DIRECT PREDICTION OF MAXIMUM DEFLECTION FOR PLASTICALLY DEFORMED STRUCTURES UNDER INTENSE DYNAMIC PULSE
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摘要: 经过多年的研究, 由中国学者提出和研发的膜力因子法和饱和分析方法已被证明是分析和预测冲击、爆炸等强动载荷作用下梁、板等结构件的塑性大变形行为的有力工具. 在这两套理论工具相结合所获得的一系列最新成果的基础上, 文章提出一种对梁和板在强脉冲作用下的最大挠度的直接预测方法. 考虑了膜力和弯矩相互作用的准确屈服条件, 同时假定位移场近似地按照与准静态破损机构相似的模态发生变化, 该方法直接从膜力因子的表达式出发, 依据外载作的功与塑性耗散相等的能量条件, 只需要求解初等方程就可以简单明晰地得到梁和板在矩形脉冲作用下的最大挠度, 极大地简化了数学推导. 与同时考虑准确屈服条件和瞬态响应阶段的完全解以及具有上下界的模态解相比, 这一方法能够同样准确但更简单地计入膜力对结构大变形承载能力的效应, 为工程设计提供比完全解更简明、比模态解更精准的梁和板最大塑性变形的估算公式; 再同改进的脉冲等效技术相结合, 这种直接预测方法有望进一步拓展到更复杂的结构件, 获得广泛的工程应用.Abstract: After years of research, the membrane factor method (MFM) and saturation analysis (SA) method proposed and developed by Chinese scholars have been proven to be effective powerful tools in analyzing and predicting the large plastic deformation behavior of structural members such as beams and plates under intense dynamic loading such as impact and explosion. Based on recent results obtained by the combination of these two sets of theoretical tools, this paper proposes a direct prediction of deflection (DPD) method to predict the maximum (saturated) deflection of beams and plates subjected to intense loading pulses. This method does not rely on the governing equations of the structure; rather, it only needs to establish elementary equations based on the balance of internal and external work, whilst the former can be directly integrated from the expressions of relevant membrane factors. While the interaction between bending moment and membrane force (i.e., exact yield locus) is considered, the predictions on the maximum deflection can be simply obtained by solving the elementary equations, thus greatly simplifying the mathematical derivation. Compared with the complete solution, which considers both the exact yield criterion and the transient response phase, as well as the upper and lower bounds resulted from modal solution, the proposed DPD method can more simply yet still accurately account for the effect of membrane force on the load-carrying capacity of the structure in large deformation. Consequently, this DPD method can provide a series of calculation formulae on the maximum plastic deflection of beams and plates, which are more concise than complete solutions, more accurate than modal solutions, and easier for the use in engineering design. Combined with a refined pulse equivalency technique, this DPD method is expected to be further extended to other structures under general pulse loading and achieve a wide range of engineering applications.
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引 言
结构冲击动力学的基本问题之一, 是在外加的冲击、爆炸等强动载荷已知的条件下, 求解某给定结构物的最大变形, 进而估算相应的应力和应变, 评估可能发生的失效、破坏及防护安全性.
奠基性的理论研究始于70年前, 即20世纪50年代初期. Lee等[1]率先分析了刚塑性自由梁在集中的力脉冲作用下的动力响应; 之后, Parkes[2]分析了端部受刚性块撞击的悬臂梁的动力响应全过程, 并获得了解析解. 由于采用了理想刚塑性材料模型, 结构内的塑性变形集中于很小的区域(称为塑性铰)内; 同时发现在强动载荷作用下, 塑性铰会发生移动(即出现移行铰). 上述两篇论文基于动力学的基本原理(特别是动量定理和动量矩定理)建立了移行铰发生的条件和移动的规律, 从而奠定了结构冲击动力学的基础.
但是, 研究者们很快便发现, 上述以驻定或移行的塑性铰为特征的动力响应模式只适用于结构以弯曲承载的情形. 在冲击、爆炸等强动载荷作用下, 作为典型构件的平板(以及轴向变形受到约束的梁)在动态变形过程中会因发生大挠度变形而导致膜力的产生(对梁而言是轴力), 轴力或膜力反过来又增强了梁或板的动态承载能力. 图1给出了梁和板大变形承载机理的示意图. 于是, 理论模型和分析方法的进一步发展都致力于尽可能准确地反映从弯曲承载向膜力承载转化的基本机理. Symonds等[3]和Symonds等[4]最早考虑了轴力对于支座受轴向约束的梁的动力行为的影响. 此后在Jones[5]的专著中也论述了塑性板转化为塑性膜后的动力特性.
针对结构塑性动态大变形的分析, 有两套分析工具在过去30年中得到了长足的发展和应用. 首先, 膜力因子法(membrane factor method, MFM)是系统地计入膜力对结构承载能力的贡献的一种理论方法. Yu等[6]在对刚塑性地基梁的动力分析中首次提出膜力因子的概念; 随后在余同希和陈发良的一系列论文[7-10]中基于弯矩与膜力交互作用的“精确”极限曲面及与之关联的流动法则, 系统地推导出了梁和不同形状的平板(圆板、方板、多边形板、矩形板)在各种边界支承条件下膜力因子的表达式; 它们同用考虑“精确”极限曲面的其他方法(如直径截面平衡法[11]及广义屈服线方法[12])得出的圆板的大变形承载能力完全一致, 但分析过程更为清晰和简单. 膜力因子法的思路也已被引入对于其他结构件的力学分析, 例如Qin等[13-15]用类似的思路分析了金属泡沫为芯层的夹层梁在冲击下的大挠度动力响应. 本文的第2节中将给出梁和板的膜力因子的具体表达式.
另一套理论分析工具是饱和分析法(saturation analysis, SA). 基于在强动载荷作用下梁和板发生塑性大变形时膜力参与承载的力学机制, 可以预期, 如果外加的动载是一个持续时间较长的脉冲载荷, 一个可能发生的现象是: 当脉冲施加到一定时间之后, 由于结构自身的增强, 后继的脉冲载荷将不能使梁或板的变形继续增大; 这时梁或板的变形以及施加的脉冲都将达到一种饱和状态. 1973年Jones[16]在用刚塑性模型研究等腰三角形脉冲的砰击载荷时曾发现过这一现象, 而最早对饱和现象给出明确定义的则是Zhao等 [17-18]的论文. 他们对此现象给予了明确的力学诠释, 并由刚塑性分析出现饱和状态时的力学量定义了饱和冲量、饱和挠度和饱和时间. 之后, Zhu等[19]基于弹塑性数值模拟发现弹塑性的梁和板在持续时间较长的脉冲作用下也可能出现挠度和冲量的饱和, 进而对弹塑性结构的最大挠度和最终挠度分别定义出饱和冲量和饱和时间, 为饱和分析的工程应用拓宽了基础.
近几年来, 在国家自然科学基金项目支持下武汉理工大学朱凌研究团队同余同希、陈发良等合作, 对饱和现象进行了广泛深入的探索, 取得一系列进展, 例如: 各种不同的边界条件的矩形板在矩形脉冲载荷下的饱和分析[20]、线性衰减脉冲载荷下的饱和分析[21]和爆炸脉冲载荷下的饱和分析[22]. 除了假定材料为理想刚塑性外, 这一系列饱和分析大都假定动态响应过程中变形机构保持不变(也就是采用近似的模态解), 并且采用了方形的近似极限面代替准确的极限面, 因而得到的是板的最大挠度的下界(对应于外接方形屈服面)和上界(对应于内接方形屈服面).
为验证刚塑性解的合理性, 通常参照弹塑性有限元的数值模拟结果. 表1对分析梁和板塑性大变形的几类方法作了比较. 有限元数值模拟的优点是, 可以得到梁和板等结构的详尽动力响应, 得到任意时刻各变量的值, 而且适用于复杂形状的任意脉冲; 但是, 事先必须给定所有的材料、几何和外载参数才能进行模拟, 这就限制了结果的普适性. 另一方面, 解析方法能够直接导出最大挠度对外载和结构参数的依赖关系, 当这些参数改变时无需逐一计算, 所以仍具有不可替代的优越性. 早期基于模态近似技术的饱和分析法直观、相对简单、便于应用, 但所得到的是近似解(如最大挠度的上界和下界); 与之相比, 膜力因子法虽然在数学上复杂一些, 但可以计入瞬态变形场并采用准确的屈服面, 所以能够更精准地分析和预测结构的塑性大变形.
表 1 分析梁和板塑性大变形的几类方法Table 1. Comparison of several methods for analyzing large plastic deformation of beams and platesMethod Saturation analysis (SA) Membrane factor method (MFM) Finite element method (FEM) Material mode Rigid-perfectly plastic (R-PP) Rigid-perfectly plastic (R-PP) Elastic-perfectly plastic (E-PP) or Elastic-plastic Applicable objects Dynamic large deformation Quasi-static or dynamic large deformation Quasi-static or dynamic large deformation Deformation mode Modal deformation field Transient and modal deformation field Transient deformation field Yield surface Circumscribed and inscribed square limit surfaces Exact limit surface Exact limit surface Main results The upper and lower bounds of the maximum
deflection and its dependence on
external loading parametersMaximum deflection and its dependence on external loading parameters Maximum and final deflection, but each
set of loading parameters needs to be calculated
one by one上述比较启示我们, 最好能够把饱和分析(SA)和膜力因子法(MFM)结合起来. Tian等[23-25]对此作了系统的尝试, 对于矩形脉冲作用下的轴向不可移的梁、方板和矩形板按SA + MFM相结合的方法分析得到了大挠度动力响应完全解, 获得了比基于模态近似技术的饱和分析法更准确的最大挠度预测(以有限元数值模拟结果为参照). 同时, 将包含瞬态变形阶段的SA + MFM分析同仅考虑模态变形场的SA + MFM分析作比较, 发现最大挠度预测的准确性的提高主要归功于应用膜力因子法时采用了准确的屈服面, 而是否计及瞬态变形阶段则是一个相对次要的因素, 尽管在严格科学意义上, 瞬时变形模态确实存在, 并在实验中得到了证实[26].
在膜力因子法和饱和分析法所获得的最新成果的基础上, 本文将阐述一种对梁和板在强脉冲作用下的最大挠度的直接预测方法. 它具有充分的力学理论依据, 同时极大地简化了数学推导, 结果简单明晰, 容易推广到其他结构的情形, 而且便于工程应用.
1. 膜力因子
当金属制成的梁和板发生大变形时, 通常塑性变形占主导地位, 弹性变形可以忽略(例如钢板和铝板发生拉伸断裂前的塑性应变可以比最大弹性应变高2个量级以上), 因而可以采用理想刚塑性(R-PP)材料模型. 这个模型忽略材料的弹性变形, 也忽略材料屈服之后的应变强化.
考虑到梁和板的主要内力和变形特征量, 引入无量纲参数
$$ m \equiv M/{M_{\rm{p}}},\;\;\;n \equiv N/{N_{\rm{p}}},\;\;\;\delta \equiv \varDelta /h $$ 式中, M和N分别代表弯矩和梁中的轴力(或板中的膜力),
${M_{\rm{p}}}$ 和${N_{\rm{p}}}$ 分别是塑性极限弯矩和塑性极限轴力, h和Δ分别是梁或板的厚度和中点挠度.对于矩形截面梁,
${M_{\rm{p}}} = Yb{h^2}/4$ ,${N_{\rm{p}}} = Ybh$ , 其中Y是材料的屈服应力, b是梁的宽度. 对于板, 将这两个式子的b取为1, 就得到板的单位宽度上的塑性极限弯矩${M_0} = Y{h^2}/4$ 和塑性极限轴力${N_0} = Yh$ , 于是也可以类似地定义无量纲弯矩和无量纲膜力.当梁的变形机构确定后, 不考虑轴力时的能量耗散率为
${J_m} = {M_{\rm{p}}}\dot \kappa$ , 其中$\dot \kappa $ 是发生塑性极限弯矩的区域的曲率变化率. 同时, 计及轴力时的能量耗散率为$$ {J_{mn}} = M\dot \kappa + N\dot \varepsilon = {M_{\rm{p}}}\dot \kappa \left( {m + n\frac{{{N_{\rm{p}}}\dot \varepsilon }}{{{M_{\rm{p}}}\dot \kappa }}} \right) = {M_{\rm{p}}}\dot \kappa \left( {m + 2{n^2}} \right) $$ (1) 式中,
$\dot \varepsilon $ 是发生塑性极限轴力的区域的伸长变化率. 注意这里已用到梁的准确屈服条件, 即弯矩与轴力交互作用下的屈服条件$$ m + {n^2} = 1\tag{2a} $$ ![]()
图 2 弯矩与轴力的交互作用屈服面及与之关联的流动法则Figure 2. Interactive yield locus between bending moment and axial force and its associated flow rule$$ \frac{{{N_{\rm{p}}}\dot \varepsilon }}{{{M_{\rm{p}}}\dot \kappa }} = 2\frac{N}{{{N_{\rm{p}}}}} = 2n\tag{2b} $$ 于是, 将有轴力和没有轴力的情况下的能量耗散率作一个比较, 就可以定义一个膜力因子[6-10]
$$ {f_n} \equiv \frac{{{J_{mn}}}}{{{J_m}}} = m + 2{n^2} = 1 + {n^2} $$ (3) 这里用到了屈服条件
$m + {n^2} = 1$ .当载荷分布形式给定时, 梁或板的变形机构通常是可以根据理论分析、实验观察或数值模拟确定的, 例如当外载并不很大时可以采用准静态极限载荷作用下结构的初始破损机构(collapse mechanism). 假定这样得到的特定变形机构在整个动力响应过程中保持不变(也就是只考虑模态解), 依据流动法则和几何关系就能把轴力(或膜力)写成挠度的函数
$n = \varPhi (\delta )$ ; 再代入式(3)可以得出$\left. {{f_n} = \varPsi (\delta } \right)$ . 这就是说, 当梁或板的支承条件和载荷分布形式给定时, 由能量耗散率之比定义的膜力因子最终可以写成是梁或板的挠度的函数.例如, 对于在刚性体撞击下无限长梁发生局部变形的情形[6], 从位移协调的几何关系给出
$N/{N_{\rm{p}}} = n = \varDelta /h = \delta$ , 代入式(3)推导出$$ {f_n} = \frac{{{J_{mn}}}}{{{J_m}}} = \left\{ \begin{split} & {1 + {\delta ^2},\;\;\;\;\delta \leqslant 1} \\ & {2\delta, \;\;\;\;\;\;\;\;\delta \geqslant 1} \end{split} \right. $$ (4) 文献[7-10]依据以上思路推导了各种支承条件下的梁和板的膜力因子. 推导中假定梁或板承受的是均布载荷, 动态变形时的速度场与准静态均布载荷作用下的初始破损机动场几何相似, 且在大变形过程中此横向速度分布保持不变, 仅仅是速度的幅值随中点速度成比例地增加. 由于横向速度分布保持不变, 产生的结果是, 梁的横向位移场为三角形, 圆板的横向位移场为圆锥形, 方板的横向位移场为金字塔形. 表2总结了所得到的膜力因子.
表 2 梁和板的膜力因子一览Table 2. Membrane factors for beams and platesStructure and boundary conditions Membrane factor ${f_n}$ Reference Finite length beam, simply supported, axial immovable $\left\{ \begin{gathered} 1 + 4{\delta ^2}\;\;\;\;(\delta \leqslant 1/2) \\ 4\delta \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1/2) \\ \end{gathered} \right.$ Chen et al.[10] Finite length beam, fully clamped, axial immovable $\left\{ \begin{gathered} 1 + {\delta ^2}\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;(\delta \leqslant 1) \\ 2\delta \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1) \\ \end{gathered} \right.$ Chen et al.[10] Infinite beam, local deformation $\left\{ \begin{gathered} 1 + {\delta ^2}\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;(\delta \leqslant 1) \\ 2\delta \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1) \\ \end{gathered} \right.$ Yu et al.[6] Circular plate, simply supported, radially movable $\left\{ \begin{gathered} 1 + \frac{1}{3}{\delta ^2}\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;(\delta \leqslant 1) \\ \delta + \frac{1}{{3\delta }}\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1) \\ \end{gathered} \right.$ Calladine[11]
, Kondo et al.[12]Circular plate, simply supported, radially immovable $\left\{ \begin{gathered} 1 + \frac{4}{3}{\delta ^2}\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \leqslant 1/2) \\ 2\delta + \frac{1}{{6\delta }}\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1/2) \\ \end{gathered} \right.$ Yu et al.[7] Circular plate, fully clamped $ \left\{ \begin{gathered} 1 + \frac{1}{2}{\delta ^2}\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;(\delta \leqslant 1) \\ \delta + \frac{1}{{2\delta }}\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1) \\ \end{gathered} \right. $ Yu et al.[7] Square plate, simply supported $\left\{ \begin{gathered} 1 + \frac{4}{3}{\delta ^2}\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \leqslant 1/2) \\ 2\delta + \frac{1}{{6\delta }}\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1/2) \\ \end{gathered} \right.$ Chen et al.[8] Square plate, fully clamped $ \left\{ \begin{gathered} 1 + \frac{1}{2}{\delta ^2}\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;(\delta \leqslant 1) \\ \delta + \frac{1}{{2\delta }}\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1) \\ \end{gathered} \right. $ Chen et al.[8] 从这些示例看到, 梁和板的膜力因子只与它们的边界支承条件有关, 而与它们的轴向或面内的尺度无关, 膜力因子的表达式同外加载荷的幅值也不直接相关. 因此, 分析梁、方板和圆板的大变形时, 其膜力因子并不依赖于梁的长度或方板、圆板的大小, 这一性质给膜力因子法的应用带来极大的便利. 当然, 对于复杂形状的板, 还需要引进自身的几何特征比值, 例如矩形板的边长比, 它将影响板的准静态和动态力学行为.
需要特别指出, 膜力因子恰好表征了梁和板发生给定模式的大挠度变形时承载能力的增强. 例如, 按照表2给出的简支圆板的膜力因子恰好表征了简支圆板承载能力随中点挠度的增大而提高, 如图3所示. 同其他分析方法相比, 采用膜力因子法对圆板大变形承载能力的求解最为简明、直接, 并且能推导出非圆板的大变形行为, 这是先前其他方法未能做到的.
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图 3 边界为简支可移和简支不可移的圆板的膜力因子fn 随板中点的无量纲挠度的变化 , 同时也代表了圆板的承载能力在大挠度变形过程中的变化Figure 3. Variation of membrane factor fn of circular plates (with movable simply supported and immovable simply supported boundaries) with the dimensionless central deflection; it also represents the variation of the load-carrying capacity of circular plates during large deformation2. 基于膜力因子法分析方板的动态变形过程
作为示例, 下面演示如何分析均布矩形脉冲压力作用下固支方板(图4)的动力响应[24].
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图 4 均布矩形脉冲载荷作用下的固支方板Figure 4. Fully clamped square plate under uniformly distributed rectangular pulse loading为求解方板动力响应, 首先引入无量纲冲量
$$ \bar I = \frac{I}{{\sqrt {\mu h{p_y}} }} $$ 再定义无量纲脉冲强度
$\lambda \equiv {p_0}/{p_y}$ 及无量纲时间$$ \tau = \frac{t}{L}\sqrt {\frac{{{M_{\rm{p}}}}}{{\mu h}}} $$ 式中, I是施加的冲量, μ是单位面积板的质量;
${p_y}$ 是板在均布外载作用下的准静态初始极限压力, 对于固支方板,${p_y} = 12{M_0}/{L^2}$ , t是真实的时间, L是方板边长之半.对于图5所示的变形模式, 基于动量矩定理分析区域OAB, 可以得到小挠度下的运动控制方程为
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图 5 均布脉冲载荷下方板的固定变形模态Figure 5. Time-independent deformation mode of a square plate under uniformly distributed pulse loading$$ \int_0^L {\mu \ddot \theta {{(L - x)}^2}{\rm{d}}{S_x}} = \int_0^L {p(t)(L - x){\rm{d}}{S_x}} - 2L\alpha {M_{\rm{p}}} $$ (5) 式中,
$\ddot \theta $ 为区域OAB沿边AB的转动加速度(对真实时间的二次求导),${\rm{d}}{S_x} = 2 x{\rm{d}}x$ 是区域OAB内的微元面积,$\alpha $ 是板的边界条件参数($\alpha = 1$ 是简支边界;$\alpha = 2$ 是固支边界).然后, 借助膜力因子, 可以非常方便地直接得到大挠度下的方板的运动控制方程
$$ \int_0^L {\mu \ddot \theta {{(L - x)}^2}{\rm{d}}{S_x}} = \int_0^L {p(t)(L - x){\rm{d}}{S_x}} - 2L\alpha {M_{\rm{p}}}{f_n} $$ (6) 对上式进行化简并以挠度表示, 得到下面的控制方程
$$ \mathop \delta \limits^{oo} = 12\alpha \lambda - 12\alpha {f_n} $$ (7) 式中,
$\mathop \delta \limits^{oo} $ 是对无量纲时间$\tau $ 的二次求导, 也就是板中点变形的无量纲加速度.将膜力因子代入可以得到简支方板的运动控制方程为
$$ \mathop \delta \limits^{oo} = \left\{ \begin{gathered} 12\lambda - 12 - 16{\delta ^2},\;\;\;\;\;\delta \leqslant 1/2 \\ 12\lambda - 24\delta - \frac{2}{\delta },\;\;\;\;\;\;\;\delta \geqslant 1/2 \\ \end{gathered} \right. $$ (8) 类似地, 固支方板的运动控制方程为
$$ \mathop \delta \limits^{oo} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {24\lambda - 24 - 12\delta, \;\;\;\;\;\delta \leqslant 1} \\ {24\lambda - 12 - 24\delta, \;\;\;\;\;\delta \geqslant 1} \end{array}} \right. $$ (9) 对于固支方板, 可以发现式(9)具有解析解
$$ \delta = \left\{ \begin{split} & {\left( {2 - 2\lambda } \right)\cos (2\sqrt 3 \tau) + 2\lambda - 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\delta \leqslant 1} \\ & {{c_1}\;\cos (2\sqrt 6 \tau) + {c_2}\;\sin (2\sqrt 6 \tau) + 2\lambda - 1,\;\;\delta \geqslant 1\;} \end{split} \right. $$ (10) 式中,
$\delta \geqslant 1$ 时的无量纲挠度公式中的${c_1}$ 和${c_2}$ 可以通过初始条件$\tau = {\cos ^{ - 1}}\left[ {(3 - 2\lambda )/(2 - 2\lambda )} \right]/2\sqrt 3 $ 时$ \delta {\text{ = }}1 $ 和$ \mathop \delta \limits^o = 12\left( {\lambda - 1} \right)\sqrt {1 - {{\left[ {(3 - 2\lambda )/(2 - 2\lambda )} \right]}^2}} /\sqrt 3 $ 计算得到, 同时发现只有载荷幅值$\lambda > 4/3$ 时, 无量纲最大挠度才会大于1.从这个典型示例看到, 只要采用合适的无量纲化, 饱和挠度、饱和冲量和饱和时间都可以表达成脉冲强度λ的简单函数.
我们也看到, 将膜力因子法和饱和分析结合起来, 构成了分析结构动态大变形力学行为的一种强有力的工具. 对此, 更详尽的比较和讨论可以参见文献[28-29].
3. 基于膜力因子直接预测在矩形脉冲作用下梁的最大挠度
第2节基于膜力因子法对方板动态变形过程作了详尽分析; 本节将以梁为例, 提出一种基于膜力因子直接预测最大挠度的方法. 先考察载荷−挠度平面, 如图6所示, 横坐标取为无量纲挠度
$\delta $ , 纵坐标取为无量纲载荷$p(t)/{p_y}$ , 其中$p(t)$ 是外加的均布脉冲压力,${p_y}$ 是梁的准静态初始极限压力(initial collapse pressure). 下面限于考虑矩形脉冲加载的情形, 即$p(t) = {\text{const.}}$ , 其持续时间为足够长. 同时, 对于宽为b, 高为h的矩形截面固支梁, 极限分析给出![]()
图 6 载荷−挠度曲线及内外功平衡示意图Figure 6. Load-deflection curve and a sketch on internal and external power balance$$ {p_y} = \frac{{2\alpha {M_{\rm{p}}}}}{{{L^2}}} = \frac{{\alpha Yb{h^2}}}{{2{L^2}}} $$ (11) 其中
${M_{\rm{p}}}$ ,$Y$ 和L已在第1节和第2节中定义;$\alpha $ 是梁的边界条件参数, 定义与第2节中的方板一致.图6显示, 在
$(p/{p_y})\sim \delta $ 平面上, 外载脉冲$\lambda = {p_0}/{p_y}$ 表现为一条水平直线, 而刚塑性梁在大挠度下的抵抗力表现为一条上升的曲线, 即第2节中给出的${f_n}\sim \delta $ 关系曲线. 这两条线下面的面积代表各自所做的功. 如果矩形脉冲施加的时间较长, 出现饱和现象, 那么根据内外功相等的原则, 塑性变形结束时这两个面积应当相等, 这时相应的横坐标就是最大挠度, 也就是饱和挠度${\delta _s}$ . 于是, 无量纲最大挠度${\delta _s}$ 由下式决定$$ \lambda {\delta _s} = \int_0^{{\delta _s}} {{f_n}{\rm{d}}\delta } $$ (12) 以式(4a)代入式(12), 对于
$\delta \leqslant 1$ 得到$$ \lambda {\delta _s} = \int_0^{{\delta _s}} {(1 + {\delta ^2})} {\rm{d}}\delta = {\delta _s} + \frac{1}{3}{\delta _s}^3 $$ (13) 等式两边除以
${\delta _s}$ 后, 可以直接求解得到$$ {\delta _s} = \sqrt {3\left( {\lambda - 1} \right)} , \quad {\delta _s} \leqslant 1 $$ (14) 适用范围
${\delta _s} \leqslant 1$ 要求$1 \leqslant \lambda \leqslant 4/3$ .式(4b)代入式(12), 对于
$\delta \geqslant 1$ 得到$$ \lambda {\delta _s} = \int_0^1 {(1 + {\delta ^2}){\rm{d}}\delta } + \int_1^{{\delta _s}} {2\delta {\rm{d}}\delta } = \frac{1}{3} + {\delta _s}^2 $$ (15) 归结为求解一个二次方程, 因此
$$ {\delta _s} = \frac{1}{2}\left( {\lambda + \sqrt {{\lambda ^2} - \frac{4}{3}} } \right),\;\;\;\;\;{\delta _s} \geqslant 1 $$ (16) 此式适用于
$\lambda \geqslant 4/3$ .采用Taylor级数展开, 式(16)可以近似地表达为
$$ \begin{split} {\delta }_{s} &= \frac{1}{2}\left[\lambda + {\left({\lambda }^{2}-\frac{4}{3}\right)}^{1/2}\right] \\ &= \frac{1}{2}\left[\lambda + \lambda {\left(1-\frac{4}{3{\lambda }^{2}}\right)}^{1/2}\right]\\ &\approx \frac{1}{2}\left[\lambda + \lambda \left(1-\frac{2}{3{\lambda }^{2}}\right)\right]\end{split} $$ (17) 因此
$$ {\delta _s} \approx \lambda - \frac{1}{{3\lambda }},\;\;\;\;\;\;\;{\delta _s} \geqslant 1 $$ (18) 式(16)或式(18)与式(14)合起来提供了
$\lambda \geqslant 1$ 范围内无量纲最大挠度${\delta _s}$ 的近似公式. 由此可以计算得到在无量纲幅值为$\lambda $ 的矩形脉冲作用下固支梁的最大挠度, 总结如表3所示.表 3 按式(14)及式(16)或式(18)计算得到的固支梁的最大挠度Table 3. The maximum deflection of fully clamped beam calculated by Eq. (14) and Eq. (16) or Eq. (18)$\lambda $ 1 1.2 4/3 1.5 2 4 6 10 ${\delta _s}$
(14)&(16)0 0.775 1.000 1.229 1.817 3.915 5.944 9.967 ${\delta _s}$
(14)&(18)0 0.775 1.083 1.278 1.833 3.917 5.944 9.967 上述结果同用更详尽的分析[3]得到的饱和挠度符合良好, 如图7所示. 表3也说明了, 当无量纲载荷幅值
$\lambda $ 增大时, 无量纲最大挠度${\delta _s}$ 迅速趋近$\lambda $ 的数值. 当$\lambda > 2$ , 采用近似式${\delta }_{s}\approx \lambda -1/(3\lambda )$ , 其误差在1%之内.![]()
图 7 固支梁的无量纲最大挠度随载荷幅值的变化Figure 7. Dimensionless maximum deflection varies with dimensionless pulse amplitude for fully clamped beams对于固支梁, 总结可以得到下式
$$ {\delta }_{s} = \left\{\begin{split} &\sqrt{3\left(\lambda -1\right)},\quad{\delta }_{s}\leqslant 1\\ &\frac{1}{2}\left(\lambda + \sqrt{{\lambda }^{2}-\frac{4}{3}}\right)\approx \lambda -\frac{1}{3\lambda },\quad{\delta }_{s}\geqslant 1\end{split}\right. $$ (19) 对于简支梁, 从式(12)出发可以得到
$$ \lambda {\delta }_{s} = \left\{\begin{split} &{\delta }_{s} + \frac{4}{3}{\delta }_{s}^{3},\quad{\delta }_{s}\leqslant 1/2\\ &2{\delta }_{s}^{2} + \frac{1}{6},\quad{\delta }_{s}\geqslant 1/2\end{split}\right. $$ (20) 求解可得
$$ {\delta }_{s} = \left\{\begin{split} &\frac{1}{2}\sqrt{3\left(\lambda -1\right)},\quad{\delta }_{s}\leqslant 1/2\\ &\frac{1}{4}\left(\lambda + \sqrt{{\lambda }^{2}-\frac{4}{3}}\right)\approx \frac{\lambda }{2}-\frac{1}{6\lambda },\quad{\delta }_{s}\geqslant 1/2\end{split}\right.$$ (21) 简支梁的结果同完全解(应用膜力因子法, 包含瞬态响应阶段)的对比如图8所示. 由此可见采用上述直接预测方法得到的最大挠度在外载较小时与完全解十分接近, 随着载荷幅值的增加它会稍小于完全解的结果. 这是由于在直接预测法中只考虑了梁的模态响应, 而被忽略的瞬态响应阶段随载荷幅值的增大将渐显重要.
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图 8 简支梁的无量纲最大挠度随载荷幅值的变化Figure 8. Dimensionless maximum deflection varies with dimensionless pulse amplitude for simply supported beams注意到式(18)和式(21)预测的结果稍小于完全解, 相应地可参考完全解的拟合公式[24]对式(18)和式(21)进行修正. 然后, 将
$\delta \geqslant 1$ 或者$\delta \geqslant 1/2$ 时的公式中$\lambda $ 的系数替换为现有系数(1/2和1)同完全解拟合公式中的系数的平均值, 由此得到对于简支梁的近似修正解为$$ {\delta _s} \left\{ \begin{split} & = {\frac{1}{2}\sqrt {3\left( {\lambda - 1} \right)}, \;\;\;\;\;\;\;{\delta _s} \leqslant 1/2} \\ & { \approx 0.525\lambda - \frac{1}{{6\lambda }},\;\;\;\;{\delta _s} \geqslant 1/2} \end{split} \right. $$ (22) 对于固支梁的近似修正解为
$$ {\delta _s} \left\{ \begin{split} & = {\sqrt {3\left( {\lambda - 1} \right)}, \;\;\;\;\;\;\;\;{\delta _s} \leqslant 1} \\ & { \approx 1.05\lambda - \frac{1}{{3\lambda }},\;\;\;\;\;{\delta _s} \geqslant 1\;} \end{split} \right. $$ (23) 4. 基于膜力因子直接预测在矩形脉冲作用下方板的最大挠度
当刚塑性方板在矩形脉冲作用下发生模态变形(即不考虑塑性铰移行的瞬态响应阶段)时, 对于简支和固支方板的膜力因子已按照文献[8]的结果在表2中列出. 同时, 对于边长为2L, 厚度为h的简支和固支方板, 极限分析给出准静态初始极限压力
$$ {p_y} = \frac{{6\alpha {M_0}}}{{{L^2}}} = \frac{{3\alpha Y{h^2}}}{{2{L^2}}} $$ (24) 如果施加的矩形脉冲较长, 出现饱和现象, 那么根据内外功相等的原则, 方板的饱和挠度(亦即最大挠度)
${\delta _s}$ 仍由式(12)决定. 将表2列出的方板膜力因子式代入式(12), 对于简支方板, 可得$$ \lambda {\delta }_{s} = \left\{\begin{split} &{\delta }_{s} + \frac{4}{9}{\delta }_{s}^{3},\quad{\delta }_{s}\leqslant 1/2\\ &{\delta }_{s}^{2} + \frac{1}{6}\mathrm{ln}(2{\delta }_{s}) + \frac{11}{36},\quad{\delta }_{s}\geqslant 1/2\end{split}\right. $$ (25) 对于固支方板, 则有
$$ \lambda {\delta }_{s} = \left\{\begin{split} &{\delta }_{s} + \frac{1}{4}{\delta }_{s}^{2},\quad {\delta }_{s}\leqslant 1\\ &\frac{1}{2}{\delta }_{s}^{2} + \frac{1}{6}{\delta }_{s} + \frac{1}{4},\quad{\delta }_{s}\geqslant 1\end{split}\right.$$ (26) 于是, 最大挠度仅需要求解初等方程式(25)或式(26)即可得到, 不需要再对复杂的微分方程进行数值求解去得到板的动力响应的时间历程.
对于简支方板, 由式(25)无法直接求得显示解; 然而, 不难验证, 在
${\delta _s} \geqslant 1/2$ 的广大范围内, 式(25)右端第2项中$\ln (2{\delta _s})$ 的值的占比不超过8%, 且随着${\delta _s}$ 的增大其占比会更小. 因此, 可以将这一项略去, 并求解得到$$ {\delta _s} \left\{ \begin{split} & = {\frac{3}{2}\sqrt {\lambda - 1}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\delta _s} \leqslant 1/2} \\ & { \approx \frac{\lambda }{2} + \frac{{\sqrt {9{\lambda ^2} - 11} }}{6},\;\;\;\;\;{\delta _s} \geqslant 1/2} \end{split} \right. $$ (27) 再对式(27)采用Taylor级数展开, 式(27)可以进一步近似表达为
$$ {\delta _s} \left\{\begin{split} & = {\frac{3}{2}\sqrt {\lambda - 1}, \;\;\;\;\;\;{\delta _s} \leqslant 1/2} \\ & { \approx \lambda - \frac{{11}}{{36\lambda }},\;\;\;\;{\delta _s} \geqslant 1/2} \end{split} \right. $$ (28) 将式(25)的数值解与式(28)近似解作比较, 发现当
$\lambda > 3$ 时相互的差异不超过4%.对于固支方板, 类似地可以得到
$$ {\delta _s} = \left\{ \begin{split} & {4\left( {\lambda - 1} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\delta _s} \leqslant 1} \\ & {\lambda + \frac{1}{2}\sqrt {4{\lambda ^2} - 4\lambda - 1} - \frac{1}{2},\;\;\;\;\;{\delta _s} \geqslant 1} \end{split} \right. $$ (29) 图9对矩形脉冲载荷下固支方板的膜力因子法 + 瞬态响应阶段 + 模态响应阶段、膜力因子法 + 固定模态、模态解的上下限, 以及本文提出的直接预测方法的结果作出了对比. 可以发现, 本文提出的直接预测方法对于最大挠度可以提供精度很好的预测, 且同膜力因子法 + 固定模态的结果, 即第2节给出的式(10)的结果基本重叠. 两者不同之处在于, 式(10)可以提供板中点的变形历史, 而直接预测方法给出的只是板中点的最大挠度. 但是, 与直接预测方法相关联的初等方程求解非常简便, 结果形式上也简单许多. 因此, 如果工程设计上只关注梁或板等结构的最大变形, 直接预测方法是一种方便且高效的选择.
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图 9 固支方板的无量纲最大挠度随载荷幅值的变化Figure 9. Dimensionless maximum deflection varies with dimensionless pulse amplitude for fully clamped square plates5. 讨论
5.1 基于膜力因子的直接预测方法的准确度
基于膜力因子和内外功的平衡, 第3和第4节预测了梁和方板在矩形脉冲作用下的饱和挠度, 当脉冲较长时它也就是最大挠度. 结果表明, 与详尽跟踪梁和板的塑性变形的时间历程得到的完全解相比, 本文首次提出的这种简易方法预测的最大挠度在大多数情况下具有90%以上的准确度. 例如对于固支方板, 图9显示在幅值
$\lambda \geqslant 2$ 的脉冲载荷作用下, 式(29)给出的结果同弹塑性有限元模拟结果相对差异约在6%以内, 同完全解相对差异在4%以内.当外载幅值仅仅略微超过准静态极限载荷(即无量纲载荷
$\lambda \equiv {p_0}/{p_y}$ 略大于1)时, 基于膜力因子直接预测最大挠度的准确度不高. 这是因为刚超过屈服极限时的结构的力学行为仍然受到弹性变形的较大影响, 在这个范围内刚塑性理想化本身带有相当大的误差.当以无量纲载荷
$\lambda \equiv {p_0}/{p_y}$ 表征的外载幅值很大时, 基于膜力因子直接预测的最大挠度略微小于梁和板的塑性动力响应完全解得出的最大挠度, 这不是膜力因子本身带来的误差, 而是源于我们忽略了塑性动力响应的瞬态阶段, 假定梁和板的大变形完全跟随恒定的模态所致.5.2 脉冲等效替代技术及其应用
饱和分析只能对最简单和理想的脉冲形状获得解析结果, 而工程中遇到的脉冲常常具有复杂的、甚至类似于随机的形状; 因此, 建立一种用矩形脉冲来等效替代任意形状的加载脉冲的方法, 是一个极具工程意义的实用技术.
早在1970年, Youngdahl[30]提出了一个脉冲等效替代方法. 它用3个参量来表征任意形状的脉冲(图10): 脉冲的有效冲量
${I_{\rm{e}}}$ , 脉冲时间的中值${t_{{\rm{mean}}}}$ 以及脉冲的等效幅值${p_{\rm{e}}}$ $$\qquad\quad {I_{\rm{e}}} = \int_{{t_y}}^{{t_f}} {p(t){\rm{d}}t} $$ (30) $$\quad\qquad {t_{{\rm{mean}}}} = \frac{1}{{{I_{\rm{e}}}}}\int_{{t_y}}^{{t_f}} {(t - {t_y})} p(t){\rm{d}}t $$ (31) $$\qquad\quad {p_{\rm{e}}} = {I_{\rm{e}}}/(2{t_{{\rm{mean}}})} $$ (32) 当脉冲
$p(t)$ 的形状和幅值均已知时, 要确定上述3个参量, 还必须先标定等效脉冲的起始时间${t_y}$ 和终止时间${t_f}$ .${t_y}$ 代表塑性变形开始的时刻, 因此通常只要取脉冲幅值达到准静态初始极限载荷${p_y}$ 的时刻即可. 但是, 由于结构运动的惯性, 若没有进行动力响应的详细时程分析, 是很难预判结构的塑性变形是何时停止的, 所以塑性变形结束的时刻${t_f}$ 是难以确定的. 为绕过这一难点, Youngdahl[30]建议根据以下经验公式来决定${t_f}$ $$ ({t_f} - {t_y}){p_y} = \int_{{t_y}}^{{t_f}} {p(t){\rm{d}}t} $$ (33) 换一个角度思考, 从饱和分析的原理可以知道, 饱和时间
${t^{{\rm{sat}}}}$ 恰好表征了结构塑性变形的结束时间, 因此采用${t_f} = {t^{{\rm{sat}}}}$ 就是对${t_f}$ 的最合理的取法[31]. 从图10来看, Youngdahl的经验公式(33)和基于饱和冲量的脉冲等效方法${t_f} = {t^{{\rm{sat}}}}$ 二者都旨在决定如何在任意脉冲中切除对结构塑性变形不再产生影响的脉冲的“尾部”, 但选取${t_f} = {t^{{\rm{sat}}}}$ 显然具备更清晰、更准确的力学意义, 从而是更加合理的.因此, 与饱和分析相结合的“改进的Youngdahl方法”[21,31]为我们提供了一套更为合理的脉冲等效替代的技术, 能够把任意形状的加载脉冲转换为矩形脉冲, 从而大大拓宽本文提出的基于膜力因子直接预测最大挠度方法的应用范围.
6. 结语
在冲击、爆炸等强动载荷作用下, 由于结构(板或梁)的动态大变形而诱发的膜力(或轴力)将显著增强结构的动态承载能力. 膜力因子法反映了从弯曲承载向膜力承载转化的力学机理, 已被证明是准确计入膜力对结构承载能力的贡献的一种系统的理论方法.
近年来经过深入研究而获得长足发展的饱和分析方法, 揭示了由于结构发生大变形时承载能力的增强, 在足够长的加载脉冲作用下会出现挠度和冲量的饱和现象. 通过饱和分析能够确定出结构的饱和挠度、饱和时间和饱和冲量; 在出现饱和的情况下, 饱和挠度就是结构塑性变形的最大挠度, 而饱和时间则为改进传统的脉冲等效方法提供了合理的途径.
按照有膜力和没有膜力的情况下的能量耗散率之比定义的膜力因子, 可以很方便地将结构小变形的控制方程改写为大变形的控制方程. 将饱和分析同膜力因子法结合起来时, 由于采用了准确的弯矩−轴力交互作用极限曲面, 可以得到更准确的饱和挠度和饱和冲量.
本文的核心在于揭示, 与饱和分析的概念相结合, 膜力因子的表达式还可以用来直接预测梁和板在矩形脉冲作用下的最大挠度. 这正是本文首次提出的直接预测法的力学基础. 这个方法极大地简化了数学推导, 只需要求解初等方程就可以简单明晰地得到结果, 非常适合于工程应用. 它不但可以用于各种支承条件的直梁和平板, 还可以推广到夹层板、多层板、加筋板等; 若结合经过改进的脉冲等效技术, 更可以适用于任意形状脉冲加载的问题.
尽管本文提出的直接预测的方法简单易行, 它也有一些局限性. 首先, 这一方法是基于理想刚塑性假定的, 它忽略了材料的应变强化和弹性的影响. 对于材料的应变强化不很显著的情形, 通常可以采用适当提高屈服应力的方式来近似计入应变强化对最终挠度的影响. 另一方面, 如果外载强度不很大、所引起的塑性变形与弹性效应同量级, 则必须通过细致地估计弹性效应来修正刚塑性预测的结果. 这方面我们已经取得了一些研究进展, 请参见文献[32]. 直接预测法的另一个局限性来自它并没有涉及结构变形的时间历程, 因此还需要继续探讨怎样计入应变率效应从而对最终挠度作出修正. 这些是在应用本文公式时需要注意的.
最后, 值得指出的是, 膜力因子法和饱和分析都是我们中国学者率先独立开创的、具有自主知识产权的力学理论方法. 本文阐述的对梁和板在强脉冲作用下的饱和挠度的直接预测方法, 是在膜力因子法和饱和分析方法所获得的成果基础上作出的最新发展.
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图 9 固支方板的无量纲最大挠度随载荷幅值的变化
Figure 9. Dimensionless maximum deflection varies with dimensionless pulse amplitude for fully clamped square plates
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图 2 弯矩与轴力的交互作用屈服面及与之关联的流动法则
Figure 2. Interactive yield locus between bending moment and axial force and its associated flow rule
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图 3 边界为简支可移和简支不可移的圆板的膜力因子fn 随板中点的无量纲挠度的变化 , 同时也代表了圆板的承载能力在大挠度变形过程中的变化
Figure 3. Variation of membrane factor fn of circular plates (with movable simply supported and immovable simply supported boundaries) with the dimensionless central deflection; it also represents the variation of the load-carrying capacity of circular plates during large deformation
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图 4 均布矩形脉冲载荷作用下的固支方板
Figure 4. Fully clamped square plate under uniformly distributed rectangular pulse loading
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图 5 均布脉冲载荷下方板的固定变形模态
Figure 5. Time-independent deformation mode of a square plate under uniformly distributed pulse loading
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图 6 载荷−挠度曲线及内外功平衡示意图
Figure 6. Load-deflection curve and a sketch on internal and external power balance
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图 7 固支梁的无量纲最大挠度随载荷幅值的变化
Figure 7. Dimensionless maximum deflection varies with dimensionless pulse amplitude for fully clamped beams
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图 8 简支梁的无量纲最大挠度随载荷幅值的变化
Figure 8. Dimensionless maximum deflection varies with dimensionless pulse amplitude for simply supported beams
表 1 分析梁和板塑性大变形的几类方法
Table 1 Comparison of several methods for analyzing large plastic deformation of beams and plates
Method Saturation analysis (SA) Membrane factor method (MFM) Finite element method (FEM) Material mode Rigid-perfectly plastic (R-PP) Rigid-perfectly plastic (R-PP) Elastic-perfectly plastic (E-PP) or Elastic-plastic Applicable objects Dynamic large deformation Quasi-static or dynamic large deformation Quasi-static or dynamic large deformation Deformation mode Modal deformation field Transient and modal deformation field Transient deformation field Yield surface Circumscribed and inscribed square limit surfaces Exact limit surface Exact limit surface Main results The upper and lower bounds of the maximum
deflection and its dependence on
external loading parametersMaximum deflection and its dependence on external loading parameters Maximum and final deflection, but each
set of loading parameters needs to be calculated
one by one
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表 2 梁和板的膜力因子一览
Table 2 Membrane factors for beams and plates
Structure and boundary conditions Membrane factor ${f_n}$ Reference Finite length beam, simply supported, axial immovable $\left\{ \begin{gathered} 1 + 4{\delta ^2}\;\;\;\;(\delta \leqslant 1/2) \\ 4\delta \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1/2) \\ \end{gathered} \right.$ Chen et al.[10] Finite length beam, fully clamped, axial immovable $\left\{ \begin{gathered} 1 + {\delta ^2}\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;(\delta \leqslant 1) \\ 2\delta \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1) \\ \end{gathered} \right.$ Chen et al.[10] Infinite beam, local deformation $\left\{ \begin{gathered} 1 + {\delta ^2}\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;(\delta \leqslant 1) \\ 2\delta \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1) \\ \end{gathered} \right.$ Yu et al.[6] Circular plate, simply supported, radially movable $\left\{ \begin{gathered} 1 + \frac{1}{3}{\delta ^2}\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;(\delta \leqslant 1) \\ \delta + \frac{1}{{3\delta }}\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1) \\ \end{gathered} \right.$ Calladine[11]
, Kondo et al.[12]Circular plate, simply supported, radially immovable $\left\{ \begin{gathered} 1 + \frac{4}{3}{\delta ^2}\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \leqslant 1/2) \\ 2\delta + \frac{1}{{6\delta }}\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1/2) \\ \end{gathered} \right.$ Yu et al.[7] Circular plate, fully clamped $ \left\{ \begin{gathered} 1 + \frac{1}{2}{\delta ^2}\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;(\delta \leqslant 1) \\ \delta + \frac{1}{{2\delta }}\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1) \\ \end{gathered} \right. $ Yu et al.[7] Square plate, simply supported $\left\{ \begin{gathered} 1 + \frac{4}{3}{\delta ^2}\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \leqslant 1/2) \\ 2\delta + \frac{1}{{6\delta }}\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1/2) \\ \end{gathered} \right.$ Chen et al.[8] Square plate, fully clamped $ \left\{ \begin{gathered} 1 + \frac{1}{2}{\delta ^2}\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} \;\;(\delta \leqslant 1) \\ \delta + \frac{1}{{2\delta }}\;\;\;\;\;{\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} {\kern 1 pt} (\delta \geqslant 1) \\ \end{gathered} \right. $ Chen et al.[8]
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表 3 按式(14)及式(16)或式(18)计算得到的固支梁的最大挠度
Table 3 The maximum deflection of fully clamped beam calculated by Eq. (14) and Eq. (16) or Eq. (18)
$\lambda $ 1 1.2 4/3 1.5 2 4 6 10 ${\delta _s}$
(14)&(16)0 0.775 1.000 1.229 1.817 3.915 5.944 9.967 ${\delta _s}$
(14)&(18)0 0.775 1.083 1.278 1.833 3.917 5.944 9.967
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百度学术
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