耐撞性和吸能性能进行了详细的评价和比较. 但这两种吸能方式均对材料本身要求较高, 导致应用范围有限. 而且材料在撞击过程中会发生不可逆变形或永久损坏, 不经济且不环保. 针对航空航天及交通运输等领域对构件轻量化、耐冲击和减震吸能的要求, 开发具有可重复能量吸收特性的轻型超材料已成为重要研究课题.
因此, 为了克服一次性使用、新材料开发周期长且成本高的缺点, 通过将超材料的研究思路引入到多稳态相变结构的设计中, 提出了可重复使用的多稳态超材料. 多稳态超材料是一种人工材料, 针对其微结构, 研究者们已经提出了利用倾斜梁[7-9]、曲梁[10-18]或三维苍穹顶结构[16-19]作为双稳态单胞, 构建出具有许多可编程稳定构型的多稳态机械超材料, 并通过双稳态单胞的弹性屈曲阶跃(snapping-through)行为实现不同构型之间的可逆切换. Fu等[20]将刚性颗粒材料与柔性可拉伸构件相结合, 创造了一种兼具可重复使用和可编程特性的新型多稳态超材料, 通过调整超材料的结构设计、可拉伸构件的预紧力和刚度、颗粒间的尺寸和摩擦力, 获得了巨大的设计空间, 可对结构的反力-位移曲线、多稳态特性和能量耗散量进行编程. Lin等[21]基于曲梁单胞, 提出了一种新的“楼梯建造”策略, 用于定制机械超材料的目标力学行为. 该策略类似于用砖块建造楼梯, 可以通过可视化地堆叠双稳态单元的砖状加载曲线来实现对材料的目标应力-应变(力-位移)曲线的重新定制. 徐锐等[22]总结了多稳态力学超材料的可重复使用、能量存储与吸收、快速变形和放大输出力等优异性能, 并指出其在能量吸收、软体机器人驱动、机械存储器和波调控等领域的应用前景. 此外, 可折展折纸超材料的稳态机理及动力学行为研究成为近年来的热点[23-27]. Zhu等[28]提出了一种将多个套筒型负刚度单元并联组合并采用相位差机制来提高能量耗散能力的策略. Haghpanah等[29]设计了包含活动铰链的多稳态可重构建筑材料, 并实现了高强度、高体积变化和复杂形状变形模式的组合. Pandey等[30]利用Kirchhoff杆和冯卡门板方程, 研究了集中载荷作用下两端固支的弹性拱的稳定性、变形模式和突弹跳变动力学. Taffetani等[31]采用实验和有限元模拟的方法确定了不同立体壳的双稳态和单稳态之间的阈值.
多稳态超材料由于其优异的力学性能而被广泛研究和应用. 然而, 现有文献中对多稳态超材料的研究大多限于单曲梁结构, 并且对于由多层级曲梁单胞构建的多稳态超材料的可重复吸能特性的研究仍然很少. 此外, 与传统材料相比, 多稳态超材料在循环加载下的疲劳特性的研究也相对有限. 本文以两端固支直梁一阶屈曲模态为初始构型构造出双曲梁单胞, 基于梁的屈曲阶跃理论, 明确双稳态的诱发机制. 通过3D打印技术制备双材料双稳态单元, 建立相应的有限元模型并与已有文献对比. 进而建立多层级曲梁结构, 提出预测多层级曲梁正则化的反力-位移和势能-位移曲线的5次、6次多项式经验公式. 此外, 以双曲梁单胞为基本单元, 通过中心旋转的方式设计三维点状多稳态超材料, 并研究其稳态性能和力学特性. 通过参数化分析, 探究单元几何参数和模块化拓扑构型对结构力学响应的影响. 最后, 设计并实施了循环加载实验, 以测试多稳态结构的疲劳性能. 本文旨在提出一种兼具可重复吸能的变刚度可重用多稳态超材料的设计思路, 以满足未来航天器着陆缓冲、工程结构抗震、船舶桥梁的防撞吸能以及软体机器人姿态控制等领域的需求.
1. 双曲梁模型的建立
1.1 理论模型
以直梁的第一阶屈曲模态作为曲梁单胞的初始形态, 如图1(a)所示, 即曲梁的预设形状函数可表示为
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图 1 单曲梁和双曲梁单胞示意图及其典型的反力-正则化位移曲线Figure 1. Schematic diagram of single-curved and double-curved beam cells and their typical force-normalized displacement curves$$ y\left( x \right) = \frac{h}{2}\left[ {1 - \cos \left( {2\text{π} \frac{x}{l}} \right)} \right]\text{, }\quad x \in \left[ {0,L} \right] $$ (1) 其中, h为曲梁的初始峰值高度, l为曲梁的跨度. 定义几何常数$Q = {h /t}$, t为曲梁的厚度; 定义b为曲梁的宽度. 以单曲梁为基础, 构建图1(b)所示的双曲梁单胞, 并以此来设计多稳态超材料.
考虑两端固支的单曲梁单胞, 并在其跨中顶点处施加外载荷f. 采用模态叠加法并忽略其高阶模态, 可得到第一种形式的封闭解为[10]
$$ {F_1} = \frac{{3{\text{π} ^4}{Q^2}}}{2}\varDelta \left[ {{{\left( {\varDelta - \frac{3}{2}} \right)}^2} - \left( {\frac{1}{4} - \frac{4}{{3{Q^2}}}} \right)} \right] $$ (2) 如图1(c)所示, 其中, ${F_1} = {{f{l^3}} /({EIh})}$为外载荷f的正则化参数, $\varDelta = {d \mathord{\left/ {\vphantom {d h}} \right. } h}$为y方向上位移的无量纲参数, $I = {{b{t^3}} \mathord{\left/ {\vphantom {{b{t^3}} {12}}} \right. } {12}}$为矩形截面梁的惯性矩. ${F_1}$表现为一条“N型”曲线, 曲线的峰值取决于Q, 且斜率有“正-负-正”的转变, 说明结构具有“正-负-正”的变刚度特性. 但当$\varDelta = 0,{\text{ }}1,{\text{ }}2$时, 3条典型的${F_1}$曲线相交于同一点. 对于$Q > 2.31$($Q = 3$), 曲线出现负的力值, 结构表现出双稳态现象, 这表明去掉外力后结构不可以自动恢复至原状, 需要借助反向外力才能使结构恢复至原状, 结构整体表现为两个稳定状态; 对于$Q = 2.31$, 结构表现出临界双稳态现象; 对于$Q < 2.31$($Q = 1.62$), 结构表现出单稳态现象, 这表明结构在去掉外力后可自动恢复至原状, 无需借助反向外力, 结构整体表现为一个稳定状态.
当二阶模态未被限制, 结构发生反对称的第二阶屈曲模态时, 得到第2种形式的封闭解为[10]
$$ {F_2} = 4.18{\text{π} ^4} - 2.18{\text{π} ^4}\varDelta $$ (3) 当二阶模态被限制时, 得到第3种形式的封闭解[10]为
$$ {F_3} = 8{\text{π} ^4} - 6{\text{π} ^4}\varDelta $$ (4) 由图1(c)可知, ${F_2}$和${F_3}$均为一次函数, 独立于Q, 表现为倾斜的直线, 其斜率始终为负, 始终为负刚度. ${F_2}$与单稳态曲线${F_1}$($Q = 1.62$)在$\varDelta = 1$处相切, 说明二者在该点处有相同的斜率, 即刚度相同. ${F_2}$与双稳态曲线${F_1}$($Q = 3$)和临界双稳态曲线${F_1}$($Q = 2.31$)均有3个不同的交点, 除$\varDelta = 1$处的其余两个交点是轴向力等于第二阶模态或第三阶模态的情况. 在这两个交点之间, 要么存在F2, 要么存在F3, 而在这个范围之外, 只存在F1. 实际的F-$\varDelta $曲线是一条混合曲线, F1曲线与F2或F3曲线在这两点之间切换. F2曲线除了在$\varDelta = 2$处存在很小的负力值之外总是大于零, 这意味着在第二阶模态自由的情况下, 即使载荷非常大, 曲梁最多也只能出现临界双稳态行为. ${F_3}$与临界双稳态曲线${F_1}$($Q = 2.31$)在$\varDelta = 1$处相切, 并与双稳态曲线${F_1}$($Q = 3$)有3个交点, 与单稳态曲线${F_1}$($Q = 1.62$)有一个交点($\varDelta = 1$). 此时, 二阶模态被限制, 结构通过屈曲阶跃行为跳过第二阶模态而直接发生对称的第三阶模态, 因而表现出双稳态效应. 因此, 若想制造双稳态单元, 除了需要对其边界施加约束外, 还需要限制其二阶非对称模态的产生.
1.2 有限元模型
取曲梁的几何参数分别为
$$ \left.\begin{split} &h = 6{\text{ mm}},{\text{ }}t = 1.2{\text{ mm}},{\text{ }}Q = \frac{h}{t} = 4\\ & l = 100{\text{ mm}},{\text{ }}b = 4{\text{ mm}}\end{split}\right\} $$ (5) 采用ABAQUS/Explicit软件建立双曲梁的数值分析模型, 并增加一些外部支撑来模拟刚性约束. 尽管模拟时外部支承的材料与双曲梁相同, 但其厚度远大于双曲梁, 因此其变形的影响可以近似忽略并可作为刚性约束处理. 整个仿真过程采用动态显式分析步, 时间步长设置为0.05. 左右两端刚性支撑部分为固定端约束, 限制其所有位移和转角; 顶部的刚性连接部分只允许其垂直向下移动, 并限制其转角和水平方向的位移, 这种边界约束限制了结构非对称模态的发生, 仅引导对称模态的发生. 耦合点设置为刚性连接的顶部中心处, 并在历史输出中输出耦合点的反力-位移曲线. 为避免变形过程中结构因接触产生的穿透行为, 需要设置整体模型的一般通用接触, 其相互作用性质为切向无摩擦和法向“硬”接触.
鉴于层级曲梁单胞在结构复杂性上相较于后续提出的多稳态超结构较为基础, 因此最初分析时采用的C3D8R 8结点线性六面体单元进行网格划分足以支持模型的运行. 然而, 对于本文中设计的更为复杂的多稳态超结构, 该网格单元将不再适用, 划分过程中会报错, 因此为确保模拟的精确性和有效性, 本文结构均采用了四面体单元对网格进行细分, 即C3D10M 10结点修正二次四面体单元. 图2(a)对比了分别使用四面体单元和六面体单元对3层级曲梁结构进行模拟分析的结果, 发现对于并联曲梁结构而言, 两种网格类型下的模拟结果在数值上差异非常小, 因此, 综合以上情况考虑, 采用四面体单元对网格进行自由划分. 同时, 对3层级曲梁单胞的网格收敛性进行了分析, 分别取了4种网格尺寸: $0.5{\text{ mm}} \times 0.5{\text{ mm}}$, ${\text{1}}{\text{.0}}{\text{ mm}} \times 1.0{\text{ mm}}$, $1.5{\text{ mm}} \times 1.5{\text{ mm}}$ 和 $2.0{\text{ mm}} \times 2.0{\text{ mm}}$, 如图2(b)所示, 通过数值模拟得到相应的力-正则化位移曲线几乎重合, 考虑到计算效率和准确度, 选择了网格尺寸为1 mm进行有限元分析. 支撑部分不参与计算, 其网格尺寸可取任意值.
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图 2 三层级曲梁的网格类型和网格收敛性分析Figure 2. Mesh type and convergence analysis of triple-curved beam为了证明本文有限元方法的可靠性, 图3(a) 给出了本文的数值模拟结果与文献[17]的数值模拟结果对比(其中材料参数和结构尺寸均与文献[17]中相同, 即曲梁材料参数设置为尼龙, 弹性模量$E = 1000{\text{ MPa}}$, 泊松比$v = 0.45$), 二者所得到的反力-位移曲线几乎一致(实线为本文数值模拟结果, 虚线为文献[17]中数值模拟结果). 进一步地, 为了使整个结构更轻量化, 在上述模型的基础上对刚性支撑部分进行简化, 并建立了简化刚性支撑后的单曲梁和双曲梁的有限元分析模型, 如图3(b)所示, 并将其与全刚性支撑单曲梁结构的反力-位移曲线进行比较, 得到了与之相似的曲线走势. 由此可见, 在保证曲梁结构受到两端固支边界条件约束的情况下, 结构的顶部和底部有无横向支撑对曲梁整体的变形影响并不明显.
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图 3 并联结构的反力-位移曲线对比及约束简化Figure 3. Comparation of force-displacement for parallel structures and the simplification of constraints1.3 实验模型
1.3.1 实验设备
熔融沉积(fused deposition modeling, FDM)技术是一种增材制造技术, 它通过加热热塑性材料(如TPU或PLA等)至其熔融状态, 然后利用喷嘴逐层挤出熔融的材料, 根据计算机控制的三维模型数据, 逐层堆叠这些材料, 最终构建出三维实体. 本实验选用熔融沉积3D打印技术, 并结合自身的边缘防翘曲工艺, 制备出双曲梁结构的试件. 本实验使用的打印机型号为Raise3D E2S, 采用IDEX独立双喷头挤出系统, 支持双材料打印. 左右喷嘴直径选择0.4 mm. 拉伸压缩实验装置选择万能试验机. 实验设备如图4所示.
1.3.2 3D打印材料
在双稳态构件变形过程中, 要求试件两侧立柱保持一定刚度, 从而为曲梁端部提供必要的约束, 进而保证试件在第二稳态时保持稳定, 材料的选择至关重要. 本实验拟采用单一软材料打印和软硬相结合打印构件, 软质材料为PolyFlex™TPU95(白色), 该材料具有卓越的柔韧性和弹性特性, 使得打印结构在经受大变形时不会发生塑性形变, 可以重复使用. 硬质材料为PolyMax™PLA(红色), 该材料可提供出色的刚度和稳定性. 实验样品沿着z方向逐层打印, 每层打印厚度为0.2 mm, 打印速度为25 mm/s, 填充密度为100%, 加热板和喷嘴的温度分别被设置为60 °C和220 °C.
为精确测定该打印参数下TPU材料的杨氏模量, 按照ASTM D638 IV标准设计了拉伸试样, 并在相同条件下通过3D打印技术制作, 如图5所示. 这些拉伸试样的拉伸速率设定为2 mm/min, 拉伸应力-应变曲线如图5所示, 曲线的初始阶段斜率被用来计算材料的杨氏模量. 通过对3个拉伸试样的测试结果进行平均处理, 得到该TPU材料的杨氏模量为44.43 MPa. 由于在本研究中, 材料的泊松比对分析结果的影响较小, 因此根据经验将TPU材料的泊松比取值为0.45.
在结构设计与分析中, 鉴于PLA材料的杨氏模量显著高于TPU, 且在多稳态超结构中主要作为立柱使用, 认为主要变形区域集中在曲梁部分, 立柱部分由于PLA材料的高刚性几乎不发生变形. 因此, 在结构分析和模拟中, 直接采用PolyMax PLA的基材材料参数来描述PLA立柱的力学行为. 这样的处理基于工程实际和材料性能的合理假设, 旨在提高结构设计和分析的准确性和效率. 两种材料的力学性能如表1所示.
表 1 PolyMax™PLA和PolyFlex™TPU95材料的力学性能Table 1. Mechanical properties of PolyMax™PLA and PolyFlex™TPU95 materialsMechanical properties PLA TPU95 elastic modulus E/MPa 1900 44.43 density ρ/(kg·m−3) 1240 1200 Poisson's ratio $\nu $ 0.33 0.45 一方面, 当仅采用单一硬材料(如PLA)进行打印时, 虽然立柱部分初始刚度较高, 但PLA材料在经历大变形后容易进入塑性阶段, 特别是在曲梁与立柱的连接处会不可避免地出现应力集中现象, 这种塑性变形会显著影响结构的可重复使用效率.
另一方面, 本文用单一软材料(TPU)进行打印并进行了实验. 首先使用AutoCAD对双曲梁单胞进行建模, 导入到ideaMaker中进行切片处理, 打印参数见表2. 图6(a) 为单一软材料打印的双曲梁单胞在受到外力时的稳态变化, 可以发现, 虽然这种材料允许双曲梁结构在卸载后自动恢复至初始状态, 但由于其转动刚度过小, 无法为曲梁提供足够的水平约束, 导致试件在加载至第二稳态后无法维持其稳定性, 从而未能展现出双稳态特性, 这种可自动恢复弹性性能的现象可能会对周围所保护物体产生二次伤害.
表 2 单材料和双材料打印参数设置Table 2. Printing parameter setting of soft and soft-hard materialsParameter setting Soft material Soft-hard material bottom layer thickness/mm 0.2 0.2 extrusion line width/mm 0.4 0.4 base plate attachment skirt 2 circles skirt 2 circles bottom flow rate/% 200 200 heating plate temperature/°C 60 60 left nozzle temperature/°C — 220 right nozzle temperature/°C 260 260 default print rate/(m·s−1) 30 30 ![]()
图 6 软材料和双材料打印的双曲梁单胞的稳态变换Figure 6. Steady-state transformation of a double-curved beam cell printed with soft materials and soft-hard materials因此, 为了克服上述困难, 本文又采用了软-硬材料组合打印的策略. 具体而言, 使用弹性材料(TPU)打印试件中的曲梁部分, 以确保在循环加载过程中不会出现塑性损伤, 从而保证双稳态结构的稳定性和可恢复性. 同时, 使用硬质材料(PLA)打印试件的立柱部分, 确保在结构变形过程中立柱能够保持足够的刚度, 避免塑性损伤, 并为曲梁提供必要的约束, 以确保试件能够在第二稳态保持稳定的形态. 在打印过程中采用双材料打印, 其中左喷头为硬质材料, 右喷头为软质材料, 打印参数如表2所示. 双材料打印的双曲梁单胞成品及其稳态变化过程如图6(b) 所示, 根据加载时的稳态变化过程发现,在释放外力后结构不会自动恢复至初始构型, 此时结构会把输入系统的能量用自身的弹性形变“锁住”, 即实现一个能量“自锁状态”, 直到系统受到足够的反向扰动才可以恢复原状. 因此双材料打印的双曲梁单胞出现了双稳态效应, 这一点进一步验证了理论分析中诱导双稳态发生的条件: 即两端支座部分需要提供足够的刚度, 以限制其非对称二阶模态的发生, 才有可能制造出双稳态结构. 因此, 通过采用软-硬材料组合打印技术, 成功地解决了单一材料打印双稳态试件时面临的塑性变形和稳定性等问题, 确保了试件在变形过程中能够展现出稳定的双稳态特性.
2. 多层级曲梁
2.1 经验公式推导
为了研究多层级曲梁个数对结构稳态性能和力学特性的影响, 通过数值模拟对p层级曲梁($p = 1,{\text{ }}2, \cdots, 9$)分别进行了相同的设置, 并给出了简化支撑后的几个代表性层级曲梁(单曲梁、双曲梁和八曲梁)的稳态转换, 如图7所示. 可见, 平行曲梁个数的增加对结构稳态性能几乎没有影响, 结构仍然可以在稳态1、不稳定状态和稳态2之间反复切换. 层级曲梁结构在稳态转换时, 各层级曲梁间维持了平行排列, 确保了整体结构在稳态下的形状与单曲梁相似, 并实现了整体结构的同步变形响应.
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图 7 简化刚性支撑后几个代表性层级曲梁的稳态变换Figure 7. The stable-state transformation of the several typical hierarchical curved beams after simplified rigid supports当材料和几何参数确定后, 单曲梁双稳态结构的反力-正则化位移曲线便唯一确定, 本文将图3(b)所示的反力-正则化位移曲线用一个5次多项式拟合, 这种表示方法将复杂的双稳态后屈曲行为简化, 只保留表现双稳态行为的关键设计参数特征, 相较于吴佳穗[17]的3次多项式拟合结果更为准确, 即
$$ {F_1}\left( {{\bar {x}_1} } \right) = \left( {{\bar {x}_1} - \alpha } \right)\left( {{\bar {x}_1} - \beta } \right)\left( {7{{{\bar {x}_1} }^3} - 13.2{{{\bar {x}_1} }^2} + 9.51{\bar {x}_1} - 0.15} \right) $$ (6) 其中, $\alpha $和$\beta $分别表示双稳态系统的不稳定平衡点和稳定平衡点. ${\bar {x}_1} = {{{x_1}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{x_1}} h}} \right. } h}$为单曲梁的正则化位移. 在本文参数设定下, 经数值模拟后得到的经验值为: $\alpha = 1.35$, $\beta \approx 1.85$, 如图8(a) 所示. 可见, 对于多层级曲梁而言, 增加平行曲梁的个数并不会改变双稳态系统平衡点的位置, 改变的仅仅是峰值反力和谷值反力. 这将进一步说明平衡点的位置是结构的固有属性, 一个曲梁的材料属性和几何特性一旦确定, 其平衡点的位置即随之确定, 与多层级曲梁的个数无关. 进而可以大胆假设多层级(p为平行曲梁的个数, $p = 1,{\text{ }}2, \cdots, 9$)曲梁的反力-正则化位移的数学表达式为
$$\begin{split} &{F_p}\left( {{\bar {x}_p} } \right) = p\left( {{\bar {x}_p} - 1.35} \right)\left( {{\bar {x}_p} - 1.85} \right)\cdot \\ &\qquad \left( {7{{{\bar {x}_p} }^3} - 13.2{{{\bar {x}_p} }^2} + 9.51{\bar {x}_p} - 0.15} \right) \end{split}$$ (7) ![]()
图 8 层级曲梁个数对结构反力-正则化位移曲线和应变能-正则化位移曲线的影响(数值模拟和理论分析对比)Figure 8. The influence of the number of curved beams on the force-normalized displacement and strain energy-normalized displacement curves (the comparation of numerical simulations and theoretical analysis)2.2 经验公式准确性验证
接下来, 通过对数值模拟的多层级曲梁反力-正则化位移曲线的提取, 并与理论推导下的经验公式(式(7))得到的反力-正则化位移曲线进行对比, 可以验证所假设经验公式的正确性. 由图8(a) 可以看出, 对于多层级曲梁而言, 模拟和理论得到的反力-正则化位移曲线吻合较好. 当曲梁个数大于6时, 初始峰值反力会存在些许偏差, 这是由于数值模拟过程中部分网格划分存在缺陷或者支座对不同层数曲梁的约束力不同所导致, 但整体偏差均在许可范围内. 此外, 由简化后的多层曲梁单胞的反力-正则化位移曲线可知, 多层级曲梁单胞相对于单曲梁单胞表现出更高的峰值反力和更为明显的双稳态效应, 其能量吸收性能较单曲梁结构有所提升.
进而, 对式(7)进行积分可得到p层级曲梁的势能为
$$\begin{split} &{U_p} = \int {{F_p}\left( {{\bar {x}_p} } \right)} {\mathrm{d}}{\bar {x}_p} = p\left( 2.1{\bar {x}_p} + 70.5{{{\bar {x}_p} }^2} - 127.02{{{\bar {x}_p} }^3} +\right.\\ &\qquad \left.102{{{\bar {x}_p} }^4} - 40.8{{{\bar {x}_p} }^5} + 6.51{{{\bar {x}_p} }^6} - 1.5 \right)\end{split} $$ (8) 将多项式拟合得到的势能与数值模拟的应变能(由于结构在准静态压缩变形过程中将外部输入的能量几乎全部转化为结构自身应变能, 因此结构的应变能等于势能)进行比较, 如图8(b) 所示, 数值模拟和理论得到的应变能-正则化位移曲线吻合度很好, 将进一步验证关于层级曲梁势能经验公式的正确性. 可见, 只需要通过数值模拟获取单层曲梁的平衡点位置和高阶项前面的系数, 就可以利用经验公式准确推导出多层级曲梁正则化的反力-位移曲线和能量-位移曲线, 这对于分析多层级曲梁的稳态性能非常有用.
进一步地, 为了对比经验公式(6)与方程(2)理论结果的偏差, 首先需要消除材料属性对结果的影响, 将经验公式(6)中的反力进行正则化, 即利用
$$ \bar {{F_1}} \left( {\bar {{x_1}} } \right) = \frac{{{F_1}\left( {\bar {{x_1}} } \right){l^3}}}{{EIh}} $$ (9) 得到正则化反力$ \bar {{F_1}} \left( {\bar {{x_1}} } \right) $与反力$ {F_1}\left( {\bar {{x_1}} } \right) $之间的转换常数, 消除数值模拟中所用的材料参数$(E = 1000{\text{ MPa}},$ $I = {{b{t^3}} / {12}},$ $h = 6{\text{ mm}},{\text{ }}t = 1.2{\text{ mm}},{\text{ }}Q = {h}/{t} = 4, l = 100 {\text{mm}}和 b = 4{\text{ mm}})$对结果的影响, 即
$$ {F_1}\left( {{\bar {x}_1} } \right) = \frac{{{\bar {F}_1} \left( {{\bar {x}_1} } \right)EIh}}{{{l^3}}} = 289{\bar {F}_1} \left( {{\bar {x}_1} } \right) $$ (10) 其中, 289为该材料参数下的无量纲反力转换常数.
因此, 由方程式(6)经验公式所得到的单曲梁无量纲的反力-位移表达式为
$$ \begin{split} &{F_1}\left( {{\bar {x}_1} } \right) = 289\left( {{\bar {x}_1} - 1.35} \right)\left( {{\bar {x}_1} - 1.85} \right)\cdot \\ &\qquad \left( {7{{{\bar {x}_1} }^3} - 13.2{{{\bar {x}_1} }^2} + 9.51{\bar {x}_1} - 0.15} \right) \end{split}$$ (11) 同样, 将$Q = 4$代入方程(2), 可得
$$ \begin{split} &{F_1} = \frac{{3{\text{π} ^4}{Q^2}}}{2}\varDelta \left[ {{{\left( {\varDelta - \frac{3}{2}} \right)}^2} - \left( {\frac{1}{4} - \frac{4}{{3{Q^2}}}} \right)} \right] =\\ &\qquad 2337.82\varDelta \left[ {{{\left( {\varDelta - \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{6}} \right] \end{split}$$ (12) 如图9所示, 将本文有限元模拟结果、方程式(6)的经验公式结果以及方程式(2)的理论结果进行了对比后发现, 通过这3种方法得到的单曲梁结构正则化的反力-位移曲线基本吻合, 但是方程式(2)理论公式结果与其他两种方法得到的结果之间存在较大偏差, 主要表现在不稳定平衡点的位置$\alpha $, 方程式(2)所得到的不稳定平衡点的位置较其他两种方法得到的不稳定平衡点的位置提前了0.25, 造成这种现象的原因可能是方程式(2)基于简化模型和一些基本假设, 忽略了高阶模态、结构的几何非线性效应、材料非线性行为或边界条件等因素的影响.
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图 9 3种方法得到的单曲梁结构的正则化反力-位移曲线Figure 9. The normalized force-displacement curves of a single-curved beam by three methods3. 多稳态超材料
3.1 构型设计
基于上述关于层级曲梁单胞的讨论, 以双曲梁为基本单元构建如图10所示的DCB-n-1-DOT多稳态超材料. 该超材料是将n个双曲梁单胞绕其中心位置旋转复制所得, 其中$n = 2,{\text{ }}3,{\text{ }}4,{\text{ }}5,$ 代表双曲梁单胞的个数; 数字“1”代表1层; “DOT”是本文提出的点状多稳态超材料的简写标志. 图10分别展示了该类超结构的两个稳定状态和一个发生突弹跳变的中间不稳定状态, 且能够在不同稳态之间快速且可逆地切换, 这表明多稳态超材料具有高度的可调性和多功能性, 这种可调性使其能够根据不同的应用场景和需要来定制其机械性能. 接下来, 建立了DCB-4-2-DOT (其中n = 4为4个双曲梁结构, 数字“2”代表2层)多稳态超材料的有限元模型, 并给出了结构由于突弹跳变行为而发生的两种稳态(初始稳态1和最终稳态2), 而处于中间阶段的不稳定状态恰好为突弹跳变行为发生的临界点. 稳态转换过程中通常伴随着能量的存储和释放, 进一步揭示了能量在不同稳态之间的转移方式, 并反映出多稳态超材料对外部刺激的动态响应和稳定性.
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图 10 DCB-n-1-DOT和DCB-4-2-DOT多稳态超材料Figure 10. DCB-n-1-DOT and DCB-4-2-DOT multistable metamaterials最后, 讨论了一种更为复杂的DCB-2-4-DOT-*2 (其中n = 2为两个双曲梁结构, 数字“4”代表4层, “*2”代表形成2列的阵列结构)多稳态超材料, 图11(a) 给出了结构在变形过程中的几个关键节点的等轴视图. 该多稳态超材料的稳态数为5个, 其中包括1个初始稳态和4个中间稳态, 分别对应着不同层双曲梁结构的屈曲阶跃变形. 清晰展示了多稳态超材料在变形过程中的相互作用和耦合效应, 同时可以观察到材料内部的细节变化. 接着, 又进一步分析了DCB-3-4-DOT-*2(其中n = 3为3个双曲梁结构, 数字“4”代表4层, “*2”代表形成2列的阵列结构)多稳态超材料的稳态变换, 图11(b) 清楚地展示了该多稳态超材料的整体形态和每层曲梁的突弹跳变过程. 这进一步揭示了多稳态超材料具有保持多个稳定状态的能力, 这种特性来源于超材料内部的结构和力学耦合效应, 包括层间相互作用、应变分布和能量储存机制等. 这种能量储存和释放机制可以应用于能量吸收、能量存储和能量转换等领域.
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图 11 DCB-2-4-DOT和DCB-3-4-DOT多稳态超材料的稳态转换Figure 11. Steady-state transformation of DCB-2-4-DOT and DCB-3-4-DOT multistable metamaterials3.2 参数化分析
DCB-n-1-DOT结构($n = 2,3,4,5$)的反力-位移曲线和内能-位移曲线如图12所示. 对于DCB-2-1-DOT和DCB-3-1-DOT结构, 它们的反力-位移曲线表现出不止一个“N型”的构型, 并且在变形过程中出现多次负力, 这意味着这些结构具有多稳态效应. 此外, 反力-位移曲线的斜率不断地在正、负值之间切换, 这说明该多稳态超材料表现出持续的变刚度特性. 造成这种现象的原因是: 当双曲梁的数量增加时, 每个曲梁都会产生突弹跳变行为, 每个行为之间或多或少相互干扰, 使得力位移曲线产生波动, 不再光滑. 其次, 双曲梁数量越多, 结构可以近似等效为一个双曲壳单元. 这种近似穹顶壳单元的结构将呈现“非严格”双稳态效应, 即反力-位移曲线呈现出上下波动的状态, 整体上却表现为双稳态, 如图12(a)中的DCB-5-1-DOT结构表现尤为明显. 对于DCB-4-1-DOT和DCB-5-1-DOT结构, 需要较大的位移变形(7 mm处)才会有负力值的出现, 而对于DCB-2-1-DOT和DCB-3-1-DOT结构而言, 很小的位移(4 mm)下, 力的方向便开始转变. 这是由于随着双曲梁个数的增加, 结构发生双稳态现象的成本增加, 即需要较长的位移行程和较高的外载荷才足以克服结构自身的抗力, 以使其发生“突弹跳变”行为. 图12(b)为结构内能随着加载位移的变化曲线, 可知内能随双曲梁个数的增加几乎呈线性增加, 每增加一个双曲梁单胞, 结构的内能平均增加10 mJ. 此外, 当有效压溃距离达到7 mm时, 内能达到局部最大值. 当位移大于7 mm、小于11 mm时, 由于多稳态效应, 内能开始下降, 直到降至局部内能极小值点, 对应结构的第2个稳定状态. 当“突弹跳变”的过程结束时, 结构开始压实, 由于力的无限增大, 内能也急剧增加.
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图 12 DCB-n-1-DOT多稳态超材料的反力-位移曲线和内能-位移曲线 ($n = 2,{\text{ }}3,{\text{ }}4,{\text{ }}5$)Figure 12. Force-displacement curves and internal energy-displacement curves of DCB-n-1-DOT multistable metamaterial ($n = 2,{\text{ }}3,{\text{ }}4,{\text{ }}5$)图13为$Q = 3,{\text{ }}6,{\text{ }}12,{\text{ }}18$($Q = {h \mathord{\left/ {\vphantom {h t}} \right. } t}$, 曲梁壁厚t值不变, 只改变曲梁初始跨高h)条件下DCB-3-1-DOT结构的内能-位移曲线及其稳态转换情况. 可以看出, 随着几何参数Q的增大, 结构的有效压溃距离和内能均增大. 这是由于随着跨高的增大, 允许曲梁发生屈曲阶跃的距离变长. 当Q增大至18时, 内能-位移曲线出现了振荡, 这是由于随着曲梁初始跨高的增加, 结构整体的长细比增大, 表现得更柔软更不稳定, 结构在加载过程中难免出现振动现象. 而且从图13(d) ~ 图13(e)中可以看出, 曲梁明显经历了中间两段方向相反的不稳定状态, 这与图13(b) ~ 图13(c)中只经历一段不稳定状态有所区别. 这种独特的双向不稳定状态暗示了结构尺寸对其性能的重要影响. 通过合理设计多层级曲梁拓扑, 可以进一步拓展多稳态超材料的功能边界, 满足更加复杂的工程应用需求.
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图 13 不同Q取值下的DCB-3-1-DOT多稳态超材料的内能-位移曲线和稳态转换Figure 13. Internal energy-displacement curves and steady-state transformation of DCB-3-1-DOT multistable metamaterial with different Q values3.3 可重用性研究
3.3.1 循环加卸载实验测定疲劳寿命
将双曲梁结构作为疲劳实验研究对象, 对双曲梁结构I (单一硬材料PLA制成)和结构II (软硬双材料TPU-PLA制成)进行了循环加载实验, 如图14所示. 实验设备为JISC品牌MAX全自动载荷试验机, 型号为MAX-1KN-B-2, 每个结构选用3个试样开展循环加卸载疲劳实验. 实验过程中加载方式为位移加载, 加载量程为d = 12 mm, 循环加载频率为f = 10 Hz, 试验速度为800 mm/min, 实验环境为室温、大气条件, 当试件发生破裂或循环次数到达3000时, 停止实验. 实验结果如下.
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图 14 结构I (PLA单一硬材料)和结构II (TPU-PLA软硬双材料)循环加卸载实验过程Figure 14. Experimental process of cyclic loading and unloading of structure I (PLA single hard material) and structure II (TPU-PLA soft and hard dual materials)(1) PLA单一硬材料制成的结构I在循环加卸载下表现较差, 主要表现为: (1)如表3所示, PLA试件1在第100次循环、试件2在第23次循环、试件3在第78次循环后峰值力发生了明显降低, 表明结构在加载过程中承载力逐渐降低; (2)图15(a)为结构I的峰值力随循环加卸载次数的变化曲线, 曲线呈持续下降趋势, 更直观地表明PLA结构在循环加卸载的早期便出现承载力逐渐丧失直至结构最终被完全破坏; (3)如图16(a)所示, PLA双曲梁结构在循环加卸载过程中易在节点处产生裂纹, 导致结构最终在支座节点处断裂失效, 这是由于支座节点处应力集中和重复过载应力导致. 因此, PLA单材料结构在循环大变形下存在明显脆性断裂失效和疲劳寿命短等问题, 其可重用性较差.
表 3 结构I循环加卸载过程中的峰值力变化Table 3. Variation of peak force during cyclic loading and unloading of structure ISpecimens Ncyde fmax/N fmin/N 1 1 2.67 −0.47 100 (crack) 2.34 −0.70 2 1 3.13 −0.50 23 (crack) 2.95 −0.81 3 1 2.95 −0.82 78 (crack) 3.58 −0.65 ![]()
图 15 结构I和结构II的峰值力或谷值力随加卸载循环次数的变化曲线Figure 15. The curves of the peak force or valley force of structure I and structure II with the number of loading and unloading cycles![]()
图 16 结构I (PLA单一硬材料)和结构II (TPU-PLA软硬双材料)循环加卸载后的破坏图及未被破坏图Figure 16. Failure diagrams and undamaged diagrams of cyclic loading and unloading of structure I (PLA single hard material) and structure II (TPU-PLA soft and hard dual materials)(2) 相比之下, 结构II采用TPU-PLA双材料制造, 在循环加载下表现优异, 主要表现为: ①如表4所示, 3000次循环加载过程中, 该结构的峰值力几乎保持恒定(参见图15(b)), 表明结构的承载力在循环加载过程中几乎不变, 疲劳寿命至少超过3000次; ②如图16(b)所示, 双材料结构在循环加卸载后未发生明显变形或破坏, 进一步证明了该结构优良的可重复使用特性. 这是由于TPU材料在加载过程中, 未进入塑性阶段, 仅在弹性范围内变形.
(3) 图17为结构I和II分别在第60次、第1001次加卸载的反力-位移曲线, 二者均表现出了双稳态特性, 即结构能够发生可逆的稳态转换. 加卸载曲线所围成的面积代表结构在一次循环中吸收的能量. 尽管PLA材料在单次循环中的能量耗散数值高于TPU, 但更应关注单位质量的能量吸收性能. 此外, 能量耗散特性直接影响结构的使用寿命, 在反复加卸载循环中, 结构内部材料会发生累积性损耗和疲劳断裂失效. 这种疲劳失效现象在PLA结构上表现更为显著. 因此, 选择了更柔软、轻质的TPU材料作为主要的可重复吸能材料, 有利于延长结构的使用寿命.
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图 17 结构I和II加卸载的反力-位移曲线Figure 17. The force-displacement curves of structures I and II表 4 结构II循环加卸载过程中的峰值力变化Table 4. Variation of peak force during cyclic loading and unloading of structure IICycle fmax/N fmin/N 1 0.20 −0.11 100 0.13 −0.13 200 0.20 −0.13 500 0.20 −0.13 1000 0.20 −0.12 2000 0.20 −0.12 3000 0.22 −0.11 3.3.2 循环加卸载有限元模拟
以DCB-5-1-DOT结构为例, 通过有限元模拟其循环加载的情况, 从而测试结构的可重用性. 区别于单次加载中使用的平滑幅值曲线, 本部分对结构施加cos周期性幅值曲线, 可用傅里叶函数(Fourier series)形式展开为
$$\left.\begin{split} & a = {A_0} + \sum\limits_{n = 1}^{{N_{{\text{cycle}}}}} \left\{ {A_n}\cos \left[n\omega \left( {t - {t_0}} \right)\right] +\right. \\ &\qquad \left.{B_n}\sin \left[n\omega \left( {t - {t_0}} \right)\right] \right\} ,{\text{ }}t \geqslant {t_0} \\ &a = {A_0},{\text{ }}t \leqslant {t_0} \end{split} \right\}$$ (13) 其中, A0为初始幅值, $\omega $为圆频率, ${t_0}$为开始时间. 由周期与频率的关系: $T = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 f}} \right. } f} = {{2\text{π} } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\text{π} } \omega }} \right. } \omega }$, 可得总循环时间为
$$ {T_{{\text{total}}}} = {N_{{\text{cycle}}}}T = \frac{{2\text{π} {N_{{\text{cycle}}}}}}{\omega } $$ (14) 在ABAQUS中设置周期性幅值曲线, 其圆频率设置为$\omega = \text{π} $, 开始时间设为 ${t_0} = 0$, 初始幅值为${A_0} = 0$, 参数${A_1} = 2$, ${B_1} = 0$. 选用动力、隐式分析步, 其时间设为24 s, 则循环次数为${N_{{\text{cycle}}}} = 12$. DCB-5-1-DOT结构的反力随时间长度变化的曲线如图18 所示, 结构在整个循环加载过程中发生了12次双稳态行为, 证明了该结构的可重用性. 在模拟过程中, 我们仅考虑了TPU材料的弹性性能, 是由于根据实验结果可知在整个变形过程中, 结构未达到TPU材料的最大应变, 只在材料的弹性范围内来回振荡, 因此理论上讲在整个循环加载过程中, 没有能量衰减发生, 这与数值模拟的结果一致.
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图 18 DCB-5-1-DOT多稳态超材料在循环加载下的反力-时间曲线Figure 18. The force-time step curve of DCB-5-1-DOT multistable metamaterial under cyclic loading4. 总结与展望
本文针对多层级曲梁屈曲阶跃多稳态超材料的可重用性进行了系统研究, 设计了一类具有多稳态和可重复吸能的轻质多稳态超材料, 从而实现不同构型之间的可逆切换, 并得到以下结论.
(1)采用单一软材TPU打印的结构未出现双稳态效应, 而采用双材料打印的双曲梁单胞出现了双稳态效应, 这进一步验证了理论分析中诱导双稳态发生的条件: 即支座部分需要提供足够的刚度, 以限制非对称二阶模态的发生, 从而制造出双稳态结构.
(2)对于多层级曲梁而言, 增加平行曲梁的个数并不会改变双稳态系统平衡点的位置, 改变的仅仅是峰值反力和谷值反力. 这进一步说明平衡点的位置是结构的固有属性, 一旦确定了单曲梁的材料属性和几何特性, 平衡点的位置即随之确定, 与多层级曲梁的层数无关.
(3)通过大量数值模拟, 给出了预测多层级曲梁正则化的反力-位移和势能-位移曲线的5次、6次多项式经验公式, 相比于以往的3次、4次多项式, 这些公式具有更高的准确性和拟合精度. 且多层级曲梁单胞相对于单曲梁单胞表现出更高的峰值反力和更为明显的双稳态效应, 其能量吸收性能较单曲梁结构有所提升.
(4)随着三维点状多稳态超材料几何参数Q的增大, 其有效压溃距离和能量吸收效率随之增加. 且Q越大, 曲梁经历了中间两段方向相反的不稳定状态, 而Q较小时只经历一段不稳定状态. 这种独特的双向不稳定状态暗示了结构尺寸对其性能的重要影响. 通过合理设计多层级曲梁拓扑, 可以进一步拓展多稳态超材料的功能边界, 满足更加复杂的工程应用需求.
(5)最后, 通过循环加载实验, 测试了该类多稳态超材料的疲劳性能和可重复使用特性. 发现TPU打印的双曲梁结构疲劳寿命超过3000次, 而PLA结构的平均疲劳寿命仅为67次.
综上所述, 本研究所提出的设计策略和研究结果为制造具有多稳态和可重复使用特性的轻质多稳态超材料提供了有益思路. 这对推动多稳态超材料在大型空间可折展结构、可调控超材料、可重构软体机器人、航天器着陆缓冲机构、工程结构减振吸能装置以及桥梁防撞结构等方向的应用和发展具有重要意义.
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图 1 单曲梁和双曲梁单胞示意图及其典型的反力-正则化位移曲线
Figure 1. Schematic diagram of single-curved and double-curved beam cells and their typical force-normalized displacement curves
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图 2 三层级曲梁的网格类型和网格收敛性分析
Figure 2. Mesh type and convergence analysis of triple-curved beam
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图 3 并联结构的反力-位移曲线对比及约束简化
Figure 3. Comparation of force-displacement for parallel structures and the simplification of constraints
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图 6 软材料和双材料打印的双曲梁单胞的稳态变换
Figure 6. Steady-state transformation of a double-curved beam cell printed with soft materials and soft-hard materials
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图 7 简化刚性支撑后几个代表性层级曲梁的稳态变换
Figure 7. The stable-state transformation of the several typical hierarchical curved beams after simplified rigid supports
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图 8 层级曲梁个数对结构反力-正则化位移曲线和应变能-正则化位移曲线的影响(数值模拟和理论分析对比)
Figure 8. The influence of the number of curved beams on the force-normalized displacement and strain energy-normalized displacement curves (the comparation of numerical simulations and theoretical analysis)
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图 9 3种方法得到的单曲梁结构的正则化反力-位移曲线
Figure 9. The normalized force-displacement curves of a single-curved beam by three methods
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图 10 DCB-n-1-DOT和DCB-4-2-DOT多稳态超材料
Figure 10. DCB-n-1-DOT and DCB-4-2-DOT multistable metamaterials
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图 11 DCB-2-4-DOT和DCB-3-4-DOT多稳态超材料的稳态转换
Figure 11. Steady-state transformation of DCB-2-4-DOT and DCB-3-4-DOT multistable metamaterials
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图 12 DCB-n-1-DOT多稳态超材料的反力-位移曲线和内能-位移曲线 ($n = 2,{\text{ }}3,{\text{ }}4,{\text{ }}5$)
Figure 12. Force-displacement curves and internal energy-displacement curves of DCB-n-1-DOT multistable metamaterial ($n = 2,{\text{ }}3,{\text{ }}4,{\text{ }}5$)
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图 13 不同Q取值下的DCB-3-1-DOT多稳态超材料的内能-位移曲线和稳态转换
Figure 13. Internal energy-displacement curves and steady-state transformation of DCB-3-1-DOT multistable metamaterial with different Q values
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图 14 结构I (PLA单一硬材料)和结构II (TPU-PLA软硬双材料)循环加卸载实验过程
Figure 14. Experimental process of cyclic loading and unloading of structure I (PLA single hard material) and structure II (TPU-PLA soft and hard dual materials)
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图 15 结构I和结构II的峰值力或谷值力随加卸载循环次数的变化曲线
Figure 15. The curves of the peak force or valley force of structure I and structure II with the number of loading and unloading cycles
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图 16 结构I (PLA单一硬材料)和结构II (TPU-PLA软硬双材料)循环加卸载后的破坏图及未被破坏图
Figure 16. Failure diagrams and undamaged diagrams of cyclic loading and unloading of structure I (PLA single hard material) and structure II (TPU-PLA soft and hard dual materials)
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图 17 结构I和II加卸载的反力-位移曲线
Figure 17. The force-displacement curves of structures I and II
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图 18 DCB-5-1-DOT多稳态超材料在循环加载下的反力-时间曲线
Figure 18. The force-time step curve of DCB-5-1-DOT multistable metamaterial under cyclic loading
表 1 PolyMax™PLA和PolyFlex™TPU95材料的力学性能
Table 1 Mechanical properties of PolyMax™PLA and PolyFlex™TPU95 materials
Mechanical properties PLA TPU95 elastic modulus E/MPa 1900 44.43 density ρ/(kg·m−3) 1240 1200 Poisson's ratio $\nu $ 0.33 0.45 
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表 2 单材料和双材料打印参数设置
Table 2 Printing parameter setting of soft and soft-hard materials
Parameter setting Soft material Soft-hard material bottom layer thickness/mm 0.2 0.2 extrusion line width/mm 0.4 0.4 base plate attachment skirt 2 circles skirt 2 circles bottom flow rate/% 200 200 heating plate temperature/°C 60 60 left nozzle temperature/°C — 220 right nozzle temperature/°C 260 260 default print rate/(m·s−1) 30 30
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表 3 结构I循环加卸载过程中的峰值力变化
Table 3 Variation of peak force during cyclic loading and unloading of structure I
Specimens Ncyde fmax/N fmin/N 1 1 2.67 −0.47 100 (crack) 2.34 −0.70 2 1 3.13 −0.50 23 (crack) 2.95 −0.81 3 1 2.95 −0.82 78 (crack) 3.58 −0.65
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表 4 结构II循环加卸载过程中的峰值力变化
Table 4 Variation of peak force during cyclic loading and unloading of structure II
Cycle fmax/N fmin/N 1 0.20 −0.11 100 0.13 −0.13 200 0.20 −0.13 500 0.20 −0.13 1000 0.20 −0.12 2000 0.20 −0.12 3000 0.22 −0.11
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1. 罗耿，肖尧之，薛凯峰，陈轶嵩. 基于晶界强化的多晶体点阵超材料设计与耐撞性研究. 汽车工程. 2024(12): 2209-2219 . 
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