MODE SEPARATION AND ENERGY LOCALIZATION OF ELASTIC WAVES IN TOPOLOGICAL METAMATERIALS
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摘要: 在凝聚态物理系统中的拓扑超材料, 由于其反常的物理现象, 在信息处理与能量应用方面展现出巨大的潜力. 近些年来, 受凝聚态物理中拓扑现象的启发, 经典波动系统中的力学拓扑现象受到越来越多的关注. 弹性波作为振动的重要载体, 广泛存在于工程与自然环境中. 作为一种矢量波, 弹性波相对于声波与电磁波等标量波展现出更复杂的多分量传输特性, 在调控与应用方面存在诸多困难. 在本研究中, 将以拓扑超材料为基础, 围绕弹性波分解与力学应用展开. 首先利用设计的声子晶体实现了双重狄拉克锥, 并通过在声子晶体中引入几何扰动, 实现了弹性波面内和面外模式的拓扑相分离; 通过不同拓扑相的组合, 构造了具有不同波传输特性的拓扑边界态, 实现了弹性波面内和面外模式的分离; 进一步地, 基于耳语回廊(whispering gallery)模式引发的能量局域化, 弹性波面内和面外分量的能量实现了分区域聚集, 为振动能量高效俘获提供了思路. 弹性波模式分离及其引发的能量聚集均采用实验进行了验证. 阐明了拓扑超材料在弹性波分量调控与能量应用中蕴含巨大潜力, 对振动信号处理与能量俘获等应用具有积极意义.Abstract: Topological metamaterials, a frontier in condensed matter physics, have shown tremendous potential for diverse applications in information processing and energy utilization, owing to their remarkable physical phenomena. In recent years, inspired by the insights from topological phenomena in condensed matter physics, there has been a growing interest in mechanical topological phenomena in classical wave systems. Elastic waves, pivotal as carriers of vibration, permeate both engineered structures and natural environments. As vector waves, elastic waves exhibit more complex multi-component transmission characteristics compared to scalar waves such as acoustic waves and electromagnetic waves, which pose numerous challenges in wave manipulation and mechanical applications. In this study, we focus on the exploration of elastic wave decomposition and mechanical applications based on topological valley metamaterials. Firstly, the phononic crystals with double Dirac cones are designed to realize separated topological phases of in-plane (IP) and out-of-plane modes (OP) through geometric perturbations. Through the combination of different topological phases, the topological edge states with different wave transmission properties are constructed. Consequently, the in-plane and out-of-plane components of elastic waves are separated within the fabricated phononic crystal plate. Furthermore, drawing inspiration from the topological whispering gallery phenomenon renowned for its high energy density, the potential application of mode separation of elastic waves in energy localization are investigated. Based on the energy localization achieved by the topological whispering gallery mode, the energy of in-plane and out-of-plane waves is concentrated in different regions, thereby providing ideas for efficient vibrational energy harvesting. Experimental verification is conducted to verify the observed mode separation phenomena and the localized energy behavior of elastic waves. This study illustrates the great potential of topological valley metamaterials in wave manipulation and energy utilization. These advancements hold significant promise for various mechanical applications, including vibration signal processing and energy harvesting, thereby underscoring their positive significance in advancing engineering and scientific frontiers.
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Keywords:
- elastic wave /
- topological metamaterial /
- mode separation /
- energy localization /
- valley Hall effect
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引 言
近些年, 由于其负折射、非互易传输和低能量耗散等特性[1-3], 拓扑超材料在经典波动系统中引起了广泛关注[4-5]. 因此, 如何充分挖掘拓扑材料的超常力学性质, 并探索其在工程领域的应用潜力, 对新材料与新器件的开发研究具有积极意义[6-7].
拓扑超材料起源于量子波动系统, 在量子计算、量子通信和半导体等领域展现出巨大的应用潜力[5, 8]. 受到量子波调控的启发, 近年来, 拓扑超材料的研究范围逐渐扩展到对经典波(如电磁波、声波和弹性波等)的调控与应用中[4, 9-11]. 本节将以弹性拓扑材料为研究重点, 探讨弹性谷拓扑超材料在力学性质与能量应用方面的研究进展, 分析现有研究中的一些不足, 并提出本文的研究内容.
弹性谷拓扑超材料通过打破几何结构的空间反演对称性或镜像对称性来实现, 是一种相对容易实现的拓扑材料[12]. 针对弹性谷拓扑材料, 许多学者在力学性质与潜在应用方面进行了广泛的探索. Gao等[13]设计了波导路径可调的声子晶体板, 实现了弹性波面外分量的拓扑谷传输. Huo等[14]从理论与实验出发, 研究了弹性波在单层和双层声子晶体板中传输的鲁棒性, 揭示了弹性波在多层板间选择性传输的力学规律. 结合工程低频应用环境, Zhang等[15-16]设计了局域共振型拓扑超材料, 实现了弹性波低频环境下的稳定传输. 除了通过调整几何参数打破空间反演对称性, Xu等[17]提出了改变散射体材料参数(密度和杨氏模量)的方式来破缺狄拉克简并, 实现了弹性波谷霍尔边界态. 随着谷霍尔效应在弹性波系统中深入研究, 具有高能量密度的拓扑谷锁定传输也引起了学者的关注. 基于局域共振原理, Chen等[18]实现了弹性波在低频范围内的弹性波谷锁定传输, 并与隧穿效应耦合, 实现了弹性波分线器、能量局域结构和逻辑门等潜在应用. 目前, 弹性拓扑超材料中的谷霍尔效应主要是基于狄拉克单点简并实现, 其简并态主要是面外运动模式. 然而, 弹性波作为多分量波, 其矢量特点在波传播方面还具有巨大的应用探索空间. 因此, 在弹性拓扑超材料研究中应当重视弹性波的多分量特性.
弹性超材料在弹性波调控方面的新现象为实现弹性波能量利用提供了新的可能性[19-22]. 弹性波作为机械振动的重要载体, 承载着振动能量的传递和转化. 因此, 对弹性波的高效调控对振动能量利用具有积极意义. 在振动能量俘获过程中, 能量聚集是众多学者关注的重要问题之一. 许多学者[23-27]利用局部共振原理和周期结构缺陷态来调控弹性波, 提高振动能量局域化程度, 已经取得了一定效果. 近年来, 弹性拓扑材料的边界态因其无能量损耗、缺陷免疫等力学特性引发人们在振动能量聚集方面的思考[28-29]. Lan等[30]在一维局域共振超材料中实现拓扑边界态来提高边界处局域的能量, 并利用压电换能器高效俘获了单向振动能量. Ma等[31]设计了一维拓扑周期实现弯曲波的能量聚集, 实验和数值结果均表明, 利用拓扑边界位置的压电材料可以高效、鲁棒地俘获弹性波能量. 基于凯库勒畸变保护的零维拓扑涡旋, Wen等[32]在拓扑超材料中实现了超强的能量聚集, 并采用压电材料完成了振动能量俘获, 其输出功率约为普通板输出功率的30倍. 在弹性波能量聚集的基础上, 结构振动受多源与多方向激励也是困扰振动能量利用的重要问题, 如何操控弹性波实现多向振动能量的利用也应当引起重视. 目前, 在多方向振动的能量利用过程中, 学者们主要通过增加力学系统自由度或引入振动位移模式转换元件实现振动能量的控制与转化. Cao等[33]设计了一种压电软体能量采集器, 基于多方向的共振模式实现了低频振动能量聚集, 并利用压电基体完成了振动能量俘获. Abdelkareem等[34]设计了一种新型三维非线性压电结构来实现能量采集, 实验结果表明该能量俘获器在垂直、水平和旋转3个方向上的俘能特性均非常突出. 上述研究在实现多方向振动能量利用过程中, 往往依赖于复杂的力学结构, 会带来结构设计和制造上的困难. 综上, 如何有效操控弹性波以实现多方向振动的能量聚集, 是振动利用工程中重要的科学问题.
在弹性拓扑谷超材料研究中, 传统研究主要关注弹性波面外模式的拓扑边界态, 而对于弹性波多分量调控中可能存在的反常传输特性探索不够深入. 此外, 在弹性波的能量应用探索中, 通常需要依赖复杂的力学结构来实现多方向振动能量的高效聚集, 这可能增加结构设计难度. 针对上述研究中存在的不足, 探索弹性拓扑超材料中矢量弹性波多分量传输特性, 寻求拓扑超材料在多方向振动能量俘获方面的应用价值, 具有重要的理论与应用价值.
本文首先设计了蜂窝状声子晶体结构, 构造了具有面内和面外运动模式同时简并的双重狄拉克锥. 在该结构的基础上, 优化了几何结构, 并引入了几何参数扰动, 利用面内和面外模式的不同组合构建了3种拓扑边界态(仅允许面外波传输、仅允许面内波传输和混合模式波传输). 基于实现的3种拓扑边界态, 设计了声子晶体板, 实现了弹性波面内和面外分量的有效分离, 该现象采用实验进行了验证. 同时, 受到拓扑耳语回廊共振(whispering gallery)模式[35]的启发, 设计了声子晶体板, 仿真和实验证明了弹性波模式分离可以实现弹性波面内和面外波能量的分区域聚集, 有助于实现多方向振动能量的控制与利用.
1. 结构设计与拓扑特性
1.1 结构设计
在传统弹性波拓扑谷霍尔效应研究中, 许多学者主要利用C3V对称性结构在频散曲线中实现面外模式的狄拉克简并, 如图1(a)所示, 从而实现了弹性波面外分量在声子晶体板中的拓扑传输. 然而, 弹性波作为矢量波, 如何充分利用弹性波多分量传播特性, 对于弹性波的应用探索具有重要价值. 声子晶体中矢量弹性波满足如下方程
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图 1 不同对称形式单胞结构及其频散关系比较Figure 1. Comparison of lattices structures and their dispersion relations under different symmetric forms$$ \left.\begin{split} & {\mu {\nabla ^2}{\boldsymbol{u}} = {\omega ^2}\rho {\boldsymbol{u}}} \\ & {{\boldsymbol{u}}(r + R){\text{ = }}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}k \cdot {\boldsymbol{R}}}}{\boldsymbol{u}}(r)} \end{split} \right\} $$ (1) 式中, u (x, y, z) 为位移矢量, ρ为密度, μ为剪切模量, ω为角频率, k为波矢, R为晶格基矢. 在传统研究中, 通常只需要u中的面外分量满足方程, 而对于弹性波矢量特性引发的拓扑传输特性则尚未得到充分发掘. 本部分中, 通过提高元胞结构的对称性, 实现了面内和面外模式频散曲线的双重狄拉克锥, 进而实现了矢量弹性波的拓扑操控. 具体地, 本文采用C6V结构来实现面内和面外波模式的双重狄拉克锥, 如图1(b)所示, 其中蓝色点为面内运动模式, 红色点为面外运动模式. 面内与面外运动模式的量化主要通过偏振化因子Pz确定, Pz可表达为
$$ {P_z} = \frac{{\displaystyle\int \nolimits_{{V_{\text{c}}}} {{\left| z \right|}^2}{\text{d}}V}}{{\displaystyle\int \nolimits_{{V_{\text{c}}}} \left( {{{\left| x \right|}^2} + {{\left| y \right|}^2} + {{\left| z \right|}^2}} \right){\text{d}}V}} $$ (2) 式中, x, y和z分别是沿x, y和z方向的位移分量. Vc是元胞的体积. 当Pz接近1时, 弹性波的面外模式占主导地位. 相反地, 当Pz趋于0时, 面内模式占主导.
基于图1(b)中的元胞结构形式, 进一步优化设计了声子晶体结构, 见图2. 该声子晶体的几何参数如表1所示, 该结构采用环氧树脂制备, 其材料的弹性模量为2.6 GPa, 密度为1120 kg/m3, 泊松比为0.41. 在该晶体结构中, 频散曲线主要由几何参数变量b1, b2, d1和d2决定. 为了进一步简化变量表达, 本文引入无量纲参数组(c, e1, e2)调节几何参数, 几何参数变量可表达为
$$ {b_1} = \left( {1 + c} \right) {b_0},{\text{ }}{b_2} = \left( {1{{ - }}c} \right) {b_0},\quad {{ - 1 < }}c{{ < 1}} $$ (3) $$ {d_1} = {e_1}\left(\frac{{l - {b_1}}}{2} - \frac{t}{{\sqrt 3 }}\right),\quad {{ - 1}} \leqslant {e_1} \leqslant {\text{1}} $$ (4) $$ {d_2} = {e_2}\left(\frac{{l - {b_2}}}{2} - \frac{t}{{\sqrt 3 }}\right),\quad {{ - 1}} \leqslant {e_2} \leqslant {{1}} $$ (5) 式中, l, b0和t见表1, a为晶格常数. b1和b2表示棱柱的大小, d1和d2表示棱柱在晶格棱边上的位置.
表 1 单胞几何参数Table 1. Geometrical parameter of the unit cellParameter Value Parameter/mm Value l/mm 15 h 3 l0/mm 3 t 1.2 α/(°) 60 a $ \sqrt 3 $l 1.2 频散关系
基于上述结构, 本小节分析了元胞在几何扰动下的频散特性. 首先, 计算了元胞在狄拉克简并和简并态破缺状态下的单胞频散曲线. 在单胞参数为(0.3, 0, 0) 时, 元胞结构中面内和面外模式频散曲线在频率19.0 kHz出现了同时简并, 见图3(a).
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图 3 几何参数扰动下频散关系与拓扑相分布Figure 3. Dispersion relation and topological phases under geometric perturbation为了进一步分析几何参数对狄拉克简并点的影响, 本部分计算了不同参数组合(e1, e2)下面内和面外狄拉克简并点的变化情况, 见图3(b). 在该图中, 红色虚线代表面外模式简并点, 蓝色虚线代表面内模式简并点, 颜色表示为简并点分离的带隙宽度. 为了更好地阐述图3(b)表达的拓扑特性, 分别选取了面外和面内简并线上的点A(0.5, −0.1)和点B(0.1, 0.5), 计算了其频散曲线, 如图3(c)和图3(d)所示. 通过A点的频散曲线可知, 只有面外模式的频散曲线存在单点简并, 而面内模式简并点分离形成带隙, 见图中阴影所示; 相似地, 从B点的频散曲线可知, 只有面内模式频散曲线存在单点简并, 而面外模式简并点分离出红色阴影部分的带隙. 综上可知, 图3(b)中面内和面外模式简并线, 将参数空间(e1, e2)分为了4个具有不同拓扑相的象限(I, II, III和IV).
为了说明不同象限中单胞的拓扑特征, 以第I和II象限中的单胞cell 1和cell 2为例, 计算了其频散曲线, 如图3(e)和图3(f)所示. 对于单胞1 (0.3, 0.4, 0.3)和单胞2 (0.3, 0.2, −0.5)的频散曲线, 面内和面外模式狄拉克简并态同时破缺, 形成完全带隙, 如图中阴影区域所示. 需要注意的是, 这两种单胞在波矢K处的面外模式具有不同的拓扑属性, 这是因为单胞1和单胞2在参数空间(e1, e2)中存在面外模式狄拉克简并的边界. 这意味着从单胞1向单胞2转变需要经历面外模式的拓扑相翻转, 如图3(e)中(红色p−和q+)变为图3(f)中(红色q+和p−). 类似地, 在图3(b)中, 属于4个象限的单胞1 ~ 4之间的转变都需要经历不同模式的拓扑相转变(单胞3和4的参数分别为(0.3, −0.4, −0.3)和(0.3, −0.2, 0.5)), 这也表明4个象限中单胞具有不同的拓扑属性.
1.3 面内和面外拓扑相
基于元胞结构的几何扰动, 在参数空间(e1, e2)中构建了具有4种不同拓扑属性的元胞结构, 即, 面内和面外狄拉克边界分割的4个象限, 如图3(b)所示. 为了进一步说明其拓扑特征, 此处以分别属于不同象限的单胞1 ~ 4为例, 分析不同象限中元胞的拓扑运动模式. 单胞1 ~ 4在波矢K处的带隙上下边界的面内和面外运动模态如图4所示. 面外和面内的运动模式分别采用无量纲面外位移和无量纲动能来描述, 图中的红色箭头表示面外模式的运动方向, 蓝色箭头表示面内模式运动方向. 在同一象限中, 上图展示了带隙上边界的运动模式, 下图展示了带隙下边界的运动模式. 同时, 基于简并点的频率变化[36], 计算了不同元胞在波矢K点的谷陈数$ C_i^K{\text{(}}i{\text{ = IP or OP)}} $, 并标记在了图4中.
通过观察单胞1和2的运动, 可以发现它们的面外运动方向相反, 而面内运动模式相同. 这是因为从单胞1到单胞2在参数空间经过了一次面外模式的狄拉克简并, 导致了面外运动模式的翻转. 另外, 从单胞1和3的结果可以看出, 单胞1和3上下边界具有截然相反的运动方向, 这是由于单胞1到单胞3在参数空间(e1, e2)先后经历了面内和面外狄拉克边界, 这也意味着面内和面外运动模式各经历了一次翻转. 相似地, 单胞1和单胞4之间存在面内模式狄拉克边界, 这表明单胞1和4之间必须经历面内运动模式的翻转才能实现相互转化. 声子晶体结构在不同象限中面内和面外运动模式的差异, 为弹性波不同模式拓扑边界态的构造提供了条件. 上述不同元胞运动模式的差异通过谷陈数的变化也有所体现.
2. 弹性波模式分离
2.1 弹性波不同模式拓扑边界态
基于不同拓扑属性的声子晶体结构, 通过它们不同的组合可以实现弹性波不同模式的拓扑边界态. 在表2中, 通过3种超胞结构阐述了声子晶体结构构建的不同拓扑边界态. 表2列出了不同超胞中面内和面外运动模式对应的谷陈数的变化, 当谷陈数为1时表征其存在特定模式的边界态. 表中“面内波”或“面外波”表示拓扑边界中仅允许面内或面外模式弹性波传输, 而“面内 + 面外波”表示面内和面外模式的弹性波均可以在拓扑边界中传输.
表 2 不同拓扑边界态Table 2. Different topological edge statesCase Cells Chern number Wave features 1 cells 1 + 3 |ΔCIP| = 1, |ΔCOP| = 1 IP + OP waves 2 cells 2 + 3 |ΔCIP| = 1, |ΔCOP| = 0 IP waves 3 cells 3 + 4 |ΔCIP| = 0, |ΔCOP| = 1 OP waves 为了说明不同边界态下波的传输特性, 首先利用5个单胞1和3构建了1 × 10的超胞1, 并计算了超胞1的频散关系, 如图5(a)所示. 通过超胞的频散结果可知, 在单胞1和3的理论带隙中(图中阴影区域)分别存在一条面内模式(蓝线)和面外模式(红线)的拓扑边界态. 这表明面内和面外模式弹性波可以在单胞1和3组成的拓扑边界中传输.
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图 5 不同超胞下能带结构与拓扑边界态Figure 5. Band structure and topological edge states under different supercells为了从矢量弹性波中分离出特定位移模式的波分量, 采用单胞2和3构建了1 × 10的超胞2, 并计算了该超胞的频散关系, 如图5(b)所示. 从超胞2的频散曲线可以看出, 理论带隙中仅存在一条面内模式(蓝线)的谷霍尔边界态. 这意味着在该频率范围内, 只有面内模式的弹性波可以在拓扑边界位置传输. 这种拓扑边界的形成是由于单胞2与单胞3具有相反的面内运动方向, 从而在超胞的拓扑边界处形成面内波能量流动的传输现象.
在上述基础上, 进一步探索了弹性波面外模式的拓扑边界态. 分别采用5个单胞3和4构建了1 × 10的超胞3, 并计算了其频散关系, 如图5(c)所示. 在超胞3的频散曲线中, 理论带隙中存在一条明显的面外模式拓扑边界态(红线). 在该拓扑边界态下, 超胞的边界位置仅允许面外模式弹性波通过. 由图4可知, 这个边界态的形成是由于单胞3和4的面外模式频带在经历了面外狄拉克简并之后, 导致面外模式能量运动方向翻转, 进而在边界位置形成了特定方向的能量流动.
2.2 弹性波拓扑边界态传输特性
在弹性波不同模式边界态的基础上, 本节建立了声子晶体板, 分析了不同拓扑边界态下弹性波传输特性. 图6是由超胞1, 2和3构建的声子晶体板. 为了抑制波的反射, 声子晶体板的边界采用了弱反射边界. 正弦激励施加在声子晶体板拓扑边界左侧(见图6中的星号位置). 面内模式和面外模式分别采用位移的面内分量$ \sqrt {{x^2} + {y^2}} $和面外分量 |z| 表示. 在激励频率为19.0 kHz时, 声子晶体板的面内和面外位移场分布如图6所示. 由位移场结果可知, 在声子晶体板1中, 弹性波面内和面外分量都可以在拓扑边界中稳定传输. 对于声子晶体板2, 弹性波的面内分量可以稳定地在拓扑边界中传输, 但是弹性波的面外分量无法在声子晶体板中传输. 这是因为单胞2和3构建的边界仅存在面内模式的拓扑边界态, 如图5(b)所示. 相反地, 在声子晶体板3中, 由单胞3和4构成的拓扑边界只允许面外模式的弹性波传输, 这是因为该边界仅存在弹性波面内模式的拓扑边界态.
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图 6 不同拓扑边界态下声子晶体板与位移场分布Figure 6. Phononic crystal plate and displacement fields under different topological edge states为了量化不同拓扑边界态下弹性波的传递特性, 计算了弹性波面内和面外模式下的传递率. 弹性波面外和面内模式下的传递率可以分别表达为
$$ {T_{{\text{OP}}}} = \frac{{\displaystyle\iint_{{{\text{S}}_1}} {|z|}{\mathrm{d}}s}}{{\displaystyle\iint_{{{\text{S}}_0}} {|z|}{\mathrm{d}}s}} ,\quad {T_{{\text{IP}}}} = \frac{{\displaystyle\iint_{{{\text{S}}_1}} {\sqrt {{x^2} + {y^2}} }{\mathrm{d}}s}}{{\displaystyle\iint_{{{\text{S}}_0}} {\sqrt {{x^2} + {y^2}} }{\mathrm{d}}s}} $$ (6) 式中, x, y和z分别表示积分域内的位移分量, S0和S1分别表示声子晶体板的输入和输出区域, 即图6中的蓝色和红色区域. 图7展示了3种不同拓扑边界态下弹性波面内和面外模式的传递率. 由结果知, 在声子晶体板1的理论带隙内(图中阴影区域), 弹性波面内和面外模式的传递率TIP和TOP均稳定接近于1, 这验证了弹性波可以稳定地在由单胞1与3构成的拓扑边界中传输. 在声子晶体板2中, 弹性波面内模式的传递率远远高于面外模式的传递率, 这意味着由单胞2和3构成的拓扑边界仅允许弹性波面内分量稳定传输. 相反地, 在声子晶体板3中, 弹性波面外模式的传递率明显高于面内模式的传递率, 这说明面外波能量在单胞3和4构建的拓扑边界中占主导. 通过传递率分析验证了不同拓扑边界态下弹性波的传输规律.
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图 7 不同拓扑边界态下声子晶体板传递率Figure 7. Transmittance of phononic crystal plate under different topological edge states2.3 弹性波面内和面外模式分离
本节将利用弹性波不同模式拓扑边界态来实现弹性波面内和面外模式的分离. 首先, 采用单胞1 ~ 3设计了声子晶体板, 如图8(a)所示. 图中, I0是声子晶体板正弦激励的输入点, 激励方向为x和z向, 激励幅值为0.01 mm. 声子晶体板边缘为弱反射边界, O1和O2分别是面外波和面内波输出端口. 基于上述模型, 设计了物理实验来验证弹性波面内和面外分量的传输特性, 见图8(b). 实验中, 声子晶体板采用3D打印制造, 打印精度为0.01 mm, 其中输入端口I0采用尺寸为Φ10 × 1 mm的圆形PZT-5H压电陶瓷激励, 弱反射边界采用蓝丁胶包裹样品边缘模拟. 声子晶体板的三维位移场采用PSV-500-3D进行了测量.
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图 8 面内和面外波分离的结构设计与实验设置Figure 8. Schematic of phononic crystal plate for IP and OP modes separation and experimental setup在图8(a)的声子晶体板中, 单胞1和3构成了允许面内和面外波同时传输的拓扑边界, 而单胞1和2构成了仅允许面外波通过的拓扑边界, 单胞2和3构成了仅允许面内波通过的拓扑边界. 基于设计的声子晶体板, 采用仿真模型与实验获得了激励频率为19.5 kHz下声子晶体板面内和面外位移场分布, 如图9所示. 由图9(a)面外位移场证明了弹性波面外分量首先穿过路径0, 然后沿路径1传输, 而无法沿路径2传输. 对比可知, 在图9(b)面内位移场中, 弹性波面内分量首先通过路径0, 然后沿路径2传输. 实验结果相对仿真结果存在一定差异, 这是由于树脂材料阻尼的影响, 导致弹性波在传输过程中存在能量衰减, 而仿真结果未考虑材料阻尼的影响. 虽然实验与仿真存在一定差异, 但实验结果仍表现出明显的弹性波边界态特征.
为了进一步阐述声子晶体板中弹性波模式分离特性, 利用仿真模型计算了输出端O1和O2的传递率, 见图10. 其中输入端I0积分面积为V0, 输出端口O1和O2的积分面积分别为V1和V2, 如图8(a)所示. 对比输出端口O1面内和面外模式的弹性波传递率, 如图10(a), 在理论带隙内(阴影区域), 弹性波面外模式传递率远远大于面内模式, 也就是, 在路径1中面外模式弹性波占主导. 对输出端O2的传递率分析, 见图10(b), 在理论带隙内, 面外波被限制, 而面内波以较高的传递率传输. 综上, 在本文设计的声子晶体板中, 混合模式弹性波经过路径0, 被分解为沿路径1传输的面外波和沿路径2传输的面内波, 实现了弹性波面内和面外模式的分离.
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图 10 输出端口O1和O2面内和面外波传递率Figure 10. Transmittance of outputs O1, O2 under IP and OP modes of elastic waves3. 弹性波能量局域化
弹性波能量局域化对实现振动能量高效俘获具有重要价值. 传统研究往往以实现结构单一方向振动能量局域化为研究目标, 这对于多分量弹性波而言会造成部分能量的损失. 因此, 充分利用拓扑超材料低能量损耗的优势, 并考虑弹性波模式分离在振动能量聚集中的性能, 对于实现多方向振动能量高效俘获具有巨大应用潜力.
基于上述研究, 弹性波可以通过不同的拓扑边界态实现弹性波面内和面外模式的分离, 这为实现多分量弹性波能量局域化提供了基础. 受拓扑耳语回廊(whispering gallery)共振模式[35, 37]的启发, 本节探索了弹性波不同分量的能量局域化特征.
基于WG模式, 设计的声子晶体板见图11(a), 其中, 上下侧分别由单胞1和3构成, WG共振区域I和II由单胞2构成. 在左端口I0 (见图中星号) 输入沿x和z向的正弦激励, 激励幅值为0.01 mm. 为了验证拓扑边界态与WG共振模式实现的能量聚集效果, 本部分设计了实验, 如图11(b), 其实验设置与图8(b)相似.
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图 11 弹性波能量局域化的结构设计与实验设置Figure 11. Phononic crystal plate and experimental setup for energy localization利用无量纲幅值AIP和AOP来表征区域I和II中面内和面外波能量局域特性, AOP和AIP表示为
$$ {A_{\text{I}}} = \frac{{\displaystyle\int_{{\text{zone}}} {\sqrt {x_{\text{W}}^2 + y_{\text{W}}^2} } {\text{ d}}V}}{{\displaystyle\int_{z{\text{one}}} {\sqrt {x_{{\text{W/O}}}^2 + y_{{\text{W/O}}}^2} } {\text{ d}}V}} ,\quad {A_{\text{o}}} = \frac{{\displaystyle\int_{z{\text{one}}} {\left| {{z_{\text{W}}}} \right|} {\text{ d}}V}}{{\displaystyle\int_{z{\text{one}}} {\left| {{z_{{\text{W/O}}}}} \right|} {\text{ d}}V}} $$ (7) 式中, xW, yW和zW为声子晶体板中拓扑WG谐振腔内的位移分量, xW/O, yW/O和zW/O为无拓扑WG谐振腔时声子晶体板中的位移分量, V为拓扑WG的积分区域.
利用无量纲能量指标, 基于仿真模型计算了区域I和II内面内和面外波能量幅值, 见图12. 由图可知, 在特定频率下, 如: 频率B, 区域I中面外波能量幅值远远大于面内波能量. 对比区域II内面内和面外波的能量幅值可以发现, 在部分谐振频率附近, 如: 频率C, 面内波能量幅值远大于面外波能量幅值, 见图12(b). 这意味着, 在特定频率范围内, 利用拓扑WG共振模式, 在区域I和II中可以分别实现面外和面内波能量的高度局域化. 通过对区域I和II的几何参数与阻尼参数设计, 可以实现特定频率与带宽的面内与面外波能量聚集.
为了进一步阐述弹性波能量分布特点, 采用实验方法与仿真模型获得了声子晶体板在激励频率A, B和C下的位移场分布, 见图13. 分析不同激励频率下声子晶体板的位移场, 激励频率A不处于声子晶体板WG共振频率范围内, 此时声子晶体板中面内和面外波均可在边界位置稳定传输, 并未在区域I和II中表现出明显的能量局域化特征. 在激励频率B下, 区域I中面外位移较占主导, 而在频率C下, 区域II中面内位移占主导, 这验证了图12中能量幅值所述规律. 即, 在特定频率下, 面内和面外弹性波可以被有效分离并高度局域化于不同拓扑WG共振区域. 另外, 当激励频率不处于区域I和II的谐振频率区间时, 如频率A, 弹性波沿拓扑边界传输, 弹性波能量主要局域化于拓扑边界处.
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图 13 声子晶体板在频率A, B和C的位移场分布Figure 13. Displacement fields of phononic crystal plate under frequencies A, B and C4. 结 论
本文利用偶发双重简并引起的拓扑谷霍尔效应, 实现了弹性波面内和面外模式分离. 受拓扑耳语回廊共振模式的启发, 利用弹性波模式分离实现了弹性波面内和面外波能量的分区域局域化, 这对实现弹性波能量的高效俘获具有重要意义. 本文主要结论概括如下.
(1) 通过提高声子晶体对称性, 在频散曲线中构造了声子晶体面内与面外模式的狄拉克双重简并. 通过引入几何扰动, 在声子晶体参数空间中分离出了4种不同的拓扑谷霍尔相. 相对于传统研究中实现的面外模式狄拉克单点简并, 本文研究扩展了弹性波拓扑边界态的研究范围, 这对于实现弹性波不同分量的边界态具有重要意义.
(2) 基于不同拓扑谷霍尔相的叠加, 本文在声子晶板中实现了弹性波3种模式的拓扑边界态(仅面内波传输、仅面外波传输和混合波传输). 通过不同拓扑边界态的组合, 混合模式的弹性波被分解为面内和面外模式的弹性波, 实现了矢量弹性波的模式分离.
(3) 在弹性波模式分离的基础上, 利用拓扑耳语回廊(WG)共振模式, 弹性波不同分量实现了特定区域内能量的高度局域化. 相较于普通声子晶体板, 弹性波拓扑边界态和拓扑耳语回廊共振模式的结合, 大大提高了弹性波能量局域化效果, 且对于多方向振动能量俘获具有积极意义.
利用拓扑超材料调控多分量弹性波, 揭示其超常的力学性质, 进而探索其在振动能量高效俘获、结构减振隔振以及振动信号处理等方面的应用价值, 是未来超材料应用转化中的重要研究方向.
通过拓扑超材料精确调控多分量弹性波, 有助于深入挖掘其超常的力学特性. 基于此, 进一步研究拓扑超材料在振动能量高效俘获、工程结构减振隔振、以及振动信号处理等领域的应用价值, 对推动超材料技术的应用转化具有重要意义.
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图 1 不同对称形式单胞结构及其频散关系比较
Figure 1. Comparison of lattices structures and their dispersion relations under different symmetric forms
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图 3 几何参数扰动下频散关系与拓扑相分布
Figure 3. Dispersion relation and topological phases under geometric perturbation
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图 5 不同超胞下能带结构与拓扑边界态
Figure 5. Band structure and topological edge states under different supercells
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图 6 不同拓扑边界态下声子晶体板与位移场分布
Figure 6. Phononic crystal plate and displacement fields under different topological edge states
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图 7 不同拓扑边界态下声子晶体板传递率
Figure 7. Transmittance of phononic crystal plate under different topological edge states
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图 8 面内和面外波分离的结构设计与实验设置
Figure 8. Schematic of phononic crystal plate for IP and OP modes separation and experimental setup
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图 10 输出端口O1和O2面内和面外波传递率
Figure 10. Transmittance of outputs O1, O2 under IP and OP modes of elastic waves
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图 11 弹性波能量局域化的结构设计与实验设置
Figure 11. Phononic crystal plate and experimental setup for energy localization
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图 13 声子晶体板在频率A, B和C的位移场分布
Figure 13. Displacement fields of phononic crystal plate under frequencies A, B and C
表 1 单胞几何参数
Table 1 Geometrical parameter of the unit cell
Parameter Value Parameter/mm Value l/mm 15 h 3 l0/mm 3 t 1.2 α/(°) 60 a $ \sqrt 3 $l 
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表 2 不同拓扑边界态
Table 2 Different topological edge states
Case Cells Chern number Wave features 1 cells 1 + 3 |ΔCIP| = 1, |ΔCOP| = 1 IP + OP waves 2 cells 2 + 3 |ΔCIP| = 1, |ΔCOP| = 0 IP waves 3 cells 3 + 4 |ΔCIP| = 0, |ΔCOP| = 1 OP waves
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