THE MODE AND SCATTERED ENERGY DISTRIBUTION OF GUIDED WAVES PROPAGATING IN TWO COUPLED PLANE-STRAIN LAYERS WITH RIGID BASE
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摘要: 过渡段动力稳定性问题已成为制约400 km/h及以上高铁路基设计的关键难题, 亟需从波动和能量的角度探究由基础非均匀引发的线路系统动力响应放大机理. 文章将轨下基础简化为上表面自由、底端固定的刚性基弹性层, 将高铁过渡段车致弹性波传播问题提炼为非均匀介质刚性基弹性层中波的散射问题, 建立双介质耦合刚性基弹性层平面应变模型, 优化该类波导结构频散方程在复平面求根方法, 并结合岩土类介质特征展开刚性基弹性层频散分析, 以明确其多模式导波特性及散射能量分配, 最后, 围绕弹性层厚度、刚度比等影响因素开展对比分析. 结果表明: 刚性基弹性层各模式导波均具有截止频率, 弹性层厚度越小, 杨氏模量越大, 各阶导波模式的截止频率越高; 入射波在双介质刚性基弹性层发生散射后, 透射场基阶模式导波会占据主体能量, 随着高阶导波模式被逐一激发, 反射场及透射场高阶模式能量占比会在全频率范围呈现“此消彼长”状态; 交换两侧弹性层材料, 改变弹性层厚度及两弹性层刚度比不会显著改变能量分布规律, 但总体来看, 能量更易集中在较软侧弹性层中, 各模式导波在激发初始频段会更为活跃, 可分配到更多能量.Abstract: The dynamic stability of subgrade in transition zones has become a key problem restricting the design of high-speed railway subgrade with a speed of 400 km/h and above. It urgent to explore the amplification mechanism of system dynamic response caused by non-uniform foundation from the perspective of wave and energy. In this paper, the foundation under track is reduced to a elastic layer which has a free surface and rigid bottom. The problem of vehicle induced elastic wave propagation in the transition zones in high-speed railway is refined into the problem of wave scattering in the inhomogeneous elastic layer with rigid base. A plane-strain model of two medium coupling elastic layers with rigid base is established. Facing with the dispersion equation of elastic layer with rigid base, the paper optimizes the method of finding roots in complex plane. Then, the dispersion analyses of the elastic layers that are assigned with geotechnical medium are carried out, and the corresponding multi-mode guided wave characteristics and the distribution of scattered energy are clarified. Furthermore, in terms of the thickness of elastic layer, stiffness ratio of two elastic layers and so on, comparative analyses are carried out at last. The results indicate that all of the guided wave modes in the elastic layer with rigid base have cut-off frequencies. When the thickness of the elastic layer decreases or the Young's modulus of the medium increases, the cut-off frequency of each order guided wave mode becomes higher. In scattering, the fundamental mode of the transmitted field can occupy the main energy. And as modes are excited one by one, the proportion of energy of higher modes of the reflected field and the transmitted field shows a “trade-off” state in the full frequency range. The energy distribution law will not be significantly changed when the elastic layer materials on both sides are exchanged, or the elastic layers thickness and the stiffness ratio is changed. On the whole, the energy is more easily concentrated in the softer elastic layer, and guided wave mode is more active in the initial frequency band after excitation and distributes more energy.
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引 言
为适应经济快速发展需求, 高速铁路不断发展建设为必然趋势, 我国自2020年启动CR450科技创新工程以寻求400 km/h及以上高速铁路技术突破, 随着列车运营速度不断提升, 系统动力异常现象的逐步显现, 如何确保提速后系统动力稳定性及基础结构耐久性是目前探讨的热点问题[1-2].
过渡段为铁路工程中必要结构也是薄弱环节, 当普通路基段与桥梁、涵洞等结构衔接时, 会分区填筑各式填料以实现轨下基础的平稳过渡[3-6], 如图1所示. 统计资料表明, 过渡段结构劣化速度显著高于一般路基段和桥梁段, 结构裂缝、不均匀沉降等病害频发, 维护工作量可达均匀路段的3 ~ 6倍[7-8]. 为探明过渡段区域影响列车运行稳定性和轨道劣化的本源, 众多学者着眼于系统振动及部件动力响应[9-15], 围绕载荷临界速度受限、结构交界面及附近动应力集中等现象展开机理研究, Metrikine等[16-17]则从能量角度出发, 探讨移动载荷下非均匀结构能量辐射及分布, 上述研究均表明过渡段的非均匀性, 如轨道形式变化、轨下基础变化及填筑材料突变等会影响系统服役性能, 合理的临近结构材料匹配及过渡方案对系统维稳至关重要. 在铁路运营速度不断提升的背景下, 无论在空间上还是时间上, 移动载荷对下部结构的激励作用会显著提升, 研究不应局限于系统瞬态及局部动力响应, 波动在轨下基础中的传播也应被重视. 过渡段由不同结构及填料区紧密连接, 可整体被看作非均匀介质波导结构, 波动途经非均匀区域将不可避免出现复杂散射现象. 本文拟简化轨下基础为含刚性基底的弹性层结构, 简称为“刚性基弹性层”, 并通过赋予非均匀介质模拟轨下基础及填料分区, 围绕波在非均匀刚性基弹性层中的散射过程展开基础性理论研究.
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结构非均匀性表现在材料介质的物理性质如密度和弹性参数等随空间几何位置变化, 或结构出现断层、裂缝和空洞等缺陷上. 考虑导波频散特征且各模式(mode)导波传播特性均与波导材料、尺寸、边界条件息息相关, 利用波动探查非均匀结构隐式信息被广泛研究. 在地震学、岩土工程领域中, 通过面波勘测软弱夹层、地层厚度及物理力学参数已较为常见[18-20], 除此之外, 超声波无损检测技术也快速发展, 基于入射波在结构非均匀处激发的多模式波动及其能量携载信息, 可推演缺陷几何结构、位置和尺寸等. 在弹性板导波特性已被大众熟知的基础上, 学者们多以板为基础研究对象并赋予钢、铝、橡胶等工业用材, 开展如水平裂纹或夹杂物造成的波动模式转化[21-23], 板表面开裂或缺口引发的散射和能量逸散[24-25], 以及多材料耦合或周期板中反射、透射场能量分配[26-27]等研究.
Scandrett等[26]以双介质弹性板为研究对象, 探讨了入射波在板交界处的散射现象及能量分配, 但刚性基弹性层结构与弹性板边界条件有明显区别, 不同于弹性板上下表面均应力自由, 刚性基弹性层底部为固定边界, 一般来说, 层状结构多为波导结构, 结构中多模式导波传播特性具有很强的研究价值. 目前, 有关刚性基弹性层本身及采纳该类弹性层为数学物理模型帮助探讨工程问题机理的研究较少, 一些学者[16,28-29]曾推导频散方程及开展波数求解, 但频散特征具体分析鲜见, 岩土类介质刚性基弹性层的多模式导波传播特性仍然不明. 在垂直及倾斜界面耦合弹性层渡越辐射模型中[16,30], 均采用刚性基弹性层表示轨下基础, 但该研究聚焦于移动载荷移经弹性层交界面激发的渡越辐射现象, 载荷作用下的两弹性层稳态场差值成为自由场激扰源, 渡越辐射能由此产生且由自由场传播模式导波携载运输, 而非直接关注导波传播过程中遭遇结构不均匀而发生的散射及能量分配现象, 此外, 渡越辐射能虽由固定模式导波承载, 但未见篇幅描述岩土类介质刚性基弹性层频散特征及深入探讨各模式导波能量携运能力.
本文将过渡段车致弹性波传播问题提炼为非均匀介质刚性基弹性层中波动散射问题, 并建立双介质耦合刚性基弹性层模型, 模型中两弹性层由垂直界面耦合, 通过赋予两弹性层不同材料介质, 模拟过渡段沿线路纵向的轨下基础刚度变化. 本文首先探明此类波导结构频散特征及多模式导波传播特性, 随后, 聚焦于传播模式导波入射至结构交界面时发生的散射现象, 深入分析反射场及透射场各导波模式对能量的分配及运载情况, 最后, 结合弹性层厚度、刚度比等影响因素开展对比分析.
1. 双介质耦合刚性基弹性层平面应变模型建立
高铁过渡段的非均匀性不仅体现在轨下基础变化(路基、桥梁、涵洞等), 也体现在路基填筑区岩土类材料力学性质在水平及竖直方向的变化. 为控制解析/半解析模型求解难度, 本文将非均匀轨下基础等效为通过垂直界面耦合的双介质刚性基弹性层, 通过赋予两弹性层不同材料介质, 表征沿线路纵向轨下基础刚度变化, 此模型左右侧弹性层可分别指代不同结构, 如桥梁及路基, 也可分别指代路基段相邻的不同刚度填料区.
双介质耦合刚性基弹性层模型如图2所示, 模型中两弹性层在垂直界面
$ x = 0 $ 处耦合, 弹性层①, ②分别设置为均匀的各向同性线弹性介质, 模型整体采用二维平面应变条件, 上表面设置为自由表面, 下表面则设置为刚性基, 两侧向无限远处延伸.![]()
图 2 双介质耦合刚性基弹性层平面应变模型Figure 2. Plane-strain model of two medium coupling elastic layers with rigid base模型边界条件如下式所示, 其中, 自由表面应力分量为0, 下表面位移分量为0
$$ {\left. {\sigma _{zz}^{(j)}} \right|_{z = 0}} = {\left. {\sigma _{zx}^{(j)}} \right|_{z = 0}} = 0 $$ (1) $$ {\left. {u_x^{(j)}} \right|_{z = h}} = {\left. {u_z^{(j)}} \right|_{z = h}} = 0 $$ (2) 式中, j = 1, 2为弹性层编号.
当左侧弹性层有波入射至弹性层耦合界面时, 介质不连续会导致入射波发生散射, 分别以反射波和透射波的形式在介质中继续传播, 考虑介质连续特性, 分界面x = 0左右侧弹性场应满足连续条件, 即左侧入射场叠合反射场在界面处与右侧透射场保持位移及应力连续, 该连续条件可表示为
$$ {{\boldsymbol{u}}^{(1),{\text{I}}}}(0,z,t) + {{\boldsymbol{u}}^{(1),{\text{R}}}}(0,z,t) = {{\boldsymbol{u}}^{(2),{\text{T}}}}(0,z,t) $$ (3) 其中, 弹性场由向量
$ {\boldsymbol{u}} = {\left[ {{u_x},{u_z},{\sigma _{xx}},{\sigma _{xz}}} \right]^{\text{T}}} $ 构成, 上标(1), (2)分别代表左、右侧介质, I, R, T分别表示入射场、反射场及透射场.针对列车动载荷引起的轨下基础振动响应问题, 学者们一般采用现场监测、数值模拟等手段获得路基振动状态, 并通过振动信号处理, 开展功率谱/频谱分析及模态研究. 已有研究表明, 车致弹性波在路基结构传播中, 振动响应主频范围主要位于30 ~ 80 Hz之间[31-35], 本文重点探究岩土类介质刚性基弹性层波导结构的频散特征及散射场计算方法, 因此, 在后续计算中, 散射场能量的频域分析范围将设置为0 ~ 100 Hz, 以覆盖路基中车致弹性波能量分布的主频范围. 为了解析及清晰观察到单一模式入射波造成的散射场多模式导波激励现象, 本文模型暂选取单一模式导波入射垂直界面, 并深入研究反射场及透射场各模式导波分配及携载能量情况.
2. 刚性基弹性层平面应变型导波模式
在受明确边界条件限制的层状结构中, 波动主要以导波形式传播及运载能量. 如图3所示, 在本文双介质耦合弹性层模型中, 弹性层①, ②均为刚性基弹性层波导结构, 其弹性场由导波叠加而成. 导波具有频散特性及多模式特征, 各模式导波的传播速度不仅受波导材料物理特性影响, 也由频率相关的波函数决定, 可反映结构几何特性等重要信息. 为实现界面处弹性场解耦, 应首先明确弹性层①, ②波导结构的频散特性及导波模式.
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图 3 刚性基弹性层波导结构平面应变模型Figure 3. Plane-strain model of waveguide structure of elastic layer with rigid base2.1 基础方程
忽略体力矢量, 对于各向同性弹性介质, 波动方程可通过Helmholtz分解定理实现膨胀波分量与旋转波分量的解耦, 弹性场则可由一组标量势
$ \phi (x,z,t) $ 及矢量势$ \psi (x,z,t) $ 表示. 本模型中导波沿水平方向传播, 基于平面简谐波假设, 采用分离变量法假设标量势函数及矢量势函数形式如下, 此组势函数用于表示向x正方向传播的行波$$ \phi (x,z,t){\text{ = }}\varPhi (z) \cdot {{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_x}x}} \cdot {{\rm{e}}^{{\text{i}}\omega t}} $$ (4) $$ \psi (x,z,t){\text{ = }}\varPsi (z) \cdot {{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_x}x}} \cdot {{\rm{e}}^{{\text{i}}\omega t}} $$ (5) 其中,
$z $ 向相关函数$\varPhi (z)$ 及$\varPsi (z)$ 表示$z $ 向驻波, 可分别展开为$$ \varPhi (z){\text{ = }}{B_{{\text{P}}1}}{{\rm{e}}^{{\text{+i}}{k_{z,{\text{P}}}}(z - h)}} + {B_{{\text{P2}}}}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{P}}}}z}} $$ (6) $$ \varPsi (z){\text{ = }}{B_{{\text{S}}1}}{{\rm{e}}^{{\text{+i}}{k_{z,{\text{S}}}}(z - h)}} + {B_{{\text{S2}}}}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{S}}}}z}} $$ (7) 式中,
$ {B_{{\text{P1}}}} $ ,$ {B_{{\text{P2}}}} $ ,$ {B_{{\text{S1}}}} $ 及$ {B_{{\text{S2}}}} $ 为与边界条件相关的常数;$ {k_x} $ 为水平向波数,$ {k_{z,{\text{P}}}}^2 = {{{\omega ^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\omega ^2}} {{c_{\text{P}}}^2}}} \right. } {{c_{\text{P}}}^2}} - {k_x}^2 $ ,${k_{z,{\text{S}}}}^2 = {{{\omega ^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\omega ^2}} {{c_{\text{S}}}^2}}} \right. } {{c_{\text{S}}}^2}} - {k_x}^2$ ,$ {c_{\text{P}}} = \sqrt {{{(\lambda + 2\mu )} \mathord{\left/ {\vphantom {{(\lambda + 2\mu )} \rho }} \right. } \rho }} $ 及$ {c_{\text{S}}} = \sqrt {{\mu \mathord{\left/ {\vphantom {\mu \rho }} \right. } \rho }} $ 分别为膨胀波波速及旋转波波速,$ \lambda $ 和$ \mu $ 为拉梅常数, 可由弹性模量E及泊松比$\upsilon$ 求得,$ \rho $ 为弹性介质密度, h为刚性基弹性层厚度.弹性场由
$z $ 相关项、x相关项及时间项构成, 可写为下述形式$$ {\boldsymbol{u}} = {\boldsymbol{U}}(z) \cdot {{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_x}x}} \cdot {{\rm{e}}^{{\text{i}}\omega t}} $$ (8) 式中, 向量
$ {\boldsymbol{u}} = {\left[ {{u_x},{u_z},{\sigma _{xx}},{\sigma _{zz}},{\sigma _{xz}}} \right]^{\text{T}}} $ ; 向量${\boldsymbol{U}}(z) = {\left[ {{U_x},{U_z},{T_{xx}},{T_{zz}},{T_{xz}}} \right]^{\text{T}}}$ , 以势函数表达各分量如式(9)所示$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{U_x}} \\ {{U_z}} \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_{xx}}} \\ {{T_{zz}}} \\ {{T_{xz}}} \end{array}} \end{array}} \right]{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\text{i}}{k_x}\varPhi - \varPsi '} \\ {\varPhi ' - {\text{i}}{k_x}\varPsi } \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} { - (\lambda + 2\mu ){k_x}^2\varPhi + 2{\text{i}}\mu {k_x}\varPsi ' + \lambda \varPhi ''} \\ {(\lambda + 2\mu )\varPhi '' - 2{\text{i}}\mu {k_x}\varPsi ' - \lambda {k_x}^2\varPhi } \\ { - \mu (2{\text{i}}{k_x}\varPhi ' + \varPsi '' + {k_x}^2\varPsi )} \end{array}} \end{array}} \right] $$ (9) 2.2 频散方程
在求取水平波数
$ {k_x} $ 及B系数时, 需基于模型边界条件构造特征值求解问题. 参考位移及应力分量的势函数表达形式及模型边界条件(式(1) ~ 式(2)), 可获得关于$ {B_{{\text{P1}}}} $ ,$ {B_{{\text{P2}}}} $ ,$ {B_{{\text{S1}}}} $ 及$ {B_{{\text{S2}}}} $ 的一组方程$$ \left.\begin{split} &({k_x}^2 - {k_{z,{\text{S}}}}^2){{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{P}}}}h}}{B_{{\text{P1}}}}{\text{ + (}}{k_x}^2 - {k_{z,{\text{S}}}}^2{\text{)}}{B_{{\text{P2}}}} + \\ &\qquad 2{k_x}{k_{z,{\text{S}}}}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{S}}}}h}}{B_{{\text{S1}}}} - 2{k_x}{k_{z,{\text{S}}}}{B_{{\text{S2}}}} = 0\\ &2{k_x}{k_{z,{\text{P}}}}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{P}}}}h}}{B_{{\text{P1}}}} - 2{k_x}{k_{z,{\text{P}}}}{B_{{\text{P2}}}} +({k_{z,{\text{S}}}}^2 -\\ &\qquad {k_x}^2){{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{S}}}}h}}{B_{{\text{S1}}}}+ ({k_{z,{\text{S}}}}^2 - {k_x}^2){B_{{\text{S2}}}} = 0\\ &- {\text{i}}{k_x}{B_{{\text{P1}}}} - {\text{i}}{k_x}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{P}}}}h}}{B_{{\text{P2}}}} - {\text{i}}{k_{z,{\text{S}}}}{B_{{\text{S1}}}}{\text{ + i}}{k_{z,{\text{S}}}}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{S}}}}h}}{B_{{\text{S2}}}} = 0\\ &{\text{i}}{k_{z,{\text{P}}}}{B_{{\text{P1}}}} - {\text{i}}{k_{z,{\text{P}}}}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{P}}}}h}}{B_{{\text{P2}}}} - {\text{i}}{k_x}{B_{{\text{S1}}}} - {\text{i}}{k_x}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{S}}}}h}}{B_{{\text{S2}}}} = 0\end{split}\right\}$$ (10) 为了保证该齐次线性方程组存在非平凡解, 系数矩阵行列式需恒等于零, 如下式所示
$$ {\text{Det(}}{k_x}) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {({k_x}^2 - {k_{z,{\text{S}}}}^2){{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{P}}}}h}}}&{{k_x}^2 - {k_{z,{\text{S}}}}^2}&{2{k_x}{k_{z,{\text{S}}}}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{S}}}}h}}}&{ - 2{k_x}{k_{z,{\text{S}}}}} \\ {2{k_x}{k_{z,{\text{P}}}}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{P}}}}h}}}&{ - 2{k_x}{k_{z,{\text{P}}}}}&{({k_{z,{\text{S}}}}^2 - {k_x}^2){{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{S}}}}h}}}&{{k_{z,{\text{S}}}}^2 - {k_x}^2} \\ { - {\text{i}}{k_x}}&{ - {\text{i}}{k_x}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{P}}}}h}}}&{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{S}}}}}&{{\text{i}}{k_{z,{\text{S}}}}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{S}}}}h}}} \\ {{\text{i}}{k_{z,{\text{P}}}}}&{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{P}}}}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{P}}}}h}}}&{ - {\text{i}}{k_x}}&{ - {\text{i}}{k_x}{{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_{z,{\text{S}}}}h}}} \end{array}} \right| = 0 $$ (11) 此方程即为频散方程, 可表示为
$ {\text{Det(}}{k_x}) = 0 $ , 一般用于求解各频率下水平波数$ {k_x} $ , 并帮助获取频散关系$ {k_x}(\omega ) $ . 其后, 通过代入$ {k_x} $ 值, 可求取特征向量$ {B_{{\text{P1}}}} $ ,$ {B_{{\text{P2}}}} $ ,$ {B_{{\text{S1}}}} $ 及$ {B_{{\text{S2}}}} $ . 每个水平波数均对应一组B向量集.2.3 频散方程求解
刚性基弹性层频散方程为超越方程, 无法求得解析解, 一般可选择Newton-Raphson迭代求根算法[30,36]求取数值解, 但对本方程来说该算法存在以下局限性: 该算法对于初值选取要求较高, 会直接影响计算结果的准确性, 本文考虑衰逝模式导波, 该类导波对应复数形式水平波数, 在设置初始值时则需要将根的实部和虚部分开考虑, 分别设置初始值并加以组合, 同时, 由于各频率下可求得无数复数根, 且根在复平面分布密集, 为了保证不漏解, 这就要求实部及虚部在各自被圈定的范围内以很小的数值间隔组合为初值并参与计算, 不仅计算量大且需要对所得输出值进行去重, 去重过程也易出现保留重复根或者漏根的情况. 因此, 总的来看, 该方法由于初始值取值难度高, 计算量大及根取舍易失误等问题难以直接用于本频散方程求解, 亟需更为高效准确的计算方法.
本文拟采用围线积分法开展频散方程求解, 该方法建立在广义对数留数定理的基础上, 具体计算方法参见文献[37]. 对于本频散方程来说, 可结合传播模式及非传播模式根的分布将复平面求解域划分为适当大小的矩形网格, 由该法依次判断闭合曲线中的根的数目, 并结合代数定理一次性求解该网格内所有根. 需要注意的是, 受方程复杂性限制, 围线积分法中涉及的积分计算仍需采用数值积分方法. 为规避数值频散风险, 可通过检验所求根是否落在网格范围内来判断计算准确性, 若超出网格范围, 需拆分网格, 在小网格范围再次搜根及求解. 最终, 将围线积分法所求水平波数作为初值代入Newton-Raphson法复验, 可进一步提高精度. 频散方程求解具体流程及复平面网格划分可参考图4及图5.
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图 4 频散方程$ {\text{Det(}}{k_x}) = 0 $ 求解流程图Figure 4. Flow chart of the solution of dispersion equation$ {\text{Det(}}{k_x}) = 0 $ 频散介质中存在有限的传播模式(propagating modes)及无限的衰逝模式(evanescent modes). 传播模式由纯实数根表示, 可运载能量; 衰逝模式, 也被称为非传播模式, 由纯虚数根和复数根表示, 其幅值会随传播距离的增加指数衰减, 不能运载能量. 在本文中, 弹性场x相关项
${{\rm{e}}^{ - {\text{i}}{k_x}x}}$ 表示波动沿x轴正向传播, 为保证传播方向正确, 实数根应满足群速度为正值(${c_g} = {{{\rm{d}}\omega } \mathord{\left/ {\vphantom {{{\rm{d}}\omega } {\rm{d}}}} \right. } {\rm{d}}}{k_x} > 0$ ); 纯虚数根及复数根应保证虚部为负值(${{\rm{Im}}} ({k_x}) < 0$ ), 以保证该模式在正x方向上呈现幅值指数衰减.采用上述频散方程求解流程试算文献[16]案例, 该案例中刚性基弹性层厚度h = 25 m, 弹性层介质选取本文材料D (杨氏模量E = 70 MPa, 密度
$ \rho {\text{ = 1700 kg/}}{{\text{m}}^3} $ , 泊松比$ \upsilon {\text{ = }}0.4 $ ), 在频率10 Hz下, 该弹性层水平波数$ {k}_{x} $ 在复平面分布如图6所示. 由图6可见, 该频率下可求解获得6个实数根, 3个纯虚数根及关于虚轴${{\rm{Re}}} ({k_x}){\text{ = }}0$ 一一对称的无数复数根. 本文计算结果与文献[16]一致, 证明本文频散方程求解流程可靠, 该法可在有效改善重复根及漏根情况的同时, 显著提高频散方程计算效率.![]()
图 6 水平波数$ {k_x} $ 计算结果及验证Figure 6. Calculation results and verification of horizontal wave number$ {k_x} $ 3. 垂直界面处散射求解及导波能量分配
由于仅传播模式导波可载运能量, 入射波需要选择为右行传播模式导波, 虽为单一模式入射波, 其在散射过程中会被激发出多模式导波, 反射场及透射场则均由无数导波模式对应的弹性场叠加而成, 如下所示; 为实现垂直界面弹性场连续, 反射场及透射场需同时包含传播模式及非传播模式导波
$$ {{\boldsymbol{u}}^{(1),{\text{I}}}}(x,z,t) = \sum\limits_{m = 1}^\infty {A_m^{\text{I}}{\boldsymbol{U}}_m^{(1)}(z){{\rm{e}}^{ - {\text{i}}k_{x;m}^{(1)}x}}{{\rm{e}}^{{\text{i}}\omega t}}} $$ (12) $$ {{\boldsymbol{u}}^{(1),{\text{R}}}}(x,z,t) = \sum\limits_{m = 1}^\infty {A_m^{\text{R}}{\boldsymbol{\bar U}}_m^{(1)}(z){{\rm{e}}^{{\text{i}}k_{x;m}^{(1)}x}}{{\rm{e}}^{{\text{i}}\omega t}}} $$ (13) $$ {{\boldsymbol{u}}^{(2),{\text{T}}}}(x,z,t) = \sum\limits_{p = 1}^\infty {A_p^{\text{T}}{\boldsymbol{U}}_p^{(2)}(z){{\rm{e}}^{ - {\text{i}}k_{x;p}^{(2)}x}}{{\rm{e}}^{{\text{i}}\omega t}}} $$ (14) 式中, 向量
$ {\boldsymbol{U}} = {\left[ {{U_x},{U_z},{T_{xx}},{T_{xz}}} \right]^{\text{T}}} $ 表示$z $ 相关位移本征函数或应力本征函数, 具体表达参考式(9), 上标“—”表示共轭, A表示各场导波模式系数, 其中, 入射系数($ A_m^{\text{I}}{\text{ = }}1 $ )已知, 反射系数($ A_m^{\text{R}} $ )及透射系数($ A_p^{\text{T}} $ )为待求值, m/p表示场中第m/p阶导波模式. 为简化描述, 在后续计算中, 时间谐变项${{\rm{e}}^{{\text{i}}\omega t}}$ 被省略$$ \begin{split} &\sum\limits_{m = 1}^\infty {A_m^{\text{I}}U_{x;m}^{(1)}(z){{\rm{e}}^{ - {\text{i}}k_{x;m}^{(1)}x}} + } \sum\limits_{m = 1}^\infty {A_m^{\text{R}}\bar U_{x;m}^{(1)}(z){{\rm{e}}^{{\text{i}}k_{x;m}^{(1)}x}}} = \\ &\qquad \sum\limits_{p = 1}^\infty {A_p^{\text{T}}U_{x;p}^{(2)}(z){{\rm{e}}^{ - {\text{i}}k_{x;p}^{(2)}x}}}\end{split} $$ (15) $$\begin{split} &\sum\limits_{m = 1}^\infty {A_m^{\text{I}}U_{z;m}^{(1)}(z){{\rm{e}}^{ - {\text{i}}k_{x;m}^{(1)}x}} + } \sum\limits_{m = 1}^\infty {A_m^{\text{R}}\bar U_{z;m}^{(1)}(z){{\rm{e}}^{{\text{i}}k_{x;m}^{(1)}x}}} = \\ &\qquad \sum\limits_{p = 1}^\infty {A_p^{\text{T}}U_{z;p}^{(2)}(z){{\rm{e}}^{ - {\text{i}}k_{x;p}^{(2)}x}}}\end{split} $$ (16) $$ \begin{split} &\sum\limits_{m = 1}^\infty {A_m^{\text{I}}T_{xx;m}^{(1)}(z){{\rm{e}}^{ - {\text{i}}k_{x;m}^{(1)}x}} + } \sum\limits_{m = 1}^\infty {A_m^{\text{R}}\bar T_{xx;m}^{(1)}(z){{\rm{e}}^{{\text{i}}k_{x;m}^{(1)}x}}} = \\ &\qquad\sum\limits_{p = 1}^\infty {A_p^{\text{T}}T_{xx;p}^{(2)}(z){{\rm{e}}^{ - {\text{i}}k_{x;p}^{(2)}x}}} \end{split}$$ (17) $$ \begin{split} &\sum\limits_{m = 1}^\infty {A_m^{\text{I}}T_{xz;m}^{(1)}(z){{\rm{e}}^{ - {\text{i}}k_{x;m}^{(1)}x}} + } \sum\limits_{m = 1}^\infty {A_m^{\text{R}}\bar T_{xz;m}^{(1)}(z){{\rm{e}}^{{\text{i}}k_{x;m}^{(1)}x}}} = \\ &\qquad \sum\limits_{p = 1}^\infty {A_p^{\text{T}}T_{xz;p}^{(2)}(z){{\rm{e}}^{ - {\text{i}}k_{x;p}^{(2)}x}}}\end{split} $$ (18) 在垂直界面x = 0处, 将连续条件式(3)展开如式(15) ~ 式(18)所示. 其中, 根据弹性层关于
$z $ 轴对称特点, 同一介质中位移本征函数及应力本征函数应存在等式关系$$ \bar U_x^{(j)} = - U_x^{(j)},\bar U_z^{(j)} = U_z^{(j)}$$ (19) $$ \bar T_{xx}^{(j)} = T_{xx}^{(j)},\bar T_{xz}^{(j)} = - T_{xz}^{(j)} $$ (20) 参考基于弹性动力学中Betti-Rayleigh互易定理推导的正交关系[38], 如下式所示
$$ \begin{split} &\int\nolimits_0^h {(T_{xx;n}^{(j)}U_{x;m}^{(j)} - U_{z;n}^{(j)}T_{xz;m}^{(j)}){\rm{d}}z} {\text{ = }} \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} {N_n^{(j)},m = n} \\ {0,m \ne n} \end{array}\right.\\ &\qquad j = 1,2 \end{split}$$ (21) 首先, 对式(15)和式(18)分别乘以
$ T_{xx;n}^{(1)} $ 和$ - U_{z;n}^{(1)} $ 并相加, 对式(16)和式(17)分别乘以$ - T_{xz;q}^{(2)} $ 和$ U_{x;q}^{(2)} $ 并相加, 然后, 对所得两等式的两侧沿厚度$z $ 积分及简化, 可获得式(22)和式(23)$$ A_n^{\text{R}}N_n^{(1)} + \sum\limits_{p = 1}^\infty {A_p^{\text{T}}{K_{np}}} = A_n^{\text{I}}N_n^{(1)} $$ (22) $$ - \sum\limits_{m = 1}^\infty {A_m^{\text{R}}{L_{qm}}} + A_q^{\text{T}}N_q^{(2)} = \sum\limits_{m = 1}^\infty {A_m^{\text{I}}{L_{qm}}} $$ (23) 式中,
$ {K_{np}} $ 与$ {L_{qm}} $ 为两弹性层导波模式混合积分项, 分别表示为$$ {K_{np}} = \int\nolimits_0^h {(T_{xx;n}^{(1)}U_{x;p}^{(2)} - U_{z;n}^{(1)}T_{xz;p}^{(2)}){\rm{d}}z} $$ (24) $$ {L_{qm}} = \int\nolimits_0^h {(T_{xx;m}^{(1)}U_{x;q}^{(2)} - U_{z;m}^{(1)}T_{xz;q}^{(2)}){\rm{d}}z} $$ (25) 在虚拟波模式
$ k_{x;n}^{(1)} $ 和$ k_{x;q}^{(2)} $ 的参与下, 此组等式在化简前即可展开为与未知系数A数量相匹配的大型方程组并实现系数A求解, 此处采用正交关系开展简化的优点则体现在规避了大量积分计算而节约计算资源上.为实现反射场及透射场的导波模式系数计算, 需截断参与计算的模式数量M/P, 将方程(22)和式(23)写为矩阵形式如下
$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{N}}_{M \times M}^{(1)}}&{{{\boldsymbol{K}}_{M \times P}}} \\ { - {{\boldsymbol{L}}_{P \times M}}}&{{\boldsymbol{N}}_{P \times P}^{(2)}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{A}}_{M \times 1}^{\text{R}}} \\ {{\boldsymbol{A}}_{P \times 1}^{\text{T}}} \end{array}} \right]{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{Z}}_{M \times 1}}} \\ {{{{\boldsymbol{\hat Z}}}_{P \times 1}}} \end{array}} \right] $$ (26) 其中,
$ {\boldsymbol{Z}} $ 及$ {\boldsymbol{\hat Z}} $ 为列向量, 分别表示为$ {\boldsymbol{N}}_{M \times M}^{(1)}{\boldsymbol{A}}_{M \times 1}^{\text{I}} $ 及$ {{\boldsymbol{L}}_{P \times M}}{\boldsymbol{A}}_{M \times 1}^{\text{I}} $ ;$ {{\boldsymbol{N}}^{(1)}} $ 和$ {{\boldsymbol{N}}^{(2)}} $ 为对角线矩阵,$ {\boldsymbol{K}} $ 及$ {\boldsymbol{L}} $ 为满矩阵; 待求向量$ {{\boldsymbol{A}}^{\text{R}}} $ 及$ {{\boldsymbol{A}}^{\text{T}}} $ 分别包含M个反射系数$ A_m^{\text{R}} $ 及P个透射系数$ A_p^{\text{T}} $ , 由矩阵运算求得.入射波在垂直界面散射过程中会将能量传递给反射场及透射场, 非传播模式对应水平波数由于存在指数衰减项, 不能载运能量向远处传播, 仅能在不均匀区域附近积累少量能量, 可忽略不计, 入射能量会由传播模式导波载运, 理论上讲, 入射波能量应与散射场波能量守恒. 参考Gregory等[39]给出的能量流表达, 可计算固定频率下反射场及透射场各传播模式导波分担的能量如下
$$ E_m^{\text{R}} = \left| {{{{{\rm{Im}}} (N_m^{(1)})} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\rm{Im}}} (N_m^{(1)})} {{{\rm{Im}}} (N_{m = 0}^{(1)})}}} \right. } {{{\rm{Im}}} (N_{m = 0}^{(1)})}}} \right|{\left\| {A_m^{\text{R}}} \right\|^2} $$ (27) $$ E_p^{\text{T}} = \left| {{{{{\rm{Im}}} (N_p^{(2)})} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\rm{Im}}} (N_p^{(2)})} {{{\rm{Im}}} (N_{m = 0}^{(1)})}}} \right. } {{{\rm{Im}}} (N_{m = 0}^{(1)})}}} \right|{\left\| {A_p^{\text{T}}} \right\|^2} $$ (28) 4. 垂直界面处散射求解及导波能量分配
刚性基弹性层受明确边界条件限制, 应具有明显的频散特性, 涉及多模式导波. 当单一模式波携运能量入射至两介质层垂直界面时, 入射波会被转换为波导结构允许存在的导波模式集合, 叠加构成反射场及透射场. 为深入研究双介质耦合刚性基弹性层散射问题, 应首先明确该类波导结构频散特性及导波模式.
4.1 刚性基弹性层与弹性板平面应变型导波频散特性对比
为帮助明确刚性基弹性层频散特性及分析导波模式, 首先结合为人熟知的弹性板波导结构频散特性开展对比, 选取钢介质(
${c_{\text{P}}}{\text{ = }}5940\;{\text{m/s}}$ 及${c_{\text{S}}}{\text{ = }}3200\;{\text{m/s}}$ )进行频散方程计算. 为方便对比, 暂时将上述公式中x相关项替换为${{\rm{e}}^{{\text{+i}}{k_x}x}}$ , 以表示波动沿x轴正向传播, 此时, 为保证非传播模式在正x方向上呈现幅值指数衰减传播方向正确, 纯虚数根及复数根应保证虚部为正值(${{\rm{Im}}} ({k_x}) > 0$ ). 计算结果如图7所示, 频散曲线清晰展示各导波模式及波数−频率间相关性等信息.![]()
图 7 钢介质刚性基弹性层频散曲线Figure 7. Dispersion curve of rigid base elastic layer with steel medium对比文献[21]展示的弹性板频散曲线结果可知, 刚性基弹性层波导结构表现出与弹性板类似的频散特性, 实数根曲线清晰展示了各传播模式导波, 它们由非传播模式转化而来. 弹性板波导结构上下表面均为自由表面, 基于其相对板厚度中心对称的特点, 导波模式可分为对称及反对称模式, 但本文刚性基弹性层模型上下表面边界条件不同, 导波模式需要被统一编号, 其中,
$ {G_0} $ 代表基阶模式导波(fundamental mode), 相比于自零频率就出现的弹性板基阶模式$ {S_0} $ 及$ {A_0} $ 来说, 刚性基弹性层的$ {G_0} $ 模式存在明显的截止频率, 当频厚积$ fh \approx 80.42\;{\text{Hz}} \cdot {\text{m}} $ 时,$ {G_0} $ 才由非传播模式(见蓝色虚线, 纯虚数根)转换为传播模式(见红色实线, 实数根), 而对于高阶模式导波(higher modes)来说, 无论是弹性板还是刚性基弹性层, 各模式导波均随着频厚积增加依次出现; 个别导波模式包含部分负值实数根曲线, 该类模式会首先以负相速度传播, 在较高频率才恢复正相速度, 但其群速度始终保持为正, 即运载能量向x轴正向传播.4.2 刚性基弹性层平面应变型导波波速分析
本节为更好地观察刚性基弹性层波导结构频散特性及开展导波波速分析, 结合被赋予材料A ~ D的刚性基弹性层, 以传播模式导波相速度−频率的形式展示频散曲线, 其中, 导波相速度由
$ {c_{{\text{ph}}}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{k_x}}}} \right. } {{k_x}}} $ 求得, 式中,$ \omega $ 为圆频率, 由频率$ f $ 确定, 即$\omega {\text{ = }}2\text{π} f$ . 材料A, B, C和D的泊松比($ \upsilon {\text{ = }}0.4 $ )及密度($ \rho {\text{ = 1700 kg/}}{{\text{m}}^3} $ )一致, 杨氏模量E则分别为100 MPa, 90 MPa, 80 MPa及70 MPa. 如图8(a) ~ 图8(c)所示, 不同材料介质及弹性层厚度下, 相速度曲线分布规律基本一致. 图中各曲线分别对应一种导波传播模式,单一频率下可出现多个导波模式, 各模式导波相速度随频率发生变化, 表现出明显的频散特征; 各模式均存在截止频率, 低于截止频率时, 该传播模式未激发, 随着频率的提高, 出现导波模式数量不断增加. 结合图7可知, 对应负实数根$ {k_x} $ , 会存在导波模式初始以负相速度传播的情况, 为保证图片清晰美观, 图8(a) ~ 图8(c)省略展示了负相速度部分曲线.![]()
图 8 刚性基弹性层导波模式相速度Figure 8. Phase velocity of guided wave modes in rigid base elastic layer总体来看, 波导结构频散特性受介质杨氏模量及厚度影响, 对比图8(b)及8(c)可知, 当弹性层厚度相同时, 杨氏模量越高(越硬), 同一频率下导波模式越少, 在频率达到50 Hz时, 材料D弹性层中出现7个高阶导波模式, 材料A弹性层仅出现5个高阶导波模式; 弹性层厚度减小同样会影响高阶导波模式激发, 比较图8(a)及8(b)可知, 当弹性层厚度由25 m减小为7.5 m时, 各阶导波模式的截止频率同步提高, 频率25 Hz下激发高阶模式导波由13个减少至3个. 图8(d)展示了材料A弹性层厚度由25 m减少至5 m的
$ {G_0} $ 及$ {G_1} $ 相速度曲线, 可以更清晰地看到在厚度减小时导波模式截止频率会逐步提高, 除此以外, 比对相同介质下弹性半无限体瑞利波速可知, 基阶模式$ {G_0} $ 相速度可基本收敛于同介质下的半无限体瑞利波速, 因此, 可将其看为广义瑞利模式; 高阶导波模式则随着频率增加逐渐收敛于弹性介质旋转波波速$ {c_{\text{S}}} $ . 弹性半无限体瑞利波速可近似表示为$ {c_{\text{R}}} = {{(0.87 + 1.12\upsilon ){c_{\text{S}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{(0.87 + 1.12\upsilon ){c_{\text{S}}}} {(1 + \upsilon )}}} \right. } {(1 + \upsilon )}} $ [29].图9展示了材料D及材料A弹性层群速度曲线. 同样可以看到, 达到截止频率后, 各阶导波模式被依次激发, 群速度会迅速升至峰值速度, 后降低并逐渐趋于平缓, 其中, 基阶模式
$ {G_0} $ 群速度会收敛于半无限体瑞利波速$ {c_{\text{R}}} $ . 对比图9(a)及图9(b)可知, 弹性层材料的杨氏模量越高, 即材料越“硬”, 其各阶导波模式群速度峰值及整体水平均较高.![]()
图 9 刚性基弹性层导波模式群速度Figure 9. Group velocity of guided wave modes in rigid base elastic layer5. 模型验证
对反射场及透射场的导波模式系数解耦计算(式(22) ~ 式(23))时, 需截断参与计算的模式数量M/P, 一般来说, 纳入考虑导波模式数量M/P越多, 计算结果会越精确. 为判断模型正确性及参与计算的导波模式数量是否足够, 可通过观察垂直界面处弹性场是否连续或入射场及散射场的能量是否守恒实现. 本节将围绕验证模型正确性及探讨解耦计算中所需非传播模式数量展开, 将弹性层厚度设置为7.5 m, 并对弹性层①及弹性层②分别赋予材料D及材料A, 入射波采用弹性层①的基阶传播模式导波
$ {G_0} $ , 求解获得散射场各模式导波反射/透射系数.结合散射场计算结果, 首先提取25 Hz频率下模型水平位移场, 观察其在垂直界面处连续情况. 如图10(a)所示, 当仅考虑传播模式时, 即M = 4, P = 4, 弹性层①及弹性层②的位移场在垂直界面处明显不连续, 位移等高线呈现阶梯状; 当额外考虑100个非传播模式时, 即M = 104, P = 104对应水平位移场如图10(b)所示, 可明显观察到弹性层①及弹性层②位移场在垂直界面处充分连续, 由此可证模型计算正确, 且此时参与计算的导波模式数量已足够.
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图 10 垂直界面处位移连续性验证Figure 10. Verification of displacement continuity at vertical interface随后, 结合图10(b)算例中散射场导波反射/透射系数计算结果, 通过式(27) ~ 式(28)确认0 ~ 100 Hz频率范围反射场(REF)及透射场(TRA)各传播模式导波运载能量在总散射场能量的占比. 在100 Hz频率内, 弹性层①(材料D)反射场中包含基阶模式在内的17个传播模式导波, 弹性层②(材料A)透射场中包含基阶模式在内的14个传播模式导波. 理论上讲, 散射场能量应与入射场能量守恒, 在验证中即表现为散射场各模式导波运载能量占比的和为1.0.
图11显示了反射场、透射场及散射场总能量占比情况, 可清晰看到散射场总能量在全频率范围保持1.0, 可进一步证明模型可靠性. 除此以外, 可观察到能量主要集中在弹性层②的透射场中, 弹性层①的反射场能量在全频率范围远远小于透射场能量, 反射场在0 ~ 12 Hz频率范围较为突出与弹性层①基阶传播模式
$ {G_0} $ 及高阶传播模式$ {G_1} $ 截止频率较低, 先于弹性层②传播模式导波被激发有关. 为进一步分析高阶导波模式激发对散射场能量分配的影响, 分开展示反射场/透射场基阶传播模式及高阶传播模式导波能量占比, 如图12所示.![]()
图 11 各场传播模式导波分配总能量占比Figure 11. Proportion of total energy distributed by propagating guided wave modes in each field![]()
图 12 基阶及高阶传播模式导波分配能量占比Figure 12. Proportion of energy distribution of the fundamental and higher propagating guided wave modes相比于材料A (E = 100 MPa)弹性层, 材料D (E = 70 MPa)弹性层各阶传播模式导波截止频率较低, 随着频率增加, 材料D弹性层传播模式导波会先于材料A弹性层传播模式导波被激发. 图12实线展示了反射场及透射场基阶传播模式导波运载能量占比, 当频率低于4.8 Hz时, 仅材料D弹性层反射场基础传播模式导波被激发, 此时该模式运载能量占比1.0, 即占据散射场全部能量, 随着频率提高, 材料A弹性层透射场基阶传播模式导波于4.9 Hz被激发, 在能量再次分配中透射场传播模式导波将占据大部能量; 图12点划线展示了反射场及透射场高阶传播模式导波运载总能量占比, 可以清晰看到反射场高阶模式能量占比随频率提高会依次出现峰值能量, 结合两弹性层中高阶模式激发点来看, 当一侧弹性层中新的可承载能量的传播模式被激活时, 能量会在两场各传播模式之间再分配, 红色圆点标记了反射场各高阶导波模式激发点, 总体来看, 红色点出现后反射场高阶模式总能量占比将迎来峰值, 这标志反射场新的模式开始活跃, 但随着蓝色点出现, 反射场高阶模式总能量占比会阶段性下滑, 这是由透射场新的模式被激发且前期处于较为活跃状态导致的, 因此可以说随着两场高阶模式被逐一激发, 能量不断重新分配, 两场能量会一直处于“此消彼长”状态.
综上可知, 本模型中关于散射场导波模式系数解耦计算结果可信, 在后续计算案例中, 可统一截断M/P数量至包含100个非传播模式导波, 以保证足够的计算精度.
6. 不同影响因素下散射场能量分配研究
6.1 弹性层软硬材料交换下散射场能量分配
本节探讨弹性层软硬材料交换下散射场能量分配情况, 两弹性层被分别设置材料A及材料D, 当弹性层被设置为材料D (E = 70 MPa)时, 被称为软弹性层, 当弹性层被设置为材料A (E = 100 MPa)时, 被称为是硬弹性层. 图13对比展示了软硬弹性层互换后反射场及透射场传播模式导波分配能量占比.
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图 13 材料交换后各场传播模式导波分配能量占比Figure 13. Proportion of energy distributed by propagating guided wave modes in each field after exchanging material图13(a)显示反射场能量分配情况, 由各曲线峰值可以判断, 无论是基阶模式还是高阶模式, 软弹性层中导波能量占比均高于硬弹性层中导波能量占比, 软弹性层中各导波模式被激发后较为活跃, 可分配及运载较多散射场能量. 由图13(b)可知, 无论波入射至相对较硬弹性层, 还是入射至相对较软弹性层, 透射场基阶模式均会占据散射场主要能量, 两弹性层材料进行交换后, 透射场基础模式能量占比在高频段也基本一致, 但是, 软硬材料交换后会改变透射场高阶模式能量占比, 与反射场类似, 软弹性层中的高阶导波模式后可分配及运载较多能量. 总体来看, 对于双介质耦合弹性层模型来说, 散射场能量更易集中在较软侧弹性层中, 刚性基弹性层材料杨氏模量越小, 其传播模式导波能量运载能力越强.
6.2 不同弹性层厚度下散射场能量分配
本节探讨不同弹性层厚度下散射场能量分配情况, 将弹性层厚度分别设置为5 m, 7.5 m及10 m, 弹性层材料设置则保持不变, 弹性层①材料为D, 弹性层②材料为A. 图14对比展示了各弹性层厚度下反射场及透射场传播模式导波分配能量占比.
由图14(a)可见, 与4.2节所获结论相同, 反射场各阶传播模式导波的激发频率随弹性层厚度的减小而提升, 无论是基阶模式还是高阶模式, 能量峰值均随着弹性层厚度的减小向高频移动, 总体来看, 在频率20 Hz以内, 弹性层厚度为5 m时, 反射场能量占据优势的频带较宽, 在全频率范围, 该厚度下的反射场能量占比也相对较大. 图14(b)对应展示了透射场传播模式导波分配能量占比, 与第5节所获结论相同, 无论弹性层厚度如何, 透射场基阶模式几乎占据散射场的全部能量, 同样受截止频率限制, 透射场各阶导波被激发后才能分配及运载能量, 厚度为5 m的弹性层导波在较高频段被激发, 透射场两组能量占比曲线基本呈现随弹性层厚度减小而向高频平移的趋势. 总体来看, 弹性层厚度变化基本不会改变散射场能量分配基本规律, 但受刚性基弹性层各阶传播模式导波均存在截止频率的特点影响, 无论反射场还是透射场, 各阶导波活跃频带与弹性层厚度息息相关.
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图 14 不同弹性层厚度下各场传播模式导波分配能量占比Figure 14. Proportion of energy distributed by propagating guided wave modes in each field under different elastic layer thicknesses![]()
14 不同弹性层厚度下各场传播模式导波分配能量占比 (续)14. Proportion of energy distributed by propagating guided wave modes in each field under different elastic layer thicknesses (continued)6.3 两弹性层不同刚度比下散射场能量分配
本节探讨两弹性层不同刚度比(杨氏模量比)下散射场能量分配情况, 将弹性层厚度统一设置为5 m, 弹性层②材料设置为A, 弹性层①材料则依次设置为D, C和B, 此时对应刚度比为0.7 ~ 0.9, 刚度比越小, 刚度差距越大. 图15对比展示了两弹性层不同刚度比下反射场及透射场传播模式导波分配能量占比.
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图 15 两弹性层不同刚度比下各场传播模式导波分配能量占比Figure 15. Proportion of energy distributed by propagating guided wave modes in each field under different stiffness ratios of two elastic layers由图15(a)可见, 与4.2节所获结论相同, 同样弹性层厚度下, 弹性层①材料的杨氏模量越高, 各阶传播模式导波的截止频率越高, 当弹性层①为材料B (E = 90 MPa)时, 基阶模式
$ {G_0} $ 及高阶模式$ {G_1} $ 分别在6.9 Hz及15.7 Hz左右被激发, 弹性层①材料的杨氏模量越低, 反射场能量占比越高, 尤其在高阶模式刚被激发时, 即10 ~ 15 Hz范围, 刚度比为0.7的模型反射场显现优势, 高阶模式能量峰值占比可达14.3%. 图15(b)对应展示了透射场传播模式导波分配能量占比, 随刚度比减小, 透射场基阶模式能量占比在全频率范围降低, 但透射场高阶模式则同反射场高阶模式一样有所提升, 由此可见弹性层刚度差拉大后, 高阶模式运载能量能力增强, 同时, 高阶模式在全频率范围的能量占比涨幅也会提高. 总体来看, 两弹性层在不同刚度比下的散射场能量分配规律基本一致, 但随着刚度差距拉大, 能量将逐渐向反射场转移, 且高阶模式导波可分配及运载更多能量.7. 结 论
本文将过渡段轨下基础中车致弹性波的传播问题提炼为非均匀介质刚性基弹性层中波动散射问题. 首先优化了刚性基弹性层频散方程复平面求解流程, 并就此展开该类波导结构频散特征及多模式导波传播特性分析, 重点探明了岩土类介质中各阶导波模式激发频率及分布规律, 随后建立双介质刚性基弹性层耦合模型, 聚焦于垂直界面造成的入射导波散射现象, 深入分析了反射场及透射场导波模式对能量的分配, 并结合弹性层厚度、刚度比等影响因素开展对比分析. 本文得到主要结论如下.
(1)面对刚性基弹性层频散方程(超越方程), 通过围线积分法在复平面分区搜根并由Newton-Raphson法提升精度, 可满足本文大量衰逝模式求解需求.
(2)刚性基弹性层具有明显的频散特性及多模式特征, 与弹性板相比, 刚性基弹性层不区分对称及非对称模式, 且各模式导波均具有截止频率, 激发条件及分布会受介质材料及厚度影响, 弹性层厚度一致时, 介质越“硬”, 相同频率下导波模式越少, 弹性层材料一致时, 随着弹性层厚度减小, 各阶导波模式的截止频率同步提高.
(3)基阶模式
$ {G_0} $ 入射至两弹性层垂直界面处会发生散射, 两侧弹性层分别激发基阶及高阶传播模式导波分担及运输散射场能量, 总体来看, 透射场基阶模式导波会一直占据主体能量, 但随着高阶导波模式被逐一激发, 反射场及透射场高阶模式能量占比曲线会出现系列峰值, 并在全频率范围呈现“此消彼长”状态.(4)交换两侧弹性层材料, 改变弹性层厚度及两弹性层刚度比不会显著改变能量分布规律, 但总的来看, 能量更易集中在较“软”侧弹性层中, 各模式导波在激发初始频段会更为活跃, 可分配及运载更多能量.
本文模型采用单一模式入射波, 研究散射场多模式导波分配及携运能量在全频率范围分布情况, 在后续研究中, 可结合导波模式及相应弹性场可叠加特性, 将成分复杂车致弹性波中的各模式导波分离, 分别入射界面并叠加形成散射总场, 展开进一步分析. 此外, 考虑过渡段轨下基础变化及填料分区、分段、分层填筑特点, 为更符合过渡段非均匀特征, 未来将逐步发展本文模型至包含复杂界面的多介质耦合弹性层模型, 以进一步贴合车致弹性波在过渡段轨下基础中传播的实际工程问题.
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图 2 双介质耦合刚性基弹性层平面应变模型
Figure 2. Plane-strain model of two medium coupling elastic layers with rigid base
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图 3 刚性基弹性层波导结构平面应变模型
Figure 3. Plane-strain model of waveguide structure of elastic layer with rigid base
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图 4 频散方程
$ {\text{Det(}}{k_x}) = 0 $ 求解流程图Figure 4. Flow chart of the solution of dispersion equation
$ {\text{Det(}}{k_x}) = 0 $ ![]()
图 6 水平波数
$ {k_x} $ 计算结果及验证Figure 6. Calculation results and verification of horizontal wave number
$ {k_x} $ ![]()
图 7 钢介质刚性基弹性层频散曲线
Figure 7. Dispersion curve of rigid base elastic layer with steel medium
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图 8 刚性基弹性层导波模式相速度
Figure 8. Phase velocity of guided wave modes in rigid base elastic layer
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图 9 刚性基弹性层导波模式群速度
Figure 9. Group velocity of guided wave modes in rigid base elastic layer
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图 10 垂直界面处位移连续性验证
Figure 10. Verification of displacement continuity at vertical interface
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图 11 各场传播模式导波分配总能量占比
Figure 11. Proportion of total energy distributed by propagating guided wave modes in each field
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图 12 基阶及高阶传播模式导波分配能量占比
Figure 12. Proportion of energy distribution of the fundamental and higher propagating guided wave modes
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图 13 材料交换后各场传播模式导波分配能量占比
Figure 13. Proportion of energy distributed by propagating guided wave modes in each field after exchanging material
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图 14 不同弹性层厚度下各场传播模式导波分配能量占比
Figure 14. Proportion of energy distributed by propagating guided wave modes in each field under different elastic layer thicknesses
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14 不同弹性层厚度下各场传播模式导波分配能量占比 (续)
14. Proportion of energy distributed by propagating guided wave modes in each field under different elastic layer thicknesses (continued)
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