引 言

Nb₃Sn属于A15型金属间化合物, 具有优异的超导电性能, 被应用于核磁共振波谱仪、高能物理、国际热核聚变实验反应堆以及超导射频腔等领域^[1]. Nb₃Sn具有应变敏感性, 力学变形会导致其超导性能退化, 给超导磁体装备的安全稳定运行带来极其不利的影响^[2]. 提高对Nb₃Sn高场超导复合材料力-电磁多尺度耦合行为的认识和描述能力, 对强磁场超导磁体的设计与制造具有重要意义.

1962年, Müller和Saur^[3]在超导薄膜结构的实验研究中发现Nb₃Sn超导体超导临界性能会随着载荷的施加而发生退化. Ekin^[4-5]针对这一行为开展的一系列实验结果表明: (1)轴向应变会导致Nb₃Sn超导体超导性能非线性下降; (2)应变诱导的临界性能变化规律与Nb₃Sn超导体外加磁场有关; (3)当轴向应变突破某一极值时, Nb₃Sn超导复合材料临界性能退化将变得不可逆. Nijhuis等^[6]采用test arrangement for strain influence on strands装置对Nb₃Sn超导复合线材进行周期性弯曲加载实验表明: Nb₃Sn超导复合线材临界电流与最大弯曲应变曲线表现出明显的非线性关系和很强的材料微细观结构依赖性. 借助于TARSIS crossing strands probe装置进行的Nb₃Sn超导体的横向加载实验表明^[6-8]: Nb₃Sn超导体的超导临界性能会随着横向载荷的增大而弱化; 横向加载下超导临界性能弱化曲线表现出明显的非线性特征和多场耦合特性, 超导临界电流的衰退与应变状态、环境温度和背景磁场紧密相关; 与轴向加载相似, 横向载荷也存在一个极限值, 当载荷超过这一极限值时, 会导致临界性能发生不可逆退化. 刘方等^[9]、Zhang等^[10]、武玉等^[11]、Jiang和Song^[12]围绕Nb₃Sn超导体超导电性能的应变效应也进行了大量的实验研究, 并进一步证实了上述规律, 同时给出了增强Nb₃Sn超导体应变耐受性的建议.

已经发展起来的描述Nb₃Sn超导体临界性能力学变形效应的耦合本构模型, 大致可以分为3类: (1)经验本构模型: 早期的经验本构模型^[4]采用幂函数、多项式函数等函数形式来对轴向加载条件下Nb₃Sn复合超导体临界电流密度衰退的实验观测结果进行经验拟合; 之后, 又发展出了Ten Haken偏应变模型^[13], 该模型首次将偏应变二次不变量作为描述超导体临界性能应变效应的特征参数; (2)基于临界温度应变效应分析的半经验本构模型: Markiewicz^[14-15]通过考虑应变对Nb₃Sn晶体声子频率分布和电子-声子耦合常数的影响, 基于McMillan超导转变温度公式和应变势能函数建立了全应变不变量模型, 分析结果表明应变导致的超导体临界温度衰减行为主要起源于偏应变张量第二及第三应变不变量; (3)基于上临界磁场应变效应分析的半经验本构模型: Oh和Kim^[16]基于Eliashberg理论, 建立了表征Nb₃Sn超导体轴向变形-上临界磁场耦合响应的半经验解析表达式; 以应变诱导的电子能带结构变化为出发点, Qiao和Zheng^[17]建立了三维应变作用下Nb₃Sn超导体临界性能衰退的半经验本构模型, 该模型假定: 应变作用下Nb₃Sn超导体临界性能的衰退起源于应变对费米面电子态密度的影响, Ren等^[18]近期的实验验证了这一假设的合理性. 何宇新等^[19]通过对正常态电阻率应变效应的修正, 将Qiao和Zheng^[17]所建立的模型拓展到静水压强作用下Nb₃Sn超导体临界温度退化规律的描述上. 除此之外, 通过考虑超导凝聚与晶格变形的耦合作用, 兰州大学Yong等^[20-21]对Ginzburg-Landau自由能表达式进行修正, 并基于变分原理建立了描述超导体临界性能力学变形效应的理论框架, 理论预测结果与实验结果定性一致, 为高场超导体力-电磁耦合行为的研究给出了新的研究思路.

Nb₃Sn超导体力与电磁耦合本构模型的研究从经验模型发展到基于一定物理背景的半经验模型, 这些研究成果对于理解和刻画高场超导复合材料变形-超导电性能耦合行为做出了贡献, 但仍存在一些问题需要进一步研究: (1)现有模型缺乏一般性, 拟合参数依赖于具体的加载模式, 缺乏可拓展性; (2)现有本构模型缺少对Nb₃Sn超导体多尺度结构特征的分析, 为了定量化描述Nb₃Sn超导材料力、电、磁、热耦合行为, 需要研究变形后的超导体组织特征与其超导电性能之间的关系. Nb₃Sn高场超导体变形的直接效应是超导体内部的显微结构发生变化, 从而导致Nb₃Sn的声子谱、电子能带结构、电声子耦合常数、钉扎势等多个物理参量的变化. 从畸变的晶格到Nb₃Sn超导丝中变形的微观结构组织, 从细观结构变形特征到Nb₃Sn复合超导体宏观力、电磁、热耦合响应, 力学变形诱导的超导电性能退化行为具有多尺度耦合特征. 对于这一特性的研究可以帮助全面理解高场超导体力、电、磁、热耦合行为的物理机理, 从而提高理论模型对高场超导体变形-超导电性能耦合特征的描述能力.

基于Nb₃Sn复合超导体复杂的多尺度结构特征, 本文研究应变作用下高场超导复合材料微观组织结构特征参量变化对其超导电性能的影响, 揭示材料变形-超导电性能多尺度耦合机理, 给出了从原子尺度A15晶体结构到材料微结构到宏观非均质Nb₃Sn超导复合材料的理论模型和模拟方法, 在此基础上建立了考虑微/细/宏观关联的非线性力-电磁耦合本构模型.

1.   模型

1.1   Nb₃Sn多尺度结构

Nb₃Sn高场超导复合材料具有复杂的多级、多层次组织结构特征. 本文以青铜法(bronze process)制备工艺得到的Nb₃Sn复合超导体为例为例, 展示其多尺度组织结构特征: (1)原子层次: A15相Nb₃Sn具有体心立方晶体结构^[22], 晶体点阵间距约2.645 Å: Sn原子以体心立方点阵结构排列, 每个面上有2个Nb原子; (2)晶体缺陷层次: Nb₃Sn金属间化合物超导材料的磁通钉扎是以晶界为中心的, 磁通线和晶界的作用主要以磁通点阵与晶界弱性应变场之间的弹性相互作用为主^[22]; (3)晶粒显微组织层次: Nb₃Sn超导层的厚度在0.5~1.5 μm之间, 其中的晶粒具有非常复杂的形貌和择优取向: 在Nb核处为向外放射的柱状晶, Nb₃Sn超导层的中部为等轴晶细晶粒区, 靠近Sn源材料一侧为形状不规则的粗晶, 实用Nb₃Sn复合超导体中平均晶粒尺寸分布在100~200 nm之间^[23-24]; 晶界取向差分布的一个重要特征是组织内部存在大量大角度晶界; (4)细观组织层次: Nb₃Sn复合超导体中基本结构单元, 其构成包括Nb核、Nb₃Sn超导体层以及Cu(Sn)基体层, 这些具有细观尺度的单胞结构在空间以周期性排列形成复合超导体中的核心区域(多丝区域), 以Luvata超导体为例, 其超导丝的直径为4~5 µm, 核心区超导丝的总数量为6655^[23,25]; (5)宏观组织层次: Nb₃Sn高场超导复合材料的结构形式为多丝扭转复合线材, 单根线材长度大于1000 m (Nb₃Sn超导丝的扭矩为10 mm左右), 线材直径0.8~1.0 mm (Luvata导体); 超导复合线材阻隔层材料由Cu, Ta和Bronze组成, 所占的体积分数分别为30%, 5%, 45%^[23].

根据实验观测结果^[22-25], Nb₃Sn多尺度结构生成方法如下: 首先, 基于开源晶体结构数据库Materials Project^[26]获得Nb₃Sn晶格结构, 如图1(a) 所示, 单个Nb₃Sn晶胞中有8个原子, 其中Sn原子占据8个顶角和体心位置, 每个面上有2个Nb原子; 其次, 根据Nb₃Sn多晶体组织结构观测的实验结果, 借助于Neper^[27]软件生成一个立方相Nb₃Sn多晶体模型, 如图1(c)所示, 构建一个边长为1.5 μm的立方体, 在这个立方体内随机生成400个种子点, 基于这些个种子点, 使用Voronoi算法生成400个区域, 这400个区域即为所建立的400个晶粒; 本文模型将晶粒的平均尺寸控制在200 nm^[18,24], 根据Voronoi图可知, 图1(b)中两个晶粒的相遇边界即为晶界. 为了方便后续有限元计算顺利进行, 对Nb₃Sn多晶体模型采用C3 D4网格划分方式生成4495515个四面体单元; 最后, 本文借助于Neper软件生成高为0.7 µm, 直径为5 µm的圆柱体模型, 如图1(d)所示, 本文利用其中的多尺度划分的方法^[27]和坐标信息将圆柱体分割为Nb核区、Nb₃Sn柱状晶区和Nb₃Sn等轴晶区, 其半径分别为0.675 µm, 0.925 µm和0.9 µm. 对3个区域进行晶粒填充, 根据实验观察结果, 控制Nb₃Sn柱状晶区域晶粒长度在0.3 ~ 0.8 µm之间, 控制晶粒平均深度在0.15 µm, 控制Nb₃Sn等轴晶区域晶粒平均尺寸在0.15 µm^[28]. 本文所建立的模型由4628个晶粒组成, 根据Sandim等^[29]对Nb₃Sn超导丝的扫描电镜观察结果可知其晶粒取向是随机分布的. 晶粒取向可以被定义为晶体坐标系相对于全局坐标系的位置, 本文使用取向矩阵来作为联系晶体坐标系和全局坐标系的纽带, 并通过最常用的欧拉角(φ₁, ϕ, φ₂)方法来表示取向矩阵. Nb₃Sn属于体心立方晶体结构, 其欧拉角取值在0° ~ 90°范围内^[30]. 根据实验观察结果, 本文赋予每个晶粒随机取向, 具体方法为: 利用Python^[31]程序对模型中每个晶粒的欧拉角在0° ~ 90°范围内随机赋值, 生成随机取向矩阵, 将取向矩阵和全局坐标系进行计算得到每个晶粒的晶体坐标系, 再次利用Python程序将晶体坐标系赋予到有限元模型中的每个晶粒上, 以用于后续计算. 由于Nb₃Sn复合超导体具有复杂的微细观结构形态, 如果对图1(f)中Nb₃Sn超导层和Cu(Sn)基体进行有限元离散会带来巨大的计算量, 因此, 本文使用密排纤维增强复合材料理论构建辅助模型, 主模型(Nb-Nb₃Sn复合超导体)和辅助模型通过界面应力状态耦合在一起^[32].

图  1  Nb₃Sn多尺度结构

Figure  1.  Multiscale structures in Nb₃Sn superconducting composite

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1.2   Nb₃Sn超导材料变形与超导电性能多尺度耦合

多物理场环境下Nb₃Sn超导体临界性能的描述需要解释两个基本问题: (1)多物理场之间的耦合作用关系; (2)由于Nb₃Sn超导体复杂的多级结构所引起的多尺度之间的耦合关联机制. 为了实现复合超导体特征物理量的参数化和多物理场环境下Nb₃Sn超导体临界性能的描述, Bottura和Bordini^[33]讨论了超导临界经验模型的内在统一性, 给出了具有一般性的临界电流密度函数的构造形式. 对于第一个问题的解释, 本文沿用了Bottura等的分析. 对于第二个问题的解释, 一方面需要借助于Nb₃Sn超导体的微结构特征和多层级力学模型, 另一方面, 需要发展出适用于Nb₃Sn超导体微结构临界性能描述的一般表达形式, 借助于该表达式讨论Nb₃Sn单晶体、多晶体、复合多晶体的临界性能变化规律, 从而揭示出观测到的临界性能弱化现象背后所隐藏的多尺度耦合机制. 宏观实验观测到的多物理场环境下超导临界性能的演化, 是Nb₃Sn超导体系统整体的行为, 对于这一整体行为的理解, 需要从最小特征尺度上进行关注, 以实现对整体性行为进行定量化的描述和解释. 磁体用Nb₃Sn超导体的结构尺度从 Å 跨越到mm, 力学变形最直接的效应是超导体微结构内的局部应力状态发生变化. 从原子尺度来看, 伴随着这一变化, Nb₃Sn的电子结构、声子谱、电声子耦合常数会发生改变; 从晶体缺陷层次来看, 晶界是Nb₃Sn磁通钉扎的中心, 伴随着局部应力状态的变化, 磁通钉扎力会发生改变, 而磁通钉扎力又决定了超导体临界电流密度. 建立磁通钉扎力(临界电流密度)与应变诱导的费米面电子态密度演化之间的关系, 是超导体临界性能多尺度分析的核心. 本节按照经典层次多尺度方法分析问题的思路, 如图2所示, 构筑不同尺度上超导体结构信息到局部变形信息到超导临界性能信息之间转化和传递.

图  2  多尺度分析示意简图

Figure  2.  Multiscale analysis of the electromechanical coupling effects in Nb₃Sn superconducting composite

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对于Nb₃Sn超导材料而言, 其临界性能的多物理场(包含应变)耦合效应是超导体的本质规律, 复杂应变状态下, Nb₃Sn超导体微结构临界性能的力、电、磁、热耦合效应可以表示为^[33]

式中, $ {J_c} $表示临界电流, $ H_c^{}(t) \cong H_c^{}(0)(1 - {t^2}) $, 其中$ H_c^{}(0) $为0 K时的热力学临界磁场, $t \equiv {T \mathord{\left/ {\vphantom {T {T_c^{}(0,\varepsilon )}}} \right. } {T_c^{}(0,{\boldsymbol{\varepsilon}} )}}$为无量纲温度($ T $表示环境温度, $ {T_c}(0, {\boldsymbol{\varepsilon}}) $表示无环境磁场(0 T)时的临界温度随应变${\boldsymbol{\varepsilon}}$变化的函数), $h \equiv {H \mathord{\left/ {\vphantom {H {H_{c2}^{}(T,\varepsilon )}}} \right. } {H_{c2}^{}(T,{\boldsymbol{\varepsilon}} )}}$为无量纲磁场($ H $表示施加的磁场, ${H_{c2}}(T,{\boldsymbol{\varepsilon}} )$表示温度和应变联合作用下的上临界磁场), $ C $是比例常数, $ {\mu _0} $是真空磁导率, $ p $表示磁通钉扎力的低场指数, $ q $表示磁通钉扎力的高场指数. 临界温度的表达式为

式中, 参数$T_{{\rm{cm}}}^{}(0)$表示无环境磁场(0 T)和无应变作用时的最大临界温度, $H_{{\rm{c}}2}^{}(0,{\boldsymbol{\varepsilon}} )$表示0 K时上临界磁场随应变变化的函数. 上临界磁场的表达式为

其中, 参数${H_{{\rm{c2 m}}}}(0)$为0 K和零应变时的最大上临界磁场, MDG(t)关系式的来源如下: Parks^[34], Maki^[35]和de Gennes^[36-37]在1964年基于微观理论给出了上临界磁场温度依赖关系的隐式形式(MDG关系式),$\ln t = \psi \left(\dfrac{1}{2}\right) - \psi \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{{\hbar {D^ * }({{\varepsilon}} ){\mu _0}H_{c2}^ * (T,{{{\boldsymbol{\varepsilon}}}} )}}{{2{\phi _0}{k_B}T}}\right)$ , 该表达式中$ \hbar $为约化普朗克常量, $ {k_B} $为玻尔兹曼常数, $ {\phi _0} $为磁通量子, ${D^ * }({{\varepsilon}} )$为常态下传导电子的扩散系数, $ {\mu _0} $为真空磁导率, $ \psi (x) $是digamma 函数. 作为上式的显式近似, 定义$ {{MDG}}(t) \equiv {{{H_{c2}}{{(t)}_{MDG}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{H_{c2}}{{(t)}_{MDG}}} {{H_{c2}}{{(0)}_{MDG}}}}} \right. } {{H_{c2}}{{(0)}_{MDG}}}} $(其中, $ {H_{c2}}{(t)_{MDG}} $和$ {H_{c2}}{(0)_{MDG}} $是MDG(t)关系式的解), 在整个温度变化范围内, 上临界磁场与温度的变化关系近似满足$MDG(t) \cong 1 - {t^{1.52}}$, 其中t表示无量纲温度. 式(1)~式(3)刻画了多物理场环境下Nb₃Sn超导体微结构临界曲面的漂移规律, 涵盖了各个物理场单独作用及其联合作用下超导体临界性能的变化规律, 同时也给出了多物理场环境下各个临界性能(临界电流密度、上临界磁场、临界温度)变化之间的内在联系, 这些内在联系表明了Nb₃Sn超导体临界性能错综复杂的实验观测曲线的背后是由某种内在的属性所主导和决定的.

借助于理论分析和数值模拟, 力学分析呈现了超导体内部不同尺度上的变形, 它是Nb₃Sn超导临界性能分析中应变函数$ s({\boldsymbol{\varepsilon}} ) $计算的关键. 刻画应变对Nb₃Sn单晶超导体临界性能的影响规律, 需要给出应变函数$ s({\boldsymbol{\varepsilon}} ) $的解析表达式, 这需要考察上临界磁场强度对温度的偏导数在临界温度点处的值, 是衡量超导体相变的一个重要物理参数. 根据MDG关系式^[36], 这一参数值的表达形式为

式中, $ \rho $为Nb₃Sn超导相转变附近的正常态电阻率, $ N({E_F}) $为费米面上电子态密度值. 由以上分析, 可得应变函数$ s({\boldsymbol{\varepsilon }}) $可以通过应变作用下费米面电子态密度的变化和正常态电阻率的变化来计算; 考虑到$ s(0) = 1 $, 应变函数的表达式为

式中, 参数$ {\rho ^\varepsilon } $和$ {N^\varepsilon }(E_F^\varepsilon ) $表示应变诱导的正常态电阻率和费米面上电子态密度的变化, $ {\rho ^{0}} $和$ {N^{0}}(E_F^{0}) $为相应物理量在零应变状态的值.

应变会导致立方相Nb₃Sn晶体结构对称性的变化, 伴随着这一变化, 电子能带结构和费米面上的电子态密度会相应地发生演变. 不同的变形模式会经历不同的演变阶段, 产生不同的变化结果. 借助于第一性原理模拟计算结果, 可以给出Nb₃Sn费米面电子态密度随应变演化的一般形式^[19]

式中, 参数$ {{N}}^{0}\left({{E}}_{{F}}^{0}\right) $为零应变状态时的费米面态密度值, 模型中的参数由表1所示. 在超导相转变温度附近, 外载作用下Nb₃Sn单晶正常态电阻率的变化和温度的平方成正比, 比列常数对变形状态具有依赖性. 本文模型采用$ \rho {\text{ = }}{\rho _0} + {A^\varepsilon }{T^2} $来描述力与热联合作用下Nb₃Sn单晶体正常态电阻率的变化: 表达式中$ {\rho _0} $为正常态电阻率外推至0 K时的电阻率, 实验揭示出它不依赖于单晶体的应变状态^[19], 所以在本文模型中, 假设它为一常数; 比例系数$ {A^\varepsilon } \propto {\left[ {{N^\varepsilon }(E_F^\varepsilon )} \right]^2} $, 即: $ {A^\varepsilon }{{ = K}}{\left[ {{N^\varepsilon }(E_F^\varepsilon )} \right]^2}{{ + B}} $, 其中$ {{K}} $和$ {{B}} $为描述这一线性变化关系的常数, 不随应变状态的不同而变化. 根据上面的分析, 可得

表  1  模型中的参数值^[38]

Table  1.  The parameters in the density of states model^[38]

χ1	χ2	χ3	κ1	κ2	κ3
0.975	12.57	−9.225	−35.5	−7.49	−5.65
ℓ11	ℓ12	ℓ21	ℓ22	ℓ31	ℓ32
0.004 75	0.002	0.015 28	0.002	0.012 8	0.001

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式中, $ {A^0} = K{[{N^0}(E_F^0)]^2} + B $, $ T_c^0 $为无外载时的临界温度, 比例系数

将式(8)和式(9)代回式(5), 经过进一步的简化可得描述Nb₃Sn单晶临界性能变化的应变函数为

由式(2)和式(3)可以得到临界温度和上临界磁场随应变的退化关系为

式中, ω≈3, H_{c2 m}和T_cm分别表示上临界磁场强度和临界温度在零应变状态下的取值.

从原子尺度层次上的晶格结构变化到晶粒显微组织层次上的微结构变化, 通过耦合本构关系的理论分析实现了多物理场环境信息和结构信息的第一次传递和转化; 在这一过程中, 模型参数的获取依赖于第一性原理的计算结果. 从晶体缺陷层次以及晶粒显微组织层次到细观组织层次的跨越, 需要借助于多晶体有限元模型. 在多晶体有限元模型中, 包含了原子尺度晶格变化信息的微结构构成了多晶体有限元模型中的基本单元; 同时, 有限元模型又涵盖了晶粒尺度上的结构信息, 对微结构进行有限元离散, 模型中每个离散单元内的连续介质模型又是Nb₃Sn晶胞的抽象和简化. 通过对晶界变形和晶粒内部变形的定量化研究, 了解到微细观尺度上应变分布的非均匀性和晶界处的应力集中(应力集中处通常伴随着Nb₃Sn晶格结构更严重的畸变), 为了将这些效应反映到宏观的超导体临界性能的观测曲线上, 需要借助于统计平均: 单个离散单元内的Nb₃Sn超导临界性能参数的变化, 可以借助应变函数$ s(\varepsilon ) $给出, 单个晶粒和整个多晶体的临界性能参数通过统计平均的方式给出. 外载作用下Nb₃Sn多晶体超导临界性能的衰退情况由Nb₃Sn单晶体临界性能参数(式(1)~式(3))通过统计平均的方式定量给出

式中, $ V $为多晶体的总体积, ${T_{{\rm{c - single}}}}({\varepsilon _1},{\varepsilon _2},{\varepsilon _3}),$ ${H_{{\rm{c2 - single}}}}({\varepsilon _1},{\varepsilon _2},{\varepsilon _3})$, ${J_{{\rm{c - single}}}}({\varepsilon _1},{\varepsilon _2},{\varepsilon _3})$分别为应变作用下多晶体模型中各四面体单元的临界温度、上临界磁场和临界电流密度.

从细观组织层次到宏观组织层次的分析, 第1需要考虑定量描述Nb₃Sn超导层内柱状晶区和等轴晶区临界性能响应的不同; 第2需要考虑Cu(Sn)基体的塑性变形; 第3需要模拟结果与Nb₃Sn复合超导体临界性能实验观测结果之间直接比对, 从而验证分析结果的可靠性. 综合考虑上述3个要素, 对于极易发生塑性变形的基体, 本文采用粗化处理, 不考虑Cu(Sn)基体中的晶粒形貌和取向^[32]; 而对于Nb₃Sn超导体层, 则按照晶粒形貌和取向的细节, 采用晶粒显微组织层次的建模方法进行细化处理; 按照平均化处理方法, 对细观代表性体元中Nb₃Sn超导体层的临界性能进行计算, 并直接与宏观实验结果进行比对. 细观结构单元周期性重复堆积, 形成Nb₃Sn超导体的核心区域, 本文选取代表性体元进行分析, 并通过密排纤维增强复合材料理论和周期性边界条件的施加, 将代表性单元邻近和周围的影响考虑进去; 代表性体元的分析, 代表了整个超导体核心区域临界性能演化, 因此可以直接和实验结果进行比对.

2.   计算结果与讨论

本节中, 首先分析了结构较为简单的Nb₃Sn多晶体在静水压强作用下其临界温度的退化行为; 接着, 在Nb₃Sn复合多晶体变形分析的基础上, 讨论了轴向拉压载荷作用下复合多晶体结构的临界温度、上临界磁场和临界电流的弱化行为.

2.1   静水压下Nb₃Sn多晶超导临界温度退化

基于1.2节所建立的Nb₃Sn多晶体模型, 本节研究了静水压强作用下其临界温度弱化行为. 临界温度退化预测曲线与实验测量结果的比较如图3所示. 在4 GPa的静水压强作用下, Nb₃Sn多晶体临界温度下降约15%, 表明其临界温度对静水压强比较敏感, 产生这一现象的原因是由于多晶体内应力分布非均匀, 在晶界交汇处产生应力集中. 从图中可以看出随着静水压强的增加, 多晶体内的Mises应力值不断变大: 在1 GPa静水压强下, 多晶体内部Mises应力值最大为0.127 GPa; 当静水压强达到5 GPa和10 GPa时, 多晶体内部Mises应力值达到0.797 GPa和1.639 GPa. 当静水压强逐渐增大时, 临界温度退化由线性转变为弱非线性.

图  3  Nb₃Sn多晶体临界温度在静水压强下的变化

Figure  3.  The pressure-induced critical temperature variations of polycrystal Nb₃Sn

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晶界应力集中处的复杂应力应变状态, 会诱导两个物理参量的变化, 一个是费米面上的电子态密度$ N({E_F}) $, 另外一个是正常态电阻率随温度平方线性变化的系数A (在电子-电子散射的假设下, $ A \propto {\left[ {N({E_F})} \right]^2} $), 实验揭示出静水压加载下的多晶体的临界温度随$ \sqrt A $的变化(即$ {{{\rm{d}}{T_c}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\rm{d}}{T_c}} {{\rm{d}}\sqrt A }}} \right. } {{\rm{d}}\sqrt A }} \propto {{{\rm{d}}{T_c}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\rm{d}}{T_c}} {{\rm{d}}N({E_F})}}} \right. } {{\rm{d}}N({E_F})}} $)是一个常数^[18], 这一经验关系严格的物理解释应该从McMillan临界温度公式${T_c} = \left( {{{{\varTheta _{\rm{D}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\varTheta _{\rm{D}}}} {1.45}}} \right. } {1.45}}} \right)\exp \left\{ { - {{\left[ {1.04(1 + \lambda )} \right]} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left[ {1.04(1 + \lambda )} \right]} {}}} \right. } {}}} \right.$ $\left. {\left[ {\lambda - {\mu ^*}(1 + 0.62\lambda )} \right]}\right\}$(其中$ {\varTheta _{\text{D}}} $为德拜温度, $ \lambda $为电声子耦合常数, $ {\mu ^*} $为库仑赝势)出发, 借助于电声子耦合常数和费米面上电子态密度之间的关系$\lambda = \left[N({E_F})\left\langle {{I^2}} \right\rangle /M\left\langle {{\omega ^2}} \right\rangle \right]$ (其中$ I $是电子离子相互作用矩阵元, $ \left\langle {{\omega ^2}} \right\rangle $是声子频率的平均值, $ M $表示声子质量)来实现. 但是, McMillan临界温度公式只有在电声子耦合常数小于1.5时才是适用的, 而对于Nb₃Sn超导体, 文献报导的电声子耦合常数是大于这一值的^[39]. 考虑到以下两个事实: (1)晶界是Nb₃Sn 超导体磁通钉扎的中心, 同时, 晶界在力学响应中, 也是应力集中和损伤萌生的关键点; (2)电子态密度的变化, 不仅会影响到临界温度, 还会影响到上临界磁场, 以及磁通钉扎力(临界电流密度)的变化. 为此, 本文从晶界变形诱导的磁通钉扎力的变化来考虑这一问题(式(1)~式(3)), 通过力、电、磁、热耦合本构关系, 建立晶格变形导致的态密度演化与晶界上磁通钉扎力弱化之间的联系. 多晶体静水压临界温度退化的分析结果, 间接呈现了从晶格变形(诱导电子结构演变, 函数$ f({\mathbf{\varepsilon }}) $描述)到晶界变形(诱导非均匀临界温度分布, 函数$ {\text{s}}({\mathbf{\varepsilon }}) $描述)诱导临界温度退化的关联过程: 晶格畸变导致的电子结构变化在晶粒临界温度随应变的变化中起主导作用, 这种作用的效应会被三叉晶界处的应力集中放大, 表现为晶界交汇处的临界温度弱化更加明显, 这些微细观尺度上的行为, 决定了静水压加载模式下临界温度随压强的变化趋势.

当静水压强较大时, 临界温度退化的预测值与实验测量结果差异较大, 主要是因为高压下Nb₃Sn材料内部出现损伤, 而本文的多晶体模型仅仅考虑了弹性变形, 此外Sn原子含量的分布变化也会导致超导临界温度的变化^[40], 这些因素的影响在后续的研究中, 需要进一步深入地讨论.

2.2   轴向变形下Nb₃Sn复合多晶超导临界性能退化

本节研究了Nb₃Sn复合超导体在轴向应变为−1.1% ~ 1.1%时, 其临界温度、上临界磁场和临界电流的退化趋势. 根据临界电流密度的表达式(1), 临界电流的具体计算公式为

其中, $ {C_1} $是比例常数, 计算时取22618AT^[41]. 表2给出了Nb₃Sn复合超导体在不同轴向应变作用下轴向应力和基于辅助模型计算得到的Nb₃Sn-Cu(Sn)界面上的径向应力^[42].

表  2  载荷条件

Table  2.  Load condition

Strain/%	$ {\sigma }_{zz} $/GPa	$ {\sigma }_{rr} $/GPa
−1.1	−0.715	−0.098
−0.7	−0.455	−0.062
−0.3	−0.195	−0.027
0.1	0.065	0.009
0.5	0.325	0.044
0.9	0.585	0.080
1.1	0.715	0.098

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本文模拟给出的临界性能(临界温度、上临界磁场、临界电流)退化曲线和实验测量结果的对比如图4所示, 图中对临界性能参数做了归一化处理. 曲线的总体变化趋势和实验所得临界性能弱化趋势相吻合. 轴向应变为零时临界参数值最大, 轴向拉伸和轴向压缩均会造成临界性能参数的减小, 拉伸区和压缩区临界参数的减小表现出非对称性. 这主要是因为: (1)单轴拉压下费米面态密度表现出非对称特性; (2)单轴拉压载荷作用下Nb₃Sn复合多晶体内的Mises等效应力呈现非均匀分布. 不同外加磁场作用下临界电流退化预测值与实验结果的对比如图4(c)所示, 外加磁场越大, 临界电流退化越明显, 本文模拟预测结果与实验结果吻合较好. 图4中同时给出了不同轴向应变下Nb₃Sn复合多晶体内部应力分布. 从图中可以看出随着轴向应变的增加, 复合多晶体内的Mises应力值不断变大: 当轴向应变为ε = −0.1%和ε = 0.2%时, Nb₃Sn复合多晶体内部应力值较小, 最大Mises应力值仅为0.0537 GPa和0.0628 GPa; 随着轴向应变增加到ε = −1.1%和ε = 0.9%时, Mises应力值可以达到0.733 GPa和0.215 GPa. 轴向拉伸区和压缩区的Mises应力呈现出非对称变化; 同时, 在晶界交汇处发生应力集中.

图  4  轴向变形作用下Nb₃Sn临界性能变化

Figure  4.  Axial-strain induced critical properties variations of Nb₃Sn composite

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对于复合超导体核心区域(Nb₃Sn等轴晶和柱状晶区域), 基本的耦合关联机制和前文所述一致, 不同点在于基体层(Nb基体和Cu(Sn)基体)对超导层变形的约束作用, 同时, 由于柱状晶区和等轴晶区不同的晶粒形貌和取向, 导致晶界局部应力状态的不同. 对于Nb₃Sn超导体临界电流的分析, 是从磁通钉扎力的分析入手的(磁、热、力耦合作用下的磁通钉扎力表达式为${F_P}(H,T,{\boldsymbol{\varepsilon}} ){\text{ = }}{J_c}(H,T,{\boldsymbol{\varepsilon}} ) {\mu _0}H$, 其中$ {F_P} $表示磁通钉扎力, $ {J_c} $表示临界电流密度, $ {\mu _0} $表示真空磁导率), 晶界是Nb₃Sn超导体磁通钉扎的中心, 对于磁通钉扎力的分析, 向“下”需要建立与晶格变形诱发的电子结构变化之间的联系, 向“上”需要考虑临界性能参数非均匀分布统计平均之后与实验测试得到的宏观量之间的联系: 从晶格尺度上而言, 晶格畸变诱发的电子结构变化会导致作用在晶界上的磁通钉扎力的减弱(通过上临界磁场和临界温度的弱化作用), 相应地, 临界电流下降; 同时, 由于晶粒之间的变形约束作用, 三叉晶界处表现出明显的应力集中, 此处的临界性能参数下降更加显著; 对代表性单元体内的临界性能参数分布进行统计平均, 给出宏观观测量的模拟值, 并与宏观观测量进行直接的比较.

拉伸区模拟结果和实验结果的差异主要来源于以下两个方面: 首先, 由于Nb₃Sn是一种脆性材料, 所以较大的拉伸应变会导致Nb₃Sn材料内部出现损伤, 产生微裂纹, 进而诱发断裂, 损伤演化会对Nb₃Sn材料超导性能产生影响^[43], 而本文的多晶体模型和复合多晶体模型仅仅考虑了弹性变形. 其次, Nb₃Sn材料的超导性能与Sn原子含量有关, 实验研究结果表明靠近Nb芯的Nb₃Sn柱状晶Sn含量约为20 at.%, 靠近Cu基的Nb₃Sn等轴晶Sn含量约为25 at.%^[44], 而本文计算过程中没有考虑Sn原子含量分布变化对模拟结果的影响. 材料损伤行为和Sn原子含量分布变化对Nb₃Sn超导体临界性能弱化的影响需要在后续的研究中进一步探讨.

在上述研究基础上, 为了呈现Nb₃Sn复合超导体中等轴晶区和柱状晶区在轴向应变作用下临界性能(临界温度、上临界磁场、临界电流)的退化特点, 本文研究了Nb₃Sn复合超导体中柱状晶层和等轴晶层不同形貌的晶粒对Nb₃Sn超导体临界性能退化的影响. 图5给出了等轴晶区域和柱状晶区域在轴向应变作用下临界参数的退化结果. 从图中可以发现, 在零应变时等轴晶区和柱状晶区的临界温度、上临界磁场和临界电流值达到最大, 随着拉应变和压应变的增大, 两个区域的临界参数都出现减小的现象, 与柱状晶区临界性能参数衰退相比, 等轴晶区的临界性能参数衰退更加明显.

图  5  单轴拉压下Nb₃Sn临界参数变化

Figure  5.  The uniaxial strain-induced degradations of the critical temperature and the upper critical field

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本文进一步在Nb₃Sn复合超导体柱状晶区域、柱状晶-等轴晶相交区域、等轴晶区域随机选择了几组相邻晶粒, 并分析了这几组晶粒中的应力、临界温度、上临界磁场和临界电流的分布情况, 结果如图6所示. 较大的应力值分布区域出现在晶界交汇处, Nb₃Sn复合超导体中的应力分布与晶粒形貌有关. 在轴向载荷作用下, 晶粒交汇区域对晶粒变形起约束作用, 这种约束会导致该区域产生较强的应力集中现象, 相较于柱状晶区域, 等轴晶区应力集中现象更为明显. 应力值相对较高的区域其临界性能退化更为明显.

图  6  随机选取的相邻晶粒云图

Figure  6.  The electromechanical coupling responses in adjacent Nb₃Sn grains

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图  6  随机选取的相邻晶粒云图(续)

Figure  6.  The electromechanical coupling responses in adjacent Nb₃Sn grains (continued)

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3.   结论

针对Nb₃Sn超导材料复杂的多尺度结构特征, 通过考虑从晶体结构到材料微结构再到宏观非均质复合材料不同尺度下变形与超导电性能耦合行为的关联, 本文建立了模拟Nb₃Sn高场复合超导体临界性能力学变形效应的计算模型. 借助该模型预测了Nb₃Sn多晶体在静水压强作用下的临界温度弱化响应, 以及Nb₃Sn复合多晶体在轴向应变载荷作用下的临界温度、上临界磁场、临界电流的退化趋势, 模型预测结果与实验观测结果定性吻合.

模型揭示了应变诱导的费米面电子态密度演化、晶粒交汇处的应力集中、以及不同形貌晶粒区域在复合超导体临界性能力学变形效应中所起的作用. 研究结果有助于提升对Nb₃Sn高场复合超导体多物理场耦合行为的描述和刻画, 同时为高应变耐受性超导材料的制备提供一定的指导作用.