DESIGN AND OPTIMIZATION OF VARIABLE CROSS-SECTION LATTICE STRUCTURE BASED ON GREY WOLF OPTIMIZATION ALGORITHM
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摘要: 点阵结构因其比强度高、比刚度高, 减振降噪性好和隔热吸能能力强等特点, 已被广泛应用于航空航天和交通运输等领域主承力零部件设计. 但现有的点阵结构设计大都基于等截面假设开展, 严重制约了材料分布优化的寻优空间, 无法满足质量敏感领域极致轻量化设计的迫切需求. 而目前关于变截面点阵结构设计的研究大都基于实验的“试错式”经验调配模式, 其相应的理论设计方法尚不完善. 文章基于灰狼智能优化算法, 提出了一种高效的变截面点阵结构设计方法. 首先, 基于水平集函数构建变截面点阵的显式几何描述模型, 以实现变截面点阵几何形状的自由描述; 其次, 采用能量均匀化方法预测变截面点阵单胞的宏观等效力学属性, 建立宏观点阵结构与变截面单胞构型间的内在联系; 然后, 以变截面点阵的几何描述参数为设计变量, 材料用量为约束条件, 最小化柔度为目标函数, 构建变截面点阵优化数学模型, 并采用灰狼优化算法实现上述模型的高效求解, 得到性能优化的变截面点阵结构; 最后, 通过二维和三维数值算例和仿真分析共同验证了所提方法的正确性和有效性, 并与相同条件下等截面点阵结构的承载能力进行了比较. 结果表明: 优化后变截面点阵结构的柔度相较于相同条件下的等截面点阵结构可降低30%以上, 具有更优异的承载能力. 研究结果丰富了变截面点阵结构设计理论, 在高端装备极致轻量化设计领域具有重要应用前景.Abstract: The lattice structures, due to their characteristics of higher strength-to-weight and stiffness-to-weight ratios, good vibration damping, and strong thermal insulation and energy absorption abilities, have been widely applied in the design of load-bearing components in various fields, such as aerospace and transportation. However, the designs of existing lattice structures are mostly based on the assumption of uniform cross-sections, severely restricting the optimization space for material distribution and failing to meet the urgent demand for extreme lightweight designs. Present researches on variable cross-section lattice structure design mostly rely on the experimental "trial and error" methods, lacking a corresponding sound theoretical design approach. This paper proposes an efficient method for designing the variable cross-section lattice structures based on the grey wolf optimization algorithm. Firstly, an explicit geometric descriptive model of variable cross-section lattices is constructed based on level-set functions to achieve a flexible description of their geometric shapes. Secondly, an energy-based homogenization method is employed to predict the macroscopic equivalent elastic tensor of variable cross-section lattice unit cells, establishing an inherent connection between macroscopic lattice structures and variable cross-section cell configurations. Subsequently, with minimum compliance of lattice structures as the objective function, the allowable material usage amount as the constraint conditions and the geometric descriptive parameters of variable cross-section lattices as design variables, an optimization mathematical model for variable cross-section lattices is constructed. The grey wolf optimization algorithm is then used to efficiently solve the aforementioned model, obtaining an optimized variable cross-section lattice structure. Finally, the correctness and effectiveness of the proposed method are verified through 2D and 3D numerical examples and simulation analyses, comparing the load-bearing capacity with that of lattice structures under the same conditions. The results indicate that the compliance of the optimized variable cross-section lattice structure can be reduced by over 30% compared to lattice structures with uniform cross-sections under the same conditions, demonstrating a superior load-bearing capacity. This research enriches the theoretical design of variable cross-section lattice structures and holds significant application prospects in the field of extreme lightweight design for high-end equipment.
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引 言
点阵结构具有良好的吸能、降噪和导热性能, 且相对密度低、比刚度和比强度较高[1], 在航空航天、汽车及医疗等方面有着广泛的应用前景[2-3]. 作为最具应用前景的新一代轻质强韧结构, 点阵结构为实现超轻质多功能一体化设计提供了新途径[4].
点阵结构的微观构型对其力学性能有着显著影响, 通过优化其微观结构的尺寸和形状参数来改善点阵结构的力学性能, 是一种相对简单而有效的方法[5]. Smith等[6]对体心立方(BCC)胞元和加强体心立方(BCC-Z)胞元进行准静态压缩实验, 得到了其压缩过程BCC胞元的应力分布. 这些分析结果为胞元的轻量化设计和优化提供了参考. Wicks等[7]以剪切强度为约束条件, 质量最小化为目标函数, 对点阵结构进行了尺寸优化, 证明了点阵结构在轻量化方面相较于蜂窝结构的优势. 王书恒等[8]为了准确预测点阵结构的弹性性能,设计出一种力学性能可调的组合桁架点阵结构, 通过代表体元法推导得到其弹性表达式, 实现点阵结构的弹性各向同性设计.
然而, 上述关于点阵结构的研究大多基于等截面假设展开. 但在实际应用中, 由于荷载和边界条件的非对称性, 等截面假设下点阵结构的材料分布往往会限制结构承载能力的充分发挥, 而变截面点阵结构的提出可满足质量敏感领域极致轻量化设计的迫切需求. Bai等[9]通过改变BCC晶格的节点处半径来解决该处应力集中的问题, 实现了点阵单胞结构的变截面设计, 并进行有限元仿真和试验来验证变截面点阵优异的力学性能. 余乐权等[10]分析了点阵截面尺寸和形状对四面体空间点阵圆柱壳结构一阶频率以及抗失稳性能的影响, 结果表明点阵夹芯圆壳的承载能力明显优于相同质量的实心圆壳. 因此, 在考虑材料应力强度和结构稳定性的情况下, 变截面可以显著提高压缩强度[11-12].
增材制造技术的快速发展, 极大地方便了复杂零件结构的制备, 使得具有变截面特征的点阵结构的制造成为了可能[13]. 目前已有一些基于增材制造的变截面点阵结构的研究. 汪飞雪等[14]考虑变截面梁几何构型, 实现球型增强变截面四棱锥点阵结构的几何拓扑分析, 并进行了基于SLM工艺的四棱锥变截面点阵结构的形变特性和力学性能分析, 结果表明较传统等截面BCC点阵结构有显著提升. Tancogne等[15]开发了一种具有锥形梁的BCC, 结果表明, 逐渐减小光束横截面可以使有效杨氐模量和比能吸收分别提高70%和45%.
另外, 目前针对变截面点阵结构的研究还有解析法以及代表体元法等[16-18]. Fang等[19]提出了一种改进的菱形十二面体(RD)晶格结构, 具有可变横截面的支柱, 用于准静态和动态压缩试验, 结果表明, 所提出的晶格结构具有更好的力学性能. 蔡金虎等[20]提出了一种基于密度与应力映射的梯度点阵结构设计方法, 通过建立密度、应力与胞元支柱截面尺寸的映射函数关系, 实现了复杂结构的点阵化设计.
但这些方法所用点阵的几何模型主要采用CAD软件建模和几何隐式模型表达等方式, 难以实现点阵截面形状的参数化描述, 使得设计过程耗时耗力且难以精确实现点阵结构截面分布与外载荷条件的有效匹配. 而点阵几何模型的显式描述可有效解决上述问题, 实现与后续复杂点阵构型优化的有效衔接. 黄垲轩等[21]基于水平集函数建立点阵单胞几何构型的显式描述模型, 实现了点阵结构的最优梯度分层设计. 郭旭等[22]提出一种利用拓扑描述函数作为设计变量求解连续体结构拓扑优化问题的新方法. 魏南等[23]通过灵敏度分析将优化问题转化为显式标准二次规划问题, 基于独立连续映射方法提出一种以位移约束下体积最小为目标的点阵结构拓扑优化设计方法.
上述方法大都通过拓扑优化来对建立的显式优化模型进行求解, 但由于变截面点阵优化模型的设计变量与目标函数之间没有明确的函数关系, 且所需要考虑的设计变量众多, 因此优化效率较低. 而采用更高效的智能优化算法不仅可以缩短计算时间, 还可为点阵拓扑构型优选和截面形状优化提供保证[24-25]. 向艳等[26]基于变截面点阵的几何显式拓扑描述函数, 采用粒子群优化算法实现了变截面点阵的构型优化, 但该工作仅针对变截面点阵单胞体积模量和剪切模量最大化为目标, 未考虑整体结构在载荷作用下的宏观力学性能, 无法实现变截面点阵承载性能的优化.
近年来, 受自然界现象的启发, 已涌现出大量高效的智能优化算法, 如差分进化(differential evolution, DE)算法、粒子群优化算法(particle swarm optimization, PSO)和遗传算法(genetic algorithm, GA)等. 它们具有原理简单, 实现方便, 容易收敛到问题的全局最优解等优点. 因此在无约束问题(最小化)中有着广泛的应用. 这其中由Mirjalili等[27]于2014年受自然界中的灰狼群体的捕食行为启发, 并基于狼群群体协作机制而提出的灰狼优化算法(grey wolf optimizer, GWO)由于需要调整参数少且不需要更新问题的梯度信息, 已被证明在函数优化方面, 其求解精度和稳定性要明显优于PSO, DE和GA算法, 特别适合用于求解本文所考虑的变截面点阵的优化设计问题.
因此, 本文拟基于灰狼优化算法, 提出一种高效的变截面点阵结构设计方法. 首先, 基于水平集函数构建变截面点阵的显式几何描述模型, 以实现变截面点阵几何形状的自由描述; 随后, 采用能量均匀化方法预测变截面点阵单胞的宏观等效力学属性; 接着, 以变截面点阵的几何描述参数为设计变量, 材料用量为约束条件, 最小化柔度为目标函数, 构建变截面点阵优化数学模型, 并采用灰狼优化算法进行求解, 实现变截面点阵结构性能的优化; 最后, 通过数值算例及仿真结果证明所提方法的正确性和有效性, 并与相同约束下的等截面点阵结构进行对比以验证变截面点阵结构承载性能的优势.
1. 变截面点阵的力学与优化模型
本文所述的“变截面点阵结构”是指由非等截面杆件胞元周期性排列组成的点阵结构. 本节以如图1和图2所示的BCC-Z点阵单胞为例进行说明, 因其与BCC点阵结构相比具有更大的刚度, 更优异的承载性能和更强的稳定性, 同时各单胞之间还兼具良好的连接性. 需要说明的是, 本节所提出的设计理念和方法也可方便地应用于其他类型的点阵单胞模型.
1.1 点阵单胞几何构型的数学描述
1.1.1 二维点阵结构
二维BCC-Z点阵单胞结构由图1所示的构件组成, 其水平集函数可表示如下形式[21, 28]
$$\left.\begin{split} &{\mathrm{if}}\;{{\boldsymbol{x}}}\in {\boldsymbol{\varOmega}} ,\quad {{\boldsymbol{\phi}} }_{{\mathrm{2 D}}}\left({{\boldsymbol{x}}}\right)> 0 \\ &{\mathrm{if}}\;{{\boldsymbol{x}}}\in \partial {\boldsymbol{\varOmega}},\quad {{\boldsymbol{\phi}} }_{{\mathrm{2 D}}}\left({{\boldsymbol{x}}}\right) = 0 \\ &{\mathrm{if}}\;{{\boldsymbol{x}}}\in {{\boldsymbol{D}}}\backslash {\boldsymbol{\varOmega}},\quad {{\boldsymbol{\phi}} }_{{\mathrm{2 D}}}\left({{\boldsymbol{x}}}\right) < 0\\ &{{\boldsymbol{\phi}} }_{{\mathrm{2 D}}}\left({{\boldsymbol{x}}}\right) = \mathrm{max}\left({{\boldsymbol{\phi}} }_{{\mathrm{2 D}},{r}}\left(x,y\right),{{\boldsymbol{\phi}} }_{{\mathrm{2 D}},c1}\left(x,y\right),{{\boldsymbol{\phi}} }_{{\mathrm{2 D}},c2}\left(x,y\right)\right)\end{split}\right\}$$ (1) 式中
$$\begin{split} &{{\boldsymbol{\phi}} }_{{\mathrm{2 D}},{r}}\left(x,y\right) = \mathrm{min}\left({{\boldsymbol{\phi}} }_{{\mathrm{2 D}},r1}\left(x,y\right),{{\boldsymbol{\phi}} }_{{\mathrm{2 D}},r2}\left(x,y\right)\right)\\ &{{\boldsymbol{\phi}} }_{{\mathrm{2 D}},{r}1}\left(x,y\right) = 1-\frac{{\left(-\mathrm{sin}{ \theta }_{{\mathrm{2 D}}}\cdot \left(x-{x}_{0}\right) + \mathrm{cos}{ \theta }_{{\mathrm{2 D}}}\cdot \left(y-{y}_{0}\right)\right)}^{2}}{{\left({t}_{{\mathrm{2 D}}}/2\right)}^{2}}\\ &{{\boldsymbol{\phi}} }_{{\mathrm{2 D}},{r}2}\left(x,y\right) = 1-\frac{{\left(\mathrm{cos}{ \theta }_{{\mathrm{2 D}}}\cdot \left(x-{x}_{0}\right) + \mathrm{sin}{ \theta }_{{\mathrm{2 D}}}\cdot \left(y-{y}_{0}\right)\right)}^{2}}{{\left({L}_{{\mathrm{2 D}}}/2\right)}^{2}}\\ &\mathrm{sin}{ \theta }_{{\mathrm{2 D}}} = \frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{L}_{{\mathrm{2 D}}}}, \mathrm{cos}{ \theta }_{{\mathrm{2 D}}} = \frac{{{x}}_{2}-{x}_{1}}{{L}_{{\mathrm{2 D}}}}\\ &{x}_{0} = \frac{{{x}}_{1} + {x}_{2}}{2},{y}_{0} = \frac{{{y}}_{1} + {y}_{2}}{2},{L}_{{\mathrm{2 D}}} = \sqrt{{\left({{x}}_{2}-{x}_{1}\right)}^{2} + {\left({y}_{2}-{y}_{1}\right)}^{2}}\\ &{{\boldsymbol{\phi}} }_{{\mathrm{2 D}},c1}\left(x,y\right) = 1-\frac{{\left(x-{x}_{1}\right)}^{2} + {\left(y-{y}_{1}\right)}^{2}}{{\left({t}_{{\mathrm{2 D}}}/2\right)}^{2}}\\ &{{\boldsymbol{\phi}} }_{{\mathrm{2 D}},c2}\left(x,y\right) = 1-\frac{{\left(x-{x}_{2}\right)}^{2} + {\left(y-{y}_{2}\right)}^{2}}{{\left({t}_{{\mathrm{2 D}}}/2\right)}^{2}}\end{split}$$ 其中, 下标2D代表二维空间设计域, $ {{\boldsymbol{\varOmega}} } $代表实体区域, $ \partial {{{\boldsymbol{\varOmega}} } } $为结构边界, $ {{\boldsymbol{D}}}\backslash {{{\boldsymbol{\varOmega}} } } $代表孔洞区域. 点阵单胞结构杆件的构成为一个矩形和两个1/4圆的组合, 水平集函数为$ {{\boldsymbol{\phi}} _{{\mathrm{2 D}},r}}\left( {x,y} \right) $, $ {{\boldsymbol{\phi}} _{{\mathrm{2 D}},{{c}}1}}\left( {x,y} \right) $和$ {{\boldsymbol{\phi}} _{{\mathrm{2 D}},{{c2}}}}\left( {x,y} \right) $, $ {{\boldsymbol{\phi}} _{{\mathrm{2 D}}}}\left( {{\boldsymbol{x}}} \right) $取各组成部分$ \phi $的最大值; $ \left( {{x_1},{y_1}} \right) $和$ \left( {{x_2},{y_2}} \right) $是矩形两端的中心, 同时也是两个圆的圆心坐标, 即矩形的宽${t_{{\mathrm{2 D}}}}$等于圆的直径. $ {\theta _{{\mathrm{2 D}}}} $代表矩形倾斜角, 以水平面为基准, 沿逆时针方向测量角度. $ \left( {{x_0},{y_0}} \right) $代表矩形的中点坐标, ${L_{{\mathrm{2 D}}}}$则为矩形的长度.
1.1.2 三维点阵结构
三维BCC-Z点阵单胞结构由图2所示的构件组成, 其水平集函数可表示为如下形式
$$ \left. \begin{split} &{\mathrm{if}}\;{{\boldsymbol{x}}}\in {\boldsymbol{\varOmega}},\quad {{{\boldsymbol{\phi}} } }_{{\mathrm{3 D}}}\left({{\boldsymbol{x}}}\right) > 0 \\ &{\mathrm{if}}\;{{\boldsymbol{x}}}\in \partial {\boldsymbol{\varOmega}},\quad {{{\boldsymbol{\phi}} } }_{{\mathrm{3 D}}}\left({{\boldsymbol{x}}}\right) = 0 \\ &{\mathrm{if}}\;{{\boldsymbol{x}}}\in {{\boldsymbol{D}}}\backslash {\boldsymbol{\varOmega}},\quad {{{\boldsymbol{\phi}} } }_{{\mathrm{3 D}}}\left({{\boldsymbol{x}}}\right) < 0\\ &{{{\boldsymbol{\phi}} } }_{{\mathrm{3 D}}}\left({{\boldsymbol{x}}}\right) = \mathrm{max}\left({{{\boldsymbol{\phi}} } }_{{\mathrm{3 D}},r}\left(x,y,z\right),{{{\boldsymbol{\phi}} } }_{{\mathrm{3 D}},c1}\left(x,y,z\right),{{{\boldsymbol{\phi}} } }_{{\mathrm{3 D}},c2}\left(x,y,z\right)\right)\end{split}\right\}$$ (2) 式中
$$ \begin{split} &{{{\boldsymbol{\phi}} } }_{{\mathrm{3 D}},r}\left(x,y,z\right) = \mathrm{min}\left({{{\boldsymbol{\phi}} } }_{{\mathrm{3 D}},r1}\left(x,y,z\right),{{{\boldsymbol{\phi}} } }_{{\mathrm{3 D}},r2}\left(x,y,z\right)\right)\\ &{{{\boldsymbol{\phi}} } }_{{\mathrm{3 D}},r1}\left(x,y,z\right) = {\left({L}_{{\mathrm{3 D}}}/2\right)}^{2}-{\left(\mathrm{cos}{ \theta }_{{\mathrm{3 D}}}\cdot {L}_{{\mathrm{dis}}}\right)}^{2}\\ &{{{\boldsymbol{\phi}} } }_{{\mathrm{3 D}},r2}\left(x,y,z\right) = {\left({t}_{{\mathrm{3 D}}}/2\right)}^{2}-{\left(\mathrm{sin}{ \theta }_{{\mathrm{3 D}}}\cdot {L}_{\mathrm{dis}}\right)}^{2}\\ &\mathrm{cos}{ \theta }_{{\mathrm{3 D}}} = \sqrt{{\left(\frac{{d}_{{x}_{2}}{d}_{x} + {d}_{{y}_{2}}{d}_{y} + {d}_{{z}_{2}}{d}_{z}}{{L}_{{\mathrm{dis}}}\sqrt{{d}_{{x}_{2}}{}^{2} + {d}_{{y}_{2}}{}^{2} + {d}_{{z}_{2}}{}^{2}}}\right)}^{2}} \\ &\mathrm{sin}{ \theta }_{{\mathrm{3 D}}} = \sqrt{1-{\mathrm{cos}}^{2}{ \theta }_{{\mathrm{3 D}}}},{L}_{{\mathrm{dis}}} = \sqrt{{d}_{x}{}^{2} + {d}_{y}{}^{2} + {d}_{z}{}^{2}}\\ &{d}_{{x}_{2}} = {x}_{2}-{x}_{0},{d}_{{y}_{2}} = {y}_{2}-{y}_{0},{d}_{{z}_{2}} = {z}_{2}-{z}_{0}\\ &{d}_{x} = x-{x}_{0},{d}_{y} = y-{y}_{0},{d}_{{z}} = z-{z}_{0}\\ &{x}_{0} = \frac{{{x}}_{1} + {x}_{2}}{2},{y}_{0} = \frac{{{y}}_{1} + {y}_{2}}{2},{z}_{0} = \frac{{z}_{1} + {z}_{2}}{2}\\ &{L}_{{\mathrm{3 D}}} = \sqrt{{\left({{x}}_{2}-{x}_{1}\right)}^{2} + {\left({y}_{2}-{y}_{1}\right)}^{2} + {\left({z}_{2}-{z}_{1}\right)}^{2}}\\ &{{{\boldsymbol{\phi}} } }_{{\mathrm{3 D}},c1}\left(x,y,z\right) = {\left({t}_{{\mathrm{3 D}}}/2\right)}^{2}-\left[{\left(x-{x}_{1}\right)}^{2} + {\left(y-{y}_{1}\right)}^{2} + {\left(z-{z}_{1}\right)}^{2}\right]\\ &{{{\boldsymbol{\phi}} } }_{{\mathrm{3 D}},c2}\left(x,y,z\right) = {\left({t}_{{\mathrm{3 D}}}/2\right)}^{2}-\left[{\left(x-{x}_{2}\right)}^{2} + {\left(y-{y}_{2}\right)}^{2} + {\left(z-{z}_{2}\right)}^{2}\right]\end{split}$$ 其中, 下标3D代表三维空间设计域, $ {{{\boldsymbol{\varOmega}} } } $代表实体区域, $ \partial {{{\boldsymbol{\varOmega}} } } $为结构边界, $ {{\boldsymbol{D}}}\backslash {{{\boldsymbol{\varOmega}} } } $为孔洞区域. 三维杆件的构成为一个圆柱体和两个球体的组合, 其水平集函数为$ {{\boldsymbol{\phi}} _{{\mathrm{3 D}},r}}\left( {x,y,z} \right) $, $ {{\boldsymbol{\phi}} _{{\mathrm{3 D}},{c} 1}}\left( {x,y,z} \right) $和$ {{\boldsymbol{\phi}} _{{\mathrm{3 D}},{c} 2}}\left( {x,y,z} \right) $, $ {{\boldsymbol{\phi}} _{{\mathrm{3 D}}}}\left( {{\boldsymbol{x}}} \right) $取各组成部分$ {\boldsymbol{\phi}} $的最大值; $ \left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right) $和$ \left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right) $即是圆柱体末端的中心, 又是两个球体的球心, 此时, 圆柱体直径等于两个球体的直径. $ \left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) $代表圆柱体的中心点坐标, ${L_{{\mathrm{3 D}}}}$则是圆柱体的长度.
以二维BCC-Z点阵单胞结构为例, 通过基于水平集函数[28-29]的显式描述模型描述点阵单胞, 实现宏观与微观两个尺度的转化, BCC-Z晶格的水平集函数及其体积分数为0.3的等值面, 如图3所示.
1.2 变截面点阵的等效弹性张量计算
因为宏观结构由微结构周期性重复排列而成, 在设计中通常采用数值均匀化方法[30]计算微观结构的等效性能. 根据均匀化理论, 微结构的等效弹性张量可由下式计算
$$ {\boldsymbol{C}}_{ijkl}^{\text{H}} = \frac{1}{{|Y|}}\:\int_Y {{{{{\boldsymbol{C}}}}_{{{pqrs}}}}} \left( {\varepsilon _{pq}^{0(ij)} - \varepsilon _{pq}^{*(ij)}} \right)\left( {\varepsilon _{rs}^{0(kl)} - \varepsilon _{rs}^{*(kl)}} \right){\text{d}}Y $$ (3) 其中, $ {\boldsymbol{C}}_{ijkl}^{\text{H}} $为材料的弹性张量; $|Y|$为微观设计域的面积或体积; $ \varepsilon _{pq}^{0(ij)} $为初始单元应变场, 由各方向的剪切应力组成. 周期性波动应变场$ \varepsilon _{rs}^{*(kl)} $可以通过求解下列线弹性平衡方程得出
$$ \int_Y {\varepsilon _{pq}^{*(ij)}} {{\boldsymbol{C}}_{pqrs}}\frac{{\partial {v_i}}}{{\partial {y_i}}}{\mathrm{d}}Y = \int_Y {\varepsilon _{pq}^{{{0}}(ij)}} {{\boldsymbol{C}}_{pqrs}}\frac{{\partial {v_i}}}{{\partial {y_i}}}{\mathrm{d}}Y,\quad \forall {v_i} \in \bar {\boldsymbol{U}} (Y) $$ (4) 其中, ${v_i}$为虚位移场, ${\boldsymbol{\bar U}}$为所允许的位移值.
1.3 变截面点阵的数学模型
为实现变截面点阵单胞几何参数优化, 以变截面点阵的几何描述参数为设计变量, 材料用量为约束条件, 整体结构的柔度最小化作为目标函数, 建立的优化数学模型如下
$$\left. \begin{split} & {\text{find : }}{\boldsymbol{t}}{\text{ = }}\left( {{t_1},{t_2},\cdots,{t_q}} \right),t = 1,2,\cdots,y \\ & {\text{minimize : }}{{\boldsymbol{C}}}\left( {\boldsymbol{t}} \right) = {{{\boldsymbol{F}}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{U}}}{\text{ = }}{{{\boldsymbol{U}}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{KU}}} \\ & {\text{subject to : }}{{{\boldsymbol{G}}}^{\text{S}}}\left( {\boldsymbol{t}} \right) = {{\boldsymbol{v}}}\left( {\boldsymbol{t}} \right) - f{v_0} \leqslant 0 \\ &\qquad\qquad\;\;\; {{\boldsymbol{F}} = {\boldsymbol{KU}}} \\ &\qquad\qquad\;\;\; {t_{\min }} \leqslant {t_q} \leqslant {t_{\max }} \end{split} \right\}$$ (5) 式中, ${t_q}$为变截面点阵的杆件截面形状控制方程参数, 即杆件截面半径. $ {{\boldsymbol{C}}} $为整体结构柔度;$ {{\boldsymbol{F}}} $为整体载荷矩阵; $ {{\boldsymbol{U}}} $为在载荷作用$ {{\boldsymbol{F}}} $下产生的总体位移矩阵;$ {{\boldsymbol{K}}} $为点阵结构的总体刚度矩阵; $ {{\boldsymbol{v}}}\left( {\boldsymbol{t}} \right) $为优化后实体体积; ${v_0}$为设计域总体积; $y$为设计变量的数量.
2. 优化算法
由于本文考虑的变截面BCC-Z点阵结构设计变量多, 且变量的维数高, 因此选用针对高维设计问题优化效率高的灰狼优化算法[27, 31-32], 以实现该变截面点阵优化模型的高效求解. 其他智能优化算法也可方便地用于本文所提出的设计框架, 并且在数值算例部分, 将灰狼优化算法与其他常用智能算法进行了比较.
2.1 灰狼优化算法
针对GWO中狼群的社会关系进行数学建模, 分别定义$\alpha $, $\beta $和$\delta $代表前3匹最好的狼(最优解), 它们引领狼群搜索猎物. 其余的狼(候选解)被定义为$\omega $, 它们的位置围绕$\alpha $, $\beta $或$\delta $更新. GWO优化过程步骤如下所示.
步骤1: 依次更新各狼位置, 并计算狼群与猎物之间的距离D
$$ D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {E \cdot {X_p}(t) - X(t)} \end{array}} \right| $$ (6) $$ X(t + 1) = {X_p}(t) - L \cdot D $$ (7) 式中, $ {X_p}(t) $表示$\alpha $, $\beta $和$\delta $狼更新后的最优位置, $ X\left( t \right) $表示当前狼群的位置, 也代表着所有可能的解, $L$和$E$表示$t$时刻位置更新的系数, 计算方式如下
$$ {D_\beta } = \mid {E_2} \cdot {X_\beta } - X\mid, \quad {X_2} = \mid {X_\beta } - {L_2} \cdot {D_\beta }\mid $$ (8) $$ L = 2a \cdot {r_1} - a $$ (9) 式中, $a$的值与迭代次数呈线性关系, 随着迭代次数的增加从2递减到0, $ {r_1} $和$ {r_2} $是$\left[ {0,1} \right]$之间的随机数. 在追踪猎物过程中, 狼群的位置随$\alpha $, $\beta $和$\delta $狼的位置更新, 从而进行猎物最优位置的搜寻.
步骤2: 由$\alpha $, $\beta $和$\delta $主导搜寻猎物位置, 并产生向3头狼移动的趋势, 其位置计算方式如下
$$ {D_\alpha } = \mid {E_1} \cdot {X_\alpha } - X\mid, \quad {X_1} = \mid {X_\alpha } - {L_1} \cdot {D_\alpha }\mid $$ (10) $$ {D_\beta } = \mid {E_2} \cdot {X_\beta } - X\mid, \quad {X_2} = \mid {X_\beta } - {L_2} \cdot {D_\beta }\mid $$ (11) $$ {D_\beta } = \mid {E_2} \cdot {X_\beta } - X\mid, \quad {X_2} = \mid {X_\beta } - {L_2} \cdot {D_\beta }\mid $$ (12) $$ X(t + 1) = \frac{{{X_1} + {X_2} + {X_3}}}{3} $$ (13) 由此得到$\alpha $, $\beta $和$\delta $的最优位置, 其他狼的位置据此进行更新, $ X(t + 1) $表示更新后$\alpha $, $\beta $和$\delta $的位置. GWO狼群搜索过程中的位置更新示意图如图4所示.
步骤3: 通过$\left| L \right|$的值来判断是否寻得猎物位置, 而$L$的值在$\left[ { - a,a} \right]$之间. 若$\left| L \right| \leqslant 1$, 表示算法已经收敛, 此时狼群找到猎物位置, 并发动攻击.
2.2 算法优化流程
利用GWO算法对变截面点阵结构的优化设计流程如图5所示. 由流程图可知, 首先对初始等截面点阵进行有限元分析, 得到其柔度值; 然后, 通过GWO算法对所建立的优化模型进行寻优, 达到最大迭代次数后, 得到优化后的变截面点阵结构.
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图 5 变截面点阵GWO算法优化设计流程图Figure 5. Flow chart of GWO algorithm to optimize the design of variable cross-section lattice3. 数值算例及结果分析
本节将分别以二维半简支梁、三维悬臂梁和三维斜向压缩柱状模型为例, 验证本文所提出的变截面优化设计方法在不同结构维度、载荷方向、边界和设计约束条件下的有效性, 并通过与传统等截面点阵结构和其他常用智能算法所得到的结果进行对比, 说明本文所提出的基于灰狼优化算法的变截面点阵设计方法的优势.
在本节所考虑的数值算例中,实体材料的杨氏模量和泊松比均保持一致: ${E_0}$ = $2.01 \times {10^7}$ Pa,$ \mu = 0.3 $. 当达到设置的最大迭代步数时停止优化.
3.1 二维半简支梁变截面点阵结构
二维变截面点阵结构的设计域、载荷分布以及边界条件如图6所示. 设计域尺寸为L = 40 cm, H = 20 cm, 载荷$F$ = $1.0 \times {10^4}$ N, 作用在设计域上表面最右端, 方向竖直向下. 根据设计域尺寸, 将其离散成800个四节点单元. 设计域下表面左端点为固定约束, 右端面为水平约束. GWO的参数设置大小如下: 种群数量$N = 100$; 最大迭代次数$T = 150$.
上述变截面点阵结构优化过程中目标函数和体积分数的迭代变化曲线如图7所示. 可以看到, 在优化初期, 目标函数快速下降; 当迭代步数达到20次后, 目标函数缓慢降低; 最终在第150步时停止迭代, 优化后的结构整体柔度为855 N·cm. 而在整个优化过程中, 体积分数始终保持0.3不变. 进一步观察各关键迭代步所得到的中间构型可以看到, 在20步之前的迭代初期, 优化区域主要在构型外框部分, 此时柔度降低程度较大; 而在之后的迭代步内, 材料分布主要在内部杆件部分转移, 此时单胞构型已趋于稳定, 整体结构柔度缓慢降低直至收敛.
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图 7 二维半简支梁变截面点阵结构的目标函数及体积分数优化迭代图Figure 7. Iterations of objective function and volume fraction for the 2D half MBB structure当体积分数为0.3时, 利用本文所提出的基于GWO的变截面点阵设计方法得到的二维半简支梁变截面单胞和相同条件下的等截面单胞构型如图8所示. 等截面点阵结构的柔度为1239 N·cm, 而变截面点阵结构柔度相较等截面点阵结构大幅降低了30.99%. 优化后的变截面点阵单胞在杆径尺寸上呈现了明显变化, 在结构的主传递力路径上分布了更多材料, 因此整体结构的承载性能得到了极大提升. 同时, 由于BCC-Z点阵结构存在固有的外部边框, 因此优化后的整体结构依然可保持良好的连接性.
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图 8 二维半简支梁结构的变截面与等截面单胞构型及柔度Figure 8. Optimized uniform and variable unit cell lattices and their compliances of the 2D half MBB structure3.2 三维悬臂梁变截面点阵结构
本例通过如图9所示的三维悬臂梁结构讨论各智能优化算法对所提出的变截面点阵结构优化设计结果的影响. 设计域尺寸为L = 20 cm, H = 10 cm, W = 10 cm, 施加大小为$1.0 \times {10^5}$ N线载荷$F$, 作用在上表面最右侧边线, 方向为$Z$轴反方向, 左侧表面为固定约束. 将设计域离散成2000个六面体单元, 优化达到最大迭代步后停止.
当体积约束为0.3时, 三维悬臂梁等截面点阵结构单胞如图10所示, 该等截面单胞的外框部分与内部杆件部分的体积分数相同. 此时, 该三维悬臂梁点阵结构的总体柔度为18939 N·cm. 以该等截面单胞为初始构型, 分别利用GA, PSO和GWO对该三维悬臂梁结构进行优化. 其中, 各算法的参数设置大小如下: 种群数量$N = 50$; 最大迭代次数为$T = 100$.
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图 10 三维悬臂梁的等截面单胞构型与柔度Figure 10. Configuration and compliance of the uniform lattice for the 3D cantilever beam structure3种算法优化后的变截面点阵单胞构型及其柔度值如图11所示. 可以看到, 3种优化算法得到的点阵单胞构型大体相同, 均呈现竖直外框较厚, 上下外框稍薄, 内部杆件较细的特点. 但外框和内部杆件尺寸的具体参数还是有少许的差异, 这也导致了3种方法得到的柔度值不同, 可以看到, 内部杆件尺寸较大的构型, 其柔度值也较大, 说明了非主要受力部位的材料分布量与其柔度值成正比. 但相较于如图10所示的等截面点阵结构, 优化后的变截面点阵结构的柔度值均大幅度降低. 其中, 基于GWO的优化结果相较于等截面点阵降低了34.55%, 表现最优, 而基于GA和PSO的优化结果相差不大, 均降低了30%左右.
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图 11 不同智能优化算法得到的单胞构型及其柔度Figure 11. Configurations and their compliances for the optimized variable unit cells with different intelligent optimization algorithm3种算法优化的变截面点阵结构在100次迭代后, 柔度值和构型均达到了稳定状态. 图12记录了每种算法进行一次优化迭代的时间. 显然, GWO相较于另外两种算法用时更短, 而优化效果最好. 这表明GWO算法在求解效率和优化效果上均优于PSO和GA算法.
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图 12 不同智能优化算法的迭代步时间及柔度降低百分比Figure 12. Comparisons of computational time per step and compliance decrement percentage for the optimized variable unit cells with different intelligent optimization algorithms3.3 三维斜向压缩变截面点阵结构
采用GWO算法对如图13所示的三维斜向压缩结构进行优化设计, 设计域尺寸为: L = 10 cm, H = 20 cm, W = 10 cm, 在上表面施加大小为$1.0 \times {10^5}$N,平行于XOY平面且与X轴夹角呈45°的均布斜向面载荷, 下表面为固定约束, 规定体积分数为0.3. GWO的参数设置大小如下: 种群数量$N = 50$; 最大迭代次数$T = 100$.
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图 13 三维斜向压缩变截面点阵结构设计域Figure 13. Design domain of the 3D column structure under uniformly distributed oblique load上述变截面点阵结构优化过程中目标函数和体积分数的迭代变化曲线如图14所示. 可以看到, 随着迭代步数的增加, 变截面点阵单胞的体积分数始终保持不变, 而目标函数则逐渐降低. 在经过100次迭代后, 目标函数收敛. 优化后的变截面点阵柔度为2808 N·cm. 通过有限元分析计算可得相同体积分数下的等截面点阵柔度为4381 N·cm. 因此, 利用本文所提出的优化设计方法得到的变截面点阵结构柔度相比等截面点阵结构降低了35.91%. 进一步观察图14所展示的优化迭代中间构型, 可以看到在本例中, BCC-Z点阵单胞的外框和内部杆件尺寸交替变化, 因此与图8所展示的二维半简支梁结构优化过程相比, 本例的优化迭代曲线变化较为平稳.
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图 14 三维斜向压缩变截面点阵结构的目标函数及体积分数优化迭代图Figure 14. Iterations of objective function and volume fraction for the 3D column structure为了研究材料的体积分数对变截面点阵优化结果的影响, 在保证其他条件不变的情形下, 优化后的变截面点阵单胞在不同体积分数条件下的结果如表1所示.
表 1 不同体积分数下变截面点阵单胞构型及其柔度比较Table 1. Comparisons of the optimized variable unit cell lattices and their compliances under different volume fractionsVolume fraction Compliance/(N·cm) Uniform Compliance/(N·cm) Variable Decreasement/% 0.2 7502 
5114 
31.83 0.3 4381 
2808 
35.91 0.4 2840 
1855 
34.69 0.5 1981 
1457 
26.43 从表1可以看到, 在4种不同的体积分数下, 优化的变截面点阵结构的柔度与相同条件下的等截面单胞相比, 均有较大幅度的降低. 这表明在非对称的载荷和边界条件下, 变截面点阵结构可以充分发挥有限材料在给定设计域内的最大潜能, 使结构获得更优异的承载性能. 此外, 随着体积分数的增加, 变截面点阵结构的柔度值也逐渐降低. 这是合乎常理的, 因为一般意义上, 所用材料越多, 结构的承载能力也越大. 但同时还可以看到, 变截面点阵结构柔度的变化程度随着材料体积分数的增加逐渐降低, 这表明当材料用量较少时, 变截面点阵对结构承载性能的提升作用更加明显.
4. 仿真算例
为更进一步验证本文提出的变截面点阵结构设计方法的有效性, 在hypermesh中分别对上节得到的优化后的二维和三维变截面点阵结构进行仿真分析. 在下述各例中, 假设模型为线弹性材料, 材料初始屈服应力为235 MPa, 各向同性剪切模量为6100 MPa.
4.1 二维仿真算例
对图7中两种二维点阵单胞结构进行压缩试验仿真, 模型的尺寸按比例放大为$2000{\text{ mm}} \times 4000{\text{ mm}}$, 其中每个点阵单胞的尺寸为$ 1{\text{00 mm}} \times {\text{100 mm}} $, 模型下表面右端点为固定约束, 左端面为水平约束, 改变上表面最左端应力, 对该模型进行求解,分别得到两种点阵结构的仿真结果, 其中位移云图如表2所示. 可以看出, 在同样的载荷条件下, 变截面点阵产生的最大位移小于变截面点阵结构, 其整体变形程度也更小.
表 2 两种二维半简支梁点阵结构仿真的位移云图及最大位移Table 2. The displacements of two 2D half MBB structuresUniform Variable displacement 
max/mm 0.24 0.13 对上表面应变求平均值可得其应力云图如图15所示. 结果显示, 变截面点阵结构相较于等截面点阵结构的整体应力分布更加均匀, 且最大应力更低, 因此力学性能更优. 观察图7所示的优化后的变截面点阵构型, 其材料主要都转移到应力较大部位, 体现出更好的等强度设计效果.
将两种点阵结构的位移-载荷曲线绘制于图16. 可以看到, 本文所提方法优化得到的变截面点阵结构在同一载荷下, 承载能力明显优于等截面点阵结构, 与数值算例分析的结果一致, 验证了本文所提出优化方法对二维点阵结构的有效性.
4.2 三维仿真算例
取设计域尺寸为10 cm$ \times $20 cm$ \times $10 cm的三维点阵结构进行压缩试验仿真, 模型的尺寸等比例放大为500 mm × 1000 mm × 500 mm, 其中每个点阵单胞的尺寸为50 mm$ \times $50 mm$ \times $50 mm, 模型下表面为固定约束, 对上表面施加斜向均布面载荷, 对点阵结构进行应力分析, 分别得到两种截面点阵的位移云图如表3所示. 可以看出, 在同样的载荷条件下, 变截面点阵产生的最大位移小于等截面点阵结构, 整体变形程度也更小.
表 3 两种三维柱状点阵结构的斜向载荷下的仿真位移云图及最大位移Table 3. The displacements of two 3D column structuresUniform Variable displacement 
max/mm 0.00968 0.00672 对上表面应变求平均值可得应力云图如图17所示, 可以明显看出, 变截面点阵结构应力分布均匀, 材料分布与承受载荷情况一致, 变截面点阵显示出更好的承载能力, 验证了本文所提出的变截面设计方法对三维点阵结构的有效性.
5. 结论
(1) 本文基于灰狼优化算法提出了高效的变截面点阵结构的设计方法. 以点阵结构整体柔度最小化为优化目标, 材料用量为约束条件, BCC-Z点阵单胞截面尺寸参数为设计变量, 通过二维、三维数值算例和仿真结果验证了所提方法的有效性. 结果表明: 优化后的变截面点阵结构柔度相较于相同条件下的等截面点阵结构可降低约30%, 具有更优异的承载能力, 可满足质量敏感领域极致轻量化设计的迫切需求.
(2) 建立了基于显式拓扑描述函数的变截面点阵构型描述模型, 实现了二维和三维BCC-Z点阵几何形状的自由描述, 为后续的灰狼优化算法提供了充分的寻优空间; 利用均匀化方法构建了BCC-Z点阵等效力学属性预测模型, 并以此建立了变截面点阵几何描述参数的优化数学模型.
(3) 相较于常用的遗传算法(GA)和粒子群算法(PSO), 本文所采用的灰狼优化算法(GWO)在求解高维设计问题时具备优势, 更适用于本文所提出的变截面点阵结构优化设计框架, 具有更好的优化效果和更高的计算效率.
(4) 本文以BCC-Z点阵单胞验证了所提方法的有效性, 但所提方法同样适用于其他类型的点阵单胞构型; 同时本文只研究了变截面点阵结构的承载性能, 后续可在本文基础上进一步考虑变截面点阵结构的吸能、减振和抗弯曲等力学性能.
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图 5 变截面点阵GWO算法优化设计流程图
Figure 5. Flow chart of GWO algorithm to optimize the design of variable cross-section lattice
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图 7 二维半简支梁变截面点阵结构的目标函数及体积分数优化迭代图
Figure 7. Iterations of objective function and volume fraction for the 2D half MBB structure
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图 8 二维半简支梁结构的变截面与等截面单胞构型及柔度
Figure 8. Optimized uniform and variable unit cell lattices and their compliances of the 2D half MBB structure
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图 10 三维悬臂梁的等截面单胞构型与柔度
Figure 10. Configuration and compliance of the uniform lattice for the 3D cantilever beam structure
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图 11 不同智能优化算法得到的单胞构型及其柔度
Figure 11. Configurations and their compliances for the optimized variable unit cells with different intelligent optimization algorithm
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图 12 不同智能优化算法的迭代步时间及柔度降低百分比
Figure 12. Comparisons of computational time per step and compliance decrement percentage for the optimized variable unit cells with different intelligent optimization algorithms
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图 13 三维斜向压缩变截面点阵结构设计域
Figure 13. Design domain of the 3D column structure under uniformly distributed oblique load
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图 14 三维斜向压缩变截面点阵结构的目标函数及体积分数优化迭代图
Figure 14. Iterations of objective function and volume fraction for the 3D column structure
表 1 不同体积分数下变截面点阵单胞构型及其柔度比较
Table 1 Comparisons of the optimized variable unit cell lattices and their compliances under different volume fractions
Volume fraction Compliance/(N·cm) Uniform Compliance/(N·cm) Variable Decreasement/% 0.2 7502 5114 31.83 0.3 4381 2808 35.91 0.4 2840 1855 34.69 0.5 1981 1457 26.43 
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表 2 两种二维半简支梁点阵结构仿真的位移云图及最大位移
Table 2 The displacements of two 2D half MBB structures
Uniform Variable displacement max/mm 0.24 0.13
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表 3 两种三维柱状点阵结构的斜向载荷下的仿真位移云图及最大位移
Table 3 The displacements of two 3D column structures
Uniform Variable displacement max/mm 0.00968 0.00672
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