RESEARCH ON MULTISTABILITY OF GAITS IN THE PASSIVE WALKING ROBOT WITH ROUND FEET
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摘要: 目前关于被动行走步态的研究主要是揭示参数变化对其稳定性的影响, 而对于步态多重稳定性的研究则较为少见. 步态的多重稳定性不仅是行走模式多样化产生的根源, 还是引发步态突变的关键因素. 尽管当前共存步态的存在性已受到关注, 但关于这些步态的产生、演化以及消失机制的系统性研究尚未开展. 为此, 文章以圆弧足被动行走机器人为研究对象, 应用胞映射及点映射算法探索到与周期一步态共存的几种高周期步态, 绘制了共存步态的三维吸引盆并对这些步态的行走特性进行了详细的对比分析. 此外, 基于跳跃矩阵法改进了Poincaré-Newton-Floquet (PNF)算法, 对被动行走系统的不稳定轨道及其对应的Floquet乘子进行了求解, 并结合吸引盆进一步揭示了步态演化过程中的分岔和激变现象. 研究结果表明, 共存步态的周期越高, 其平均步速越快, 但步态稳定性越差; 这些共存步态均由极限环的折叠分岔产生, 并由倍周期级联路径通向混沌, 最终与不稳定轨道在吸引盆边界上产生碰撞而消失. 文章的研究结果有助于理解被动行走步态的多重稳定性, 并为机器人的优化设计及稳定控制提供理论依据.Abstract: Current research on passive walking gaits mainly reveals the effects of parameter changes on their stability, while there are fewer studies on the multistability of gaits. The multistability of gaits is not only a source of walking pattern diversity but also a key factor in triggering sudden gait changes. Although the existence of coexisting gaits has received attention, systematic studies on the mechanisms of their generation, evolution, and disappearance have still not been carried out. To this end, this paper takes a round-footed passive walking robot as the research object, applies the cell mapping and point mapping algorithms to explore several high-periodic gaits coexisting with period-one gaits, plots the three-dimensional basin of attraction of the coexisting gaits, and carries out a detailed comparative analysis of the walking characteristics of these gaits. In addition, the Poincaré-Newton-Floquet (PNF) algorithm is improved based on the jump matrix method to solve the unstable orbits and their corresponding Floquet multipliers of the passive walking system and the bifurcation and crisis phenomena in the gait evolution are further revealed by combining with the basin of attraction. The results show that the higher the period of the coexisting gaits, the faster their average gait speeds, but the worse their gait stability; all these coexisting gaits are generated by the fold bifurcation of the limit cycle and lead to chaos by the period-doubling cascade path, eventually disappearing with the unstable orbitals by collisions on the boundary of the basins of attraction. This paper contributes to the understanding of the multistability of passive walking gaits and provides a basis for optimal robot design and stability control.
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引言
被动行走[1] (passive dynamic walking)是指双足步行机构在斜面上仅由自身重力驱动的持续稳定行走, 机构的内在自稳定性(无需主动控制而实现稳定行走)使其步态自然且能耗低[2]. 因此, 被动行走可为类人行走提供定量解释, 也可为研制高效节能的双足步行机器人提供新思路, 目前已成为步行机器人研究的前沿和热点领域, 获得了许多理论成果及实际应用[3-5].
被动行走步态的动力学特性研究主要基于3个模型: Mariano等[6]考虑基本行走原理提出的最简行走模型, Goswami 等[7]针对腿部质量因素提出的罗盘模型以及 Wisse 等[8]考虑上体质量提出的带上肢体模型. 基于这些经典模型, 许多学者对被动行走步态的动力学特性进行了深入研究. 同时, 为了改善行走性能, 学者们设计了各种各样的足型来增强行走稳定性与鲁棒性, 如平板足、圆弧足、多分段足和拟人足等[9-13]. 其中圆弧足足型简单, 相较于点足、板足等拥有更高的稳定性以及行走效率[14-15]. 近年来, 众多学者基于分岔和混沌理论研究了环境参数和机器人结构参数对步态演化的影响, 结果表明, 被动行走机器人的步态主要表现为以倍周期分岔的方式通向混沌. Goswami等[7]首次报道了罗盘模型中出现的倍周期级联现象. 随后, 许多学者在最简模型和带上体模型等一系列模型中也发现了这种典型的分岔现象[16-21]. 此外, Gritli等[22]在罗盘模型中揭示了极限环的折叠分岔, 进而发现了一些新的行走模式. 目前, 参数变化对步态动力学特性的影响已被广泛研究.
被动行走机器人的动力学模型是由代数-微分方程组定义的脉冲混杂系统, 由单腿支撑的连续摆动方程与足地碰撞时刻的代数方程构成. 在摆动阶段, 支撑腿围绕足地接触点旋转, 此时机器人类似于倒立摆机构, 而倒立摆模型的动力学特性则受鞍流形控制[23]. 这导致被动行走机器人的吸引盆非常狭小, 稳定步态的产生对于初始值极其敏感[24]. 除此以外, 动力学方程的混杂特点同样导致当前对被动行走机器人步态全局动力学的研究进展缓慢, 特别是对于步态突变、机器人失稳机理的探索. 一般认为, 边界激变作为混沌吸引子突变中最剧烈的类型, 是引发机器人突然跌倒的主要原因之一, 而这种全局分岔行为通常至少需要两个吸引子共存[22]. 目前已有学者对机器人中的共存步态进行了相关探索. Gritli等[25]使用打靶法及Davidchack-Lai算法在罗盘模型中发现了与周期1步态共存的周期3步态; Li等[26-27]基于CPU + GPU并行计算方法, 探索了最简模型中与周期1步态共存的周期3 ~ 周期7步态. 然而, 这些研究主要关注共存步态的存在性, 对于共存步态的产生、演化及消失机制, 目前尚未得到系统研究.
综上所述, 本文以圆弧足被动行走机器人为研究对象, 对其共存步态的行走特性及演化过程进行了详细研究. 首先, 使用胞映射和点映射算法探索到与周期1步态共存的几种高周期步态, 对比分析了这些高周期步态的吸引盆大小以及步长和步速等行走特性. 其次, 考虑到行走系统的混杂特性, 本文基于跳跃矩阵方法[28]改进了PNF算法, 求解了圆弧足被动行走机器人的不稳定轨道以及Floquet乘子, 并结合吸引盆进一步揭示了步态演化过程中的分岔和激变现象. 本文的研究有助于理解被动行走步态的多重稳定性, 并对行走过程中的步态突变行为做出理论解释.
1. 模型描述及动力学建模
1.1 圆弧足被动行走机器人
本文研究的被动行走机器人模型如图1所示. 该模型由两条完全相同的直腿构成, ${C_{{\text{sw}}}}$和${C_{{\text{st}}}}$分别为摆动腿及支撑腿的质心位置, 两腿通过光滑铰链连接在髋关节$H$上, 并将上肢体质量集中于此关节处, 使用圆弧足模拟人类步行时脚跟-脚掌-脚尖依次着地的现象. 机器人各参数含义如下: ${m_{\text{h}}}$为上体质量, $m$为腿质量, $l$为腿长, $a$为腿质心与髋关节$H$的距离, $r$为足半径, $j$为腿相对于质心的转动惯量, $\gamma $为斜面与水平面的夹角, $g$为重力加速度. 各参数的取值如表1所示.
表 1 系统参数Table 1. System parametersSymbol Value Unit ${m_{\text{h}}}$ 2 ${\text{kg}}$ $m$ 1 ${\text{kg}}$ $a$ 0.5 ${\text{m}}$ $l$ 1 ${\text{m}}$ $r$ 0.1 ${\text{m}}$ $j$ 0.02 ${\text{kg}} \cdot {{\text{m}}^{\text{2}}}$ $\gamma $ 0.05 ${\text{rad}}$ 在机器人的行走过程中, 支撑腿沿斜面纯滚动, 摆动腿则绕髋关节旋转. 当机器人到达图1中的灰色阴影位置时, 支撑腿与斜面垂直. 此时, 足地接触点由原来的$O'$变为$O$. 在斜面上建立直角坐标系, 令$O$点为坐标原点, $x$轴沿斜面向下, $y$轴垂直斜面向上. 摆动腿与支撑腿相对于$y$轴的夹角分别记为${\theta _{{\text{sw}}}}$与${\theta _{{\text{st}}}}$, 方向均以逆时针为正. 根据几何关系可知, 此时$O'$与坐标原点之间的距离$\overline {O'O} $等于支撑腿足部红色圆弧的弧长, 即$\overline {O'O} = r \times {\theta _{{\text{st}}}}$.
1.2 动力学建模
为了使动力学方程具有普遍性并减少方程中的参数个数, 使用$ m,g,l $作为基本量对方程进行无量纲化. 设${k_{\text{m}}} = {m_{\text{h}}}/m,{k_{\text{a}}} = a/l,{k_{\text{r}}} = r/l,{k_{\text{j}}} = j/(m{l^2})$, 此时无量纲时间${t{'}} = t\sqrt {g/l} $, 圆弧足被动行走机器人的无量纲方程如下所示.
(1)摆动阶段
使用第二类Lagrange方程推导出此阶段机器人的动力学方程为
$$ {\boldsymbol{M}}({\boldsymbol{\theta }}){\boldsymbol{\ddot \theta }} + {\boldsymbol{K}}({\boldsymbol{\theta }},{\boldsymbol{\dot \theta }}) + {\boldsymbol{G}}({\boldsymbol{\theta }}) = {\boldsymbol{0}} $$ (1) 式中, ${\boldsymbol{\theta }} = [{\theta _{{\text{st}}}};{\theta _{{\text{sw}}}}]$; ${\boldsymbol{\dot \theta }} = [{\dot \theta _{{\text{st}}}};{\dot \theta _{{\text{sw}}}}]$; ${\boldsymbol{\ddot \theta }} = [{\ddot \theta _{{\text{st}}}};{\ddot \theta _{{\text{sw}}}}]$; ${\boldsymbol{M}}({\boldsymbol{\theta }}) = [{M_{11}},{M_{12}};{M_{21}},{M_{22}}]$; ${\boldsymbol{K}}({\boldsymbol{\theta }},{\boldsymbol{\dot \theta }}) = [{K_{11}};{K_{21}}]$; ${\boldsymbol{G}}({\boldsymbol{\theta }}) = [{G_{11}}; {G_{21}}]$. 具体表达式如下所示
$$\begin{split} & {{M}_{11}}=(2+{{k}_{\text{m}}}){{k}_{\text{r}}}^{2}+2{{(1-{{k}_{\text{r}}})}^{2}}+{{k}_{\text{j}}}+{{(1-{{k}_{\text{r}}}-{{k}_{\text{a}}})}^{2}} + \\ &\qquad 2{{k}_{\text{r}}}[{{k}_{\text{m}}}\left( 1-{{k}_{\text{r}}} \right)+2-2{{k}_{\text{r}}}-{{k}_{\text{a}}}]\cos {{\theta }_{\text{st}}}\\ &{M}_{12} = -{k}_{\text{a}}\left(1-{k}_{\text{r}}\right)\mathrm{cos}\left({\theta }_{\text{st}}-{\theta }_{\text{sw}}\right)-{k}_{\text{a}}{k}_{\text{r}}\mathrm{cos}{\theta }_{\text{sw}}\\ &{M}_{21} = {M}_{12}\\ &{M}_{22} = {k}_{\text{a}}^{2} + {k}_{\text{j}}\\ &{K}_{11} = -[{k}_{\text{m}}(1-{k}_{\text{r}}) + 2-2{k}_{\text{r}}-{k}_{\text{a}}]{k}_{\text{r}}\mathrm{sin}{\theta }_{\text{st}}{\dot{\theta }}_{\text{st}}-\\ &\qquad {k}_{\text{a}}[(1-{k}_{\text{r}})\mathrm{sin}{\theta }_{\text{st}}-{k}_{\text{r}}\mathrm{sin}{\theta }_{\text{sw}}]{\dot{\theta }}_{\text{sw}}\\ &{K}_{21} = {k}_{\text{a}}\left(1-{k}_{\text{r}}\right){\dot{\theta }}_{\text{st}}\\ &{G}_{11} = \left({k}_{\text{m}}{k}_{\text{r}} + 2{k}_{\text{r}}\right)\mathrm{sin}\gamma -\\ &\qquad [{k}_{\text{m}}\left(1-{k}_{\text{r}}\right) + \left(2-2{k}_{\text{r}}-{k}_{\text{a}}\right)]\mathrm{sin}\left({\theta }_{\text{st}}-\gamma \right)\\ &{G}_{21} = {k}_{\text{a}}\mathrm{sin}\left({\theta }_{\text{sw}}-\gamma \right) \end{split}$$ (2)足地碰撞阶段
在足地碰撞时刻, 采用完全非弹性碰撞模型, 假设碰撞瞬时完成, 且支撑腿无滑移, 无弹起, 此时该系统满足角动量守恒定理, 其动力学方程为
$$ {{\boldsymbol{Q}}^{\boldsymbol{ - }}}({{\boldsymbol{\theta }}^ - }){{\boldsymbol{\dot \theta }}^{\boldsymbol{ - }}} = {{\boldsymbol{Q}}^{\boldsymbol{ + }}}({{\boldsymbol{\theta }}^ + }){{\boldsymbol{\dot \theta }}^{\boldsymbol{ + }}} $$ (2) 式中, ${{\boldsymbol{\theta }}^ + } = [{\theta ^ +_{{\text{st}}}} ;{\theta^ + _{{\text{sw}}}} ]$; ${{\boldsymbol{\theta }}^ - } = [{\theta^ - _{{\text{st}}}} ;{\theta^ - _{{\text{sw}}}} ]$; ${{\boldsymbol{\dot \theta }}^ + } = [{\dot \theta _{{\text{st}}}}^ + ;{\dot \theta _{{\text{sw}}}}^ + ]$; ${{\boldsymbol{\dot \theta }}^ - } = [{\dot \theta _{{\text{st}}}}^ - ;{\dot \theta _{{\text{sw}}}}^ - ]$; ${{\boldsymbol{Q}}^ + }({{\boldsymbol{\theta }}^ + }) = [Q^ + _{11},Q^ + _{12};Q^ + _{21},Q^ + _{22}]$; ${{\boldsymbol{Q}}^ - } ({{\boldsymbol{\theta }}^ - }) = [Q^ - _{11}, Q^ - _{12};Q^ - _{21},{Q^ - }_{22}]$.
具体表达式如下所示
$$\begin{split} &{Q}^-_{11} = -{k}_{\text{a}}[\left(1-{k}_{\text{r}}-{k}_{\text{a}}\right) + \mathrm{cos}{\theta }_{\text{st}}^-] + {k}_{\text{j}}\\ &{Q}^-_{12} = 0\\ &{Q}^-_{21} = 2{k}_{\text{r}}^{2} + \left(1-{k}_{\text{r}}-{k}_{\text{a}}\right)[2{k}_{\text{r}}\mathrm{cos}{\theta }_{\text{st}}^-+\\ &\qquad \left(1-{k}_{\text{r}}-{k}_{\text{a}}\right){\mathrm{cos}}^{2}{\theta }_{\text{st}}^--{k}_{\text{a}}{\mathrm{sin}}^{2}{\theta }_{\text{st}}^-+\\ &\qquad \left(1-{k}_{\text{r}}\right)\mathrm{sin}{\theta }_{\text{st}}^-\mathrm{sin}{\theta }_{\text{sw}}^-]+\\ &\qquad \left(1-{k}_{\text{r}}\right)[2{k}_{\text{r}}\mathrm{cos}{\theta }_{\text{st}}^--\left({k}_{a} + {k}_{\text{r}}-1\right)\mathrm{sin}{\theta }_{\text{st}}^-\mathrm{sin}{\theta }_{\text{sw}}^--\\ &\qquad {k}_{\text{a}}\mathrm{cos}{\theta }_{\text{st}}^-\mathrm{cos}{\theta }_{\text{sw}}^- + \left(1-{k}_{\text{r}}\right){\mathrm{cos}}^{2}{\theta }_{\text{st}}^-]-\\ &\qquad {k}_{\text{a}}{k}_{\text{r}}\mathrm{cos}{\theta }_{\text{sw}}^- + {k}_{\text{m}}[{k}_{\text{r}}^{2} + 2{k}_{r}\left(1-{k}_{\text{r}}\right)\mathrm{cos}{\theta }_{\text{st}}^-+\\ &\qquad {\left(1-{k}_{\text{r}}\right)}^{2}\mathrm{sin}{\theta }_{\text{st}}^-\mathrm{sin}{\theta }_{\text{sw}}^- + {\left(1-{k}_{\text{r}}\right)}^{2}{\mathrm{cos}}^{2}{\theta }_{\text{st}}^-] + {k}_{\text{j}} \end{split} $$ $$\begin{split} &{Q}^-_{22} = {k}_{\text{a}}^{2}{\mathrm{cos}}^{2}{\theta }_{\text{sw}}^--{k}_{\text{r}}{k}_{\text{a}}\mathrm{cos}{\theta }_{\text{sw}}^--\\ &\qquad {k}_{\text{a}}\left(1-{k}_{\text{r}}\right)\mathrm{cos}{\theta }_{\text{st}}^-\mathrm{cos}{\theta }_{\text{sw}}^- + {k}_{\text{j}}+\\ &\qquad {k}_{\text{a}}\left({k}_{\text{a}} + {k}_{\text{r}}-1\right){\mathrm{sin}}^{2}{\theta }_{\text{sw}}^-\\ &{Q}^{ + }_{11} = {k}_{\text{a}}^{2} + {k}_{\text{j}}\\ &{Q}^{ + }_{12} = -{k}_{\text{a}}\left(1-{k}_{\text{r}}\right)\mathrm{cos}\left({\theta }_{\text{st}}^{ + }-{\theta }_{\text{sw}}^{ + }\right)-{k}_{\text{a}}{k}_{\text{r}}\mathrm{cos}{\theta }_{\text{st}}^{ + }\\ &{Q}^{ + }_{21} = {k}_{\text{a}}^{2}-{k}_{\text{a}}\left(1-{k}_{\text{r}}\right)\mathrm{cos}\left({\theta }_{\text{st}}^{ + }-{\theta }_{\text{sw}}^{ + }\right)-{k}_{\text{r}}{k}_{\text{a}}\mathrm{cos}{\theta }_{\text{st}}^{ + } + {k}_{\text{j}}\\ &{Q}^{ + }_{22} = -{k}_{\text{a}}\left(1-{k}_{\text{r}}\right)\mathrm{cos}\left({\theta }_{\text{st}}^{ + }-{\theta }_{\text{sw}}^{ + }\right) + {\left(1-{k}_{\text{r}}\right)}^{2} + 2{k}_{\text{r}}^{2}-\\ &\qquad {k}_{\text{r}}{k}_{\text{a}}\mathrm{cos}{\theta }_{\text{st}}^{ + } + 2{k}_{\text{r}}\left(1-{k}_{\text{r}}\right)\mathrm{cos}{\theta }_{\text{sw}}^{ + } + {k}_{\text{j}}+\\ &\qquad 2{k}_{\text{r}}\left(1-{k}_{\text{r}}-{k}_{\text{a}}\right)\mathrm{cos}{\theta }_{\text{sw}}^{ + } + {\left(1-{k}_{\text{r}}-{k}_{\text{a}}\right)}^{2}+\\ &\qquad {k}_{\text{m}}[{k}_{\text{r}}^{2} + {\left(1-{k}_{\text{r}}\right)}^{2} + 2{k}_{\text{r}}\left(1-{k}_{\text{r}}\right)\mathrm{cos}{\theta }_{\text{sw}}^{ + }]\end{split} $$ 式中, 上标“−”与“ + ”用于区分碰撞前后系统的状态. 令${\boldsymbol{x}}$ = ${[{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}]^{\text{T}}}$ = ${[{\theta _{{\text{st}}}},{\dot \theta _{{\text{st}}}},{\theta _{{\text{sw}}}},{\dot \theta _{{\text{sw}}}}]^{\text{T}}} \in {{\bf{R}}^4}$, 方程式(1)和式(2)可整理成如下规范形式
$$ \left. \begin{split} & {\boldsymbol{\dot x}} = {{\boldsymbol{F}}_1}({\boldsymbol{x}}),\;\;\;\;\;\;\;{\text{if}}\;{\boldsymbol{x}} \notin \varSigma \\ & {{\boldsymbol{x}}^{\boldsymbol{ + }}} = {{\boldsymbol{F}}_2}({{\boldsymbol{x}}^ - }),\;\;\;{\text{if}}\;{\boldsymbol{x}} \in \varSigma \end{split} \right\} $$ (3) 其中, 碰撞面$\varSigma = \{ {\boldsymbol{x}} \in {{\bf{R}}^{\text{4}}}:h({\boldsymbol{x}}) = {x_1} + {x_3} = 0\} $, $h({\boldsymbol{x}})$为边界函数. 令${{\boldsymbol{x}}_0}$为步态初始值, 则该混杂动力系统的解可表示为${\boldsymbol{x}}(t) = \phi ({{\boldsymbol{x}}_0},t)$.
2. 改进的PNF方法
PNF法是基于打靶法和Floquet分岔理论发展的一种同时进行周期解求解并判稳的数值算法[29]. 选择碰撞面$\varSigma $作为Poincaré截面, 则系统周期解$ {\boldsymbol{x}} = \phi ({\boldsymbol{x}},T) $的求解可以转化为求非线性方程组$ {\boldsymbol{P}}{\text{(}}{\boldsymbol{x}}) - {\boldsymbol{x}} = {{{\boldsymbol{0}}}} $的不动点问题. 牛顿法在计算方程组时具有局限性, 尤其是在高维系统中, 选择合适的初始值对于保证算法收敛至关重要[30]. 因此本文采用牛顿下山法替代传统牛顿法. 这种方法通过控制迭代步长, 有效地减小了系统对初始迭代值的依赖性以及数值发散的可能性. 按照牛顿下山法, 将${\boldsymbol{P}}{\text{(}}{\boldsymbol{x}}{\text{)}}$在给定的初始点${{\boldsymbol{x}}_0}$附近线性化展开, 得到下一迭代点${{\boldsymbol{x}}_1}$为
$$ {{\boldsymbol{x}}_1} = \beta {[{\boldsymbol{I}} - {\text{D}}{\boldsymbol{P}}({{\boldsymbol{x}}_0})]^{ - 1}}[{\boldsymbol{P}}({{\boldsymbol{x}}_{\text{0}}}) - {{\boldsymbol{x}}_0}] + {{\boldsymbol{x}}_0} $$ (4) 其中, $\beta \in (0,1]$为下山因子. 显然, 只要确定映射算子${\boldsymbol{P}}$在${{\boldsymbol{x}}_0}$处的雅可比矩阵$ {\text{D}}{\boldsymbol{P}}({{\boldsymbol{x}}_0}) $即可实现迭代. 对于光滑系统, 此矩阵可通过积分变分方程获得. 然而, 被动行走机器人为混杂系统, 在步态切换时刻雅可比矩阵不存在. 因此, 本文引入一种新方法, 根据行走过程中的摆动与碰撞两个运动阶段依次完成对该矩阵的求解
(1) 在摆动阶段, 将式(3)中的非线性微分方程组对初始点${{\boldsymbol{x}}_0}$求偏导可得$ {{\dot {\boldsymbol{\varPhi}} }}({{\boldsymbol{x}}_0},t) = {{{\dot {\boldsymbol{F}}}}_1}({{\boldsymbol{x}}_0}(t)){\boldsymbol{\varPhi }}({{\boldsymbol{x}}_0},t) $, 其中, 变分方程$ {\boldsymbol{\varPhi }}({{\boldsymbol{x}}_0},t) = \partial \phi ({{\boldsymbol{x}}_0},t)/\partial {{\boldsymbol{x}}_0} $, 初始积分时刻$ {\boldsymbol{\varPhi }}({{\boldsymbol{x}}_0},{t_0}) = {\boldsymbol{I}} $(${\boldsymbol{I}}$为$4 \times 4$单位矩阵), 因此, 以$({{\boldsymbol{x}}_0},{\boldsymbol{I}})$为初值积分式(5), 可获得直到碰撞发生前一时刻系统的状态变量与基本解矩阵$({{\boldsymbol{x}}^ - },{{\boldsymbol{\varPhi }}^ - })$
$$ \left. \begin{split} & {{\dot {\boldsymbol{x}}}} = {{\boldsymbol{F}}_1}({\boldsymbol{x}}) \\ & {{\dot {\boldsymbol{\varPhi}} }}({{\boldsymbol{x}}_0},t) = {{{{\dot {\boldsymbol{F}}}}}_1}({{\boldsymbol{x}}_0}(t)){\boldsymbol{\varPhi }}({{\boldsymbol{x}}_0},t) \end{split}\right\} ,\;\;\;{\text{if}}\;{\boldsymbol{x}} \notin \varSigma $$ (5) (2) 在足地碰撞阶段, 需要构造一个跳跃矩阵$ {\boldsymbol{\varOmega }} $来连接碰撞前后的基本解矩阵. 该矩阵的具体推导过程可参见文献[24, 28]. 本节直接给出这一矩阵的最终形式以及各部分的具体含义
$$ {\boldsymbol{\varOmega }} = \frac{{({{\boldsymbol{F}}_1^ +} - {{\boldsymbol{J}}^ - }{{\boldsymbol{F}}_1}^ - ){{({{\boldsymbol{N}}^ - })}^{{\mathrm{T}}}}}}{{{{({{\boldsymbol{N}}^ - })}^{{\mathrm{T}}}}{{\boldsymbol{F}}_1^ - }}} + {{\boldsymbol{J}}^ - } $$ (6) 其中, $ {{\boldsymbol{J}}^ - } = \dfrac{{\partial {{\boldsymbol{F}}_2}}}{{\partial {\boldsymbol{x}}}}{\Bigr|_{{\boldsymbol{x}} = {{\boldsymbol{x}}^ - }}} $, $ {{\boldsymbol{N}}^ - } = \dfrac{{\partial h}}{{\partial {\boldsymbol{x}}}}{\Bigr|_{{\boldsymbol{x}} = {{\boldsymbol{x}}^ - }}} $, 以$({{\boldsymbol{x}}^ - },{{\boldsymbol{\varPhi }}^ - })$为初值积分式(7)可获得碰撞发生后一时刻的$({{\boldsymbol{x}}^ + },{{\boldsymbol{\varPhi }}^ + })$
$$ \left. \begin{split} & {{\boldsymbol{x}}^ + } = {{\boldsymbol{F}}_2}({{\boldsymbol{x}}^ - }) \\ & {{\boldsymbol{\varPhi }}^ + } = {\boldsymbol{\varOmega }}{{\boldsymbol{\varPhi }}^ - } \end{split} \right\},\;\;\;{\text{if}}\;{\boldsymbol{x}} \in \varSigma $$ (7) 此时完成一次完整的Poincaré映射, 对应状态变量为$ {\boldsymbol{P}}({{\boldsymbol{x}}_0}) $, 则${{\boldsymbol{\varPhi }}^ + } = \partial {\boldsymbol{P}}({{\boldsymbol{x}}_0})/\partial {{\boldsymbol{x}}_0} = {\text{D}}{\boldsymbol{P}}({{\boldsymbol{x}}_0})$. 将$ {{\boldsymbol{x}}_0} $, $ {\boldsymbol{P}}({{\boldsymbol{x}}_0}) $及${\text{D}}{\boldsymbol{P}}({{\boldsymbol{x}}_0})$代入式(4), 若$|{\boldsymbol{P}}\left( {{{\boldsymbol{x}}_1}} \right) - {{\boldsymbol{x}}_1}|$ < $|{\boldsymbol{P}}\left( {{{\boldsymbol{x}}_0}} \right) - {{\boldsymbol{x}}_0}|$, 则将${{\boldsymbol{x}}_1}$赋给${{\boldsymbol{x}}_{\text{0}}}$后继续进行迭代, 否则令$\beta = \beta /2$(首次迭代时$\beta = 1$), 重新计算式(4), 直到满足该判断条件. 按照以上逻辑进行反复迭代, 直到误差${{\Delta }}{\boldsymbol{x}} = |{{\boldsymbol{x}}_1} - {{\boldsymbol{x}}_0}{\text{|}}$小于迭代精度为止. 此时的${{\boldsymbol{x}}_0}$为不动点, 对应的${\text{D}}{\boldsymbol{P}}({{\boldsymbol{x}}_0})$为离散状态的转移矩阵, 求解其特征值即可得到该周期解的Floquet乘子, 最后根据稳定性判据与分岔条件识别周期运动的稳定性与分岔类型.
3. 共存步态及其行走特性
3.1 共存步态及其吸引盆
在本文给定的系统参数下, 首先对机器人运动的初始条件进行估计[7], 然后代入PNF法中进行数值迭代. 当估计值${\boldsymbol{x}}$ = [0.29, −0.37, −0.29, −0.295]T时, 方程组$ {\boldsymbol{P}}{\text{(}}{\boldsymbol{x}}{{) - }}{\boldsymbol{x}} = {\boldsymbol{0}} $的解能够收敛到${{\boldsymbol{x}}^*}$ = [0.303959,−0.370892, −0.303959, −0.158152]T上. 令${{\boldsymbol{x}}^*}$作为初值, 利用吸引子追踪算法[31]获得了随斜面角度$\gamma $变化时的步态分岔图, 在图2中标记为A1. 为了寻找共存步态, 文献[26]受Feigenbaum常数启发, 提出了使用分岔点预测被动行走机器人共存步态的计算公式. 基于该公式, 本文研究了可能产生共存步态的参数区间, 利用胞映射和点映射算法探索到了与周期1步态共存的周期3, 4和5步态, 并通过吸引子追踪法绘制了这3个高周期步态的分岔曲线, 在图2中依次标记为A2, A3和A4. 如图所示, 随着共存步态周期数的增加, 分岔曲线存在的斜面范围越来越窄. 根据这一特点可以预见, 在A4的左侧可能存在更高周期的共存步态. 由于这些高周期步态存在的参数范围非常狭小, 无论是通过理论方法还是数值方法来探索它们都面临极大的困难.
为揭示共存步态的动力学特性, 图3展示了周期1 (P1)与周期3 (P3)步态, 以及周期1与周期4 (P4)步态共存时的吸引盆(BoA), 在这两种场景下, 斜面角度分别取为0.071 rad与0.0659 rad. 由于足地碰撞位置处两腿角度的绝对值相等, 因此状态空间被降维到三维空间. 考虑到相空间的高维性和机器人动力学方程的复杂性, 如何在合理的时间范围内完成对整个状态空间的搜索成为了数值计算的难点. 胞映射法作为计算吸引盆的方法之一, 其核心思想在于将连续的状态空间划分为许多离散的几何体(即“胞”), 并使用每个几何体的中心作为初值参与运算[32]. 相比于直接数值积分, 这种方法将状态的转移对应于胞的转移, 使得每个胞仅需映射一次, 极大地提高了运算效率. 因此, 本节将使用此算法对共存步态的吸引盆进行研究. 设置状态空间的取值范围${\theta _{{\text{st}}}} \times {\dot \theta _{{\text{st}}}} \times {\dot \theta _{{\text{sw}}}}$ = [0.22, 0.47] × [−0.52, −0.23] × [−0.8,0.8], 将此空间离散为200 × 200 × 100个胞, 仿真结果如图3(a)和图3(b)所示, 其中${\dot \theta _{{\text{st}}}}$和${\dot \theta _{{\text{sw}}}}$均为无量纲角速度, 因而未标注单位. 在图中, 白色区域映射到陷胞, 蓝色区域为P1步态的吸引盆, 而红色和黑色区域分别为P3与P4的吸引盆. 图3(a)和图3(b)中的几个二维切片分别显示在图3(c)和图3(d)中.
对周期胞个数进行定量统计. 定义周期i吸引盆的体积百分比 = (周期i的胞数)/(正规胞总数) × 100%, 具体结果如表2所示. 由表2可知, P4的吸引盆体积约为P3的1/14, 而对于A4中的P5吸引子, 使用图3中的胞尺寸划分状态空间甚至无法实现对它的搜索(此步态是在${\theta _{{\text{st}}}},{\dot \theta _{{\text{st}}}}$平面上使用高精度的点映射获得的), 这意味着此共存步态的吸引盆极小. 综合图3和表2可知, 随着共存步态周期数的增加, 吸引盆中相应的周期胞数量将显著减少(如表2中P3胞数为58015, 而P4胞数仅为4082). 由于周期胞代表机器人产生特定周期步态的初始条件, 因此上述趋势表明, 可收敛到高周期步态上的初始值越来越少, 这些步态的稳定性将急剧下降. 可以预见, 与P1共存的更高周期的步态, 它们的稳定性将更差. 此时, 即使机器人步态受到扰动, 也很难突变到共存的高周期上, 而是更有可能收敛到P1或直接摔倒. 因此, 在实际行走中, 我们主要关注A2和A3这些共存步态, 而其他共存的高周期步态则可以忽略. 这也表明, 对于更高周期共存步态的探索需要划分更小的参数区间和状态胞. 受限于数值精度和计算效率, 本文不再进行寻找.
表 2 胞数及吸引盆体积百分比Table 2. Number of cells and percentage of basin of attraction volumeγ/rad Gait Number of cells Percent by volume/% 0.071 P1 345816 8.6454 P3 58015 1.4504 divergence 3596169 89.9042 0.0659 P1 426646 10.6661 P4 4082 0.1021 divergence 3569272 89.2318 3.2 共存步态的行走特征
为了研究圆弧足被动行走机器人的步态特性, 定义其第$k$步的行走时间、步长及速度分别为$T,L和v$, 其中$T$为每步的总积分时间, $L$和$v$的计算式如下
$$ \left.\begin{split} & L = r({\theta ^ + }_{{\text{st}}(k - 1)} + {\theta ^ + }_{{\text{st}}(k)}) + 2\left( {l - r} \right)\sin {\theta ^ + }_{{\text{st}}(k)} \\ & v = L/T \end{split}\right\} $$ (8) 通过数值仿真, A1 ~ A4 4种步态的行走时间、步长和速度的分岔曲线如图4(a) ~ 图4(c)所示, 此时高周期共存步态的分岔曲线位于周期1分岔线的上、下两侧. 此外, 定义机器人周期运动的平均行走时间$\bar T$, 平均步长$\bar L$以及平均速度$\bar v$如下
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图 4 共存步态的$T,L和v$分岔图Figure 4. Bifurcation diagrams of $T,L,\;{\mathrm{and}}\;v$ for coexisting gaits$$ \left.\begin{split} & \bar T = \sum\limits_{i = 1}^n {{T_i}} /n \\ & \bar L = \sum\limits_{i = 1}^n {{L_i}} /n \\ & \bar v = \bar L/\bar T \end{split} \right\} $$ (9) 其中n为机器人的行走周期数, $i$为连续行走的步数, 对于混沌运动, 保留连续行走50步的数值用于计算平均值. A1 ~ A4 四种步态的平均行走时间、步长和速度的演化曲线如图5(a) ~ 图5(c)所示. 在共存区域, 高周期步态的平均行走时间及步长均小于A1, 但平均行走速度比A1更大.
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图 5 共存步态的$\bar T,\bar L和\bar v$对比Figure 5. Comparison of $\bar T,\bar L,\;{\mathrm{and}}\;\bar v$ of coexisting gaits观察各曲线随斜面角度增大时的变化情况, 使用符号“$ \uparrow $”与“$ \downarrow $”表示数值上升与下降, 结果如表3所示. 观察到, 这些步态的平均行走时间及步长的变化情况虽然不一致, 但是它们的平均行走速度都随着斜面角度的增加而增大, 说明$\bar L$的变化率始终大于$\bar T$; 从机器人受力的角度来看, 更陡的斜面使得机器人在沿$x$轴方向获得更大的重力分量, 这可能是导致机器人加速的原因. 综合本小节可知, 机器人步态的多重稳定性使得在相同的系统参数下可能出现行走差异极大的步态. 另一方面, 当机器人受到外界干扰时, 其步态可能发生突变从而转移到共存的其他周期轨道上. 因此, 深入了解这些步态的行走特征差异, 对于判断和解释步态的突变行为非常有利, 同时有助于更好地理解机器人行走的动力学机制.
表 3 步态特征变化趋势Table 3. Trends in walking characteristics of gaitsGait $\bar T$ $\bar L$ $\bar v$ A1 $ \uparrow $$ \downarrow $ $ \uparrow $ $ \uparrow $ A2 $ \downarrow $ $ \uparrow $ $ \uparrow $ A3 $ \downarrow $ $ \downarrow $$ \uparrow $ $ \uparrow $ A4 $ \downarrow $ $ \downarrow $$ \uparrow $ $ \uparrow $ 4. 步态演化分析
4.1 步态的产生与演化
在被动行走机器人的相空间中, 有许多与步态吸引子共存的不稳定轨道(UPO), 它们影响了稳定步态的产生、演化及消失. 应用第2节中改进的PNF算法计算了与A1步态共存的周期1不稳定轨道(P1-UPO), 如图6(a)中橙色箭头所示的两条浅绿色曲线. 其中一条位于稳定轨道的下方, 另一条则由稳定周期1轨道(P1-SPO)发生倍周期分岔后遗留下来. 另外, 使用PNF法可以同时获得这些轨道对应的雅可比矩阵, 它们的特征值即为Floquet乘子. 将P1轨道对应乘子的最大模量记为${\lambda _{\max }}$, 在图中以玫红色曲线标识, 其数值大小对应图中右侧坐标轴. 在图6(a)中可以明显观察到, ${\lambda _{\max }}$的数值在星号位置处两次超过1, 这表明P1轨道对应的乘子在复平面上两次穿过单位圆, 从而引发了两次分岔. 经验证, 这两次分岔属于不同的类型: 当$\gamma $增大到约为0.078 rad时, 乘子对应复平面的(−1, 0)位置, P1-SPO失稳, 经由倍周期分岔(PDB)产生周期2稳定步态. 当$\gamma $减小到约为0.002 rad时, P1-SPO与P1-UPO接触, 乘子对应复平面的(+1, 0)位置. 由此可知, 这两条轨道是通过极限环的折叠分岔(CFB)同时产生的.
放大图6(a)的橙色椭圆区域, 探索与步态A2共存的P3-UPO的演化情况, 如图6(b)所示, 此时玫红色曲线代表P3轨道对应乘子的最大模量. 观察到, P3轨道的乘子在星号位置处两次穿过单位圆, 发生两种不同类型的分岔: 当$\gamma $增大到约为0.0716 rad时, 乘子对应复平面的(−1, 0)位置, P3-SPO失稳, 经由PDB产生一个稳定周期6步态. 当$\gamma $减小到约为0.0705 rad时, P3-SPO与P3-UPO接触, 乘子对应复平面的(+1, 0)位置, 此时发生CFB. 对于A3, A4步态, 其分岔图及某一支的放大图分别如图7(a) ~ 图7(d)所示, 这里P4-UPO与P5-UPO的演化情况与图6(b)中P3-UPO的演化非常相似, 因而不再赘述.
综上所述, A1及其共存的高周期步态都来源于CFB产生的稳定周期轨道, 当斜面角度不断增大时, 这些周期轨道经由PDB失稳, 随后经过倍周期级联通向混沌. 虽然共存步态的周期性、稳定性以及行走特性等均有较大差异, 但是它们的步态演化规律没有发生改变.
4.2 双重边界激变
从图7(b)与图7(d)中观察到, 由CFB产生的UPO在随着斜面角度不断增大的演化过程中与混沌吸引子发生了碰撞, 随后吸引子突然消失. 而在图6中, P3-UPO似乎与A2, A1步态的混沌吸引子先后发生了两次碰撞. 为了验证, 将图6(a)的后半部分放大到图8(a)中, 此处的绿色粗实线, 细实线以及虚线分别为CFB产生的P1-UPO, P3-UPO与P4-UPO. 如图所示, P1-UPO与P4-UPO似乎在$\gamma $≈0.093 rad时也与A1的混沌吸引子产生了碰撞. 当在$(\gamma ,{\theta _{{\text{st}}}},{\dot \theta _{{\text{st}}}})$组成的三维空间上观察这一事件时, 如图8(b)所示, 可以清楚地看到只有P3-UPO在箭头所指位置真正碰撞了A1步态的吸引子, 而P1-UPO与P4-UPO则远离. 经验证, 对于当前获得的所有高周期不稳定轨道, 仅有与A2步态伴随产生的P3-UPO对不同步态的吸引子实现了两次碰撞, 其余仅发生一次. 而对于P1-UPO, 未观察到它与任何吸引子产生碰撞的情况.
在动力系统理论中, 这种混沌吸引子突变的全局分岔行为被称为激变(crisis) [33]. 它产生于不稳定周期轨道与混沌吸引子的碰撞, 根据碰撞点在吸引盆中的位置, 可进一步分为内部激变(IC)和边界激变(BC). 前者发生于盆内部, 引发混沌吸引子尺寸的突然扩大或者收缩; 后者产生于盆边界, 引发混沌吸引子的突然产生或消失[33-34]. 为了验证由P3-UPO引发的两次碰撞是否属于BC, 分别对斜面角度为0.0726 rad与0.093 rad时系统的吸引盆进行研究. 由图8(a)可知, 这两个角度为即将发生碰撞的参数点. 设置状态空间有效范围为${\theta _{{\text{st}}}} \times {\dot \theta _{{\text{st}}}} \times {\dot \theta _{{\text{sw}}}}$$ = [0.22,0.47] \times [ - 0.52, - 0.23] \times [ - 0.8,0.8]$, 将此空间离散为200 × 200 × 100份, 共计$ 4.0 \times {10^6} $个正规胞, 吸引盆如图9(a)和图9(b)所示. 空白区域映射到陷胞, 蓝色为A1步态吸引子的吸引盆, 红色为A2步态吸引子的吸引盆. 图9(c)和图9(d)分别为图9(a)和图9(b)中三维相空间的二维切面, 其中绿色圆点为P3-UPO, 黑色为混沌吸引子, 橙色箭头指向即将产生激变的位置.
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图 9 即将发生边界激变时系统的吸引盆Figure 9. The basin of attraction of the system in the case of an approaching boundary crisis图9 (a)与图9(c)显示, 当斜面角度为0.0726 rad时, A2的3带混沌与A1的P1吸引子(图9(c)中的黑色星号)共存, 此时3带混沌即将碰撞到红色吸引盆边界处的P3-UPO; 当斜面角度略微增大到0.0727 rad时, 3带混沌将湮灭, 机器人步态将在一段时间历程后收敛到P1, 如图10(a)所示, 图中两种不同颜色的曲线代表摆动腿与支撑腿的角度. 图9 (b)与图9(d)显示, 当斜面角度为0.093 rad时, 仅A1步态上的混沌吸引子存在, 此时吸引子即将到达蓝色盆地边界并与P3-UPO碰撞; 当斜面角度增大到0.0931 rad时, 混沌步态湮灭并发散, 机器人跌倒, 如图10(b)所示. 显而易见, P3-UPO引发了两次BC, 这种现象被称为双重边界激变[22]. 需要强调的是, 另外两种高周期步态A3与A4均由与之伴随产生的UPO引发的边界激变而湮灭, 不同的是这些轨道未对A1步态产生影响, 这一结论同样可由图8所证实, 这里不再赘述.
5. 结论
本研究基于圆弧足被动行走系统, 运用胞映射和点映射算法对系统的多种共存步态进行了全面搜索, 并对这些步态的吸引盆, 行走时间, 步长, 行走速度等进行了对比分析. 此外, 基于跳跃矩阵法改进了PNF算法, 对被动行走系统的不稳定轨道及其对应的Floquet乘子进行了求解. 同时, 结合时间响应图、吸引盆等数值工具讨论了共存步态的生成、演化以及消失机制.
(1)圆弧足被动行走机器人步态呈现多重稳定性, 在不同的参数区间下存在与P1步态共存的多种高周期步态, 且共存步态的周期数越高, 其吸引盆范围越小, 步态的稳定性越差.
(2)共存步态的周期数越高, 其对应的平均行走时间和平均行走步长越小, 但是具有更高的平均行走速度. 这些步态在随着斜面角度逐渐增大的演化过程中, 平均行走速度一直呈增加趋势.
(3)共存步态均产生于极限环的折叠分岔, 并经由倍周期级联路径演化至混沌, 而与之伴随产生的不稳定周期轨道则随着斜面角度的增加不断延伸, 并与混沌吸引子在盆边界上发生碰撞引发边界激变, 导致了共存步态吸引子的湮灭. 特别地, P3-UPO引发了两次边界激变, 这是导致机器人摔倒的重要动力学机理.
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图 4 共存步态的$T,L和v$分岔图
Figure 4. Bifurcation diagrams of $T,L,\;{\mathrm{and}}\;v$ for coexisting gaits
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图 5 共存步态的$\bar T,\bar L和\bar v$对比
Figure 5. Comparison of $\bar T,\bar L,\;{\mathrm{and}}\;\bar v$ of coexisting gaits
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图 9 即将发生边界激变时系统的吸引盆
Figure 9. The basin of attraction of the system in the case of an approaching boundary crisis
表 1 系统参数
Table 1 System parameters
Symbol Value Unit ${m_{\text{h}}}$ 2 ${\text{kg}}$ $m$ 1 ${\text{kg}}$ $a$ 0.5 ${\text{m}}$ $l$ 1 ${\text{m}}$ $r$ 0.1 ${\text{m}}$ $j$ 0.02 ${\text{kg}} \cdot {{\text{m}}^{\text{2}}}$ $\gamma $ 0.05 ${\text{rad}}$ 
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表 2 胞数及吸引盆体积百分比
Table 2 Number of cells and percentage of basin of attraction volume
γ/rad Gait Number of cells Percent by volume/% 0.071 P1 345816 8.6454 P3 58015 1.4504 divergence 3596169 89.9042 0.0659 P1 426646 10.6661 P4 4082 0.1021 divergence 3569272 89.2318
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表 3 步态特征变化趋势
Table 3 Trends in walking characteristics of gaits
Gait $\bar T$ $\bar L$ $\bar v$ A1 $ \uparrow $$ \downarrow $ $ \uparrow $ $ \uparrow $ A2 $ \downarrow $ $ \uparrow $ $ \uparrow $ A3 $ \downarrow $ $ \downarrow $$ \uparrow $ $ \uparrow $ A4 $ \downarrow $ $ \downarrow $$ \uparrow $ $ \uparrow $
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