关于奇异摄动理论在自引力介质波动中的应用
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摘要: 本文通过自引力介质中波动的两个具体实例,讨论了与应用奇异摄动法有关的一些问题。第一个实例是密度波理论中遇到的带有三个迴转点(其中两个相距很近)的复本征值问题,指出:由于此问题中迴转点分布的几何结构敏感地依赖于复本征值ω,因此,即使为了求得初级近似的一致有效渐近解,也必须事先对于复本征值ω对摄动参数λ的依赖性作某些明显的分析:将ω(λ)展成级数sum from l=0 to ∞ω_jλ~(-i),并根据问题中的辐射条件,估计出ω的实、虚部关于λ的不同量阶。这是此问题分析过程中的关键性步骤。这一作法在形式上与通常的变形参数法(Lindstedt-Poincaré方法)有些类似,但实质并不相同。第二个实例是自引力介质中弱非线性波的渐近周期解及色散关系。指出:倘若采用展开式ω=ω_o(k)+εω_1(k)+ε~2ω_2(k)+……(其中ω为频率,k为波数),则所得弱非线性色散关系当λ→λ_J(Jeans波长)时不一致有效。本文在分析了产生这种不一致有效性原因的基础上,改用展开式k=k_o+εk_1(ω)+ε~2k_2(ω)+…。于是,不但弱非线性渐近解关于(x,t)一致有效(当波长λ固定),而且弱非线性色散关系关于波长λ也一致有效。从而指出在此问题以及其它类似问题中根据物理特点适当选取变形参数的必要性。
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