CORRECTION AND DYNAMICAL ANALYSIS OF CLASSICAL MATHEMATICAL MODEL FOR PIECEWISE LINEAR SYSTEM
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摘要: 由于间隙的存在, 很多机械系统可以简化为分段线性模型, 而简化后的模型中副簧系统通常包含阻尼. 在大多数文献建立的数学模型中, 主、副系统的接触点与分离点固定在间隙处. 文章研究发现, 由于副簧系统中弹簧与阻尼的力学特性不同, 主、副系统的接触点与分离点位置实际上是随着系统参数和运动状态而变化的. 若忽视这一点, 后续的包括分岔和混沌在内的动力学分析就会出现误差甚至错误. 首先基于经典的数学模型, 用数值方法揭示了在简谐激励下主系统未返回到间隙处就与副簧系统提前分离, 证明了经典数学模型的不当之处. 进一步研究发现主系统不仅会出现提前分离, 还会出现接触滞后的现象. 因此对系统的接触与分离条件提出了修正, 得到了更合理的数学模型. 研究发现修正后的接触点、分离点位置与修正前相差较大, 修正后的幅频响应曲线与修正前存在一定差别; 在复杂运动中, 修正前后的运动性质也可能发生改变, 证明了修正后的模型更加合理, 更能反映工程实际. 然后, 采用平均法并对平均法的积分区间进行推广, 求得了修正模型的幅频响应的解析解, 并通过龙格库塔法验证了解析解的正确性. 对解析解进行稳定性分析, 得到了解析解的稳定性判别式. 最后, 探究了修正模型的副簧系统参数对主系统幅频响应的影响.Abstract: Due to the existence of gap, many mechanical systems can be simplified into piecewise linear models, where the auxiliary spring system (ASS) usually contains damping. In most classical mathematical models established in the literatures, the contact point and separation point of the primary system and ASS are generally fixed at the gap. In this paper, it is found that due to the different mechanical characteristics of the spring and damper in the ASS, the positions of the contact point and separation point actually change with the system parameters and motion state. If this case is ignored, the subsequent dynamical analysis including bifurcation and chaos may incur errors. In this paper, based on the classical mathematical model of piecewise linear system, it is firstly demonstrated through numerical solution that the primary system is prematurely separated from the ASS before returning to the gap under harmonic excitation, which explains the incorrectness of the classical model. Based on the classical mechanical model, the further study shows that there is not only the premature separation but also contact hysteresis in the primary system. Accordingly, a more reasonable mathematical model is proposed by correcting the contact and separation conditions. It is found that the contact point, separation point and the amplitude-frequency response of the corrected model differ greatly from the classical mathematical model, and the characteristic of complex dynamics may change after correction, which proves that the corrected model is more reasonable and can better reflect the engineering reality. Then, the integration interval of the averaging method is generalized so the analytical solution of amplitude-frequency response after correction is obtained. The correctness of analytical solution is verified through the Runge-Kutta method and the stability discrimination formula is obtained through the analytical solution. Finally, the influence of the parameters of the ASS on the amplitude-frequency response is explored.
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Keywords:
- nonlinear vibration /
- piecewise linear system /
- averaging method /
- dynamical behavior /
- contact
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引 言
分段线性系统是一类常见的非线性系统, 普遍存在于工程实际中, 其刚度或阻尼系数会在间隙附近发生切换. 碰撞系统、悬挂系统、振动筛等均可以简化为分段线性模型. 因此对分段线性系统振动问题的研究不仅具有理论意义而且具有非常重要的工程价值.
早在20世纪30年代, Den Hartog等[1]就研究了分段线性振子在简谐激励下的稳态主共振幅频响应特性. 此后近100年的时间里, 分段线性系统的研究持续吸引着学者们的关注. 20世纪七八十年代, 陈予恕[2-3]利用KBM渐进法、平均法等, 对一类分段线性振动系统进行了动力学分析. 1989年, 文成秀等[4]利用胞变换法对具有分段线性特征的弹簧摇床的全局性态进行了分析. 1995年, 胡海岩[5]综述了分段光滑机械系统的研究进展, 并指出了若干值得研究的问题. 1997年, 王福新等[6]研究发现基于弱非线性分析的主共振一次近似解在较强的非线性情况下仍具有一定的精度. 2001年, 钱小勇等[7]提出了一种可调间隙的半主动吸振器, 通过改变间隙的大小来拓宽吸振频带. 2003年, 金基铎等[8]利用Fourier级数把求解多自由度不对称分段线性系统的强迫振动周期解的问题归结为求解一组代数方程组的问题. Xu等[9]通过增量谐波平衡法研究了刚度与阻尼分段线性共存的振子的受迫振动. 2004年, Narimani等[10]通过平均法得到了分段线性隔振器的频响方程的闭式解, 分析结果与实验结果和数值模拟结果基本一致. 2006年, Deshpande等[11-12]针对分段线性隔振系统, 提出了主悬架的最佳参数设计方案以及避免幅频响应曲线出现跳跃的条件. 2008年, 徐惠东等[13]研究了一类单自由度分段线性系统的倍周期分岔现象, 并使用耦合反馈控制方法和外加恒定载荷控制方法对系统的运动状态进行有效控制. 2009年, 钟顺等[14]利用Hopf分岔理论对含分段弹簧的分段线性悬架系统深入研究, 揭示其振动行为. 2011年, 任传波等[15]以一类两自由度具有非连续阻尼力的分段线性系统为对象, 分析了非连续阻尼力对系统分界面处跳跃矩阵的影响, 研究了系统周期解的稳定性和分岔现象. 2013年, 江俊等[16]针对由一个线性子系统和一个非线性子系统构成的两自由度非自治分段光滑平面运动系统的响应特性展开了研究. 2014年, 孔琛等[17]研究了同时受周期和白噪声激励的分段线性系统的吸引域问题. 2015年, 吴志强等[18]利用平均法和约束分岔理论研究了对称的分段线性系统的主共振响应. 2016年, 高雪等[19]以分段光滑隔振系统为理论模型,研究了摒除不利于隔振的非线性动力学现象设计方法. 2018年, Wang等[20]提出了一种用于卡车后悬架的带有分段刚度和分段阻尼的二自由度1/4汽车模型, 研究了系统参数对动态响应的影响. Sun等[21]采用对称线性黏弹性端部来改善具有立方非线性的单自由度非线性悬架系统在主共振条件下的性能. 2019年, Wang等[22]基于平均法研究了系统参数对含有分数阶导数的分段线性系统动力学行为的影响. 2020年, Tien等[23]提出了一种通过控制系统间隙的大小来适应激励变化的分段线性振动采集器模型. 牛江川等[24]研究了含有分数阶微分项的单自由度含间隙振子的受迫振动. Dai等[25]基于分段线性模型, 在非线性约束中引入准零刚度, 研究了该系统的振动传递和功率流. 2021年, Zhang等[26]研究了含分数阶时滞反馈的单自由度分段线性系统的强迫振动并分析了主要参数对系统主共振和分岔的影响. Zhou等[27]研究了一类受周期激励的分段线性振子的谐波解的存在性和唯一性条件. Sun[28]采用解析、数值和实验的方法,分析了含有分段刚度与分段阻尼的非线性振动系统的幅频响应. 2022年, Zhang等[29]研究了具有时滞位移反馈的分段Duffing振子在简谐激励下的分岔和混沌运动. 王军等[30]研究了谐波激励下含有分数阶微分项的分段Duffing振子的混沌运动, 得到了系统发生混沌运动的临界条件. Siretean等[31]研究了阻尼和刚度不对称的分段线性系统在随机激励下的动态响应. Wang等[32]研究了具有非线性能量阱的分段线性系统的减振问题. 2023年, 陈谦等[33]研究了含分段限位刚度的隔振系统的抗冲击性能. 这些成果极大地丰富了分段线性系统的理论.
随着非线性动力学理论的快速发展, 研究人员对动力系统建模的精确性要求越来越高. 以上文献在建立分段线性系统的数学模型时, 均假设主系统与副簧系统的接触点与分离点固定在间隙处. 然而本文研究发现, 当分段线性系统的副簧系统含阻尼时, 经典的数学模型与力学模型不匹配, 且主系统与副簧系统的接触点和分离点均不在间隙处. 本文在第1节用数值方法详细分析了经典模型出现的问题及原因. 在第2节中针对该问题提出了修正模型. 在第3节中将修正前后的模型进行对比, 证明了修正的必要性. 在第4节中对平均法的积分区间进行推广求得了修正模型的近似解析解, 通过数值解证明了解析解的正确性, 并进行了稳定性分析. 在第5节分析了副簧系统参数对幅频响应的影响. 最后, 对以上内容进行归纳和总结.
1. 经典模型分析
图1为经典的对称分段线性系统的力学模型, 其中${m_1}$, ${k_1}$和${c_1}$分别为主系统的质量、刚度和阻尼; ${k_2}$和${c_2}$连接在一个挡板上组成了副簧系统; $\delta $是间隙值; $F$和$\omega $是外激励的幅值和频率. 根据力学模型, 副簧系统和主系统是可以分离的, 同时副簧系统只能承受主系统的压力而不能承受拉力.
当振幅小于间隙时, 只有主弹簧和主阻尼起作用, 系统作线性振动; 当振幅大于间隙时, 质量块与副簧系统接触, 因而系统的振动是非线性的.
经典文献[2-4, 6, 9-12, 14-15, 18, 20-21, 23, 25, 28,30, 34-35]中, 该分段系统的数学模型即振动微分方程为
$$ {m_1}{\ddot x_1} + {c_1}{\dot x_1} + {k_1}{x_1} = F\sin (\omega t) + P({x_1},{\dot x_1}) $$ (1) $$ P({x_1},{\dot x_1}) = \left\{ \begin{aligned} & { - {k_2}({x_1} - \delta ) - {c_2}{{\dot x}_1}},&{{x_1} > \delta } \\ & 0,&{ - \delta \leqslant {x_1} \leqslant \delta } \\ & { - {k_2}({x_1} + \delta ) - {c_2}{{\dot x}_1}},&{{x_1} < - \delta } \end{aligned} \right. $$ (2) 式中, $P({x_1},{\dot x_1})$是副簧系统作用于${m_1}$的力, 是关于主系统位移${x_1}$的函数.
设${m_1}$的静平衡位置为原点, 以向右为正. 将${m_1}$远离原点的过程称为去程, 如图2; 将${m_1}$靠近原点的过程称为返程, 如图3. 由于图1力学模型的对称性, 下面只分析${m_1}$在原点右侧的过程来说明经典数学模型的不合理之处, 即数学模型式(1)和式(2)与图1的力学模型不对应.
结合图2和图3进行分析, 根据弹簧和阻尼的力学特性可以发现: 在去程时, 由于${x_1} > \delta $, ${\dot x_1} > 0$, 所以$ - {k_2}({x_1} - \delta ) < 0$, $ - {c_2}{\dot x_1} < 0$, ${k_2}$和${c_2}$的力同向; 在返程时, ${x_1} > \delta $, ${\dot x_1} < 0$, 所以$ - {k_2}({x_1} - \delta ) < 0$, $ - {c_2}{\dot x_1} > 0$, ${k_2}$和${c_2}$的力反向. 又因为${k_2}$和${c_2}$连接在同一个挡板上, 它们的力相互抵消. 下面分析力的抵消对${m_1}$的运动产生的影响.
不失一般性, 设稳态时${m_1}$的幅值为$a\;(a > \delta )$, 响应为${x_1} = a\sin (\omega t + \theta )$, 其运动形式如图4. 分析${x_1} > \delta $的返程过程, 对应于图4中两条红线中间的部分.
此过程中
$$ P({x_1},{\dot x_1}) = - {k_2}({x_1} - \delta ) - {c_2}{\dot x_1} $$ (3) 当${m_1}$刚进入返程时, ${x_1} = a$, ${\dot x_1} = 0$, $ - {c_2}{\dot x_1} = 0$, $P({x_1},{\dot x_1})$中只有${k_2}$的力, 此时不存在抵消现象, $P$是负的. 随着${m_1}$向原点运动, $\left| {{x_1} - \delta } \right|$减小, $\left| {{{\dot x}_1}} \right|$增大, $\left| { - {k_2}({x_1} - \delta )} \right|$减小, $\left| { - {c_2}{{\dot x}_1}} \right|$增大. 又因为${k_2}$和${c_2}$的力方向相反, 抵消现象会逐渐显著. 当${m_1}$运动到间隙处时, ${x_1} = \delta $, $ - {k_2}({x_1} - \delta ) = 0$, $P({x_1},{\dot x_1})$中只有${c_2}$的力, 可以认为此时${c_2}$已经完全把${k_2}$的力抵消掉了, 且${c_2}$的力仍有剩余, $P$是正的. 因此, 在中间过程必然有一点使${k_2}$和${c_2}$的力恰好相互抵消, 即$P({x_1},{\dot x_1}) = 0$.
从时间历程图可以清楚地观察到上述问题. 根据式(1)与式(2), 利用MATLAB画出${x_1}$的时间历程图和$P({x_1},{\dot x_1})$的时间历程图. 选取一组系统参数, ${k_1} = 10$, ${k_2} = 15$, ${c_1} = 2$, ${c_2} = 5$, ${m_1} = 10$, $F = 5$, $\delta = 0.5$, $\omega = 1.3$, 结果如图5. 其中3条竖直黑色虚线从左往右依次为${x_1} = a$对应的时刻${t_1}$、$P({x_1},{\dot x_1}) = 0$对应的时刻${t_2}$和${x_1} = \delta $对应的时刻${t_3}$, 黑色点划线为间隙所在的位置. 在图5中可以看到, ${t_1}\sim {t_2}$时刻, ${x_1}$逐渐减小, 但未到$\delta $, 对应的$P({x_1},{\dot x_1})$从小于0增大至等于0. ${t_2}\sim {t_3}$时刻, ${x_1}$减小至$\delta $, $P({x_1},{\dot x_1})$从0开始增大. 根据图像可以确定${t_2}$后$P({x_1},{\dot x_1}) > 0$. 结合图3进行分析, $P({x_1},{\dot x_1}) > 0$意味着副簧系统施加到${m_1}$的力是向右的, 则${m_1}$施加到副簧系统的力是向左的, 即此时二者之间存在拉力, 这显然不符合主副系统可分离的性质. 所以副簧系统与主系统质量${m_1}$应该在${t_2}$后发生分离各自运动, 但经典数学模型认为${t_2}\sim {t_3}$时刻副簧系统仍与${m_1}$黏在一起, 这是不合理之处.
由于在经典数学模型中, $P({x_1},{\dot x_1})$的值在间隙处会发生突变, 从某个值突然衰减到0, 如果在$P({x_1},{\dot x_1})$的时间历程图中出现了图5所示黑色圆圈中的三角形凸起, 说明$P$在未到$\delta $之前就已经反向, 在$\delta $之前副簧系统就应与${m_1}$分离.
显然, 由于对称性上述问题在原点左侧也存在.
2. 修正模型
2.1 修正后的接触与分离条件
把分段线性系统中普遍存在的上述问题称为“提前分离”, 提前分离后${m_1}$与副簧系统将各自运动. 为了探究分离后${m_1}$与副簧系统的运动形式, 必须建立更加精确的数学模型.
分离后主系统${m_1}$正常振动. 令${x_2}$和${x_3}$分别为分离后右挡板和左挡板的位移, 可以建立主副系统分离后无质量挡板的运动方程为
$$ \left.\begin{split} & {{x_2} = \delta + ({x_s} - \delta ){{\rm{e}}^{ - (t - {t_s}){k_2}/{c_2}}}} \\ & {{x_3} = - \delta + ({x_s} + \delta ){{\rm{e}}^{ - (t - {t_s}){k_2}/{c_2}}}} \end{split} \right\} $$ (4) 其中${x_s}$和${t_s}$表示分离时的位移和时间. 结合第1节内容, 分离应发生在${x_1} =a$与${x_1} = \delta $之间, 因此对于右挡板来说, ${x_s} > \delta $且${x_2} > \delta $恒成立, 即右挡板需要经过无限长时间才能回到间隙处. 同理, ${x_3} < - \delta $恒成立. 也就是说, 对于图1所示分段线性系统, 分离后${m_1}$与副簧系统重新接触时必然不在间隙处. 因此分段线性系统不仅存在分离提前, 还会出现接触滞后. 下面重新设置${m_1}$与副簧系统的接触和分离条件:
(1)在原点右侧, 接触条件为${x_1} = {x_2}$且${\dot x_1} > {\dot x_2}$, 分离条件为$P({x_1},{\dot x_1}) \geqslant 0;$
(2)在原点左侧, 接触条件为${x_1} = {x_3}$且${\dot x_1} < {\dot x_3}$, 分离条件为$P({x_1},{\dot x_1}) \leqslant 0$.
2.2 副簧系统参数变化对修正模型的影响
对于分离点, 当${m_1}$返回原点时, 如图3所示, ${k_2}$的力为负, ${c_2}$的力为正. 根据式(3), 若${c_2}$相对${k_2}$来说越大, 则$P({x_1},{\dot x_1})$中正的部分就越大. 若要满足$P({x_1},{\dot x_1}) = 0$, 则${x_1}$应该越大, 即${c_2}$越大, 分离越早.
对于接触点来说, 接触点位移与分离点位移和分离后副簧系统的衰减速度有关. 由于副簧系统无质量, 可以认为响应是过阻尼的. 在过阻尼时, 阻尼比越大, 衰减越慢. 若${c_2}$相对${k_2}$来说越大, 则分离点位移越大, 分离后副簧系统衰减越慢, ${m_1}$与同一侧副簧系统再次接触时的位移就越大, 接触就越晚.
综上, 若${c_2}$相对${k_2}$来说越大, 提前分离和接触滞后现象会越明显. 若${c_2}$相对${k_2}$来说越小, 则这两种现象就越不明显. 极端情况下, 若${c_2}$ = 0, 提前分离和接触滞后现象完全消失, 分离点和接触点均在间隙处, 此时经典数学模型正确.
3. 修正前后对比
3.1 修正前后简单周期运动的对比
为比较修正前后系统的运动情况, 用MATLAB进行数值仿真. 根据图1可知, ${m_1}$与挡板分离后, 整个系统为2自由度(${m_1}$为1自由度, 每个副簧系统各0.5自由度), ${m_1}$与挡板不耦合; ${m_1}$与挡板接触时, 整个系统可看作1.5自由度, 其中未与${m_1}$接触的挡板为0.5自由度. 由此, ${m_1}$与挡板的接触、分离可看作系统模型的切换, 切换条件为2.1节修正后的接触与分离条件, 可通过odeset函数的Events选项来实现. 选取一组系统参数${k_1} = 10$, ${k_2} = 4$, ${c_1} = 1$, ${c_2} = 2$, ${m_1} = 1$, $F = 5$, $\delta = 0.5$, $\omega = 3.3$, 修正前系统的初始状态$[{x_1},{\dot x_1}]$为$[0,1]$, 修正后系统初始状态$[{x_1},{x_2},{x_3},{\dot x_1},{\dot x_2},{\dot x_3}]$为$[0,\delta , - \delta ,1,0,0]$. 利用变步长4阶龙格库塔法, 选取计算时间为200个周期, 输出步长为0.01, 略去瞬态响应, 取${m_1}$稳态响应的两个周期画出修正前后${m_1}$的位移−时间历程图进行对比, 如图6. 从图6可知, 修正后${m_1}$的运动仍为简谐形式, 但位移−时间历程图与修正前基本无重合. 黄色部分是修正后${m_1}$与副簧系统接触的部分. 通过标注的坐标可以看出稳态时接触点在${x_1} = 0.521$处, 分离点在${x_1} = 0.935\;5$处, 与间隙值$\delta = 0.5$均相差较大, 且可以明显看出提前分离和接触滞后的现象.
令$\omega $的范围为[1 4.3], 间隔为0.02, 其他系统参数与初始状态均不变, 选取计算时间为200个周期, 忽略瞬态响应, 取${m_1}$稳态响应的最大值作为幅值, 可以得到幅频响应的数值解, 如图7. 从图7中可以看出, 修正后幅频曲线的共振峰明显要比经典数学模型高. 经典数学模型的曲线不光滑, 相邻区域出现了明显的跳跃现象(不是非线性因素导致的跳跃现象), 这是不符合规律的, 而修正后的曲线则更光滑, 更符合常理.
3.2 修正前后复杂运动的对比
图6与图7说明, 修正前后${m_1}$的运动状态如接触点与分离点的位置、振幅大小等会在定量上发生变化. 继续研究发现, 修正前后${m_1}$的运动状态在定性上也会发生变化. 选取另一组系统参数${k_1} = 10$, ${k_2} = 300$, ${c_1} = 0.4$, ${c_2} = 0.4$, ${m_1} = 1$, $F = 2$, $\delta = 0.01$, $\omega = 7$, 修正前系统的初始状态$[{x_1},{\dot x_1}]$为$[0,1]$, 修正后系统初始状态$[{x_1},{x_2},{x_3},{\dot x_1},{\dot x_2},{\dot x_3}]$为$[0,\delta , - \delta ,1,0,0]$. 选取计算时间为200个周期, 输出步长为0.01, 取稳态部分画出修正前后${m_1}$的位移−时间历程图与相图, 对比效果如图8与图9所示.
结合图8与图9不难看出, 在该组参数下, 修正前后${m_1}$的振幅是不同的, 且修正前${m_1}$的运动是混沌的, 修正后${m_1}$的运动是周期2的. 这说明修正前后${m_1}$的运动在本质上发生了变化.
结合修正前后${m_1}$的运动的定量与定性变化可以看出, 对模型进行修正是有必要的.
4. 稳态周期解与稳定性分析
4.1 平均法在分段线性系统中的推广
求解非线性系统的近似解存在多种方法, 其中平均法是一种处理分段线性系统更为成熟、更为直观的方法. 经典模型中, 主系统与副簧系统的接触点、分离点被认为固定在间隙即$\delta $处, 因此在用平均法求主系统解析解的过程中, 对相位进行积分时, 相位的上下限也对应于间隙所在的位置. 但经过以上分析, 很明显经典模型的解析求解是不正确的. 研究发现, 可根据修正后的接触、分离条件得出修正后相位的积分区间, 即将经典模型的相位的积分区间进行推广, 平均法仍可用于求分段线性系统的解析解.
引入参数变换
$$ {\omega _0} = \sqrt {\frac{{{k_1}}}{{{m_1}}}} ,\varepsilon \lambda = \frac{{{k_2}}}{{{m_1}}},2\varepsilon {\mu _1} = \frac{{{c_1}}}{{{m_1}}},2\varepsilon {\mu _2} = \frac{{{c_2}}}{{{m_1}}},\varepsilon f = \frac{F}{{{m_1}}} $$ 令稳态时的分离点位置为${\delta _1}$, 接触点位置为${\delta _2}$, 如图10.
在修正模型中, 可根据${m_1}$的受力将${m_1}$的运动状态分为${U_1}$, ${U_2}$和${U_3}$三个阶段
$$ \left. \begin{aligned} & {{U_1}:({{\dot x}_1} > 0\; \& \;{x_1} > {\delta _2})\parallel ({{\dot x}_1} < 0 \;\& \;{x_1} > {\delta _1})} \\ & {{U_2}:({{\dot x}_1} \geqslant 0 \;\&\; - {\delta _1} \leqslant {x_1} \leqslant {\delta _2})\parallel ({{\dot x}_1} \leqslant 0 \;\&\; - {\delta _2} \leqslant {x_1} \leqslant {\delta _1})} \\ & {{U_3}:({{\dot x}_1} > 0 \;\&\; {x_1} < - {\delta _1})\parallel ({{\dot x}_1} < 0 \;\&\; {x_1} < - {\delta _2})} \end{aligned} \right\} $$ (5) 则式(1)可变为
$$ {\ddot x_1} + \omega _0^2{f_1}({x_1}) + 2\varepsilon {\mu _1}{f_2}({\dot x_1}) = \varepsilon f\sin (\omega t) $$ (6) 其中
$$\qquad\quad {f_1}({x_1}) = \left\{\begin{aligned} & {{x_1} + \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}}({x_1} - \delta )},&{{U_1}} \\ & {{x_1}},&{{U_2}} \\ & {{x_1} + \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}}({x_1} + \delta )},&{{U_3}} \end{aligned}\right.\tag{7a} $$ $$\qquad\quad {f_2}({\dot x_1}) = \left\{ \begin{aligned} & {{{\dot x}_1} + \frac{{{c_2}}}{{{c_1}}}{{\dot x}_1}},&{{U_1}} \\ & {{{\dot x}_1}},&{{U_2}} \\ & {{{\dot x}_1} + \frac{{{c_2}}}{{{c_1}}}{{\dot x}_1}},&{{U_3}} \end{aligned} \right.\tag{7b} $$ 引入${\omega ^2} = \omega _0^2 + \varepsilon \sigma $, 并设
$$ g({x_1}) = \left\{\begin{aligned} & {\lambda ({x_1} - \delta )},&{{U_1}} \\ & 0,&{{U_2}} \\ & {\lambda ({x_1} + \delta )},&{{U_3}} \end{aligned} \right. $$ (8) 式(6)可变为
$$ {\ddot x_1} + {\omega ^2}{x_1} = \varepsilon [f\sin (\omega t) + \sigma {x_1} - g({x_1}) - 2{\mu _1}{f_2}({\dot x_1})] $$ (9) 设式(9)的解为
$$ \left.\begin{aligned} & {{x_1} = a\sin \phi } \\ & {{{\dot x}_1} = a\omega \cos \phi } \end{aligned} \right\} $$ (10) 式中$\phi = \omega t + \theta $.
设分离点的相位为${\phi _1}(\text{π} /2 \leqslant {\phi _1} \leqslant \text{π} )$, 接触点的相位为${\phi _2}(2\text{π} \leqslant {\phi _2} \leqslant 5\text{π} /2)$, 如图11所示.
根据分离条件可得
$$ - {k_2}(a\sin {\phi _1} - \delta ) - {c_2}a\omega \cos {\phi _1} = 0 $$ (11) 利用辅助角公式, 式(11)可变为
$$ - a\sqrt {{{({c_2}\omega )}^2} + k_2^2} \sin \left[{\phi _1} + \arctan \left(\frac{{{c_2}\omega }}{{{k_2}}}\right)\right] = \delta {k_2} $$ (12) 解得
$$ {\phi _1} = \text{π} - \arcsin \left[\frac{{\delta {k_2}}}{{a\sqrt {{{({c_2}\omega )}^2} + k_2^2} }}\right] - \arctan \frac{{{c_2}\omega }}{{{k_2}}} $$ (13) 在接触点时, ${m_1}$的位移为
$$ {x_1} = a\sin {\phi _2} $$ (14) 根据式(4), 在接触点时右挡板的位移为
$$ {x_2} = \delta + ({x_s} - \delta ){{\rm{e}}^{[ - ({\phi _2} - {\phi _1}){k_2}/({c_2}\omega )]}} $$ (15) 根据式(13)可知, ${\phi _1}$可通过系统参数求得. 因此联立式(14)与式(15)可得只含${\phi _2}$一个未知量的方程
$$ a\sin {\phi _2} = \delta + ({x_s} - \delta ){{\rm{e}}^{[ - ({\phi _2} - {\phi _1}){k_2}/({c_2}\omega )]}} $$ (16) 由上, 根据平均法可以得到
$$ \begin{split} & \dot a = \frac{1}{{2\text{π} \omega }}\left(\int_{{\phi _1}}^{{\phi _1} + 2\text{π} } {{p_1}\cos \phi {\rm{d}}\phi } +\right. \\ &\qquad \left.\int_{{\phi _2} - \text{π} }^{{\phi _1} + \text{π} } {{p_2}\cos \phi {\rm{d}}\phi } + \int_{{\phi _2}}^{{\phi _1} + 2\text{π} } {{p_3}\cos \phi {\rm{d}}\phi } \right) \end{split} \tag{17a}$$ $$ \begin{split} & a\dot \theta = - \frac{1}{{2\text{π} \omega }}\left(\int_{{\phi _1}}^{{\phi _1} + 2\text{π} } {{p_1}\sin \phi {\rm{d}}\phi }+\right. \\ &\qquad \left.\int_{{\phi _2} - \text{π} }^{{\phi _1} + \text{π} } {{p_2}\sin \phi {\rm{d}}\phi } + \int_{{\phi _2}}^{{\phi _1} + 2\text{π} } {{p_3}\sin \phi {\rm{d}}\phi } \right) \end{split}\tag{17b} $$ 式中
$$ \left. \begin{split} & {{p_1} = \varepsilon [f\sin (\phi - \theta ) + \sigma a\sin \phi - 2{\mu _1}a\omega \cos \phi ]} \\ & {{p_2} = \varepsilon [ - 2{\mu _2}a\omega \cos \phi - \lambda (a\sin \phi + \delta )]} \\ & {{p_2} = \varepsilon [ - 2{\mu _2}a\omega \cos \phi - \lambda (a\sin \phi - \delta )]} \end{split} \right\} $$ (18) 积分并代入原参数整理得到
$$ \dot a = \frac{1}{{4{m_1}\text{π} \omega }}[ - 2F\text{π} \sin \theta + {Q_1}(a) + {Q_2}(a)]\tag{19a} $$ $$ \dot \theta = \frac{1}{{4a{m_1}\text{π} \omega }}[ - 2F\text{π} \cos \theta + {Q_3}(a) + {Q_4}(a)] \tag{19b}$$ 其中
$$ \left.\begin{split} & {Q_1}(a) = - 2a\text{π} \omega {c_1} - 2(\sin {\phi _1} - \sin {\phi _2})[ - 2\delta + \\ &\qquad a(\sin {\phi _1} + \sin {\phi _2})]{k_2} \\ & {{Q_2}(a) = a\omega {c_2}[ - 4\text{π} - \sin (2{\phi _1}) + \sin (2{\phi _2}) - 2{\phi _1} + 2{\phi _2}]} \\ & {Q_3}(a) = - 2\text{π} a{m_1}{\omega ^2} + a\omega [ - \cos (2{\phi _1}) + \cos (2{\phi _2})]{c_2}+ \\ &\qquad 2a\text{π} {k_1} \\ & {Q_4}(a) = {k_2}\{4\delta (\cos {\phi _1} - \cos {\phi _2}) + a[4\text{π} - \sin (2{\phi _1}) + \\ &\qquad \sin (2{\phi _2})] + 2a({\phi _1} - {\phi _2})\} \end{split} \right\} $$ (20) 本文重点研究的是主系统受迫振动的稳态周期响应, 因此令$\dot a = \dot \theta = 0$可以得到
$$ F\sin \bar \theta = \frac{1}{{2\text{π} }}[{Q_1}(\bar a) + {Q_2}(\bar a)]\tag{21a} $$ $$ F\cos \bar \theta = \frac{1}{{2\text{π} }}[{Q_3}(\bar a) + {Q_4}(\bar a)] \tag{21b}$$ 式中, $ \bar a $和$\bar \theta $分别为系统的稳态解振幅和相位. 消除变量$\bar \theta $, 求得幅频响应方程为
$$ {[{Q_1}(\bar a) + {Q_2}(\bar a)]^2} + {[{Q_3}(\bar a) + {Q_4}(\bar a)]^2} = 4{F^2}{\text{π} ^2} $$ (22) 至此, 可联立式(13)、式(16)和式(22)求得修正模型的稳态解.
选取系统参数为${k_1} = 400$, ${k_2} = 1000$, ${c_1} = 10$, ${c_2} = 20$, ${m_1} = 4$, $F = 80$, $\delta = 0.5$, 验证近似解的正确性, 如图12所示. 很明显, 近似解和数值仿真的结果吻合得相对较好, 说明近似解是正确的.
4.2 稳定性分析
为研究稳态解的稳定性, 将$a = \bar a + \Delta a$和$\theta = \bar \theta + \Delta \theta $代入式(19)中, 线性化后得到
$$ \frac{{{\rm{d}}\Delta a}}{{{\rm{d}}t}} = {B_1}\Delta a + {B_2}\Delta \theta \tag{23a}$$ $$ \frac{{{\rm{d}}\Delta \theta }}{{{\rm{d}}t}} = {B_3}\Delta a + {B_4}\Delta \theta \tag{23b}$$ 其中
$$ \left. \begin{split} & {B_1} = \frac{1}{{4{m_1}\text{π} \omega }}\{ - 2\text{π} \omega {c_1} + [\cos (2{\phi _1}) - \cos (2{\phi _2})]{k_2}+ \\ &\qquad \omega {c_2}[ - 4\text{π} - \sin (2{\phi _1}) + \sin (2{\phi _2}) - 2{\phi _1} + 2{\phi _2}]\} \\ & {{B_2} = - \frac{1}{{4{m_1}\text{π} \omega }}[{Q_3}(\bar a) + {Q_4}(\bar a)]} \\ & {B_3} = \frac{1}{{4\bar a{m_1}\text{π} \omega }}\{ - 2{m_1}\text{π} {\omega ^2} + \omega [ - \cos (2{\phi _1}) + \cos (2{\phi _2})]{c_2} + \\ &\qquad 2\text{π} {k_1} + {k_2}[4\text{π} - \sin (2{\phi _1}) + \sin (2{\phi _2}) + 2{\phi _1} - 2{\phi _2}]\} \\ & {{B_4} = \frac{1}{{4\bar a{m_1}\text{π} \omega }}[{Q_1}(\bar a) + {Q_2}(\bar a)]} \end{split} \right\} $$ (24) 由此得到特征行列式为
$$ \det \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda - {B_1}}&{ - {B_2}} \\ { - {B_3}}&{\lambda - {B_4}} \end{array}} \right| = 0 $$ (25) 展开行列式(25), 得到系统的特征方程
$$ {\lambda ^2} - ({B_1} + {B_4})\lambda + {B_1}{B_4} - {B_2}{B_3} = 0 $$ (26) 经过整理得
$$ \begin{split} & - ({B_1} + {B_4}) = \frac{1}{{2\bar a{m_1}\text{π} \omega }}\{ 2\bar a\text{π} \omega {c_1} + 2(\sin {\phi _1} - \sin {\phi _2})[ - \delta + \\ & \qquad \bar a(\sin {\phi _1} + \sin {\phi _2})]{k_2} + \bar a\omega {c_2}[4\text{π} + \\ &\qquad \sin (2{\phi _1}) - \sin (2{\phi _2}) + 2{\phi _1} - 2{\phi _2}]\}\\[-12pt] \end{split} $$ (27) 由于分离后副簧系统持续衰减, 因此分离点位移大于接触点, $\sin {\phi _1} > \sin {\phi _2}$. 根据第2节的分析, 接触点与分离点的位移均大于$\delta $, 因此$- \delta + \bar a(\sin {\phi _1} + \sin {\phi _2}) > 0$.
令$f({\phi _1},{\phi _2}) = 4\text{π} + \sin (2{\phi _1}) - \sin (2{\phi _2}) + 2{\phi _1} - 2{\phi _2}$, 利用三角函数和差化积公式, 将$\sin (2{\phi _1}) - \sin (2{\phi _2})$转化为$2\sin ({\phi _1} - {\phi _2})\cos ({\phi _1} + {\phi _2})$, 根据图9所示${\phi _1}$与${\phi _2}$的取值范围, 可知$2\sin ({\phi _1} - {\phi _2})\cos ({\phi _1} + {\phi _2}) > 0$. 又由于$4\text{π} + 2{\phi _1} - 2{\phi _2} > 0$, 因此$f({\phi _1},{\phi _2}) > 0$恒成立. 综上, $- ({B_1} + {B_4}) > 0$. 因此稳态解的稳定条件为${B_1}{B_4} - {B_2}{B_3} > 0$.
为了方便观察, 下面分析过程中画出${B_1}{B_4} - {B_2}{B_3} = 0$的曲线, 用虚线表示.
(1)当幅频曲线和${B_1}{B_4} - {B_2}{B_3} = 0$的曲线没有交点, 即幅频曲线上所有点均满足${B_1}{B_4} - {B_2}{B_3} > 0$, 如图13所示, 此时没有出现多解现象, 周期解是稳定的.
(2)随着非线性的逐渐加强, 幅频曲线和${B_1}{B_4} - {B_2}{B_3} = 0$的曲线出现了交点, 当只有一个交点时, 处于跳跃的临界状态; 当非线性继续加强, 出现两个交点时, 如图14所示, 幅频曲线和曲线${B_1}{B_4} - {B_2}{B_3} = 0$在A和B处相交, 周期解的稳定性在交点处发生了变化, A和B点即为稳定区和不稳定区的分界点. 在${B_1}{B_4} - {B_2}{B_3} = 0$曲线以外, 幅频曲线上的点均满足${B_1}{B_4} - {B_2}{B_3} > 0$, 为稳定的周期解; 而在${B_1}{B_4} - {B_2}{B_3} = 0$曲线以内, 幅频曲线上的点满足${B_1}{B_4} - {B_2}{B_3} < 0$, 因此为不稳定的周期解. 跳跃现象的产生正是由于存在着这种不稳定区域.
出现跳跃时系统参数需满足幅频曲线相对于纵轴的斜率存在为零的点, 根据式(22)令$W(\bar a,\omega ) = {[{Q_1}(\bar a) + {Q_2}(\bar a)]^2} + {[{Q_3}(\bar a) + {Q_4}(\bar a)]^2} - 4{F^2}{\text{π} ^2}$得到出现跳跃时满足
$$ \left. \begin{split} & {W(\bar a,\omega ) = 0} \\ & {\frac{{\partial W(\bar a,\omega )}}{{\partial \bar a}} = 0} \end{split} \right\} $$ (28) 解方程组(28), 若存在两组不相等的实解, 则跳跃区间存在.
5. 参数分析
由前述可见, 修正模型的非线性刚度和阻尼变化除直接影响主系统的振幅外, 还会影响主系统与副簧系统的接触和分离位置从而间接影响主系统振幅. 比如, ${c_2}$增大, 直接影响是振幅应该降低; 但结合第2节内容, ${c_2}$增大会导致副簧系统提前脱离与接触滞后, 使${c_2}$的作用时间变短, 所以间接影响是振幅应该升高. 因此, 粗略地判断修正后副簧系统参数的变化对系统幅频响应的影响是不可行的, 有必要进一步探究.
选取${k_1} = 400$, ${c_1} = 10$, ${c_2} = 10$, ${m_1} = 4$, $F = 80$, $\delta = 0.5$, 假设其他参数不变, 分析${k_2}$对系统振幅的影响, 如图15. 可以看到, 随着${k_2}$增大, 幅频响应曲线的共振峰明显右移, 直至出现跳跃现象.
选取${k_1} = 400$, ${k_2} = 400$, ${c_1} = 10$, ${m_1} = 4$, $F = 80$, $\delta = 0.5$, 假设其他参数不变, 分析${c_2}$对系统振幅的影响, 如图16. 可以看到随着${c_2}$增大, 共振峰缓慢左移且逐渐降低.
以上分析与经典模型中副簧系统参数对幅频响应曲线的影响基本一致, 说明对于主系统幅频响应来说, 副簧系统参数的直接影响起主要作用.
6. 结论
本文分析了分段线性系统的经典数学模型中存在的问题, 并提出了一种能更准确描述分段线性系统的新模型, 对修正前后的模型进行了对比. 采用平均法得到了系统的近似解析解及稳定性判别式, 验证了近似解的正确性, 并分析了副簧系统参数对系统解析解的影响. 本文得到主要结论如下.
(1)分段线性系统的副簧系统含阻尼时, 实际上主系统与副簧系统的接触点、分离点均不在间隙处, 经典数学模型存在错误.
(2)本文提出的修正模型符合物理机理, 所得结果更加合理.
(3)本文采用平均法进行解析求解时对积分区间进行了推广, 为其他分段线性系统的研究提供了参考.
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