CHARACTERISTICS OF A SPHERICAL PARTICLE MOTION IN AN OSCILLATING RISER WITH UPWARD FLOW
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摘要: 深海采矿过程中, 输送矿石颗粒的立管在复杂海洋环境作用下会产生运动响应, 这会对管道中矿石颗粒的运动行为产生重要影响, 从而影响矿石提升效率, 甚至可能危及整个采矿系统的安全. 结合颗粒运动方程和软球碰撞模型, 对横向振动立管中的球形单颗粒运动特征进行研究, 主要分析了立管振动参数、颗粒与流体密度比以及颗粒与立管直径比对立管中单颗粒运动的影响. 研究表明, 随振动频率和幅度、颗粒与流体密度比以及颗粒与立管直径比的增加, 颗粒垂向平均速度减小. 颗粒与管壁之间无碰撞发生时, 颗粒与立管之间横向相对速度幅值、颗粒运动与立管之间横向速度的相位差以及颗粒垂向速度波动幅值, 与立管振动的频率和振幅、颗粒与流体密度比以及颗粒与立管直径比呈正相关. 然而, 当颗粒与立管之间有碰撞发生时, 颗粒与立管间的横向速度的相位差减小, 而颗粒垂向速度波动幅值显著增大. 另外, 随着密度比和直径比的增大, 颗粒与管壁之间更容易发生碰撞, 而碰撞会减弱密度比和直径比对颗粒横向速度和垂向速度的影响.Abstract: In deep-sea mining, vibrations can be induced when the lifting risers subject to ocean waves and currents, and these vibrations have an impact on the lifting efficiency and ores motion transported inside the risers. Here, by using the governing equation for motion of a spherical particle and the soft sphere collision model, the particle movement in a riser with upward flow and oscillating in the lateral direction is investigated. Validations are conducted based on comparisons of our data with numerical and experimental results. Then, the motion of a single particle in the vibrating riser is explored, considering the effects of the frequency and amplitude of the riser vibrations, the density ratio of the particle to the fluid, and the diameter ratio of the particle to the riser. It is found that the average of the vertical velocity of the particle decreases with the vibrational frequency and amplitude of the riser, density ratio and diameter ratio increasing. In addition, without the occurrence of collision between the particle and riser wall, as the vibrational frequency and amplitude, density ratio and diameter ratio increase, the amplitude of relative lateral velocity between the particle and riser in the vibrational direction, the phase difference between the particle velocity and riser velocity as well as the fluctuation amplitude of the vertical velocity shows an increasing trend. Compared to the absence of collisions, a sharp increase in the fluctuation amplitude of the particle vertical velocity can be caused by the collision between the particle and riser wall. In addition, an increase of the density and diameter ratios can lead to the early appearance of collision between the particle and the riser wall, making collisions more likely to occur, while the effects of the density ratio and diameter ratio on the lateral velocity and vertical velocity can be decreased.
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Keywords:
- deep-sea mining /
- riser vibration /
- upward flow /
- particle motion /
- particle-wall collision
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引言
近年来, 随着陆地矿产资源的枯竭, 人们把目光投向深海. 深海中蕴含着丰富的多金属结核、富钴结壳、热液硫化物等金属矿产资源 [1]. 开发这类矿产资源具有非常重要的意义. 本研究着眼于深海海底锰结核的开采, 开采系统示意如图1. 分布在几千米深海海床上的锰结核被采矿车收集, 并破碎成几厘米的矿石块, 经输运软管、中间舱、输运立管输送至海面的采矿船[2]. 其中, 用于输送矿石的管道系统会受到波浪和海流的作用发生振动响应[3-6]. 当管道振动剧烈, 并且矿石颗粒与管道流体的密度比较大 [1-2]时, 颗粒必然滞后于管道的运动, 管道系统内的矿石颗粒会与管壁发生碰撞, 必然导致管道内矿石的运动更加复杂[7].
目前, 许多学者对静止管道上升流中颗粒的运动特征进行了广泛的研究, 主要分析管道内流场、颗粒密度和颗粒尺寸等对颗粒运动行为的影响. 如Segré等[8] 试验观测了颗粒与流体密度比β = ρp/ρf (ρp为颗粒密度, ρf为流体密度)接近1.0的悬浮颗粒在管道Poiseuille流中的运动特性[9-16], 发现颗粒群总在距离管道轴线2/3的位置处聚集, 随后更多的学者研究并验证了该现象. Feng等[9]和Fox 等[10]对平面剪切流中大密度差颗粒的运动特性进行了研究, 发现颗粒的横向运动受密度比的影响较大. 并且Liu等[11]对密度比β介于1.1和4.0之间的单个球体颗粒在管道Poiseuille流中的运动轨迹进行了研究, 通过分析球体尾涡结构解释了不同密度比的颗粒运动轨迹差异较大的原因. 另外, Matas等[12-14]和Bai等[15]研究发现颗粒与管道直径比λ = d/D (其中 d为颗粒直径, D为管道直径)对颗粒的横向迁移运动有显著影响: 小直径比的颗粒在更靠近管道轴线位置运动, 而大直径比的颗粒则在更靠近于管壁位置运动. 在Matas等[12-14]研究基础上, Shao等[16]进一步对雷诺数高达2200的管道Poiseuille流中不同密度比和直径比的颗粒运动进行了研究, 并分析了颗粒释放位置对其横向迁移运动的影响.
另外, 由于管道压降和群颗粒在管道中的堵塞等直接影响矿石输送效率, 因此, 国内外很多学者研究了各种颗粒级配、颗粒尺寸和管道输送速度对两者的影响规律. 如Zhang等[17]重点关注了垂直管道中群颗粒运动初始阶段颗粒局部浓度和速度的变化, 讨论了管道入口输送速度和浓度对管道压降和堵塞的影响. Ren等[18]分析了颗粒尺寸和级配对群颗粒在垂直管道中发生堵塞的影响, 并分析了Stp数($ {S_{tp}} = \dfrac{{{\rho _p}{d^2}{u_f}}}{{18{\mu _f}D}} $, 其中uf和μf分别为管道中流体的速度和黏度)对颗粒间碰撞作用力和碰撞频率的影响. Wan等[19]分析了颗粒浓度、颗粒级配以及两相流初始混合速度对管道内流流型和摩擦损失的影响. 张岩等[20]通过分析双尺寸颗粒群的混合及分离时的颗粒浓度变化特征、颗粒间碰撞频率及颗粒群受力变化等, 对颗粒群的分离机理进行了解释. 除上述研究外, 管道中颗粒数量和颗粒形状对其运动行为的影响也得到广泛研究[21-23]. 除管道定常流中颗粒的运动特性, 一些学者还对非定常流场中颗粒的受力进行了分析. 黄社华等[24]对非定常无界流场中颗粒运动所受的Basset力的特性进行了分析, 并证明了高频脉动下的Basset力可以忽略. Michaelides等[25-27]比较了无界振动流场中Basset力在颗粒所受总力中的占比, 并讨论了Basset力可以忽略的条件: 颗粒直径大于1μm, 流体振荡无量纲频率${\omega ^ * } = \omega \dfrac{{2{\rho _p}R_p^2}}{{9{\mu _f}}}$(其中ω表示振荡流场圆频率, ρp和Rp分别表示颗粒密度和半径, μf为流体黏度)小于0.5, 直径比β < 0.002或β > 0.7. 这些针对静止管道和无界非定常流场中颗粒运动的研究可以为深海采矿的发展奠定一定的基础.
近年来, 随着深海采矿的快速发展, 横向振动管道中颗粒的运动开始引起相关学者的关注. 万初一等[28]讨论了管道振动频率与振幅、进料浓度和颗粒尺寸等对毫米级颗粒的聚集位置、管内流场特征以及管内压降的影响. Wei等[7]主要分析了不同颗粒初始释放位置、管道振动频率和幅度下, 单一尺寸和密度的粗颗粒的运动特征, 并给出了振动管道中颗粒运动的5种轨迹类型. 但是这些初步的研究还远远不能揭示深海采矿作业过程中振动管道系统内的矿石颗粒运动规律.
综上, 虽然颗粒在静止管道或无界振动流场中运动特征已被广泛研究, 但是目前对于振动管道中颗粒运动特性的认识尚不足够, 特别是在现有的研究中, 并未考虑不同颗粒与流体密度比β、颗粒与管道直径比λ条件下振动管道中颗粒运动行为的差异性, 以及由于管道振动引起的颗粒与壁面的碰撞对颗粒运动的影响. 因此, 有必要从机理上深入揭示不同振动参数和颗粒自身物理参数影响下振动管道中颗粒的运动特征, 特别是大密度比和大直径比对横向振动管道中粗颗粒运动的影响规律. 基于此, 本文基于实际工程背景的参数, 主要关注了管道振动参数、颗粒与流体密度比以及颗粒与立管直径比对横向振动立管中球形单颗粒运动的影响规律.
1. 控制方程
1.1 颗粒运动方程
将输送立管中矿石视为球形颗粒, 暂不考虑颗粒的旋转运动以及破碎. 在立管中运动的颗粒会受到自身重力FG和流体作用力的影响. 其中, 流体作用力包括拖曳力FD, 附加质量力FAM, 浮力FB, Saffman力FLS, 压力梯度力FP, 以及Basset力FH. 因此, 颗粒运动方程如下[29]
$$\begin{split} & \frac{{\text{π} {d^3}}}{6}{\rho _p}\frac{{{\mathrm{d}}{{\boldsymbol{v}}_{pi}}}}{{{\mathrm{d}}{{t}}}} = {F_D} + {F_{AM}} + {F_{LS}} + {F_P} + {F_H} + {F_B} + {F_G} = \\ &\quad \frac{{\text{π} {d^2}}}{8}{\rho _f}{C_D}\left| {{{\boldsymbol{u}}_{fi}} - {{\boldsymbol{v}}_{pi}}} \right|\left( {{{\boldsymbol{u}}_{fi}} - {{\boldsymbol{v}}_{pi}}} \right) - \frac{{\text{π} {d^3}}}{{12}}{\rho _f}\left( {\frac{{{\mathrm{d}}{{\boldsymbol{v}}_{pi}}}}{{{\mathrm{d}}t}} - \frac{{{\mathrm{d}}{{\boldsymbol{u}}_{fi}}}}{{{\mathrm{d}}t}}} \right) +\\ &\quad \frac{{\text{π} {d^3}}}{8}{\rho _f}{C_{LS}}\left( {{{\boldsymbol{u}}_{fi}} - {{\boldsymbol{v}}_{pi}}} \right) \times 2{{\boldsymbol{\omega}} _{fi}} + \frac{{\text{π} {d^3}}}{6}{\rho _f}\left( {\frac{{{\mathrm{D}}{{\boldsymbol{u}}_{fi}}}}{{{\mathrm{D}}t}} - \frac{{{\mu _f}}}{{{\rho _f}}}{\nabla ^2}{{\boldsymbol{u}}_{fi}}} \right) +\\ &\quad \displaystyle\int\nolimits_0^t {{C_H}\dfrac{{{d^2}}}{4}\sqrt {\text{π} {\rho _f}{\mu _f}} \dfrac{{\dfrac{{{\mathrm{d}}({{\boldsymbol{u}}_{fi}} - {{\boldsymbol{v}}_{pi}})}}{{{\mathrm{d}}\tau }}}}{{\sqrt {t - \tau } }}{\mathrm{d}}\tau } + \frac{{\text{π} {d^3}}}{6}{\rho _f}\left( { - {{\boldsymbol{g}}_i}} \right) +\\ &\quad \frac{{\text{π} {d^3}}}{6}{\rho _p}{{\boldsymbol{g}}_i} \\[-1pt]\end{split} $$ (1) 选取流体密度ρf, 立管轴线处的流体速度U, 以及立管直径D为量纲单位对方程(1)进行无量纲化, 得到的无量纲量如下
$$\begin{split} &{\boldsymbol{v}}_{pi}^* = \frac{{{{\boldsymbol{v}}_{pi}}}}{U},\quad {\boldsymbol{u}}_{fi}^* = \frac{{{{\boldsymbol{u}}_{fi}}}}{U},\quad {\boldsymbol{\omega}} _{fi}^* = \frac{{{{\boldsymbol{\omega}} _{fi}}}}{{U/D}},\quad Fr = \frac{{\left| {{{\boldsymbol{g}}_i}} \right|D}}{{{U^2}}}\\ &R{e_{cm}} = \frac{{{\rho _f}UD}}{{{\mu _f}}},\quad \lambda = \frac{d}{D},\quad \beta = \frac{{{\rho _p}}}{{{\rho _f}}},\quad \xi = \frac{1}{{\beta + 0.5}} \end{split}$$ 无量纲方程为
$$\begin{split} &\frac{{{\text{d}}{\boldsymbol{v}}_{pi}^*}}{{{\text{d}}t}} = \xi \Biggl[ \frac{3}{4}\frac{1}{\lambda }{C_D}\left| {{\boldsymbol{u}}_{fi}^* - {\boldsymbol{v}}_{pi}^*} \right|\left( {{\boldsymbol{u}}_{fi}^* - {\boldsymbol{v}}_{pi}^*} \right) + \frac{1}{2}\frac{{{\text{d}}{\boldsymbol{u}}_{fi}^*}}{{{\text{d}}t}} +\\ &\qquad \frac{3}{4}{C_{LS}}\left( {{\boldsymbol{u}}_{fi}^* - {\boldsymbol{v}}_{pi}^*} \right) \times 2{\boldsymbol{\omega}} _{fi}^* + \frac{{{\mathrm{D}}{\boldsymbol{u}}_{fi}^*}}{{{\mathrm{D}}t}} - \frac{1}{{R{e_{cm}}}}{\nabla ^{*2}}{\boldsymbol{u}}_{fi}^* + \\ &\qquad \frac{3}{2}\frac{1}{\lambda }{C_H}\sqrt {\dfrac{\text{π} }{{R{e_{cm}}}}} \displaystyle\int\nolimits_0^{{t^*}} {\dfrac{{\dfrac{{{\text{d}}({\boldsymbol{u}}_{fi}^* - {\boldsymbol{v}}_{pi}^*)}}{{{\text{d}}{\tau ^*}}}}}{{\sqrt {{t^*} - {\tau ^*}} }}{\text{d}}{\tau ^*} + \left( {1 - \beta } \right)Fr\frac{{ - {{\boldsymbol{g}}_i}}}{{\left| {{{\boldsymbol{g}}_i}} \right|}}} \Biggl] \end{split}$$ (2) 其中, ufi和vpi分别表示流场速度和颗粒速度, ${{\boldsymbol{\omega}} _{fi}} = \dfrac{1}{2}\nabla \times {{\boldsymbol{u}}_{fi}}$为颗粒所在位置处的流体旋度. CD, CLS和CH分别表示拖曳力系数、Saffman力系数以及Basset力系数. 颗粒密度和流体密度分别为ρp和ρf, 颗粒直径为d, 立管直径为D, 流体黏性系数为μf, 立管中轴线上的流体垂向速度为U.
考虑颗粒雷诺数Rep和颗粒与立管直径比λ = d/D对拖曳力系数CD共同影响, 拖曳力系数的表达式如下[30]
$$ {C_D} = \left\{ \begin{aligned} & \frac{{24}}{{R{e_p}}}K,\quad R{e_p} \leqslant 1 \\ & \frac{{24}}{{R{e_p}}}\left( {\frac{1}{6}Re_p^{2/3} + K} \right),\quad 1 < R{e_p} < 100 \\ & 0.42{K_{F1}},\quad 100 < R{e_p} < 600 \\ & 0.42{K_{F2}},\quad R{e_p} > {10^5} \end{aligned} \right. $$ (3) 其中
$$ \begin{split} &K = {{1 - 0.758\;57{\lambda ^5}}}/(1 - 2.105\;0\lambda + 2.086\;5{\lambda ^3} -\\ &\qquad 1.706\;8{\lambda ^5} + 0.726\;03{\lambda ^6}) \end{split}$$ (4) $$ {K_{F1}} ={1}/({{1 - 1.6{\lambda ^{1.6}}}}) $$ (5) $$ {K_{F2}} = ({{1 + 1.45{\lambda ^{4.5}}}})/{{{{\left( {1 - {\lambda ^2}} \right)}^2}}} $$ (6) Saffman力系数CLS计算如下
$$ {C_{LS}} = \frac{{4.112\;6}}{{\sqrt {R{e_{{\text{shear}}}}} }}f\left( {R{e_p},R{e_{{\text{shear}}}}} \right) $$ (7) $$ R{e_p} = {{{\rho _f}d\sqrt {{{\left| {{{\boldsymbol{u}}_{fi}} - {{\boldsymbol{v}}_{pi}}} \right|}^2}} }}/{{{\mu _f}}} $$ (8) $$ R{e_{{\text{shear}}}} = {{{\rho _f}{d^2}\left| {\nabla \times {{\boldsymbol{u}}_{fi}}} \right|}}/{{{\mu _f}}} $$ (9) $$ f\left( {R{e_p},R{e_{{\text{shear}}}}} \right) = \left\{ \begin{aligned} & \left( {1 - 0.331\;4\sqrt {\frac{{R{e_{{\text{shear}}}}}}{{2R{e_p}}}} } \right){{\mathrm{e}}^{ - 0.1R{e_p}}} +\\ &\qquad 0.331\;4\sqrt {\frac{{R{e_{{\text{shear}}}}}}{{2R{e_p}}}} ,\;\; R{e_p} \leqslant 40 \\ & 0.052\;4\sqrt {0.5R{e_{{\text{shear}}}}} ,{\text{ }}R{e_p} > 40 \end{aligned} \right. $$ (10) 另外, 由于立管在横向上作简谐振动, 立管中流体为非定常运动, 因此需要考虑Basset力, 其系数CH由颗粒雷诺数Rep和Strouhal数St共同决定[31]
$$ {C_H} = 6.00 - 3.16\left[ {1 - \exp {{\left( { - 0.14R{e_p}S{t^{0.82}}} \right)}^{2.5}}} \right] $$ (11) 1.2 碰撞方程
由于颗粒与立管中流体之间存在密度差, 因此颗粒并不能完全跟随管道运动, 会出现相对运动, 从而导致两者之间发生碰撞. 目前, 常采用的碰撞算法有两种: 软球碰撞模型[32]和硬球碰撞模型[33]. 两种碰撞模型都能计算碰撞后的颗粒速度, 前者的求解过程能更好地展示碰撞过程中颗粒的速度变化, 因此, 本文运用软球碰撞模型[32]计算颗粒与管壁碰撞后的速度, 碰撞示意如图2所示. 碰撞力Fcol计算如下
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图 2 颗粒与管壁之间碰撞示意图Figure 2. Schematic representation of the model of a collision between the particle and the riser wall$$ {{\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{col}}}} = {{\boldsymbol{F}}_n} + {{\boldsymbol{F}}_\tau } $$ (12) $$ {{\boldsymbol{F}}_n} = \left( {{k_n}{{\left| {{\delta _n}} \right|}^{3/2}} - {N_n}{{\boldsymbol{U}}_{pw}} \cdot {\boldsymbol{n}}} \right){\boldsymbol{n}} $$ (13) $$ {{\boldsymbol{F}}_\tau } = \left\{ \begin{aligned} & - {\mu _f}\left| {{k_n}{\delta _n}} \right|\frac{{{\delta _\tau }}}{{\left| {{\delta _\tau }} \right|}}{\boldsymbol{\tau}} ,\quad {k_\tau }\left| {{\delta _\tau }} \right| > {\mu _f}\left| {{k_n}{\delta _n}} \right| \\ & - {k_\tau }{\delta _\tau }{\boldsymbol{\tau}} - {N_\tau }{{\boldsymbol{U}}_{pw,\tau }},\quad {k_\tau }\left| {{\delta _\tau }} \right| \leqslant {\mu _f}\left| {{{\boldsymbol{F}}_n}} \right| \end{aligned} \right. $$ (14) $$ {{\boldsymbol{U}}_{pw,\tau }} = {{\boldsymbol{U}}_{pw}} - \left( {{{\boldsymbol{U}}_{pw}} \cdot {\boldsymbol{n}}} \right){\boldsymbol{n}} - \left( {{R_p}{{{{\boldsymbol{\omega}}}} _p} + {R_w}{{{{\boldsymbol{\omega}}}} _w}} \right) \times {\boldsymbol{n}} $$ (15) $$ {\boldsymbol{n}} = \frac{{{{\boldsymbol{P}}_c} - {{\boldsymbol{P}}_p}}}{{\left| {{{\boldsymbol{P}}_c} - {{\boldsymbol{P}}_p}} \right|}} $$ (16) 其中, Fn和Fτ分别表示法向和切向力. 本文采用的软球碰撞模型也被称为弹簧——阻尼模型, 弹簧表示颗粒碰撞后的弹性变形, 阻尼表示颗粒碰撞后的黏性耗散. kn, kτ和Nn, Nτ分别为法向和切向的刚度系数和阻尼系数, δn和δτ为法向和切向重叠距离. 相对速度Upw = vpi − Uw, 其中vpi和Uw分别为颗粒速度和管壁速度, Upw,τ为相对速度的切向分量. 法向单位向量n由颗粒所处管道横截面处管道轴线坐标Pc(xc, yc, zc)和颗粒位置坐标Pp(xp, yp, zp)计算所得, 其中zc = zp (颗粒所处位置的管道横截面中心的纵坐标zc与颗粒圆心纵坐标zp相等). kn, kτ, Nn, δn和δτ表达式如下
$$ \qquad {k_n} = \frac{4}{3}{E_{{\mathrm{eq}}}}\sqrt {{R_{{\mathrm{eq}}}}} $$ (17) $$\qquad {k_\tau } = 8{G_{{\mathrm{eq}}}}\sqrt {{R_{{\mathrm{eq}}}}{\delta _n}} $$ (18) $$\qquad {N_n} = {C_{n,{\mathrm{rest}}}}\delta _n^{1/4}\sqrt {{k_n}{M_{{\mathrm{eq}}}}} $$ (19) $$\qquad {\delta _n} = {R_p} + {R_w} - \left| {{{\boldsymbol{P}}_p} - {{\boldsymbol{P}}_w}} \right| $$ (20) $$\qquad {\delta _\tau } = \left| {{{\boldsymbol{U}}_{pw,\tau }}} \right|\Delta t $$ (21) 其中, Rp为颗粒半径, Cn,rest表示法向恢复系数, 时间步长为∆t. 下标“eq”表示等效参数. 等效杨氏模量Eeq、等效半径Req、等效质量Meq以及等效剪切模量Geq分别有表达式如下
$$ {E_{{\mathrm{eq}}}} = {\left( {\frac{{1 - \upsilon _p^2}}{{{E_p}}} + \frac{{1 - \upsilon _w^2}}{{{E_w}}}} \right)^{ - 1}} $$ (22) $$ {G_{{\mathrm{eq}}}} = {\left[ {\frac{{2\left( {2 + {\upsilon _p} - \upsilon _p^2} \right)}}{{{E_p}}} + \frac{{2\left( {2 + {\upsilon _w} - \upsilon _w^2} \right)}}{{{E_w}}}} \right]^{ - 1}} $$ (23) $$ {R_{{\mathrm{eq}}}} = {\left( {\frac{1}{{{R_p}}} + \frac{1}{{{R_w}}}} \right)^{ - 1}} $$ (24) $$ {M_{{\mathrm{eq}}}} = {\left( {\frac{1}{{{M_p}}} + \frac{1}{{{M_w}}}} \right)^{ - 1}} $$ (25) 其中, 下标p和w分别代表颗粒和管壁; E, G, M和 R分别为杨氏模量、剪切模量、质量以及半径. 在碰撞中, 管壁质量和半径视为∞, 因此Req = Rp和Meq = Mp.
由于颗粒和管壁之间为三维碰撞, 且管壁为弧形, 因此将颗粒与管壁之间的相对速度表示如下
$$ \left. \begin{aligned} & {v_n} = \left( {{v_{py}} - {u_{cy}}} \right)\sin \theta + \left( {{v_{px}} - {u_{cx}}} \right)\cos \theta \\ & {v_{\tau \theta }} = \left( {{v_{py}} - {u_{cy}}} \right)\cos \theta + \left( {{v_{px}} - {u_{cx}}} \right)\sin \theta \\ & {v_{\tau z}} = {v_{pz}} \end{aligned} \right\} $$ (26) $$ \theta = {\text{arctan}}\left( {\frac{{{y_p} - {y_c}}}{{{x_p} - {x_c}}}} \right) $$ (27) 其中, θ表示颗粒中心所在横截面上颗粒与管轴的连线与x轴正向的夹角, 如图2所示. vn和vτθ分别与立管半径和颗粒在位置处的切线平行, vτz沿立管轴线z方向.
为清晰地展示颗粒运动方程(2)与上述碰撞算法的耦合求解过程, 现将横向振动立管中的颗粒运动求解流程进行详细介绍, 并绘制求解流程图, 如图3所示.
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图 3 横向振动立管中颗粒运动求解流程图Figure 3. A flowchart showing solving procedure of the coupling method在图3中, (xp0, yp0, zp0)和(vpx0, vpy0, vpz0)分别表示颗粒的初始位置和速度. 在求解颗粒速度之前, 需要通过颗粒中心与管道轴线之间的距离$h = \sqrt {{{\left( {{x_p} - {x_c}} \right)}^2} + {{\left( {{y_p} - {y_c}} \right)}^2}} $和容差参数$ \varepsilon $(10−3 ~ 10−4)来判断颗粒与管壁之间是否发生碰撞.
(1) 当满足条件h > (D − d)/2 –$ \varepsilon $d时, 碰撞发生. 用此时刻的颗粒速度(vpx(0), vpy(0), vpz(0))和立管速度(vpc(0), vpc(0), vpc(0)), 通过上述碰撞算法求解碰后的颗粒速度(vpx(1), vpy(1), vpz(1)), 然后将碰后的颗粒速度代入方程(2)中, 求解下一时刻的颗粒速度.
(2) 当h ≤ (D − d)/2 –$ \varepsilon $d时, 碰撞未发生. 此时, 用变步长的4阶、5阶龙格-库塔法求解颗粒速度.
1.3 验证
首先, 通过与Vojir等[27]无界振荡流场中颗粒速度的数值计算结果进行对比, 验证1.1节和1.2节所述计算方法的准确性. 其中, 流体密度为ρf = 1000 kg/m3, 流体黏度为$ {\mu _f} = 0.001\;{\text{Pa}} \cdot {\text{s}} $, 颗粒半径Rp = 0.0001 m, 颗粒密度ρp = 2700 kg/m3, 即颗粒与流体的密度比β = 2.7. 流体横向振动速度为ufx,Amcos(2πft + φ0), 其中, ufx,Am表示流场振动速度的峰值, f和φ0分别为流体振动频率和初相位, φ0 = π/2. 采用单位时间tp和流场振动速度峰值ufx,Am分别对时间t和颗粒速度进行无量纲化, 另外流场振动的圆频率2πf用1/tp进行无量纲化. 单位时间tp定义如下
$$ {t_p} = {{2{\rho _p}{R^2}}}/({{9\mu }}_f) $$ (28) 无量纲圆频率2πftp = 1.0, 10的无界振荡流场中颗粒横向运动速度的数值计算结果与Vojir等[27]的计算结果对比分别如图4(a)和图4(b)所示. 其中, 黑色散点表示Vojir等[27]的计算结果, 红色虚线为本文的计算结果. 可见, 两种频率下, 颗粒速度的波幅和相位均吻合很好.
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由于上述验证中并未涉及颗粒与管壁碰撞, 因此进一步通过与Gondret等[34]的颗粒与容器的碰撞实验结果进行对比来验证所用计算模型的准确性. 实验中, 直径为3 mm、密度为$ {\rho _p} = 7800\;{\text{kg/}}{{\text{m}}^{\text{3}}} $的钢球在装有硅油的方形管道中自由沉降, 流体密度为$ {\rho _f} = 935\;{\text{kg/}}{{\text{m}}^{\text{3}}} $, 流体黏度为$ {\mu _f} = 0.01\;{\text{Pa}} \cdot {\text{s}} $. 钢球与容器底面接触后发生碰撞, 速度反向, 而后钢球上升至最高点转而沉降, 如此反复直至钢球速度为0.
根据Ren等[18]和Wan等[19]的研究, 颗粒与颗粒之间碰撞持续时间约为10−5 s. Wei等[7]的分析表明, 颗粒与管壁碰撞的持续时间均在3.5 × 10−5 s内. 因此, 为准确计算碰撞后的颗粒速度, 时间步长设置为10−7 s. 钢球的位移和速度的数值计算结果与实验数据的对比如图5所示, 黑色散点表示实验数据, 红色虚线为本文的计算结果. 可以看出数值结果和实验吻合较好, 4次碰撞前后的速度误差均在5%以内, 从而证明所发展模型的正确性.
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2. 结果分析
基于实际的工程背景的参数, 本节主要分析立管振动频率、振动幅度、颗粒与流体密度比, 颗粒与立管直径比等参数对横向振动立管中颗粒运动的影响. 由于本文研究的管道雷诺数约为105, 处于湍流状态, 因此管道横截面上的速度分布采用指数形式表示[35], 立管中的流场速度表示为
$$\begin{split} &{{\boldsymbol{u}}_f} = \left[ {2\text{π} f{A_m}\cos \left( {2\text{π} ft + {\varphi _0}} \right)} \right]{\boldsymbol{i}} + 0{\boldsymbol{j}} +\\ &\qquad \left[ {U{{\left( {1 - \frac{{\sqrt {{{\left( {{x_p} - {x_c}} \right)}^2} + {{\left( {{y_p} - {y_c}} \right)}^2}} }}{{D/2}}} \right)}^{\frac{1}{6}}}} \right]{\boldsymbol{k}}\end{split} $$ (29) 其中, Am, f和φ0 分别表示立管振动幅度、振动频率和振动初相位, U = 1 m/s为立管轴线处的流体垂向速度. D为立管直径, 颗粒位置坐标表示为Pp(xp, yp, zp), 颗粒所处立管横截面处立管轴线坐标表示为Pc(xc, yc, zc). 另外, 如1.2节所述, 当颗粒与立管壁面发生碰撞时, 需要两者的材料参数计算颗粒碰后速度. 在本节中, 立管和颗粒的杨氏模量Ew和Ep,分别取200和60 GPa, 泊松比μw和μp分别为0.30和0.26, 法向和切向恢复系数分别为0.76和0.70[36], 摩擦力系数为0.2. 本节中, 流体密度和黏性系数分别为ρf = 1000 kg/m3和 μf = 0.001 Pa·s.
需要说明的是, Wei等[7]的研究表明颗粒初始释放位置不影响颗粒的稳态运动, 颗粒在非振动横向(y方向)的运动可以忽略, 并且在本文研究设定的颗粒物性参数和立管振动参数范围内(根据实际工程背景设定的参数), Basset力在颗粒运动中占比很小, 可以忽略. 因此, 下文的计算结果未考虑Basset力, 且只讨论颗粒在振动横向(x方向)和垂向(z方向)上的运动特征. 除此之外, 本文关注颗粒进入动态稳定状态后的运动特征, 因此, 每个工况至少计算40个立管运动周期, 立管振动频率f = 0.5 ~ 2.0 Hz, 因此模拟时长为20 ~ 80 s. 当颗粒与管壁未发生碰撞(即颗粒距离管壁较远)时, 用变步长的4阶、5阶龙格-库塔法求解颗粒速度, 时间步长最大为10−4 s. 当颗粒与管壁即将发生碰撞(即颗粒距离管壁很近)时, 为了准确计算碰撞后的颗粒速度, 在颗粒与管壁发生碰撞的时段, 时间步长设置为10−7 s.
2.1 振动参数的影响
在振动立管中, 管道振动频率和管道振动幅度是影响颗粒运动的最明显的两个因素. 根据刘大有[37]的研究, 一维无界振荡流场中颗粒运动速度的幅值以及其与振荡流场的相位差与管道振动频率和密度比直接相关. 基于此, 本节主要讨论颗粒横向和垂向运动特性在不同立管振幅和振动频率下的变化特征. 本节主要分析不同管道振动频率和振幅下, 颗粒横向速度相位差φ、相对横向速度vpxre、以及颗粒垂向速度vpz的变化特征. 研究中, 颗粒直径d = 0.015 m, 立管直径D = 0.1 m, 颗粒密度ρp = 2000 kg/m3 (密度比β = ρp/ρf = 2.0), 振动频率f/(U/D)和振动幅度Am/D的组合如表1所示.
表 1 立管振动参数设置Table 1. Vibrational parameters of the oscillating riserVibrational frequency f/(U/D) 0.05 0.06 0.07 0.075 0.10 0.15 0.20 Vibrational amplitude Am/D 0.4 0.3 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.4 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.6 0.5 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.7 0.6 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.8 0.7 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.9 0.8 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 1.0 0.9 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1.25 1.0 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 1.5 1.25 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.75 1.5 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 2.0 1.75 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 3.0 2.0 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 4.0 2.5 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1.1 振动参数对颗粒横向运动的影响
首先, 研究立管振动参数对颗粒横向速度和位移的影响. 考虑发生碰撞和未发生碰撞两种情况, 以表1中f/(U/D) = 0.05为例, 分析立管振动幅值对颗粒横向速度和位移的影响. 在研究立管振动频率对颗粒运动特征影响时, 选取立管振幅Am/D = 1.0, 振动频率f/(U/D) = 0.05, 0.06, 0.07, 0.075,0.10, 0.15, 0.20. 另外, 如1.2节所述, 颗粒与壁面是否发生碰撞与颗粒中心和管道轴线之间的相对距离相关. 因此, 分析立管振动方向上的颗粒与管道轴线之间相对位移的波动幅值xr,Am随立管振动参数的变化规律十分必要. xr,Am定义如下
$$ {x_{r,Am}} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {\left[ {\max \left( {{x_p} - {x_c}} \right) - \min \left( {{x_p} - {x_c}} \right)} \right]} $$ (30) 其中, xp和xc分别为颗粒和管道轴线所在位置的横向坐标, max(xp − xc)和min(xp − xc)分别表示一个振动周期内颗粒与立管之间相对位移的最大值和最小值, N表示振动周期的数量, 为保证选取样本的代表性, 每种立管振动参数下N取值至少为20. 不同立管振动参数下xr,Am变化如图6所示.
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图 6 颗粒和振动立管横向相对位移幅值随(a)立管振幅和(b)振动频率的变化Figure 6. Fluctuation amplitudes of the relative displacement between the particle and vibrating riser with various (a) vibrational amplitudes and (b) frequencies从图6中发现, 随着立管振幅或振动频率的增加, 颗粒与立管的相对位移xr,Am不断增加. 然而, 如图6(a)和图6(b)所示, 当Am/D ≥ 3.0或f/(U/D) ≥ 0.15, xr,Am保持在一个常数值0.85, 不再继续增加, 表明颗粒与管壁之间发生碰撞, 由于管壁的限制, xr,Am不再继续增加. xr,Am变化规律与颗粒和振动立管之间横向相对速度和相位差相关. 首先, 分析振动方向上颗粒速度与管道速度之间的相位差随振动参数的变化. 定义颗粒横向速度极值所在时刻的相位为φp, 管道振动速度极值点所在的相位为φf. 两者之间相位差φ如下计算
$$ \varphi = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{\varphi _p} - {\varphi _f}} \right)} $$ (31) 其中, 为保证选取样本的代表性, 每种立管振动参数下的N取值至少为20, 即选取至少20个周期的相位差, 取其平均值作为相位差φ. 图7显示了相位差φ随振动幅度和振动频率的变化趋势.
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图 7 颗粒和振动立管横向速度的相位差随(a)立管振幅和(b)振动频率的变化Figure 7. Phase differences between the particle velocity and riser velocity with various (a) vibrational amplitudes and (b) frequencies从图6中可以看出, 当f/(U/D) = 0.05, Am/D ≤ 1.5或f/(U/D) ≤ 0.1, Am/D = 1.0时, 颗粒与管轴之间的距离随振动频率或振幅的增加持续变大, 表明在此振动参数变化区间颗粒与管壁之间无碰撞发生, 此时相位差(图7)随立管振幅或振动频率的增加而增加. 这是因为随着振幅和频率的增加, 颗粒对管道的跟随性变弱, 相位差会相应增加. 而当f/(U/D) = 0.05, Am/D = 2.0 ~ 4.0或f/(U/D) = 0.15 ~ 0.20, Am/D = 1.0时, 每个立管振动周期内颗粒与管壁碰撞2次, 此时相位差φ急剧减小, 且立管振幅或振动频率越大, φ的值越小. 这是因为横向相对位移由相对速度和相位差φ共同决定, 有碰撞发生条件下, 颗粒与立管之间的相对运动位移幅值受到管壁的影响不再继续增加, 而碰撞作用通过瞬时改变两者相对运动速度, 从而间接影响相位差, 导致相对运动距离幅值xr, Am/D不再继续变大. 由此可见, 碰撞对颗粒横向速度有显著影响. 比较图7(a)和图7(b), 可以发现在本文研究的参数范围内, 与振动幅度相比, 振动频率对相位差的影响更大.
除相位差外, 在振动方向上, 颗粒与立管之间的速度差vpxre是决定颗粒与管壁之间是否发生碰撞的另一决定性因素. 将vpxre的幅值定义为vpxre,Am, 其求解如下
$$ {v_{{\mathrm{pxre}},A{{m}}}} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {\left[ {\max \left( {{v_{{\mathrm{pxre}}}}} \right) - \min \left( {{v_{{\mathrm{pxre}}}}} \right)} \right]} $$ (32) 其中, N为颗粒运动稳定后, 选取时间段内相对速度最大值或最小值出现的次数(N ≥ 20).
表1中振动参数下, vpxre,Am的值如图8所示. 从图8中可以看出, 无论是否发生碰撞, 颗粒相对速度随立管振动频率和振动幅值的增加而增加. 这是因为, 无碰撞发生条件下, 如图9中黑色实线所示, 颗粒与振动立管之间的横向相对速度与颗粒对流体的跟随能力有关. 如图9中带圆点的虚线所示, 有碰撞发生条件下, 两者之间的相对速度会在短暂的时间内(t1 ~ t2)受碰撞作用的影响, 而后完全受控于流体作用[7]. 因此, 碰撞不会改变相对速度随立管振动频率和振幅的变化趋势.
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图 8 不同振动参数下的颗粒横向相对速度幅值Figure 8. Flucutation amplitudes of the relative lateral velocity with various vibrational parameters2.1.2 振动参数对颗粒垂向运动的影响
颗粒的垂向平均速度变化直接影响矿石的提升效率. 因此, 很有必要分析立管振动频率和振动幅度对颗粒垂向平均速度的影响. 在颗粒释放后的运动初期, 颗粒速度并未达到稳定, 因此这里选取颗粒运动速度稳定以后20个振动周期的垂向速度平均值作为研究对象.
垂向平均速度计算方式如下
$$ {v_{pz,{\mathrm{ave}}}} = \frac{1}{{{t_f} - {t_0}}}\int\nolimits_{{t_0}}^{{t_f}} {{v_{pz}}{\mathrm{d}}t} $$ (33) 其中, vpz,ave表示垂向平均速度, t0 ~ tf表示20个周期的开始和截止时刻.
图10展示了不同振动参数下颗粒垂向平均速度的变化规律, 可以看出, 颗粒与管壁之间无碰撞发生条件下(虚线以上), 随着振动频率或振动幅值的增加, 颗粒垂向平均速度减小, 意味着颗粒提升效率的降低. 这是因为随着立管振动频率或者振幅的增加, 颗粒与振动立管的横向相对位移增加, 并且越靠近管壁管道中流体垂向速度越小, 从而导致颗粒垂向平均速度减小. 有碰撞发生条件下, 随立管振幅的增加, 颗粒垂向平均速度减小的趋势变得平缓. 这是因为有碰撞发生条件下, 由于管壁的限制作用, 颗粒与管道轴线的相对位移达到最大(如图6所示), 不再随立管振动幅度的继续增加而改变, 因此, 有碰撞发生条件下, 颗粒垂向平均速度随立管振动参数的变化与管内流场的非均匀性无关. 颗粒垂向速度随振动幅度的变化主要由碰撞导致, 但是碰撞的作用是瞬时的而不是作用在颗粒运动的整个周期, 因此颗粒垂向平均速度的变化趋势减缓. 另外, 与静止立管中颗粒运动不同, 横向振动立管中的颗粒垂向速度幅值会出现规律性波动[7]. 为探究此波动幅度vpz,Am随振动参数的变化特征, 将vpz,Am定义如下
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图 10 不同振动参数下的颗粒垂向平均速度Figure 10. Particle vertical average velocity with different vibrational frequencies and amplitudes$$ {v_{pz,Am}} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {\left[ {\max \left( {{v_{pz}}} \right) - \min \left( {{v_{pz}}} \right)} \right]} $$ (34) 图11展示了不同立管振动参数下颗粒的vpz,Am取值. 观察图11可以发现, 在相同频率下颗粒垂向速度的波动幅度随振动频率的增加而增加. 造成这种现象的原因是, 随着振动立管振幅的增加, 立管与颗粒横向相对位移幅值增大, 颗粒更靠近管壁; 同时立管中流体的垂向速度呈指数形式(式(29)), 越靠近管壁流体垂向速度越小. 因此, 在颗粒与立管横向相对位移幅值和流体垂向速度的共同影响下, 颗粒的垂向速度幅值出现波动. 图11中左下方所示区域是无碰撞发生的情况, 与之相比, 在有碰撞发生条件下(图11虚线右上方所示区域), 垂向速度的波动幅度出现大幅增加, 这明显与碰撞作用相关. 图12展示了振动频率f/(U/D) = 0.1时, 不同振幅下颗粒垂向速度的历时曲线, 图中Am/D = 1.5, 2.0时颗粒与管壁之间每个周期发生两次碰撞, Am/D ≤ 1.0时无碰撞发生. 可以看出, 由于碰撞力的瞬时作用, 颗粒垂向速度的极小值出现在碰后的时刻[7], 此极小值远低于未发生碰撞时. 而由流场垂向速度影响的颗粒垂向速度极大值则趋于相等, 因此vpz,Am显著增加.
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图 11 不同振动参数下的颗粒垂向速度波动幅值Figure 11. Flucutation amplitudes of the particle verticle velocity with various vibrational parameters![]()
图 12 不同振幅下的颗粒垂向速度历时曲线Figure 12. Time history of the verticle velocity with various vibrational amplitudes2.2 密度比的影响
除立管振动参数外, 颗粒与流体密度比也会对颗粒运动特征产生影响. 因此, 本节主要分析相同立管振幅和振动频率条件下, 颗粒与立管内流体密度比β变化对颗粒运动特征的影响. 其中, 颗粒直径d = 0.015 m, 立管振动频率f/(U/D) = 0.1, 对应有碰撞、无碰撞发生的两种振动幅度Am/D = 0.5, 1.5, 颗粒与流体密度比分别为β = 1.5, 1.8, 2.0, 2.2, 2.4.
2.2.1 密度比对颗粒横向运动的影响
首先, 讨论颗粒与立管内流体密度比β变化对颗粒横向速度的影响. 为便于比较和观察, 用立管振动周期T对时间t进行无量纲化.
不同密度比下, 颗粒横向速度随时间的变化如图13所示. 从图13(a)和图13(b)中可以明显看出, 无论有无碰撞发生, 横向相对速度幅值随密度比的增大而减小, 这是因为随着密度比的增加, 颗粒的惯性增加, 导致其对周围流体的跟随性变弱, 相同流体速度下的颗粒速度会减小.
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图 13 不同密度比下的颗粒横向速度历时曲线Figure 13. Time history of lateral velocity of the particle to the riser with various density ratios除此之外, 通过图13可以发现, 颗粒横向速度的相位以及颗粒与管壁发生碰撞的时刻与密度比有关. 采用式(31)定义的相位差, 颗粒横向速度与立管振动速度的相位差随密度比的变化如图14所示.
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图 14 颗粒和振动立管横向速度的相位差随密度比的变化Figure 14. Phase difference of the particle and riser velocity in vibrational direction with various density ratios从图14(a)中可以看出, 当颗粒与管壁之间无碰撞发生条件下(Am/D = 0.5), 随着密度比的增加, 颗粒横向速度与振动立管之间的相位差持续增加. 然而, 比较图14(a)和图14(b)中的相位差φ的量级可以发现, 碰撞发生条件下, 相位差急剧减小. 这说明, 碰撞可以通过改变相位差而影响颗粒横向运动速度, 从而减小密度比对相位差的影响.
另外, 从图13(b)中可以看出密度比会影响颗粒与管壁发生碰撞的时刻. 为了进行定量分析, 图15展示了立管振动频率f/(U/D) = 0.10、振幅Am/D = 1.5时, 横向相对位移随时间的变化以及颗粒与管壁碰撞时刻的相位随密度比的变化. 根据碰撞发生条件, 从图15(a)可以看出, 在每个立管振动周期, 颗粒与管壁发生2次碰撞, 这两次碰撞时的相位φcol随密度比的变化分别如图15(b)和图15(c)所示. 可以发现, 随着密度比的增加, 颗粒与管壁碰撞时刻的相位减小, 说明颗粒与流体密度比较大时, 碰撞更容易发生. 造成这种现象的原因是, 随着密度比的增加, 颗粒惯性增大, 从而颗粒与振动立管之间的相对速度增大, 这使得两者之间的相对位移在更短的时间内达到立管半径, 从而导致颗粒与振动立管在更早的相位处发生碰撞.
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图 15 当 f/(U/D) = 0.10, Am/D = 1.5时, (a)横向相对位移随时间的变化以及(b), (c)颗粒与管壁碰撞时刻的相位随密度比的变化Figure 15. (a) Time history of the relative displacement between the particle and riser in vibrational direction and (b), (c) the phases of the collision moment with various density ratios when f/(U/D) = 0.10, Am/D = 1.52.2.2 密度比对颗粒垂向运动的影响
颗粒运动达稳定状态后, 不同密度比下的颗粒垂向速度的历时曲线如图16所示. 可以看出随着密度比的增加, 颗粒垂向速度不断减小. 这是因为颗粒直径不变, 颗粒密度比β的增加使得其自身重力增加, 因此相同垂向流场速度条件下颗粒的提升速度会减小.
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图 16 不同密度比下的颗粒垂向速度历时曲线Figure 16. Time history of vertical velocity of the particle with various density ratios另外, 通过图16可以发现, 颗粒垂向速度的波动幅值会随密度比变化而改变. 因此, 接下来主要讨论颗粒与管内流体密度比变化对vpz,Am的影响.
图17展示了颗粒垂向速度波动幅值vpz,Am和横向相对位移幅值xr,Am随密度比的变化. 从图17(a)中可以发现, 对于无碰撞发生的情形, 垂向速度波动幅值与密度比呈正相关, 这是因为密度比越大, 颗粒的惯性越大, 其对周围流体的跟随性变弱, 颗粒与振动立管之间的横向相对速度值和相位差增加, 致使颗粒在立管中的运动范围变大(图17(c)); 并且立管中非均匀的流体垂向速度同样会影响颗粒运动, 最终导致颗粒垂向速度波动幅值增加. 从图17(b)中可以明显看出, 对于有碰撞发生的情形, 颗粒垂向速度波动幅值随密度比的增加而增加, 但其增长率有所降低, 从而证明, 颗粒垂向运动随颗粒与管内流体密度比的变化特征同样受到颗粒与管道碰撞效应的影响.
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图 17 (a), (b)颗粒垂向速度波动幅值以及(c)横向相对位移幅值随密度比的变化Figure 17. (a), (b) The fluctuation amplitudes of the vertical velocity and (c) relative displacement between the particle and riser with various density ratios2.3 直径比的影响
由于颗粒与立管直径比λ的变化同样对横向振动立管中颗粒运动特性产生影响, 因此本节分析横向振动立管中颗粒运动特征随着颗粒与立管直径比λ增大的变化规律. 研究中, 颗粒与流体的密度比β = 2.0, 立管直径D = 0.1 m, 立管振动频率f/(U/D) = 0.10, 振动幅度Am/D = 0.5, 1.5. 另外, 根据深海采矿过程中矿石尺寸范围, 选取直径比λ = 0.1, 0.125, 0.15, 0.18, 0.2, 0.25.
2.3.1 直径比对颗粒横向运动的影响
首先, 分析直径比λ变化对颗粒横向运动的影响. 有无碰撞条件下, 颗粒横向速度与振动立管之间的相位差随直径比的变化如图18所示.
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图 18 颗粒与振动立管横向速度的相位差随直径比的变化Figure 18. The phase difference of the particle and riser velocity in vibrational direction with various diameter ratios当颗粒与管壁之间无碰撞发生条件下(Am/D = 0.5), 从图18(a)中可以看出随着直径比的增加, 颗粒横向速度与振动立管之间的相位差持续增加. 然而, 当有碰撞发生(Am/D = 1.5), 相位差由0.05 ~ 0.07急剧减小至−0.01 ~ 0.01 (图18(b)). 从而证明, 碰撞可以通过改变相位差而影响颗粒横向运动速度, 进而导致直径比对颗粒横向运动的影响减弱.
立管振动频率f/(U/D) = 0.10, 振幅Am/D = 1.5时, 不同直径比下, 横向相对位移随时间的变化以及颗粒与管壁碰撞时刻的相位如图19所示. 根据碰撞发生条件, 从图19(a)可以看出, 立管振幅为Am/D = 1.5时, 在每个立管振动周期, 颗粒与管壁发生2次碰撞, 该两次碰撞时的相位分别如图19(b)和图19(c)所示. 可以看出, 随着直径比的增加, 颗粒与管壁2次碰撞发生时刻的相位均会减小, 表明碰撞时刻提前. 这是因为随着颗粒直径比增加, 颗粒对管道的跟随性变差, 导致颗粒与振动立管之间的相对速度增大; 同时, 由1.2节可知, 当满足h > (D − d)/2 –$ \varepsilon $d条件时, 颗粒与管壁发生碰撞, 当颗粒直径增加时, 不等式右侧的值会减小. 鉴于上述两种原因, 随着直径比的增加, 颗粒与管壁更容易发生碰撞, 致使碰撞时刻提前, 所以发生碰撞的相位会减小.
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图 19 当 f/(U/D) = 0.10, Am/D = 1.5时, (a)横向相对位移随时间的变化以及(b), (c)颗粒与管壁碰撞时刻的相位随直径比的变化Figure 19. (a) Time history of the relative displacement between the particle and riser in vibrational direction and (b), (c) the phases of the collision moment with various diameter ratios when f/(U/D) = 0.10, Am/D = 1.52.3.2 直径比对颗粒垂向运动的影响
颗粒运动状态稳定后, 不同直径下的颗粒垂向速度历时曲线如图20所示, 可以明显看出随着直径比的增加, 颗粒垂向速度减小. 结合颗粒运动方程(2), 可以发现, 密度比β不变时, 随着颗粒与立管直径比λ = d/D的增加, 颗粒所受的拖曳力FD在总力中的占比减小, 导致颗粒最终的垂向提升速度减小, 这与张岩等[20]分析双尺寸颗粒群分离现象的原因类似.
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图 20 不同直径下的颗粒垂向速度历时曲线Figure 20. Time history of vertical velocity of the particle with various diameter ratios颗粒垂向速度波动幅值和无碰撞情形的横向相对位移幅值随直径比的变化如图21所示. 从图21(a)可以看出, 对于颗粒与管壁之间无碰撞发生的情形, 颗粒垂向速度波动幅值随其直径比的增加而变大. 造成这种现象的原因是立管中流体的垂向速度呈指数型(式(29)), 越靠近管壁流体垂向速度越小; 同时, 如图21(c)所示, 随着直径比的增加, 颗粒对振动立管的跟随性变弱, 导致颗粒在立管中的运动范围变大, 在流场和颗粒运动的共同作用下, 颗粒垂向速度波动幅度随直径比的增加而增加.
另外, 从图21(b)可以发现当立管振动幅度为Am/D = 1.5, vpz,Am与直径比呈现负相关. 这种现象可以解释为: 有碰撞发生, 需满足条件h > (D − d)/2 –$ \varepsilon $d, 可以看出颗粒直径比越大, 颗粒与管壁发生接触时, 颗粒中心距离管壁越远, 而由式(29)可知, 距离管壁越远, 流场垂向速度变化越小, 导致流场对颗粒的垂向作用力的变化缓慢, 因此由流场引起的颗粒垂向速度的波动幅值会减小.
3. 结论
本文基于颗粒运动方程和软球碰撞模型, 对横向振动立管中的单颗粒运动特性开展了数值研究, 讨论了颗粒与立管碰撞的发生条件, 分析了颗粒运动的垂向速度、相对于立管的横向速度随立管振动参数、颗粒与立管内流体密度比(密度比)以及颗粒与立管直径比(直径比)的变化规律, 得到以下主要结论.
大振幅或者高频率的立管振动可引起颗粒与立管发生碰撞, 随着密度比和直径比的增加, 颗粒与管壁发生碰撞的相位减小, 即碰撞时刻提前, 使得碰撞更容易发生.
颗粒垂向平均速度随立管振动频率和振幅、密度比以及直径比的增加而减小, 但垂向速度的波动幅值呈增加趋势, 颗粒与立管的碰撞导致垂向速度的波动幅值显著增加.
颗粒与立管之间无碰撞发生的条件下, 颗粒与立管之间横向相对速度幅值以及两者之间的相位差随立管振动频率和振幅、密度比以及直径比的增加而增加. 而有碰撞发生的条件下, 颗粒与立管的横向相对速度的相位差受碰撞的影响急剧减小, 从而减弱密度比和直径比对颗粒横向速度的影响.
本文的研究初步揭示了横向振动立管中单个粗颗粒的运动规律, 对深海采矿工程设计有参考价值. 当然, 在实际海洋工程中, 立管所处作业环境复杂, 而且深海采矿系统中的采矿船、中间舱以及采矿车的运动, 会给海洋立管施加多频成分叠加的激励形式, 其运动响应更加复杂. 除此之外, 当输送管道中的矿石颗粒浓度较高时, 矿石颗粒间的相互作用力可能会比较强. 因此, 在未来的研究中, 将需要考虑更接近实际的情况, 如考虑立管的“8字形”振动等, 逐步推进单颗粒和群颗粒矿石在复杂模态运动立管中的运动特征研究.
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图 2 颗粒与管壁之间碰撞示意图
Figure 2. Schematic representation of the model of a collision between the particle and the riser wall
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图 3 横向振动立管中颗粒运动求解流程图
Figure 3. A flowchart showing solving procedure of the coupling method
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图 6 颗粒和振动立管横向相对位移幅值随(a)立管振幅和(b)振动频率的变化
Figure 6. Fluctuation amplitudes of the relative displacement between the particle and vibrating riser with various (a) vibrational amplitudes and (b) frequencies
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图 7 颗粒和振动立管横向速度的相位差随(a)立管振幅和(b)振动频率的变化
Figure 7. Phase differences between the particle velocity and riser velocity with various (a) vibrational amplitudes and (b) frequencies
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图 8 不同振动参数下的颗粒横向相对速度幅值
Figure 8. Flucutation amplitudes of the relative lateral velocity with various vibrational parameters
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图 10 不同振动参数下的颗粒垂向平均速度
Figure 10. Particle vertical average velocity with different vibrational frequencies and amplitudes
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图 11 不同振动参数下的颗粒垂向速度波动幅值
Figure 11. Flucutation amplitudes of the particle verticle velocity with various vibrational parameters
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图 12 不同振幅下的颗粒垂向速度历时曲线
Figure 12. Time history of the verticle velocity with various vibrational amplitudes
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图 13 不同密度比下的颗粒横向速度历时曲线
Figure 13. Time history of lateral velocity of the particle to the riser with various density ratios
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图 14 颗粒和振动立管横向速度的相位差随密度比的变化
Figure 14. Phase difference of the particle and riser velocity in vibrational direction with various density ratios
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图 15 当 f/(U/D) = 0.10, Am/D = 1.5时, (a)横向相对位移随时间的变化以及(b), (c)颗粒与管壁碰撞时刻的相位随密度比的变化
Figure 15. (a) Time history of the relative displacement between the particle and riser in vibrational direction and (b), (c) the phases of the collision moment with various density ratios when f/(U/D) = 0.10, Am/D = 1.5
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图 16 不同密度比下的颗粒垂向速度历时曲线
Figure 16. Time history of vertical velocity of the particle with various density ratios
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图 17 (a), (b)颗粒垂向速度波动幅值以及(c)横向相对位移幅值随密度比的变化
Figure 17. (a), (b) The fluctuation amplitudes of the vertical velocity and (c) relative displacement between the particle and riser with various density ratios
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图 18 颗粒与振动立管横向速度的相位差随直径比的变化
Figure 18. The phase difference of the particle and riser velocity in vibrational direction with various diameter ratios
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图 19 当 f/(U/D) = 0.10, Am/D = 1.5时, (a)横向相对位移随时间的变化以及(b), (c)颗粒与管壁碰撞时刻的相位随直径比的变化
Figure 19. (a) Time history of the relative displacement between the particle and riser in vibrational direction and (b), (c) the phases of the collision moment with various diameter ratios when f/(U/D) = 0.10, Am/D = 1.5
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图 20 不同直径下的颗粒垂向速度历时曲线
Figure 20. Time history of vertical velocity of the particle with various diameter ratios
表 1 立管振动参数设置
Table 1 Vibrational parameters of the oscillating riser
Vibrational frequency f/(U/D) 0.05 0.06 0.07 0.075 0.10 0.15 0.20 Vibrational amplitude Am/D 0.4 0.3 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.4 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.6 0.5 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.7 0.6 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.8 0.7 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.9 0.8 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 1.0 0.9 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1.25 1.0 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 1.5 1.25 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.75 1.5 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 2.0 1.75 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 3.0 2.0 1.75 1.75 1.75 1.75 1.75 4.0 2.5 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 
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