VIBRATION ANALYSIS OF BEAM WITH COMPLEX CROSS-SECTION BASED ON ASYMPTOTIC ANALYSIS METHOD
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摘要: 梁结构在工程工业中发挥着重要的作用, 梁的自振问题能够体现其本征动力学特性, 是梁动力学分析中的基本问题. 经典梁理论的提出往往基于不同的假设, 文章采用渐近分析的方法, 以梁的截面尺寸与长度之比为特征参数, 严格地推导了三维梁结构的一维等效振动分析模型. 基于梁结构几何特征的参数的引入, 有助于确定梁结构应力场和位移场等物理量之间的真实量级关系. 渐近分析结果表明, 纯弯曲变形只是细长梁振动分析中的首阶项, 对于复杂截面梁结构仍然可以使用与欧拉梁模型复杂度相似的一维等效梁模型进行振动分析. 以精细三维有限元的计算结果为基准, 验证了所提出的一维等效梁模型用于振动分析的准确性和有效性. 一维等效梁模型可以在商业有限元软件中通过自定义截面等内嵌模块便捷地实现. 对比有限元软件中多种梁单元的计算结果发现, 在相似的模型复杂度下, 等效模型对细长梁自振频率的分析精度与稳定性显著优于在商业有限元软件中直接选择复杂梁截面使用梁单元计算的结果.Abstract: The beam structures play a very important role in the engineering industry. The free vibration problem of the beam structures reflects their basic dynamic characteristics, which is also a vital problem in the dynamics analysis. The classical theories of the beam structures are often based on different assumptions. The present paper uses the asymptotic analysis method to strictly derive a one-dimensional equivalent beam model for the vibration analysis of the three-dimensional beam structures with the ratio of the section size to its length as the characteristic parameter. The parameter which is based on the geometric characteristic of the beam structures, helps to determine the true order of the magnitude relationship between physical quantities of the beam structures, such as the stress field and the displacement field. The asymptotic analysis results show that the pure bending deformation is only the first order term in the vibration analysis process of the beam structures. For the slender beams with complex cross-sections, the one-dimensional equivalent beam model with similar complexity to the Euler beam model can still be used for the vibration analysis. Based on the results of the precise three-dimensional finite element method, the accuracy and effectiveness of the proposed one-dimensional equivalent beam model are verified when it is applied in the vibration analysis. The proposed one-dimensional equivalent beam model can be conveniently implemented in the commercial finite element software through the user-defined section and other embedded modules. Comparing the natural frequency calculated by various beam elements in the finite element software, it is found that with the similar computational complexity, the proposed equivalent beam model is significantly superior. The results of the slender beam structures calculated by the proposed method are more accurate and stable than that calculated by selecting the complex cross-sections and using the beam elements directly in the commercial finite element software in the vibration analysis.
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Keywords:
- asymptotic analysis method /
- complex cross-section /
- Euler beam /
- free vibration
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引 言
梁结构在工程工业中被广泛用作受力杆件, 例如, 航空航天工程中直升机和旋翼飞机的复合材料旋翼, 交通运输领域中的桥梁, 机械工程领域中的燃气轮机、转子叶片和机械臂等[1-3]. 经典的梁理论至今已有200多年的历史, 从欧拉梁理论, 铁摩辛科梁理论发展到高阶的剪切变形梁理论等[4-5]. 在有关梁结构的研究中, 一个比较基本的问题是动力学分析中的自由振动问题, 梁的自由振动体现其本征动力学特性[6]. 近年来学者们关于梁结构的振动分析问题获得了很多研究成果, 包括对变曲率均质梁[7]和功能梯度梁[8]的振动特性的研究, 提出计算变截面梁横向振动特性的半解析法[9], 使用非局部理论中的近场动力学方法[6]和重采样微分求积法[10]对梁进行自由振动分析等等.
有限元方法[11]是对梁振动特性开展研究的主要方法之一. 但是在对梁结构进行有限元分析时, 就像厚度会对板和壳的几何造成限制一样, 梁相对较小的横截面尺寸也可能会对梁模型造成限制. 尤其是在处理几何结构(小厚度)或力学性能(存在“软”或“硬”层)上具有强烈对比的层状薄结构时, 由于几何结构和力学性能的差异和复杂的有限元离散化过程, 三维模态分析变得更加复杂, 分析结果可能会出现数值不稳定性. 所以对梁、板和壳, 推导和使用简化模型是非常重要且有意义的[12-13]. 梁的经典模型往往通过位移场或应力场的先验假设得出, 将这些先验假设在三维模型的平衡方程和本构方程中替换, 产生有用的简化模型. 经过后验分析, 我们发现传统梁模型处理非对称的复杂截面梁力学问题时, 仍有待改进之处. 本文中的算例显示, 使用Abaqus或ANSYS平台中的梁单元分析非规则截面梁, 如“L”形截面梁的自振频率时, 在某些情况下会与使用三维精细有限元模型的计算结果有较大的误差. 因此发展适用于一般截面形状的梁模型仍具有实际意义. 较之基于假设推导的理论, 渐近分析法是一种更严格的数学方法, 其在弹性数学理论的框架内通过保证均匀化模型与原三维细观模型在关键物理量的不变性进行推导, 为现有模型的获取和校正做出了很多工作[13-15], 已广泛应用于梁[16-17]、板[18-19]、壳[20-21]等模型的数学推导中. 渐近分析方法在梁结构的应用中已经取得了很多杰出的工作成果. 学者们基于渐近分析法刻画梁的位移场和应力场[1,15,22], 讨论梁模型的边界问题[23-26], 考虑周期变化梁的渐近行为[16,27], 推导高阶梁模型[16-17,28], 分析几何非线性和材料非线性梁问题[17,29-30], 对梁边界层的力学行为进行预测[31]等等.
在线弹性理论的框架下, 将渐近分析方法用于梁结构的振动分析已证明是成功的技术. Serpilli等[13]使用渐近展开法研究了层合梁的线性动力学问题, 通过区分3种固有频率来表征梁模型. Guo等[32]将一般渐近过程应用于具有三次非线性的梁−梁耦合系统, 明确地构造了各种局域/全局/混合非线性法向模态. Cao等[33]应用渐近摄动方法, 对不同边界条件下非均匀梁和非均质梁自由振动进行分析研究, 得到其自由振动分析的简单解析表达式. 本文的工作, 从梁的三维模型出发, 基于梁截面尺寸远小于长度的结构特性, 得到与欧拉梁模型复杂度相当的一维等效梁模型, 并给出其在固定边界下的求解方法. 将所提方法的计算结果与有限元软件中的计算结果对比, 验证了所推导模型对匀质复杂截面细长梁进行自由振动分析时结果的准确性. 从工程应用的角度看, 本文所提出的等效模型可以在Abaqus中选择Generalized模块使用梁单元计算实现, 对于复杂截面细长梁, 其得到的自振频率值与使用三维实体单元计算得到的自振频率值保持良好的一致. 本文的工作可以为复杂截面细长梁的振动分析提供一种计算模型, 同时为有限元模拟细长梁振动分析时梁截面和梁单元的选择和完善提供参考, 有利于更好地了解复杂截面梁的振动特点.
1. 复杂截面梁力学行为之渐近分析
本节从梁构型弹性行为的完整三维模型开始. 不同于传统理论中直接引入假定, 这里利用梁的截面尺寸相对于其长度尺寸为小参数的特征, 通过严格的摄动分析和数学推导以明晰物理量之间的相互关系. 通过对梁结构平衡方程和本构方程重新构造, 和渐近均匀化处理, 最终推导出三维梁构型的空间一维等效梁模型, 并与欧拉梁模型进行对比讨论.
1.1 三维模型
图1是细长梁的一般示意图. 图中梁的长度为L. 这里考虑均匀截面梁, 即梁的截面恒为二维区域D. 选取梁的中轴线方向为x轴方向, 于是有$(y,z) \in D$(这里梁截面D可以为任何形状). 从根本上讲, 梁构型应该作为三维物体进行分析. 故梁内任何一点, 应力分量都满足动量守恒方程
$$ \frac{{\partial {\tau _{xx}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {\tau _{xy}}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {\tau _{xz}}}}{{\partial z}} + {f_x} = \rho \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} \tag{1a}$$ $$ \frac{{\partial {\tau _{xy}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {\tau _{yy}}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {\tau _{yz}}}}{{\partial z}} + {f_y} = \rho \frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {t^2}}} \tag{1b}$$ $$ \frac{{\partial {\tau _{xz}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {\tau _{yz}}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {\tau _{zz}}}}{{\partial z}} + {f_z} = \rho \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {t^2}}} \tag{1c}$$ 式中, (u, v, w)为三维空间内的位移场, t是时间, ${\tau _{xx}}$等是应力分量, ${f_x},{f_y},{f_z}$是体力. 当不考虑时间项t时, 式(1)退化为平衡方程.
如果假设图1所示细长梁由各向同性的线弹性材料组成, 则梁中每一点均满足各向同性与线弹性的应力应变本构关系, 即
$$ {\tau _{xx}} = \frac{{Ev}}{{(1 + v)(1 - 2v)}}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}} + \frac{{\partial w}}{{\partial z}}} \right) + \frac{E}{{1 + v}}\frac{{\partial u}}{{\partial x}} \tag{2a}$$ $$ {\tau _{yy}} = \frac{{Ev}}{{(1 + v)(1 - 2v)}}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}} + \frac{{\partial w}}{{\partial z}}} \right) + \frac{E}{{1 + v}}\frac{{\partial v}}{{\partial y}} \tag{2b}$$ $$ {\tau _{zz}} = \frac{{Ev}}{{(1 + v)(1 - 2v)}}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}} + \frac{{\partial w}}{{\partial z}}} \right) + \frac{E}{{1 + v}}\frac{{\partial w}}{{\partial z}} \tag{2c}$$ $$ {\tau _{xy}} = \frac{E}{{2(1 + v)}}\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right) \tag{2d}$$ $$ {\tau _{xz}} = \frac{E}{{2(1 + v)}}\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial z}}} \right) \tag{2e}$$ $$ {\tau _{yz}} = \frac{E}{{2(1 + v)}}\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial y}} + \frac{{\partial v}}{{\partial z}}} \right) \tag{2f}$$ 式中, E, v分别是弹性模量和泊松比.
图1中的细长梁, 侧边界$\partial D$上的单位外法向量始终平行于(y, z)平面, 故梁的侧面法向量可表示为${{\boldsymbol{n}}} = {(0,{n_y},{n_z})^{\mathrm{T}}}$. 当梁的侧边界上没有外力施加时, 边界条件为
$$ {n_y}{\tau _{xy}} + {n_z}{\tau _{xz}} = {n_y}{\tau _{yy}} + {n_z}{\tau _{yz}} = {n_y}{\tau _{yz}} + {n_z}{\tau _{zz}} = 0,{\text{ }}{\mathrm{on}}{\text{ }}\partial D{\text{ }} $$ (3) 细长梁的一个基本特征是其截面尺寸h ($h = \sqrt {{S_D}} $,${S_D}$是梁的截面面积)远小于梁的长度L. 据此引入一个小参数$\varepsilon $
$$ \varepsilon {\text{ = }}\frac{h}{L} $$ (4) 受上述梁尺度特征的影响, 如果直接使用三维模型分析梁的受力情况, 有限元模型中网格总量将变得很多, 计算效率降低. 为此, 本文将使用渐近分析方法推导与三维梁模型相容的一维等效梁模型.
1.2 渐近分析之预备
1.2.1 无量纲化与分量各级关系的确定
为了更好地确定所涉及物理量之间真实的量级关系, 对梁系统进行无量纲化. 在本文中, 以上标“ ' ”与对应含量纲变量进行关联, 代表其无量纲形式. 无量纲化的一个间接目标是使无量纲量均在量阶“1”处取值, 数学上用$ \mathcal{O}\left(1\right) $表示. 首先引入无量纲化的空间坐标[34]
$$ x'{\text{ = }}\frac{x}{L},{\text{ }}y'{\text{ = }}\frac{y}{{L\varepsilon }},{\text{ }}z' = \frac{z}{{L\varepsilon }} $$ (5) 式中轴向坐标x的无量纲系数L与面内坐标(y, z)的无量纲系数不同. 使用式(5)中的无量纲化方法, 对空间坐标求导时会在无量纲空间引入量阶差, 即$\dfrac{\partial }{{\partial x}} = \dfrac{\partial }{{L\partial x'}},\dfrac{\partial }{{\partial y}} = \dfrac{\partial }{{L\varepsilon \partial y'}},$$\dfrac{\partial }{{\partial z}} = \dfrac{\partial }{{L\varepsilon \partial z'}}$. 因此, 在无量纲空间进行分析时, 相关无量纲化变量的值都在$ \mathcal{O}\left(1\right) $大小, 而真实物理量之间的量阶对比是通过上述求导方法引入的. 这也表明, 其他物理量的无量纲化过程还需要配合相关方程进行.
由本构方程式(2d)和式(2e)知, $\dfrac{{\partial v}}{{\partial x}}$和$\dfrac{{\partial u}}{{\partial y}}$应在同一量级, $\dfrac{{\partial w}}{{\partial x}}$和$\dfrac{{\partial u}}{{\partial z}}$也应在同一量级. 若要保持上述量级关系, 则位移场u要比位移场v, w小一个量级
$$ u{\text{ = }}\varepsilon Wu',{\text{ }}v{\text{ = }}Wv',{\text{ }}w{\text{ = }}Ww' $$ (6) 式中, W是(y, z)面内的代表性变形, 其值反映梁的实际弯曲变形程度. 所以在梁的构型中, 位移分量之间也存在天然的量阶差异, 这和经典梁理论的内容相符. 在未来的工作中, 也将证明W的取值不影响问题求解.
将无量纲位移场$(u',v',w')$和无量纲坐标$(x',y',z')$引入平衡方程, 可知${\tau _{xx}}$会比${\tau _{xy}}$,${\tau _{xz}}$大一个数量级, 比${\tau _{yy}}$,${\tau _{yz}}$,${\tau _{zz}}$大两个数量级, 这与经典梁理论的结论相符. 所以应力场的无量纲化形式为
$$ {\tau _{xx}} = {\tau _*}{\tau '_{xx}} \tag{7a}$$ $$ \left( {{\tau _{xy}},{\tau _{xz}}} \right) = \varepsilon {\tau _*}\left( {{{\tau '_{xy}}},{{\tau '_{xz}}}} \right) \tag{7b}$$ $$ \left( {{\tau _{yy}},{\tau _{yz}},{\tau _{zz}}} \right) = {\varepsilon ^2}{\tau _*}\left( {{{\tau '_{yy}}},{{\tau '_{yz}}},{{\tau '_{zz}}}} \right) \tag{7c}$$ $$ {\tau _*} = \frac{{\varepsilon EW}}{L} \tag{7d}$$ 其中, ${\tau _*}$为代表性应力分量, 由弹性模量E、代表性变形W、长度L和参数$\varepsilon $定义.
对时间t的无量纲化仍有多种选择, 对于本文所研究的梁问题, 时间$ t $无量纲形式为
$$ t = \left( {\frac{L}{\varepsilon }\sqrt {\frac{\rho }{E}} } \right)t' $$ (8) 1.2.2 渐近分析
将1.2.1节中无量纲量和无量纲关系代入动量守恒方程式(1)和本构方程式(2), 得
$$ \frac{{\partial {{\tau '_{xx}}}}}{{\partial x'}} + \frac{{\partial {{\tau '_{xy}}}}}{{\partial y'}} + \frac{{\partial {{\tau '_{xz}}}}}{{\partial z'}} = {\varepsilon ^2}\frac{{{\partial ^2}u'}}{{\partial {{t'}^2}}}\tag{9a} $$ $$ \frac{{\partial {{\tau '_{xy}}}}}{{\partial x'}} + \frac{{\partial {{\tau '_{yy}}}}}{{\partial y'}} + \frac{{\partial {{\tau '_{yz}}}}}{{\partial z'}} = \frac{{{\partial ^2}v'}}{{\partial {{t'}^2}}} \tag{9b}$$ $$ \frac{{\partial {{\tau '_{xz}}}}}{{\partial x'}} + \frac{{\partial {{\tau '_{yz}}}}}{{\partial y'}} + \frac{{\partial {{\tau '_{zz}}}}}{{\partial z'}} - G' = \frac{{{\partial ^2}w'}}{{\partial {{t'}^2}}} \tag{9c}$$ 式中, $G' = \dfrac{{\rho {L^2}g}}{{{\varepsilon ^2}WE}} = \dfrac{{\rho {h^2}g}}{{{\varepsilon ^4}WE}}$是常数, 对应于无量纲化的重力, g是重力加速度.
$$ {\varepsilon ^2}{\tau '_{xx}} = \frac{{{\varepsilon ^2}(1 - v){{u'_{x'}}} + v{{v'_{y'}}} + v{{w'_{z'}}}}}{{(1 + v)(1 - 2v)}}\tag{10a} $$ $$ {\varepsilon ^4}{\tau '_{yy}} = \frac{{{\varepsilon ^2}v{{u'_{x'}}} + (1 - v){{v'_{y'}}} + v{{w'_{z'}}}}}{{(1 + v)(1 - 2v)}} \tag{10b}$$ $$ {\varepsilon ^4}{\tau '_{zz}} = \frac{{{\varepsilon ^2}v{{u'_{x'}}} + v{{v'_{y'}}} + (1 - v){{w'_{z'}}}}}{{(1 + v)(1 - 2v)}} \tag{10c}$$ $$ {\varepsilon ^2}{\tau '_{xy}} = \frac{{{{u'_{y'}}} + {{v'_{x'}}}}}{{2(1 + v)}} \tag{10d}$$ $$ {\varepsilon ^2}{\tau '_{xz}} = \frac{{{{u'_{z'}}} + {{w'_{x'}}}}}{{2(1 + v)}}\tag{10e} $$ $$ {\varepsilon ^4}{\tau '_{yz}} = \frac{{{{v'_{z'}}} + {{w'_{y'}}}}}{{2(1 + v)}} \tag{10f}$$ 注意到式(9)与式(10)中每一个独立变量都可以关于小参数${\varepsilon ^2}$作渐近展开. 以$u'$为例
$$ u' \sim {u'^{(0)}} + {\varepsilon ^2}{u'^{(1)}} + . .. $$ (11) 当只考虑位移场的首阶项时, 由式(10b)、式 (10c)和式(10f), 发现横向位移${v'^{(0)}},{w'^{(0)}}$的部分偏导数值是零. 所以在$ \mathcal{O}\left(\varepsilon \right) $这一精度下无量纲位移分量$v',w'$满足
$$ {v'^{(0)}}(x',z',t') = {v^*}(x',t') - z'\theta (x',t') \tag{12a}$$ $$ {w'^{(0)}}(x',y',t') = {w^*}(x',t') + y'\theta (x',t') \tag{12b}$$ 式中, ${v^*}$和${w^*}$是沿着y轴和z轴方向的位移, $\theta $ 是梁的横截面关于x轴的转动. ${v'^{(0)}}和{\text{ }}{w'^{(0)}}$分别关于$z'$和$y'$线性变化, 和经典梁理论中的假设保持一致. 值得注意的是, 虽然无量纲位移分量$v',w'$首阶项分别与$y',z'$无关, 但在高阶项(${\varepsilon ^2}$)时, 它们将分别与$y',z'$相关, 这也确认了传统梁模型的假设只在渐近意义才下满足. 同时, 如果要求对y轴和z轴方向位移场的逼近精度不超过$\varepsilon $精度, 则线性假设足够合理.
由式(10d)和式(10e)知梁位移场首阶项的偏导数和是0, 联立式(12)和全微分条件, 发现梁的横截面关于x轴的转动$\theta $ 沿着x轴不变, 其值是一个常数, 轴向位移场的首阶项${u'^{(0)}}$可写作
$$ {u'^{(0)}}(x',y',z',t') = {u^*}(x',t') - y'\frac{{\partial {v^*}}}{{\partial x'}} - z'\frac{{\partial {w^*}}}{{\partial x'}} $$ (13) 式中, ${u'^{(0)}}$由3项组成, 包括与轴向坐标$x'$相关的平移项${u^*}$, 由$y',{\text{ }}z'$两个方向位移造成的影响项$y'\dfrac{{\partial {v^*}}}{{\partial x'}}$和$z'\dfrac{{\partial {w^*}}}{{\partial x'}}$.
然后, 将位移场考虑到高阶项${\varepsilon ^2}$, 无量纲化的本构方程式(10a) ~ 式(10c)更新为
$$ {\tau '^{(0)}_{xx}} = \frac{{(1 - v){{u'}^{(0)}_{x'}} + v{{v'}^{(1)}_{y'}} + v{{w'}^{(1)}_{z'}}}}{{(1 + v)(1 - 2v)}} \tag{14a}$$ $$ {\varepsilon ^2}{\tau '^{(0)}_{yy}} = \frac{{v{{u'}^{(0)}_{x'}} + (1 - v){{v'}^{(1)}_{y'}} + v{{w'}^{(1)}_{z'}}}}{{(1 + v)(1 - 2v)}} = 0 \tag{14b}$$ $$ {\varepsilon ^2}{\tau '^{(0)}_{yy}} = \frac{{v{{u'}^{(0)}_{x'}} + v{{v'}^{(1)}_{y'}} + (1 - v){{w'}^{(1)}_{z'}}}}{{(1 + v)(1 - 2v)}} = 0 \tag{14c}$$ 利用式(14b)和式(14c)从式(14a)中消去${v'_{y'}}^{(1)}$和${w'_{z'}}^{(1)}$得到轴向应力的表达式
$$ {\tau '^{(0)}_{xx}} = \frac{{\partial {{u'}^{(0)}}}}{{\partial x'}} = \frac{{\partial {u^*}}}{{\partial x'}} - y'\frac{{{\partial ^2}{v^*}}}{{\partial {{x'}^2}}} - z'\frac{{{\partial ^2}{w^*}}}{{\partial {{x'}^2}}} $$ (15) 式中${\tau '^{(0)}}_{xx}$由$(u',v',w')$共同决定, 与${u^*}$的一阶偏导数, ${v^*}$和${w^*}$的二阶偏导数成线性关系.
1.3 针对梁构型的渐近均匀化
本节基于1.1节中关于梁截面的假设, 以物理量关于梁截面的积分引入均匀化的物理量. 以梁截面的形心为原点定义积分式
$$ \iint_{D'} {{{{\mathrm{d}}y'{\mathrm{d}}z' = 1}}},\;\iint_{D'} {y'{{{\mathrm{d}}y'{\mathrm{d}}z' = 0}}},\;\iint_{D'} {z'{{{\mathrm{d}}y'{\mathrm{d}}z' = 0}}} $$ (16) 带上标$ "-" $的物理量表示对应物理量关于截面$D'$的平均, 依据下式定义轴力、剪力、扭矩和弯矩
$$ \bar f = \iint_{D'} f{{{\mathrm{d}}y'{\mathrm{d}}z'}} \tag{17a}$$ $$ T' = \overline {{{\tau '_{xx}}}}, \quad {N'_y} = \overline {{{\tau '_{xy}}}}, \quad {N'_{\text{z}}} = \overline {{{\tau '_{xz}}}} \tag{17b}$$ $$ {M'_x} = \overline {y'{{\tau '_{xz}}} - z'{{\tau '_{xy}}}}, \quad {M'_y} = \overline {z'{{\tau '_{xx}}}} ,\quad {M'_z} = - \overline {y'{{\tau '_{xx}}}} \tag{17c}$$ 将无量纲化的动量守恒方程式(9)关于截面$D'$积分, 运用散度定理和边界条件, 得
$$\qquad\qquad \frac{{\partial T'}}{{\partial x'}} = {\varepsilon ^2}\frac{{{\partial ^2} {\overline {u'}} }}{{\partial {{t'}^2}}}\tag{18a} $$ $$\qquad\qquad \frac{{\partial {{N'_y}}}}{{\partial x'}} = \frac{{{\partial ^2} {\overline{v'}} }}{{\partial {{t'}^2}}} \tag{18b}$$ $$\qquad\qquad \frac{{\partial {{N'_z}}}}{{\partial x'}} - G' = \frac{{{\partial ^2} {\overline{w'}} }}{{\partial {{t'}^2}}} \tag{18c}$$ 再联立式(9a)与弯矩${M'_y}$,${M'_z}$的定义式, 得
$$\qquad\qquad - \frac{{\partial {{M'_z}}}}{{\partial x'}} - {N'_y} = {\varepsilon ^2}\frac{{{\partial ^2}(\overline {y'u'} )}}{{\partial {{t'}^2}}} \tag{19a}$$ $$\qquad\qquad \frac{{\partial {{M'_y}}}}{{\partial x'}} - {N'_z} = {\varepsilon ^2}\frac{{{\partial ^2}(\overline {z'u'} )}}{{\partial {{t'}^2}}} \tag{19b}$$ 联立式(18)和式(19), 忽略高阶项. 知沿着梁的轴向轴力是均匀的. 并得到梁的弯曲控制方程
$$\qquad\qquad - \frac{{{\partial ^2}{{M'_z}}}}{{\partial {{x'}^2}}} = \frac{{{\partial ^2} {\overline {v'}} }}{{\partial {{t'}^2}}} \tag{20a}$$ $$\qquad\qquad \frac{{{\partial ^2}{{M'_y}}}}{{\partial {{x'}^2}}} - G' = \frac{{{\partial ^2} {\overline {w'}} }}{{\partial {{t'}^2}}} \tag{20b}$$ 再将${\tau '^{(0)}}_{xx}$代入无量纲弯矩的表示式并联立式(20), 可将梁的横向弯曲控制方程更新为
$$ \frac{{{\partial ^2}{v^*}}}{{\partial {{t'}^2}}} = - {I'_{y'y'}}\frac{{{\partial ^4}{v^*}}}{{\partial {{x'}^4}}} - {I'_{y'z'}}\frac{{{\partial ^4}{w^*}}}{{\partial {{x'}^4}}} \tag{21a}$$ $$ \frac{{{\partial ^2}{w^*}}}{{\partial {{t'}^2}}} = - {I'_{y'z'}}\frac{{{\partial ^4}{v^*}}}{{\partial {{x'}^4}}} - {I'_{z'z'}}\frac{{{\partial ^4}{w^*}}}{{\partial {{x'}^4}}} - G' \tag{21b}$$ 式中, $ {{I'_{{y'}{y'}}}} $, $ {{I'_{{z'}{z'}}}} $, $ {{I'_{{y'}{z'}}}} $分别是惯性矩和惯性积, 其定义为
$$ {\boldsymbol{I}}' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{I'_{y'y'}}}}&{{{I'_{y'z'}}}} \\ {{{I'_{y'z'}}}}&{{{I'_{z'z'}}}} \end{array}} \right) = \iint_{D'} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{y'}^2}}&{y'z'} \\ {y'z'}&{{{z'}^2}} \end{array}} \right){\text{ }}}{{{\mathrm{d}}y'{\mathrm{d}}z'}} $$ (22) 在对梁构型渐近均匀化过程中, 基于式(16), 利用了梁几何结构的对称性. 后续工作将考虑非匀质截面梁问题, 考虑材料参数的不对称性, 这将使积分关系发生变化, 可能产生新的等效模型.
1.4 与梁模型对比与初步讨论
等截面、等密度和弹性模量为E的欧拉梁弯曲振动微分方程可表示为
$$\qquad\qquad m\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {t^2}}} = - E{I_{yy}}\frac{{{\partial ^4}v}}{{\partial {x^4}}}\tag{23a} $$ $$\qquad\qquad m\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {t^2}}} = - E{I_{zz}}\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {x^4}}} - p(x,t) \tag{23b}$$ 式中, $m = \rho D$是单位长度梁的质量, $p(x,t)$是沿着z轴方向的横向载荷.
将式(21)和式(23)对比. 首先, 欧拉梁模型沿着y, z两个方向的振动完全分离, 没有考虑两个方向振动的相互影响, 对应到方程中, 即不包含式(21)中的惯性积项${I_{yz}}$. 当截面形心主惯性轴与坐标轴重合时, 梁截面的惯性积为0, 式(21)和式(23)是一致的. 同时也表明纯弯曲变形是梁振动分析中的首阶项, 更高阶变形可根据本文内容进行展开获得. 但是当截面的形心主惯性轴与坐标轴不重合时, 如果梁截面的惯性矩仍然对坐标轴而不是形心主惯性轴求得, 式(21)和式(23)将不再等效, 惯性积项的影响将是一个值得关注的问题.
1.5 梁的固有频率求解
如果梁截面中定义的一组正交坐标轴是主惯性轴, 使惯性积${I_{yz}}$为0. 那么梁的振动控制方程式(23)将退化为欧拉梁振动控制方程的无量纲形式, 如果梁截面相对于正交坐标轴的惯性积${I_{yz}}$不是0, 可以对坐标轴旋转变化寻找主惯性轴, 使${I_{yz}}$值为0.
基于以上内容, 按照分离变量法求解梁的弯曲振动控制方程, 两端固定边界条件下细长梁的自由振动频率求解[35]如下
$$ kL = 4.730,7.853,\frac{(2j + 1)\text{π} }{2}\left(j=3,4,5,\cdots \right) $$ (24) $$w = {k^2}\sqrt {\frac{{EI}}{{\overline m }}} $$ (25) $$ w = 2\text{π} f $$ (26) 式中, $ k $是分离变量法引入的特征根, $ L $是梁的长度, $ j $是频率的阶数. $ \overline {m} $是单位截面质量, $ w $是梁的振动角频率, f是振动频率.
2. 数值算例与分析
本节选择两端固定边界下, 不同形状横截面细长梁算例, 依据1.5节中的求解方法对推导的一维等效梁模型进行数值求解, 并通过有限元软件Abaqus(2023)进行仿真计算(为了方便, 后文软件的名称直接写为Abaqus), 进而对细长梁的低阶振动频率计算结果进行分析与讨论.
2.1 有限元模型介绍
匀质截面梁结构的有限元仿真分析过程, 既可以建立梁的三维模型仿真分析; 也可以将梁简化为一维模型使用梁单元进行仿真分析. 当在Abaqus中使用梁单元仿真分析时, 只需要对梁轴向划分网格, 网格数量将显著少于三维模型网格数量.
本文算例中材料的弹性模量为200 GPa, 泊松比为0.3, 密度为1000 kg/m3. 几何参数以mm为单位, 梁轴向长度2000, 有限元模型轴向网格尺寸统一为20. 三维有限元模型采用8节点六面体线性缩减积分单元(C3D8R)划分网格, 由于梁截面尺寸和对称性的差异, 不同的梁截面划分不同尺寸的网格. Abaqus中梁单元根据单元位移场插值方式的不同分为3种: 线性梁单元(B31)、二次梁单元(B32)和三次梁单元(B33). 前两种梁单元基于Timoshenko梁理论, 第3种梁单元基于欧拉梁理论. 本文中有限元模型按照Lanczos方法求解自由振动频率, 计算结果关于网格密度均收敛, 为了节省篇幅, 不再对梁截面网格尺寸进行陈述.
2.2 简单截面梁算例
首先选择图2(a)中w = 5时的梯形截面建立细长梁, 分别使用三次梁单元和三维实体单元进行仿真分析. 计算结果整理于表1. 由表1知, w = 5时梯形截面细长梁使用三次梁单元得到的自振频率、所提出方法得到的自振频率都能够和使用三维实体单元得到的自振频率保持一致.
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图 2 不同方法与三维实体单元计算结果的误差曲线Figure 2. The curve of the relative error value between 3D solid element and other methods表 1 梯形截面细长梁的自振频率值 (Hz)Table 1. The natural frequency value of the slender beam with trapozoidal cross-section (Hz)The order of the frequency 3D solid element Proposed method Cubic beam element with
trapezoidal cross-sectionCubic beam element with
generalized cross-section1 35.542 35.662 35.663 35.663 2 57.351 57.461 57.462 57.462 3 97.973 98.301 98.307 98.306 4 158.04 158.39 158.40 158.40 5 192.07 192.72 192.72 192.72 6 309.69 310.52 310.52 310.52 因为Abaqus梁的截面库中提供的是对称梯形截面, 而不对称梯形截面可以通过截面库中的Generalized选项(用户自定义截面)输入面积、惯性矩、惯性积等信息生成等效截面. 接下来将梯形截面的尺寸参数w由5变更为7, 9, 11, 13和15, 其他尺寸参数保持不变, 形成不对称梯形截面. 讨论在Abaqus中选择截面库内的对称梯形截面和自定义截面使用梁单元分别模拟不对称梯形截面细长梁自振频率时的准确性. 相对误差结果整理于图2和表2.
表 2 使用三维实体单元和使用自定义截面的三次梁单元前6阶自振频率结果间的相对误差值 (%)Table 2. The relative error value of the first 6 natural frequency value between 3D solid element and the cubic beam element with generalized cross-sections (%)w 1 2 3 4 5 6 5 0.340 0.194 0.340 0.228 0.338 0.268 7 0.273 −1.243 0.272 0.495 0.269 0.541 9 0.235 0.443 0.226 0.473 0.218 0.207 11 0.182 0.976 0.171 0.439 0.148 0.131 13 0.176 0.342 0.162 0.133 0.355 0.113 15 0.152 0.328 0.128 0.083 0.371 0.046 图2(a)中的误差曲线显示, 随着w值的增加, 如果仍然在Abaqus梁截面库中选择梯形截面使用三次梁单元进行分析计算, 得到的各阶自由振动频率与三维实体单元计算结果间的误差整体呈增大趋势, 相对误差值最大已经超过20%, 并且此时使用三次梁单元得到的各阶自振频率值非常不稳定. 当w由5变为11时(误差结果对应图2(a)中绿色的曲线), 使用梯形截面的三次梁单元计算结果中前6阶振动频率的相对误差在10%左右, 此时使用梯形截面通过三次梁单元得到的自振频率值不再可靠.
图2(b)中误差曲线显示, 当w = 13时第5阶自振频率和w = 7时第2阶自振频率的相对误差值呈现出波动, 但相对误差的绝对值整体不超过2.5%. 所以对于不对称梯形截面细长梁, 所提方法得到的结果与使用三维实体单元得到的结果能够保持稳定的一致. 表2中的相对误差值显示, 在Abaqus中选择Generalized选项使用三次梁单元计算不对称梯形截面细长梁的自振频率值非常准确, 相对误差绝对值在1.5%以内. 因为误差值多为正值, 所以使用三维实体单元的计算结果整体偏小一些.
因为梯形截面按图1定义的坐标轴不是形心主惯性轴, 依照1.5节中提出的方法计算时, 需要计算形心主惯性矩. 使用自定义截面时, 输入的惯性矩和惯性积由截面相对于过形心的一组正交轴得到. 计算不对称梯形截面细长梁自振频率值时, 使用自定义截面选择梁单元计算和本文所提方法计算都需要同样的惯性矩和惯性积等信息, 且两种方法得到的结果非常接近, 所以本文推导的空间一维等效梁模型和求解方法是对Abaqus中使用自定义截面通过梁单元进行计算的一种理论验证.
2.3 复杂截面梁算例
由2.2节中的内容发现本文推导的一维梁模型和求解方法是对Abaqus使用自定义截面通过梁单元计算的一种理论验证, 且本节所有的算例中, 使用所提方法和使用自定义截面通过三次梁单元计算的结果非常接近, 再次验证了上述结论, 故本节不再展示和讨论使用自定义截面通过三次梁单元计算结果与三维实体单元计算结果的误差.
2.3.1 L形截面细长梁
本小节选择图3中的L形截面建造细长梁进行分析讨论, 通过调整${t_1}$和${t_2}$的值改变算例中L形截面的形状. 首先选择${t_1} = 1$, ${t_2} = 2$和${t_1} = 8$, ${t_2} = 12$两组参数分别建立细长梁模型. 依据所提方法计算, 在Abaqus中分别选择L形截面使用梁单元仿真计算; 选择自定义截面使用三次梁单元仿真计算; 建立三维模型仿真计算, 以Abaqus中三维模型的计算结果作为基准. 结果整理于表3和表4.
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图 3 不同方法结果与三维实体单元结果的误差曲线Figure 3. The curve of the relative error value between 3D solid element and other methods表 3 第1个L形截面细长梁的自振频率值 (Hz)Table 3. The natural frequency value of the slender beam with the first L-shaped cross-section (Hz)Parameter The order of the frequency 3D solid element Proposed method Cubic beam element with
L-shaped cross-sectionLinear beam element with
L-shaped cross-section$\begin{gathered} {t_1} = 1, \\ {t_2} = 1 \\ \end{gathered} $ 1 53.951 54.004 53.851 53.338 2 111.03 111.92 111.89 85.542 3 148.55 148.86 148.41 144.49 4 290.60 291.84 290.84 192.52 5 303.29 308.51 308.43 267.38 6 478.90 482.43 480.54 322.90 表 4 第2个L形截面细长梁的自振频率值 (Hz)Table 4. The natural frequency value of the slender beam with the second L-shaped cross-section (Hz)Parameter The order of the frequency 3D solid element Proposed method Cubic beam element with
L-shaped cross-sectionLinear beam element with L-shaped
cross-section$\begin{gathered} {t_1} = 8 , \\ {t_2} = 12 \\ \end{gathered} $ 1 57.313 57.385 38.323 38.319 2 92.952 93.066 89.886 89.768 3 157.92 158.18 105.63 105.61 4 255.80 256.53 207.05 206.98 5 309.42 310.11 247.74 247.05 6 500.27 502.93 342.19 342.05 因为L形截面算例使用线性梁单元, 二次梁单元的结果整体上比较接近, 所以只选择线性梁单元的计算结果进行对比. 由表3知, ${t_1}{\mathbf{/}}{{W}_1}$和${t_2}{\mathbf{/}}{{W}_2}$值较小时, 使用三维实体单元和选择L形截面使用三次梁单元得到的结果非常接近, 其中三维模型的计算结果稍小一点, 原因可能是三维模型考虑剪切变形等对梁自由振动的影响, 更贴近真实的梁结构. 而选择L形截面使用线性梁单元的结果除第1、第3阶频率外与三维实体单元结果相差明显, 使用梁单元计算时, 结果呈现不稳定性. 由表4知, ${t_1}{\mathbf{/}}{{W}_1}$和${t_2}{\mathbf{/}}{{W}_2}$值较大时, 选择L形截面使用三次梁单元和线性梁单元计算结果非常接近, 但是除第2阶振动频率外, 与三维实体单元结果相差明显. 由表3和表4中的数据知, 选择L形截面使用梁单元得到的结果与使用实体单元得到的结果可能会有较大误差. 但基于所提方法计算L形截面细长梁自振频率时(对应选择自定义梁截面使用梁单元计算), 能和三维模型的结果保持很好的一致性, 证明所提方法计算复杂截面细长梁自由振动频率时仍然准确有效.
基于两种L形截面计算结果, 调整${t_1}$和${t_2}$的值探究在Abaqus的梁截面库中选择L形截面使用线性梁单元和三次梁单元计算细长梁自振频率的适用情况. ${t_1}$和${t_2}$的值由1分别调整为2, 3, 4, 5, 8和10. 计算后的相对误差结果整理于图3.
由图3(a)和图3(b)知, 随着${t_1}{\mathbf{/}}{{W}_1}$和${t_2}{\mathbf{/}}{{W}_2}$逐渐增加, 使用L形截面的三次梁单元与三维实体单元计算结果间误差越来越明显, 且呈现增大的趋势. 当${t_1}$,${t_2}$值不超过3时, 选择L形截面使用三次梁单元的结果相对误差在3%以内; 当${t_1}$,${t_2}$值为1时, 使用线性梁单元得到的前六阶自振频率中除了第1阶和第3阶外, 相对误差绝对值均在10%以上, 与选择L形截面使用三次梁单元的结果有明显不同; 当${t_1}$,${t_2}$值为2和3时, 选择L形截面使用线性梁单元得到结果与三维实体单元结果间的相对误差最大值保持在6%以内. 但是, 当${t_1}$,${t_2}$值超过5时, 选择L形截面使用两种梁单元得到的首阶自振频率误差均已超过7%, 最大误差甚至已接近于30%, 结果不再可靠. 由图3(a)和图3(b)中的相对误差结果知, 选择L形截面使用梁单元计算自振频率时结果不稳定, 所以有限元软件中使用梁单元进行自由振动分析的过程需要完善. 图3(c)中误差曲线显示, 使用所提理论计算自振频率值时, 对于${t_1}{\mathbf{/}}{{W}_1}$和${t_2}{\mathbf{/}}{{W}_2}$值较小的L形截面, 相对误差值有所波动, 但是相对误差值整体非常稳定, 绝对值在3%以内, 结果准确有效. 因为相对误差值多为正值, 所以三维实体单元的大部分求解结果偏小, 这与前文计算结果一致.
本小节算例的结果表明, 使用梁单元计算细长梁的自振频率时, 需要选择合适的截面类型, 直接选择L形截面, 可能会因为软件计算过程中对截面信息处理有偏差, 使计算结果产生较大的误差. 但使用本文所提理论(对应Abaqus中选择自定义截面通过梁单元计算)得到的自振频率能始终准确有效. 另外, 对于本小节中的L形截面算例, 虽然在Abaqus中选择L形截面使用梁单元计算得到的结果相比三维实体单元计算得到的结果误差较大, 但是在有限元软件ANSYS(2021)中使用基于Timoshenko梁理论的Beam188梁单元进行计算时, 除了${t_1}$,${t_2}$值为1和${t_1}$,${t_2}$值为2时, 选择L形截面计算得到的结果与三维实体单元计算得到的结果某些阶频率误差比较大之外, 其他L形截面算例的计算结果均能与三维实体单元的计算结果保持较好的一致性, 篇幅限制不再进行展示.
2.3.2 6字形截面细长梁
本小节选择几何更复杂的6字形截面(图4所示)细长梁进行分析讨论. 因为Abaqus截面库中没有直接提供6字形截面, 所以需要通过截面库中的Arbitrary选项得到. 计算结果见图4和表5.
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图 4 6字形截面细长梁自振频率值的相对误差曲线Figure 4. The relative error curve of the natural frequency of the slender beam with 6-shaped cross-section表 5 6字形截面细长梁的自振频率值 (Hz)Table 5. The natural frequency value of the slender beam with the 6-shaped cross-section (Hz)The order of the frequency 3D solid element Proposed method Cubic beam element with
6-shaped cross-sectionLinear beam element with
6-shaped cross-section1 52.667 52.391 48.080 48.106 2 99.204 99.658 90.999 90.751 3 145.13 144.41 132.41 132.58 4 272.32 274.70 250.76 249.38 5 284.38 283.12 259.13 259.83 6 469.82 468.02 427.58 429.35 由表5知, 6字形截面细长梁使用线性梁单元和三次梁单元得到的结果非常接近, 但都与三维实体单元得到的结果相差明显. 由图4知, 选择6字形截面使用梁单元得到的计算结果与三维实体单元结果前六阶自振频率的相对误差值均达到 −7.9%以上. 现实中如果使用这样的结果作为参考, 可能会产生较大的危害. 而基于本文推导模型和求解方法得到的自振频率值与三维实体单元的计算结果很接近, 相对误差绝对值保持在1%以内.
需要指出的是, 在Abaqus中使用梁单元仿真分析时, 截面内位移和应力的分布情况需要后续工作进一步的探究, 尤其在选用自定义截面时, 会丧失截面本身的几何形状, 而本文提出的模型在第1节中已经通过渐近分析法对截面中应力和位移的分布进行了分析与推导, 后续工作可基于此开展研究. 6字形截面细长梁的计算结果再次证明, 基于本文所推导的模型, 当梁截面的惯性矩和惯性积等信息由过形心的正交轴求得时, 通过本文所提出的求解方法寻找形心主惯性矩求解, 足以对复杂截面细长梁的低阶振动频率进行捕捉.
3. 结论与展望
本文通过渐近均匀化的方法, 根据细长梁的特征引入小参数$ \varepsilon $, 对三维梁构型的动量守恒方程和本构方程重新构造, 系统地推导了三维梁模型之一维等效梁模型, 提出求解方法并通过有限元软件中的三维实体单元计算验证. 然后, 将两端固定边界条件下简单截面和复杂截面细长梁的有限元结果和所提方法的结果进行比较分析, 发现使用软件中的梁单元进行自由振动分析时, 结果可能会产生较大的偏差, 原因可能是没有计算准确复杂截面的形心主惯性矩. 在这一过程中得到如下结论.
(1)本文使用渐近分析的方法系统严格地推导了细长梁三维模型的一维相容模型, 得到的弯曲振动控制方程复杂度与欧拉梁模型复杂度一致, 渐近分析的结果也表明纯弯曲变形只是梁振动分析中的首阶项.
(2)将所推导弯曲控制方程的求解结果与三维实体单元划分模型的计算结果对比分析, 验证了使用渐近分析法推导梁模型的有效性和准确性. 本文所推导的模型可以为有限元软件Abaqus中选择自定义截面使用三次梁单元计算过程提供一种理论验证, 或者说本文所推导的模型可以通过该模块便捷地实现.
(3)当截面的惯性矩和惯性积等几何信息相对截面的形心正交轴求得时, 使用本文所提出的方法或在Abaqus中选择用户自定义截面使用三次梁单元计算, 可以对复杂截面细长梁的低阶振动频率进行足够准确的捕捉. 所推导的模型和求解方法可以为有限元软件中梁单元的完善提供参考.
后续将使用渐近分析的方法, 考虑非匀质复杂截面梁结构的特点, 推导等效模型, 并对截面内应力和位移的分布进行分析验证, 相关结果将为了解工程领域非均匀和非匀质复杂截面梁的振动特性提供参考, 有利于了解梁的振动特点, 减少共振破坏.
数据可用性声明
支撑本研究的科学数据已在中国科学院科学数据银行ScienceDB(science data bank)平台公开发布, 访问地址为https://doi.org/10.57760/sciencedb.j00140.00031或https://cstr.cn/31253.11.sciencedb.j00140.00031.
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图 2 不同方法与三维实体单元计算结果的误差曲线
Figure 2. The curve of the relative error value between 3D solid element and other methods
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图 3 不同方法结果与三维实体单元结果的误差曲线
Figure 3. The curve of the relative error value between 3D solid element and other methods
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图 4 6字形截面细长梁自振频率值的相对误差曲线
Figure 4. The relative error curve of the natural frequency of the slender beam with 6-shaped cross-section
表 1 梯形截面细长梁的自振频率值 (Hz)
Table 1 The natural frequency value of the slender beam with trapozoidal cross-section (Hz)
The order of the frequency 3D solid element Proposed method Cubic beam element with
trapezoidal cross-sectionCubic beam element with
generalized cross-section1 35.542 35.662 35.663 35.663 2 57.351 57.461 57.462 57.462 3 97.973 98.301 98.307 98.306 4 158.04 158.39 158.40 158.40 5 192.07 192.72 192.72 192.72 6 309.69 310.52 310.52 310.52 
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表 2 使用三维实体单元和使用自定义截面的三次梁单元前6阶自振频率结果间的相对误差值 (%)
Table 2 The relative error value of the first 6 natural frequency value between 3D solid element and the cubic beam element with generalized cross-sections (%)
w 1 2 3 4 5 6 5 0.340 0.194 0.340 0.228 0.338 0.268 7 0.273 −1.243 0.272 0.495 0.269 0.541 9 0.235 0.443 0.226 0.473 0.218 0.207 11 0.182 0.976 0.171 0.439 0.148 0.131 13 0.176 0.342 0.162 0.133 0.355 0.113 15 0.152 0.328 0.128 0.083 0.371 0.046
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表 3 第1个L形截面细长梁的自振频率值 (Hz)
Table 3 The natural frequency value of the slender beam with the first L-shaped cross-section (Hz)
Parameter The order of the frequency 3D solid element Proposed method Cubic beam element with
L-shaped cross-sectionLinear beam element with
L-shaped cross-section$\begin{gathered} {t_1} = 1, \\ {t_2} = 1 \\ \end{gathered} $ 1 53.951 54.004 53.851 53.338 2 111.03 111.92 111.89 85.542 3 148.55 148.86 148.41 144.49 4 290.60 291.84 290.84 192.52 5 303.29 308.51 308.43 267.38 6 478.90 482.43 480.54 322.90
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表 4 第2个L形截面细长梁的自振频率值 (Hz)
Table 4 The natural frequency value of the slender beam with the second L-shaped cross-section (Hz)
Parameter The order of the frequency 3D solid element Proposed method Cubic beam element with
L-shaped cross-sectionLinear beam element with L-shaped
cross-section$\begin{gathered} {t_1} = 8 , \\ {t_2} = 12 \\ \end{gathered} $ 1 57.313 57.385 38.323 38.319 2 92.952 93.066 89.886 89.768 3 157.92 158.18 105.63 105.61 4 255.80 256.53 207.05 206.98 5 309.42 310.11 247.74 247.05 6 500.27 502.93 342.19 342.05
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表 5 6字形截面细长梁的自振频率值 (Hz)
Table 5 The natural frequency value of the slender beam with the 6-shaped cross-section (Hz)
The order of the frequency 3D solid element Proposed method Cubic beam element with
6-shaped cross-sectionLinear beam element with
6-shaped cross-section1 52.667 52.391 48.080 48.106 2 99.204 99.658 90.999 90.751 3 145.13 144.41 132.41 132.58 4 272.32 274.70 250.76 249.38 5 284.38 283.12 259.13 259.83 6 469.82 468.02 427.58 429.35
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